Introducao ao escoamento compressivel

1. Introdução ao escoamento incompressível
 Matéria
 Variação de massa específica associada à
variação de energia cinética
 Revisões de Termodinâmica
 Equação de energia unidimensional para gases
em regime estacionário sem trocas de energia ao
veio
 Entalpia e temperatura de estagnação
 Exemplo
 Escoamento subsónico, crítico e supersónico.

2. Introdução ao escoamento incompressível
 Matéria
 Condições críticas
 Evoluções em funão do número de Mach
 Equações para regime compressível unidimensional
 Transferência de calor em condutas de secção
constante
 Exemplo.

3. Introdução ao escoamento compressível
 Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia
cinética:
2
2
V
p
∆
−=∆ ρEquação de Bernoulli:
2
V∆ p∆elevados elevados
ρ∆
ρ = ρ (T,p)
significativos Efeitos de
compressibilidade
Importância do termo
p∂
∂ρ
2
1
a
= a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos
fluidos de menor a)

4. Introdução ao escoamento compressível
 Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível Esc. compressível
V e p
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli
(ou de quantidade de movimento)
V, p, ρ e T
Equação da continuidade
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.): RTp ρ=
 Novos parâmetros: a – Velocidade do som
M – Número de Mach
(M = V/a)

5. Revisão de Termodinâmica
 Algumas definições:
 Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas delas (p.ex. pressão e temperatura).
 Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o
final.
 Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem
interferência do exterior.
 Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de
trocas de calor).
 Leis da Termodinâmica:
 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de
energia.
 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais

6. 1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas
abertos/volumes de controlo)
 Equação de energia para escoamentos unidimensionais:
QWmgy
V
hmgy
V
hd
V
u
t
veio
ent
k
ksaída
i
iVC
 +=





++−





+++











+
∂
∂
∑∑∫∫∫ 222
222
ψρ
 Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao
veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia
potencial (gases), por unidade de massa:
q
V
h
V
h =





+−





+
1
2
2
2
22

7. 2ª Lei da Termodinâmica
 Num processo real a entropia s varia de modo a que;
T
dq
ds > ( ) ( )irrevrev dsdsds +=
s e q expressos por unidade de massa
T
dq
 Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta,
excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em
que s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0

8. Gases perfeitos
 Equação de estado: comRTp ρ= MR R=
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma
mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1
mole-1
)
e ainda:
dTcdh
dTcdu
p
v
=
=
vp
vp
ccR
cc
−=
=γ
 Evoluções isentrópicas:
1
1
2
1
1
2
1
2
−
−






=





=
γ
γ
γ
ρ
ρ
p
p
T
T
γ varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da
molécula do gás; vapor de água γ =1,33.
1−
=
γ
γR
cp

9. Número de Mach, M

somdovelocidade
fluidodovelocidade
==
a
V
M
( )
M
p
V
=
∂∂
=
ρ
( )
M
p
V
=
∂∂
=
ρ

( ) 2
22
Lp
LV
ρρ
ρ
∂∂
=
elálástiforço
inérciadeforçoForça de inércia
Força elástica

( ) 3
32
Lp
LV
ρρ
ρ
∂∂
=
elálástienergia
cinéticaenergiaEnergia cinética
Energia elástica

10. 2
2
0
V
hh +=
qhh =− 1020
 Entalpia de estagnação adiabática:
 Equação de energia: q
V
h
V
h =





+−





+
1
2
2
2
22
 Num escoamento adiabático (q = 0): .
2
2
0 cte
V
hh =+=
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso
numa desaceleração adiabática
Entalpia de estagnação adiabática

11.  Temperatura de estagnação adiabática:
Temperatura de estagnação adiabática
pc
V
TT
2
2
0 +=
qhh =− 1020
.
2
2
0 cte
V
hh =+=
 Para um gás perfeito: dTcdh p=
 Num escoamento adiabático:
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado
ao repouso numa desaceleração adiabática
 Equação da energia:
pc
q
TT =− 1020
.
2
2
0 cte
c
V
TT
p
=+=

12. p0=84 kPa
V
p1=70 kPa
T1=-50 C
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito
próximos e estariam à mesma
pressão e temperatura se o ponto 0
não fosse de estagnação devido à
presença do Pitot.
Exemplo
 Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da
pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura
local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
pc
q
TT =− 1020Equação da energia:
.
2
2
0 cte
c
V
TT
p
=+=
1 0
pc
V
TT
2
2
1
10 += ( )11 2 TTcV op −=
Evolução isentrópica:
γ
γ 1
11
−






=
p
p
T
T oo
K9,2340 =TK223502731 =−=T m/s1541 =VResultados:
0=q
?

13. Temperatura de estagnação em função do
número de Mach - M
 Temperatura de estagnação, T0:
pc
V
TT
2
2
0 +=








+=
Tc
V
TT
p2
1
2
0
( )





 −
+=
RT
V
TT
γ
γ 2
0
2
1
1
2
a
( )





 −
+= 2
0
2
1
1 MTT
γ
1−
=
γ
γR
cp 





=
p

14. Condições críticas (M=1)
 Para M=1 ( )





 −
+=
2
1
10
γ
TT
( )





 −
+= 2
0
2
1
1 MTT
γ
( ) 1
0 2
1
−∗



 +
=
γ
T
T
∗∗
=
+
= a
RT
V
1
0
γ
γ
T* é a temperatura crítica
V* é a temperatura crítica:
a* é a velocidade do som crítica

15. Equações a utilizar em escoamento
compressível
 Equação da energia:
pc
q
TT =− 1020
 Equação da continuidade:
 Equação de estado:
 Equação do número de Mach:
pc
dq
dT =0
.cteAV =ρ 0=++
V
dV
A
dAd
ρ
ρ
RTp ρ= 0=−−
T
dTd
p
dp
ρ
ρ
a
V
M = 0=−+
V
dV
a
da
M
dM

16. Equações a utilizar em escoamento
compressível
( )( ) AVdV
d
dxV
fdAAdpppdApA ρρ =−++−+
2
2
 Equação da quantidade de movimento:
( )12 xxx VVmF −= 
0
2
2
=−+
d
dx
A
M
f
RT
VdV
p
dp
γ
V V+dV
A, p, ρ
A+dA
p+dp
ρ+dρ
(escoamento sem mudança de direcção)
RTp
1
=
ρ
p
pForça longitudinal exercida pela pressão
na parede lateral

17. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
 Equação da energia:
pc
dq
dT =0
dq
V
p, ρ
V+dV p+dp
ρ+dρ
pc
VdV
dTdT +=0
 Definição de temperatura
de estagnação:
T+dT
T0+dT0
M+dM

18. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
 Equação da continuidade: 0=++
V
dV
A
dAd
ρ
ρ
 Equação de estado: 0=−−
T
dTd
p
dp
ρ
ρ
 Eq. número de Mach: 0=−+
V
dV
a
da
M
dM
0
2
2
=−+
d
dx
A
M
f
RT
VdV
p
dp
γ Eq. da quant. movimento:
(desprezando o atrito)

19. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
 6 incógnitas (dV, dp, dT, dρ, dM, dT0) e 6 equações
Solução:
( )
pc
dq
M
V
dV
T
dT
=−= 20
1
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal,
mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do
caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

20. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
 Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal
indicado (isto é, para Ms = 1)?
smRTMV eee 95== γ
q
M=0,3
T=250 K
saída
12
1436 −
= smkg
A
m
3
15 mkg
V
Am
e
e ==

ρ PaTRp eee 1083628== ρ
( )eses VV
A
m
pp −−=

( )22
eesse VVp ρρ −−=
sRTγ
( )2
eesses VRTpp ργρ −−=
sp

21. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
Pa
Vp
p eee
s 507918
1
2
=
+
+
=
γ
ρ
3
9,2 mkg
RT
p
s
s
s ==ρ
sm
Am
V
s
s 495==
ρ

M=0,3
T=250 K
saída
12
1436 −
= smkg
A
m
s
s
s
s
s
AV
m
RT
RT
p

==
ρ
γ
s
s
RT
A
m
p

= KTs 610=
( ) KgKJ
VV
TTcq es
esp 4,479
2
22
=
−
+−=
( )sss RTVM γ==1
( )2
eesses VRTpp ργρ −−=
sp

22. Introdução ao escoamento incompressível
 Bibliografia
 Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,
E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª
edição, Prentice Hall, 1999.
 Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics,
3ª edição, McGraw-Hill, 1994.