Algebra linear 02 aula 01-03-produto misto

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Algebra linear 02 aula 01-03-produto misto

  1. 1. PRODUTO MISTO  Definimos o produto misto de dois vetores u e v dados por     u = (a, b, c) = a.i + b. j + c.k   v = (d , e, f ) = d .i + e. j + f .kcomo :      [ u , v , w ] = u.( v x w )
  2. 2.   Pelo Produto Vetorial Pelo Produto Vetorial i j kjá estudado já estudado  anteriormente ,, temos :: anteriormente temos vxw= d e f g h Pela Regra de Sarrus ,, temos ::Pela Regra de Sarrus temos    i j k  e f  d f  d e vxw= d e f = .i − .j + .k h  g  g h g h 
  3. 3.    i j k  e f  d f  d e vxw= d e f = .i − .j + .k h  g  g h g h       [ u , v , w ] = u.( v x w ) =    i j k   e f d f d eu.( v x w) = d e f = a. − b. + c. h  g  g h g h 
  4. 4.    i j k   e f d f d eu.( v x w) = d e f = a. − b. + c. h  g  g h g h  a b c      [ u , v , w ] = u.( v x w) = d e fPelas Propriedades dosPelas Propriedades dos g h Determinantes, temos ::Determinantes, temos [ u , v , w ] = u.( v x w) = (u x v ) .w         
  5. 5.         (u x v ) .w = w.( u x v ) = w.( − v x u ) = g h  g h = −d −e −f = −d e f = a b c a b c a b c a b c = ( −1).( −1). d e f = d e f Logo : g h  g h  [ u , v , w ] = u.( v x w) = (u x v ) .w         
  6. 6.   INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃOvxw GEOMÉTRICA GEOMÉTRICA hθ u  Veja que : w   h = u . cos θ v   Sb = v x w
  7. 7. Lembre-se que todo paralelepípedo é um prisma.    h = u . cos θ ; S b = v x w    V = S b .h = v x w . u . cos θV = S b .h = ( v x w ).u = [ u , v , w ]       V = [u , v , w ]   
  8. 8. VETORES COPLANARESSão vetores que estão contidos nomesmo plano.   v w  u
  9. 9.   w v  uRepare que vetores que estãocontidos no mesmo plano, nãoformam paralelepípedo.Digamos então que o que seria umparalelepípedo é um sólido de volumeigual a zero. Então : [u , v , w] = 0   
  10. 10.  vxw VOLUME DOO Paralelepípedo pode TETRAEDROser dividido em doisPrismas Triangulares Da Geometria Espacial,de mesmo volume. temos que o volume de uma Pirâmide, vale 1/3 do volume do h Prisma.θ u  Assim, temos : w 1 1  Vtetr . = . .Vparal .   3 2  v 1    V = . [u , v , w ] 6

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