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matematica angulo

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Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4.1.Conceito, elementos e notação.
 CONCEITO
 ELEMENTOS
 NOTAÇÃO
V

A
C
B
D
Observe que na figura ao lado temos:
 Duas retas concorrentes AC e BD no plano ;
 O ponto V, interseção entre as duas retas;
 As regiões AVB, BVC, CVD e DVA do plano.
^ ^ ^ ^
DEFINIÇÃO: Ângulo é a região do plano situada entre duas semirretas distintas de mesma origem.
Vamos destacar a região BVC:
^
 Complete:
VB é uma .SEMIRRETA ... de origem em...V...........
VC é uma SEMIRRETA.........de origem em ..V....................
V
C
B
Os elementos de um ângulo são:
 Vértice  Ponto de origem das duas semirretas.
 Lados  Cada uma das semirretas.
 Abertura  Região interna determinada pelas semirretas.
V
Vértice
C
B
Abertura
Lado
Lado C
V
C
B
Um ângulo pode ser identificado dos seguintes modos:
a)  BVC
b) BVC
c) V
^
^ ATENÇÃO: Lembre-se que, na notação, a letra
que corresponde ao vértice fica sempre entre as
outras duas: BVC.
^
28
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
EXERCÍCIOS
1. Indique os elementos do ângulo dado:
3. Para cada ângulo dado, indique o vértice e os lados:
Vértice: ...V............................. Vértice: ...D............................. Vértice: ....P...........................
Lados: .VM..e...VA..................... Lados: .DB e DF........................ Lados: PK e PT......................
5. Trace, com o auxílio da régua, os ângulos pedidos:
M
V
A
B
D
F
K
P
T
2. Desenhe os ângulos ABC
 e BCD
 e pinte suas
regiões internas de azul e amarelo, respectivamente:
A
+
C
+
+
B
+
D
4. Relacione a coluna da direita com os ângulos 1, 2 e 3 abaixo:
(..2..)  BAC
(..3...) ACB
(..1..)  ABC
C
A
B
( 1 )
B
A
C
( 2 )
C
A
B
( 3 )
R
+
P
+
+
S
b) RPS
^
c) EHL
+
E
+
L
H
+
^
ABERTURA
VÉRTICE
LADO
LADO
PINTAR DE
AZUL
PINTAR DE
AMARELO
a) ABC
A
+
B
+
+ C
^
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Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
6. Identifique os ângulos abaixo:
7. Observe a imagem abaixo e complete as lacunas:
8. Identifique os ângulos que existem na figura:
9. Observe a imagem ao lado (reprodução da obra Geraldo de
Barros - Função Diagonal - 1952) e destaque os ângulos
pedidos, contornando-os:
a) Ângulo é a região do plano situada entre duas ..SEMIRRETAS...
distintas de mesma ORIGEM.........
b) Os elementos desse ângulo são: um .VÉRTICE... (ponto A), dois
LADOS... (semirretas ..AC... e ..AB.....) e a ABERTURA...., região
interna do ângulo.
c) Esse ângulo pode ser identificado: .  BAC., . BAC.. ou A
A
C
B
a)
...............
R
S
T
b)
...............
E
F
D
c)
...............
O
M N
Ângulos: .  MPN,  MPO,  NPO
........................................................................................... .
M
N
O
P
A
B
C
D
E
F
G
a) BEF de azul;
b)  EDB de vermelho;
c) BCA de verde.
^
^
^
TRS EDF OMN
^
^
^ ^
30
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4.2.USO DO TRANSFERIDOR
 MEDIDAS DE ÂNGULOS
Podemos, também, indicar o ângulo utilizando uma letra minúscula do alfabeto grego acompanhada de um
arco ligando seus lados. Este arco indica a região do ângulo a ser medida (onde começa e termina o ângulo), e a letra
grega representa esta medida.
Para medir ângulos utilizamos um instrumento chamado transferidor e sua unidade de medida é o grau.
Existem dois tipos de transferidores facilmente encontrados no mercado: o de 180º e o de 360º.
VAMOS CONHECER O TRANSFERIDOR!
Este instrumento tem os seguintes elementos:
 LINHA DE FÉ: Reta que liga as graduações dos ângulos de 0º e 180º.
 CENTRO DO TRANSFERIDOR: Ponto médio da linha de fé.
 LIMBO: Região do transferidor que contém a graduação dos ângulos.
Observe os ângulos ao lado:
 Eles são diferentes uma vez que não têm a mesma abertura.
Então, podemos dizer que eles possuem medidas diferentes.
α ≠ β ou BAC ≠ EDF
^ ^
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Colégio Pedro II
0 - 360
350
330
320
340
310
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290
280
270
260
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70
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20
10
LIMBO
LINHA
DE FÉ
CENTRO DO
TRANSFERIDOR
Transferidor de 360º
Transferidor de 180º
CENTRO DO
TRANSFERIDOR
LINHA
DE FÉ
E
F
D
β
α
A
C
B
31
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
BÔA = ...47º..........
Vamos medir o ângulo BÔA!
O
A
B
Para medir o ângulo com o transferidor:
 Coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo coincidir o centro
do instrumento com o vértice do ângulo e, a linha de fé, com um
dos lados do ângulo.
 Iniciando a contagem sempre do zero, verifique o número da
graduação que se encontra no outro lado do ângulo. O valor
indicado é a medida do ângulo.
 Se achar necessário prolongue os lados com a régua.
Atenção: Comece a contar do 0°
e cada marcação vale 1º.
Para saber quanto mede o
ângulo BÔA, olhe o outro lado
do ângulo (outra semirreta).
O A
B
0
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180
Coincida o centro do transferidor
com o vértice do ângulo.
O A
B
Coincida a linha de fé com
um dos lados do ângulo.
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Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
AGORA É SUA VEZ !
Quanto mede os ângulos abaixo:
S
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RST = .... 110º.........
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L
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NLM = ....70º...
^
ATENÇÃO:
Comece a contar do 0° que está na
semirreta (lado) apoiada na linha de fé.
S
R
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RST = ..110º..........
^
Cuidado! Lembre-se que além do centro do transferidor ser coincidente com o vértice, a linha de fé deve SEMPRE
estar sobre um dos lados do ângulo. Sendo assim, a posição do transferidor deverá acompanhar a posição do
ângulo. Observe o ângulo RST em outra posição:
^
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  • 1. 27 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 4.1.Conceito, elementos e notação.  CONCEITO  ELEMENTOS  NOTAÇÃO V  A C B D Observe que na figura ao lado temos:  Duas retas concorrentes AC e BD no plano ;  O ponto V, interseção entre as duas retas;  As regiões AVB, BVC, CVD e DVA do plano. ^ ^ ^ ^ DEFINIÇÃO: Ângulo é a região do plano situada entre duas semirretas distintas de mesma origem. Vamos destacar a região BVC: ^  Complete: VB é uma .SEMIRRETA ... de origem em...V........... VC é uma SEMIRRETA.........de origem em ..V.................... V C B Os elementos de um ângulo são:  Vértice  Ponto de origem das duas semirretas.  Lados  Cada uma das semirretas.  Abertura  Região interna determinada pelas semirretas. V Vértice C B Abertura Lado Lado C V C B Um ângulo pode ser identificado dos seguintes modos: a)  BVC b) BVC c) V ^ ^ ATENÇÃO: Lembre-se que, na notação, a letra que corresponde ao vértice fica sempre entre as outras duas: BVC. ^
  • 2. 28 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS EXERCÍCIOS 1. Indique os elementos do ângulo dado: 3. Para cada ângulo dado, indique o vértice e os lados: Vértice: ...V............................. Vértice: ...D............................. Vértice: ....P........................... Lados: .VM..e...VA..................... Lados: .DB e DF........................ Lados: PK e PT...................... 5. Trace, com o auxílio da régua, os ângulos pedidos: M V A B D F K P T 2. Desenhe os ângulos ABC  e BCD  e pinte suas regiões internas de azul e amarelo, respectivamente: A + C + + B + D 4. Relacione a coluna da direita com os ângulos 1, 2 e 3 abaixo: (..2..)  BAC (..3...) ACB (..1..)  ABC C A B ( 1 ) B A C ( 2 ) C A B ( 3 ) R + P + + S b) RPS ^ c) EHL + E + L H + ^ ABERTURA VÉRTICE LADO LADO PINTAR DE AZUL PINTAR DE AMARELO a) ABC A + B + + C ^
  • 3. 29 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 6. Identifique os ângulos abaixo: 7. Observe a imagem abaixo e complete as lacunas: 8. Identifique os ângulos que existem na figura: 9. Observe a imagem ao lado (reprodução da obra Geraldo de Barros - Função Diagonal - 1952) e destaque os ângulos pedidos, contornando-os: a) Ângulo é a região do plano situada entre duas ..SEMIRRETAS... distintas de mesma ORIGEM......... b) Os elementos desse ângulo são: um .VÉRTICE... (ponto A), dois LADOS... (semirretas ..AC... e ..AB.....) e a ABERTURA...., região interna do ângulo. c) Esse ângulo pode ser identificado: .  BAC., . BAC.. ou A A C B a) ............... R S T b) ............... E F D c) ............... O M N Ângulos: .  MPN,  MPO,  NPO ........................................................................................... . M N O P A B C D E F G a) BEF de azul; b)  EDB de vermelho; c) BCA de verde. ^ ^ ^ TRS EDF OMN ^ ^ ^ ^
  • 4. 30 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 4.2.USO DO TRANSFERIDOR  MEDIDAS DE ÂNGULOS Podemos, também, indicar o ângulo utilizando uma letra minúscula do alfabeto grego acompanhada de um arco ligando seus lados. Este arco indica a região do ângulo a ser medida (onde começa e termina o ângulo), e a letra grega representa esta medida. Para medir ângulos utilizamos um instrumento chamado transferidor e sua unidade de medida é o grau. Existem dois tipos de transferidores facilmente encontrados no mercado: o de 180º e o de 360º. VAMOS CONHECER O TRANSFERIDOR! Este instrumento tem os seguintes elementos:  LINHA DE FÉ: Reta que liga as graduações dos ângulos de 0º e 180º.  CENTRO DO TRANSFERIDOR: Ponto médio da linha de fé.  LIMBO: Região do transferidor que contém a graduação dos ângulos. Observe os ângulos ao lado:  Eles são diferentes uma vez que não têm a mesma abertura. Então, podemos dizer que eles possuem medidas diferentes. α ≠ β ou BAC ≠ EDF ^ ^ Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 Colégio Pedro II 0 - 360 350 330 320 340 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 LIMBO LINHA DE FÉ CENTRO DO TRANSFERIDOR Transferidor de 360º Transferidor de 180º CENTRO DO TRANSFERIDOR LINHA DE FÉ E F D β α A C B
  • 5. 31 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS BÔA = ...47º.......... Vamos medir o ângulo BÔA! O A B Para medir o ângulo com o transferidor:  Coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo coincidir o centro do instrumento com o vértice do ângulo e, a linha de fé, com um dos lados do ângulo.  Iniciando a contagem sempre do zero, verifique o número da graduação que se encontra no outro lado do ângulo. O valor indicado é a medida do ângulo.  Se achar necessário prolongue os lados com a régua. Atenção: Comece a contar do 0° e cada marcação vale 1º. Para saber quanto mede o ângulo BÔA, olhe o outro lado do ângulo (outra semirreta). O A B 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 Coincida o centro do transferidor com o vértice do ângulo. O A B Coincida a linha de fé com um dos lados do ângulo.
  • 6. 32 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS AGORA É SUA VEZ ! Quanto mede os ângulos abaixo: S R T 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 RST = .... 110º......... ^ L M N 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 NLM = ....70º... ^ ATENÇÃO: Comece a contar do 0° que está na semirreta (lado) apoiada na linha de fé. S R T RST = ..110º.......... ^ Cuidado! Lembre-se que além do centro do transferidor ser coincidente com o vértice, a linha de fé deve SEMPRE estar sobre um dos lados do ângulo. Sendo assim, a posição do transferidor deverá acompanhar a posição do ângulo. Observe o ângulo RST em outra posição: ^ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 S R T
  • 7. 33 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS  CONSTRUINDO UM ÂNGULO COM O TRANSFERIDOR: Também podemos construir ângulos com as medidas que desejamos, usando o transferidor. Vamos traçar o ângulo EDF de 130°. ^ D E D E 1º passo: Trace uma semirreta de origem no ponto D. 2º passo: Posicione corretamente o transferidor, coincidindo o seu centro com o ponto D e a linha de fé com a semirreta DE. Marque com um traço o ângulo desejado (130°). 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 D E 3º passo: Retire o transferidor. Trace o segundo lado do ângulo ligando, com o auxílio da régua, o traço marcado com o ponto D. D E D E F Finalize marcando o ponto F e reforçando o traçado.
  • 8. 34 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS EXERCÍCIOS 1. Meça os ângulos e indique suas medidas: 2. Sobre o desenho do transferidor, construa os ângulos pedidos: ATENÇÃO: Observe que, para cada ângulo, existem duas opções de direção. Escolha uma direção diferente para cada um. 3. Com a régua e o transferidor, desenhe os ângulos com as seguintes medidas:  a)  = ..48º......  b)  = 136º........  c)  = ..80º........ 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 a) OPQ = 67° ^ b) EFG = 153° ^ 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 150 160 170 180 Atenção: Na medição de ângulos, às vezes é necessário prolongar os lados da figura, com traços bem suaves, para alcançar o limbo e obter uma leitura mais precisa. F G V A d) AVB = 83° ^ c) JFG = 65° ^ Q A R H b) PQA = 120° ^ a) RHT= 30° ^ T P J B P O Q F E G
  • 9. 35 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 4. Meça os ângulos a seguir, utilizando o transferidor. Escreva as medidas dentro do ângulo: 5. A professora da turma de Rafaela pediu aos seus alunos que traçassem um ângulo de 125°. No entanto, alguns alunos ficaram com dúvida na hora de traçar este ângulo. Marque com (X) o ângulo que corresponde a 125°: 6. Trace o ângulo CÔB = 75° nas duas semirretas abaixo, observe que eles irão ficar para duas direções diferentes: M C T S L J E Y O B O B a. ( ) 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 150 160 170 180 0 Colégio Pedro II 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 150 160 170 180 b. (X) 180º 90º 65º 120º 70º 33º 75º 35º 180º C C
  • 10. 36 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 14bis Como se sabe, o Desenho Geométrico está presente nas mais diversas áreas do conhecimento. O desenvolvimento das ciências tecnológicas, particularmente, necessitam de traçados precisos, uma vez que um mínimo problema de inexatidão, mesmo que milimétricos, podem levar a danos de grandes proporções. Observe como os ângulos são importantes no ramo da aviação, por exemplo: 7. No ano de 1906, um brasileiro chamado Alberto Santos Dumont, realizou pela primeira vez a proeza de voar com um aparelho mais pesado que o ar, uma engenhoca batizada como 14 Bis. Estava homologado, então, o primeiro vôo da história. Construa com precisão a trajetória do 14 Bis, sabendo que suas rodas saíram do chão no ponto A em uma decolagem que fazia 17° com o solo: 8. Do Distrito Federal partem três vôos de uma determinada Companhia Aérea. Trace no mapa as direções dessas rotas sabendo que elas fazem 45º, 105° e 150° com a semirreta que tem origem no ponto B. A seguir, escreva os estados sobrevoados pelas aeronaves que cumprem essas três rotas: I A Os aviões que cumprem as rotas citadas sobrevoam os seguintes estados brasileiros: 45° - ...................................................................................................................................... 105° - .................................................................................................................................... 150° - .................................................................................................................................... Sentido da medição, no transferidor. B GO; BA; PE; PB; RN GO; TO; PA; AP GO; MT; AM
  • 11. 37 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 4.3. C CL LA AS SS SI IF FI IC CA AÇ ÇÃ ÃO O DE ÂNGULOS Os ângulos são classificados de acordo com a abertura (medida) que possuem. Eles podem ser: reto, agudo, obtuso, raso ou meia volta, reentrante ou côncavo e pleno ou volta completa. VAMOS CONHECER CADA UM DELES:  ÂNGULO RETO Observe a figura:  O círculo foi dividido em quatro regiões congruentes.  Um círculo inteiro tem 360°, cada uma dessas regiões tem 90°.  A cada um desses ângulos denominamos ângulo reto.  E suas semirretas são perpendiculares entre si.  ÂNGULO AGUDO Todo ângulo menor que o ângulo reto é chamado de ângulo agudo. Assim, a medida de um ângulo agudo é menor que 90°.  ÂNGULO OBTUSO Todo ângulo maior que o ângulo reto é chamado ângulo obtuso. Assim, a medida de um ângulo obtuso é maior que 90° e menor que 180°. Ângulo RETO Medida = 90° Ângulo AGUDO Medida < 90° Ângulo OBTUSO Medida > 90° e < 180°
  • 12. 38 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS  ÂNGULO RASO OU ÂNGULO DE MEIA-VOLTA Todo ângulo cuja medida é igual a 180° é chamado de ângulo raso. O ângulo raso é o dobro do ângulo reto.  ÂNGULO REENTRANTE OU CÔNCAVO Todo ângulo maior que o ângulo de 180 0 e menor que 360 0 é chamado ângulo côncavo ou reentrante.  ÂNGULO PLENO OU ÂNGULO DE VOLTA COMPLETA Todo ângulo cuja medida é igual a 360 0 é chamado ângulo pleno ou ângulo de volta completa. Ângulo RASO Medida = 180° Ângulo PLENO Medida = 360° Ângulo CÔNCAVO Medida > 180° e < 360°
  • 13. 39 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS EXERCÍCIOS 1. Com auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo e, a seguir, classifique-os quanto às suas aberturas: OBS: Lembre-se de prolongar os lados dos ângulos para conseguir medi-los. 2. Dados as medidas dos ângulos, classifique-os: 3. Complete a colméia dos ângulos: a) Ângulo com abertura maior que 180º e menor que 360º b) Ângulo com abertura menor que 90º c) Ângulo com abertura maior que 90º e menor que 180º d) Ângulo com abertura igual a 360º e) Ângulo com abertura igual a 180º π = .32º... Classificação: ........AGUDO............ γ = .. 118º.... Classificação: ........OBTUSO............. β = 90º.... Classificação: ..........RETO................... α = . 62º.... Classificação: ........AGUDO............... β α γ π a) RST = 180 º  ..............RASO ...............….. e) ABD = 95 º  ............OBTUSO.................... b) GHF = 78 º  ..........AGUDO ........................ f) MOP = 135 º  ............. OBTUSO................ c) JLH = 360 º  .......PLENO ....................…... g) QRS = 230 º  ........... CÔNCAVO................. d) EFG = 25 º  ..... AGUDO ...................... h) TUV = 90 º  .............. RETO................. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ G N Â U L O a) b) c) d) e) C C A A Ô O O O O O A V U D B T S R S P E N
  • 14. 40 Apostila 6º Ano - CPII 4. ÂNGULOS 4. Construa, com auxílio da régua e do transferidor, os ângulos com as seguintes medidas e depois classifique-os: 5. Dadas as retas s e m, desenhe os ângulos pedidos, com auxilio do transferidor e da régua: T U b) RTU = 135° ^ Classificação: ........OBTUSO.............................. F H c) GHF = 25° ^ Classificação: ............ AGUDO....................... B C d) BCD = 90° ^ Classificação: ............RETO.................. M N a) MNO= 45° ^ Classificação: ......AGUDO........................... m s a) DÊF = 90 0 , tal que EF está contido na reta s. b) NÔP = 120 0 , sabendo que OP está contido na reta m. E D F P O N G D R O