Mat angulos

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Mat angulos

  1. 1. Ângulos Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaO ângulo e seus elementos.............................................................................................. 1Medida de um ângulo...................................................................................................... 3 Ângulos congruentes ................................................................................................ 6 Ângulo raso e ângulo nulo........................................................................................ 7Operações com medidas de ângulos ............................................................................. 13 Transformação de unidades.................................................................................... 14 Simplificando os resultados ................................................................................... 15 Adição .................................................................................................................... 16 Subtração ................................................................................................................ 16 Multiplicação por um número natural .................................................................... 18 Divisão por um número natural.............................................................................. 19Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes ................................................................. 21Bissetriz de um ângulo.................................................................................................. 24 Construção da bissetriz........................................................................................... 25Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ................................................................. 28 Retas perpendiculares............................................................................................. 29Ângulos complementares e ângulos suplementares...................................................... 30Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................ 34 Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v....................................................................... 35Referências bibliográficas............................................................................................. 38
  2. 2. 1ÂngulosO ângulo e seus elementosVeremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partesprincipais, utilizando os modelos abaixo:Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a idéia de ângulo, podemosdestacar duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o planoem duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.Denominamos ângulo a região formada por duas semi-retas não-opostas que têm a mesma origem.
  3. 3. 2No ângulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos: O é o vértice do ângulo As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ânguloPara identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB ou BÔA : (Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meioOBS.: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos,podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. Ângulo Ô ou AÔB ˆ Ângulo P ou MPN Neste caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB , BÔC e AÔC
  4. 4. 3Medida de um ânguloA medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrãoutilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.Vamos ver o que representa o grau.As primeiras noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se aHiparco de Nicéia (século II a.C.), considerado pelos gregos como o pai daAstronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivode medir ângulos.A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida associamos umângulo cuja medida chamaremos de 1 grau. O grau é uma unidade de medida de ângulo; 1 grau corresponde à medida do 1ângulo (com vértice no centro da circunferência) associado a um arco de da 360 circunferência.
  5. 5. 4Exemplos:Assim, para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulode 1º. Ná prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. Otransferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º.Para medir um ângulo:• coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo com que seu centro coincida com o vértice do ângulo• coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ângulo• identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo
  6. 6. 5Exemplos:a) A medida do ângulo AÔB é 45º, e indicamos med (AÔB) = 45º.b) A medida do ângulo AÔC é 160º, e indicamos med (AÔC) = 160º.
  7. 7. 6Ângulos congruentes ˆConsideremos os ângulos AÔB e MPQ abaixo:Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e oslados dos dois ângulos coincidem: ˆ Assim, AÔB e MPQ possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida. Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e utilizamos o símbolo ≅ para relacioná-los. congruente med (AÔB) = med (MPQ) ˆ AÔB ≅ MPQ ˆ usamos o símbolo = quando comparamos medidas usamos o símbolo ≅ quando comparamos ângulos
  8. 8. 7Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou nãocongruentes. ˆ med (ABC) = 56º med (DÊF) = 56º AÔB ≅ DÊFÂngulo raso e ângulo nulo• Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso oude meia-volta. BÂC é um ângulo raso ou de meia-volta
  9. 9. 8• Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo eo ângulo de uma volta. ângulo nulo ângulo de uma voltaUsando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulosabaixo:
  10. 10. 9 EXERCÍCIOS A(1) Considere o ângulo da figura abaixo e responda:a) Qual é o vértice desse ângulo?b) Quais são os lados desse ângulo?c) Qual é o nome desse ângulo?(2) Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomei os mesmos.
  11. 11. 10(3) Na figura seguinte, dê as medidas dos ângulos indicados:(4) Usando um transferidor, dê a medida de cada ângulo:a) b)
  12. 12. 11c) d)e) f)(5) No exercício anterior, identifique os pares de ângulos congruêntes.
  13. 13. 12(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de:a) 42ºb) 90ºc) 125ºd) 180º
  14. 14. 13Operações com medidas de ângulosComo vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mashá ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Comonão é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos ossubmúltiplos do grau.O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida deum ângulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numeração.• minuto → símbolo : ′• segundo → símbolo : ′′Portanto:Por exemplo, o ângulo de medida 18,5º pode ser escrito assim:18,5º = 18º + 0 ,5º = 18º + 30′ = 18º 30′
  15. 15. 14Transformação de unidadesVejamos como fazer transformações de unidades de ângulos observando osexemplos:1) Quantos minutos tem 32º?Resposta: 32º tem 1920′ .2) Expresse 2º 7′ 30′′ em segundos.Resposta: 2º 7′ 30′′ tem 7650′′ .3) Escreva 5680′′ em graus, minutos e segundos.Resposta: 5680′′ tem 1º 34′ 40′′ .
  16. 16. 15Simplificando os resultadosEm algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulos,precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso,observando os exemplos.1) Simplificar 54º 60′ .54º 60′ = 54º + 1º = 55ºResposta: 54º 60′ escrito na forma simplificada é 55º.2) Simplificar 18º 126′ .18º 126′ = 18º + 120′ + 6′ = 18º + 2º + 6′ = 20º + 6′ = 20º 6′Resposta: 18º 126′ escrito na forma simplificada é 20º 6′ .3) Simplificar 27 º 75′ 80′′ .27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 80′′27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 60′′ + 20′′27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 1′ + 20′′27º 75′ 80′′ = 27º + 76′ + 20′′27º 75′ 80′′ = 27º + 60′ + 16′ + 20′′27º 75′ 80′′ = 27º + 1º +16′ + 20′′27º 75′ 80′′ = 28º +16′ + 20′′Resposta: 27 º 75′ 80′′ escrito na forma simplificada é 28º +16′ + 20′′ .
  17. 17. 16Adição1) Quanto é a soma de 76º 35′ 53′′ com 47 º 54′ 38′′ ?Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então:Resposta: A soma é 124º 30′ 31′′ .Subtração1) Calcule a diferença 68º 54′ 37′′ − 38º 16′ 29′′ .Resposta: A diferença é 30º 38′ 8′′ .
  18. 18. 172) Qual é o valor de 105º 32′ 6′′ − 67 º 48′ 30′′ ?Agora calculamos a diferença:Resposta: O valor de 105º 32′ 6′′ − 67 º 48′ 30′′ é 37 º 13′ 36′′ .
  19. 19. 18Multiplicação por um número natural1) Qual é o produto de 17 º 18′ 30′′ por 6?Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então:Resposta: O produto de 17 º 18′ 30′′ por 6 é 103º 51′ .
  20. 20. 19Divisão por um número natural1) Calcule o quociente ( 82º 31′ 40′′ ) : 4.Resposta: O quociente é 20º 37′ 55′′ .
  21. 21. 20 EXERCÍCIOS B(1) Efetue as operações indicadas:a) 13º 12′ + 41º 10′ 20′′ c) (27 º 36′ 33′′) :3b) 35º 20′ − 10º 15′ 30′′ d) 4 ⋅ (10º 24′ 45′′)(2) Determine, na forma mais simplificada possível, o valor das expressões:a) 15º 12′ 35′′ + 27 º 18′ + 13º 51′ 30′′ b) (50º − 15º 20′) :5
  22. 22. 21(3) Na figura abaixo, AÔC é um ângulo de meia-volta. Qual o valor de x?Ângulos consecutivos e ângulos adjacentesObserve a figura:Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.Verifique em cada uma das figuras seguintes que:
  23. 23. 22 Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OC Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OA Os ângulos CÔB e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OBOs pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominadosângulos consecutivos.Assim:Dois ângulos que possuem o mesmo o mesmo vértice têm um lado comum são denominados ângulos consecutivos.
  24. 24. 23Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifiqueque: Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns. Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns.Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontosinternos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.Assim: Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são denominados ângulos adjacentes.
  25. 25. 24Bissetriz de um ânguloObserve a figura abaixo: med ( AÔP ) = med ( PÔB ) = 25ºVerifique que a semi-reta OP divide oângulo AÔB em dois ângulos ( AÔP ePÔB ) congruentes.Nesse caso, a semi-reta OP édenominada bissetriz do ângulo AÔB .Assim: Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice desse ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
  26. 26. 25Construção da bissetrizCom o compasso e a régua, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulodado, como veremos a seguir. Traçar a bissetriz de um ângulo AÔBCom o centro no vértice O, traçamosum arco com abertura qualquer edeterminamos os pontos C e B.Com centro nos pontos C e Dtraçamos dois arcos de mesmaabertura, que se encontram no pontoE.A semi-reta é a bissetriz do ânguloAÔB .
  27. 27. 26 EXERCÍCIOS C(1) Em cada figura, escreva os pares de ângulos adjacentes:a) b) c)(2) Com o transferidor, desenhe os ângulos abaixo, traçando em seguida abissetriz de cada um utilizando o compasso.a) 60º
  28. 28. 27b) 110ºc) 90ºd) 77º
  29. 29. 28Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtusoPodemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.Ângulo reto é o ângulo cujamedida é 90º.Ângulo agudo é o ângulo cujamedida é menor que 90º.Ângulo obtuso é o ângulo cujamedida é maior que 90º.
  30. 30. 29Retas perpendicularesSe traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam umponto em comum), é possível obter 4 ângulos congruentes, ou seja, de mesmamedida.É fácil verificar que cada um desses ângulosmede 90º.a=b=c=d Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos retos, dizemosque as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo ⊥ para representar esse perpendicularismo.Na figura ao lado, r e s formam entre si quatroângulos retos; então r ⊥ s .Símbolo: ⊥ (perpendicular a)
  31. 31. 30Ângulos complementares e ângulos suplementares ˆ ˆObserve os ângulos AOB e BOC na figura abaixo:Verifique que: ˆ ˆmed ( AOB ) + med ( BOC ) = 90º ˆ ˆNesse caso, dizemos que os ângulos AOB e BOC são complementares.Assim: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar adiferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo Complemento x 90º − x
  32. 32. 31 ˆ ˆObserve os ângulos AOB e BOC na figura abaixo:Verifique que: ˆ ˆmed ( AOB ) + med ( BOC ) = 180º ˆ ˆNesse caso, dizemos que os ângulos AOB e BOC são suplementares.Assim: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar adiferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo Suplemento x 180º − x
  33. 33. 32Exemplos:a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46º.Complemento: 90º −46º = 44ºSuplemento: 180º −46º = 134ºResposta: O complemento do ângulo de 46º mede 44º e o suplemento 134º.b) Na figura abaixo, determinar o valor de x. Como os ângulos são adjacentes complementares: x + 30º + x − 10º = 90º 2x + 20º = 90º 2 x = 90º − 20º 2x = 70º 70º x= 2 x = 35ºResposta: O valor de x é 35º. ˆ ˆc) Na figura abaixo, determinar as medidas ABC e CBD . Como os ângulos são adjacentes suplementares: 3x + x + 12º = 180º 4x + 12º = 180º 4 x = 180º −12º 4x = 168º 168º x= 4 x = 42º ˆ ˆResposta: ABC mede 126º e CBD mede 54º.
  34. 34. 33 EXERCÍCIOS D(1) Nas figuras abaixo, determine x:a) b)c) d)e) f)
  35. 35. 34Ângulos opostos pelo vérticeObserve os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo: Verifique que: OA e OC são semi-retas opostas OB e OD são semi-retas opostasPortanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ângulo AÔB sãoopostas, respectivamente, às semi-retas OC e OD que formam os lados doângulo CÔD .Neste caso, podemos também afirmar que os lados do ângulo AÔB sãoformados pelos prolongamentos dos lados do ângulo CÔD , e vice-versa.A esses dois ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice.Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.
  36. 36. 35Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v. Na figura ao lado, os ângulos AÔD e BÔC são opostos pelo vértice. Indicamos por: ˆ x = med ( BOC ) ˆ y = med ( AOD ) ˆ m = med ( AOB ) ˆ ˆComo AOB e AOD são adjacentessuplementares:m + y = 180º (I) ˆ ˆComo AOB e BOC são adjacentessuplementares:m + x = 180º (II)Comparando (I) e (II), temos:m + y = 180º m+y = m+x ⇒m + x = 180º y=xPodemos enunciar a seguinte propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
  37. 37. 36Exemplo:► Determinar os valores de x e y na figura abaixo. x = 30º → ângulos o.p.v. y + 30º = 180º → ângulos adjacetes suplementares y = 180º − 30º y = 150ºResposta: O valor de x é 30º e de y é 150º. EXERCÍCIOS E(1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b: a)
  38. 38. 37b)c)d)
  39. 39. 38Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.EDUCOM: ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DE TELEMÁTICA EDUCATIVA. Disponível em: <http://portal.educom.pt>. Acesso em: 19 de outubro de 2008.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 7 de outubro de 2008.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.
  40. 40. 39MUNDO VESTIBULAR. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br>. Acesso em: 30 de outubro de 2008.SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 23 de outubro de 2008.

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