Aula 06 - Medidas de tendência central Bioestatística

1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
Escola Politécnica
Curso de Engenharia de Produção
CAMPUS TOLEDO
Bioestatística
Prof. M.e Henrique Perina
Toledo
2021

2. Medidas de tendência central
Média, mediana e moda de uma
amostra

3. Medidas de tendências centrais:
Objetivos:
• Entender como se dá a distribuição de dados em uma amostra e como
obter informações importantes do universo amostral;
• Conhecer os conceitos das medidas de tendência centrais: média
aritmética (simples e ponderada), moda e mediana de uma amostra
finita;
• Aplicar esses conceitos em diversas situações do nosso cotidiano.

4. A estatística é o ramo da Matemática que de modo geral coleta, organiza, analisa
e fornece informações quantitativas sobre uma determinada população ou
coleção de elementos.
Como quase sempre não é possível obter as informações sobre todos os
elementos da população, nos limitamos a pesquisar uma pequena parte dela, a
qual chamaremos de amostra.
Assim, a amostra representará a população e por isso deve ser formada de modo
imparcial, sem privilegiar ou diminuir nenhum de seus componentes, de modo
que as conclusões sejam imparciais e consistentes.
Ainda em relação à amostra, estudaremos as variáveis, ou seja, as características
da população representada pela amostra que queremos analisar.
Medidas de tendências centrais:

5. Situação-problema:
Em uma turma de uma escola, um aluno registrou o batimento cardíaco por
minuto de vários dos seus colegas, obtendo os seguintes dados:
75 76 77 78 79 80 85 88 90
92 75 76 78 78 90 76
78 76 90 92 75 76 77 85
85 85 88 77 77 92 90 78
85 79 90 76 78 76 77 92
90 76 85 80 90 80 78 76
Observe que nesta tabela, muitos
valores aparecem repetidas vezes.
Mais ainda,os dados encontram-se
dispostos de modo aleatório,
complicando uma análise mais
detalhada de seus elementos.
Assim, somos levados a produzir um tipo especial de tabela, a fim de facilitar o
entendimento e a análise dos seus dados. A esse tipo de tabela chamaremos de
distribuição de frequências.
A frequência de um valor será o número de vezes que esse valor aparece na
amostra (tabela):
Medidas de tendências centrais:

6. Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
Desse modo, podemos expressar os dados de acordo com a seguinte
distribuição de frequências:
Observamos, por exemplo, que ao todo 5 alunos da turma apresentaram 77
batimentos cardíacos por minuto.
Observamos ainda que a menor frequência cardíaca observada foi 75
batimentos por minuto e que a maior foi 92 batimentos por minuto,
correspondendo a 3 e 4 alunos, respectivamente.
Mais ainda, podemos afirmar que 76 batimentos por minuto foi a frequência
cardíaca que apareceu mais vezes na tabela.
Medidas de tendências centrais:

7. Como vimos, a distribuição de frequências é uma ferramenta que facilita a
descrição de um modo mais resumido de nossa população ou amostra e
proporciona uma primeira análise que valores de uma determinada variável em
estudo pode assumir.
Para obter uma análise mais aprofundada, podemos fazer uso de medidas que
expressam tendências de determinada característica ou valores de nossa
amostra.
Desse modo, estudaremos algumas medidas de tendência central, que de modo
simplificado, trazem consigo informações do comportamento geral da população
ou amostra estudada. Assim, consideramos as seguintes medidas estatísticas:
Média Aritmética Média Aritmética Ponderada
Moda Mediana
Medidas de tendências centrais:

8. Média Aritmética
A média aritmética, ou simplesmente média, é uma medida de tendência central
que se comporta com o ponto de equilíbrio dos valores obtidos a partir de um
conjunto de dados.
Dentre todas as medidas de tendência, talvez seja a mais popular, pois desde o
início de nossa vida escolar somos, obrigatoriamente, apresentados a ela e nos
habituamos com seu cálculo, que por ser simples é bastante utilizada no nosso
cotidiano.
Quando nossa amostra ou população apresenta uma distribuição de frequências
aproximadamente simétrica e não apresenta valores muito deslocados, isto é,
valores extremamente afastados uns dos outros, sua utilização para estimar
informações da amostra se torna mais eficiente.
Medidas de tendências centrais:

9. Média Aritmética
Para calcular a média aritmética de dois ou mais dados numéricos, dividimos a soma
desses números pela quantidade dos números dados.
Vejamos com isso se aplica na nossa situação-problema:
Medidas de tendências centrais:
75 76 77 78 79 80 85 88 90
92 75 76 78 78 90 76
78 76 90 92 75 76 77 85
85 85 88 77 77 92 90 78
85 79 90 76 78 76 77 92
90 76 85 80 90 80 78 76

10. Média Aritmética
Assim, podemos ver que a média aritmética, ou simplesmente a média, será dada
por:
Observe ainda que o valor da média aritmética é sempre maior ou igual que
menor valor e menor ou igual que o maior valor da lista de números.
Medidas de tendências centrais:
Média = (75 + 76 + 77 + 78 + 79 + 80 + 85 + 88 + 90 + 92
+ 75 + 76 + 78 + 78 + 90 + 76 + 78 + 76 + 90 + 92 + 75 + 76
+ 77 + 85 + 85 + 85 + 88 + 77 + 77 + 92 + 90 + 78 + 85 + 79
+ 90 + 76 + 78 + 76 + 77 + 92 + 90 + 76 + 85 + 80 + 90 +
80 + 78 + 76) / 48 =

11. Média Aritmética
Assim, podemos ver que a média aritmética, ou simplesmente a média, será dada
por:
De modo geral, podemos dizer que na média da frequência cardíaca dos alunos
da turma foi de 81,71 batimentos por minuto. Isso significa dizer que se todos os
batimentos fossem iguais, esse seria o valor encontrado.
Observe ainda que o valor da média aritmética é sempre maior ou igual que
menor valor e menor ou igual que o maior valor da lista de números.
Medidas de tendências centrais:
Média = (75 + 76 + 77 + 78 + 79 + 80 + 85 + 88 + 90 + 92
+ 75 + 76 + 78 + 78 + 90 + 76 + 78 + 76 + 90 + 92 + 75 + 76
+ 77 + 85 + 85 + 85 + 88 + 77 + 77 + 92 + 90 + 78 + 85 + 79
+ 90 + 76 + 78 + 76 + 77 + 92 + 90 + 76 + 85 + 80 + 90 +
80 + 78 + 76) / 48 = 3922/48 = 81,71

12. Média Aritmética Ponderada
Para calcular a média aritmética ponderada dos dados numéricos de uma tabela de
distribuição de frequências, dividimos a soma desses números, multiplicados pelas suas
respectivas frequências, pela quantidade total dos dados, isto é, pela soma de todas as
frequências.
Voltemos à nossa situação-problema:
Agora, consideramos as frequências cardíacas que apareceram na tabela de
distribuição de frequências, bem como suas respectivas frequências.
Ou seja, calculamos a média aritmética ponderada utilizando os valores dos
batimentos cardíacos que aparecem na tabela, bem como suas respectivas
frequências.

13. Média Aritmética Ponderada
Assim, temos que sua média aritmética ponderada será dada por:
Observe que este valor representa melhor os valores encontrados, pois dá a
devida contribuição de todos os valores de batimentos cardíacos presentes na
tabela.
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
Medidas de tendências centrais:

14. Média Aritmética Ponderada
Assim, temos que sua média aritmética ponderada será dada por:
Observe que este valor representa melhor os valores encontrados, pois dá a
devida contribuição de todos os valores de batimentos cardíacos presentes na
tabela.
.
7
,
81
48
3922
4
7
2
6
3
2
7
5
9
3
4
92
7
90
2
88
6
85
3
80
2
79
7
78
5
77
9
76
3
75































Média
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
Medidas de tendências centrais:

15. Moda
Por definição, a moda de uma coleção de dados amostrais ou populacionais é
simplesmente o valor que aparece o maior número de vezes, isto é, aquele que
apresenta a maior frequência observada na tabela de distribuição de frequências.
Em amostras grandes ou com valores muito repetidos, há casos em que a moda
não é única, situações em que dois ou mais valores amostrais tenham ocorrido
com a mesma frequência e esta quantidade de ocorrências seja máxima.
Assim, dependendo de cada caso, podemos ter distribuições monomodais, ou
simplesmente modais, bimodais, trimodais ou ainda multimodais.
Pode acontecer ainda o caso em que todos os valores amostrais tenham
apresentado o mesmo número de ocorrências, significando que neste caso não
há moda, pois nenhum valor se destacou, configurando assim uma distribuição
amodal.
Medidas de tendências centrais:

16. Moda
Moda é o elemento (ou são os elementos) que aparece(m) com a maior frequência na
lista de todos os dados pesquisados. Ou seja, aqueles elementos que se destacam pela
maior quantidade na tabela de distribuição de frequências analisada.
Assim, vejamos nossa tabela de distribuição de frequências da situação-
-problema:
Observe que 76 batimentos cardíacos por minuto é o valor que mais aparece na
tabela e que sua frequência é 9.
Neste caso, dizemos 76 é a moda dessa amostra de dados estatísticos.
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
Medidas de tendências centrais:

17. Moda
Agora, considerando uma outra distribuição de frequências, poderíamos obter
resultados diferentes:
Neste caso, temos uma distribuição trimodal com os valores de 77, 80 e 90
batimentos cardíacos por minuto.
Por outro, lado a distribuição abaixo é amodal, visto que todos os valores
apresentam a mesma frequência:
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 2 4 8 7 2 8 6 2 8 4
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Medidas de tendências centrais:

18. Mediana
A mediana de uma distribuição de frequências é definida como o valor ocupante
da posição central da coleção ordenada de modo crescente ou decrescente dos
dados amostrais.
Desse modo, sua principal propriedade é dividir o conjunto das informações em
dois subconjuntos iguais com o mesmo número de elementos: os valores que são
menores ou iguais à mediana e os valores que são maiores ou iguais à mediana.
Note que se um valor for extremamente deslocado, ou seja, muito afastado dos
outros, a mediana não será influenciada por este ao contrário da média, pois por
definição é uma medida estatística vinculada à posição ocupada e não à
proximidade dos valores apresentados.
Assim, se um valor for extremamente pequeno ou grande, não influenciará no
cálculo da mediana.
Medidas de tendências centrais:

19. Mediana
Para calcular a mediana dos dados numéricos de uma tabela de distribuição de
frequências, ordenamos estes valores de modo crescente ou decrescente, repetindo-os
de acordo com as suas respectivas frequências, e tomamos o valor que divide esta tabela
em dois grupos iguais, isto é, com a mesma quantidade de elementos.
Dessa forma, é importante que esses valores sejam colocados em ordem, seja crescente ou
decrescente. Se houver uma quantidade ímpar de valores numéricos, a mediana será o
valor central do conjunto numérico.
Se a quantidade de valores for um número par, devemos fazer uma média aritmética dos
dois números centrais, e esse resultado será o valor da mediana.

20. Mediana
Exemplo 1:
João vende picolés em sua casa. Ele registrou a quantidade de picolés vendida em dez dias
na tabela apresentada a seguir:

21. Mediana
Se quisermos identificar a mediana da quantidade de picolés vendida, devemos ordenar
esses dados, colocando-os em ordem crescente, da seguinte forma:
Como temos dez valores, e dez é um número par, devemos fazer uma média aritmética entre os dois
valores centrais, no caso, 14 e 15.
Seja M.A a média aritmética, teremos então:
A mediana da quantidade de picolés vendida é 14,5.

22. Mediana
Exemplo 2:
João vende picolés em sua casa. Ele registrou a quantidade de picolés vendida em dez dias
na tabela apresentada a seguir:

23. Mediana
Se quisermos identificar a mediana da quantidade de picolés vendida, devemos ordenar
esses dados, colocando-os em ordem crescente, da seguinte forma:
Como temos nove valores, um valor ímpar, então a mediana é o valor central.
A mediana da quantidade de picolés vendida é 14.
10 12 13 14 14 15 15 18 20

24. Quando usar a média, a moda ou a mediana?
Usamos a média quando a distribuição dos dados for simétrica (ou quase) e não
apresenta valores muito deslocados, visto que é a medida de tendência central mais
popular e fácil de ser calculada.
Devemos usar a mediana quando aparecem valores deslocados na distribuição dos
dados, pois ela não é influenciada por valores extremos.
Usamos a moda quando existirem variáveis qualitativas e nominais, visto que neste caso
é a única medida de tendência central que podemos obter. Além disso, quando queremos
evidenciar o valor (ou valores) que mais aparece na distribuição de frequências dos
dados.
Medidas de tendências centrais:

25. 1. Uma fábrica do Complexo Industrial de SUAPE para estimar o número de lâmpadas
consumidas por ano, registrou o tempo de duração das lâmpadas utilizadas em dias,
obtendo a seguinte tabela:
21 25 23 28 19
23 23 20 25 21
20 19 19 20 20
25 28 28 20 21
20 19 19 25 19
a) Construa uma tabela de
distribuição de frequências
associada a esta tabela;
b) Determine a média aritmética
ponderada, obtendo o tempo
médio de duração de uma lâmpada;
Exemplo 1

26. Solução:
Duração de uma lâmpada ( em dias) 19 20 21 23 25 28
Frequência 6 6 3 3 4 3
Inicialmente construímos uma tabela de distribição de frequências, respondendo assim o
item (a):
(b) Agora, podemos então calcular o tempo médio de duração de uma lâmpada:
Obs: Na letra B optou-se pela média aritmética ponderada para facilitar o cálculo. Mas
poderia utilizar também o cálculo pela média aritmética.
.
22
25
550
3
4
3
3
6
6
3
28
4
25
3
23
3
21
6
20
6
19
dias
TM 


















Exemplo 1

27. 2. O IBOPE pesquisou qual é o esporte preferido pelos moradores de uma certa cidade.
Para isto, entrevistou 2.500 pessoas, obtendo o seguinte resultado:
a) Qual é o esporte que apresenta
maior frequência nesta tabela?
b) E qual é o esporte que apresenta
menor frequência?
c) Qual o percentual da população
prefere voleibol?
d) Você saberia dizer qual é o esporte da moda?
Esporte preferido Número de pessoas
Futebol 650
Voleibol 350
Natação 420
Tênis 280
Basquete 300
Boxe 220
Corrida 280
Exemplo 2

28. Solução:
a) Note que o esporte que apresenta a
maior popularidade nesta tabela é o
futebol com a preferência de 650
pessoas.
b) Por outro lado, o esporte que
apresenta a menor popularidade é o
boxe, preferido por 220 pessoas.
c) O percentual da população que
prefere o voleibol é
Esporte preferido Número de pessoas
Futebol 650
Voleibol 350
Natação 420
Tênis 280
Basquete 300
Boxe 220
Corrida 280
%.
14
50
7
2500
350


d) O esporte da moda é o futebol, pois como o próprio nome
indica é a moda da tabela de frequências acima.
Exemplo 2

29. 3. Insatisfeito com seu salário, um funcionário pesquisou nas empresas vizinhas quanto
ganhavam seus colegas que exerciam a mesma função:
1200,00 1400,00 1000,00
1050,00 1500,00 1400,00
1350,00 1100,00 1300,00
1200,00 1300,00 1400,00
a) Construa uma tabela de distribuição
de frequências associada aos valores
encontrados;
b) Determine o salário médio desses
funcionários;
c) Determine o salário modal desses
funcionários;
d) Sabendo que ele ganha R$ 1200,00, você acha que ele deve pedir aumento?
Justifique!
Exemplo 3

30. Solução: 1200,00 1400,00 1050,00
1050,00 1500,00 1400,00
1350,00 1100,00 1300,00
1200,00 1300,00 1400,00
a) Da tabela ao lado contruímos a
seguinte tabela de distribuição de
frequências associada aos salários
encontrados;
Salário de cargo
equivalente
1050,00 1100,00 1200,00 1300,00 1350,00 1400,00 1500,00
Frequência 2 1 2 2 1 3 1
Deste modo, temos que:
b) O salário médio destes funcionários é reais.
c) O salário modal dos funcionários é R$ 1400,00.
d) Sim, pois o salário médio e o salário modal encontrados na vizinhança
são maiores do que o salário do funcionário.
00
,
1271
12
15250


M
S
Exemplo 3

31. Solução:
Salário de cargo
equivalente
1050,00 1100,00 1200,00 1300,00 1350,00 1400,00 1500,00
Frequência 2 1 2 2 1 3 1
Deste modo, temos que:
b) O salário médio destes funcionários é reais.
c) O salário modal dos funcionários é R$ 1400,00.
d) Sim, pois o salário médio e o salário modal encontrados na vizinhança
são maiores do que o salário do funcionário.
00
,
1271
12
15250


M
S
Exemplo 3

32. Exercícios Resolvidos
4. No edifício em que moro foi feito um censo dos moradores e identificados os jovens
com idade entre 15 e 20 anos conforme o seguinte gráfico:
a) Quantos jovens residem no
edifício?
b) Calcule a média de idade dos garotos
e das garotas, bem como a média de
idade dos jovens;
c) Determine a idade modal das
garotas, dos garotos e dos jovens do
edifício;
0
2
4
6
8
10
12
14
15
anos
16
anos
17
anos
18
anos
19
anos
20
anos
Garotos
Garotas
Exemplo 4

33. Solução:
a) No edifício moram 53 garotos e 47
garotas, totalizando 100 jovens.
b) As médias de idades
aproximadamente são: 19 anos é a
média de idade dos garotos,18 é a
média de idade das garotas e 18 é a
média de idade dos jovens.
c) A idade das garotas é bimodal com
valores 16 e 19 anos, dos garotos é
modal com valor de 20 anos e dos
jovens é trimodal com valores 16, 19
e 20 anos.
0
2
4
6
8
10
12
14
15
anos
16
anos
17
anos
18
anos
19
anos
20
anos
Garotos
Garotas
Exemplo 4

34. Exercícios Propostos:
1. Uma concessionária de veículos vendeu no primeiro semestre de um ano as
quantidades de automóveis indicadas no quadro abaixo:
a) Qual foi o número total de carros
vendidos no semestre?
b)Qual foi o número médio de carros
vendidos por mês?
c) Quantos carros foram vendidos
acima da média no mês de maio?
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Qtd de carros vendidos 38 30 25 36 38 31
d) Tomando como referência os três
primeiros meses, faça uma estimativa
de quantos carros deveriam ter sido
vendidos no primeiro semestre.
e) Compare os resultados dos itens (a) e
(d). Por que eles não são iguais?
Justifique!
Exercícios Propostos

35. 2. Em uma turma com 30 alunos, foram obtidas as seguintes notas em Matemática:
2,0 3,0 4,0 3,0 4,0 5,0
4,0 5,0 6,0 6,0 5,0 4,0
6,0 7,0 5,0 3,0 4,0 8,0
7,0 5,0 2,0 9,0 9,0 9,0
10,0 2,0 9,0 7,0 10,0 8,0
a) Construa uma tabela de distribuição de
frequências associada às notas dos
alunos da turma;
b) Calcule a média aritmética das notas;
c) Determine a nota mediana da turma;
d) Obtenha a nota modal desta tabela.
Exercícios Propostos

36. Exercícios Propostos:
3. O gráfico abaixo apresenta a distribuição de frequências das faixas salariais numa
pequena empresa:
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é,
aproximadamente:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
500 1000 1500 2000 2500
Salários em reais
Números
de
funcionários
a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 652,00 d) R$ 640,00 e) R$ 958,33
Exercícios Propostos

37. Respostas:
1. (a) 198 carros (b) 33 carros c) 5 carros d) 186 carros
(e) Os resultados são diferentes, pois no segundo trimestre foram vendidos
mais carros que o esperado.
2. (a)
(b) 5,7 (c) 5,0 (d) bimodal: 4,0 e 5,0
3. (e) R$ 958,33
Notas dos
alunos
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Frequência 3 3 5 5 3 3 2 4 2
Exercícios Propostos