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5                                AGRADECIMENTOS           Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado toda a sabedoria ...
6“Enquanto a sociedade feliz não chega, que hajapelo menos fragmentos de futuro em que a alegriaé servida como sacramento,...
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10          Nas definições da matemática pura, o mundo das coisas sensíveis não émuito importante, como também é transform...
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16           Muitas vezes, isso ocorre devido ao professor não estar atento às mudançasno ensino e a falta de leitura sobr...
17de formação e, que essa função é a restrição aos números naturais da funçãoexponencial. De modo geral, podem dizer que a...
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30após, começaram a resolução de mesma que, assim como a primeira, tinha trêsitens.          A curiosidade dessa questão e...
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33          Por outro lado, vimos como uma nova maneira, diferente para os demaisprofessores, pode ser tão eficaz. E sem f...
34REFERÊNCIASALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática e Metodologia dePesquisa. Caderno de Educação Matemáti...
35ANGELIM, B., GOMES FERREIRA, V. G. Abordagem de funções: uma análise delivros didáticos para o ensino médio. In: Anais d...
36GUNTHER, Hartmut – Pesquisa qualitativa versus pesquisa quantitativa: Esta éa questão? Universidade de Brasília – psicol...
37ANEXOS E APÊNDICES
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39                         A Biografia de Zenão             Filho de Teleutágoras, Zenão de Eléia (cerca de 495 a.C. - 430...
40            Tal história de bravura e coragem espalhou-se posteriormente entre oscidadãos de Eléia, que por fim reagindo...
41             Por fim, Zenão conclui que Deus não é nem limitado nem ilimitado, nemmóvel nem imóvel. Visto que o ilimitad...
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503. Seu Antônio abriu uma caderneta de poupança com R$ 20,00 para sua neta,   quando ela completou um ano, e decidiu, par...
51— Tomando como base o TRIZOLAN, complete a tabela abaixo para mostrar comoa quantidade de droga no sangue se comporta na...
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Monografia José Matemática 2011

  1. 1. 1 UNIVESIDADE DO ESTADO DA BAHIA-UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS- VII COLEGIADO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA JOSÉ MARIO MARTINS OLIVEIRASEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO EXPONÊNCIAL Senhor do Bonfim-Bahia Março de 2011
  2. 2. 2 JOSÉ MARIO MARTINS OLIVEIRASEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO EXPONÊNCIAL Monografia apresentada no Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade do Estado da Bahia, em cumprimento às exigências para obtenção do Título de Licenciado em Matemática. Orientador: Profº Ivan Souza Costa Co-orientador: Profº José Aurimar Angelim Senhor do Bonfim/BA Março de 2010
  3. 3. 3 JOSÉ MARIO MARTINS OLIVEIRA SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO EXPONÊNCIALMonografia Aprovada em: / / ___ BANCA EXAMINADORA ______________________________________________________________ Profª Assivânia Lúcia Cavalcante dos Santos ______________________________________________________________ Profº Helder Luis Amorim Barbosa ______________________________________________________________ Profª Mirian Brito de Santana Profº. Ivan Souza Costa Orientador Senhor do Bonfim Março de 2011
  4. 4. 4Dedico este trabalho aos meus pais MárioNascimento e Mariêta Martins, a minha irmã MaríliaMartins e meu irmão Danilo Martins que sãopessoas muito especiais em minha vida.
  5. 5. 5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado toda a sabedoria esaúde. Aos meus pais Mário e Mariêta por ter me dado todo o apoio para que euconseguisse alcançar todos os meus objetivos, e por terem contribuído com tantoamor para o meu crescimento pessoal e emocional, a minha irmã Marília e meuirmão Danilo. Aos meus amigos de faculdade, Wagner, Luis, Sávio, Bruno, Fernanda,Ravena, Aparecida, Claudenilson, Daniel, Ana Regina, Evarista, Isaac, Eliene, atodos os colegas da turma de 2005.1. A qual todos eu agradeço por tudo quefizeram por mim. Agradeço também, a todos os professores em especial ao meu orientadorIvan Souza por ter me ajudado de forma tão dedicada neste e em outros trabalhos e,aos professores Danton, Mirian, Elizete, Geraldo, Wagner, por ter me ensinado deforma tão especial as disciplinas de Física I e II (Ivan), Matemática I e II (Danton),Desenho Geométrico e outras Geometrias (Mirian), Lógica (Elizete), Calculo I e II(Geraldo) e Matemática III (Wagner), a última em especial por ter mim inspirado aotema abordado neste trabalho. Aos colegas e amigos de luta diária, Diego Mendes, Janderson, Albinha,Jacionete, Edinha, Manoel,Joanir Santana e família, Mirelle Neris, Josimara,Jaqueline (Naninha), Fátima Neris, Conceição, a irmã Vera, seu esposo o Pb. JoséCandido, Ev. Kláudio, Lilian Teixeira e seu esposo, Eduardo Araújo, a irmã Jacira etoda a sua família que me acolheram com tanto amor, me tiveram e trataram comoparente sanguíneo e a Amanda Nascimento por terem me proporcionado osmelhores momentos de minha vida longe da minha família.E a todos, em geral, queme ajudaram direta ou indiretamente nessa longa e difícil caminhada.
  6. 6. 6“Enquanto a sociedade feliz não chega, que hajapelo menos fragmentos de futuro em que a alegriaé servida como sacramento, para que as criançasaprendam que o mundo pode ser diferente. Que aescola, ela mesma, seja um fragmento do futuro...” Rubem Alves
  7. 7. 7 RESUMOO presente trabalho tem como tema seqüências geométricas através do conceito de função. Oobjetivo geral parte da necessidade de construir o conceito de Seqüência Geométrica a partir doconceito de função ;os específicos foram verificar se os alunos compreendem o conceito de função,identificar que conhecimento os alunos adquiriram sobre Seqüência Geométrica e compreenderSeqüência Geométricas como Função. A metodologia utilizada foi coleta de dados através dequestionários que visam obter uma definição da prática pedagógica utilizada .Os sujeitos foram 25alunos, de uma turma de 2º Ano do Ensino Médio, de uma Escola Pública da Rede Estadual nomunicípio de Senhor do Bonfim, na Bahia, na faixa etária de 16 a 20 anos, no período de agosto anovembro de 2009, no Colégio Estadual de Senhor do Bonfim.Percebeu-se quão pouco é vista eaprendida as Seqüências e, mais especificamente, as geométricas. E mais, como ela é ensinada deuma forma “convencional” restringido-a apenas ao uso de fórmulas e memorização e a tratá-la comouma simples P.G.Por outro lado, vimos como uma nova maneira, diferente para os demaisprofessores, pode ser tão eficaz. E sem falar, no fato que ao estudarmos acabamos por revisar oumesmo até aprender mais sobre funções.Palavras-chave: Seqüências Geométricas. Função. Conceito. Alunos.
  8. 8. 8 SUMÁRIOINTRODUÇÃO ........................................................................................................ 08CAPITULO I ........................................................................................................... 09CAPÍTULO II .......................................................................................................... 102 - CAMINHOS PERCORRIDOS ............................................................................ 102.1 A História da Seqüência Geométrica e O Conceito de Função ................... 102.2 - A Seqüência Geométrica na Sala de Aula .................................................... 13CAPÍTULO III ………………………………………………………..…………………… 173.1 -Possibilidades Atuais de Ensino/Aprendizagem de Aprendizagem Seqüência Geométrica a partir do Conceito de Função .............................. 173.2 -A Sala de Aula de Matemática e a Teoria das Situações ............................. 21CAPÍTULO IV ........................................................................................................... 234.1 - PESQUISA QUALITATIVA .............................................................................. 23CAPÍTULO V ........................................................................................................... 275.1 - METODOLOGIA ............................................................................................. 275.2- A coleta dos dados ........................................................................................ 275.3 - Os sujeitos ..................................................................................................... 275.4 - O instrumento ................................................................................................ 29CAPÍTULO VI ........................................................................................................... 305. 5 - Análise da Seqüência Didática ................................................................... 30CONSIDERAÇOES FINAIS ..................................................................................... 35A Biografia de Zenão ............................................................................................. 37REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ........................................................................ 41ANEXOS .................................................................................................................. 44 INTRODUÇÃO
  9. 9. 9 O ensino das Seqüências Geométricas no Brasil vem enfrentando muitosproblemas, que vão desde uma abordagem inadequada desse conteúdo até serconsiderada um assunto isolado o que, às vezes, faz com que seja deixada de serensinada ao enquadrá-la de forma equivocada no plano de curso. Nesse trabalho,propomos uma abordagem que é, de fato, proposta pelos PCN’s (ParâmetrosCurriculares Nacionais) (2002). Ela pode trazer elementos e resultados para abordaro conceito de Função para o aprendizado do conceito de Seqüência Geométrica emuma escola pública. Tivemos como objetivo geral construir o conceito de SeqüênciaGeométrica a partir do conceito de função. E, como objetivos específicos, verificar seos alunos compreendem o conceito de função, identificar que conhecimento osalunos adquiriram sobre Seqüência Geométrica e compreender SeqüênciaGeométricas como Função. Inicialmente, apresenta-se no primeiro capítulo, o problema, a justificativa eos objetivos. A seguir, no segundo capítulo, apresentamos a História das SeqüênciasGeométricas e o Conceito de Função, como também a Seqüência Geométrica nasala de aula, exibindo os problemas que existem no seu ensino e discutindo sobreconceito e definição. No terceiro capítulo, temos as Possibilidades Atuais de Ensino eAprendizagem Seqüência Geométrica a partir do Conceito de Função, queapresenta o que utilizamos como referencial teórico. No quarto capítulo encontramos a abordagem utilizada, qualitativa, pararealização da pesquisa como também a metodologia, quem são os sujeitos, o localda realização da pesquisa como também os instrumentos utilizados. No sexto capítulo apresentamos a análise dos dados colhidos com osrecursos utilizados como também com o processo de observação e aplicação dasatividades. E para finalizarmos, a biografia de Zenão, as referencias bibliográficas eos anexos, com as atividades realizadas durante a coleta de dados.CAPÍTULO I
  10. 10. 10 Nas definições da matemática pura, o mundo das coisas sensíveis não émuito importante, como também é transformado e extrapolado por uma ordem deoutro tipo. Verificamos que a definição é a ultima etapa na construção doconhecimento feito pelos matemáticos, eles não partem dela, ela é o ponto dechegada. Entretanto, na sala tradicional os professores esperam que os alunosaprendam a partir dela. No caso das Seqüências Geométricas, identificamos seuensino centrado na definição e memorização de fórmulas. Muitas vezes, isso ocorre devido ao professor não estar atento àsmudanças no ensino e a falta de leitura sobre novos métodos nos quais, procuramsempre a melhoria do aprendizado do aluno, transformando-se com o passar dosanos, em uma maneira retrógrada de se ensinar. Outras vezes, ocorre pelo fato de oprofessor seguir apenas o livro didático e esquecer que sua função é ensinar e nãotransmitir conhecimentos. Percebemos que muitos professores de matemática ao construir oconceito de Seqüências Geométricas atentam para uma abordagem inadequada ede forma isolada. Há livros didáticos que trazem diversas definições de SeqüênciasGeométricas, mas nenhuma que faça o aluno construir seu conhecimento de modoarticulado. Definições essas que às vezes dificultam o aprendizado do aluno portrazer símbolos e notações especiais para descrevê-las. Então, o que fazer parafacilitar a aprendizagem de Seqüências Geométricas a partir do conceito de função? Nisso, acreditamos que este estudo possa contribuir para uma reflexãosobre a aprendizagem de Seqüências Geométricas a partir do conceito de Função,ajudando assim os professores entender que a aprendizagem do ensino dematemática precisa ser desenvolvida de maneira que facilite o entrosamento peloaluno, onde os conteúdos não sejam vistos de maneira isolada. Logo, o objetivo por mim proposto é o de construir o conceito deSeqüências Geométricas a partir do conceito de função. Tracei como objetivosespecíficos: - Verificar se os alunos compreendem o conceito de função; - Identificar que conhecimentos os alunos adquirem sobre SeqüênciasGeométricas; - Compreender Seqüências Geométricas como Função.
  11. 11. 11CAPÍTULO II2 - CAMINHOS PERCORRIDOS2.1 A História da Seqüência Geométrica e O Conceito de Função Sabemos que a Matemática é a mais antiga das ciências e que a suaorigem se esconde nas areias da antiga civilização egípcia. Como Aristótelesexplica: “A matemática nasceu nas vizinhanças do Egito, porque aí era concedidotempo livre à classe sacerdotal.” (BURTON, 1985, p. 32). Todo o conhecimento quetemos hoje sobre a Matemática egípcia baseia-se em vários documentos, entre eleso Papiro de Rhind que é, sem dúvida, o mais precioso documento de quantosexistem relativos aos conhecimentos matemáticos dos egípcios. O papiro de Rhind está escrito em hierático, da direita para a esquerda,tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento. É datado de cerca de 1650 a.C.,embora o texto diga que foi copiado de um manuscrito, de cerca de, 200 anos antese tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind que o comprou por volta de 1850em Luxor, no Egito. É também designado por papiro de Ahmes, o escriba egípcioque o copiou. Encontra-se atualmente no Museu Britânico. Este papiro é composto por 84 problemas triviais e suas resoluções. Entreesses problemas, encontra-se um que cita “sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2.041espigas de trigo, 16.807 hectares” é presumível que o escriba estava tratando deSeqüências Geométricas, onde cada uma das sete casas havia sete gatos, cada umdeles come sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas, cada umadelas havia produzido sete medidas de grão (BOYER, 1996 ). Porém, os estudos sobre seqüências não ficaram apenas no Egito, naGrécia, principalmente com Zenão de Eléia (490--425 a.C.) ela foi desenvolvida sóque, de uma forma científica. Ele escreveu um livro com 40 paradoxos relativos ao contínuo e aoinfinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento damatemática para explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro nãosobreviveu até os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir deoutras fontes. Os paradoxos de Zenão sobre o movimento desconcertarammatemáticos por séculos. No final, eles envolvem a soma de um número infinito de
  12. 12. 12termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de umasérie infinita de números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento daspropriedades de seqüências e séries. Este ensaio destaca as contribuições dealguns daqueles matemáticos que estudaram seqüências e séries. Zenão não foi o único matemático da antiguidade a trabalhar comseqüências. Vários dos matemáticos gregos da antiguidade usaram seu método deexaustão (um argumento seqüencial) para mediar áreas de figuras e regiões.Usando sua técnica refinada de raciocínio chamada de "método", Arquimedes (287--212 a.C.) alcançou vários resultados importantes envolvendo áreas e volumes devárias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários exemplos e tentou explicarcomo somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus vários resultadosestavam que a área sob um arco parabólico é sempre dois terços da base vezes aaltura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso, como daqueles matemáticosque vieram depois e desenvolveram seqüências e séries como Newton e Leibniz,mas foi tão impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstruído pelafalta de precisão e notação eficiente, foi capaz de descobrir muito dos elementos daanálise moderna de seqüências e séries. O próximo contribuinte importante para esta área da matemática foiFibonacci (1170--1240). Ele descobriu uma seqüência de inteiros na qual cadanúmero é igual à soma dos dois antecessores (1,1,2,3,5,8,…), introduzindo-a emtermos de modelagem de uma população reprodutiva de coelhos. Esta seqüênciatem muitas propriedades curiosas e interessantes e continua sendo aplicada emvárias áreas da matemática moderna e ciência. Durante o mesmo período,astrônomos chineses desenvolveram técnicas numéricas para analisar resultadosexperimentais. Durante os séculos 13 e 14, matemáticos chineses usaram a idéia dediferenças finitas para analisar tendências em seus dados. Hoje, métodos como osdeles são usados para entender o comportamento em longo prazo e os limites deseqüências infinitas. Este trabalho inicial na Ásia levou a mais investigação e análisede várias progressões e séries, mas teve pouca influência sobre os matemáticoseuropeus. Após isto, o estudo das seqüências restringiu-se apenas para o estudodas séries e desenvolvimento, através delas, da Matemática avançada, como oCálculo Diferencial, com Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), que tambémfizeram estudos sobre funções.
  13. 13. 13 Na teoria de Newton sobre “fluentes”, termo que ele utilizou paradescrever as suas idéias de funções, estas encontravam-se bastante ligadas ànoção de curva e às “taxas de mudança” de quantidades variando continuamente. Emais ainda, restringiam-se a “imagens geométricas de uma função real” (CARAÇA,1952). Mas foi Leibniz, na década de 1670, quem usou o termo “função”, para sereferir a “certos segmentos de reta cujos comprimentos dependiam de retasrelacionadas a curvas”. Logo depois, o termo foi usado para se referir a quantidadesdependentes ou a expressões. (ITÔ,1987). As primeiras definições do conceito revelam certo encantamento pelaálgebra, onde a função é dada por uma expressão algébrica, conforme disse JeanBernoulli (1667-1748): “Função de uma quantidade variável é uma quantidadecomposta de alguma maneira desta variável e de quantidadesconstantes.”(SIERSPINSKA, 1992, p. 45). Mas a evolução da idéia de função vem muito antes de Newton e Leibniz.Zuff (2001) nos apresenta alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceitode função. Não parecendo haver consenso entre os diversos autores sobre oconceito de função. Os historiadores atribuem a discriminação entre as variáveis dependente eindependente a Descartes, mas parece que os papéis das coordenadas em sua“Geometrie” eram marcadamente simétricos. Já alguns deles, consideram que os babilônios já possuíam um “instinto defuncionalidade”. Pode-se encontrar este “instinto de funcionalidade”, que precedeuma idéia mais geral de função desde cerca 2000 a.C., em seus cálculos comtabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadradas, as quais podem sertomadas como “funções tabuladas”, e que eram destinadas afim prático. De acordo com Boyer (1996), na França há indícios de suas idéiasprimárias de função anteriores a 1361, quando Nicole Oresme descreveugraficamente um corpo movendo-se com aceleração uniforme, porém resumia-seapenas a aspectos qualitativos, sem se utilizar de medidas. Para Yousckevitch (1976), há três fases principais do desenvolvimento danoção de função: 1) A Antiguidade, na qual o estudo de casos de dependência entreduas quantidades ainda não havia isolado as noções de variável e de função; 2) AIdade Média, onde as noções eram expressas sob uma forma geométrica e
  14. 14. 14mecânica, mas em que ainda prevaleciam, em cada caso concreto, as descriçõesverbais ou gráficas; 3) O período Moderno, a partir do século XVII, principalmente,que comporta, a seguir, um melhor detalhadamento. Galileu Galilei (1564-1642) contribuiu para a evolução da idéia de função,ao introduzir o tratamento quantitativo nas suas representações gráficas. Nessaépoca, o aprimoramento dos instrumentos de medida propiciaram a busca deresultados inspirados na experiência e na observação. Já Descartes (1696-1750) utilizou-se de equações em x e y para introduziruma relação de dependência entre quantidades variáveis, de modo a permitir ocálculo de valores de uma delas, a partir dos valores da outra. Portanto, Descartescriou a notação que utilizamos para as grandezas envolvidas no conceito de função.2.2 A Seqüência Geométrica na Sala de Aula A Seqüência Geométrica, assim como todos os outros conteúdos dematemática existentes no Ensino Médio, assume um papel muito importante. E, devido aessa importância, que ela deveria ser tratada de uma maneira diferente. Costuma-seensinar as Seqüências Geométricas no final do ano letivo e, às vezes, esse conteúdonão é apresentado aos alunos por falta de tempo. Já em outros casos, ela é ensinada nomeio do ano como se fosse um assunto isolado e diferente dos demais, até porque comexcessão de Conjuntos, no Primeiro ano do Ensino Médio, todos os conteúdos sãoreferentes a Funções. Mas porque existe essa diferença das Seqüências Geométicas, ouaté a própria Seqüência, com relação aos demais conteúdos? Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN(2002) em matemática propõemque os conceitos devem possuir uma articulação lógica entre diferentes idéias econceitos para garantir maior significação para a aprendizagem, e assim, possibilitar aoaluno o estabelecimento de relações de forma consciente no sentido de tornar maiseficaz a utilização do tempo disponível. Portanto, não podemos tratar as SeqüênciasGeométricas como um mero complemento de conteúdo. Os livros didáticos seguem a organização dos conteúdos proposta noParâmetros Curriculares Nacionais (2002) e essa organização classifica as SeqüênciasGeométricas como um conteúdo que deve ser visto após o conteúdo de funções.
  15. 15. 15 Com relação às seqüências, é preciso garantir uma abordagem conectada à idéia de função, na qual as relações com diferentes funções possam ser analisadas. O estudo da progressão geométrica infinita com razão positiva e menor que 1 oferece talvez a única oportunidade de o aluno estender o conceito de soma para um número infinito de parcelas,ampliando sua compreensão sobre a adição e tendo a oportunidade de se defrontar com as idéias de convergência e de infinito. Essas idéias foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência, especialmente porque permitem explorar regularidades. (BRASIL, 2002, p. 121). Nas escolas, quase sempre é seguido à estrutura apresentada no livrodidático, mas a forma trabalhada nem sempre é a recomendada. Os professores nãotrabalham com conceitos, e sim, com muitas definições. Estas levam o aluno a decoraressas informações apenas para o momento que lhes forem necessários e futuramentevirão a esquecer. Um conceito é uma entidade psíquica abstrata e universal que serve paradesignar uma categoria ou classe de entidades, eventos ou relações. Ele é o elementode uma proposição como uma palavra é o elemento de uma sentença. Conceitos sãoabstratos porque omitem as diferenças entre as coisas em sua extensão, tratando-ascomo se fossem idênticas. Conceitos são universais ao se aplicarem igualmente a todasas coisas em sua extensão. Conceitos são portadores de significado. Um único conceito pode ser expressoem qualquer número de linguagens. O conceito "cão" pode ser expresso como "Hund"em alemão, "dog" em inglês, "perro" em espanhol. O fato de que conceitos são, de umacerta forma, independentes das linguagens torna a tradução possível; palavras em váriaslínguas "querem dizer" o mesmo porque expressam um e o mesmo conceito. Para Cassirer (1923) os conceitos matemáticos surgem, através doestabelecimento intelectual de uma conexão construtiva. Eles são diferentes dosconceitos empíricos, que têm por objetivo serem meramente cópias de certos fatoscaracterísticos de uma realidade. Nas definições da matemática pura, no entanto, o mundo das coisassensíveis não é muito importante, como também é transformado e suplantado poruma ordem de outro tipo. A definição é a última etapa na construção do conhecimento feita pelosmatemáticos, eles não partem dela, ela é o ponto de chegada. Entretanto, na sala deaula tradicional os professores esperam que os alunos aprendam a partir dela. No caso das Seqüências Geométricas, identificamos seu ensino centradona definição e memorização de fórmulas.
  16. 16. 16 Muitas vezes, isso ocorre devido ao professor não estar atento às mudançasno ensino e a falta de leitura sobre novos métodos nos quais, procuram sempre amelhoria do aprendizado do aluno, o que acaba se transformando com o passar dosanos, em uma maneira antiquada de se ensinar. Outras vezes, ocorre pelo fato de oprofessor seguir apenas o livro didático e esquecer que sua função é ensinar e não detransmitir conhecimentos. Os livros didáticos trazem diversas definições diferentes para as SeqüênciasGeométricas, mas nenhuma que faça o aluno construir seu conhecimento de modoarticulado. Definições essas que às vezes dificultam o aprendizado do aluno por trazersímbolos e notações especiais para descrevê-las. Aqui está descrita uma das definições de Seqüências Geométricas maisencontradas nos livros didáticos. Toda seqüência de números reais não-nulos em que oquociente entre cada termo, a partir do segundo, e seu antecessor é uma constante.Essa constante é chamada razão da P.G. E a indicamos por q. (BIANCHINI, 1998, p.187). Pode-se observar claramente que, em nenhum momento foi relacionado oconceito de função. Além disso, usou de termos que identifiquem posteriormente no usode fórmula (o termo “q”) e simplificou por P.G., (abreviatura de Progressões Geométricas)as Seqüências Geométricas. Termo esse que já se tornou popular entre professores ealunos, estes últimos, que às vezes, nem sabe o significado do termo em questão. Em geral, tanto no Ensino Médio quanto nos outros ciclos de ensino, não setrabalha a idéia de conceito. E, muitas vezes, não sabem nem o que significa. Os PCN (2002) propõem que, as Seqüências de forma geral e, maisespecificamente, as Geométricas, admita uma conexão a idéia (conceito) de função. Emais, aproveitar do uso das relações com diferentes funções para a análise da mesma. Aidéia é que, com essa relação das Seqüências Geométricas com Funções, seja possívelassociar às Seqüências Geométricas, seus gráficos obtidos talvez a partir da lei deformação, e relacionar os conceitos de seqüência crescente ou decrescente aoscorrespondentes gráficos, permite ao aluno compreender melhor as idéias envolvidas, aomesmo tempo em que dá a ele a possibilidade de acompanhar o comportamento de umaseqüência sem precisar decorar informações, o que seria ideal para um melhoraprendizado. Portanto, com essa relação podemos compreender Seqüências Geométricascomo uma função que associa a cada número natural o valor dado pela determinada lei
  17. 17. 17de formação e, que essa função é a restrição aos números naturais da funçãoexponencial. De modo geral, podem dizer que as Seqüências Geométricas são FunçõesExponenciais cujo domínio é o conjunto dos números naturais diferente de zero. Diferentemente do gráfico da Função Exponencial com domínio real, o gráfico daSeqüência Geométrica é formado por uma seqüência de pontos pertencentes ao gráficode uma função exponencial. Conforme figura abaixo: Figura 1 – gráfico exponencial real Figura 2 – gráfico exponencial natural Com toda essa relação, seria mais simples, para o aluno, obter um conceito deSeqüência Geométrica. E deixando explícito que, o tratamento diferenciado dado pelosprofessores às Seqüências Geométricas não deve existir. E mais, o fato de ser umacomponente curricular do Primeiro Ano do Ensino Médio, deve ser levado emconsideração, dando o merecido respeito à importância que as Seqüências Geométricaspossuem.
  18. 18. 18CAPÍTULO III3.1 Possibilidades Atuais de Ensino/Aprendizagem de AprendizagemSeqüência Geométrica a partir do Conceito de Função Décadas atrás, o ensino de Matemática era muito mecânico, não deixavaque os educandos pensassem, apenas obedecessem a comandos. Com o passardos anos, foi visto que era necessário que houvesse uma mudança, e atransformação começou com a nova Lei de Diretrizes e Bases (LDB) de 1996 a Lei9394/96, que levou uma nova proposta para o ensino. Mudanças mais claras já podem ser vistas no Ensino Fundamental e noMédio. Essas mudanças ainda são pouco notadas, mas já apresentam resultadossignificativos, pois grupos de professores há muito já fazem pesquisas na área paraajudar a melhorar, sobretudo, com a utilização dos Parâmetros CurricularesNacionais do Ensino Médio (PCNEM) que apresentam propostas que direcionam oeducador a melhor conduzir o seu trabalho. AsDiretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - DCNEM vieram paradirecionar o significado da LDB/96, mostrando que o ensino deve levar o aluno araciocinar e interpretar as mudanças e constantes no mundo em que vivem e queaprendam de maneira interdisciplinar, ou seja, de forma contextualizada, facilitandoo seu entendimento e aprendizagem e, acima de tudo, sabendo para que estãoaprendendo. As DCNEM consideram o Ensino Médio composto por três áreas doconhecimento: ( i ) Ciência da Natureza, Matemáticos e suas Tecnologias; ( ii ) Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; ( iii ) Ciências Humanas e suas Tecnologias. Em especial o Ensino de Matemática deve também ser contextualizado,mostrando as diversas utilizações no cotidiano, nas ciências e em tudo que estiverao nosso redor, fazendo, com isso, com que o aluno tome gosto pela disciplina etorne o seu aprendizado mais prazeroso. Os outros vêem as DCNEM e os PCNEM, como instrumentos que podemajudar a melhorar a educação, mas também observam uma dose elevada de sonho
  19. 19. 19e desejo. Os autores apresentam problemas graves no atual ensino, sobretudo o deMatemática. Enfocam com bastante ênfase as desigualdades sociais existentes emnosso país, que dá oportunidades de apenas uma parte da população ter um ensinomais próximo do ideal. Eles mostram ainda que a falta de contextualização é bastante freqüenteno ensino de Matemática, tornando essa ciência muito abstrata e sem significado,quando se sabe muito do que se ensina em Matemática tem um propósito deutilização. Também observam que o problema não está apenas no ensino daMatemática, que ocorre também no ensino de outras disciplinas, vendo que oproblema está na educação em geral. Lellis e Imenes (2001) nos mostram que toda a culpa do fracassoeducacional está sendo jogada nos vestibulares, pois é para isso que se deveensinar, eles nos mostram que isso não é verdade, pois o vestibular é mutável epode sim ser elaborado para atrair pessoas com uma boa formação. Sendo assim,ficaria claro que não há boa vontade de mudar-se o sistema, enquanto houver aquem culpar. Esses autores nos mostram que o atual ensino de Matemática não estácontribuindo muito para uma boa formação do aluno. Mostram ainda que há apossibilidade de mudança, pois a autonomia é dada à escola, é só ela querer fazer eparar de culpar sempre alguém por isso e passar a utilizar os 11 anos letivos dosalunos para realmente formá-los para uma melhor convivência em sociedade. Também exemplificam situações em que o ensino de Matemática, o certoconteúdo matemático, não é necessário para o nosso educando, e mostram aindaque as nossas leis dão espaço para que haja uma mudança que convirja para isso,ou seja, para que haja a seleção de conteúdos que sejam realmente necessários e,sobretudo, que sejam transmitidos de maneira coerente, levando os educandos asaberem o significado do que estão fazendo ou aprendendo. Os autores mostram uma seleção de idéias sobre os conteúdosmatemáticos mais interessantes para serem ensinados e os que não necessitam deuma abordagem tão significativa, mostram ainda o quanto facilita a aprendizagem noEnsino Médio, se mostrado a ligação que o conteúdo tem com o EnsinoFundamental, seria para eles excursões nas utilizações do conteúdo, facilitandoassim, o entendimento/aprendizado.
  20. 20. 20 É apresentado pelos autores, a importância de ter-se um método deensino mais apropriado para a realidade de seus educandos, levando emconsideração as referências pedagógicas apresentadas pelas DCNEM e os PCNEM,que enfatizam a resolução de problemas e raciocínios lógico para melhordesenvolver a autonomia do aluno e a ética da identidade. Os autores concluíram que é necessário que haja esforços para que aeducação chegue ao nível que eles desejam e consideram melhor, mas não deixamde verificar que para esse novo modelo de ensino ser implantado é necessáriomuitas mudanças, pois os professores não são formados para isso, mas com aajuda de toda a sociedade e de todos que fazem a educação brasileira, isso épossível. O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenomenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções.(BRASIL,2002,p.45). O trabalho investigativo realizado por Angelim e Gomes Ferreira (2002),fez uma abordagem de funções dos livros didáticos utilizado nas escolas de EnsinoMédio, a fim de conhecer mais profundamente a atual forma de ensino de funçãonessas escolas, tendo como objetivo analisar a qualidade dos livros didáticos eparadidáticos que estão sendo utilizados nas escolas do Recife. Pretendeu contribuirpara a qualidade do ensino estabelecendo como uma das prioridades de ação oaprimoramento do livro didático. Os pesquisadores trazem que esta melhoria éfundamental ao processo ensino – aprendizagem, pois o livro didático ainda seapresenta como instrumento básico do trabalho pedagógico desenvolvido peloprofessor, dentro e fora da sala de aula, quando não único. O livro didático não deve apenas repassar informações, mas sim,apresentar atividades e conteúdos que favoreçam a aquisição do conhecimentoatravés da reflexão e resolução de exercícios, visando um desenvolvimento crítico ecriativo por parte dos alunos. A existência de livros que contrariam essa expectativa por conterem errose/ou informações equivocadas apontam para a necessidade de uma avaliaçãoqualitativa do livro didático.Os investigadores remetem a importância de tal pesquisano que se propõe elaborar guias que subsidie a escolha do livro didático pelos
  21. 21. 21professores, estabelecer critérios de avaliação que induzam à melhoria de qualidadeda produção do livro didático. Eles apontam em tal projeto a definição de umafunção bem como a função e suas representações caracterizando cada tipo defunção e os equívocos ocorridos nos livros didáticos. Os pesquisadores se detiveram na sua pesquisa, na análise do livro deKátia e Roku e do de Marcondes, Gentil e Sérgio concluindo que com este trabalhoinvestigativo perceberam que alguns livros não estão de acordo com as propostasfeitas no PCNs, pois não se utilizam de exemplos práticos para definir diferentesfamílias de função, surgindo a partir daí a necessidade de se utilizar mais de um livrona elaboração das aulas de Matemática e a necessidade também da elaboração deatividades para a sala de aula que busquem que os alunos comparem funções emsuas diferentes famílias. Smole, Centurión & Diniz (1989) discutem o ensino de funções, tendo emvista que este é trazido tardiamente nos currículos de Matemática, apenas no finaldo ensino fundamental. O que acontece é que este instrumento tão rico empossibilidades e abordagens é ensinado em poucos momentos nas 7ªs ou 8ªsséries. Mas, o ensino de funções pode ser explorado já nas primeiras séries doensino fundamental como meio de familiarizar o aluno com tal temática. As autoras do artigo trazem o conceito de função que esperam passar aosnossos alunos, sendo ele:“Função é uma lei ou associação entre dois conjuntos quea cada elemento do primeiro conjunto associa um único elemento do outro.”(CENTURIÓN, DINIZ & SMOLE ,1989,p.14) . Tendo em mente que, função é uma espécie de máquina na qual colocamosum dado do primeiro conjunto e ela atua sobre este dado e nos dá uma resposta quedepende dele (que é o segundo conjunto), as atividades em sala de aula podem serorientadas como meio de apropriar esses alunos desses conhecimentos, antes doestudo de funções. Tal sugestão dosautores visa um meio pelo qual o aluno possa construir e interpretar tabelas egráficos. O trabalho com gráficos, nas primeiras séries escolares, se mostra comoum instrumento complementar das atividades de classificação, ordenação evisualização das operações aritméticas simples. As autoras posteriormente trazem atividades que propõem a participação doaluno nos acontecimentos e não apenas expectador, já que a experimentação
  22. 22. 22fornece oportunidades para a descoberta e formulação de leis e propriedades. Sãoexplorados nessas atividades meios que proporcionem o envolvimento do aluno noregistro de suas observações. As autoras também trazem a preocupação de enfocarque os gráficos de barra e coluna devem ser utilizados nas aulas de Matemática,não só para que o aluno entenda este tipo de gráfico, mas como um meio a maispara alcançar o conceito de função. As atividades, dentre outras, também propõem a ordenação de dois eixos, oconceito de função periódica e questionamento sobre o perímetro e área doquadrado, e gráficos como meio de desenvolver o espírito crítico do aluno a partir doraciocínio. Finalmente, concluem trazendo que estas são sugestões que exemplificam oque pode ser feito com crianças ao longo do ensino fundamental, no sentido deencaminhar melhor o ensino de funções, através da representação gráfica.3.1 A Sala de Aula de Matemática e a Teoria das Situações Segundo Almouloud (1997), o objeto central da Teoria das Situações é aSituação Didática. A Situação A - Didática é uma parte essencial da situaçãodidática. É uma situação na qual desaparece a intenção de ensinar, mas éespecífica do saber. Cada conhecimento pode ser caracterizado por uma (das) situação(ões) a- didática(s) que preserva seu sentido e que Brousseau (1986) chama situaçõesfundamentais.Uma situação fundamental é um grupo restringido de situações cujanoção a ensinar é a resposta otimal, situações que permitem introduzir osconhecimentos em sala de aula numa epistemologia propriamente científica. Para Legrand (apud Almouloud, 1997, p. ) a situação será fundamental setiver o poder de modificar o conformismo escolar; favorecer os conflitos deracionalidade; e permite a devolução do projeto saber. A situação fundamental deveser capaz de transmitir ao aluno o projeto saber sob três formas: (1) possibilite aoaprendiz “epistemológico” encarar uma mudança de ponto de vista no conhecimentoestudado; (2) permite ao aprendiz psicológico estudar como ele poderia aceitar atransformação da sua relação ao saber; (3) indica ao aprendiz o tipo de trabalho afazer para transformar em saber as noções estudadas na situação. Uma situação didática se caracteriza pelo jogo das interações do
  23. 23. 23professor com problema que ele propõe ao aluno. O aluno não distingue sempre, nasituação o que é a – didática e o que é de origem didática, isto é, aquilo que oprofessor quer ensinar e o que não quer. O processo de ensino-aprendizagemapóia-se na noção devolução1 que é definida por Brousseau (1986) como o ato peloqual o professor faz o aluno aceitar a responsabilidade de uma situação deaprendizagem (a-didática) ou de um problema e aceita as conseqüências dessatransferência. São quatro fases diferentes pelo qual a Teoria das Situações analisa oprocesso de aprendizagem, são eles: ação, formulação, validação einstitucionalização. Brousseau (1986) modeliza as situações a-didáticas em termosde jogo e a situação é caracterizada pelas variáveis. As variáveis didáticas são aquelas para as quais as escolhas diferentesprovocam modificações ao nível das estratégias ótimas. A determinação dessasvariáveis e o valor do salto informacional a efetuar serão pontos importantes para aconstrução das situações. A Teoria das Situações desenvolveu-se a partir desituações caracterizadas por três tipos de interações fundamentais, tais como: trocasdiretas para uma ação ou uma tomada de decisão, trocas de informações numalinguagem codificada, trocas dos argumentos. A dialética da ação consiste em colocar o aprendiz numa situaçãochamada ação. A de formulação tem como objetivo a troca de informações. A davalidação, por sua vez, é a etapa na qual o aprendiz deve mostrar porque o modeloque criou é válido, tem como objetivo principal o debate sobre a certeza dasasserções e as interações com o meio são organizados em conseqüência. Por fim, a dialética da institucionalização, se feita muito cedo, interrompea construção do sentido, impede uma aprendizagem adequada, leva bastantesdificuldades para o professor e os alunos. Se adiantada, ela reforça interpretaçõesinexatas, atrasa a aprendizagem e incomoda as aplicações e, ela está negociadanuma dialética.Após a institucionalização feita pelo professor, o saber torna-se comosaber o saber oficial que os alunos devem reter e podem utilizar na resolução deproblemas matemáticos.CAPÍTULO IV1 A devolução era um ato através do qual o rei - por direito divino - abandonava seu poder para remetê-lo a umacâmara. A "devolução" significa: "já não se trata de minha vontade, mas do que vocês devem querer, porém, eulhes confiro este direito porque vocês não podem reivindicá-lo por si mesmos" (Brousseau, 1996).
  24. 24. 24M ETODOLOGIA4.1 - PESQUISA QUALITATIVA Este estudo tem uma abordagem qualitativa. A abordagem qualitativa tem se tornado fundamental no desenvolvimentosistemático de estudos diversos, especialmente em Educação Matemática. SegundoGunther (2006) o que une os mais diversos métodos e técnicas de pesquisaincluídos nas três grandes famílias de abordagens (analítica, quantitativa ouqualitativa) é o fato de todos partirem de perguntas essencialmente qualitativas.Entretanto, esta abordagem qualitativa não está sendo definida por si só, mas emcontraponto à pesquisa quantitativa. Um técnica qualitativa é aquela em que o investigador sempre faz alegações de conhecimento com base principalmente ou em perspectivas construtivistas (ou seja, significados múltiplos das experiências individuais, significados social e historicamente construídos, com o objetivo de desenvolver uma teoria ou um padrão) ou em perspectivas reivindicatórias/ participatórias (ou seja, políticas orientadoras para a questão; u colaborativas, orientadas para mudanças) ou em ambas. Ela também usa estratégias de investigação como narrativas, fenomenologias, etnografias, estudos baseados em teoria ou estudo de teoria embasado na realidade. O pesquisador coleta dados emergentes abertos com o objetivo principal de desenvolver temas a parir dos dados. (CRESWELL, 2007, p. 35) Segundo Minayo (2004), a abordagem qualitativa solidifica no campo dasubjetividade e do simbolismo, de forma que a compreensão das relações humanase seus significados são dados através das observações e experimentações. A abordagem qualitativa realiza uma aproximação fundamental e de intimidade entre o sujeito e objeto, uma vez que ambos são da mesma natureza: ela se envolve com empatia aos motivos, às intenções, aos projetos dos atores, a partir dos quais as ações, as estruturas e as relações tornam-se significativas. (MINAYO, 2004, P. 02) Para Garnica apud Borba (2004), pesquisa qualitativa deve apresentaralgumas características fundamentais que a qualifique como tal: (a)a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultados, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e
  25. 25. 25 também os meios de obtê-las podem ser (re)configuradas; e (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentações em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (BORBA, 2004, P.2) Araújo e Borba apud Borba (2004) ressalvam que pesquisa qualitativadeve ter por trás uma visão de conhecimento vinculada a diversos procedimentos,tais como entrevistas, análise de vídeos, etc. e interpretações. A pesquisa qualitativaprioriza procedimentos descritivos. Borba (2004) afirma ser através dos procedimentos conhecidos comoqualitativos, a maneira de se compreender que o conhecimento não é ausente devalores, de intenção e da história de vida do pesquisador, e tudo depende docontexto sócio-político então existente.Dessa forma o autor apresenta uma crítica às pesquisas quantitativas inclusiverelacionadas à educação: As políticas públicas em educação se pautem por pesquisas quantitativas baseadas em testes, muitas vezes com seus resultados sendo pouco interpretados... Já se pode notar críticas à pesquisa qualitativa, com tons que insinuam que estudos abrangentes (de cunho quantitativo) poderiam torna-se o caminho a ser seguido... Independente do caminho que a comunidade, em que todo movimento de pesquisa qualitativa vê exatamente como uma crítica às pesquisas empiricistas, quantitativas com resultados gerais, com “poder de previsão” para políticas públicas. (BORBA, 2004, p.14)4.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A realização de um trabalho de pesquisa de modo geral, e inclusive naárea de educação, especialmente matemática, requer um embasamento teórico.Para que a pesquisa tenha fundamento, e possivelmente se alcance o resultadoesperado, diversos procedimentos devem ser tomados, tais como literaturas delivros, artigos, teses, definições dos objetivos propostos, pesquisa de campo, senecessário, e escolha do método a se adotar. Segundo Barros (1990) é necessárioque se defina a priori o procedimentoda investigação. Todo instrumento tem a natureza de estratégia ou tática para a ação e a habilidade em pesquisar, ou seja, definir qual a melhor maneira, proporcionando o desenvolvimento da investigação cientifica. Dá-se, assim, uma articulação entre os instrumentos e as técnicas durante todo o processo de estudo. (BARROS, 1990, p. 70) Assim as estratégias de investigação fornecem uma direção especificapara os procedimentos da pesquisa. (CRESWELL, 2007). Optou-se por realizar uma
  26. 26. 26pesquisa social de caráter qualitativo e quantitativo sustentada numa abordagemteórica. A análise de abordagem quantitativa serviu de referencial para a realizaçãodo objeto de trabalho qe engloba em sua maior parte uma análise qualitativa. Dessa forma, a pesquisa compreendeu as seguintes etapas: Leitura dediversos livros relacionados à educação matemática, PCN’s, pesquisas de artigosem sites científicos, escolha da problemática, escolha da clientela a ser investigada,observação da escola, entrevistas com alunos e análise de dados.4.2.1 A coleta dos dados Os dados foram coletados através de questionários que visam obter umadefinição da prática pedagógica utilizada para o processo de ensino-aprendizagemda matemática fazendo referencia aos conteúdos já estudados/trabalhados em salade aula para melhor aproveitamento da disciplina por parte destes mesmos alunos.Para operacionalizarmos os objetivos propostos, trabalhamos com 25 alunos, deuma turma de 2º Ano do Ensino Médio, de uma Escola Pública da Rede Estadual nomunicípio de Senhor do Bonfim, na Bahia, na faixa etária de 16 a 20 anos, noperíodo de agosto a novembro de 2009, no Colégio Estadual de Senhor do Bonfim.Utilizamos uma Seqüência Didática como metodologia de ensino e pesquisa. A Seqüência Didática foi planejada para ser desenvolvida em trêsmomentos: 1. Pré-teste; 2. Desenvolvimento das aulas e 3. Pós-teste. O Pré-teste foi feito individualmente, contendo 6 questões, com o objetivode identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o conceito de Função eSeqüências Geométricas. Além disso, pudemos aproveitar sua análise para planejaro desenvolvimento das aulas. A seguir, passamos a desenvolver as aulas planejadas com o objetivo depromover a aprendizagem das Sequencias Geométricas a partir do conceito deFunção.Concluída a etapa anterior, passamos à aplicação do Pós-teste. Nestemomento, utilizamos as mesmas questões do pré-teste, para identificarmos o nívelde rendimento e de absorção do conteúdo trabalho durante as aulas.
  27. 27. 274.2.2 Os sujeitos Fizeram parte da minha pesquisa, 25 alunos da 2ª série do Ensino Médiodo turno matutino, tendo a faixa etária variante de 16 a 20 anos, alguns repetentes.Participaram desta pesquisa, 25 (vinte e cinco) alunos, sendo que não houveseleção para participação, todos quanto desejava tiveram a oportunidade deacompanhar e realizar o trabalho. A escolha desta turma se deu a partir de uma análise da grade curricularda série em questão, pois os conteúdos essenciais para realização e comprovaçãoda pesquisa, já foram trabalhados, facilitando o processo de entendimento edesenvolvimento das atividades.Como a pesquisa em questão é de caráter estritamente acadêmico, e que podemser divulgadas futuramente em trabalhos oportunos, as informações obtidas duranteeste estudo, serão utilizadas neste trabalho e em nenhum momento serámencionado o nome dos participantes envolvidos neste estudo.4.2.3 O instrumento O instrumento utilizado para esta pesquisa foi a coleta de dados através dequestionários aplicados diretamente aos alunos.Os mesmos foram produzidos através de observações em sala de aula dasnecessidades apresentadas pelos alunos ao falarem de sequência geométrica (PG),pois os mesmos não acreditavam a aproximação deste conteúdo com nenhum outro.CAPÍTULO V
  28. 28. 285 Análise da Seqüência Didática O Pré-teste foi realizado na Escola Estadual de Senhor do Bonfim (CESB),numa turma de segundo ano no período da tarde no mês de Agosto. O tempo dadoaos alunos para a resolução foi de 90 minutos. Estavam presentes 25 alunos. O pré-teste era composto por 6 questões: a primeira e segunda questõesabordavam uma situação-problema relacionada com a variação de grandezas queexposta por tabelas em ambas as questões – o objetivo era verificar se os alunossabiam se essas variações de grandezas tratavam-se ou não, de funções. A terceiraabordava o termo geral de uma seqüência geométrica; a quarta pedia queencontrasse a razão; a quinta tratava-se da soma dos termos da seqüênciageométrica; a sexta era uma questão dividida em 7 itens, que abordava umproblema onde trabalhava com variação de grandezas de forma exponencial – ointuito desta questão era promover uma relação entre função exponencial eseqüências geométricas. Assim como, a sétima e oitava questões trabalhavam coma função exponencial, sendo que, em ambas, traziam o uso de porcentagem. A tabela abaixo, mostra o rendimento referente aos 18 alunos queparticiparam de todo o trabalho, o restante, por motivos desconhecidos, não vierammais para as aulas. Quadro avaliativa das questões Questão Acertos Acertos Erros Branco Totais Parciais 1ª 4 (22,24%) 1 (5,56%) 3 (16,67%) 10 (55,5%) 2ª 2 (11,11%) 1 (5,56%) 3 (16,67%) 12 (63%) 3ª 13 (72,28%) 1 (5,56%) 3 (16,67%) 1 (5,56%) 4ª 1 (5,56%) ----- 9 ( 50%) 8 (44,44%) 5ª 3 (16,67%) ----- 5 (27,8%) 10 (55,6%) 6ª ----- 5 (27,8%) 2 (11,11%) 11 (61,16%) A primeira e segunda questões eram bem simples a respeito de funções.Os alunos não a fizeram satisfatoriamente, porque não leram com atenção etambém, os que fizeram, não justificaram corretamente. A terceira, quarta, quinta questões tratavam de questões sobreseqüências geométricas. A terceira questão teve um alto índice de acertos.Entretanto, a quarta e quinta questões tiveram baixíssimos índices de acertos.
  29. 29. 29 A sexta questão era a mais extensa do teste, e penso que, por esta razão,ela foi deixada em branco pela maioria dos alunos e, os que tentaram, fizeramalguns itens apenas. Após o Pré-teste, passamos ao desenvolvimento das aulas. Na primeiraaula, foi abordada a compreenção do conceito de função como variação de duasgrandezas, de acordo com o que é proposto nos PCN (2002). Nessa aula, os alunostrabalharam uma atividade em dupla, esta trazia questões referentes a construçõesde gráficos a partir de tabelas já estabelecidas. O objetivo dessa atividade era levaros alunos a explorar tabelas de dados a fim de descrever comportamentos usandoesboços de gráficos. Liberando os alunos da tarefa de aplicar técnicas pré-estabelecidas, tais como trabalhar com escalas e plotar pontos cuidadosamente nosgráficos, e esperando que, eles sejam levados a observar tabelas em seus aspectosmais gerais, preocupando-se com seu significado qualitativo. O maior desafio foi justamente liberá-los do método da plotagem dospontos. Aos poucos, fui desencorajando-os a manter essa prática. Além disso, anecessidade de descrever o comportamento dos gráficos foi difícil para eles. A todoo momento me perguntavam como era pra escrever e muitos tentaram não fazeressa descrição. Assim como na construção dos gráficos, a minha atitude junto aeles, fez com que conseguissem, pelo menos nessa atividade, que escrevessem oque tinham entendido. Fato este que pude perceber que não eram de seuscostumes. Na segunda aula, a atividade trabalhada foi também em duplas e erareferente às Seqüências Geométricas. Essa tinha duas questões, a primeira contémum tabuleiro de xadrez e através deste, poderia ser feita à resolução dos três itenspropostos. Esses itens exploravam o “termo geral” de uma seqüência iniciada nopróprio enunciado da questão, se essa seqüência era geométrica ou não e o motivoe que escrevessem uma expressão matemática que facilitassem os cálculos feitosanteriormente. Essa questão foi facilmente resolvida pelos alunos, que desta vez,não se impuseram a escrever a sua justificativa. A segunda questão, além de se tratar de Seqüências Geométricas, traziaalgo que eles sabiam, mas demonstraram esquecimento: a porcentagem. Fiz uma ligeira revisão sobre porcentagem, mais verbal do que escrita.Usei de exemplos com quantidade de dinheiro para relembrá-los do assunto. Logo
  30. 30. 30após, começaram a resolução de mesma que, assim como a primeira, tinha trêsitens. A curiosidade dessa questão era que, trabalhava com uma incógnita, quena questão foi denominada P0. Os dois primeiros itens, a solução se concentrava emescrever, não diretamente, uma expressão matemática em relação a P0. Expressão matemática, que já foi trabalhada também na primeira questão,para descrever a seqüência estabelecida pelo tabuleiro de xadrez, e que facilitou, decerto modo, a encontrar a soluções acima citadas. O objetivo dessa atividade, e da aula, era analisar os conhecimentos pré-adquiridos sobre Seqüências Geométricas. E, além disso, ir mostrando aos poucos,que tais expressões matemáticas encontradas por eles, que representavamSeqüências Geométricas, tratavam-se também de funções. A terceira e última aula, antes do pós-teste, era a conclusão dos objetivosespecíficos, e do geral, conseqüentemente. Como as atividades anteriores,trabalhamos também em duplas e, era proposta uma questão que envolvia asSeqüências Geométricas e Função. A primeira e única questão era formada por cinco itens. Em seu enunciado,descrevia a mesma situação da atividade proposta na segunda aula, a do tabuleirode xadrez. Porém, pedia-se que a expressão matemática encontrada por eles, fossetrabalhada como “função” e a partir desta, pedia-se o esboço do gráfico, que eles játinham visto de antemão, na primeira aula, e que justificassem o comportamento dográfico. A seguir, fazia-os as seguintes perguntas: Podemos dizer que se trata dográfico das Seqüências Geométricas? Por quê? A resposta dos alunos foi precisa, ea justificativa também, pois perceberam que aquela situação se tratava se umaSeqüência Geométrica e que estavam ali, representados no gráfico. A última pergunta da atividade era a seguinte: Podemos dizer que asSeqüências Geométricas são funções? Por quê? Essa pergunta foi a maisimportante, pois com ela trazia a conclusão do meu trabalho. Todos os alunos afizeram corretamente e, ao pergunta-lhes oralmente, sobre isto, me responderamcom convicção de que realmente entenderam o trabalho por mim realizado. No final da atividade, construímos o gráfico e questionamos que funçãoera aquele gráfico. Todos responderam que era o da Seqüência Geométrica, maspara a surpresa de todos, eu os disse que não! Falei que o gráfico exposto noquadro, era de uma Função Exponencial. Alguns alunos, disseram “É mesmo, eu
  31. 31. 31me lembro disso! Era do primeiro ano!” já outros retrucaram “Mas você não tinhadito que era das Seqüências Geométricas?” Foi aí então, que mostrei a diferença.Expliquei que a função exponencial tinha o domínio real, e por isso aquele gráficofeito por mim, não era das Seqüências Geométricas e, que o gráfico das Seqüênciastinha o domínio no conjunto dos números naturais, e por esta razão era diferentedeste. Logo após, fiz o esboço do gráfico, desta vez com o domínio natural. Elogo, em seguida me perguntaram: “Professor, não vai ligar os pontos não?”Respondi que não, e disse o motivo, de uma maneira bem direta, mas, ao mesmotempo, mais simples de se entender, “Vocês já viram 0,7 grãos de milho?” Aresposta foi não, logicamente, mas mesmo assim alguns ainda perguntaram por quenão ligava um ponto ao outro. Logo, disse que essa “ligação” só existiria se existisse0,7 grãos de milho, pois os números reais compreendem todos os números e osnaturais não. Após isso, a discussão chegou ao fim. Finalmente chegamos ao pós-teste. Este, como nossa metodologiapropunha, era idêntico ao pré-teste. Estavam presentes 18 alunos e teve umaduração de 90 minutos. Quando os entreguei o teste, as reações foram diversas. Uns gostaram dofato de fazer o teste que de fato já o conheciam, outros então, não queria fazernovamente o teste que lhe deu tanta “dor de cabeça”. Mas, no final todos fizeram esatisfatoriamente bem. Diferentemente do pré-teste, eles tomaram a atitude deresponder as questões e me chamaram poucas vezes. O índice de questões embranco foi baixíssimo e as questões completamente erradas quase não existiu. A tabela avaliativa abaixo mostra o desenvolvimento dos alunos no pós-teste,exibindo detalhadamente a quantidade e porcentagem das questões com acertostotais, parciais, erros e questões em branco, dos 18 alunos que fizeram o pré e opós-teste Quadro avaliativa das questões Questão Acertos Acertos Erros Branco Totais Parciais 1ª 18(100%) ----- ----- ----- 2ª 18(100%) ----- ----- -----
  32. 32. 32 3ª 17(94,44%) ----- 1(5,56%) ----- 4ª 8(44,8%) 3(16,67%) 2(11,11%) 5(27,5%) 5ª 6(33,36%) 4(22,24%) 2(11,11%) 6(33,36%) 6ª 5(27,8%) 6(33,36%) 2(11,11%) 5(27,8%) Os resultados expostos acima mostram a eficiência do trabalho realizado,como as primeiras questões tiveram 100% de acerto e também questões que nopré-teste deixaram de ser feitas como a última questão, tiveram um melhoraproveitamento. E sem falar do fato que eles entenderam as SeqüênciasGeométricas como Função, esse trabalho fez com que, vissem novamente, oconceito de função, a função exponencial e a construção de gráficos, este último,que apresentou certa dificuldade para os alunos. Foi uma experiência muito interessante, pois é como se ensinasse váriosconteúdos de uma vez só, mas de uma forma homogênea. E trabalhar seguindo osPCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (2002), foi a garantia do sucesso dotrabalho. Além disso, o diálogo constante e a troca de idéias entre mediador(professor) e alunos fez com que os ajudasse bastante. E o fato mais importante pra mim, aconteceu no fim da terceira aula,quando ouvi de um aluno a seguinte frase, “Quer dizer que as SeqüênciasGeométricas são Funções Exponenciais com domínio nos Naturais!” Isto marcou ofim de meu trabalho e decretou em mim, a certeza de que tudo foi bem absorvidopelos alunos e mais, esse método de se ensinar as Seqüências Geométricas, é bemmais simples e eficaz que os métodos tradicionais, que costumam ainda serensinados.CONSIDERAÇOES FINAIS Através deste Trabalho Acadêmico Orientado, percebi o quão pouco évista e aprendida as Seqüências e, mais especificamente, as geométricas. E mais,como ela é ensinada de uma forma “convencional” restringido-a apenas ao uso defórmulas e memorização e a tratá-la como uma simples P.G.
  33. 33. 33 Por outro lado, vimos como uma nova maneira, diferente para os demaisprofessores, pode ser tão eficaz. E sem falar, no fato que ao estudarmos acabamospor revisar ou mesmo até aprender mais sobre funções. Foi um projeto que, até pelos próprios alunos foi considerado “estranho” eapenas ao fim, puderam perceber isto. Fato este, que pode ser comprovado com asanálises do Pré/Pós teste, onde houve no pós-teste 73,6 % de acertos totais eparciais, totalizando numa melhora de 51% em seus resultados. Melhora esta que por mim foi muito satisfatória, pois foi um trabalho feito deforma não prolongada e tivemos diversos obstáculos no nosso caminho, que vãodesde a falta de interesse por alguns alunos até a falta de ocasiões para fazê-lo. No decorrer de nosso trabalho, algumas questões não houve avanço porparte dos alunos, uma delas foi à justificativa das questões, pois tanto no pré-testequanto no pós-teste, pedia-se a justificativa, mas, em ambos, isso não foi totalmentesatisfeito. Creio que pelo fato de terem se desenvolvido numa cultura escolar, ondenão se promoveu o ato de escrever. Especificamente, nossos objetivos eram de verificar se os alunoscompreendem o conceito de função, este que os alunos mostraram mais afinidadecom esse conceito; identificar que conhecimento os alunos adquiriram sobreSeqüências Geométricas, onde alguns alunos, quase a metade, disseram quepraticamente não viram as Seqüências Geométricas, o que no final, tornou paraestes, um aprendizado inovador deste conteúdo; compreender SeqüênciasGeométricas como Função, este que foi alcançado com o término dodesenvolvimento das aulas. O meu objetivo geral era construir o conceito de Seqüências Geométricasa partir do conceito de função e, felizmente, com o cumprimento dos objetivosespecíficos, pode ser concluído. De modo geral, podemos finalizar dizendo que, a nossa pesquisa, que foitoda baseada nos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (2002) e em Smole,Centurión & Diniz (1989) e Imenes & Lellis (2001) fez com que obtivesse-mosdeterminado êxito. E que se todos os professores o seguissem corretamente osPCN’s e tentassem trabalhar com dedicação e procurando sempre o melhoraprendizado dos alunos, acabaríamos por ter, para os nossos alunos e, futurosguiadores de nossa sociedade, uma educação a qual todos a mereciam, umaeducação de qualidade.
  34. 34. 34REFERÊNCIASALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática e Metodologia dePesquisa. Caderno de Educação Matemática Vol. III PUC - SP, 1997.
  35. 35. 35ANGELIM, B., GOMES FERREIRA, V. G. Abordagem de funções: uma análise delivros didáticos para o ensino médio. In: Anais do V Encontro Pernambucano deEducação Matemática. Garanhuns: 2002.BARALDI, Ivete. Matemática na Escola: que ciência é esta? Bauru: Edsc.1999BARROS, Aidil de Jesus Paes de, LEHFELD, Neide Aparecida de Souza. Projetode pesquisa: proposta metodológicas. Petrópolis: Vozes, 1990.BIANCHINI, E., PACCOLA, H. Curso de Matemática - volume único. São Paulo: 2ªedição. Moderna, 1998.BORBA, Marcelo C. – Pesquisa qualitativa em educação – MG, 21-24 Nov. 2004.BOYER, C. História da matemática. São Paulo: 2 ed. Edgard Blücher, 1996.BRASIL. PCN + ENSINO MÉDIO: Orientações Complementares aos ParâmetrosCurriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias /Secretaria de Educação Tecnológica – Brasília: MEC; SEMTEC, 2002.BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de la didactique desmathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7 (2),p.33-16,1986.BURTON, D. The History of Mathematics - An Introduction. Dubuque: Wm. C.Brown Publishers, 1985, p. 10.CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da Matemática – Tipografia Matemática,Lisboa, 1952.CASSIRER, E .Substance and function: New York: Dover, 1923.CRESWEL, Jhon W. – Projeto de pesquisa: métodos qualitativos, quantitativose misto. – 2. Ed – Porto Alegre: Artmed, 2007.
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  37. 37. 37ANEXOS E APÊNDICES
  38. 38. 38
  39. 39. 39 A Biografia de Zenão Filho de Teleutágoras, Zenão de Eléia (cerca de 495 a.C. - 430 a.C.)nasceu em Eléia, hoje Vélia, Itália. Pertenceu à escola eleática, ostensivamentecontrário aos pitagóricos em defesa das idéias de seu mestre e amigo Parmênides,procurava atacar as idéias dos adversários partindo das premissas deles e asreduzindo ao absurdo e se fez conhecido pelos seus sofismas, visando provar adoutrina da imutabilidade do ser. Método definido como a dialética de Zenão enotabilizado em seguida por Sócrates. Com isso expôs exercícios de lógica aplicáveis à matemática edemonstrou o paradoxo do movimento. Contrário a matemática e as ciências,defendia a literatura no ensino das crianças, dentro de um núcleo educacionaldenominado de trivium, formado pela gramática, retórica e dialética.Cronologicamente situado entre Parmênides e Melisso, foi também o segundo emimportância da escola a que pertenceu, destacando-se mais que todos pela suadialética e retórica. Tornou-se um professor muito respeitado em sua cidade, e devido a isso,envolveu-se bastante com a política local. Juntamente com outros companheiros econspiradores, Zenão tentou derrubar o tirano que governava a cidade. Foi preso etorturado até a morte. A partir de sua morte, tornou-se um herói, deixando umamarca na lembrança de seus compatriotas contemporâneos. Muitas lendas surgiramsobre as circunstâncias em que verdadeiramente tudo aconteceu. Uma dessas versões nos conta que, Zenão ao ser torturadoimpiedosamente pelo tirano, em praça pública, e querendo este arrancar-lhe a todocusto a confissão dos nomes de seus companheiros conspiradores, Zenão primeirodelatou todos os amigos do tirano como sendo participantes ativos da rebelião eposteriormente, insultou o próprio tirano, frente a frente, como sendo a peste doEstado. Diz-se que Zenão, já todo ensangüentado, postou-se como se quisessedizer ainda alguma coisa aos ouvidos do tirano, mordendo-lhe, no entanto, a orelhae cerrando tão firmemente os dentes, que para soltar teve que ser trucidado pelossoldados, que o mataram ali naquele instante.
  40. 40. 40 Tal história de bravura e coragem espalhou-se posteriormente entre oscidadãos de Eléia, que por fim reagindo contra a tirania, ergueram-se contra seugovernante, e ganharam a liberdade. Outros narram que, ao invés da orelha, Zenão teria ferrado seus dentescontra o nariz do tirano. E outros dizem ainda que, após enormes torturas, Zenãocortou sua própria língua com os dentes e a cuspiu no rosto do tirano, para lhemostrar que jamais delataria nenhum de seus companheiros. No pensamento panteístico de Zenão, as seguintes características sãopor ele atribuídas a Deus: O primeiro atributo deduzido pelo filosófo para compor o conceito Deus éa eternidade. Assim, Zenão nos diz: “É impossível que, quando algo é surja; poisteria que surgir ou do igual ou do desigual. Ambas as coisas são, porém,impossíveis; pois não se pode atribuir, ao igual, que dele se produza mais do quedeve ser produzido, já que os iguais devem ter entre si as mesmas determinações.Tampouco pode surgir o desigual do desigual; pois se do mais fraco se originasse omais forte, ou do menor o maior, ou do pior o melhor, ou se, inversamente, o piorviesse do melhor, originar-se-ia o Não-Ser do Ser, o que é impossível; portanto,Deus é Eterno.” O segundo atributo que Zenão atribui à divindade é a Unidade, como podeser visto nesse argumento: “Se Deus é o mais poderoso de tudo, então lhe é próprioque seja Um; pois, na medida em que dele houvesse dois ou ainda mais, ele nãoteria poder sobre eles; mas enquanto lhe faltasse o poder sobre os outros não seriaDeus. Se, portanto, houvesse mais deuses, eles seriam mais poderosos e maisfracos um em face do outro; não seriam, por conseguinte, deuses; pois faz parte danatureza de Deus não ter acima de si nada mais poderosos; pois o igual não é nempior nem melhor que o igual – ou não se distingue dele. Se, portanto, Deus é e seele é de tal natureza, então só há um Deus; não seria capaz de tudo o que quisesse,se houvesse mais deuses.” Quanto à figura, Zenão propõe que Deus tem a forma de uma esfera –“Sendo Um, é em toda parte igual, ouve, vê e possui também, em toda a parte, osoutros sentimentos, pois, não fosse assim, as partes de Deus dominariam umasobre a outra, o que é impossível. Como Deus é em toda parte igual, possui ele aforma esférica; pois não é aqui assim, em outra parte de outro modo, mas em todaparte igual.”
  41. 41. 41 Por fim, Zenão conclui que Deus não é nem limitado nem ilimitado, nemmóvel nem imóvel. Visto que o ilimitado e o imóvel são características do Não-Ser;e, que o limitado e o móvel são características do Múltiplo, Zenão afirma: “O Um,portanto, não está nem em repouso nem se movimenta; pois não se parece nemcom o Não-Ser nem com o Múltiplo. Em tudo isso, Deus se comporta assim; pois eleé eterno e uno; idêntico a si mesmo e esférico, nem ilimitado nem limitado, nem emrepouso nem em movimento.” Seguindo o pensamento de seu mestre Parmênides, que afirmava aunidade do Ser, Zenão concebeu contra a pluralidade os seguintes argumentos ouparadoxos: ”Se a pluralidade existe, as coisas serão ao mesmo tempo limitadas einfinitas em número.” – De fato, se há mais de uma coisa, vemos que entre aprimeira e a segunda existe, então, uma terceira. Assim, entre a primeira e aterceira, existirá uma quarta; e assim, ao infinito. ”Se a pluralidade existe, as coisas, ao mesmo tempo, serão infinitas emtamanho e não terão tamanho algum.” – Igualmente aqui, se duas coisas possuemcada qual sua espessura, e entre essas duas espessura há uma terceira espessura,há que se concluir que entre a primeira espessura e essa terceira espessura, haverátambém uma quarta espessura; e assim, ao infinito. No pensamento dos eleatas, o movimento, tal como as mudanças e astransformações físicas, nada mais eram do que ilusões provocadas pelos nossossentidos. Para propor que o movimento não existe, Zenão concebeu os seguintesargumentos ou paradoxos, que até hoje são objeto de muita discussão entrefilósofos e cientistas. Argumento da dicotomia – Imagine um móvel que está no ponto A equer atingir o ponto B. Este movimento é impossível, pois antes de atingir o ponto B,o móvel tem que atingir o meio do caminho entre A e B, isto é, um ponto C. Maspara atingir C, terá que primeiro atingir o meio do caminho entre A e C, isto é, umponto D. E assim, ao infinito. Argumento de Aquiles – Imagine uma corrida entre um atleta velocista(Aquiles) e uma tartaruga. Suponhamos que é dada para a tartaruga uma vantageminicial em distância. Aquiles jamais a alcançará, porque quando ele chegar ao pontode onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma nova distância; e quando ele
  42. 42. 42atingir essa nova distância, a tartaruga já terá percorrido uma outra nova distância, eassim, ao infinito. Argumento da flecha – Uma flecha em vôo está a qualquer instante emrepouso. Ora, se um objeto está em repouso quando ocupa um espaço igual às suaspróprias dimensões e se, a flecha em vôo sempre ocupa espaço igual às suaspróprias dimensões, logo a flecha em vôo está em repouso.
  43. 43. 43 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII COLEGIADO DE MATEMÁTICATEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira Atividade I A partir da tabela abaixo, esboce um gráfico relacionando a altura do balão com o alcance de visão do balonista. A lc a n c e d e v isã o A lt u r a d o b a lã o Altura do balão (m) 5 10 20 30 40 50 100 500 1000 Alcance de visão (km) 8 11 16 20 23 25 36 80 112Do conjunto de gráficos ao lado, escolhao que melhor representa cada uma dassituações abaixo. Alguns gráficos podemse relacionar com mais de uma tabela.Em cada caso, copie o gráfico escolhido,nomeando seus eixos, e explique omotivo da escolha. Se não houver umgráfico adequado, desenhe sua própriaversão.1. Esfriando Tempo 0 5 10 15 20 25 30 (minutos) café Temperatura 90 79 70 62 55 49 44
  44. 44. 44 (Co) _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ 2. Peso (kg) 6 8 10 12 14 16 18 20Cozinhando o peru Tempo (horas) 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 ______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ 3. Idade (meses) 2 3 4 5 6 7 8 9Crescimento do feto Comprimento 4 9 16 24 30 34 38 42 (cm) _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________4. Após três Tempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 Copos de Álcool no sangue 90 75 60 45 30 15 0 chopp (mg/l)
  45. 45. 45 _______________________________ _____________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________5. Pássaros em Ano (horas) 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 uma ilha No de 0 1 5 17 30 30 30 vucânica espécies _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ 6. Idade (anos) 0 5 10 20 30 40 60 80 90 100 Expectativa de vida sobrevivente 1000 979 978 972 963 950 808 248 325 1 s _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII COLEGIADO DE MATEMÁTICATEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira
  46. 46. 46 Atividade II1. Nas casas de um tabuleiro de xadrez numeradas de 1 até 64 foram colocados: 1 grão de arroz na 1ª casa; 2 grãos de arroz na 2ª; 4 grãos na 3ª; 8 grãos na 4ª; e assim por diante até a última casa. a) Quantos grãos de arroz irão conter a 8ª casa? b) Essa situação trata-se de uma seqüência geométrica? Justifique. c) Encontre uma expressão matemática que facilite o cálculo feito anteriormente.2. A torcida de um determinado clube é atualmente dada por P0, mas está aumentando 3% ao ano. Se esse fato continuar a ocorrer, qual será a torcida desse clube daqui a: a) 5 anos? b) t anos? c) Essa situação trata-se de uma seqüência geométrica? Justifique.
  47. 47. 47 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII COLEGIADO DE MATEMÁTICATEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira Atividade III1. Nas casas de um tabuleiro de xadrez numeradas de 1 até 64 foram colocados: 1 grão de arroz na 1ª casa; 2 grãos de arroz na 2ª; 4 grãos na 3ª; 8 grãos na 4ª; e assim por diante até a última casa. a) Encontre uma expressão (função) que satisfaça a seqüência exposta acima. b) Com esta expressão, construa o seu gráfico. c) Justifique o comportamento do gráfico. d) Podemos dizer que se trata do gráfico de uma Seqüência Geométrica? e) Podemos dizer que as Seqüências Geométricas são Funções?
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  49. 49. 49 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII COLEGIADO DE MATEMÁTICATEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira Pré/Pós TesteQUESTÔES:1. Um trabalhador recebe R$ 10,00 por cada bola de futebol que costura. Ele consegue costurar de 20 a 25 bolas por mês. O seu salário mensal S está determinado pelo nº de bolas n que costura, conforme tabela abaixo: n 20 21 22 23 24 25 S (em 200 210 220 230 240 250 reais)A representação acima trata-se de uma relação? Justifique a sua resposta.2. O Instituto de Meteorologia de Porto Alegre quis fazer um estudo da variação da temperatura à sombra, e media-se de hora em hora. A tabela abaixo expressa o resultado das medições ao longo de certo dia. Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 0 1 2 Temperatur 7 6 5 4 3 2 2 3 5 7 1 1 1 a 2 5 8 Hora 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 Temperatur 7 6 5 4 3 2 2 3 5 7 1 a 2A correspondência feita acima é uma relação? Justifique sua resposta.
  50. 50. 503. Seu Antônio abriu uma caderneta de poupança com R$ 20,00 para sua neta, quando ela completou um ano, e decidiu, para os próximos aniversários, depositar sempre o dobro do presente do aniversário anterior. Quanto a neta receberá quando completar 5 anos?4. Numa pequena cidade com 98.415 habitantes surgiu um boato que se espalhou da seguinte maneira. No primeiro dia 5 pessoas ficam sabendo e no décimo dia toda a cidade fica sabendo. A que proporção por dia o boato se espalha?5. Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de Segunda à Sábado nas duas últimas semanas que antecediam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior, a moça, que não reconhecia P.G., achou a proposta humilhante, recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a oferta, quanto teria recebido pêlos 12 dias de trabalho?6. Ao receitar pílulas para dormir, os médicos devem estar atentos para que os efeitos da droga tenham desaparecido na manhã seguinte. Para isso, eles utilizam certas fórmulas para determinar quando o efeito do medicamento terá acabado. A tabela abaixo mostra essas fórmulas para quatro marcas de pílulas para dormir diferentes. Nome FórmulaTRIZOLAN y =A . (0,84)xNITROZAN y = A . (0,97)xPENTOBOM y = A . (1,15)xMETATON y = A . (0,50)xA = dose inicial da droga (mg)y = quantidade de droga no sangue (mg/l)x = tempo após ingestão da droga (h)Exemplo: 3 horas após ter ingerido 4 mg de Trizolan, uma pessoa terá 2 mg/l dedroga no sangue. y = 4 . (0,84)3 = 2,0
  51. 51. 51— Tomando como base o TRIZOLAN, complete a tabela abaixo para mostrar comoa quantidade de droga no sangue se comporta nas 10 primeiras horas. Tempo (h) Qtde de droga (mg/l)— Qual dos gráficos abaixo poderia descrever seus dados? y y y x x x— Em um mesmo par de eixos, represente o gráfico do comportamento das quatrodrogas citadas, para uma mesma dose inicial de 4 mg. Discuta esse gráfico.— Uma das drogas não é real. Qual é? Por quê? O que aconteceria se vocêtomasse essas pílulas?— No caso do Trizolam, após quantas horas a droga no sangue é reduzida à metade?— Ainda no caso do Trizolam, explique como a “meia-vida” da droga depende dadose inicial.
  52. 52. 52— Investigue os efeitos de tomar uma dose de 4 mg de Metaton a cada 4 horas.
  53. 53. 53 Termo de Consentimento Livre e Esclarecido Pesquisa envolvendo questionáriosTítulo do estudo: Seqüência Geométrica através de Função ExponencialPesquisador: José Mario Martins OliveiraInstituição/Departamento: Universidade do Estado da Bahia – Departamento de Educação –Colegiado de Matemática – Campus VIITelefone: (74) 9137-5994Local da coleta de dados: Colégio Estadual de Senhor do Bonfim - CESBPrezado(a) Senhor(a): • Você está sendo convidado(a) a responder às perguntas deste questionário de forma totalmente voluntária; • Antes de concordar em participar desta pesquisa e responder este questionário, é muito importante que você compreenda as informações e instruções contidas neste documento. • O pesquisador deverá responder todas as suas dúvidas antes que você se decidir a participar. • Você tem o direito de desistir de participar da pesquisa a qualquer momento, sem nenhuma penalidade e sem perder os benefícios aos quais tenha direito.Objetivo do estudo: Construir o conceito de Seqüências Geométricas através do conceito deFunção. Essa pesquisa será feita com os alunos da 2ª e 3ª série do Ensino Médio da cidade deSenhor do Bonfim do CENEC – Professora Isabel de Queiroz.Procedimento: Sua participação nesta pesquisa consistirá apenas no preenchimento destequestionário, respondendo às perguntas formuladas.Benefícios: Esta pesquisa trará maior conhecimento sobre o tema abordado, sem benefíciodireto para você.Riscos: O preenchimento deste questionário não representará qualquer risco de ordem física,moral ou psicológica para você.Sigilo: As informações fornecidas por você serão confidenciais e de conhecimento apenas dopesquisador responsável. Os sujeitos da pesquisa não serão identificados em nenhummomento, mesmo quando os resultados desta pesquisa forem divulgados em qualquer forma. Senhor do Bonfim, ___________ de Maio de 2010. Aluno(a) _____________________________________ José Mário Martins Oliveira Pesquisador
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