Este trabalho tem como objetivo determinar a matriz de rotação entre os sistemas de coordenadas Clarke 1880 e WGS-84. Ele descreve o método de Bursa para transformação de sistemas de coordenadas e aplica este método para calcular a matriz de rotação entre os dois sistemas.

1. UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO
FACULDADE DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA GEOGRAFICA
TRABALHO DE GEODESIA II
Determinação de matriz de rotação entre os sistemas
rectangulares espácias x, y, z em relação aos elipsoides wgs-
84 e o de clarke de 1880
Nome : Alfeu Marinho José
Curso: Engª. Geográfica
Periodo: noturno
3ºano
Nº87073
Docente: Dr. António Alves de carvalho

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LUANDA - 2013
Agradecimento
Venho por este meio agrader a DEUS por ter mi concedido a força, a saude e a
inspiração de conseguir solucionar os grandes obstáculos e realizar este trabalho de pesquisa.
Também agradeço aos meus amigos, colegas que tanto batalharam para conseguir dar
a solução deste trabalho, e finalmente tambem agradeço ao doutor Alves por nos esplicar
como seria feito o trabalho de pesquisa científica e os cuidados que poderiamos ter ao fazer a
mesma investigação.

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Indice
OBJECTIVO …………………………………………………………………………………4
INTRODUÇÃO ………………………………………………………………………………5
TRANSFORMAÇÃO DOS SISTEMA S..............................................……………...…….6
CONCLUSÃO.......................………………………………………………………….…….10
REFERENCIA ...............................…………………………………………………………12

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Objectivo
Neste trabalho tem como principal objetivo determinar a matriz da transformar do
sistema local que é o clarke de 1880 para um outro sistema que é o WGS-84 .

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INTRODUÇÃO
Diversos são os modelos que podem ser aplicados para a transformação de
coordenadas entre redes geodésicas,. No contexto dessa pesquisa, o procedimento de
transformação será baseado na aplicação de parâmetros de transformação para as
coordenadas. Em âmbito nacional, tais parâmetros são oficialmente disponibilizados pelo
IGCA, que é a instituição responsável.
As coordenadas resultantes desse processo de transformação serão aqui denominadas,
pois ainda são coordenadas provisórias, sem a modelagem das distorções.
Os usuários em geral utilizam as coordenadas curvilíneas em seus trabalhos.
Entretanto, como os parâmetros oficiais são dados em termos de coordenadas cartesianas,
transformações entre coordenadas cartesianas e curvilíneas, bem como o processo inverso, se
tornam necessárias. Dessa forma, a disponibilização das coordenadas finais também deve ser
feita no formato mais familiar ao usuário. Assim, as coordenadas finais no formato geodésico
curvilíneo e corrigidas das distorções .

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TRANSFORMAÇÃO DOS SISTEMAS
Existem vários métodos para a transforção de sistemas, neste trabalho vai se detalhar
sobre o método de BURSA conhecidas como transformação isogonal ou de similaridade. Os
modelos expressam a relação entre dois sistemas de coordenadas por meio de tres translações
(Tx,Ty,Tz), três rotações (α1,α2,α3) e um factor de escala (µ).As três translações são
justificadas pela não coicidencia da origem entre o sistema geocentrico e o geodesico local; as
três rotações são necessárias para expressar o não paralelismo dos eixos coordenados destes
dois sistemas e um factor de escala é requerido para homogeneizar os sistemas, devido á
utilização de diferentes instrumentos.
Assim, é necessário que se tenham pontos comuns nos dois sistemas para aplicar a
transformação, sendo um minimo de três pontos requeridos para a obtenção dos sete
parametros. Porem, para um melhor ajustamento, recomenda que se tenha mais pontos.
No modelo de BURSA, as coordenadas de um ponto na superficie da terra associadas
aos sistemas, geodesico local X eo geocentrico XT também são relacionadas através de três
translações (Tx,Ty,Tz), tres rotações ( α1,α2,α3) e um factor de escala µ. Isto verifica através
da figura a baixo.
Para um ponto i qualquer do terreno, o modelo matemático é ROMÃO 1982:

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Onde:
T – representa o vector de translação entre as origens dos dois sistemas, definidos no sistema
de satelites;
µ - Indica a diferença de escala entre dois sistemas;
R- é a matriz resultante do produto de três matrizes ortogonais de rotação Rx (α1),Ry (α2) e
Rz (α3); α1,α2,α3 são rotações dadas nos eixos X,Y,Z do sisitema geodesico local,
prospectivamente;
X e XT são os vectores de posição dos pontos i no terreno dados pelas coordenadas (X,Y,Z) e
(XT,YT,ZT), respectivamente, nos sistemas geodesico local e geocêntrico. Fazendo – se um
paralelo entre a transformação de bursa e a transformação tridimencional deHelmert, atraves
da equação dada, observa-se que a diferença existente entre os dois modelos ficam restritos
apenas ao factor (1+µ).
Pode se escrever da seguinte forma:
Neste contexto para determinação de uma matriz em Rx devemos primeiramente obter
uma matriz canónica isto é uma matriz em que na diagonal obteremos uma serie de uns, isto
surge quando se fixa um eixo e se faz rodar os dois eixos assim sucessivamente ate passar nos
três eixos. Após a obtenção desta matriz, vamos agora fazer uma analize da mesma para
determinar a matriz Rx, neste caso devemos fixar a primeira linha da matriz canonica que nos
indica o eixo dos X e fazer rodar os eixos Y e Z, quando fixarmos obteremos simplesmente
dois eixos que por sua vez nos representa um plano, e é do nosso conhecimento que o eixo
que estiver na vertical representa sempre o seno e cosseno na horizontal no ciclo
trigonometrico, quando rodamos o eixo, para a coordenada dos X obteremos zero para o Y
obteremos cosseno positivo e para o Z obteremos o seno tambem positivo, só o sinal depende
da rotação geralmente o eixo da vertical vai sempre ao encontro do eixo horizontal. Depois
fizemos o mesmo procedimento fazendo o sentido inverso isto é de menos seno para o Y e
cosseno para o Z, e assim obteremos uma espressão do tipo:

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Para Ry o procedimento é o mesmo devemos fixar a segunda linha da matriz canonica
isto é fixar o eixo do Y e fazer variar os eixos X e Z ao variar o Z sera seno positivo e X
cosseno tambem positivo para o outro caso o X sera seno mas negativo e Z cosseno positivo ,
isto é:
Para o Rz nos devemos fixar o eixo dos Z e variar os eixos dos X e Y como este plano
ja é do nosso conhecimeto então ficanos mas facil fazer a analize, sabendo que o eixo dos Y é
o seno e o dos X é o cosseno e os dois seram positivo se analizamos no sentido contrario o X
passa a ser o seno mais com sinal contrario e o Y o cosseno com sinal positivo, alertando que
o sinal é devido ao sebtido de rotação, neste caso teremos:
Como os ângulos α1,α2,α3 são muito pequenas, fazendo as devidas simplificações,
tem-se como produto das tres matrizes de rotaçães:
A matriz produto R pode ser substutuido pela soma de uma matriz unidade I com a
matriz dR dos angulos de rotação dα1,dα2,dα3 dados em radianos. Desta forma, fazendo as
devidas multiplicações e simplificações tem-se
Matricialmente a visualização do modelo é mais clara logo:
Sendo assim, para cada ponto da superficie da terra é formada uma equação do genero,
no mínimo três pontos comuns nos dois sistemas são requeridos para que se possa realizar o a
justamento dos sete parametros de transformação pelo minimo quadrático. O ajustamento
neste caso é semelhante ao da transformação de Helmert no espaço uma vez que as estruturas
das matrizes do sistema de equações normais são idênticas.

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CONCLUSÃO
Como conclusão final, constata-se que os objetivos propostos nessa pesquisa foram
atingidos no que se refere à melhoria no relacionamento das coordenadas entre redes
geodésicas. Entre realizações de sistemas de referência. Quanto aos critérios mencionados
anteriormente que uma modelagem deve satisfazer, a metodologia desenvolvida nessa
pesquisa atende ao de simplicidade, na medida em que é de fácil aplicação pelos usuários;
eficiência, já que não demanda esforço computacional demasiado; unicidade, pois assegura
uma solução única aos resultados; bastando apenas verificar o critério rigor, o qual só pode
ser verificado quando comparados os resultados obtidos com de outras metodologias
desenvolvidas com o mesmo propósito e com os mesmos dados.

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REFERÊNCIAS
ALTAMIMI, Z.; SILLARD, P.; BOUCHER, C. ITRF2000: a new release of the International
Terrestrial Reference Frame of earth science applications. Journal of Geophysical Research,
Washington, D.C., v. 107, n. 10, p. 2214, out. 2002.
COLLIER, P. Development of Australia’s national GDA94 transformation GRIDS:
consultant’s report to the Intergovernmental Committee on Surveying and Mapping.
Department of Geomatics, The University of Melbourne, Melbourne, 2002.
COSTA, M. F. Modelagem da função covariância para transformação de referenciais
geodésicos por colocação. 2003. 112 p. Tese (Doutorado em Ciências Geodésicas) –
Universidade Federal do Paraná, Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas, Curitiba,
PR.
COSTA, S. M. A. Integração da rede geodésica brasileira aos sistemas de referência