Dois triângulos são iguais quando têm iguais um lado, um ângulo adjacente a esse lado e a diferença dos outros dois lados. A prova usa dois triângulos ABC e ABD com lado AB em comum, ângulo BAC = BAD e diferença de lados |AC| - |BC| = |AD| - |BD|. Supondo que um lado é maior, chega-se a uma contradição mostrando que os lados devem ser iguais.

1. CLAUDIO BUFFARA - RESPONDE QUESTÕES PUC-RIO
- GEOMETRIA
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje compartilharei uma dúvida de geometria enviada ao forum PUC-RIO que
vale a pena relembrar.
DÚVIDA
1) Dois triângulos são iguais quando têm iguais um lado, um ângulo adjacente
a esse lado e a diferença dos outros dois lados. Provar.

3. SOLUÇÃO:
Sejam os triângulos ABC e ABD (lado AB comum) tais que:
BAC = BAD e |AC| - |BC| = |AD| - |BD|
Suponhamos spdg que |AD| > |AC|. Então, podemos por:
|AC| = b
|AD| = b + x (x > 0) ==> |CD| = x
|BC| = a ==> |BD| = a + x.
No triângulo BCD, teremos:
a + x = |BD| < |BC| + |CD| = a + x ==>
contradição ==>
|AD| <= |AC|.
De forma análoga, deduzimos que |AD| >= |AC|.
Ou seja, |AD| = |AC| ==> os triângulos ABC e ABD são iguais (LAL).