Introdução ao escoamento incompressível
 Matéria
 Variação de massa específica associada à
variação de energia cinética
...
Introdução ao escoamento incompressível
 Matéria
 Condições críticas
 Evoluções em funão do número de Mach
 Equações p...
Introdução ao escoamento compressível
 Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia
cinética:
2
...
Introdução ao escoamento compressível
 Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível Esc. compressível...
Revisão de Termodinâmica
 Algumas definições:
 Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas dela...
1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas
abertos/volumes de controlo)
 Equação de energia para escoamentos unidimensionais:...
2ª Lei da Termodinâmica
 Num processo real a entropia s varia de modo a que;
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s e q ex...
Gases perfeitos
 Equação de estado: comRTp ρ= MR R=
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de u...
Número de Mach, M
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 Equação de energia: q
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 Temperatura de estagnação adiabática:
Temperatura de estagnação adiabática
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p1=70 kPa
T1=-50 C
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito
próximos e estariam à mesma
pressão e temperatura se o po...
Temperatura de estagnação em função do
número de Mach - M
 Temperatura de estagnação, T0:
pc
V
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Equações a utilizar em escoamento
compressível
 Equação da energia:
pc
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 Equação da continuidade:
 Equação ...
Equações a utilizar em escoamento
compressível
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Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
 Equação da energia:
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numa conduta de secção constante
 Equação da continuidade: 0=++
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Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
 6 incógnitas (dV, dp, dT, dρ, dM, dT0) e 6 equaçõ...
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numa conduta de secção constante
 Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal...
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Introdução ao escoamento incompressível
 Bibliografia
 Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,
E.G. Hauptmann, E....
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Introducao ao escoamento compressivel

  1. 1. Introdução ao escoamento incompressível  Matéria  Variação de massa específica associada à variação de energia cinética  Revisões de Termodinâmica  Equação de energia unidimensional para gases em regime estacionário sem trocas de energia ao veio  Entalpia e temperatura de estagnação  Exemplo  Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
  2. 2. Introdução ao escoamento incompressível  Matéria  Condições críticas  Evoluções em funão do número de Mach  Equações para regime compressível unidimensional  Transferência de calor em condutas de secção constante  Exemplo.
  3. 3. Introdução ao escoamento compressível  Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética: 2 2 V p ∆ −=∆ ρEquação de Bernoulli: 2 V∆ p∆elevados elevados ρ∆ ρ = ρ (T,p) significativos Efeitos de compressibilidade Importância do termo p∂ ∂ρ 2 1 a = a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos fluidos de menor a)
  4. 4. Introdução ao escoamento compressível  Aumento do número de variáveis (e equações): Esc. incompressível Esc. compressível V e p Equação da continuidade Equação de Bernoulli (ou de quantidade de movimento) V, p, ρ e T Equação da continuidade Equação de Energia Equação da quantidade de movimento Equação de estado (G.P.): RTp ρ=  Novos parâmetros: a – Velocidade do som M – Número de Mach (M = V/a)
  5. 5. Revisão de Termodinâmica  Algumas definições:  Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de duas delas (p.ex. pressão e temperatura).  Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o final.  Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem interferência do exterior.  Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de trocas de calor).  Leis da Termodinâmica:  1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de energia.  2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
  6. 6. 1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo)  Equação de energia para escoamentos unidimensionais: QWmgy V hmgy V hd V u t veio ent k ksaída i iVC  +=      ++−      +++            + ∂ ∂ ∑∑∫∫∫ 222 222 ψρ  Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa: q V h V h =      +−      + 1 2 2 2 22
  7. 7. 2ª Lei da Termodinâmica  Num processo real a entropia s varia de modo a que; T dq ds > ( ) ( )irrevrev dsdsds += s e q expressos por unidade de massa T dq  Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico. Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0
  8. 8. Gases perfeitos  Equação de estado: comRTp ρ= MR R= R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1 mole-1 ) e ainda: dTcdh dTcdu p v = = vp vp ccR cc −= =γ  Evoluções isentrópicas: 1 1 2 1 1 2 1 2 − −       =      = γ γ γ ρ ρ p p T T γ varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água γ =1,33. 1− = γ γR cp
  9. 9. Número de Mach, M  somdovelocidade fluidodovelocidade == a V M ( ) M p V = ∂∂ = ρ ( ) M p V = ∂∂ = ρ  ( ) 2 22 Lp LV ρρ ρ ∂∂ = elálástiforço inérciadeforçoForça de inércia Força elástica  ( ) 3 32 Lp LV ρρ ρ ∂∂ = elálástienergia cinéticaenergiaEnergia cinética Energia elástica
  10. 10. 2 2 0 V hh += qhh =− 1020  Entalpia de estagnação adiabática:  Equação de energia: q V h V h =      +−      + 1 2 2 2 22  Num escoamento adiabático (q = 0): . 2 2 0 cte V hh =+= Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática Entalpia de estagnação adiabática
  11. 11.  Temperatura de estagnação adiabática: Temperatura de estagnação adiabática pc V TT 2 2 0 += qhh =− 1020 . 2 2 0 cte V hh =+=  Para um gás perfeito: dTcdh p=  Num escoamento adiabático: Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática  Equação da energia: pc q TT =− 1020 . 2 2 0 cte c V TT p =+=
  12. 12. p0=84 kPa V p1=70 kPa T1=-50 C Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot. Exemplo  Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V. pc q TT =− 1020Equação da energia: . 2 2 0 cte c V TT p =+= 1 0 pc V TT 2 2 1 10 += ( )11 2 TTcV op −= Evolução isentrópica: γ γ 1 11 −       = p p T T oo K9,2340 =TK223502731 =−=T m/s1541 =VResultados: 0=q ?
  13. 13. Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M  Temperatura de estagnação, T0: pc V TT 2 2 0 +=         += Tc V TT p2 1 2 0 ( )       − += RT V TT γ γ 2 0 2 1 1 2 a ( )       − += 2 0 2 1 1 MTT γ 1− = γ γR cp       = p
  14. 14. Condições críticas (M=1)  Para M=1 ( )       − += 2 1 10 γ TT ( )       − += 2 0 2 1 1 MTT γ ( ) 1 0 2 1 −∗     + = γ T T ∗∗ = + = a RT V 1 0 γ γ T* é a temperatura crítica V* é a temperatura crítica: a* é a velocidade do som crítica
  15. 15. Equações a utilizar em escoamento compressível  Equação da energia: pc q TT =− 1020  Equação da continuidade:  Equação de estado:  Equação do número de Mach: pc dq dT =0 .cteAV =ρ 0=++ V dV A dAd ρ ρ RTp ρ= 0=−− T dTd p dp ρ ρ a V M = 0=−+ V dV a da M dM
  16. 16. Equações a utilizar em escoamento compressível ( )( ) AVdV d dxV fdAAdpppdApA ρρ =−++−+ 2 2  Equação da quantidade de movimento: ( )12 xxx VVmF −=  0 2 2 =−+ d dx A M f RT VdV p dp γ V V+dV A, p, ρ A+dA p+dp ρ+dρ (escoamento sem mudança de direcção) RTp 1 = ρ p pForça longitudinal exercida pela pressão na parede lateral
  17. 17. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante  Equação da energia: pc dq dT =0 dq V p, ρ V+dV p+dp ρ+dρ pc VdV dTdT +=0  Definição de temperatura de estagnação: T+dT T0+dT0 M+dM
  18. 18. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante  Equação da continuidade: 0=++ V dV A dAd ρ ρ  Equação de estado: 0=−− T dTd p dp ρ ρ  Eq. número de Mach: 0=−+ V dV a da M dM 0 2 2 =−+ d dx A M f RT VdV p dp γ Eq. da quant. movimento: (desprezando o atrito)
  19. 19. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante  6 incógnitas (dV, dp, dT, dρ, dM, dT0) e 6 equações Solução: ( ) pc dq M V dV T dT =−= 20 1 Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo) (Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída) ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo) (Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
  20. 20. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante  Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)? smRTMV eee 95== γ q M=0,3 T=250 K saída 12 1436 − = smkg A m 3 15 mkg V Am e e ==  ρ PaTRp eee 1083628== ρ ( )eses VV A m pp −−=  ( )22 eesse VVp ρρ −−= sRTγ ( )2 eesses VRTpp ργρ −−= sp
  21. 21. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante Pa Vp p eee s 507918 1 2 = + + = γ ρ 3 9,2 mkg RT p s s s ==ρ sm Am V s s 495== ρ  M=0,3 T=250 K saída 12 1436 − = smkg A m s s s s s AV m RT RT p  == ρ γ s s RT A m p  = KTs 610= ( ) KgKJ VV TTcq es esp 4,479 2 22 = − +−= ( )sss RTVM γ==1 ( )2 eesses VRTpp ργρ −−= sp
  22. 22. Introdução ao escoamento incompressível  Bibliografia  Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999.  Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994.

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