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Teorema de Gauss-Bonnet Global
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Teorema da Curva de Jordan
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1. Uma superf´ compacta com curvatura positiva ´ homeomorfa
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Teorema de Jacobi
5. Seja α : [0, l] → S uma curva parametrizada regular fechada
(i.e. α(0) = α(l) e α(i) (0) = α(i) (l) p...
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6. Seja T um triˆngulo geod´sico (i.e. os lados de T s˜o
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7.
Seja v um campo diferenci´vel de vetores em uma superf´
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ca
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Seja v (t) = v (α(t)), t ∈ [0, l], a restri¸˜o de v ao longo de α, e
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  1. 1. Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de co Gauss-Bonnet Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Profa .: Dra Inˆs Padilha e 16 de Janeiro de 2014 Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  2. 2. Teorema de Gauss-Bonnet Local Seja x : U → S uma parametriza¸˜o ortogonal (isto ´, F = 0), de ca e 2 ´ homeomorfo a um uma superf´ orientada S, onde U ⊂ R e ıcie disco aberto e x ´ compat´ com a orienta¸˜o de S. Seja e ıvel ca R ⊂ x(U) uma regi˜o simples de S e seja α : I → S tal que a ∂R = α(I ). Suponha que α ´ orientada positivamente, e paramertizada pelo comprimento de arco s, e sejam α(s0 ), ..., α(sk ) e θ0 , ..., θk , respectivamente, os v´rtices e os ˆngulos externos de e a α. Ent˜o a k k si+1 kg (s)ds + i=0 si Kdσ + R θi = 2π i=0 onde kg (s) ´ a curvatura geod´sica dos arcos regulares de α e K ´ e e e a curvatura Gaussiana de S. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  3. 3. Proposi¸˜o 4 ca Seja S ⊂ R 3 uma superf´ compacta e conexa; ent˜o um dos ıcie a valores 2, 0, −2, ..., −2n, ... ´ assumido pela caracter´ e ıstica de Euler-Poincar´ X (S). Al´m disto, se S ∗ ⊂ R 3 ´ uma outra e e e superf´ compacta e conexa e X (S) = X (S ∗ ), ent˜o S ´ ıcie a e homeomorfa a S ∗ . Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  4. 4. Teorema de Gauss-Bonnet Global Seja R ⊂ S uma regi˜o regular de uma superf´ orientada e sejam a ıcie C1 , ..., Cn as curvas fechadas, simples e regulares por partes que formam a fronteira ∂R de R. Suponha que cada Ci ´ orientada e positivamente e sejam θ1 , ..., θp o conjunto dos ˆngulos externos a das curvas C1 , ..., Cn . Ent˜o a p n kg (s)ds + i=1 ci Kdσ + R θl = 2πX (R) l=1 onde s denota o comprimento de arco de Ci , e a integral sobre Ci significa a soma das intergrais em todos os arcos regulares de Ci . Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  5. 5. Corol´rio 1. a Se R ´ uma regi˜o simples de S, ent˜o e a a k k si+1 kg (s)ds + i=0 si Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a θi = 2π Kdσ + R i=0 Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  6. 6. Corol´rio 2. a Seja S uma superf´ compacta e orint´vel; ent˜o ıcie a a Kdσ = 2πX (S) S Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  7. 7. Teorema da Curva de Jordan Seja C ⊂ R2 uma curva fechada, simples e regular por partes. Ent˜o R2 − C tem duas componentes conexas, uma limitada D e a outra ilimitada A, tais que ∂D = ∂A = C . Al´m disso, D ´ e e homeomorfo a um disco, isto ´, C ´ o bordo de uma regi˜o simples. e e a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  8. 8. Aplica¸˜es do Teorema da Gauss-Bonnet co 1. Uma superf´ compacta com curvatura positiva ´ homeomorfa ıcie e a uma esfera. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  9. 9. Aplica¸˜es do Teorema da Gauss-Bonnet co 2. Seja S uma superf´ orient´vel com curvatura Gaussiana ıcie a n˜o-positiva (i.e. K ≤ 0). Ent˜o duas geod´sicas γ1 e γ2 que a a e partem de um ponto p ∈ S n˜o podem se encontrar novamente em a um ponto q ∈ S de tal forma que os tra¸os de γ1 e γ2 constituam c a fronteira de uma regi˜o simples R de S. a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  10. 10. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  11. 11. Aplica¸˜es do Teorema da Gauss-Bonnet co 3. Seja S uma superf´ homeomorfa a um cilindro com curvatura ıcie Gaussiana K < 0. Ent˜o S tem no m´ximo uma geod´sica fechada a a e simples. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  12. 12. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  13. 13. ˜ Afirma¸˜o: Γ ∩ Γ = . ca ˜ n˜o podem se intersectar em apenas um ponto. 1. Γ e Γ a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  14. 14. ˜ 2. Suponhamos que ϕ(Γ) ∩ ϕ(Γ) = Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a . Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  15. 15. 3. Suponhamos que existam duas geod´sicas fechadas e simples Γ e ˜ em S que n˜o se intersectam. eΓ a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  16. 16. Aplica¸˜es do Teorema da Gauss-Bonnet co 4. Se existem duas geod´sicas fechadas e simples Γ1 e Γ2 numa e superf´ S compacta, conexa e com curvatura gaussiana K > 0, ıcie ent˜o Γ1 e Γ2 se intersectam. a Teorema da curva de Jordan na esfera Seja C ⊂ S 2 uma curva fechada, simples e regular por partes. Ent˜o S 2 − C tem duas componentes conexas D1 e D2 limitadas a homeomorfas a um disco, tais que ∂D1 = ∂D2 = C . Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  17. 17. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  18. 18. Teorema de Jacobi 5. Seja α : [0, l] → S uma curva parametrizada regular fechada (i.e. α(0) = α(l) e α(i) (0) = α(i) (l) para i = 1, ..., n, ...) com curvatura diferente de zero em todos os pontos. Suponha que a curva descrita pelo vetor normal ` curva η : I → S 2 ´ simples. a e Ent˜o η(I ) divide S 2 em duas regi˜es com ´reas iguais. a o a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  19. 19. Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co 6. Seja T um triˆngulo geod´sico (i.e. os lados de T s˜o a e a geod´sicas) em uma superf´ orientada S. Sejam θ1 , θ2 , θ3 os e ıcie ˆngulos externos de T e ϕi , i = 1, 2, 3, os ˆngulos internos. a a Ent˜o a soma dos ˆngulos internos 3 ϕi de um triˆngulo a a a i=1 geod´sico ´: e e 1. Igual a π se K = 0; 2. Maior que π se K > 0; 3. Menor que π se K < 0. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  20. 20. 7. Seja v um campo diferenci´vel de vetores em uma superf´ a ıcie orientada S. Dizemos que p ∈ S ´ um ponto singular de v se e v (p) = 0. O ponto singular ´ dito isolado se existe uma vizinhan¸a V de p e c em S tal que v n˜o tem pontos singulares em V al´m de p. a e A cada ponto singular isolado p de um campo de vetores v vamos associar um n´mero inteiro, o ´ u ındice de v em p, da seguinte maneira: Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  21. 21. Seja X : U → X (U) ⊂ S uma parametriza¸˜o ortogonal em ca X (u0 , v0 ), (u0 , v0 ) ∈ U, compat´ com a orienta¸˜o de S, tal que ıvel ca v (¯) = 0 para todo p ∈ X (U) − {p}, e seja α : [0, l] → S uma p ¯ curva parametrizada simples, fechada, regular por partes e orientada positivamente tal que α([0, l]) ⊂ X (U) ´ a fronteira de e uma regi˜o simples R contendo p em seu interior. a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  22. 22. Seja v (t) = v (α(t)), t ∈ [0, l], a restri¸˜o de v ao longo de α, e ca seja ϕ : [0, l] → R 3 uma parametriza¸˜o diferenci´vel por partes do ca a ˆngulo positivo de Xu a v (t), isto ´, a e Xu Xv v (t) = cosϕ(t). (β(t)) + senϕ(t). (β(t)) v (t) Xu Xv onde α(t) = X (β(t)). Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  23. 23. Como α ´ fechada (α(l) = α(0)) existe um inteiro I definido por e 2π.I = ϕ(l) − ϕ(0) = l 0 ϕ dt O inteiro I ´ chamado de ´ e ındice de v em p. Exemplo: Vamos calcular o ´ ındice do seguinte campo de vetores no plano que tem (0, 0) como ponto singular. As curvas que aparecem no desenho s˜o as trajet´rias dos campos de vetores. a o (1) w (x, y ) = (−x, −y ). Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  24. 24. Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co
  25. 25. Bibliografia 1. DO CARMO, Manfredo Perdig˜o, Geometria Diferencial das a Curvas e Superf´ ıcies, Cole¸˜o Textos Universit´rios, Sociedade ca a Brasileira de Matem´tica, 2008. a Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca a Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet co

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