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Matemática
Elementar I
Autor
Leonardo Brodbeck Chaves
Matemática
Elementar I
Caderno de Atividades
2009
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© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor
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Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel
80730-200 • Curitiba • PR
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C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.
Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 510
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Leonardo Brodbeck Chaves
MestreemInformáticanaáreadeEngenhariadeSoftwarepelaUniversidade
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em
Eletrônica também pela UFPR.
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Sumário
Contagem | 11
1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11
2. O sistema de numeração decimal | 13
Adição e subtração | 17
1. A adição | 17
2. A subtração | 18
Multiplicação e divisão | 21
1. A multiplicação | 21
2. A divisão | 23
Frações (I) | 25
1. As frações | 25
2. Resolução de problemas com frações | 28
3. Frações próprias e impróprias | 30
4. Simplificação de frações | 31
Frações (II) | 35
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35
2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36
3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37
4. Multiplicação com frações | 40
5. Divisão com frações | 41
Potenciação | 43
1. Potenciação | 43
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Expressões numéricas | 47
1. Introdução | 47
2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47
Geometria (I) | 53
1. Polígono | 53
2. Ângulos | 55
3. Triângulo | 55
4. Quadrilátero | 56
5. Perímetro de um polígono | 57
6. Medida do comprimento da circunferência | 62
Geometria (II) | 65
1. Unidade de área | 65
2. Áreas de figuras planas | 66
3. Volumes | 70
Razão e proporção | 75
1. Razão | 75
2. Proporção | 79
3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85
1. Grandezas diretamente proporcionais | 85
2. Grandezas inversamente proporcionais | 88
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95
1. Proporcionalidade composta | 95
2. Regra de três composta | 97
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Porcentagem e juro | 105
1. Porcentagem | 105
2. Juro | 111
Equações do 1.o
grau | 117
1. Introdução | 117
Equações do 2.o
grau | 125
1. Noção de equação do 2.o
grau | 125
2. Forma geral | 125
3. Solução de uma equação do 2.o
grau | 127
4. Resolução de problemas do 2.o
grau | 137
5. Problemas que envolvem equações do 2.o
grau | 138
Sistemas lineares 2 x 2 | 143
1. Introdução | 143
2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144
3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144
4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146
5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151
6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153
Radiciação | 159
1. Introdução | 159
2. Quadrados perfeitos | 160
3. Raiz quadrada | 161
Gráfico e função | 163
1. Plano cartesiano | 163
2. Função afim | 164
3. Função quadrática | 168
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Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e
desenvolvimento para a sociedade.
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Porcentagem e juro
1. Porcentagem
É usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja
feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor.
Exemplos:
a)	 Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda,
contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%.
Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções?
Salário líquido = salário bruto – deduções
SL
= SB
– D
SL
= (100% de 3 200) – (40% de 3 200)
SL
= 60% de 3 200
SL
=
60
. 3 200
100
SL
= 0,60 . 3 200 = 1 920
Note que o fator de diminuição é 0,6:
Usando taxas, bastaria calcular assim:
SL
=
(100 –40)
. 3 200 ⇒ SL
=
60
. 3 200
100 100
SL
= 0,60 . 3 200 = 1 920
Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00.
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades106
b)	 André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%.
Qual é o total da dívida ao final de um mês?
Montante = capital + juros
M = C + j
(
.
=
=
=
=
=
M 100% de 450)+(11% de 450)
M 111% de 450
111
M 450
100
M 1,11. 450
Note que o fator de aumento é1,11.
M 499,50
Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50.
1.	 Calcule as porcentagens a seguir:
	 a)	 27% de 1 300
27
27% de 1 300 = × 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351
100
fator
Vamos calcular rapidamente então?
Situação Cálculo do fator Operação
Desconto de 10% 100% – 10% = 90% =
90
=0,90
100
Multiplicar por 0,90
Acréscimo de 3,5% 100% +3,5%=103,5%=
103,5
=1,035
100
Multiplicar por 1,035
Desconto de 2% 100% – 2%= 98% =
98
=0,98
100
Multiplicar por 0,98
Para uma situação geral, temos:
Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por:
N = V + i.V = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento.
Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo
valor N é dado por:
N = V – iV = V(1-i) onde 1 – i é o fator de diminuição.
Agora, vamos acompanhar alguns exemplos:
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Porcentagem e juro 107
	 b)	 3,7% de 8 500
= =
3,7
3,7% de 8500 . 8500 0,037. 8500=314,50
100
fator
2.	 Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas:
a)	 O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é
o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%?
 
  
N= V +iV
N= V (1+i)
0,71
N= 250 1+
100
N= 250(1+0,0071)
N= 250.1,0071
fator de aumento
N = 251,78
Resposta: O seu saldo é de R$251,78.
b)	 O preço de um televisor é de R$1.100,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%.
Se for comprá-lo à vista, qual o valor final?
fator
=
=
=
=
=
 
  
-
-
N V +iV
N V (1–i)
8,5
N 1100 1
100
N 1100.(1 0,085)
N 1100. 0,915
N = 1 006,50
Resposta: O preço final será R$1.006,50.
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades108
3.	 O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de
15%. De quanto será o aumento?
= =⋅
15
15% de 800 800 120
100
	 Resposta: O aumento será de R$120,00.
4.	 Calcule as porcentagens a seguir:
	 a)	 22% de 250
=⋅
22
250 55
100
	 Resposta: 55.
	
	 b)	 90% de 22 500
=⋅
90
22500 20250
100
	 Resposta: 20 250.
	
c)	 5% de R$120
⋅
5
120 = 6
100
	 Resposta: R$6.
5.	 O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de
15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário?
Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00.
+
+
+
+
ATUALS = S aumento
15
S =360 .360
100
S =360 0,15.360
S =(1 0,15).360
S = 414,00
Resposta: O salário será de R$414,00.
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Porcentagem e juro 109
6.	 Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar
à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista?
Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220 . 0,92 = 202,40.
FINAL ORIGINAL
FINAL
FINAL
FINAL
FINAL
P = P –D
8
P = 220 – .220
100
P = 220 – 0,08.220
P = (1– 0,08).220
P = 202,40
Resposta: O preço com desconto será R$202,40.
Exercícios
Resolva os exercícios que seguem:
1.	 Calcule as porcentagens a seguir:
a)	 2% de 530
b)	 88% de 1 700
c)	 6% de R$22.500,00
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades110
2.	 Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é
o valor do acréscimo?
3.	 O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é
o preço a prazo?
4.	 O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do
preço final?
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Porcentagem e juro 111
2. Juro
Juro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo.
2.1 Juro simples
O senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a
ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à
financeira?
Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele
terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular
assim:
Juros = 500 x 20% x 1
⋅ ⋅
20
Juros 500 1
100
Juros 500 0,20 1 100
=
= . . =
taxa
capital numerador de
períodos
Assim, o senhor José pagará:
Total = 500 + 100 = 600.
Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira.
O cálculo do juro pode ser generalizado:
J = C . i . n
J = juro
C = capital
i = taxa
n = número de períodos
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades112
Vejamos mais alguns exemplos:
a)	 Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante
um período de 3 anos.
	 C = 5 000
25
i 25% 0,25
100
= = =
	 n = 3
	 j = ?
	 J = C. i. n
	 J = 5 000 . 0,25 . 3
	 ∴ J = 3 750
	 Resposta: O juro é de R$3.750,00
b)	 Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5%
durante 1 ano?
	 Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capital aplicado mais o ren-
dimento.
	 Dessa maneira:
	 Montante = Capital aplicado + rendimento
	 M = C + J
	 M = C + C.i.n
	 M = C (1+ i.n)
	 Voltando ao problema,
	 C = 8 000
5
i 5% 0,05
100
= = =
	 n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma
base de tempo)
	 M = 8 000 (1+ 0,05.12)
	 M = 8 000 . 1,6 = 1 280.
	 Resposta: O montante é de R$12.800,00.
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Porcentagem e juro 113
c)	 Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses?
M = 88 000
∴
 
  
20
i = 20% ano= ao ano = 0,20 ano
100
6 1
n = 6meses ano = ano
12 2
C =?
M = C+C.i.n
1
88 000 = C 1+0,20.
2
88 000 = C (1+0,10)
88 000
C = C = 80 000,00
1,10
Resposta: O capital é de R$80.000,00.
2.2 Juro composto
Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos
do período de 1 mês são incorporados ao capital.
Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais,
durante 3 meses.
Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00
Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50
Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades114
Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é
aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior.
Vejamos alguns exemplos:
a)	 Seascadernetaspagamrendimentode0,65%aomês,calcule,usandoumacalculadora,
quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses.
	 :: Primeiro mês:





C 500,00
0,65
i 0,65%= 0,0065aomês
100
n 1 mês
=
= =
=
	 M = C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25
	 :: Segundo mês:





C 503,25
i 0,0065aomês
n 1 mês
=
=
=
	 M = C (1 + n.i) = 503,25 (1 . 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52
	 :: Terceiro mês:





C 506,52
i 0,0065aomês
n 1 mês
=
=
=
	 M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81
	 Logo o capital rende R$509,81 – R$500,00 = R$9,81
	 Resposta: O capital rende R$9,81.
b)	 Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no
regime de juros simples, durante um período de 5 anos.
	
C = 8 750
12
i=12%ao ano = = 0,12 ao ano
100
n=5 anos





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Porcentagem e juro 115
	 j = C.i.n
	 j= 8 750 . 0,12 . 5 ∴ j = 5 250
	 Resposta: O juro simples é de R$5.250,00.
c)	 Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de
1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos?
	
C 2 200=




1,5
i 1,5% ao ano 0,015 ao mês
100
n 2 anos 24meses
= = =
= =
	 M = C (1 + i.n)
	 M = 2 200 (1+ 0,015 . 24)
	 M = 2 200 . 1,36 ∴ M = 2 992
	 Resposta: O montante é R$2.992,00.
d)	 Suponhaqueascadernetasdepoupançarendam0,63%aomês. Simuleumaaplicação
de um capital de R$1.000,00 por três meses.
Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.000,00 1 000 . 0,0063 . 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30
Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063 . 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64
Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.012,64 1 012,64 . 0,0063 . 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades116
Exercícios
Resolva os exercícios que seguem:
5.	 Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de 8% ao ano, durante 4
anos, no regime de juros simples.
6.	 Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao
mês, no regime de juros simples, durante 6 anos?
7.	 Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de
1,5% ao mês, durante 4 meses.
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Gabarito
Porcentagem e juro
1.	 a) 10,60
b)	 1 496
c)	 R$1.350,00
2.	 R$8,80
3.	 R$2.675,00
4.	 R$2,42
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
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Matemática Elementar I - Caderno de Atividades

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  • 2. © 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR www.iesde.com.br C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 3. Leonardo Brodbeck Chaves MestreemInformáticanaáreadeEngenhariadeSoftwarepelaUniversidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 4. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 5. Sumário Contagem | 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11 2. O sistema de numeração decimal | 13 Adição e subtração | 17 1. A adição | 17 2. A subtração | 18 Multiplicação e divisão | 21 1. A multiplicação | 21 2. A divisão | 23 Frações (I) | 25 1. As frações | 25 2. Resolução de problemas com frações | 28 3. Frações próprias e impróprias | 30 4. Simplificação de frações | 31 Frações (II) | 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicação com frações | 40 5. Divisão com frações | 41 Potenciação | 43 1. Potenciação | 43 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 6. Expressões numéricas | 47 1. Introdução | 47 2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47 Geometria (I) | 53 1. Polígono | 53 2. Ângulos | 55 3. Triângulo | 55 4. Quadrilátero | 56 5. Perímetro de um polígono | 57 6. Medida do comprimento da circunferência | 62 Geometria (II) | 65 1. Unidade de área | 65 2. Áreas de figuras planas | 66 3. Volumes | 70 Razão e proporção | 75 1. Razão | 75 2. Proporção | 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85 1. Grandezas diretamente proporcionais | 85 2. Grandezas inversamente proporcionais | 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95 1. Proporcionalidade composta | 95 2. Regra de três composta | 97 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 7. Porcentagem e juro | 105 1. Porcentagem | 105 2. Juro | 111 Equações do 1.o grau | 117 1. Introdução | 117 Equações do 2.o grau | 125 1. Noção de equação do 2.o grau | 125 2. Forma geral | 125 3. Solução de uma equação do 2.o grau | 127 4. Resolução de problemas do 2.o grau | 137 5. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138 Sistemas lineares 2 x 2 | 143 1. Introdução | 143 2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144 3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153 Radiciação | 159 1. Introdução | 159 2. Quadrados perfeitos | 160 3. Raiz quadrada | 161 Gráfico e função | 163 1. Plano cartesiano | 163 2. Função afim | 164 3. Função quadrática | 168 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 8. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 9. Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 10. (conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 11. Porcentagem e juro 1. Porcentagem É usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor. Exemplos: a) Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda, contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%. Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções? Salário líquido = salário bruto – deduções SL = SB – D SL = (100% de 3 200) – (40% de 3 200) SL = 60% de 3 200 SL = 60 . 3 200 100 SL = 0,60 . 3 200 = 1 920 Note que o fator de diminuição é 0,6: Usando taxas, bastaria calcular assim: SL = (100 –40) . 3 200 ⇒ SL = 60 . 3 200 100 100 SL = 0,60 . 3 200 = 1 920 Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 12. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades106 b) André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%. Qual é o total da dívida ao final de um mês? Montante = capital + juros M = C + j ( . = = = = = M 100% de 450)+(11% de 450) M 111% de 450 111 M 450 100 M 1,11. 450 Note que o fator de aumento é1,11. M 499,50 Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50. 1. Calcule as porcentagens a seguir: a) 27% de 1 300 27 27% de 1 300 = × 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351 100 fator Vamos calcular rapidamente então? Situação Cálculo do fator Operação Desconto de 10% 100% – 10% = 90% = 90 =0,90 100 Multiplicar por 0,90 Acréscimo de 3,5% 100% +3,5%=103,5%= 103,5 =1,035 100 Multiplicar por 1,035 Desconto de 2% 100% – 2%= 98% = 98 =0,98 100 Multiplicar por 0,98 Para uma situação geral, temos: Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por: N = V + i.V = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento. Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo valor N é dado por: N = V – iV = V(1-i) onde 1 – i é o fator de diminuição. Agora, vamos acompanhar alguns exemplos: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 13. Porcentagem e juro 107 b) 3,7% de 8 500 = = 3,7 3,7% de 8500 . 8500 0,037. 8500=314,50 100 fator 2. Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas: a) O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%?      N= V +iV N= V (1+i) 0,71 N= 250 1+ 100 N= 250(1+0,0071) N= 250.1,0071 fator de aumento N = 251,78 Resposta: O seu saldo é de R$251,78. b) O preço de um televisor é de R$1.100,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%. Se for comprá-lo à vista, qual o valor final? fator = = = = =      - - N V +iV N V (1–i) 8,5 N 1100 1 100 N 1100.(1 0,085) N 1100. 0,915 N = 1 006,50 Resposta: O preço final será R$1.006,50. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 14. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades108 3. O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de 15%. De quanto será o aumento? = =⋅ 15 15% de 800 800 120 100 Resposta: O aumento será de R$120,00. 4. Calcule as porcentagens a seguir: a) 22% de 250 =⋅ 22 250 55 100 Resposta: 55. b) 90% de 22 500 =⋅ 90 22500 20250 100 Resposta: 20 250. c) 5% de R$120 ⋅ 5 120 = 6 100 Resposta: R$6. 5. O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de 15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário? Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00. + + + + ATUALS = S aumento 15 S =360 .360 100 S =360 0,15.360 S =(1 0,15).360 S = 414,00 Resposta: O salário será de R$414,00. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 15. Porcentagem e juro 109 6. Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista? Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220 . 0,92 = 202,40. FINAL ORIGINAL FINAL FINAL FINAL FINAL P = P –D 8 P = 220 – .220 100 P = 220 – 0,08.220 P = (1– 0,08).220 P = 202,40 Resposta: O preço com desconto será R$202,40. Exercícios Resolva os exercícios que seguem: 1. Calcule as porcentagens a seguir: a) 2% de 530 b) 88% de 1 700 c) 6% de R$22.500,00 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 16. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades110 2. Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é o valor do acréscimo? 3. O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é o preço a prazo? 4. O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do preço final? Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 17. Porcentagem e juro 111 2. Juro Juro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo. 2.1 Juro simples O senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à financeira? Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular assim: Juros = 500 x 20% x 1 ⋅ ⋅ 20 Juros 500 1 100 Juros 500 0,20 1 100 = = . . = taxa capital numerador de períodos Assim, o senhor José pagará: Total = 500 + 100 = 600. Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira. O cálculo do juro pode ser generalizado: J = C . i . n J = juro C = capital i = taxa n = número de períodos Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 18. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades112 Vejamos mais alguns exemplos: a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante um período de 3 anos. C = 5 000 25 i 25% 0,25 100 = = = n = 3 j = ? J = C. i. n J = 5 000 . 0,25 . 3 ∴ J = 3 750 Resposta: O juro é de R$3.750,00 b) Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5% durante 1 ano? Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capital aplicado mais o ren- dimento. Dessa maneira: Montante = Capital aplicado + rendimento M = C + J M = C + C.i.n M = C (1+ i.n) Voltando ao problema, C = 8 000 5 i 5% 0,05 100 = = = n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma base de tempo) M = 8 000 (1+ 0,05.12) M = 8 000 . 1,6 = 1 280. Resposta: O montante é de R$12.800,00. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 19. Porcentagem e juro 113 c) Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses? M = 88 000 ∴      20 i = 20% ano= ao ano = 0,20 ano 100 6 1 n = 6meses ano = ano 12 2 C =? M = C+C.i.n 1 88 000 = C 1+0,20. 2 88 000 = C (1+0,10) 88 000 C = C = 80 000,00 1,10 Resposta: O capital é de R$80.000,00. 2.2 Juro composto Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos do período de 1 mês são incorporados ao capital. Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais, durante 3 meses. Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00 Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50 Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 20. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades114 Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior. Vejamos alguns exemplos: a) Seascadernetaspagamrendimentode0,65%aomês,calcule,usandoumacalculadora, quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses. :: Primeiro mês:      C 500,00 0,65 i 0,65%= 0,0065aomês 100 n 1 mês = = = = M = C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25 :: Segundo mês:      C 503,25 i 0,0065aomês n 1 mês = = = M = C (1 + n.i) = 503,25 (1 . 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52 :: Terceiro mês:      C 506,52 i 0,0065aomês n 1 mês = = = M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81 Logo o capital rende R$509,81 – R$500,00 = R$9,81 Resposta: O capital rende R$9,81. b) Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples, durante um período de 5 anos. C = 8 750 12 i=12%ao ano = = 0,12 ao ano 100 n=5 anos      Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 21. Porcentagem e juro 115 j = C.i.n j= 8 750 . 0,12 . 5 ∴ j = 5 250 Resposta: O juro simples é de R$5.250,00. c) Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos? C 2 200=     1,5 i 1,5% ao ano 0,015 ao mês 100 n 2 anos 24meses = = = = = M = C (1 + i.n) M = 2 200 (1+ 0,015 . 24) M = 2 200 . 1,36 ∴ M = 2 992 Resposta: O montante é R$2.992,00. d) Suponhaqueascadernetasdepoupançarendam0,63%aomês. Simuleumaaplicação de um capital de R$1.000,00 por três meses. Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.000,00 1 000 . 0,0063 . 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30 Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063 . 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64 Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.012,64 1 012,64 . 0,0063 . 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 22. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades116 Exercícios Resolva os exercícios que seguem: 5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de 8% ao ano, durante 4 anos, no regime de juros simples. 6. Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros simples, durante 6 anos? 7. Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de 1,5% ao mês, durante 4 meses. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 23. Gabarito Porcentagem e juro 1. a) 10,60 b) 1 496 c) R$1.350,00 2. R$8,80 3. R$2.675,00 4. R$2,42 5. R$294,40 6. R$51.600,00 7. R$8.490,90 Gabarito Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 24. Matemática Elementar I – Caderno de Atividades Anotações Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br