UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
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5. Os pontos M = (2, −1, 3), N = (1, −3, 0) e P = (2, 1, −5) são pontos médios dos lados de um
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(c) que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A = (5, −1, 4) e B = (−1, −7, 1) e
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  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Professor: Almir Rogério Silva Santos Período: 2011/1 Lista de Exercícios 3 1. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A = (2, −3, 4) e B = (1, −1, 2) e verificar se os pontos C = (5 2, −4, 5) e D = (−1, 3, 4) pertencem a r. Resposta: (x, y, z) = (2, −3, 4) + t(−1, 2, −2), C ∈ r e D r. Existem outras possibilidades para a equação da reta. 2. Dada a reta r :    x = 2 + t y = 3 − t z = −4 + 2t determinar o ponto de r tal que (a) a ordenada seja 6. Resposta: (−1, 6, −10) (b) a abscissa seja igual à ordenada. Resposta: 5 2, 5 2, −3 (c) a cota seja o quádruplo da abscissa. Resposta: (−4, 9, −16) 3. A reta r passa pelo ponto A = (4, −3, −2) e é paralela à reta s :    x = 1 + 3t y = 2 − 4t z = 3 − t . Se P = (m, n, −5) ∈ r, determinar m e n. Resposta: m = 13 e n = −15. Figure 1: 4. Com base na figura 1, escrever equações paramétricas para as retas que passam pelos pontos (a) A e B (c) A e D (e) D e E (b) C e D (d) B e C (f) B e D 1
  2. 2. 5. Os pontos M = (2, −1, 3), N = (1, −3, 0) e P = (2, 1, −5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M. Resposta: x = 2 + t, y = −1 + 4t e z = 3 − 5t. Existem outras respostas. 6. Obter equações reduzidas na variável x da reta (a) que passa por A = (4, 0, −3) e tem a direção de v = (2, 4, 5); (b) dada por    x = 2 − t y = 3t z = 4t − 5 . 7. Determinar o ângulo entre as seguintes retas e verificar se elas se intersectam. (a) r1 :    x = −2 − t y = t z = 3 − 2t e r2 : x 2 = y + 6 = z − 1. Resposta: 60o (b) r1 : y = −2x + 3 z = x − 2 e r2 : y = z+1 −1 ; x = 4. Resposta: 30o (c) r1 : x − 4 2 = y −1 = z + 1 −2 e r1 :    x = 1 y 4 = z − 2 3 . Resposta: θ = arccos 2 3 48o11 8. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A = (3, 2, −1) e é simultaneamente ortogonal às retas r1 : x = 3 y = −1 e r2 : y = x − 3 z = −2x + 3 . Resposta: x = 3 + t, y = 2 − t e z = −1. 9. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. (a) r1 : y = 2x − 3 z = −x + 5 e r2 : y = −3x + 7 z = x + 1 Resposta: (2,1,3) (b) r1 : y = 2x − 3 z = −x − 10 e r2 : x = y − 4 3 = z + 1 −2 Resposta: Não se intersectam. (c) r1 :    x = 2 + t y = 4 − t z = −t e r2 : y = 6 − x z = 2 − x Resposta: Coincidem. 10. Determine o valor de k para que o plano Π : kx − 4y + 4z − 7 = 0 seja paralelo ao plano cuja equação geral é dada por Ω : 3x + y − z − 4 = 0. Resposta: k = −12. 11. Determinar uma equação geral e paramétrica do plano (a) paralelo ao plano Π : 2x − 3y − z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4, −2, 1). Resposta: 2x − 3y − z − 13 = 0 (b) perpendicular à reta r :    x = 2 + 2t y = 1 − 3t z = 4t e que contenha o ponto A = (−1, 2, 3). Resposta: 2x − 3y + 4z − 4 = 0. 2
  3. 3. (c) que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A = (5, −1, 4) e B = (−1, −7, 1) e seja perpendicular a ele. Resposta: 4x + 4y + 2z + 3 = 0. (d) que passa pelos pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 2, −1) e C = (1, 1, −1). Resposta: 3x + 6y + 2z − 7 = 0. (e) que passa pelos pontos A = (2, 1, 0), B = (−4, 2, −1) e C = (0, 0, 1). Resposta: x − 2y = 0. (f) contém os pontos A = (1, −2, 2) e B = (−3, 1, −2) e é perpendicular ao plano Π1 : 2x + y − z + 8 = 0. Resposta: x − 12y − 10z − 5 = 0. (g) contém o ponto A = (1, −1, 2) e o eixo z. Resposta: x + y = 0 12. Sendo    x = 1 + t − 2s y = 1 − s z = 4 + 2t − 2s equações paramétricas de um plano Π, obter uma equação geral. Resposta: 2x − 2y − z + 4 = 0 13. Determine a interseção dos planos Π1 : 3x + y − 3z − 5 = 0 e Π2 : x − y − z − 3 = 0. 14. Achar a distância do ponto P à reta r, nos casos: (a) P = (2, 3, −1), r : x = 3 + t, y = −2t e z = 1 − 2t. Resposta: √ 117 3 (b) P = (3, 2, 1), r : y = 2x, z = x + 3 Resposta: 7 2 (c) P = (0, 0, 0), r é a interseção dos planos 2x − y + z − 3 = 0 e x + y − 2z + 1 = 0. Resposta: 54 35 15. Achar a distância do ponto P = (2, −1, 2) ao plano π : 2x − 2y − z + 3 = 0. Resposta: 7 3 16. Achar a distância entre os planos paralelos Π1 : x + y + z = 4 e 2x + 2y + 2z = 5. Resposta: √ 3 2 17. Achar a distância entre r1 : x = 2 − t, y = 3 + t e z = 1 − 2t e r2 : x = t, y = −1 − 3t e z = 2t. Resposta: 3√ 5 3

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