Monografia Magnum Matemática 2008

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Matemática 2008

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Monografia Magnum Matemática 2008

  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII SENHOR DO BONFIM – BA. CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA INTERDISCIPLINARIDADE: A RELAÇÃOCÔNICAS – ESPELHOS ESFÉRICOS DAS COMPONENTES CURRICULARES MATEMÁTICA E FÍSICA. Magnum Miranda de Araújo Senhor do Bonfim 2008
  2. 2. Magnum Miranda de Araújo INTERDISCIPLINARIDADE: A RELAÇÃO CÔNICAS – ESPELHOSESFÉRICOS DAS COMPONENTES CURRICULARES MATEMÁTICA E FÍSICA. Monografia apresentada ao Departamento de Educação de Senhor do Bonfim – Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como requisito parcial para a obtenção do título de Graduado em Licenciatura em Matemática.CONCEITO: _____________________________________________________ BANCA AVALIADORAProf. (a) 1: ________________________________ Mirian Brito de SantanaProf. (a) 2: ________________________________ IvanProf. (a) 3: ________________________________ Orientador: _________________________________ Profº. Geraldo Caetano de Souza Filho Senhor do Bonfim 2008
  3. 3. DEDICATÓRIA Oferto este trabalho monográfico à minha família, em especial minha mãe,Maria Augusta, a meu pai, Francisco Augusto, aos meus irmãos, Vinicius e Leandro,pela ajuda, pelo incentivo e pela compreensão nos momentos que necessitei ficardistante. Dedico aos meus avós: Isabel e Adalberto (em memória); Evani e JoséGomes e a meu afilhado Kadu.
  4. 4. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pela vida, saúde e sabedoria com as quais fui capaz dechegar até aqui. Agradeço e saliento que a realização deste trabalho deve-se agenerosidade, atenção e orientação do amigo e professor Geraldo Caetano, aosamigos da UNEB, alunos do CAMPUS VII; Jovens que enfrentaram e enfrentam oque eu enfrentei: distanciar-se da família em busca de um ideal comum; ao apoioirrestrito da minha família, dos amigos de infância, bem como aos novos, emespecial aos da faculdade, aos meus amigos-irmãos da casa do estudante queconvivi estes últimos anos. Agradeço a meus colegas de trabalho, especialmente a Professora Sílvia,Professora Fabíola, Professora Tina e Professor Robério, pela compreensão eapoio. À minha nova família: D. Vanda, Sr. Martins e minha namorada Cínthia o meumuito obrigado. Fico grato a UNEB (CAMPUS VII), por dar subsídio a minha formação, adireção, professores e funcionários. Por fim, agradeço a todos que me ajudaram desde a minha infância até osdias atuais, dando-me conselhos e orientações para um bom caminho.
  5. 5. RESUMO A Interdisciplinaridade pode ser interpretadacomo um instrumento pedagógico inovador para o ensino na comunidade escolaratualizada. O presente trabalho acomete a influência mútua entre as componentescurriculares Matemática e Física, dando ostentação à relação de elementos edefinições pertinentes a ambas, fazendo uma ponderação sobre a importância dainterdisciplinaridade nos ambientes de ensino, mais exatamente nas escolas damacrorregião de Senhor do Bonfim, Bahia, onde foram colhidos e analisados dadosde maneira quantitativa e qualitativa proporcionando uma real visão quanto aoselementos e definições comuns existentes entre a matemática e a física no estudodas cônicas e os espelhos esféricos. O interesse em diagnosticar e relatar essaprática interativa dentro de escolas públicas e privadas traduz a construção destetrabalho, onde se busca conceber a prática de diversos profissionais que ministramaulas de matemática e/ou física e confrontá-las com o discurso interdisciplinar.Encontrar-se-ão elementos referentes ao estudo dos espelhos esféricos, cônicas einterdisciplinaridade, fundamentados por diversos autores pertinentes à temáticacitada.Palavras-Chave: Cônicas. Espelho Esférico. Interdisciplinaridade.
  6. 6. ABSTRACT The Interdisciplinarity can be interpreted as an innovative teaching tool forteaching in the school community updated. This work involves the mutual influencebetween mathematics and physics curriculum components, giving flaunt therelationship of elements and definitions relevant to both, making a weighting on theimportance of interdisciplinarity in the teaching environments, more precisely inschools of macro-Lord of Bonfim, Bahia, which were collected and analyzed datafrom a quantitative and qualitative providing a real vision on the issues commonbetween mathematics and physics in the study of conical and spherical mirrors. Theinterest in diagnosing and reporting this interactive practice within public and privateschools reflects the construction of this work, which is seeking to design the practiceof various professionals who MET classes in math and / or physical and confrontthem with the interdisciplinary discourse. Will meet aspects of the study of sphericalmirrors, conical and interdisciplinary, anchored by several authors relevant to theissue said.Key words: taper. Mirror Sphere. Interdisciplinarity.
  7. 7. SUMÁRIOIntrodução ............................................................................................................... 09Capítulo I ................................................................................................................ 131.1 Um Breve Relato da Óptica Geométrica .......................................................... 131.2 A Óptica Geométrica ........................................................................................ 141.3 Espelhos ........................................................................................................... 151.3.1 Os Espelhos Esféricos .................................................................................. 151.3.2 Análise dos Espelhos .................................................................................... 181.4 Um Breve Relato Sobre Cônicas ...................................................................... 191.4.1 O Estudo de Alguns Tipos de Cônicas .......................................................... 20Capítulo II ............................................................................................................... 272.1 Interdisciplinaridade .......................................................................................... 272.2 Interdisciplinaridade: Matemática – Física ....................................................... 29Capítulo III .............................................................................................................. 313 Metodologia ......................................................................................................... 313.1 Análise de Dados ............................................................................................. 333.2 A Entrevista ...................................................................................................... 353.3 Questionário ..................................................................................................... 35Conclusão ............................................................................................................... 45Referências ............................................................................................................ 47Apêndice ................................................................................................................. 50
  8. 8. LISTA DE FIGURASFigura 01 – Ilustração Óptica ................................................................................. 13Figura 02 – Propagação dos Raios de Luz ............................................................ 14Figura 03 – Secção Feita Por Um Plano ................................................................ 16Figura 04 – Elementos dos Espelhos Esféricos ..................................................... 17Figura 05 – Direção do Raio no Espelho Côncavo ................................................ 17Figura 06 – Direção do Raio no Espelho Convexo ................................................ 17Figura 07 – Formação do Foco .............................................................................. 18Figura 08 – Localização do Foco do Espalho côncavo .......................................... 18Figura 09 – Localização do Foco do Espalho convexo .......................................... 19Figura 10 – Raios não Paralelos ao Eixo ............................................................... 19Figura 11 – Secção Feita no Cone ......................................................................... 20Figura 12 – A Elipse Obtida na Secção ................................................................. 20Figura 13 – Representação de um ponto da Elipse ............................................... 21Figura 14 – Representação de pontos da Elipse.................................................... 21Figura 15 – Esboço da Elipse ................................................................................. 22Figura 16 – Os Pontos e as medidas da Elipse ..................................................... 22Figura 17 – Elementos da Elipse ............................................................................ 23Figura 18 – Secção Feita no Cone ......................................................................... 23Figura 19 – A Hipérbole Obtida na Secção ............................................................ 24Figura 20 – Esboço da Hipérbole ........................................................................... 24Figura 21 – Esboço da Hipérbole ........................................................................... 25Figura 22 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 25Figura 23 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 25Figura 24 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 26Figura 25 – Raios Paralelos ................................................................................... 40Figura 26 – Raios Dispersos .................................................................................. 40
  9. 9. INTRODUÇÃO Sendo livre a abordagem do conteúdo a ser desenvolvido numa monografia, ointeresse, no desenvolvimento deste trabalho, foi motivado por um estudo nacomponente curricular FÍSICA, com especificidade nos espelhos esféricos ondepercebemos uma singularidade com o conteúdo cônicas da componente curricularMATEMÁTICA, e fora considerado abordá-las dentro da interdisciplinaridade, poisessa traduz a integração de dois ou mais componentes curriculares na construçãodo conhecimento que surge como uma das contestações à necessidade de umareconciliação epistemológica, processo necessário devido ao fracionamento dosconhecimentos ocorrido com a revolução industrial e a necessidade de mão de obraespecializada. Busca-se conciliar os conceitos pertinentes às diversas áreas doconhecimento físico-matemático a fim de promover avanços como a produção denovos conhecimentos ou mesmo, novas subáreas. A origem histórica da palavra MONOGRAFIA vem da especificação, ou seja, a redução da abordagem a um só assunto, a um só problema. Seu sentido etimológico significa: mónos (um só) e graphein (escrever): dissertação a respeito de um assunto único. Ela tem dois sentidos: O estrito, que determina identidade com a tese, cuja abordagem escrita de um tema específico que provém de pesquisa científica com o intuito de apresentar uma contribuição relevante ou original e pessoal à ciência. E o Lato, que se ajusta com todo trabalho científico de primeira mão, sendo resultante de pesquisa: acervos em geral, dissertações e memórias científicas, as antigas exercitações e tesinas, os informes científicos ou técnicos e obviamente a própria monografia no sentido acadêmico, ou seja, o tratamento escrito aprofundado de um só assunto, de maneira descritiva e analítica, onde a reflexão é a tônica (está entre o ensaio e a tese e nem sempre se origina de outro tipo de pesquisa que não seja a bibliografia e a de documentação). A primeira monografia que foi publicada é datada de 1855 (embora já viesse empregando o método desde 1830), por Le Play (1806-1882), Les Ouvriers eurpéens. O autor disserta com minúcias o estilo de vida dos operários e o orçamento de uma família-padrão daquela classe. (extraído de: http://br.geocities.com/marij_br/main_nasce.html). Abordando a interdisciplinaridade na educação como processo deespecialização do saber, ela mostra-se como uma das respostas para os problemasprovocados pela excessiva compartimentação do conhecimento, segundo Fazenda(1994). No final do século XX, surge a necessidade de mudanças nos métodos deensino, buscando viabilizar práticas interdisciplinares. A abordagem escolar difere da
  10. 10. científica em termos de finalidades, objetos de estudo, resultados, dentre outros,sendo, portanto mais complexos as transformações neste espaço diversificado. Considerando a interdisciplinaridade como uma reflexão aprofundada, críticae de benefício sobre o funcionamento do ensino, ela pode ser considerada segundoFazenda (1995, p. 32) como: Meio de conseguir uma melhor formação geral, pois somente um enfoque interdisciplinar pode possibilitar certa identificação entre o vivido e o estudado, desde que o vivido resulte da inter-relação de múltiplas e variadas experiências. Analisando o conteúdo da obra como um todo e dando ênfase a essaspalavras da autora percebe-se que a necessidade de se conhecer mais de uma áreae, concomitantemente, associar esse conhecimento teórico ao dia a dia é defundamental importância para uma melhor aprendizagem e formação profissional. Éóbvio que tendo um amplo conhecimento não haverá garantia de o homem modernoter uma realização pessoal e um bem-estar favorável, pois isto depende dasaspirações as quais cada indivíduo possui. Contudo, esse maior conhecimentodiversificado com certeza irá somar-lhe e inseri-lo no topo de uma sociedade culta. O interesse pela relação cônicas/espelhos esféricos e as práticaspedagógicas interdisciplinares de profissionais cujas tarefas de ensino absorva asáreas matemática e/ou física gerou o seguinte questionamento: todos os professoresdas áreas de exatas percebem alguma relação entre os espelhos esféricos e ascônicas? Para tanto, buscou-se referenciais em autores que analisam as questõesde existência isolada e far-se-á um parâmetro de acordo com os problemas edificuldades enfrentadas pelos docentes. O objetivo geral deste trabalho é refletir sobre a importância dainterdisciplinaridade entre matemática-física, no estudo da relação cônicas-espelhosesféricos. Os objetivos específicos, e não menos importantes, consistem em relataraspectos pertinentes à pesquisa sobre espelhos esféricos e cônicas, identificando
  11. 11. aplicações desses conteúdos em situações do cotidiano, e explanar a importânciado trabalho interdisciplinar dentro das escolas e seus reflexos na sociedade humana. Para facilitar a compreensão e entendimento da presente monografia,ocorrerá fracionamento do corpo textual da seguinte forma: O Capítulo I traz considerações acerca dos espelhos esféricos e outrosconteúdos a ele interligados, subsidiando o trabalho dentro da física. Ele fora feitocom uma retomada histórica da óptica e em seguida, apresenta acepções a respeitode luz, raio luminoso, espelhos, dentre outros. Outrossim, enfatiza o conteúdocônicas, pertencente especificamente à Matemática, restringindo-se ao estudo daelipse e da hipérbole. De forma sucinta também traz citações relevantes dematemáticos de séculos passados cujas características conservam-se até os diasatuais. O Capítulo II apresenta trechos sobre o surgimento da interdisciplinaridade nomundo, bem como sua chegada ao Brasil, e todos os aspectos referentes a estaferramenta metodológica de grande valia para o sistema educacional, além deelucidar a relação matemática-física na visão de alguns estudiosos. A Metodologia desenvolvida tem como sustentáculo a pesquisa descritiva,qualitativa e quantitativa, onde estas se entrelaçam no propósito de retratar todo otrabalho desenvolvido de forma clara e detalhada. A Análise de dados fora construída através das respostas apresentadas pelosparticipantes diante do questionário (Apêndice 1) por eles desenvolvido. Relatosimportantes dos docentes entrevistados estão compondo este momento, bem comocitações de autores importantes ao presente estudo. A Conclusão traduz todo o empenho e resultado obtidos após odesenvolvimento da pesquisa. Nela encontram-se os objetivos atingidos e asperspectivas geradas nesta produção.
  12. 12. As Referências e o apêndice revelam, respectivamente, as fontes depesquisas consultadas e o questionário utilizado. Vale salientar que o examesimultâneo FÍSICO-MATEMÁTICO desenvolvido no âmbito da monografia tevecaráter teórico/revisional. Tal comparação contou, como principais fontes de dados,com o Acervo da Biblioteca da Uneb/Campus-VII, acervo pessoal, sites de busca,como: Geocities, Sciello e SBEM, tendo como indexadores: “Os elementos dosespelhos esféricos”, “Os elementos das cônicas”, “As semelhanças entre eles”.
  13. 13. CAPÍTULO I1 UM BREVE RELATO DA ÓPTICA GEOMÉTRICA A óptica é uma ciência secular que há muito desperta o interesse daspessoas. Alguns filósofos gregos, como Platão e Aristóteles, já se preocupavam emencontrar respostas a vários questionamentos, tais como: – Por que vemos um objeto? – O que é a luz? Figura 1: Ilustração Óptica (RAMALHO 2003, p. 180). Platão chegou a supor que: “Nossos olhos emitiam pequenas partículas queao atingirem os objetos tornavam-nos visíveis” (RAMALHO 2003, p. 181). Isso étotalmente absurdo, pois não se pode ver no escuro. Indiscutivelmente, concorda-setambém que os olhos não emitem tais partículas e Souza (1976, p. 12) afirma que“Todos os corpos, transparentes ou opacos, refletem parte da luz que sobre eles
  14. 14. incide. Quer dizer, eles devolvem parte da luz para o mesmo lado do corpo de ondeela proveio”. Portanto, a possibilidade de se perceber os objetos é o fato de elespróprios refletirem a luz que recebem. A óptica geométrica consiste em estudar tais fenômenos luminosos, usandoos conhecimentos de raio luminoso, alguns princípios fundamentais e consideraçõesda própria geometria.1.1 A ÓPTICA GEOMÉTRICA Raio de luz são linhas orientadas que representam, graficamente, a direção eo sentido de propagação da luz, segundo Ramalho (2003). Isto tem a conseqüênciade que a luz sempre será propagada em linha reta e jamais fará curva. O que éfacilmente identificado na figura: Figura 2: Propagação dos raios de luz (RAMALHO, 2003, p. 181). Conhecida a definição de raio de luz, precisa-se saber agora sobre osprincípios fundamentais. Segundo Ramalho (2003), os princípios são: • Princípio da propagação retilínea da luz (nos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta). • Princípio da reversibilidade dos raios de luz (a trajetória seguida pela luz independe do sentido de percurso).
  15. 15. • Principio da independência dos raios de luz (quando raios de luz se cruzam, cada um deles segue seu trajeto como se os outros não existissem).1.2 ESPELHOS Investigando um pouco mais sobre a óptica, percebe-se que alguns objetosnão emitem a sua própria forma e sim a forma do objeto que está diante dele. Essesobjetos são os espelhos. Eles podem ser de dois tipos: O plano e o não-plano; anomeação do espelho não-plano varia de acordo com autor. Por exemplo, Amaldi(1997) trata o espelho não-plano como parabólico, sendo diferente de Ramalho(2003) que o denomina como esférico. Neste trabalho, a referência ao espelho não-plano será de acordo com Ramalho (espelho esférico). A definição para o espelho plano compreende uma superfície plana e polida,o que não traz interesse específico para este estudo.1.2.1 OS ESPELHOS ESFÉRICOS Espelho esférico é uma superfície polida não plana formada pela intersecçãode um plano com uma calota esférica que a divide em duas partes, segundoRamalho (2003).Assim:
  16. 16. Figura 3: Secção feita por um plano em uma calota esférica. (RAMALHO 2003, p. 222). Segundo Mattos (1996) polir significa: “Desgastar e alisar as partes de algumacoisa dura para ela ficar brilhante”. Isso quer dizer que, a calota sendo polida, elaterá sua superfície lisa e brilhante, fazendo qualquer raio de luz que toque estasuperfície ser refletido, e não absorvido. Entretanto, nem toda superfíciearredondada pode ser considerada um espelho esférico. Existem alguns elementosque são peculiares, segundo Ramalho (2003, p. 222): Os elementos geométricos que caracterizam um espelho esférico são: • Centro de curvatura do espelho (C): o centro da superfície esférica à qual a calota pertence; • Raio de curvatura do espelho (R): o raio da superfície esférica à qual a calota pertence; • Vértice do espelho (V): o pólo (ponto mais extremo) da calota esférica; • Eixo principal do espelho: a reta definida pelo centro de curvatura e pelo vértice; • Eixo secundário do espelho: qualquer reta que passa pelo centro de curvatura, mas não pelo vértice; • Abertura do espelho (α): o ângulo plano determinado pelos eixos secundários que passam por pontos, A e B, diametralmente opostos, do contorno do espelho; • Plano frontal: qualquer plano perpendicular ao eixo principal; • Plano meridiano: qualquer plano que contém o eixo principal. Estes objetos estarão todos contidos no mesmo plano e podem serobservados nesta figura 4:
  17. 17. Figura 4: Elementos dos espelhos esféricos. (RAMALHO 2003, p. 222). Considerando que, após a intersecção do plano com a calota, as duas partesserão polidas e portadoras desses elementos geométricos, teremos então doisespelhos esféricos: ESPELHO ESFÉRICO CONCAVO e ESPELHO ESFÉRICOCONVEXO. O espelho esférico côncavo possui a parte interna refletora, fazendo com quequalquer raio luminoso que venha de encontro a esta face seja refletido, assim: Figura 5: Direção do raio de luz no espelho côncavo. (RAMALHO 2003, p. 223). Já o espelho esférico convexo possui a parte externa refletora, então, nessecaso, tem-se: Figura 6: Direção do raio de luz no espelho convexo. (RAMALHO, 2003, p. 223).
  18. 18. 1.2.2 ANÁLISE DOS ESPELHOS Como viu-se, a característica do espelho é sempre refletir os raios que vêmde encontro a sua superfície polida. Mas, eles não serão refletidos aleatoriamente,segundo Amaldi (1997, p. 233) “Todos os raios paralelos ao eixo óptico, ao serefletirem na concavidade de um espelho parabólico, reúnem-se num mesmo ponto.Esse ponto é chamado de foco do espelho”. Figura 7: Formação do foco. (AMALDI 1997, p. 223). Neste caso todos os espelhos côncavos possuem o seu foco diante da suaface refletora. Contudo, o espelho convexo, também, possui foco. Discorrendo sobreo assunto, Ramalho (2003, p. 224) afirma que: Quando um feixe de raios paralelos incide sobre um espelho esférico [...], ele origina um feixe refletido convergente, no caso do espelho côncavo, e divergente, no do convexo. O vértice F de tal feixe situa-se no eixo principal e é denominado foco principal do espelho esférico”. Figura 8: Localização do foco do espelho côncavo. (RAMALHO 2003, p.. 224).
  19. 19. Para o foco no espelho convexo Ramalho (2003) diz que é a intersecção deprolongamentos dos raios vão formá-lo. Assim, tem-se: Figura 9: Localização do foco do espelho convexo. (RAMALHO 2003, p. 224). Portanto, no espelho convexo o foco fica “atrás” da face refletora. Mas, sóexistem raios paralelos ao eixo? Não. Existem, também, raios que chegam à facerefletora através do centro da circunferência. Esses raios, ao tocarem a parterefletora, são refletidos e seu ponto de reflexão é sempre o próprio centro decurvatura. Assim: Figura 10: Raios não paralelos ao eixo.1.3 UM BREVE RELATO SOBRE CÔNICAS: Segundo Dante (2005, p. 421): No período helenístico (séc. IV a.C. – séc. I a.C.), três matemáticos gregos se destacaram: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora as secções cônicas já fossem conhecidas, Apolônio escreveu um célebre
  20. 20. tratado sobre essas curvas, chamado As cônicas, que suplantava todos os demais nesse campo. Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram conhecidas como secções de três tipos diferentes de cone circular reto, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Apolônio, em sua obra, mostrou que não é necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e que, variando a inclinação do ponto de seção, as três espécies de cônicas podiam ser obtidas de um único cone. Durante mais de um século, as curvas não tinham designação além das descrições do modo pelo qual tinham sido descobertas: secções de cone acutângulo (axytome), secções de cone retângulo (orthotome) e secções de cone obtusângulo (amblytome). Foi Apolônio quem introduziu os nomes elipse, parábola e hipérbole para essas curvas, termos que são usados até hoje. Mostrando como obter todas as seções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significativamente para o desenvolvimento da geometria.1.3.1 O ESTUDO DE ALGUNS TIPOS DE CÔNICAS: Observe a figura abaixo: Figura 11: Secção feita no cone. (DANTE 2005, p. 424). A secção cônica obtida é chamada Elipse. Figura 12: A elipse obtida na secção. (DANTE 2005, p. 424). Pode-se perceber que uma elipse é a secção de um cone atravessadoobliquamente por um plano. Este plano não é paralelo à base do cone. Senão obter-
  21. 21. se-ia um círculo. A elipse possui dois eixos de diferentes tamanhos, ao oposto docírculo os quais são iguais. Cada vez que fixa-se o comprimento do eixo maior ediminuí-se o comprimento do eixo menor, obtém-se elipses cada vez mais próximasde um segmento de reta. Mas, essa é a definição de Elipse? Segundo Iezzi (2004, p. 165): “Dados dois pontos distintos F1 e F2,pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. Elipse é o conjunto dospontos de α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a(2a > 2c)”. Conhecendo a definição para a elipse e esses pontos fundamentais (F1 e F2),percebe-se o fato de qualquer que seja outro ponto pertencente ao plano, poderá serum dos pontos formadores da elipse, desde que a soma de suas distâncias sejaconstante e maior que 2c que é a separação dos focos F1 e F2. Portanto, tem-sesempre na elipse (α): {P Є α | PF1 + PF2 = 2a}. Observe esta representação gráfica: P Figura 13: Representação de um ponto da Elipse. (DANTE 2005, p. 424) Nota-se apenas a marcação de um ponto (P). Contudo, à medida queacrescenta-se mais pontos, seguindo essa definição, observar-se-á que a figuraformada não será um círculo: Figura 14: Representação de pontos da Elipse. (DANTE 2005, p. 424).
  22. 22. Sendo assim chega-se num determinado momento onde esses pontosestariam muito próximos e formariam o contorno representando a elipse. Figura 15: Esboço da elipse. (DANTE 2005, p. 424).Analisando esta próxima figura vê-se que: Figura 16: Os pontos e as medidas da Elipse. (IEZZI 2004, p. 165) QF1 + QF2 = 2a RF1 + RF2 = 2a SF1 + SF2 = 2a A1F1 + A1F2 = 2a B1F1 + B1F2 = 2a A2F1 + A2F2 = 2a B2F1 + B2F2 = 2a Definida o que é a elipse, precisa-se agora conhecer seus principais elementos.Segundo Dante (2005), eles são: • F1 e F2 são os focos e a distância entre eles é a distancia focal (2c);
  23. 23. • A1A2 é o eixo maior e sua medida é a soma que consta da definição (2a); • B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b; • O é o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de F1F2, A1A2,B1B2). a • O número e = chama-se excentricidade da elipse e indica se a elipse é c mais, ou menos, “achatada”. Assim: Figura 17: Elementos da elipse. Observando a parte destacada da figura e aplicando o teorema de Pitágoras,pode-se ainda fazer a relação: a 2 = b 2 + c2 Posicionando a secção do cone em outra posição, obtém-se: Figura 18: Secção feita no cone. (DANTE 2005, p. 427). Agora uma nova secção cônica foi desenvolvida: A HIPÉRBOLE:
  24. 24. Figura 19: A hipérbole obtida na secção. (DANTE 2005, p. 427). Para Iezzi (2004, p. 172) a hipérbole é definida como: Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de α cuja diferença (em valor absoluto) das distancias a F1 e F2 é a constante 2a(0 <2a < 2c). Construindo uma seqüência de pontos com essa definição tem-se: Figura 20: Esboço da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247). O conjunto de todos os pontos que seguem a definição formará a figuracorrespondente à hipérbole:
  25. 25. Figura 21: Esboço da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247). Analisando a figura 21 e a definição acima ainda pode-se ter: Figura 22: Elementos da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247)Assim, então, vê-se que: Figura 23: Elementos da hipérbole. (IEZZI, 2004, p. 172)
  26. 26. QF2 - QF1= 2a RF2 - RF1= 2a SF1 - SF2 = 2a A1F2 - A1F1 = 2a A2F1 - A2F2 = 2a Sempre que faz-se essas diferenças utilizando a menor distância para a maiordeve-se colocá-la em módulo, ou seja, na hipérbole α temos: {P Є α / |SF1 - SF2| =2a}. No caso da hipérbole, segundo Dante (2008), estes são seus principaiselementos: • F1 e F2 são os focos da hipérbole, sendo F1 F2 = 2c a distância focal; • A1 e A2 são os vértices da hipérbole, sendo A1A2 = A1F2 - A1F1 = 2a (constante da definição); • B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b; • O é o centro da hipérbole (ponto médio de F1F2 e de A1A2); c • O número e = chama-se excentricidade da hipérbole. a Figura 24: Elementos da hipérbole. Nesse caso, a relação que pode-se fazer é: c2 = b2 + a2
  27. 27. CAPITULO II2 INTERDISCIPLINARIDADE: As evidências dadas ao aprendizado científico e aos pensamentos racionais,direcionadas para as ciências ditas exatas, provocaram um enigma de concepção domundo dos cálculos. Fala-se do homem que é capaz de dissecar o elemento de suaobservação para julgá-lo e torna-se especialista em partes, mas incapaz emanalogia à totalidade. Nessa natureza inóspita, as componentes curriculares foramse fragmentando, acontecimento que deve ser visto como marco do fracionamentoda realidade e do aparecimento de uma inteligência esquizofrênica, que se tornaempecilho do conhecimento abrangente do mundo. Para a compreensão desse mundo, abandonado de valores, novosacometimentos buscam superar a incompatibilidade entre conhecimento e elementoa ser conhecido. Dentre esses acometimentos, surgiu a interdisciplinaridade, que écontemplada como uma das mais recentes tendências da teoria do conhecimento.Pode-se expor que os exercícios interdisciplinares divulgam um olhar do homem(como um ser conectado à vida) e a necessidade do conhecimento pertinente com atotalidade. O surgimento da interdisciplinaridade foi concomitante na França e na Itáliaem meados da década de 1960, num período marcado pelos movimentos estudantisque, dentre outras coisas, reivindicavam um ensino mais sintonizado com asgrandes questões de ordem social, política e econômica da época. A mesma teriasido uma resposta a tal reivindicação na medida em que os grandes problemas daépoca não poderiam ser resolvidos por uma única disciplina ou área do saber,segundo Fazenda (1994).
  28. 28. Entretanto, ainda no final da referida década, a interdisciplinaridade chegouao Brasil e logo exerceu influência na elaboração da Lei de Diretrizes e Bases Nº5.692/71. Desde então, sua presença no cenário educacional brasileiro tem seintensificado e, recentemente, mais ainda, com a nova LDB Nº 9.394/96 e com osParâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Hoje, tem-se que: “A interdisciplinaridadeé a articulação que existe entre as disciplinas para que o conhecimento do alunoseja global, e não fragmentado”. (Extraído de:http://revistaescola.abril.uol.com.br/edicoes/0188/aberto/mt_105133.shtml#topo) E, segundo os próprios PCN: A interdisciplinaridade supõe um eixo integrador, que pode ser o objeto de conhecimento, um projeto de investigação, um plano de intervenção. Nesse sentido, ela deve partir da necessidade sentida pelas escolas, professores e alunos de explicar, compreender, intervir, mudar, prever, algo que desafia uma disciplina isolada e atrai a atenção de mais de um olhar, talvez vários (BRASIL, 2002, p. 88-89). Porém, além do amplo mando na legislação e nas propostas de currículos, ainterdisciplinaridade teve mais eficácia nas escolas, principalmente na alocução e noexercício de professores de diferentes níveis de ensino. Apesar disso, estudos têmmostrado que a interdisciplinaridade ainda é de precário conhecimento, mas debastante importância, pois ela tem a finalidade de buscar a realização do serhumano, solicitando uma meditação integradora do próprio indivíduo. Por isso,reflete-se que ela não deveria ser considerada como um escopo obsessivamenteacossado no meio educacional simplesmente por sustento da lei, como vemacontecendo em alguns casos. Pelo contrário, a mesma implica uma organização,uma articulação espontânea e coordenada, guiadas por um mérito comum, dasações disciplinares. Com este raciocínio, a interdisciplinaridade proporcionaráresultados positivos se for uma atitude eficaz de se alcançar objetivos educacionaiscompartilhados e estabelecidos pelos componentes da unidade escolar.Desfavoravelmente, ela seria uma iniciativa trabalhosa demais para atingir asfinalidades que poderiam ser obtidas de modo mais simples.
  29. 29. Os componentes da unidade escolar que são ligados diretamente aosobjetivos educacionais são os diretores, coordenadores e professores. Mas, noâmbito de trabalho, o professor sempre é que vai empregá-la utilmente. SegundoNogueira (1997, p. 23): “Vale ressaltar que a tentativa de trabalho interdisciplinar éum investimento somente apropriado àqueles que acreditam no trabalho dessanatureza”. Portanto, não é suficiente implantar a interdisciplinaridade sem acompreensão dos próprios profissionais que vão fazer dela seu aliado de trabalho.E, Nogueira (p. 23) ressalta: “Este tipo de trabalho é um desafio a todos, pois é difícilcomeçá-lo, mas após iniciado é difícil voltar atrás, ou seja, desenvolver qualqueração fragmentada”. Vários autores incentivam a implantação da interdisciplinaridade. Defendem,também, que será mais um artifício para o enriquecimento da educação e para adesmistificação da complexidade coletiva a qual se faz presente no ato educativo.2.1 INTERDISCIPLINARIDADE: MATEMÁTICA – FÍSICA Considera-se, no ato educativo, componentes curriculares que trabalham oscálculos como ciências exatas. Neste contexto, tem-se que a matemática e a físicaestão entrelaçadas nessa ciência e segundo Nogueira (1997, p. 13-14): A interdisciplinaridade é um termo utilizado para definir a colaboração existente entre as disciplinas ou entre setores heterogêneos de uma mesma ciência. Surge como crítica a uma educação fragmentada e permite uma reflexão aprofundada sobre o conhecimento.
  30. 30. As palavras de Aragão (2006, p. 40) no seu estudo sobre as relaçõesexistentes entre matemática e física, nos assuntos funções de matemática emovimentos uniformes de física, diz que: [...] estamos apenas visualizando um exemplo de um pequeno elo da enorme corrente que une as disciplinas matemática e física. [...] podemos começar a prestar mais atenção à relação estreita entre certos conteúdos dessas disciplinas e aos ganhos pedagógicos que podemos obter com base em um tratamento que assuma uma integração construtivista entre elas [...]. Nota-se um exemplo da colaboração entre as disciplinas que neste casoespecífico, aborda as componentes curriculares matemática e física. E Japiassú(1976, p. 74) ainda caracteriza a interdisciplinaridade pela: “Intensidade das trocasentre os especialistas e pelo grau de integração real das disciplinas no interior de ummesmo projeto”. Partindo desses contextos, torna-se mais uma relação direta dessascomponentes citadas por Aragão, analisando as palavras da aluna do Instituto deMatemática, Estatística e Computação Cientifica (IMECC) da UNICAMP, TatianaLança, em seu artigo publicado em 2006 (p. 13) , no próprio site do IMECC, que diz: [...] no Ensino Médio seria bastante interessante relacionar o ensino de Geometria Analítica ao ensino de Física. A compreensão das cônicas pode se tornar mais efetiva a partir da aplicação de suas propriedades em assuntos relativos à Física. Portanto, ao priorizar a construção do conhecimento de modo interdisciplinar,o papel do professor, apesar de cada um ter sua maneira de conduzir a aula, éutilizar recursos, os quais desenvolvem a autonomia do aluno, instigando-o a refletir,investigar e descobrir, criando na sala uma atmosfera de busca e companheirismo,onde o diálogo e a troca de idéias seja uma constante, quer entre professor e aluno,quer entre os alunos. Uma aula expositiva partilhada e dialogada com os educandossempre será apropriada para sintetizar e organizar as descobertas, as idéias e osresultados, e, também, para sistematizar os assuntos tratados em determinadosperíodo por mais de uma componente curricular.
  31. 31. CAPITULO III3 METODOLOGIA Visando alcançar os objetivos traçados e proporcionar maior compreensão dotema, o presente trabalho encontra-se fracionado em etapas de pesquisas. Considerando-se que já havia um prévio conhecimento das componentescurriculares Matemática e Física, buscou-se um levantamento bibliográfico com ointuito de fundamentar a interação dos conteúdos Cônicas e Espelhos Esféricos e oprocesso interdisciplinar. Então, a primeira etapa constitui-se na PESQUISABIBLIOGRÁFICA, que Segundo Amaral (2007, p. 1): A pesquisa bibliográfica é uma etapa fundamental em todo trabalho científico que influenciará todas as etapas de uma pesquisa, na medida em que der o embasamento teórico em que se baseará o trabalho. Consiste no levantamento, seleção, fichamento e arquivamento de informações relacionadas à pesquisa. Após o levantamento bibliográfico, procedeu-se a segunda etapa destapesquisa: A COLETA DE DADOS, desenvolvida através da pesquisa de campo, poiseste processo consiste em colher informações em diferentes ambientes commenores chances de erro, sendo, portanto, o meio mais eficiente de adquirí-los.Contudo, buscando-se a obtenção de melhores resultados através das pesquisas,fora feito um planejamento e uma ponderação na elaboração e nos sujeitos queiriam contribuir com a pesquisa, verificando possibilidades e limitações dentro daproblemática apresentada. Segundo Padilha (2001, p. 63):
  32. 32. Planejar, em sentido amplo, é um processo que visa a dar respostas a um problema, estabelecendo fins e meios que apontem para sua superação, de modo a atingir objetivos antes previstos, pensando e prevendo necessariamente o futuro. Esta coleta de dados engloba aspectos quantitativos e/ou qualitativos, e foirealizada entre professores de ensino médio de algumas escolas públicas e privadasda macrorregião de Senhor do Bonfim, agenciando sempre uma visão real quantoessas relações interdisciplinares, e, em conseqüência, o conhecimento dos própriosdocentes quanto ambos os assuntos. Segundo Carneiro (2008, p. 38) pesquisa quantitativa “é a que envolvecálculo, manipulação, ou conjunto de sistemas de quantidade de dados” e apesquisa qualitativa “é uma dinâmica entre pessoa e o mundo real, entre o sujeito eo objeto, entre o mundo da objetividade e da subjetividade”. A pesquisa qualitativa, assim como a pesquisa quantitativa, teve seusantecedentes nas ciências naturais e na filosofia, segundo Dias (1999). Gunther (2006, p. 202) relaciona melhor essas pesquisas afirmando que: “aorevisar a literatura sobre a pesquisa qualitativa, o que chama atenção imediata é ofato de que, frequentemente, a pesquisa qualitativa não esta sendo definida por sisó, mas em contraponto a pesquisa quantitativa”. Então percebe-se que ambas as formas de pesquisas se completam. Verifica-se isso também em Carneiro (2008, p. 37-38): os métodos das duas pesquisas não se excluem, embora se diferencie quanto à forma e a ênfase. Os métodos qualitativos retratam uma mistura de procedimentos de cunho racional e intuitivo [...]. os enfoques qualitativos e quantitativos diferem-se, porém não é correto afirmar que tenham oposições em suas relações.
  33. 33. A fim de averiguar o conhecimento dos professores em relação a aspectosinterdisciplinares, dá-se mais ênfase na pesquisa qualitativa. Os colaboradoresdessa pesquisa correspondem a 11 professores que ensinam apenas física, 10professores de física e matemática e 14 professores que lecionam apenasmatemática, perfazendo um total de 35 profissionais. A escolha dos sujeitos citadosse deu a partir da disponibilidade de atendimento. Para o levantamento de dados, fora usado um questionário (Apêndice 1)contendo perguntas relacionadas ao contexto da interdisciplinaridade entre amatemática e a física nos aspectos cônicas - espelhos esféricos. Este questionáriocontém 06 perguntas que foram elaboradas a partir de idéias ou citações de teóricosque sugerem a implantação da interdisciplinaridade, com aplicação no período de 23de setembro de 2008 a 30 de setembro de 2008, à relação dos professores citados.O contato com os mesmos ocorreu gradativamente, visto que, foram entrevistadosem momentos diferentes, mas sempre através de uma conversa informal, onde serelatou a cada um os objetivos da pesquisa. A ANÁLISE DE DADOS é a terceira e ultima etapa sendo construída atravésde questionamentos sobre o processo ensino-aprendizagem entre a matemática e afísica, em particular os conteúdos cônicas e espelhos esféricos, dando ostentaçãona existência e/ou descaso da interdisciplinaridade fundamentando, assim, apesquisa.3.1 ANÁLISE DE DADOS Visando a obtenção de melhores resultados através das pesquisas, oplanejamento e a ponderação na elaboração do questionário e na seleção dossujeitos que iriam contribuir com este trabalho foram feitos a fim de adequar aspossibilidades e limitações dentro da problemática apresentada, visto que oquestionário foi elaborado diante de manifestações de autores os quais estimulam a
  34. 34. interdisciplinaridade, e com isso objetivava-se a opinião dos professores damacrorregião de Senhor do Bonfim, no que diz respeito às vantagens e retornospara sua prática pedagógica. O planejamento fora necessário para evitar falseamento nos resultados bemcomo facilitar a conclusão e estabelecer meios guiáveis, visto que almejava-se autilização da pesquisa qualitativa para análise de dados detalhados, levando-se emconta todas as informações e/ou conhecimentos fornecidos pelos colaboradores,com a finalidade de um real entendimento do objeto de estudo. A pesquisa quantitativa foi utilizada para fornecer uma maior imagem darealidade, tornando mais eficientes os processos de análise e interpretação dosdados, expressando-os numericamente. Azevedo (2006 apud Lopes, 1999, p.145) diz que: Diante da complementaridade das técnicas de coleta, é igualmente possível combinar técnicas de amostragem probabilística e não-probabilística. Por exemplo: numa pesquisa seleciona-se uma amostra aleatória para a qual se utiliza o questionário, devendo-se por isso dar conta da representatividade estatística tanto da amostra como dos dados. Em seguida, seleciona-se uma subamostra de caráter intencional com base no critério da representatividade social (e não mais estatística), à qual se aplica a entrevista. O perfil dessa segunda amostra é de sujeitos típicos, e os dados são essencialmente qualitativos. No proceder deste trabalho, deixou-se bem exposto que ao cooperarrespondendo o questionário, os colaboradores não precisariam se identificar, poisnão se tinha a intenção de avaliá-los individualmente. Contudo, precisava-se dedados que possibilitassem uma averiguação real quanto aos aspectosinterdisciplinares existentes entre a matemática-física. No decorrer deste relato, ao tratar-se de professores de física, eles serãochamados, por exemplo: Professor de Física (PF), os de matemática (PM), e osprofessores de ambas as componentes serão identificados como: PMF – Professor
  35. 35. de Matemática e Física e serão identificados ainda por um número arábico queacompanhará as siglas para facilitar o entendimento.3.2 A ENTREVISTA A pesquisa foi realizada no fim do mês de setembro do corrente ano e aaproximação com os sujeitos, os professores ocorreu gradualmente, pois foramentrevistados em ocasiões diferentes, mas sempre através da utilização de umaconversa informal, onde relatou-se a cada um que dentre os objetivos da pesquisahavia a obtenção de informações acerca da interdisciplinaridade. É válido salientar ainexistência de oposição na resolução do questionário por parte dos entrevistados. Nesse primeiro contato eles tiveram acesso ao questionário (Apêndice 1),contendo 6 questões, com resolução e desenvolvimento no presente momento.Alguns professores justificaram a impossibilidade em respondê-lo no mesmoinstante. Então, recolheu-se o questionário e marcou-se uma nova ocasião. Comisso, tinha-se a intenção de evitar que os sujeitos utilizassem materiais escritos ououtros mecanismos de pesquisa. Todos os entrevistados utilizaram, em média, umahora para responder todas as questões.3.3 O QUESTIONÁRIO O questionário envolvia perguntas subjetivas, sem cálculos, de física oumatemática e acerca da própria visão do educador a respeito dainterdisciplinaridade.
  36. 36. Quando se fala em interdisciplinaridade, refere-se a uma espécie de influênciamútua entre as componentes ou entre as áreas do saber. Contudo, essa interaçãopode acontecer em níveis de complexidade diferentes. Com isso, espera-secontribuir para um uso mais cuidadoso de termos e práticas no cotidiano escolar. As análises apresentadas abaixo, referente ao questionário e a cada uma dasseis questões, são as mais transparentes possíveis e trarão citações de algunssujeitos. Relativo à primeira questão: Pesquisas indicam que pessoas as quaispossuem facilidade com a física, também, possuem facilidade com a matemática,pois, ambas fazem parte da mesma área, AS EXATAS. Você concorda que ascônicas (matemática) têm relação com espelhos esféricos (física)? Por quê? Analisando-se o capítulo I deste trabalho, principalmente os gráficos, nota-seque esta relação fica bem nítida, principalmente nos elementos figurados. Dentre os entrevistados, podemos constatar as seguintes opiniões:1) PMF – 80% dos professores que ensinam matemática e física (8 professores):tinham convicção na resposta e mostravam a relação que eles enxergavam, dandoênfase, principalmente, a existência dos elementos, como se vê na resposta dePMF1: Ainda este ano trabalhei espelho esférico. Concordo plenamente, pois um espelho esférico é uma calota esférica na qual uma das superfícies é refletora, sendo assim, o seu estudo faz relação direta com as cônicas (matemática), principalmente nas teorias e seus elementos: foco, vértice, eixo, curvatura, parábola, raio, dentre outros. Os demais, 20%, foram pouco enfáticos ao responderem que concordavam,afirmando a existência da relação na estrutura. PMF3 afirmou: “Sim, por que a formados espelhos esféricos é uma cônica e, portanto, há uma relação entre ambas”.
  37. 37. 2) PM – 35% dos professores (5) de matemática concordavam, mas nãojustificaram o porquê. PM5 afirmou que: “Com certeza, tem! Mas, não conheçoespelho esférico para falar a relação”. 7% (1) conhecia partes dessa relação. PM1chegou a afirmar: “Sim, não tenho grande conhecimento sobre espelhos esféricos,mas a relação que existe pode ser a concavidade”. Os demais explanavam comfirmeza a cerca de seu respectivo conteúdo (cônicas), mas, em nenhum momentofazia referência ao outro (espelho esférico). PM2 afirmou: “Sim, mas não sei”. Os58% restantes não souberam opinar sobre a relação. PM9 afirmou: “Sei o que é umespelho esférico (objeto), mas não sei falar se existe ralação”. PM7 colocou:“Sinceramente, não sei”. 3) PF – Aproximadamente 50% desses professores (especificamente 6)relacionavam a curvatura dos espelhos esféricos às cônicas e também os focospresentes em ambos. PF1 afirmou que: “Sim, por que a forma dos espelhosesféricos é uma cônica e, portanto, há uma relação entre ambas”. Dos professoresrestantes, 20%, acreditavam na existência da relação, mas não conheciam ascônicas para citá-las com detalhes. PMF11 afirmou: “Acho que sim. Só que nãoconheço nada de cônicas, nem a estudei no meu ensino médio”. Diante das respostas dos sujeitos, percebe-se uma maioria de conhecedoresda relação no grupo dos PMF os quais trabalham com ambas as componentes, oque pode ser justificável pela necessidade e experiência de trabalhar com ambas ascomponentes. PMF6, na conversa informal da primeira etapa, afirmou: “Perguntequalquer coisa dessas duas aí, eu já as conheço há anos”. E na folha de respostasdeclarou: “[...] conheci das duas depois que comecei a ensinar matemática e física”.Percebe-se também, que os PM e PF que conheciam a relação eram minorias,tornando este fato preocupante, pois a dificuldade já esta sendo notada desde oseducadores, perpetuando-se para o ambiente de sala de aula. A segunda questão traz: Qual referência você faz do assunto da primeiracomponente para explicar o outro da segunda ou vice-versa?
  38. 38. Nesta questão visava-se conhecer a metodologia de ensino dos professores,bem como descobrir se algum já utilizava a interdisplinaridade. Portanto temos: 1) PMF – 30% dos professores (3) faziam referências dos espelhos quandoestavam ensinando as cônicas. PMF2 respondeu que: “dentro de cônicas temos aquestão dos eixos, distância focal, foco, vértice, etc., termos estes que estarãopresentes em espelhos esféricos, daí a interação de ambas as disciplinas enecessidade de explanação do conteúdo”. 40% (04) não abordavam as cônicascomo conteúdo no ensino médio. Como afirma PMF3: “Não introduzi as cônicascomo conteúdo de matemática no plano de curso para o ensino médio”. Os 30%restantes solicitaram dos educandos uma síntese do conteúdo e não o explicou emsala. PMF5 afirmou: “[...] acredito que passando um trabalho em forma de resumoeles aprendem mais”. 2) PM – Como apenas 35% deles concordaram que existe a relação decônicas com espelhos esféricos, 60% (3) destes (ou 20% do total de PM) faziamreferencias aos elementos de ambas citando a relação direta das componentescurriculares. Nota-se isto em PM9 que afirmou: “tem que fazer! Fica mais fácil proaluno entender, pois as cônicas são muito abstratas”. 3) PF – De acordo a primeira resposta onde percebe-se que 50% dosprofessores de física conhecem ambos os assuntos, apenas 33% (2) deles fazemreferencias de cônicas quando ensinam espelhos. PF2 ressaltou que: “[...]explicando espelhos esféricos, falo sobre a formação de imagens de objetos, então,mostro a eles um exemplo de quando nossa imagem é refletida na lateral de umcarro. Ficamos baixos e gordos! Isso acontece por que a inclinação da lateral docarro não é um círculo e sim uma hipérbole”. Como esta questão é interligada a primeira, as respostas serão positivasapenas para aqueles os quais relacionavam a física e a matemática. No entanto,nem todos, apesar de conhecerem esta relação utilizam os mecanismos dainterdisciplinaridade como apoio das suas atividades escolares. A metodologia de
  39. 39. ensino desses sujeitos, professores, mesmo que de maneira tímida ou mesmo semmuita expressão, já se constitui uma tentativa diferente de aplicação e aprendizagemdo conteúdo relacionando as componentes. Isso é uma característica dainterdisciplinaridade que precisa ser mais trabalhadas nas salas de aula. A Terceira questão diz: Ao entrar num supermercado, percebi numa dasparedes laterais a existência de um espelho “redondo”. Então, conclui que seria praa moça do caixa ver as filas de prateleiras e perceber se alguém furtaria algumamercadoria. Mas, por que este espelho era “redondo”? “O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento deobservação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.” (Extraído de:http://educar.sc.usp.br/otica/esferico.htm). Dentre as respostas, a grande maioria continha este pensamento, inclusivealguns que não conheciam a relação direta dos conteúdos citados anteriormente,responderam com persuasão ao afirmar que os espelhos redondos possuem campode visão maior que o de um plano, mesmo sendo de tamanhos iguais. Vê-se isso nacitação de PF3: “Trata-se de um espelho convexo, que nos dá, no caso à moça, umavisão mais ampla do ambiente ao seu redor, o que permite um campo de visão idealpara vigiar as prateleiras...”. Muito diferente disto, o PM3 afirma: “Não sei”. Verifica-se uma quantidade considerável de sujeitos os quais sabemidentificar as aplicações dos conteúdos, o que evidencia a existência de umainterdisciplinaridade no dia-a-dia ultrapassando o ambiente escolar. Porém, emalguns casos, não se verificou isto no ambiente escolar. PM7, que referente àprimeira questão, respondeu “Sinceramente, não sei”, afirmou nesta questão: “Porque, quando o espelho é redondo, ele mostra mais espaços do ambiente”,evidenciando o conhecimento informal não atrelado aos conteúdos específicos decônicas e espelhos esféricos. Segundo Fazenda (1992, p. 12): “uma coisa nosparece certa: nenhuma opção crítica pode nascer, nos alunos, quando os
  40. 40. professores lhes ministram ou inculcam um conhecimento que seria a expressão daverdade objetiva”. A quarta questão: Por que os faróis dos carros, independente da montadora,possuem a tendência de possuírem um formato “arredondado”? Todo raio luminoso que incide no espelho esférico côncavo passando pelofoco (ou em sua direção) é refletido paralelamente ao eixo principal (horizontal),segundo Ramalho (2003). Isso ocasionaria um sentido e uma direção desses raios(figura 25) e, assim, uma melhor iluminação já que se fala de raios luminosos. Noconvexo, seria ocasionado uma dispersão desses raios, provocando um baixoaproveitamento dos mesmos (figura 26). Raios refletidos paralelamente Raios dispersos, sem direção. ao eixo principal. Figura 25 Figura 26 Aqui obtive-se respostas curiosas. 100% dos professores, mesmo que asrespostas não condiziam com o questionamento, opinaram. Associa-se isto ao fatodesta se relacionar diretamente com a motivação do homem: O Automóvel! O PMF3afirmou que: “Se dá pelo fato de espelhos abaulados poderem direcionar os váriosraios luminosos para a mesma direção (paralelos), após refletirem nos mesmos...”.Contudo, o PM2 afirmou que: “acredito que seja para deixar a frente do carro maisbonita, inovada! Pois os modelos antigos possuem a “cara de velho””. PM5 diz:“Esses novos modelos de faróis são mais fortes e clareiam bem a frente do carro, osoutros modelos clareavam dos lados também e aí ficavam mais fracos”. PF2questionou: “[...] quantos acidentes ocorridos durante a noite não poderiam ter sido
  41. 41. evitados, se os faróis dos carros de antigamente fossem potentes iguais os de hojeem dia?”. Diante do exposto percebe-se que esta interdisciplinaridade matemática-física ultrapassa obstáculos que estão além da sala de aula. Isso demonstra opróprio professor não conhecedor da relação teórica dos conteúdos, ou mesmo, quenão os contextualiza identificando-os. Segundo Fazenda (1992, p. 45) é válido:“salientar que nos empreendimentos interdisciplinares, não é mais possível separaro conhecimento da prática”. A quinta questão requer do professor a sua postura quanto à afirmação deIvani Catarina Arantes Fazenda, com relação ao ensino médio nas escolas, quandodiz que: é praticamente inexistente a prática interdisciplinar, tanto no campo do ensino quanto no da pesquisa. O que existe, e assim mesmo numa escala bastante reduzida e, freqüentemente de modo inteiramente escamoteado, são certos encontros pluridisciplinares (FAZENDA, 1992, p. 15). Abaixo estão citações, dos professores, que mereceram destaque, acerca daafirmação da autora: PF4: “Poderia atuar com a união dos professores em trabalhar juntos para amelhoria do ensino em geral”. “A interdisciplinaridade no ensino médio é quase zero; normalmente, não seusa. O ensino se torna muito monótono, é muito tradicional!” (PMF10) “A péssima possível, pois não existe nenhuma ligação entre as disciplinas,apenas entre áreas, humanas e exatas, por exemplo” (PM12). PF3 diz:
  42. 42. Creio que seja a mesma coisa ou pior. Os professores, por “n” fatores não tem tempo de sentar e construir um projeto legal, que promova essa interação entre as disciplinas. E aí, temos estas apesar de interligadas, no caso de física e matemática, trabalhando isoladas. PF5 diz que: “concordo com a escritora. Faço de suas palavras, as minhas!”. Concordo com Fazenda e acrescento que no ensino médio a utilização da pluridisciplinaridade é utilizada por alguns professores, e a maioria deles a faz como se fosse interdisciplinaridade, e, no entanto, muitos deles pecam com isto, pois a interdisciplinaridade não requer centro, todo conhecimento é relevante a um saber universal, fazendo que haja uma comunicação entre as disciplinas. Ela jamais deve ser vista como uma ferramenta que reduz a um denominador comum, e sim como uma forma da criatividade, da diversidade, sendo que a viabilização de programas interdisciplinares exige um novo profissional, alguém que tenha uma visão abrangente do projeto e de como e quando as disciplinas vão interagir. (PM5) Todos os sujeitos que responderam essa questão concordaram com aafirmação da autora. Considerando-se que essa citação foi feita no início da décadade 1990, este fato é mais preocupante ainda, já que, confirma assim, a pequenaevolução da interdisplinaridade ao longo desse período. PM1 afirmou: “já perdi ascontas de quantas semanas pedagógicas participei e ouvi falar disso, mas até hojenão saiu de lá”. Segundo Fazenda (1992, p. 46): É necessário o exercício de uma educação permanente que tenha se iniciado numa prática interdisciplinar. Isto porque parte-se do princípio que o papel da educação na formação cultural do homem é o de dar-lhe as possibilidades e os instrumentos que lhe permitam ser culto, caso seja essa sua opção. Na sexta questão: O que você indicaria pra que ocorresse uma maioraproximação dessas disciplinas no ensino médio? A grande maioria dos entrevistados (90%) afirmaram que a primeira soluçãoseria aumentar o número de Aulas Complementares, fazer com que elas sejamsempre concomitantes de componentes afins e consequentemente reduzir a cargahorária efetiva do professor, que neste caso, dispunharia de mais tempo para elepróprio perceber as relações. Ainda apareceram sugestões como: “Formulação deprojetos e interação real não só entre os professores e sim, com todo o corpo que
  43. 43. compõe o universo escolar: diretores, professores, funcionários, alunos, pais...”(PM2); Outras citações dos sujeitos são: Para PF3: Um planejamento eficaz, um projeto específico mas que não ficasse apenas no papel, voltado para a integração destas disciplinas, visto que isso pode e vai melhorar bastante o processo ensino-aprendizagem de ambas as disciplinas. Além disso, o compromisso dos professores envolvidos no projeto. PM8: “Formulação de projetos e interação real não só entre os professores esim, com todo o corpo que compõe o universo escolar: diretores, professores,funcionários, alunos, pais...”. PMF7: “É simples! Selecionar apenas profissionais habilitados para lecionaressas temidas disciplinas e parar com essa história de ta faltando hora, então pegamatemática ou física só pra preencher a carga horária”. PMF10: Aumentar as horas de planejamento e as ACs e diminuir as horas de efetivo trabalho em sala de aula é uma boa medida para dar chances aos professores para buscarem conteúdos que tenham relação com sua área específica. Alem, de matemática e física, temos história, geografia, química..., por exemplo.. Percebe-se nessas citações que os sujeitos são favoráveis as idéias deFazenda (1994, 1995, 2001), Japiassú (1976), Aragão (2006), entre outros citados.Contudo, o êxito das intenções dos autores está encravado na disponibilidade dopróprio profissional atender as condições que a interdisciplinaridade requernomeadamente no que diz respeito ao tempo pra elaborar aulas e planos os quaisnão saem do papel. Entretanto, almeja-se crescimento da interdisciplinaridade esegundo Carneiro (2008, p. 53) apud JANTSCH; BIANCHETTI (1995): A interdisciplinaridade... é necessária para mediar comunicação entre os cientistas e entre eles e o mundo do senso comum. Para se comunicar com
  44. 44. outro cientista, o pesquisador precisa deslocar seu conjunto de proposiçõespara fora de sua linguagem específica: ele passa a abrir, por assim dizer,sua “caixa preta” para o outro cientista, tornando-a acessível a este. Cria-seuma linguagem comum entre os cientistas de diferentes campos oudisciplinas ou especialidades, mediante a qual eles compreendem oconstruto do outro e o seu próprio. Não se cria uma nova teoria, mas acompreensão do que cada um está fazendo, bem como a descoberta deestratégias de ação que lhes eram desconhecidas a ambos, tanto no interiorde sua própria ciência, como na relação às outras e ao mundo exterior docidadão comum.
  45. 45. Conclusão O presente trabalho revela todo o trajeto desenvolvido para resolução doquestionamento inicialmente aclamado, que diz respeito à interação dos conteúdosespelhos esféricos e cônicas efetuado por professores do ensino médio das escolaspúblicas e privadas da macrorregião de Senhor do Bonfim, com uma visão voltadapara a interdisciplinaridade. Através da análise de dados, podemos relatar alguns aspectos importantesobtidos pelos procedimentos metodológicos desenvolvidos nesta pesquisa. Vejamoscada um deles num comparativo aos objetivos traçados a priori. Boa parte dos entrevistados, apesar de conhecer as relações entre osconteúdos anteriormente citados, não desenvolve atitudes dentro do espaço escolarcapazes de expressar a interação matemática-física. A interdisciplinaridade destasduas componentes é praticamente inexistente, pois o resquício que há destaproposta de ensino só manifesta-se em professores ministrantes de ambas asdisciplinas, já que os demais desenvolvem suas propostas de trabalho de formasingular. Percebe-se a manutenção de uma prática fragmentada e desprovida derelações entre o espaço intra e extra-escolar, já que: O que se pretende na interdisciplinaridade não é anular a contribuição de cada ciência em particular, mas, apenas, uma atitude que venha a impedir que se estabeleça a supremacia de determinada ciência, em detrimento de outros aportes igualmente importantes (FAZENDA 1992, p. 31). Em relação à postura dos entrevistados frente à interdisciplinaridade,percebem-se diversas soluções para inclusão dessa grandiosa ferramentametodológica e justificativas para as práticas atuais não a contê-la. Todas assugestões dadas são importantíssimas, mas vale à pena ressaltar a disponibilidadedo professor em maior número de horas dentro da escola para que possadesenvolver atitudes voltadas diretamente para aquele espaço. Devendo esta
  46. 46. possibilidade ser atrelada à melhor remuneração, e os encontros entre osprofissionais, de áreas afins ou não, com freqüência constante para que possamexpor seus conteúdos e interagir objetivando a construção de técnicas subsidiadaspela interdisciplinaridade, tendo como conseqüência um trabalho contínuo eintegrado. É cediça a importância da concepção a respeito da responsabilidade doprofissional em educação, pois o bom resultado da interação entre todas as áreas deensino depende essencialmente da sua compreensão de aprendizagem. Acreditarna proposta interdisciplinar requer conhecer seu significado, para que não hajaconfusão com outras práticas como a pluridisciplinaridade e a transdiciplinaridade. A construção desta pesquisa não visa apenas o caráter conclusivo dostrabalhos acadêmicos. Ela pretende trazer uma reflexão acerca do processo deensino e aprendizagem desenvolvido em boa parte das instituições de ensino, bemcomo sugerir mecanismos solucionadores desta problemática cujos reflexostraduzem num sistema educacional caótico e defasado. Como afirma Fazenda(1992, p. 49): “A necessidade da interdisciplinaridade impõe-se não só como formade compreender e modificar o mundo, como também por uma exigência interna dasciências que buscam o restabelecimento da unidade perdida do saber”.
  47. 47. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASAMALDI, Ugo. Imagens da física: As idéias e as experiências do pêndulo aosquarks. Tradução: Fernando Trotta. São Paulo: Editora Scipione LTDA. 1ª edição,1997.AMARAL, João J. F. Como fazer uma pesquisa bibliográfica. Fortaleza, 2007.Disponível em: <br.geocities.com/abs5famed/bibliografia.pdf>. Acesso em: 02 out2008.ARAGÃO, Osvaldo Alves de. Estudo sobre as relações matemáticas / físicas noensino médio. Monografia: (Graduação em Licenciatura em Matemática) -Universidade do Estado da Bahia, Senhor do Bonfim, 2006.AZEVEDO, Aline Fernandes de. Os leitores dos semanários: entre a pesquisaquantitativa e o método qualitativo. UNIrevista - v. 1, n 3 p.4 jul 2006. USP, SãoPaulo. Disponível em: <http://www.alaic.net/ponencias/UNIrev_Azevedo.pdf> acessoem 03 out 2008.BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. Ilustradores Adilson Secco,Paulo Monzi e Mario Azevedo Matsuda. V. 1. São Paulo: Moderna, 2004.BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino médio. Brasília, 2002.BOYER, Carl Benjamin, 1906. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide.São Paulo, Edgard Blucher, 1974.CARNEIRO, Roberto Rayala da Silva. A relação matemática-biologia no estudo e/oupesquisa da hereditariedade na UNEB/CAMPUS VII, Senhor do Bonfim: umaquestão interdisciplinar. 2008. 70f. Monografia: (Graduação em Licenciatura Plenaem Matemática) - Universidade do Estado da Bahia, Senhor do Bonfim, 2006.COUTINHO, Lázaro. Convite às geometrias não-euclidianas. 2 ed. – Rio de Janeiro:Interciência, 2001.DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. São Paulo: Ática, 2005.DIAS, Cláudia. Grupo focal: técnica de coleta de dados em pesquisas qualitativas.Nov. 1999. 16p. Disponível em: <www.geocities.com/claudiaad/qualitativa.pdf>acesso em: 02 out 2008.EVES, H. Introdução à História da Matemática, São Paulo: Editora da Unicamp,2004.
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  50. 50. Apêndice 1:Este questionário terá como objetivo fornecer dados para analise referente àpesquisa monográfica, para isso, conto com sua colaboração. * Não seránecessário identificar – se.1 – Pesquisas indicam que pessoas as quais possuem facilidade com a física,também, possuem facilidade com a matemática, pois, ambas fazem parte da mesmaárea, AS EXATAS. Você concorda que as cônicas (matemática) têm relação comespelhos esféricos (física)? Por quê?2 – Qual referência você faz do assunto da primeira componente para explicar ooutro da segunda ou vice-versa?3 – Ao entrar num supermercado, percebi numa das paredes laterais a existência deum espelho “redondo”. Então, conclui que seria pra a moça do caixa ver as filas deprateleiras e perceber se alguém furtaria alguma mercadoria. Mas, por que esteespelho era “redondo”?4 – Por que os faróis dos carros, independente da montadora, possuem a tendênciade possuírem um formato “arredondado”?5 – Ivani Catarina Arantes Fazenda diz isto que: “é praticamente inexistente a práticainterdisciplinar, tanto no campo do ensino quanto no da pesquisa. O que existe, eassim mesmo numa escala bastante reduzida e, freqüentemente de modointeiramente escamoteado, são certos encontros pluridisciplinares”. (FAZENDA,1992, P. 15). Qual sua posição sobre o que acontece em nosso ensino médio?
  51. 51. 6 – O que você indicaria pra que ocorresse uma maior aproximação dessasdisciplinas no ensino médio?

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