MHS: Energias no Movimento Harmônico Simples

Física2
SUMÁRIO DO VOLUME
FÍSICA
1. Movimento Harmônico Simples 5
1.1 Movimento Oscilatório Periódico 5
1.2 Movimento Harmônico Simples 6
1.3 Energia do MHS 7
1.4 Equações do MHS 10
1.5 Gráficos do MHS 15
1.6 Frequência e Período do MHS 16
2. Ondas 22
2.1 Classificação das Ondas 23
2.2 Ondas Periódicas 27
2.3 Velocidade das Ondas Mecânicas 30
2.4 Potência e Intensidade de uma Onda 32
2.5 Equação de uma Onda Unidimensional 33
2.6 Defasagem entre Dois Pontos de uma Onda 35
2.7 Reflexão e Refração de Ondas em Cordas 36
2.8 Reflexão e Refração de Ondas Bi e Tridimensionais 38
2.9 Difração de Ondas 42
2.10 Interferência (Superposição de Ondas) 43
2.11 Ondas Estacionárias 47
2.12 Experiência de Young 49
2.13 Ressonância 53
2.14 Polarização 53
2.15 Batimento 55
2.16 Espectro Eletromagnético 56
3. Acústica 70
3.1 Considerações Iniciais 70
3.2 Frequência e Velocidade das Ondas Sonoras 71
3.3 Intensidade Sonora e Nível de Intensidade 74
3.4 Qualidades Fisiológicas do Som 76
3.5 Reflexão de Ondas Sonoras 77
3.6 Cordas Vibrantes 78
3.7 Tubos Sonoros 81
3.8 Efeito Doppler 83

Física 3
SUMÁRIO COMPLETO
VOLUME 1
UNIDADE: ONDULATÓRIA
1. Movimento Harmônico Simples
2. Ondas
3. Acústica
VOLUME 2
UNIDADE: ÓPTICA
4. Introdução
5. Espelho plano
6. Espelho esférico
7. Refração
8. Lentes esféricas
9. Instrumentos ópticos
10. Óptica da visão
VOLUME 3
UNIDADE: TERMOLOGIA
11. Termometria
12. Dilatação térmica dos sólidos
13. Dilatação térmica dos líquidos
14. Propagação de calor
15. Calorimetria
16. Mudanças de estado físico
17. Estudo dos gases
18. Termodinâmica

Física
Movimento Harmônico Simples
5
ONDULATÓRIA
1. Movimento HARMÔNICO SIMPLES
1.1 Movimento Oscilatório Periódico
Oque um relógio de pêndulo, um diapasão, um balanço, as
cordas de um piano ou de um violão, os átomos nos corpos
sólidos têm em comum?
Todos eles têm funcionamento baseado em
acontecimentos que se repetem, de tempo em tempo. Uma
observação rápida do nosso cotidiano é capaz de nos mostrar
vários fenômenos naturais com essa característica. Todo
movimento que se repete em intervalos de tempo sucessivos
e iguais, recebe o nome de fenômenos periódicos.
Outros exemplos de movimentos
periódicos são: fases da lua, translação
da Terra em torno do Sol, movimento
circular uniforme, as estações do ano,
etc.
Chama-se Período (t) o tempo gasto para a realização
de uma oscilação completa. Isso quer dizer que o período é
o tempo gasto para que o objeto realize seu ciclo completo
de movimento. No Sistema Internacional de unidades, o
período é medido em segundos. Caso, num intervalo de
tempo ∆t, ocorreu n repetições (oscilações), o período é
dado por:
T = ∆t
n
Outra grandeza física muito importante, e que está
relacionada com o período, é a frequência, que é o número
de vezes que o movimento se repete por unidade de tempo,
ou seja, se ocorreu n oscilações em um intervalo de tempo
∆t, a frequência é dada por:
f = n
∆t
Se o intervalo de tempo for medido em segundos, a
unidade de frequência será o Hertz (Hz). Como o período
e a frequência estão relacionados às medidas de tempo,
há uma forte ligação entre eles. Matematicamente, uma
grandeza é o inverso da outra, ou seja:
f = 1
T
ou T =
1
f
Disponívelem:<http://wikiteca.iesb.br>.Acessoem:01ago.2013.Disponívelem:<www.estudiolivre.org>.
Acessoem:01ago.2013.
Disponívelem:<http://mundodascordas.
webnode.com.br>.Acessoem:
01ago.2013.
Disponívelem:<www.rabrinquedos.com.br>.
Acessoem:01ago.2013.
Relógio.
Diapasão.
Balanço.
Corda de um violão.

Física
6
Imaginemos que um balanço esteja realizando um movimento com 10 repetições (oscilações) a cada
20 s. Seu período e sua frequência podem ser determinados da seguinte maneira:
T =
∆t
n
→ T = 20
10
→ T = 2,0 s
f = n
∆t
→ f = 10
20
→ f = 0,5 Hz ou f = 1
T
= 1
2,0
= 0,5 Hz
Todo movimento cujo sentido é regularmente invertido (alternância de sentidos), dá-se o nome
de movimento oscilatório ou vibratório. São exemplos de movimentos oscilatórios: movimento do
pêndulo simples, movimento de um diapasão, movimento de um sistema formado por uma massa e uma
mola, movimento da corda de um violão, etc.
A B
C
O
m
x+ A– A
Em todos esses exemplos, existem forças que atuam sobre os corpos oscilantes a fim de trazê-los para
sua posição de equilíbrio. Essas forças são chamadas de forças restauradoras. No nosso curso, não iremos
considerar as forças dissipativas, como, por exemplo, as forças de resistência do ar ou de atrito, que atuam
nos corpos até que eles parem em sua posição de equilíbrio.
1.2 Movimento Harmônico Simples
Nesta figura, temos um sistema constituído por um corpo de massa m preso a uma mola de constante
elástica k (sistema massa-mola) que passa a oscilar entre os pontos – A e + A, simétricos ao ponto de
equilíbrio O (em que a força resultante na partícula é nula). A mola é ideal, e os atritos são desprezíveis.
k
m
x
O + A– A
x
Em relação ao eixo x, a posição do corpo, num determinado tempo t, é chamada elongação da mola.
Lógico, se o corpo se encontra na posição de equilíbrio, a elongação é zero. Nos pontos de inversão do
movimento – A e + A ocorre a elongação máxima da mola, denominada de amplitude do movimento.
DizemosqueumcorporealizaumMovimentoHarmônicoSimplesLinearquandoaforçarestauradora,
que age nele, tem valor algébrico diretamente proporcional à elongação da mola, ou seja:
F = –k · x
onde k é a constante elástica da força e o sinal negativo indica que a força F tem sentido negativo ao do
eixo x.
A esfera do pêndulo oscila entre A e B.
C é a posição de equilíbrio.
O corpo de massa m preso em uma mola oscila
entre + A e – A. O é a posição de equilíbrio.

Física
7
No exemplo citado anteriormente do sistema massa-mola, a força
restauradora aplicada pela mola é do tipo elástica, que pela Lei de
Hooke, é proporcional à elongação x.
Observamos que a força F tem módulo máximo nas posições de
inversão – A e + A e valor zero na posição de equilíbrio O. Assim,
podemos construir o seguinte gráfico:
F
x
+ A
– A
– kA
kA
x = – A → |F| = k ∙ A
x = A → |F| = - k ∙ A
x = 0 → |F| = 0
Exercícios de salaExercícios de sala
1 Um corpo realiza um movimento oscilatório, sob ação de
uma força resultante, cujo valor algébrico varia em função da
abscissa x, conforme o gráﬁco ao lado. Determine:
a) O tipo de movimento realizado pela partícula;
b) A amplitude do movimento;
c) A constante elástica da mola;
1.3 Energia do MHS
Existem três tipos de energia que podem estar envolvidas em um movimento harmônico simples: energia
potencial gravitacional (EPG), energia potencial elástica (EPEL) e energia cinética (EC). A soma dessas
três energias é igual à energia mecânica (EM) do sistema, ou seja:
EM = EC + EPG + EPEL
Quando num sistema não atuarem forças dissipativas (exemplo, o atrito), a energia mecânica se
conserva. No nosso estudo, trabalharemos sempre com sistemas em que a EM é constante durante o
movimento qualquer de um corpo.
Disponívelem:<www.parrswood.manchester.sch.uk>.
Acessoem:12set.2013.
Robert Hooke.
F (N)
x (m)
+ 5
– 5
– 10
10

Física
8
De maneira informal, diz-se que energia potencial gravitacional é a energia que um corpo tem devido
à sua altura em relação a um nível de referência. Na verdade, ela está intimamente ligada à posição, em
relação a um ponto qualquer, de um corpo imerso em um campo gravitacional. Para entender de maneira
mais clara, imagine que o chão da sala é o nível de referência. Qualquer coisa que não esteja no chão terá
energia por estar a certa altura em relação a ele.
Matematicamente, calcula-se a energia potencial gravitacional de um corpo da seguinte forma:
EPG = m∙g∙h
sendo que h é a altura do corpo em relação a um nível de referência, g é a aceleração da gravidade local e,
m é a massa do corpo.
No entanto, em geral, os sistemas que executam MHS são construídos de forma a não haver variação
da energia potencial gravitacional, ou seja, eles são colocados na horizontal. Geralmente esses sistemas são
representados pelo sistema massa-mola, sendo assim, as duas energias mais importantes para o MHS são
a energia potencial elástica (EPEL) e a energia cinética (Ec).
A EPEL, como visto na Mecânica, é dada por:
EPEL = kx2
2
Na posição de equilíbrio (x = 0), podemos verificar que a EPEL é nula e, nos pontos de inversão, onde
ocorre a máxima deformação (x = ± A), a EPEL é máxima. Em suma, temos:
O + A– A
EPEL
= EPEL
= 0
máx
kA2
2
EPEL
=
máx
kA2
2
A equação da EPEL é uma função de segundo grau
em relação a x, logo, um gráfico da EPEL em função da sua
deformação é um arco de parábola, com concavidade voltada
para cima, conforme o gráfico ao lado.
A EC é bastante importante no estudo dos movimentos,
como visto na Mecânica. Por definição, um corpo de massa m
e com uma velocidade v possui uma energia cinética dada por:
EC = mv2
2
Como a energia cinética está relacionada à velocidade de um corpo, observa-se que ela é máxima na
posição de equilíbrio, e zero nos extremos (x = ± A). Daí, temos:
O + A– A
EC
= 0EC
= 0 EC
=
máx
mv2
máx
2
Como dito anteriormente, nas situações mais comuns de corpos se movimentando em MHS, a
energia potencial gravitacional não varia. Sendo assim, a energia mecânica do sistema em um ponto é a
soma da energia potencial elástica e da energia cinética no referido ponto. Assim, temos:
EM = EC + EPEL
EM =
mv2
2
+
kx2
2
0 x
x
A– A
kx2
kA21
2
1
2
EPEL

Física
9
Nos pontos x = ± A, a EC = 0 e a energia mecânica será igual à energia potencial máxima. Logo:
EM = EC + EPEL
EM = 0 +
kA2
2
EM = kA2
2
Com isso, o gráfico da EM em função de x é uma reta paralela ao eixo x (EM constante), como
indicado na figura ao lado.
Para qualquer elongação x, temos que:
EM = EC + EPEL
kA2
2
= EC +
kx2
2
EC = kA2
2
– kx2
2
Portanto, podemos provar o que foi dito anteriormente, que a
EC é máxima no ponto de equilíbrio (x = 0), e que é igual à energia
mecânica, e zero nos extremos (x = ± A). Analisando graficamente a EC
em função da elongação x, verifica-se que trata de um arco de parábola
com concavidade voltada para baixo. Assim, obtemos o gráfico dado
ao lado.
Fazendo um resumo dos gráficos apresentados anteriormente,
teremos:
Podemos observar por esse gráfico ao lado que quando uma
energia é máxima, a outra é nula, demonstrando a conservação da
energia mecânica do sistema.
2 Uma partícula cuja massa é 100 g realiza um MHS presa a uma mola de constante elástica igual a
20 N/m. Quando a elongação da mola é de 10 cm, a velocidade da partícula é 4,0 m/s.
Determine:
a) A energia mecânica da partícula;
b) A amplitude do movimento.
0 Ax
x
– A
EM
kA21
2
0 x
x
A– A
EC
kA2
k (A2
– x2
)1
2
1
2
0
Energia
Ec
EM
EPEL x

Física
10
3 (PUC) Uma partícula de massa 0,5 kg move-
se sob ação de apenas uma força, à qual está
associada uma energia potencial Ep cujo gráfico
em função de x está representado nesta figura.
0
1,0 J
+ 1,0– 1,0 x (m)
Ep (J)
Esse gráfico consiste em uma parábola
passando pela origem. A partícula inicia o
movimento a partir do repouso, em x = -2,0 m.
Pede-se:
a) Sua energia mecânica;
b) A velocidade da partícula ao passar por
x = 0;
c) A energia cinética da partícula ao passar por
x = 1 m.
4 (UFBA) Uma partícula oscila em MHS com
amplitude A = 15 cm. Determine, em cm, a
elongação no instante em que a energia cinética
da partícula iguala-se à energia potencial.
1.4 Equações do MHS
O MHS e o movimento circular uniforme
(MCU) estão estritamente relacionados de modo
que um pode ser estudado através do outro. Para
isso, basta observar o fato que o MHS pode ser
visto como a projeção ortogonal do MCU sobre
qualquer diâmetro da circunferência que constitui
a trajetória da partícula no referencial adotado.
Consideramos que uma partícula esteja
realizando um MCU e que os pontos A1, A2,
A3, A4, A5 e A6 correspondem às posições dessa
partícula em um determinado instante. Agora,
fazendo a projeção desses pontos em seu diâmetro,
encontramos os pontos P1, P2, P3, P4, P5 e P6,
que estão realizando um MHS. Verifica-se que
o período T do MCU é igual ao do MHS, pois,
quando a partícula realiza uma volta completa, sua
projeção também realiza uma oscilação completa e
recomeça o movimento.
P4
P5
P2
P3
P6
P1
A1
A6A5
A4
A2
A3
O x
Seja A1 a posição inicial de uma partícula
(no instante inicial t0) que realiza um MCU,
numa circunferência de raio igual a A, e A2 a
posição final (num instante posterior t). Como
visto no estudo do MCU, aos espaços inicial
e final correspondem ângulos centrais θ0 e θ,
denominados, respectivamente, espaço angular
inicial e final.
x
x
PO
R = A
θ
θ0
A1
A2
A projeção do movimento circular uniforme
se comporta como um movimento harmônico
simples. Isso pode ser utilizada para calcular a
elongação de um objeto em MHS. Através da
Mecânica, sabe-se que:
θ = θ0 + ω∙t

Física
11
onde ω é a velocidade angular (pulsação ou frequência angular) da partícula no MCU, que pode ser
representador por:
ω = 2π
T
ou ω = 2π ∙ f
em que T é o período de rotação da partícula e f a sua frequência.
AsposiçõesdaprojeçãoP,querealizaMHS,sãoencontradasnumeixocomorigemnocentrodacircunferência
O e orientado da esquerda para a direita, como indicado na figura anterior. Pelo triângulo OA2P, temos:
x = OA2 · cos θ
Mas OA2 = R = A é o raio da circunferência, que é igual à amplitude do MHS e θ = θ0 + ω ∙ t. Assim, temos:
x = A∙cos (ω∙t + θ0)
Nessa equação, o termo θ = θ0 + ω ∙ t é denominado fase do MHS, que é expresso em radiano, sendo
variável com o tempo t. Quando t = 0, a fase vale θ = θ0, sendo chamado de fase inicial do MHS, cujo
valor depende da posição inicial do móvel em seu movimento, como indicado nos casos seguintes.
O A– A
t = 0
X
x = A
x decrescente
θ0
= 0
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto A,
ou seja, de máxima elongação, que forma zero grau com o
eixo x, que serve como referencial de estudo.
O A– A
t = 0
X
x = 0
x decrescente
θ0
= π/2
B
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto B,
que forma 90º com o eixo x positivo.
O A– A
t = 0
X
x = – A
x Crescente
θ0
= π
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto
x = – A, ou seja, de máxima deformação, que forma 180º
com o eixo x positivo.
A– A
X
O
C
x = 0
x Crescente
θ0
= 3π/2
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto C,
formando 270º com o eixo x positivo.

Física
12
Enquanto uma partícula qualquer descreve
um MCU, suas projeções oscilam no diâmetro
com um movimento não uniforme, cuja função
horária é cossenoidal com o tempo. A velocidade
do objeto que está sob a ação de um MHS pode
ser calculada da seguinte maneira:
VMHS = VMCU · cos (90º – θ)
VMHS = VMCU · (– sen θ)
VMHS = – VMCU · sen θ
em que V
MCU
= ω∙A e θ = θ0 + ωt. Sendo assim,
observa-se que:
VMHS = - ωA∙sen (ωt + θ0)
Agora, analisando a equação da elongação x e da velocidade V do MHS, poderemos obter algumas
conclusões, tais como:
x = A · cos (ωt + θ0) V = – ωA · sen (ωt + θ0)
• x = 0 (posição de equilíbrio)
cos (ωt + θ0) = 0 e como sen2θ + cos2θ = 1, onde θ = ωt + θ0, dai temos:
sen (ωt + θ0) = ± 1
v= ± ωA
|vmáx| = ωA
• x = ± A (amplitude)
cos (ωt + θ0) = ± 1
sen (ωt + θ0) = 0
v = 0
O valor máximo da velocidade para um corpo que realiza
MHS ocorre quando ele passa pela sua posição de equilíbrio
e, possui velocidade nula, quando o corpo está nas posições de
elongação máxima (x = ± A), já que é nesse instante que ocorre
a inversão do movimento.
Observando, a partir de um referencial inercial, um
objeto só realiza movimento circular se ele estiver sob a ação
de uma força centrípeta. No MHS, a aceleração de um corpo,
em cada instante, pode ser calculada através da projeção da
aceleração centrípeta sofrida por um corpo em MCU. Como
o sentido dessa aceleração é contrário ao sentido positivo de x,
acrescentamos o sinal negativo:
αMHS = – αMCU · cos θ
aMCU = acentrípeta = ω2A
θ = θ0 + ωt
αMHS = – ω2A · cos (ωt + θ0)
A
Vmcu
Vmhs
θ
θ
90º – θ
Além da posição, é possível calcular a velocidade do objeto
em MHS como se fosse a projeção da velocidade linear de um
objeto que esteja em MCU.
A velocidade máxima será v = + ωA quando
o corpo estiver em movimento progressivo
(movimentando no sentido positivo de x) e
v = – ωA, quando seu movimento for retrógrado
(movimentando no sentido negativo de x).
amhs
amcu
θ
θ
A aceleração de um objeto em MHS pode ser
calculada como se fosse a projeção da aceleração
centrípeta de um objeto que esteja em MCU.
Os módulos da
aceleração e da elongação são
diretamente proporcionais.

Física
13
De acordo com as expressões anteriores encontradas, verificamos que são nos extremos (elongações
máximas, ou seja, x = ± A) que ocorrem as maiores variações de velocidade. Em outras palavras, nos
extremos da trajetória, sua aceleração é máxima e o seu valor é dado por:
|amáx| = ω2A
Também, podemos verificar que a aceleração é nula na posição de equilíbrio, já que x = 0.
A seguir, apresentamos um esquema resumindo alguns conceitos e conclusões até aqui abordados,
para que sirva de fácil memorização e aprendizado.
m
– A + A0
v = 0
ECinética = 0
EPmáxima = Em =
amáxima = ω2A
kA2
2
mvmáx
2
2
vmáxima = ± ωA
EPotencial = 0
ECmáxima = Em =
a = 0
kA2
2
v = 0
ECinética = 0
EPmáxima = Em =
amáxima = – ω2A
Consideramos uma partícula em MHS que se desloca entre as posições – 10 cm e + 10 cm de sua
trajetória, gastando 10 s para ir de uma à outra. Vamos determinar algumas grandezas físicas, como
amplitude, período e pulsação.
Para encontrar a amplitude do movimento, deve-se considerar a distância da posição de equilíbrio até
os extremos da trajetória, logo a amplitude é A = 10 cm.
Sabendo que o período T é o tempo gasto para realizar uma oscilação completa e, portanto, deve
ser o tempo gasto para ir de uma extremidade à outra (tempo de ida) mais o tempo de retorno à sua
extremidade inicial (tempo de volta). Assim, o período é de T = 20 s.
Sabendo que a frequência é o inverso do período, logo, a frequência é dada por:
f = 1
T
→ f = 1
20
Hz
A pulsação ω é dada por:
ω = 2π · f → ω = 2π ·
1
20
→ ω = π
10
rad/s
Agora, consideremos um corpo que executa um MHS de amplitude 4 m, pulsação 4π rad/s e fase
inicial π rad. Vamos determinar as equações horárias da elongação, velocidade e aceleração desse corpo.
A equação horária da elongação pode ser obtida diretamente, já que todas as grandezas físicas
necessárias foram dadas pelo exercício, logo:
x = A · cos (ωt + θ0) → x = 4 · cos (4πt + π)
A equação horária da velocidade obedece à forma:
V = – ωA · sen (ωt + θ0) → V = – 4π · 4 · sen (4πt + π) → V = – 16π · sen (4πt + π)

Física
14
A equação horária da aceleração é dada por:
α = – ω2A · cos (ωt + θ0) → α = – (4π)2 · 4 · cos (4πt + π) →
α = – 16π2 · 4 · cos (4πt + π) → α = – 64π2 · cos (4πt + π)
Agora, vamos encontrar os módulos da velocidade e aceleração máxima do móvel.
Vmáxima = ωA → Vmáxima = 4π · 4 → Vmáxima = 16π m/s
amáxima = ω2 · A → amáxima = (4π)2 · 4 → amáxima = 64π2 m/s2
5 A pulsação de um MHS é π rad/s, a fase inicial é
3π
2
rad e a amplitude é 1 m.
a) Qual o período e a frequência desse MHS?
b) Escreva as equações horárias da elongação, da velocidade escalar e da aceleração escalar para esse
movimento.
c) Determine o máximo valor assumido pela velocidade escalar e pela aceleração escalar nesse MHS.
6 A equação horária da elongação de um móvel em MHS, em unidades do Sistema Internacional, é:
x = 5 ∙ cos πt +
π
4
a) Determine a amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento.
b) Escreva as equações horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar desse MHS.
c) Determine a velocidade escalar máxima e a aceleração escalar máxima nesse MHS.

Física
15
1.5 Gráficos do MHS
Agora, vamos analisar os gráficos do MHS, considerando, inicialmente, a fase inicial θ0 = 0. As equações
horárias do MHS ficam:
x = A · cos (ωt)
v = – ωA ∙ sen (ωt)
α = – ω2A ∙ cos (ωt)
Em seguida, vamos substituir a pulsação que multiplica o tempo por ω = 2π
T
, para que os cálculos
sejam facilitados, e substituir o tempo t por frações do período T. Logo, teremos:
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
x A 0 - A 0 A
v 0 - ωA 0 ωA 0
α - ω2A 0 ω2A 0 - ω2A
A partir do quadro construído, obtemos os seguintes gráficos:
0
0
0
+ A
x
– A
x = A · cos ωt
T/4
T/4
T/4
T/2
T/2
3T/4
3T/4
T
T
T
t
t
t
θo
= 0
+ ω · A
+ ω2
· A
– ω2
· A
– ω · A
v = – ω · A · sen ωtv
α = – ω2
· A · cos ωt
3T/4
T/2
α
7 É dada a equação horária da elongação x = 5 cos
π
4
t +
π
2
, com unidades no Sistema Internacional,
para o MHS realizado por um móvel. Construa os gráﬁcos horários da elongação, da velocidade escalar
e da aceleração escalar em função do tempo.

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