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RESUMOROCHA, Frédson V. C. O uso do software geogebra como instrumento devisualização das funções trigonométricas seno e c...
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algumas ações governamentais que possam dar suporte ao uso das Tecnologias deInformação, conforme elucida o autor:     Mes...
Considerando as Tecnologias como uma tendência atual do ensino damatemática, podemos enfatizar o uso de softwares educacio...
Valente (1997) destaca que o professor, em consonância com uma propostapedagógica construtivista sócio-interacionista, dev...
muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria paraescrever um programa semelhante em linguagem ...
4 – METODOLOGIA     A pesquisa é considerada por Minayo (apud SILVA e MENEZES, 2001, P.19)como:                           ...
Durante a pesquisa foram realizadas atividades com o intuito de verificar deque forma uma aula de Trigonometria poderia se...
questões na primeira avaliação, pôde-se constatar os seguintes resultadosmostrados nas tabelas de frequência seguintes:   ...
Fig. 01 – Frequência absoluta e relativa das notas.     Quando da elaboração do questionário, alguns conceitos de avaliaçã...
Tab. 02 – Relação entre o número da questão e habilidade exigida.                                     Número das questões ...
De acordo com a tabela acima, pode-se perceber uma grande deficiência dosalunos no que se refere à assimilação dos conceit...
Fig. 02 – Frequência relativa de aprovados e reprovados.      A tabela e o gráfico acima mostram que, se considerarmos uma...
resultados anteriores fossem divulgados. A seguir, apresentaremos os dadostabulados e em forma de gráficos para que facili...
mostrando um crescimento de 166,7%. Vale salientar que a quantidade de alunosque obtiveram notas de 5,0 a 7,5 permaneceu a...
Tab. 07 – Distribuição de frequência das notas.                                    i         FA       i . FA           FR ...
Portanto, com a inserção do recurso tecnológico, geogebra, obteve-se umcrescimento na aprovação de 25 pontos percentuais. ...
grande mudança por parte dos alunos no que se refere ao interesse pela aula já queinicialmente o que era transmitido de fo...
O uso de softwares não se resume apenas em levar os alunos para olaboratório de informática e entregar, aos alunos, os com...
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBOIERI, CHIAPPINI E FASANO (1996). http:www.ued.uniandes.edu.com.BORBA, Marcelo C. e PENTEADO, M...
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues,São Paulo: Unicamp, 1995.FRÓES,Jorge R. M.Edu...
MORAN, Jose M. A escola do futuro: um novo educador para uma nova escola. In:Anais do Iº congresso Paraense de Instituiçõe...
VALENTE, J. A. (1997) O Uso Inteligente do Computador em Educação. Pátio-Revista Pedagógica. Porto Alegre: Artes Médicas.V...
ANEXOS    Anexo I – Questionário    Questionário composto de 10 (dez) questões, aplicado aos alunos selecionadosno Colégio...
c) Positivo no 1º e 2º quadrantes; d) Negativo no 1º e 3º quadrantes; e) Negativo no 2º e 4º quadrantes;4. Após relacionar...
d) Decrescente nos intervalos                       e                  ; e) Crescente somente no intervalo                ...
Anexo II – Conhecendo o Geogebra     Para melhor compreensão, apresentaremos alguns quadros mostrando avisualização do sof...
Fig. 08 – Visualização das ferramentas do 1º- ícone.Fig. 09 – Visualização das ferramentas do 2º- ícone.                  ...
Fig. 10 – Visualização das ferramentas do 3º- ícone.Fig. 11 – Visualização das ferramentas do 4º- ícone.                  ...
Fig. 12 – Visualização das ferramentas do 5º- ícone.Fig. 13 – Visualização das ferramentas do 6º- ícone.                  ...
Fig. 14 – Visualização das ferramentas do 7º- ícone.Fig. 15 – Visualização das ferramentas do 8º- ícone.                  ...
Fig. 16 – Visualização das ferramentas do 9º- ícone.Fig. 17 – Visualização das ferramentas do 10º- ícone.                 ...
Fig. 18 – Visualização das ferramentas do 11º- ícone.     Construção de projeções utilizando o software     Com efeito, o ...
 O ponto A (1, 0) é a origem de todos os arcos medidos na     circunferência.           Se um arco for medido no sentido...
Assim, basta clicar na origem do plano cartesiano para que se fixe o centro dacircunferência. Assim abrirá a seguinte jane...
       Definição da Função Seno e construção de algumas projeções.     Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonomé...
Fig.22 – Projeção do ponto P no eixo das ordenadas.     Se movimentarmos o ponto P perceberemos que sua projeção tambémmov...
Fig. 23 – Janela de propriedades.     Assim, o segmento que representa geometricamente o               pode aparecer defor...
        Definição da Função Cosseno e construção de algumas projeções.     Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigo...
Na caixa de Entrada, na porção inferior da tela, basta digitar as duas funções,uma de cada vez e com nomenclaturas diferen...
Fig. 27 – Janela de visualização.     Basta alterar a Distância para    e a Unidade para           . Essa janela possibili...
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Monografia Frédson Matemática 2011

  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII SENHOR DO BONFIM - BAHIAFRÉDSON VALOIS COUTINHO DA ROCHAO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO INSTRUMENTO DE VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO. SENHOR DO BONFIM – BA MARÇO DE 2011
  2. 2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO - CAMPUS VIIO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO INSTRUMENTODE VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO. Monografia apresentada no Curso de Licenciatura em Ciências com Habilitação em Matemática da Universidade do Estado da Bahia – UNEB – Departamento de Educação – Campus VII – Senhor do Bonfim – Bahia, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientador: Professor Dr. Ricardo José Rocha Amorim SENHOR DO BONFIM – BA MARÇO DE 2011 1
  3. 3. FRÉDSON VALOIS COUTINHO DA ROCHAO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO INSTRUMENTO DE VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO. Monografia aprovada em 19 de Março de 2011, como requisito parcial paraobtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade do Estado daBahia – UNEB – Departamento de Educação – Campus VII – Senhor do Bonfim –Bahia, pelos professores:OrientadorProfessor Dr. Ricardo José Rocha AmorimAvaliadorIvan Souza CostaAvaliadoraElizete Barbosa SENHOR DO BONFIM – BA MARÇO DE 2011 2
  4. 4. Folhas secas Ah! se viver fosse fácil não teríamos tantas dores eproblemas espalhados em todos os cantos do planeta. A dorvisita a cada uma das pessoas com tarefas que as vezes, aprimeira vista, parecem injustas demais, mas que acabamsendo necessárias para o amadurecimento do ser humano. Problemas são como as folhas de uma árvore imensaque sempre vão cair, de uma maneira ou outra, num ciclosem fim, o que muda é a forma como recolhemos essasfolhas, ou como tratamos os problemas, pois muitas vezesdeixamos as folhas acumularem-se pelo chão, sem darimportância devida para o monte que vai se formando, equando vemos, as folhas já tomaram conta do chão, doscantos, frestas e até dos quintais vizinhos. Junte as folhas diariamente, cate seus problemas eresolva-os, removendo o que não serve mais, separando oque é importante e o que não é. Folhas muito secas podemser queimadas rapidamente, assim como os problemaspequenos, que muitas vezes damos importância demais,aumentando-os sem ao menos pensar em uma solução,paralisados pelo medo. Não espere o Outono chegar e derrubar todas as folhasde uma vez, mantenha seu jardim da vida sempre limpo,cultive flores (otimismo), regue com bom humor, espalhe assementes (caridade) por todos os jardins, e receba daprópria natureza os lucros de sua dedicação: Cheiro de terra molhada, cores e perfumes das flores,frutos que alimentam e paz que preenche o espírito.Problemas são folhas de árvores, você é o jardineiro e Deuso semeador da vida, e a vida pede cuidados diários. 3
  5. 5. AGRADECIMENTOS Em princípio preciso agradecer ao Pai Criador por ter me ensinado a acreditar que tudo é regido e guiado por Ele. Agradecer pelas forças que sempre aparecem quando um momento de fraqueza tenta me fazer desistir. Meu imenso reconhecimento por tudo que minha Mãe Helenice Valois passou para que pudesse me proporcionar toda a Educação que hoje esbanjo e por todo incentivo nos momentos mais difíceis. Agradecer a meu Pai Valter Rocha pelas viagens que fez comigo em busca desta minha formação profissional mesmo em dias em que o cansaço tentava dominá-lo. Sinceros agradecimentos aos meus amigos Unilton Alves e Sandro Lima que muito contribuíram para minha formação acadêmica. E por fim, um muito obrigado especial à minha esposa Sheila Rocha que, com alguma, mas suficiente, paciência soube conduzir a família quando da minha ausência e ao meu filho Christian Rocha por sua compreensão sempre quando dizia-lhe que iria viajar. Um agradecimento generalizado a todos aqueles que, de forma direta ou indireta, contribuíram para meu sucesso. 4
  6. 6. DEDICATÓRIA Dedico esta obra aos meus Pais, pelo apoio e incentivo, á minha família pelapaciência e aos meus amigos Sandro Lima e Unilton Alves por toda colaboração narealização deste trabalho. 5
  7. 7. RESUMOROCHA, Frédson V. C. O uso do software geogebra como instrumento devisualização das funções trigonométricas seno e cosseno. 2011. 57 f.Monografia (Licenciatura em Ciências com Habilitação em Matemática), UNEB,Senhor do Bonfim – BA. Este trabalho mostra uma revisão bibliográfica associada a um estudo de casofeito com alguns alunos do Colégio Suporte de jacobina – Ba, com o intuito deanalisar a utilização dos recursos tecnológicos, em especial, o software geogebra,como instrumento de visualização das funções trigonométricas seno e cosseno.Para fundamentar essa pesquisa, fez-se uma abordagem das principais teoriassobre Educação Matemática e a inserção dos recursos tecnológicos no processo deensino-aprendizagem. Assim, pôde-se elaborar um questionário avaliativo ondealguns dados foram coletados e analisados a fim de entender que as tecnologiasdevem estar presentes em todo o contexto educacional.Palavras-chave: Software: Ensino de Matemática: Informática 6
  8. 8. SUMÁRIOLISTA DE FIGURAS................................................................................... p. 08LISTA DE TABELAS.................................................................................. p. 091 – INTRODUÇÃO...................................................................................... p. 101.1 – Objetivos............................................................................................ p. 151.1.1 – Geral............................................................................................... p. 151.1.2 – Específicos..................................................................................... p. 152 – EDUCAÇÃO MATEMÁTICA................................................................ p. 152.1 – Informática e Educação Matemática.................................................. p. 172.2 – Alguns softwares matemáticos........................................................... p. 213 – O SOFTWARE GEOGEBRA................................................................ p. 224 – METODOLOGIA................................................................................... p. 235 – CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................. p. 245.1 – Coleta, Tabulação e Construção de Gráficos dos Dados Coletados. p. 245.2 – Conclusões......................................................................................... p. 34REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................... p. 36ANEXOS..................................................................................................... p. 40Anexo I – Questionário................................................................................ p. 40Anexo II – Conhecendo o Geogebra........................................................... p. 43 7
  9. 9. LISTA DE FIGURASFigura 01 – Frequência Absoluta e Relativa............................................... p. 26Figura 02 – Frequência de Aprovação........................................................ p. 29Figura 03 – Frequência Absoluta e Relativa............................................... p. 30Figura 04 – Frequência de Aprovação........................................................ p. 32Figura 05 – Comparativo entre as Avaliações............................................ p. 33Figura 06 – Frequência de Acertos............................................................. p. 43Figura 07 – Página Inicial do Geogebra...................................................... p. 43Figura 08 – 1º ícone.................................................................................... p. 44Figura 09 – 2º ícone.................................................................................... p. 44Figura 10 – 3º ícone.................................................................................... p. 45Figura 11 – 4º ícone.................................................................................... p. 45Figura 12 – 5º ícone.................................................................................... p. 46Figura 13 – 6º ícone.................................................................................... p. 46Figura 14 – 7º ícone.................................................................................... p. 47Figura 15 – 8º ícone.................................................................................... p. 47Figura 16 – 9º ícone.................................................................................... p. 48Figura 17 – 10º ícone.................................................................................. p. 48Figura 18 – 11º ícone.................................................................................. p. 49Figura 19 – Ferramentas do 6º ícone.......................................................... p. 50Figura 20 – Raio do Círculo........................................................................ p. 51Figura 21 – Círculo Trigonométrico............................................................. p. 51Figura 22 – Projeção de P em Oy............................................................... p. 53Figura 23 – Janela de Propriedades........................................................... p. 54Figura 24 – Seno......................................................................................... p. 54Figura 25 – Cosseno................................................................................... p. 55Figura 26 – Sobreposição das Funções......................................................p. 56Figura 27 – Janela de Visualização............................................................ p. 57 8
  10. 10. LISTA DE TABELASTabela 01 – Frequência Relativa de Acerto.................................................. p. 25Tabela 02 – Relação Entre a Questão e a Habilidade.................................. p. 27Tabela 03 – Tabela de Acertos..................................................................... p. 27Tabela 04 – Distribuição de Frequência....................................................... p. 28Tabela 05 – Frequência de Aprovação........................................................ p. 30Tabela 06 – Tabela de Acertos..................................................................... p. 31Tabela 07 – Distribuição de Frequência....................................................... p. 32Tabela 08 – Relação das Notas da Primeira e Segunda Avaliação............. p. 33 9
  11. 11. 1 – INTRODUÇÃO Nas ultimas três décadas, o avanço de tecnologias de informática,principalmente microcomputadores e internet, promoveu o aparecimento de formaacelerada de uma grande demanda por automatização de processos e serviços decomunicação em todos os setores da sociedade. Em função disso, na atualidade, aapropriação de conhecimento sobre informática e a incorporação deste tipo detecnologia no ensino e aprendizagem tem sido vista por muitos educadores comoalgo imperativo: A pressão em relação ao uso da informática se faz cada vez mais evidente em todas as áreas e isso não é diferente na Educação. A todo momento os professores sentem que quem não for capaz de usar a informática como instrumental para o Ensino-aprendizagem está fora do mercado de trabalho (COSCARELLI, C. V, 1998, P. 36). Neste sentido algumas das Escolas do Brasil, sejam elas no âmbito público ouprivado, já apresentam um laboratório montado de informática com acesso àinternet, softwares1 educacionais e programas básicos como os editores de textos,editores de imagens e apresentações, planilhas de cálculos e tabelas, entre outros.Várias ações no sentido de estimular e promover a implementação do uso datecnologia informática nas escolas brasileiras tem sido desenvolvidas desde 1981,quando surgiram projetos como: Educom, Formar e Proninfe. (Borba e Penteado,2005, p. 19). Existe ainda alguma resistência de muitos professores quanto ao uso decomputadores em sala de aula, talvez pelo fato de não deter um total conhecimentoà respeito da máquina ou simplesmente para não sair da zona de conforto. Segundo Borba e Penteado (2005, p. 11) Informática e Educação tem sido umtema bastante recorrente nas últimas duas décadas no Brasil sendo possível1 A palavra software engloba “programas, procedimentos, regras e qualquer documentação associada pertinente àoperação de um sistema computacional” (ABNT, 1996, p.2). Segundo o dicionário Aurélio (FERREIRA, 1999),o plural desta palavra pode ser softwares ou software (tal como em inglês.) 10
  12. 12. lembrar dos discursos sobre o perigo que a utilização da informática poderia trazerpara a aprendizagem dos alunos. Para Japiassu (1983), os docentes resistem à inovação porque são submetidosa um processo de formação baseado no chamado conhecimento educacionalcientífico, e é responsável por generalizações que interessam a planejadores decurrículos e supervisores, o que acaba por desarticular tentativas de criaçãopedagógica. Castanho (2000) explica que inovação é uma palavra que se sobressai naliteratura educacional, aparecendo atrelada à perspectiva de soluções para o“marasmo” dos sistemas de ensino. Inovação não significa descoberta neminvenção, mas ação para alterar as coisas pela introdução de algo novo e pode sedar a partir de três dimensões: (a) pela investigação; (b) por meio da solução deproblemas; (c) com base na interação social, sendo a primeira o caminho maisadequado. Aliado à necessidade da inserção ou permanência no mercado de trabalho,aparecem as dificuldades encontradas pelos professores e por alunos, quando háuma exigência maior da abstração dos conceitos e formas, utilização doconhecimento básico e o raciocínio lógico. Diante de tal situação, tem-se observadoum total desinteresse por parte de alguns alunos justamente quando estes nãoconseguem absorver os conceitos ou não enxergam uma associação com arealidade deixando-os sem significados. O emprego das novas tecnologias na educação, algumas vezes, tem sofridopreconceitos. Uma das grandes preocupações é que o uso de computadores podeestá desvinculado ao propósito da Escola. Por outro lado, o computador é vistocomo ferramenta capaz de solucionar vários problemas da educação. Os objetivos de um projeto pedagógico não podem ceder lugar para as técnicas e sua utilização. “A grande tecnologia é o ser humano, a nossa mente. As tecnologias são extensão de nossa mente, do nosso corpo” (Moran,1996). 11
  13. 13. Instalar qualquer software nos computadores e colocar à disposição dos alunosnão significa aprendizado garantido. É necessário que a Escola disponha de umprojeto pedagógico que envolva a utilização dos computadores e dos recursos noprocesso de Ensino-aprendizagem. Muitos programas educacionais se apresentam de forma pronta e acabada oque, muitas vezes, não é interessante para o aluno já que este se torna um merodigitador e em nenhum momento é estimulado a produzir ou construir seuconhecimento a partir do computador. Na verdade, tem-se assistido nos últimos tempos a uma proliferação de produtos lançados no mercado sob o rótulo de software educativo ou educacional. A quantidade é grande, porém a qualidade, em geral, duvidosa (SETTE; AGUIAR; SETTE, 1999, p. 22). Aliado ao problema do uso inadequado dos computadores nas Escolas, aindatemos que encarar as grandes dificuldades encontradas pelos professores no quetange o Ensino da Matemática. As álgebras, geometrias, aritméticas entre outros,fazem com que os alunos, cada vez mais, sintam uma aversão à disciplina que éresponsável por um alto índice de reprovação. No contexto da educação, infelizmente, a matemática é muito mais vista como uma ciência afastada da realidade, de difícil compreensão e, principalmente, causadora de uma percentagem alta de reprovações (D’AMBROSIO, 1986). A Matemática surge como ciência, ao longo da história da humanidade, com oobjetivo de solucionar problemas práticos e teóricos que se apresentam nasvariadas sociedades humanas, melhorando a qualidade de vida do cidadão(BOYER, 1974; EVES, 1995). Uma das grandes dificuldades no ensino da Matemática é o fato dos alunosnão conseguirem abstrair os conceitos matemáticos e, consequentemente, nãoentenderem os processos de formação ou de construção das definições emdeterminados conteúdos. O estudo da Trigonometria nos leva a enfrentar diversos 12
  14. 14. problemas deste tipo principalmente no que diz respeito ás FunçõesTrigonométricas, onde a maioria dos alunos não consegue visualizar a variação dossegmentos que representam as Funções Circulares a partir da variação de um pontona Circunferência Trigonométrica, ponto este que representa a extremidade de umarco qualquer. O Ensino da Matemática sempre teve lugar de destaque dentre os motes maisdiscutidos quando se refere á Educação ou outros temas de relevância social,sobressaindo entre as demais disciplinas, pois tem trazido preocupações aprofessores, aluno, pais e à sociedade, diante do alto índice de reprovação. Nos últimos anos, reformulações curriculares e novas propostas pedagógicas se fazem presentes nos meios escolares, e os responsáveis pelo ensino têm-se mostrado sensíveis a elas. Mas sua aplicação encontra várias dificuldades, além das habituais resistências à mudança. (MICOTTI, 1999) É de total relevância realçar que a Matemática exige que o aluno disponhatanto do conhecimento prévio de alguns fundamentos como também de umraciocínio lógico bastante desenvolvido, para que se tenha um aprendizadosatisfatório. Alguns conteúdos matemáticos bem como suas definições, obrigam o aluno ase desprender do mundo real, concreto e comece a viajar nos campos da abstração.Podemos citar, dentre outros o Estudo da Trigonometria mais especificamente dasFunções Trigonométricas. Para um entendimento mais profundo dos conceitosabordados nessas funções, faz-se necessário que o aluno consiga imaginar asprojeções dos segmentos que determinam cada uma delas, a partir da variação deum ponto, na Circunferência Trigonométrica, que seria a extremidade de um arcoqualquer que está sendo estudado. Estas projeções e variações muitas vezes não são observadas ou imaginadaspela maioria dos alunos, e isto faz com que o conteúdo passe por despercebido sem 13
  15. 15. que haja um aproveitamento plausível da aula e, em alguns casos, os objetivospreviamente traçados, não são alcançados. Segundo Davis (1989),“a abstração é ubíqua. É quase uma característica daprópria inteligência” (p. 143). Sendo assim, precisamos buscar formas dinâmicas deapresentar os conteúdos, impreterivelmente quando estes demandam um esforçomaior e um grau de abstração mais elevado, como é o caso da Trigonometria.Assim, esta pesquisa surgiu com o intuito de estudar uma nova forma de ensinartrigonometria por intermédio de software anteriormente especificado. Para tal, foiescolhido o software Geogebra como instrumento de visualização das FunçõesTrigonométricas. Como motivação, a escolha deste software ocorreu em função de experiênciaadquirida em manuseio deste, durante trabalho de monitoria nas disciplinas Cálculo Ie Álgebra Linear I, realizado na Universidade do Estado da Bahia – UNEB e emoutro curso externo realizado durante minha graduação. Em vista disso, durante adefinição de tema para a minha monografia surgiram as seguintes questões: Seria viável a utilização do software Geogebra, como ferramenta auxiliar noprocesso de ensino-aprendizagem das Funções Circulares? Tal utilização traria resultados satisfatórios no desenvolvimento da abstraçãodos conceitos de tais Funções? De que forma o trabalho do professor poderia ser facilitado com o uso destesoftware? Estes questionamentos levaram a definição dos objetivos deste trabalho, comos quais busca-se uma dinamização das aulas por intermédio de estratégiasbaseadas no uso de tecnologia que permitem uma visualização das formas queconstituem a Trigonometria. 14
  16. 16. 1.1 – Objetivos1.1.1 - Geral Identificar contribuições oferecidas pelo software geogebra no ensino-aprendizagem de matemática.1.1.2 - Específicos I. Entender o conceito de Educação Matemática. II. Identificar o espaço que a informática ocupa dentro da Educação Matemática. III. Compreender a importância dos softwares matemáticos dentro da Informática. IV. Conhecer possibilidades de uso do software geogebra no processo de ensino-aprendizagem das Funções Trigonométricas Seno e Cosseno. 2 – EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Muito se tem discutido sobre Educação Matemática, práticas pedagógicas,tendências atuais do ensino entre outros sub-temas de grande importância. Porém,muitas vezes deixamos de lado todo contexto histórico em que surgem os primeirosconceitos e altercações envoltos ao tema. Buscar fatos históricos que contribuíramsubstancialmente para a formação dos primeiros juízos, muitas vezes, fornece-nossubsídios concretos para uma discussão mais objetiva, conforme salienta o autor: A Matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas educacionais, e tem sido a forma de pensamento mais estável da tradição mediterrânea que perdura até os nossos dias como manifestação cultural que se impôs, incontestada, às demais formas. Enquanto nenhuma religião se universalizou, (...), a matemática se universalizou, deslocando todos os demais modos de quantificar de 15
  17. 17. medir, de ordenar, de inferir e servindo de base, se impondo como o modo de pensamento lógico e racional que passou a identificar a própria espécie. Do Homo sapiens se fez recentemente uma transição para o Homo rationalis. Este último é identificado pela sua capacidade de utilizar matemática, uma mesma matemática para toda humanidade e, desde Platão, esse tem sido o filtro utilizado para selecionar lideranças. (D’AMBROSIO, 1990, p.10) Segundo Igliori (2003, p.70) embora já se identificassem na antiguidadepreocupações com o ensino da matemática, particularmente na República VII, dePlatão, é na Idade Média, no Renascimento e nos primeiros tempos da IdadeModerna que essas preocupações são melhor focalizadas. De especial interessepara o Brasil é o enfoque dado por Luis Antonio Verney ao ensino da matemática noVerdadeiro método de estudar, de 1746. Mas é somente a partir das três grandesrevoluções da modernidade – a Revolução Industrial (1767), a Revolução Americana(1776) e a Revolução Francesa (1789) – que as preocupações com a educaçãomatemática da juventude começam a tomar corpo. Segundo Tinoco (1991, p.69) “A Educação Matemática é o ramo doconhecimento que visa à compreensão dos fenômenos que ocorrem nas ligaçõesentre os três vértices do triângulo (aluno, professor e saber) e as influências queestas ligações sofrem do sistema escolar e da estrutura social em geral”. Embora ainda em processo de construção, poderíamos dizer que EducaçãoMatemática consiste nas relações estabelecidas entre aluno – enquanto sujeito“passivo” do conhecimento, professor – agente ativo – e saber, que seria objeto doconhecimento em questão. Sabemos que em todas as sociedades civis e organizadas, seja no Brasil ouem qualquer outro país do mundo, existe uma interferência do governo na educação.Estas, entretanto, não estão, em sua maioria, sintonizadas com os princípios daEducação Matemática, o que faz com que as práticas pedagógicas se adaptem atais interferências. 16
  18. 18. Kilpatrick apud Fiorentini (1994) lamenta que as pesquisas em EducaçãoMatemática não tenham se debruçado sobre este problema. Na verdade, aspesquisas que investigam a avaliação e as políticas públicas têm sido muito tímidasquanto à análise dos processos de adoção, adaptação ou resistência dosprofessores às avaliações externas. Contudo, algumas Tendências Atuais em Educação Matemática ainda ocupamlugar de destaque entre os motes de discussão como, por exemplo.Etnomatemática, Modelagem Matemática, Matemática crítica, Informática eEducação matemática entre outros. No próximo capítulo, daremos uma atençãoespecial à Informática e Educação Matemática. 2.1 – Informática e Educação Matemática De acordo com Fróes “Os recursos atuais da tecnologia, os novos meiosdigitais: a multimídia, a Internet, a telemática trazem novas formas de ler, deescrever e, portanto, de pensar e agir. O simples uso de um editor de textos mostracomo alguém pode registrar seu pensamento de forma distinta daquela do textomanuscrito ou mesmo datilografado, provocando no indivíduo uma forma diferentede ler e interpretar o que escreve, forma esta que se associa, ora como causa, oracomo consequência, a um pensar diferente.” Borba (2001) vai um pouco além, quando coloca “seres-humanos-com-mídias”dizendo que “os seres humanos são constituídos por técnicas que estendem emodificam o seu raciocínio e, ao mesmo tempo, esses mesmos seres humanosestão constantemente transformando essas técnicas.” (p.46) Segundo Boieri, Chiappini e Fasano, (1996), pesquisadores italianos utilizamem seus trabalhos diversas abordagens suportadas por diferentes hipóteses sobre opapel que a tecnologia desempenha no processo de aprendizagem em Matemática,ou mais geralmente no processo de aprendizagem, na qual a Matemática ocupa umimportante lugar. As pesquisas desenvolvidas tratando do processo de integração 17
  19. 19. das Novas Tecnologias da Informação (nos diferentes níveis de ensino)desenvolvem-se de maneira não linear e não homogênea com respeito àstecnologias utilizadas, aos conceitos matemáticos envolvidos e às estratégias deensino (BOIERI, CHIAPPINI e FASANO, 1996), podendo ser observadas, noentanto, a ênfase em algumas tendências gerais: 1. noções básicas da Ciência da Computação e atividades de programação nocurrículo de Matemática; 2. considerar o computador como um auxiliar, uma ferramenta para oaprendizado de Matemática; 3. uso da tecnologia como meio de difusão de conceitos Matemáticos; 4. formação de professores para a integração de Novas Tecnologias daInformação no currículo de Matemática; 5. aprendizagem em Matemática, Novas Tecnologias no trabalho com pessoasportadoras de necessidades especiais. Segundo Borba (2005, p.19), em nível nacional, uma das primeiras ações nosentido de estimular e promover a implementação do uso de tecnologia informáticanas escolas brasileiras ocorreu em 1981 com a realização do I Seminário Nacionalde Informática Educativa. De acordo ainda com Borba (2005, p.11), Informática e Educação têm sido umtema de debate recorrente nas últimas duas décadas no Brasil e, há um pouco maisde tempo, em outros lugares do mundo. Talvez ainda seja possível lembrar dosdiscursos sobre o perigo que a utilização da informática poderia trazer para aaprendizagem dos alunos. Para este autor Discussões sobre a forma como a tecnologia informática (TI) tem sido utilizada e a implantação desse uso para a organização da sociedade atual têm estado presentes constantemente na literatura. (BORBA, 2005, p.19) Embora essas discussões não estejam em véspera de cessarem, já se temimplantado em várias Escolas Públicas no Brasil um laboratório de Informática e 18
  20. 20. algumas ações governamentais que possam dar suporte ao uso das Tecnologias deInformação, conforme elucida o autor: Mesmo diante de algumas discussões, há quem acredite que o uso daTecnologia de Informação, possa trazer resultados promissores no processo ensinoaprendizagem. Marques (2003, p.173) entende que a sala de aula tem, hoje, novaspossibilidades como “participar de comunidades virtuais e difundir, para um vastopúblico, toda informação que julgar de interesse, num processo transversal,comunitário e recíproco, de negociação de significados e de reconhecimentosmútuos de indivíduos e grupos” Segundo Gravina e Santarosa (1998), a aprendizagem da Matemática dependede ações que caracterizem o “fazer matemática”: experimentar, interpretar,visualizar, induzir, conjecturar, abstrair, generalizar e enfim demonstrar. Quando oaluno coloca-se como sujeito ativo, investigando, explorando, orientado por umprofessor preparado para colocar-se na postura de mediador, a formalização e aconcretização mental de conceitos tratam-se, simplesmente, de uma consequênciado processo. Para Moran (1998), por exemplo, a utilização das tecnologias, em especial aInternet, deve levar a mudanças na forma de ensinar, isto é, deve transformar a salade aula em pesquisa e comunicação. Ele acredita que tal tecnologia facilita amotivação dos alunos não apenas por ser uma novidade, mas especialmente pelaspossibilidades que cria em termos de pesquisa . Nesta linha de raciocínio, Kenski (2002) considera que a motivação dos alunospode aumentar quando o professor constrói um clima de confiança, abertura ecordialidade, o que, em última instância, depende do modo como as tecnologias sãopercebidas e usadas. A internet é um instrumento que pode facilitar a mediação,uma vez que oferece informações abundantes para o processo de conhecimento. 19
  21. 21. Considerando as Tecnologias como uma tendência atual do ensino damatemática, podemos enfatizar o uso de softwares educacionais como partefundamental e de lugar de destaque dentre as tecnologias utilizadas atualmentecomo ferramenta pedagógica. Instalar qualquer software nos computadores e colocar à disposição dos alunosnão significa aprendizado garantido, é necessário que a Escola disponha de umprojeto pedagógico que envolva a utilização dos computadores e dos recursos noprocesso de ensino-aprendizagem. Se, enquanto professores, as mudanças tecnológicas nos causam temor, omelhor a fazer é combatê-lo com conhecimento, competência e senso crítico(MAULINI, 2001). Segundo este autor, a idéia de que as TIC substituiriam oprofessor não corresponde à realidade, uma vez que o professor é, atualmente, maisfundamental do que nunca, orientando a busca por informações e contribuindo paraque as mesmas sejam úteis. Essa visão é corroborada por Valente (1999b) quando destaca que, sem oprofessor preparado para desafiar e desequilibrar o seu aluno, a utilização desoftwares educacionais pode contribuir muito pouco para o processo educacional. Muitos programas educacionais se apresentam de forma pronta e acabada oque, muitas vezes, não é interessante para o aluno já que este se torna um merodigitador e em nenhum momento é estimulado a produzir ou construir seuconhecimento a partir do computador. Segundo Sette (et all) (1999), ao se considerar a tecnologia da informática naeducação, há uma referência implícita ao uso do computador. Sabendo-se que ocomputador é, em sua essência, uma máquina de comportamento variável, ointeresse em sua utilização na área torna-se o de "dirigir" tal comportamento parafins educacionais. O instrumento que vai determinar esse comportamento é osoftware. Percebe-se assim a importância em se garantir um espaço para a reflexãosobre o software voltado para a educação. 20
  22. 22. Valente (1997) destaca que o professor, em consonância com uma propostapedagógica construtivista sócio-interacionista, deve compreender o significado doprocesso de aprendizagem através da construção do conhecimento, ter plenodomínio do conteúdo que está sendo abordado e conhecer as possibilidades dossoftwares utilizados para, então, poder acompanhar o aluno nesse ambiente eintervir adequadamente quando se fizer necessário . 2.2 – Softwares matemáticos relacionados Este sub-tema visa mostrar softwares matemáticos que se destacam devido àsua abrangência como ferramentas auxiliares no processo de ensino-aprendizagemde matemática: Graphequation, Graphmatica, MathGV, Matlab, Cabri Géomètre e oGeogebra. O Graphequation é um software utilizado para a plotagem de gráficos defunções em coordenadas cartesianas e polares. Graphmatica é um software muito poderoso por utilizar um grande número defunções matemáticas, e além disso, dispor de uma interface muito amigável.Podemos utilizá-lo para visualizar gráficos de equações algébricas, sendo quepodemos representá-los através de vários tipos de escalas, incluindo logarítmicas epolares. O MathGV é um traçador de gráficos tridimensionais dirigido a engenheiros,físicos, matemáticos e estudantes. Basta inserir nele uma função do tipo z = f(x,y)para obter uma representação espacial dela. O programa traça gráficos cartesianosbi e tridimensionais, paramétricos e polares. Botões permitem girar o gráfico emtorno de qualquer um dos eixos e ainda ampliá-lo ou reduzi-lo. O MathGV não édifícil de usar, mas uma leitura das instruções contidas no sistema de ajuda éindispensável. O MATLAB é um sistema interativo cujo elemento básico de informação é umamatriz que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de 21
  23. 23. muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria paraescrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. Além disso,as soluções dos problemas são expressas quase exatamente como elas sãoescritas matematicamente. O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras dageometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de umcompasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando aspropriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformaçãopermite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numaferramenta rica de validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outrosaspectos que vão muito além da manipulação dinâmica e imediata das figuras. 3 – O SOFTWARE GEOGEBRA Geogebra é um software de matemática dinâmica para utilizar em ambientede sala de aula, que reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Recebeu muitosprêmios internacionais incluindo o prêmio de software educacional Alemão eEuropeu. O aluno (ou o professor) pode testar suas conjecturas através de exemplos econtra-exemplos que ele pode facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos,retas e círculos podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas(pertinência, paralelismo, etc) previamente estabelecidas, permitindo assim que oaluno (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construçãorepetitivos, concentre-se na associação existente entre os objetos. 22
  24. 24. 4 – METODOLOGIA A pesquisa é considerada por Minayo (apud SILVA e MENEZES, 2001, P.19)como: “atividade básica das ciências na sua indagação e descoberta da realidade. É uma atitude e uma prática teórica de constante busca que define um processo intrinsecamente inacabado e permanente. É uma atividade de aproximação sucessiva da realidade que nunca se esgota, fazendo uma combinação particular entre teoria e dados.” Para se conseguir classificar, identificar as etapas do planejamento da presentepesquisa e apresentar o seu método de investigação fez-se uso do manual deMetodologia e Elaboração de Dissertação do Programa de Pós- Graduação emEngenharia de Produção citado por Soares (2002, p. 14). A presente pesquisa classifica-se como aplicada quanto a sua natureza; poisos conhecimentos foram desenvolvidos com o objetivo de aplicação prática àsolução de um problema específico: o uso do software geogebra como instrumentode visualização das Funções Trigonométricas Seno e Cosseno. Quanto à maneiracomo está sendo abordado o problema, esta pesquisa classifica-se como quali-quantitativa. Quantitativa, pois caracteriza-se pelo emprego de quantificação tantonas modalidades de coleta de informações, quanto no tratamento delas por meio detécnicas estatísticas como percentual, médias aritméticas distribuição de frequênciasentre outras. Qualitativa, pois analisa a interação entre algumas variáveis epossibilita o entendimento das particularidades do comportamento dos indivíduosavaliados. Quanto aos procedimentos técnicos para o desenvolvimento desta pesquisa,foi feita inicialmente uma pesquisa bibliográfica constituída a partir de livros, artigoscientíficos, material disponibilizado na Internet e outros documentos oficiais. A seguirdesenvolveu-se um estudo de caso com alunos selecionados aleatoriamente doColégio Suporte de Jacobina-Ba de maneira que foi permitido obter-se um amplo edetalhado conhecimento do problema abordado. 23
  25. 25. Durante a pesquisa foram realizadas atividades com o intuito de verificar deque forma uma aula de Trigonometria poderia ser enriquecida com o uso dogeogebra e que contribuições este software traz no ensino-aprendizagem desteconteúdo, conforme os objetivos definidos para este trabalho. Assim, foramadotados os seguintes procedimentos: 1 – Foram escolhidos 20 (vinte) alunos de maneira aleatória, com faixa etáriade 14 a 16 anos, do Colégio Suporte na cidade de Jacobina – Ba. 2 – Inicialmente, na data de 04 de maio de 2010, foram lecionados 80 min.(oitenta minutos) de aula expositiva apenas com a utilização dos recursos quadro-branco, marcador para quadro, apagador e livros. 3 – Em seguida, durante um período de 50 min. (cinquenta minutos) foiaplicado um questionário (ver anexos) composto de 10 (dez) questões sendo 08(oito) objetivas e 02 (duas) subjetivas com o intuito de avaliar de forma quantitativa eapós, qualitativa o rendimento na assimilação dos conceitos e propriedades dasFunções Trigonométricas, em especial, Função Seno e Função Cosseno. 4 – Em uma outra data, 25 de maio de 2010, os mesmos alunos selecionadosanteriormente voltaram a assistir mais 80 min. (oitenta minutos) de aula expositiva,abordando o mesmo conteúdo porém, desta vez, com a inserção de novos recursosdidáticos como o computador, o data-show e com a visualização das projeções dealguns conceitos e características relacionados às funções supracitadas produzidose apresentados no software geogebra. 5 – Em seguida, durante o mesmo período de 50min. (cinquenta minutos) oquestionário foi novamente respondido pelos alunos. Após a coleta e a estruturaçãodos dados foram feitos inúmeros estudos e análises para que pudesse arremataresse trabalho. 5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS 5.1 – Coleta, tabulação e construção de gráficos dos dados obtidos. O questionário que foi aplicado aos alunos tinha peso 10,0 (dez pontos)distribuídos igualmente entre as questões que o compõe. Após a correção das 24
  26. 26. questões na primeira avaliação, pôde-se constatar os seguintes resultadosmostrados nas tabelas de frequência seguintes: Tab. 01 – Frequência de acerto dos alunos avaliados. FR FR Qtde. de Pontos FA (fração) (%) 0,0 |---- 2,5 2 2/20 = 1/10 10% 2,5 |---- 5,0 8 8/20 = 2/5 40% 5,0 |---- 7,5 7 7/20 35% 7,5 |---- 10,0 3 3/20 15% Total 20 1 100% Esta tabela mostra a frequência absoluta e a frequência relativa dos acertosdos alunos. Com esta tabela, vê-se, portanto um equilíbrio entre a quantidade deaprovados e reprovados. Segundo Dante (2008, p. 514) tabela de frequência é atabela que mostra a variável e suas realizações (valores) com as frequênciasabsoluta (FA) e relativa (FR). Sendo frequência absoluta o número de vezes que umvalor da variável é citado e frequência relativa, a relação entre a frequência absolutae o total das citações. Com base em uma relativa experiência no ensino destadisciplina adquirida por mim desde 2001, e, considerando também a experiência deoutros professores questionados informalmente durante esta pesquisa sobre estesresultados, verificou-se que os resultados obtidos representam um rendimento típicoquando a trigonometria é ensinada de forma tradicional. Com estes resultadosrepresentados na tabela, obtêm-se o seguinte gráfico (Figura 01): 25
  27. 27. Fig. 01 – Frequência absoluta e relativa das notas. Quando da elaboração do questionário, alguns conceitos de avaliação foramutilizados com o intuito de torná-la um elemento significativo do processo ensino eaprendizagem que pudesse envolver tanto a prática pedagógica do professor quantoo desempenho do aluno e os princípios que norteiam o trabalho escolar conformesalienta o autor: Nessa perspectiva de trabalho, a avaliação é definida a partir de novos princípios, passando a ter como objetivo fundamental fornecer informação sobre o processo de ensino e aprendizagem como um todo. A avaliação informará não apenas ao aluno sobre seu desempenho em Matemática, mas também ao professor, sobre sua prática em sala de aula. A avaliação deve subsidiar o trabalho pedagógico, redirecionando o processo de ensino-aprendizagem, sempre que for necessário. (BONJORNO, 2001, p. 13). Levando em consideração esses conceitos de avaliação, o questionário foielaborado com questões que pudessem exigir do aluno o domínio e entendimentodos conceitos das funções, capacidade de reprodução diante de uma situaçãoproblematizada, interpretação das características principais das funções e domíniodas operações fundamentais da matemática. Veja a tabela abaixo: 26
  28. 28. Tab. 02 – Relação entre o número da questão e habilidade exigida. Número das questões 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Legenda Domínio de Conceitos Propriedades e Características Questões Práticas Para que se possa ilustrar de forma mais nítida as bases desta pesquisa,consideramos os alunos envolvidos enumerados de 01 (um) a 20 (vinte) erelacionamos cada um deles com as questões acertadas, lembrando que asquestões 09 (nove) e 10 (dez) foram questões subjetivas e tiveram critérios decorreção diferente do restante, podendo estas, terem seus pontos fracionados casoseja necessário. Veja:Tab. 03 – Tabela de acertos de cada aluno. NÚMERO DO ALUNO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 01 02 03 04 05QUESTÕES 06 07 08 09 10 LEGENDA: - QUESTÃO COMPLETA - MEIA QUESTÃO 27
  29. 29. De acordo com a tabela acima, pode-se perceber uma grande deficiência dosalunos no que se refere à assimilação dos conceitos, visto que 15 (quinze) alunos, oque corresponde a 75% (setenta e cinco porcento) dos avaliados não conseguiramêxito na resolução da questão 01 que está diretamente relacionada com a definiçãodas funções. É interessante ressaltar que, mesmo tendo as questões 09 e 10, asmesmas características avaliativas no que se refere à aplicação de princípiosfundamentais da matemática, percebe-se que a última apresentou um grau deexigência maior no processo de resolução pelo fato de partir de uma operação comfração. É notório, pois apenas 20% dos alunos não conseguiram êxito na questão 09enquanto que 55% não conseguiram na questão 10. Com base nos dados coletados após esta primeira avaliação, mostraremosabaixo uma tabela de distribuição de frequência das notas, sem intervalos de classe,para que possamos obter a média da turma, para tanto, denominaremos de i, cadauma das classes de pontuação. Segue: Tab. 04 – Distribuição de frequência das notas. i FA i . FA FR 2,0 2 4,0 10% 3,0 2 6,0 10% 3,5 2 7,0 10% 4,0 2 8,0 10% 4,5 2 9,0 10% 5,0 2 10,0 10% PONTUAÇÃO 5,5 1 5,5 5% 6,0 2 12,0 10% 6,5 1 6,5 5% 7,0 1 7,0 5% 7,5 1 7,5 5% 8,0 2 16,0 10% ∑ 20 98,5 100% 28
  30. 30. Fig. 02 – Frequência relativa de aprovados e reprovados. A tabela e o gráfico acima mostram que, se considerarmos uma média deaprovação correspondente a 5,0 (cinco) pontos, obteremos uma aprovação de 50%indicando um resultado típico no ensino tradicional de trigonometria. Tal situaçãopode ser corroborada se obtivermos a média aritmética da pontuação da turma. Como a média aritmética ) corresponde à razão entre o somatório (∑) dosvalores obtidos (x1, x2, x3, ..., xn) e a quantidade (n) deles, ou seja: Assim, temos que a média aritmética da turma foi de pontos. De posse desse resultado passou-se à uma etapa seguinte da pesquisa com ointuito de verificar de que forma a inserção do geogebra pode favorecer o ensino-aprendizagem de trigonometria. Neste sentido Lusvarghi (2003, p. 32) defende que a tecnologia não pode serignorada, sob pena de não se acompanhar o processo civilizatório tendo em vistaque a mesma está presente na contemporaneidade. Após toda a apresentação do mesmo conteúdo lecionado na aula anterior, noentanto, agora, utilizando os recursos visuais como o computador, o data-show e asprojeções elaboradas no geogebra, foi aplicado o mesmo questionário sem que os 29
  31. 31. resultados anteriores fossem divulgados. A seguir, apresentaremos os dadostabulados e em forma de gráficos para que facilite a visualização e interpretação.Observe: Tab. 05 – Frequência de acerto dos alunos avaliados. Qtde. de FR FR FA Pontos (fração) (%) 0,0 |---- 2,5 1 1/20 5% 2,5 |---- 5,0 4 4/20 = 1/5 20% 5,0 |---- 7,5 7 7/20 35% 7,5 |---- 10,0 8 8/20 = 2/5 40% Total 20 1 100% Fig. 03 – Frequência absoluta e relativa das notas. Fazendo uma comparação entre este gráfico e o similar apresentadoanteriormente, pode-se perceber um crescimento considerável na frequência deacertos. Percebe-se que, as porcentagens dos intervalos de classe que representamas notas inferiores a cinco, sofreram um decréscimo de 50% enquanto que afrequência do intervalo que representa as maiores notas subiu de 3 para 8 30
  32. 32. mostrando um crescimento de 166,7%. Vale salientar que a quantidade de alunosque obtiveram notas de 5,0 a 7,5 permaneceu a mesma. A seguir, apresentamos uma nova tabela em que mostra a relação entre aquantidade de acertos com as questões apresentadas por cada aluno avaliado apósa apresentação dos conteúdos através das projeções elaboradas com o geogebra. Tab. 06 – Quadro de acertos de cada aluno. NÚMERO DO ALUNO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 01 02 03 04QUESTÕE 05 S 06 07 08 09 10 LEGENDA: - QUESTÃO COMPLETA - MEIA QUESTÃO De posse de todos esses conceitos acerca da inserção dos recursostecnológicos no processo de ensino-aprendizagem e fazendo a análise da tabelaacima, pode-se perceber um crescimento considerável, por parte dos alunos, no quese refere ao entendimento dos conceitos das funções Seno e Cosseno, visto que onúmero de acertos da questão em que exige uma habilidade maior sobre definiçõessubiu de 5, somente com a aula tradicional, para 13, após as apresentações com ogeogebra, obtendo um crescimento de 160%. A tabela abaixo mostra a variação dapontuação dos alunos após apresentação dos conteúdos com o auxílio do geogebra. 31
  33. 33. Tab. 07 – Distribuição de frequência das notas. i FA i . FA FR 2,0 1 2,0 5% 3,0 1 3,0 5% 3,5 1 3,5 5% 4,0 2 8,0 10% 5,0 1 5,0 5% 5,5 2 11,0 10% PONTUAÇÃO 6,0 2 12,0 10% 7,0 2 14,0 10% 7,5 2 15,0 10% 8,0 3 24,0 15% 8,5 1 8,5 5% 9,0 1 9,0 5% 10,0 1 10,0 5% ∑ 20 125,0 100% Assim, podemos construir o gráfico que representa a frequência relativa deaprovados e reprovados considerando, ainda, a mesma nota 5,0 como média paraaprovação. Vejamos: Fig. 04 – Frequência relativa de aprovados e reprovados. 32
  34. 34. Portanto, com a inserção do recurso tecnológico, geogebra, obteve-se umcrescimento na aprovação de 25 pontos percentuais. Assim, a média aritmética daturma que era de 4,925 pontos passa para 6,25 pontos. Veja a seguir a variação dapontuação de cada aluno antes e após a apresentação dos conteúdos através douso do software geogebra. Tab. 08 – Relação das notas dos alunos avaliados. ALUNOS 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ANTES 8,0 5,0 3,5 5,0 4,0 2,0 3,0 3,0 8,0 6,0 6,0 4,5 5,5 3,5 7,5 6,5 2,0 7,0 4,0 4,5 DEPOIS 7,0 7,5 5,0 7,0 4,0 2,0 3,5 7,5 10,0 6,0 8,0 8,5 6,0 5,5 8,0 8,0 3,0 9,0 4,0 5,5 Fig. 05 – Comparativo entre as notas da primeira e da segunda avaliação. Observa-se um decréscimo apenas para o aluno 01 onde, na primeiraavaliação obteve nota 8,0 e na segunda, nota 7,0. Os alunos 05, 06, 10 e 19 nãoconseguiram melhorar sua pontuação obtendo, cada um, a mesma nota da primeiraavaliação. No mais, o restante dos alunos conseguiu melhorar suas notas, alguns deforma considerável como podemos ressaltar a exemplo o aluno 08 que obteve nota7,5 na segunda avaliação em vez de 3,0 conquistado na primeira. No entanto, esta melhora de rendimento não pode ser atribuída à simplesinserção do recurso geogebra, tendo em vista que estes mesmos alunos tiveramanteriormente uma aula, ainda que na modalidade tradicional, onde ocorreu parte daaprendizagem sobre trigonometria. Com a inserção do geogebra percebeu-se uma 33
  35. 35. grande mudança por parte dos alunos no que se refere ao interesse pela aula já queinicialmente o que era transmitido de forma tradicional passou a ser colocado demaneira mais lúdica e dinâmica. Contudo, a turma apresentou um rendimentoconsiderável quanto a participação na sala de aula e um interesse maior no que dizrespeito à discussão sobre os conceitos e propriedades. O professor, por sua parte, pôde apresentar conteúdos de forma enriquecida oque facilitou bastante suas explicações. Com isso e considerando os resultadosobtidos nessa última etapa, pode-se atribuir parte da melhora do rendimento àinserção do software geogebra. 5.2 – Conclusões. A partir da leitura de todas as literaturas referenciadas e na coleta, tabulação eanálise dos dados desta pesquisa, observamos que sobressalta, apesar de algumascontrovérsias, a idéia de que o uso dos computadores é uma ferramenta pedagógicano processo de ensino aprendizagem. É notório que, há alguns anos, já se vem discutindo a inserção das tecnologias,computadores, softwares, etc. como mais uma opção de metodologia, nem só noensino da matemática como também em todo quadro de Educação. Portanto,considera-se que a Tecnologia e Informação seja uma Tendência Atual para oEnsino da Matemática. De acordo com o que foi discutido sobre a utilização de softwares, podemosconcluir que tal uso facilita a visualização de conceitos, definições e propriedadesdos ramos da matemática como Álgebra, Geometria, Trigonometria etc. Por outrolado, a incorporação deste tipo de tecnologia em sala de aula permite ao professorobter do aluno mais atenção, uma maior motivação, o que influi de forma positiva norendimento da aprendizagem. 34
  36. 36. O uso de softwares não se resume apenas em levar os alunos para olaboratório de informática e entregar, aos alunos, os computadores ligados. Énecessário que se tenha um planejamento prévio, um domínio sobre as ferramentasdo software e um objetivo traçado para aquela aula. Hoje, ler o escrito não basta. Para ler o mundo é também necessário ler asmensagens tecnológicas e sua interferência nas formas de organização de nossasociedade e cultura. (SAMPAIO e LEITE, 2003, p. 55) Para que esta leitura crítica possa ser desenvolvida, Sampaio & Leite (2003)esclarecem que a “escola precisa contar com professores capazes de captar,entender e utilizar na educação as novas linguagens dos meios de comunicaçãoeletrônicos e das tecnologias, que cada vez mais se tornam parte ativa daconstrução das estruturas de pensamento de seus alunos” (p 18). Portanto, trazer para a sala de aula motivos que possam despertar o interessedo aluno, fazendo com que este sinta prazer em ir à Escola, isso sim faz valer aprofissão de Professor e atende aos interesses de todos. Enfim, pode-se concluir que as aulas ministradas com o uso do softwaregeogebra desperta a atenção dos alunos trazendo-os para perto dos conceitos,possibilitando experimentar, visualizar, coordenar de forma mais lúdica asrepresentações gráficas e movimentos das próprias funções trigonométricas seno ecosseno. Assim, deve ser destacada a dinâmica como um problema pode remeter aoutro, bem como a possibilidade de gerar conjecturas e idéias matemáticas a partirda interação entre professores, alunos e tecnologia. A experiência se torna algofundamental, podendo inverter a ordem da exposição oral e teoria, exemplos eexercícios bastante usuais no ensino tradicional, permitindo uma nova ordem:investigação e, então, teorização. 35
  37. 37. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBOIERI, CHIAPPINI E FASANO (1996). http:www.ued.uniandes.edu.com.BORBA, Marcelo C. e PENTEADO, Miriam Godoy - Informática e EducaçãoMatemática - coleção tendências em Educação Matemática - Autêntica, BeloHorizonte - 2001BORBA, M. C., PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Coleção"Tendências em Educação Matemática", 2a. ed., Editora Autêntica, 2005.BOYER, Carl. História da Matemática. Trad. de Elza Gomide. São Paulo: EdgardBlücher Ltda, 1974.BUSATO, Luiz R. O binômio comunicação e educação: coexistência e competição.Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.106, mar.1999.CASTANHO, M. E. L. M. A criatividade na sala de aula universitária. In: VEIGA, I. P.A. et. al.. Pedagogia universitária: a aula em foco. 2. ed. Campinas – SP: Papirus,2000.COSCARELLI, C. V. O uso da informática como instrumento de ensinoaprendizagem. Presença Pedagógica. Belo Horizonte, mar./abr., 1998.DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. 1, 2 e 3. EditoraÁtica, 2007 e 2008.DAVIS, Philip J. A Experiência Matemática. Rio de Janeiro: F. Alves, 1989.D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da Realidade à ação: reflexões sobre Educação eMatemática. São Paulo: Universidade Estadual de Campinas, 1986. 36
  38. 38. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues,São Paulo: Unicamp, 1995.FRÓES,Jorge R. M.Educação e Informática: A Relação Homem/Máquina e aQuestão da Cognição - http://www.proinfo.gov.br/biblioteca/textos/txtie4doc.pdfGRAVINA, Maria Alice; SANTAROSA, Lucila Maria Costi. “A Aprendizagem daMatemática em Ambientes Informatizados”, In: Informática na Educação: Teoria ePrática – vol. 1, n. 1, 1998. Porto Alegre: UFRGS – Curso de Pós-Graduação emInformática na Educação.JAPIASSU, Hilton. Pedagogia da incerteza. Rio de Janeiro: Imago, 1983.KENSKI, V. (2002) “Processos de interação e comunicação no ensino mediado portecnologias”. In: ROSA, Dalva; SOUZA, Vanilton (org.) Didáticas e práticas deensino: interfaces com diferentes saberes e lugares formativos. Rio de Janeiro:DP&A.KILPATRICK, J. (1994). Investigación en Educación Matematica: Su Historia yAlguns Temas de Actualidad. In Kilpatrick, Rico & Gómez. Educación Matematica.México: Grupo Editorial Iberoamerica.MARQUES, Mário. O. A escola no computador. Linguagens rearticuladas, educaçãooutra. Ijuí, RS: Unijuí, 2003.M. Cristina S. A Maranhão e Sônia B. Camargo Igliori extraído do livro Aprendizagemem Matemática: Registro de Representação Semiótica organizado por Silvia DiasAlcântara Machado, 2003.MELLO, José L. Pastore. Matemática: construção e significado. São Paulo,Moderna, 2005. 37
  39. 39. MORAN, Jose M. A escola do futuro: um novo educador para uma nova escola. In:Anais do Iº congresso Paraense de Instituições de Ensino Curitiba: Sindicato dosEstabelecimentos de Ensino do Estado do Paraná, jul, 1996.MORAN, J. M. Mudar a forma de ensinar e de aprender. Disponível na Internet viaWWW. URL: http://www.eca.usp.br/prof/moran/textos.htm.MICOTTI, M. O ensino e as propostas pedagógicas. In: BICUDO, M. Pesquisa emeducação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Ed.UNESP, 1999.SAMPAIO, Marisa; LEITE, Ligia Silva. Alfabetização tecnológica do professor.Petrópolis: Vozes, 2003.PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagens e aplicações/ ManoelPaiva. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002.SETTE, S. S., Aguiar, M. A., Sette, J. S. A. (1999) Formação de Professores emInformática na Educação - Um Caminho para Mudanças. Coleção Informática para aMudança na Educação. MEC/SED/PROINFO.SILVA, E. L. da; MENEZES, E. M. Metodologia da pesquisa e elaboração dedissertação. 3.ª Ed, Florianópolis: Laboratório de Ensino a Distância da UFSC, 2001.SOARES, Laura Tavares. Os custos sociais do ajuste neoliberal na América Latina.2ª ed. São Paulo: Cortez, 2002. (Coleção Questões da Nossa Época; v.78).STAHL, Marimar M. Formação de professores para uso das novas tecnologias decomunicação e informação. In: CANDAU, Vera Maria, org. Magistério : construçãoda cidadania. 2.ed. Petrópolis : Vozes, 1997.TINOCO, L. Quando e como um professor está fazendo Educação Matemática. InBOLEMA-Boletim de Educação Matemática. Rio Claro: UNESP, n.07, p.69, 1991. 38
  40. 40. VALENTE, J. A. (1997) O Uso Inteligente do Computador em Educação. Pátio-Revista Pedagógica. Porto Alegre: Artes Médicas.VALENTE, J. A. (1999b) Análise dos Diferentes Tipos de Softwares Usados naEducação. In: Valente, J. A. (Org.) O Computador na Sociedade do Conhecimento.Campinas, SP: UNICAMP/NIED.http://sites.unisanta.br/teiadosaber/apostila/matematica/O_profissional_em_Educacao_Matematica-Erica2108.pdf 39
  41. 41. ANEXOS Anexo I – Questionário Questionário composto de 10 (dez) questões, aplicado aos alunos selecionadosno Colégio Suporte em Jacobina – Bahia. 1. Analise as seguintes sentenças e assinale a alternativa correta: I) Considere uma circunferência de raio unitário r = 1 de centro no ponto O e sobreposta a um plano cartesiano de modo que o centro de coincida com a origem do plano cartesiano. Seja P um ponto da circunferência, e sua projeção ortogonal no eixo das abscissas no ponto A. Se x é a medida do ângulo , então o é a medida algébrica de . II) Nas mesmas condições anteriores, considerando B a projeção ortogonal de P no eixo das ordenadas, então o é a medida algébrica de . III) As definições das funções seno e cosseno não estão relacionadas à projeção ortogonal de P em relação aos eixos coordenados. a) I e III estão corretas; b) Todas estão corretas; c) I, II e III estão incorretas; d) Apenas I está correta; e) Apenas I e II estão corretas; 2. Quanto ao sinal de pode-se afirmar: a) Positivo no 1º e 4º quadrantes; b) Positivo no 1º e 3º quadrantes; c) Positivo no 1º e 2º quadrantes; d) Negativo no 1º e 3º quadrantes; e) Negativo no 2º e 4º quadrantes; 3. Assinale a alternativa correta no que se refere ao sinal da função cosseno: a) Positivo no 1º e 4º quadrantes; b) Positivo no 1º e 3º quadrantes; 40
  42. 42. c) Positivo no 1º e 2º quadrantes; d) Negativo no 1º e 3º quadrantes; e) Negativo no 2º e 4º quadrantes;4. Após relacionar a primeira coluna com a segunda, assinale a sequência correta: (1) ( A ) –1 (2) (B) (3) (C)0 (4) (D)1 (5) (E)5. Analisando o crescimento da função , pode-se afirmar: a) Crescente no intervalo ; b) Decrescente no intervalo ; c) Crescente nos intervalos e ; d) Decrescente nos intervalos e ; e) Crescente somente no intervalo ;6. Assinale a alternativa correta no que se refere ao crescimento da função cosseno: a) Crescente no intervalo ; b) Decrescente no intervalo ; c) Crescente nos intervalos e ; 41
  43. 43. d) Decrescente nos intervalos e ; e) Crescente somente no intervalo ;7. Assinale a alternativa correspondente ao intervalo que representa a imagem da função . a) [ –1, 0 ] b) [ 0, 1 ] c) [ –2, 2 ] d) [ –1, 1 ] e) Conjunto R8. Considerando a superposição dos gráficos das funções e como mostra a figura abaixo, podemos afirmar que as abscissas dos pontos A, B, C e D são, respectivamente: a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; d) ; ; ; ; e) ; ; ; ;9. Determine os valores reais de p para que se tenha10. Encontre os valores reais de m para que se tenha . 42
  44. 44. Anexo II – Conhecendo o Geogebra Para melhor compreensão, apresentaremos alguns quadros mostrando avisualização do software geogebra e algumas de suas aplicações. Fig. 06 – Visualização da página inicial do software Geogebra. Em geral, compõe-se inicialmente de uma tela em branco composta de umsistema de eixos ortogonais centralizado e uma sequência de ícones de ferramentasdistribuídos de forma horizontal em sua porção superior esquerda, como mostra odetalhe abaixo. Fig. 07 – Visualização detalhada dos ícones de ferramentas. Cada um dos ícones representados pelos quadrados apresenta em seu interioruma figura que sugere a ferramenta utilizada pela última vez da lista que aparecequando acionamos cada um desses ícones, como mostram as figuras abaixo. 43
  45. 45. Fig. 08 – Visualização das ferramentas do 1º- ícone.Fig. 09 – Visualização das ferramentas do 2º- ícone. 44
  46. 46. Fig. 10 – Visualização das ferramentas do 3º- ícone.Fig. 11 – Visualização das ferramentas do 4º- ícone. 45
  47. 47. Fig. 12 – Visualização das ferramentas do 5º- ícone.Fig. 13 – Visualização das ferramentas do 6º- ícone. 46
  48. 48. Fig. 14 – Visualização das ferramentas do 7º- ícone.Fig. 15 – Visualização das ferramentas do 8º- ícone. 47
  49. 49. Fig. 16 – Visualização das ferramentas do 9º- ícone.Fig. 17 – Visualização das ferramentas do 10º- ícone. 48
  50. 50. Fig. 18 – Visualização das ferramentas do 11º- ícone. Construção de projeções utilizando o software Com efeito, o Geogebra é um software aberto onde pode-se abordar qualquertipo de atividade de geometria e/ou álgebra ou qualquer atividade na qual ageometria ou a álgebra podem ser úteis. Esse software não estabelece um caminhode exploração. As explorações são livres e muitas possibilidades de uso aindapodem ser descobertas. Neste desenvolvimento, apresentaremos algumas projeções relacionadas aosconceitos básicos das Funções Trigonométricas em especial função seno e funçãocosseno.  Definição e construção da circunferência trigonométrica. Segundo Paiva (2002, p. 38), consideremos uma circunferência de raio unitário(r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal quejuntamente com as convenções a seguir, constitui a circunferência trigonométricaou ciclo trigonométrico. 49
  51. 51.  O ponto A (1, 0) é a origem de todos os arcos medidos na circunferência.  Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo ( – ).  Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo ( + ).  Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões, chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário a partir do ponto A. Com base na definição acima podemos construir algumas projeções utilizandoo geogebra. Seguiremos os seguintes passos: Explorando o 6º ícone de ferramentas podemos selecionar a opção Círculodados centro e raio. Fig. 19 – Detalhe das ferramentas do 6º ícone 50
  52. 52. Assim, basta clicar na origem do plano cartesiano para que se fixe o centro dacircunferência. Assim abrirá a seguinte janela, solicitando que seja informado o raioda circunferência, nesse caso, r = 1. Veja: Fig. 20 – Janela de para informação do raio do círculo Logo que informado basta clicar no OK e a circunferência de raio r = 1 surgirácom seu centro coincidindo com a origem do plano cartesiano atendendo àsdefinições da circunferência trigonométrica. Observe figura abaixo. Fig. 21 – Círculo de centro A (0, 0) e raio r = 1. 51
  53. 53.  Definição da Função Seno e construção de algumas projeções. Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonométrico correspondente aonúmero real x. Considerando a projeção ortogonal de P no eixo vertical, a ordenadayp do ponto P é o seno do arco de medida x. Logo: A função seno é a função que associa cada número real x aonúmero yp = sen x, ou seja, , define Mello (et al) (2005, p. 264). Baseado na definição, podemos construir algumas projeções que possamcomprovar as características da função seno utilizando as ferramentas do softwaregeogebra. Construiremos a circunferência trigonométrica e marcamos um ponto Ppertencente à circunferência. Basta selecionar a ferramenta Novo ponto no 2º íconede ferramentas e clicar sobre a circunferência trigonométrica. É de fundamental importância salientar que, como o ponto foi inserido nacircunferência, este só poderá se movimentar sobre a linha da mesma. De acordo com a definição, devemos encontrar a ordenada y p do ponto P.Como essa coordenada é a projeção ortogonal de P no eixo vertical, devemos traçaruma reta r perpendicular ao eixo vertical passando pelo ponto P. O ponto deintersecção da reta r com o eixo vertical corresponde à ordenada yp. Para tanto,selecionaremos a ferramenta Reta Perpendicular no 4º ícone de ferramentas.Precisamos informar o ponto em que a reta r passará e a reta em que esta deveráser perpendicular logo, basta clicar no ponto P, no eixo vertical e em seguida, no 2ºícone selecionar a ferramenta Intersecção de Dois Objetos e clicar na reta r e noeixo vertical assim, aparecerá o ponto correspondente à ordenada y p. Veja: 52
  54. 54. Fig.22 – Projeção do ponto P no eixo das ordenadas. Se movimentarmos o ponto P perceberemos que sua projeção tambémmovimentará sobre o eixo vertical. Para melhor visualização, podemos traçar um segmento em destaque querepresenta geometricamente o , clicando na ferramenta Segmento DefinidoPor Dois Pontos no 3º ícone de ferramentas e selecionando as extremidades dosegmento, nesse caso, os pontos A e y p. Para alterar suas propriedades selecione oitem Editar - Propriedades na barra de ferramentas e aparecerá uma janela comalgumas opções de configuração como mostra a figura abaixo: 53
  55. 55. Fig. 23 – Janela de propriedades. Assim, o segmento que representa geometricamente o pode aparecer deforma mais visível facilitando a interação entre os conceitos e o processo de ensino-aprendizagem. Observe o segmento em destaque abaixo: Fig. 24 – Detalhe do segmento que representa o seno. 54
  56. 56.  Definição da Função Cosseno e construção de algumas projeções. Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonométrico correspondente aonúmero real x. Considerando a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, aabscissa Xp do ponto P é o cosseno do arco de medida x. Logo: A função cosseno é a função que associa cada número real xao número Xp = cos x, ou seja, , define Mello (et al) (2005, p. 266). O processo de construção de projeções da função seno também se aplica nafunção cosseno basta que em vez de buscar a ordenada pertencente ao eixovertical, busque-se a abscissa no eixo horizontal. Veja a figura abaixo: Fig. 25 – Detalhe do segmento que representa o cosseno. Tanto para função seno quanto para a função cosseno, a visualização dessasprojeções pode facilitar o processo de ensino-aprendizagem de algumascaracterísticas dessas funções, por exemplo: domínio, imagem, período,crescimento, sinal, amplitude, etc. e ainda pode-se gerar o gráfico de cada umadelas mostrando-os de forma sobreposta. Veja como: 55
  57. 57. Na caixa de Entrada, na porção inferior da tela, basta digitar as duas funções,uma de cada vez e com nomenclaturas diferentes e pressionar a tecla Enter emseguida, por exemplo: digita-se f(x) = sin(x) e pressiona a tecla Enter depois, g(x) =cos(x) e pressiona Enter. Assim, os dois gráficos aparecerão sobrepostos no mesmoplano cartesiano. Para melhorar o efeito de visualização os gráficos podem assumircores diferentes como já foi explicado anteriormente com os segmentos querepresentam o seno e o cosseno em projeções anteriores. Veja: Fig. 26 – Sobreposição das funções seno e cosseno. Como, para efeito de cálculo, os arcos trigonométricos são medidos emradianos, podemos alterar a unidade do eixo x para radiano. Clicando com o botãodireito do mouse sobre o plano cartesiano e após, Janela de Visualização.Aparecerá a seguinte janela: 56
  58. 58. Fig. 27 – Janela de visualização. Basta alterar a Distância para e a Unidade para . Essa janela possibilitaconfigurações como, por exemplo: malha, em que aparecem as projeções dascoordenadas dos pontos, cor de fundo, cor dos eixos, distância entre as marcaçõesnos eixos, unidade de medida entre outras. A partir da visualização dessa projeção facilita o entendimento de algumascaracterísticas principais das funções em destaque como crescimento, sinal, etc.como mencionado anteriormente. 57

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