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PESQUISA OPERACIONAL
Pesquisa Operacional
Aula 1
M.Sc. Vicente Tino
tino@posgrado.net.br
98808-8808
PESQUISA OPERACIONAL 2
ESTRUTURA DO CURSO
•Conceitos PO
•Método GráficoAula 1
•Conceitos PO
•Método SIMPLEXAula 2
•Conceitos PO
•LINDO / SOLVER + Lista de ExercíciosAula 3
•Artigos Científicos PO
•ApresentaçãoAula 4
•Trabalho FinalAula 5
PESQUISA OPERACIONAL 3
CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA
MODELAGEM MATEMÁTICA
ETAPAS DA P.O.
SOLUÇÃO GRÁFICA
SUMÁRIO
PESQUISA OPERACIONAL 4
CONCEITUAÇÃO
A pesquisa operacional é uma
ciência aplicada, que nos
oferece instrumentos para
resolver problemas reais, tomar
decisões baseadas em dados e
correlações quantitativas,
conceber, planejar e operar
sistemas fazendo uso da
tecnologia.
PESQUISA OPERACIONAL 5
Apoio a tomada de decisão
Os métodos quantitativos podem auxiliar na seleção
da melhor maneira de operar um sistema,
usualmente sob condições que exijam a utilização de
recursos limitados.
Denominações comuns:
• A Pesquisa Operacional – Operational Research
• Ciência da decisão – Management Science
• Ciência da gestão – Decision Science
PESQUISA OPERACIONAL 6
1938 –
surgimento
do radar
1941 –
seção de PO
na RAF
1947 –
Dantzig –
Pentágono –
Simplex
1950 – ORS
– TIM –
ORSA
1967 –
Periódico
Operational
Research
1968 – ITA –
S.J. dos
Campos
ANÁLISE HISTÓRICA
PESQUISA OPERACIONAL
Sociedade Brasileira de PO
7
http://sobrapo.org.br/
PESQUISA OPERACIONAL
CONCEITUAÇÃO
Operational Research
https://www.youtube.com/watch?v=tX6Rw7KJGjE&feature=youtu.be
8
PESQUISA OPERACIONAL 9
CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA
MODELAGEM MATEMÁTICA
ETAPAS DA P.O.
SOLUÇÃO GRÁFICA
SUMÁRIO
PESQUISA OPERACIONAL 10
Maximizar o retorno
Planejar as atividades de uma empresa produtora de
bens ou de serviços significa determinar que
decisões a empresa deve tomar ao longo do tempo
para maximizar o seu retorno.
•Qualidade do serviçoEmpresa
Pública
•Lucro financeiroEmpresa
Privada
PESQUISA OPERACIONAL 11
Modelos Matemáticos
• Descrevem problemas de planejamento;
• São aproximações de problemas reais;
• Para que seja útil, um modelo de planejamento deve
capturar os aspectos essenciais do problema, o que exige
habilidade na tarefa de modelagem.
• Para se chegar a resultados significativos são fundamentais
a habilidade e capacidade de análise, que podem ser
adquiridas por meio da experiência prática e do
entendimento da teoria por trás dos modelos matemáticos.
PESQUISA OPERACIONAL 12
PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO
PESQUISA OPERACIONAL
Determinísticos
Conhecido ou sob
controle do
tomador de
decisão.
Programação
Linear, Inteira,
Redes,
Combinatória
Estocásticos
Desconhecido ou
incerto
Simulação, Teoria
das Filas,
Otimização
Robusta
13
TIPOS DE MODELOS
PESQUISA OPERACIONAL
Programação
Linear
Programação
Dinâmica
Programação
Inteira
Teoria das
Filas
Simulação
Teoria dos
Jogos
Análise de
Risco
Programação
Não-Linear
Programação
Multi-objetivo
14
TIPOS DE MODELOS
PESQUISA OPERACIONAL
1. Onde adquirir materiais e componentes?
2. Onde Produzir? Quanto Produzir? Quando
Produzir?
3. Onde estocar os produtos acabados?
4. Onde estocar peças de reposição?
5. Como retirar do armazém?
6. Qual o tamanho da frota?
7. Quais as rotas dos veículos?
8. Quanto e quando expandir?
15
Por que aplicar P.O.?
PESQUISA OPERACIONAL 16
CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA
MODELAGEM MATEMÁTICA
ETAPAS DA P.O.
SOLUÇÃO GRÁFICA
SUMÁRIO
PESQUISA OPERACIONAL
1. Formulação do problema
2. Construção do modelo
3. Cálculo do modelo
4. Teste do modelo e solução
5. Implantação
17
ETAPAS DA P.O.
PESQUISA OPERACIONAL 18
CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA
MODELAGEM MATEMÁTICA
ETAPAS DA P.O.
SOLUÇÃO GRÁFICA
SUMÁRIO
PESQUISA OPERACIONAL 19
Max f(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 2𝑥2
𝑥1+𝑥2 ≤ 4
𝑥1 ≤ 2
𝑥2 ≤ 3
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
S.A.
EXEMPLO
Se𝑥2 = 3 e
𝑥1+𝑥2 ≤ 4, logo 𝑥1 = 1
PESQUISA OPERACIONAL
Uma empresa fabrica os produtos P1 e P2. O lucro
unitário do produto P1 é de 1000 u.m. e o lucro
unitário de P2 é de 1800 u.m. A empresa precisa de
20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo
anual de produção disponível para isso é de 1200
horas. A demanda esperada para cada produto é de
40 unidades anuais para P1 e 30 para P2. Qual é o
plano de produção para que a empresa maximize
seu lucro nesses itens?
EXEMPLO 1
20
PESQUISA OPERACIONAL
A) Quais as variáveis de decisão?
•O que deve ser decidido é o plano de
produção.
•Isto é, quais as quantidades anuais que
devem ser produzidas de P1 e P2.
EXEMPLO 1
21
PESQUISA OPERACIONAL
B) Qual o objetivo?
• O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado:
Lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1 – (x1)
Lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2 – (x2)
Lucro Total : L = 1000x1 + 1800x2
- Objetivo: maximizar L
EXEMPLO 1
22
PESQUISA OPERACIONAL
C) Quais as restrições?
• As restrições impostas pelo sistema são:
Disponibilidade de horas para a produção: 1200 horas.
• Horas ocupadas com P1: 20
• Horas ocupadas com P2: 30
• Restrição descritiva da situação:
EXEMPLO 1
23
PESQUISA OPERACIONAL
Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda).
• Disponibilidade de P1: 40 unidades
• Quantidade a produzir de P1: x1
• Restrição descritiva da situação :
EXEMPLO 1
Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda).
• Disponibilidade de P2: 30 unidades
• Quantidade a produzir de P2: x2
• Restrição descritiva da situação :
24
PESQUISA OPERACIONAL
Uma empresa fabrica os produtos P1 e P2. O lucro
unitário do produto P1 é de 1000 u.m. e o lucro
unitário de P2 é de 1800 u.m. A empresa precisa de
20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo
anual de produção disponível para isso é de 1200
horas. A demanda esperada para cada produto é de
40 unidades anuais para P1 e 30 para P2. Qual é o
plano de produção para que a empresa maximize
seu lucro nesses itens?
EXEMPLO 1
25
PESQUISA OPERACIONAL
Solução EXEMPLO 1
Função Objetivo
X1= Qtd P1 e
X2= Qtd P2
Max Lucro(X1,X2) = 1000X1 + 1800X2
Restrições:
Tempo: 20X1+30X2 <= 1200
Demanda : X1 <= 40 e X2 <= 30
X1 , X2 >=0
26
PESQUISA OPERACIONAL
Uma empresa fabrica miniaturas de caminhonetes e carros
esportivos. As principais matérias primas são plástico e
alumínio. O modelo esportivo consome 400g de plástico e
300g de alumínio. A caminhonete requer 700g de plástico e
150g de alumínio. A disponibilidade mensal de plástico é de
1t e a de alumínio é de 600 kg. O lucro referente a
caminhonete é R$ 12,00 e do esportivo é R$ 15,00. Devem
ser fabricados os dois modelos, mas por mês são vendidas
no máximo, 700 caminhonetes. Como maximizar o lucro ?
EXEMPLO 2
27
PESQUISA OPERACIONAL
Solução EXEMPLO 2
Função Objetivo
X1= Qtd Caminhonete e
X2= Qtd Carro
Max Lucro(X1,X2) = 12X1 + 15X2
Restrições:
Plástico : 700X1+400X2 <= 1000000
Alumínio : 150X1 + 300X2 <= 600000
X1 <= 700
X1 , X2 >=0
28
PESQUISA OPERACIONAL
Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas
e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32
unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia.
Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar.
Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6
unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8
unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade
diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir
as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor
custo possível? Cada unidade de carne custa 3 u.m. e cada
unidade de ovo custa 2,5 u.m.
EXERCÍCIO 3
29
PESQUISA OPERACIONAL
Solução EXERCÍCIO 3
Função Objetivo
X1= Carne e
X2= Ovo
Min Custo(X1,X2) = 3X1 + 2,5X2
Restrições:
Vitaminas : 4X1+8X2 >= 32
Proteínas : 6X1 + 6X2 >= 36
X1 , X2 >=0
30
PESQUISA OPERACIONAL
Um empresa de eletrodomésticos planeja veicular seus
produtos em comerciais de TV durante a novela das 8 e os
jogos da seleção na Copa.
Comerciais na novela são vistos por 7 milhões de mulheres
e 2 milhões de homens e custam $50000.
Comerciais nos jogos são vistos por 2 milhões de mulheres
e 12 milhões de homens, e custam $100000.
Qual a distribuição ideal de comerciais se a empresa deseja
que eles sejam vistos por 28 milhões de mulheres e 24
milhões de homens a um menor
custo possível?
EXERCÍCIO 4
31
PESQUISA OPERACIONAL
Solução EXERCÍCIO 4
Função Objetivo
X1= Novela e
X2= Jogos
Min Custo(X1,X2) = 50X1 + 100X2
Restrições:
Público Feminino : 7X1+2X2 >= 28
Público Masculino: 2X1 + 12X2 >= 24
X1 , X2 >=0
32
PESQUISA OPERACIONAL
Fábrica dispõe de 300h de máquina, 350h de mão de obra e
400kg de matéria prima para fabricar 2 produtos. Cada
unidade do produto P1 consome 1h de máquina, 2h de mão
de obra e 2kg de matéria prima e cada unidade do produto P2
consome 2h de máquina 1h de mão de obra e 3kg de matéria
prima. O lucro unitário de P1 é estimado em R$5,00 enquanto
que o lucro de P2 é R$12,00 para as primeiras 100 unidades e
R$10 para as unidades de P2 acima de 100 (caso existam).
Além disto, por razões trabalhistas, a mão de obra alocada na
produção de P2 não pode ser superior a mais da metade da
mão de obra utilizada na produção dos dois produtos em
conjunto. Deseja-se maximizar o lucro total estimado.
HomeWork
33
PESQUISA OPERACIONAL
HomeWork
Função Objetivo
X1= Qtd P1
X2= Qtd P2 <=100un
X3= Qtd P2 >100un
Max Lucro(X1,X2,X3) =
5X1 + 12X2 + 10X3
34
Restrições:
Máquina: X1+2X2+2x3<=300
Operador: 2X1+X2+x3<=350
Material: 2X1 + 3X2+3X3<=400
X2<=100
X3>100
X1 , X2, X3 >=0
PESQUISA OPERACIONAL 35
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  • 1. PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional Aula 1 M.Sc. Vicente Tino tino@posgrado.net.br 98808-8808
  • 2. PESQUISA OPERACIONAL 2 ESTRUTURA DO CURSO •Conceitos PO •Método GráficoAula 1 •Conceitos PO •Método SIMPLEXAula 2 •Conceitos PO •LINDO / SOLVER + Lista de ExercíciosAula 3 •Artigos Científicos PO •ApresentaçãoAula 4 •Trabalho FinalAula 5
  • 3. PESQUISA OPERACIONAL 3 CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA MODELAGEM MATEMÁTICA ETAPAS DA P.O. SOLUÇÃO GRÁFICA SUMÁRIO
  • 4. PESQUISA OPERACIONAL 4 CONCEITUAÇÃO A pesquisa operacional é uma ciência aplicada, que nos oferece instrumentos para resolver problemas reais, tomar decisões baseadas em dados e correlações quantitativas, conceber, planejar e operar sistemas fazendo uso da tecnologia.
  • 5. PESQUISA OPERACIONAL 5 Apoio a tomada de decisão Os métodos quantitativos podem auxiliar na seleção da melhor maneira de operar um sistema, usualmente sob condições que exijam a utilização de recursos limitados. Denominações comuns: • A Pesquisa Operacional – Operational Research • Ciência da decisão – Management Science • Ciência da gestão – Decision Science
  • 6. PESQUISA OPERACIONAL 6 1938 – surgimento do radar 1941 – seção de PO na RAF 1947 – Dantzig – Pentágono – Simplex 1950 – ORS – TIM – ORSA 1967 – Periódico Operational Research 1968 – ITA – S.J. dos Campos ANÁLISE HISTÓRICA
  • 7. PESQUISA OPERACIONAL Sociedade Brasileira de PO 7 http://sobrapo.org.br/
  • 9. PESQUISA OPERACIONAL 9 CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA MODELAGEM MATEMÁTICA ETAPAS DA P.O. SOLUÇÃO GRÁFICA SUMÁRIO
  • 10. PESQUISA OPERACIONAL 10 Maximizar o retorno Planejar as atividades de uma empresa produtora de bens ou de serviços significa determinar que decisões a empresa deve tomar ao longo do tempo para maximizar o seu retorno. •Qualidade do serviçoEmpresa Pública •Lucro financeiroEmpresa Privada
  • 11. PESQUISA OPERACIONAL 11 Modelos Matemáticos • Descrevem problemas de planejamento; • São aproximações de problemas reais; • Para que seja útil, um modelo de planejamento deve capturar os aspectos essenciais do problema, o que exige habilidade na tarefa de modelagem. • Para se chegar a resultados significativos são fundamentais a habilidade e capacidade de análise, que podem ser adquiridas por meio da experiência prática e do entendimento da teoria por trás dos modelos matemáticos.
  • 12. PESQUISA OPERACIONAL 12 PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO
  • 13. PESQUISA OPERACIONAL Determinísticos Conhecido ou sob controle do tomador de decisão. Programação Linear, Inteira, Redes, Combinatória Estocásticos Desconhecido ou incerto Simulação, Teoria das Filas, Otimização Robusta 13 TIPOS DE MODELOS
  • 14. PESQUISA OPERACIONAL Programação Linear Programação Dinâmica Programação Inteira Teoria das Filas Simulação Teoria dos Jogos Análise de Risco Programação Não-Linear Programação Multi-objetivo 14 TIPOS DE MODELOS
  • 15. PESQUISA OPERACIONAL 1. Onde adquirir materiais e componentes? 2. Onde Produzir? Quanto Produzir? Quando Produzir? 3. Onde estocar os produtos acabados? 4. Onde estocar peças de reposição? 5. Como retirar do armazém? 6. Qual o tamanho da frota? 7. Quais as rotas dos veículos? 8. Quanto e quando expandir? 15 Por que aplicar P.O.?
  • 16. PESQUISA OPERACIONAL 16 CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA MODELAGEM MATEMÁTICA ETAPAS DA P.O. SOLUÇÃO GRÁFICA SUMÁRIO
  • 17. PESQUISA OPERACIONAL 1. Formulação do problema 2. Construção do modelo 3. Cálculo do modelo 4. Teste do modelo e solução 5. Implantação 17 ETAPAS DA P.O.
  • 18. PESQUISA OPERACIONAL 18 CONCEITUAÇÃO E VISAO HISTÓRICA MODELAGEM MATEMÁTICA ETAPAS DA P.O. SOLUÇÃO GRÁFICA SUMÁRIO
  • 19. PESQUISA OPERACIONAL 19 Max f(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 2𝑥2 𝑥1+𝑥2 ≤ 4 𝑥1 ≤ 2 𝑥2 ≤ 3 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 S.A. EXEMPLO Se𝑥2 = 3 e 𝑥1+𝑥2 ≤ 4, logo 𝑥1 = 1
  • 20. PESQUISA OPERACIONAL Uma empresa fabrica os produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 1800 u.m. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? EXEMPLO 1 20
  • 21. PESQUISA OPERACIONAL A) Quais as variáveis de decisão? •O que deve ser decidido é o plano de produção. •Isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. EXEMPLO 1 21
  • 22. PESQUISA OPERACIONAL B) Qual o objetivo? • O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1 – (x1) Lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2 – (x2) Lucro Total : L = 1000x1 + 1800x2 - Objetivo: maximizar L EXEMPLO 1 22
  • 23. PESQUISA OPERACIONAL C) Quais as restrições? • As restrições impostas pelo sistema são: Disponibilidade de horas para a produção: 1200 horas. • Horas ocupadas com P1: 20 • Horas ocupadas com P2: 30 • Restrição descritiva da situação: EXEMPLO 1 23
  • 24. PESQUISA OPERACIONAL Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda). • Disponibilidade de P1: 40 unidades • Quantidade a produzir de P1: x1 • Restrição descritiva da situação : EXEMPLO 1 Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda). • Disponibilidade de P2: 30 unidades • Quantidade a produzir de P2: x2 • Restrição descritiva da situação : 24
  • 25. PESQUISA OPERACIONAL Uma empresa fabrica os produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 1800 u.m. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? EXEMPLO 1 25
  • 26. PESQUISA OPERACIONAL Solução EXEMPLO 1 Função Objetivo X1= Qtd P1 e X2= Qtd P2 Max Lucro(X1,X2) = 1000X1 + 1800X2 Restrições: Tempo: 20X1+30X2 <= 1200 Demanda : X1 <= 40 e X2 <= 30 X1 , X2 >=0 26
  • 27. PESQUISA OPERACIONAL Uma empresa fabrica miniaturas de caminhonetes e carros esportivos. As principais matérias primas são plástico e alumínio. O modelo esportivo consome 400g de plástico e 300g de alumínio. A caminhonete requer 700g de plástico e 150g de alumínio. A disponibilidade mensal de plástico é de 1t e a de alumínio é de 600 kg. O lucro referente a caminhonete é R$ 12,00 e do esportivo é R$ 15,00. Devem ser fabricados os dois modelos, mas por mês são vendidas no máximo, 700 caminhonetes. Como maximizar o lucro ? EXEMPLO 2 27
  • 28. PESQUISA OPERACIONAL Solução EXEMPLO 2 Função Objetivo X1= Qtd Caminhonete e X2= Qtd Carro Max Lucro(X1,X2) = 12X1 + 15X2 Restrições: Plástico : 700X1+400X2 <= 1000000 Alumínio : 150X1 + 300X2 <= 600000 X1 <= 700 X1 , X2 >=0 28
  • 29. PESQUISA OPERACIONAL Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 u.m. e cada unidade de ovo custa 2,5 u.m. EXERCÍCIO 3 29
  • 30. PESQUISA OPERACIONAL Solução EXERCÍCIO 3 Função Objetivo X1= Carne e X2= Ovo Min Custo(X1,X2) = 3X1 + 2,5X2 Restrições: Vitaminas : 4X1+8X2 >= 32 Proteínas : 6X1 + 6X2 >= 36 X1 , X2 >=0 30
  • 31. PESQUISA OPERACIONAL Um empresa de eletrodomésticos planeja veicular seus produtos em comerciais de TV durante a novela das 8 e os jogos da seleção na Copa. Comerciais na novela são vistos por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homens e custam $50000. Comerciais nos jogos são vistos por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de homens, e custam $100000. Qual a distribuição ideal de comerciais se a empresa deseja que eles sejam vistos por 28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens a um menor custo possível? EXERCÍCIO 4 31
  • 32. PESQUISA OPERACIONAL Solução EXERCÍCIO 4 Função Objetivo X1= Novela e X2= Jogos Min Custo(X1,X2) = 50X1 + 100X2 Restrições: Público Feminino : 7X1+2X2 >= 28 Público Masculino: 2X1 + 12X2 >= 24 X1 , X2 >=0 32
  • 33. PESQUISA OPERACIONAL Fábrica dispõe de 300h de máquina, 350h de mão de obra e 400kg de matéria prima para fabricar 2 produtos. Cada unidade do produto P1 consome 1h de máquina, 2h de mão de obra e 2kg de matéria prima e cada unidade do produto P2 consome 2h de máquina 1h de mão de obra e 3kg de matéria prima. O lucro unitário de P1 é estimado em R$5,00 enquanto que o lucro de P2 é R$12,00 para as primeiras 100 unidades e R$10 para as unidades de P2 acima de 100 (caso existam). Além disto, por razões trabalhistas, a mão de obra alocada na produção de P2 não pode ser superior a mais da metade da mão de obra utilizada na produção dos dois produtos em conjunto. Deseja-se maximizar o lucro total estimado. HomeWork 33
  • 34. PESQUISA OPERACIONAL HomeWork Função Objetivo X1= Qtd P1 X2= Qtd P2 <=100un X3= Qtd P2 >100un Max Lucro(X1,X2,X3) = 5X1 + 12X2 + 10X3 34 Restrições: Máquina: X1+2X2+2x3<=300 Operador: 2X1+X2+x3<=350 Material: 2X1 + 3X2+3X3<=400 X2<=100 X3>100 X1 , X2, X3 >=0