Matemática Financeira Básica

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Matemática Financeira Básica

  1. 1. Introdução<br />Matemática Financeira:<br />É o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo.<br />Objetivos:<br />1. Quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money). <br />2. As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo.<br />Juros<br /> Remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) preço do crédito.<br />
  2. 2. A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: <br />1 - Inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.<br />2 - Risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.<br />3 – Aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro! <br />
  3. 3. Principais siglas da Matemática Financeira<br /> Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.<br />
  4. 4. Juros Simples<br /> Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). <br /> Este sistema não é muito utilizado na prática das operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma bastante interessante.<br />
  5. 5. Ilustração<br /> A título introdutório, vejamos o seguinte exemplo:<br /> Considere que R$100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao mês, durante 3 meses; teríamos neste caso:<br /> Juros produzidos ao final do primeiro mês: <br /> J = 100.(1%).1 = 100.(1/100) . 1 = R$1,00<br /> Juros produzidos ao final do segundo mês: <br /> J = 100.(1%).2 = 100.(1/100) . 2 = R$2,00<br /> Juros produzidos ao final do terceiro mês: <br /> J = 100.(1%).3 = 100.(1/100) . 3 = R$3,00<br />
  6. 6. Comparando com a fórmula de Juros Simples normalmente conhecida como:<br />J = C * i * t <br />J = 100 * 0,01 * 3 = 3,00<br />sendo a taxa (i) dividida por 100<br />Ou<br />J= P * i * n<br />J = 100 * 0,01 * 3 = 3,00<br />sendo a taxa (i) dividida por 100<br />
  7. 7. Algumas fórmulas derivadas de Juros simples<br />P = J / i*n  P = 3,00 / 0,01 * 3 = 100<br />i = J / P*n  i = 3,00/100*3 = 0,01*100 <br /> = 1 %<br />n = J / P* i  n = 3,00 / 100*0,01 = 3 meses<br />
  8. 8. Notas:<br />(a) observe que os juros - neste caso de juros simples - são calculados sempre em relação ao capital inicial de R$100,00.<br />(b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.<br />
  9. 9. Conclusão<br /> Então, se um capital inicial P for aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos e lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial P, podemos escrever:J = P* i * n <br />onde J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período, igual a i.<br />
  10. 10. No final de n períodos, é claro que o total será igual ao capital inicial, adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado<br />MONTANTE (M).<br /> Logo, teremos: <br /> M = P + J (Como J= P*i*n)<br /> M = P + P*i*n (colocando P em evidência)<br /> M = P(1 + i*n) <br />Portanto, M = P(1+ i*n)<br />
  11. 11. Algumas fórmulas derivadas do Montante <br />P = M / 1 + i*n<br />i = M – P/ P * n<br />N = M – P/P * i<br />
  12. 12. Exemplos práticos<br />1 - A quantia de R$3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. <br />
  13. 13. Solução:<br />Temos: <br />P = 3000;<br />i = 5% = 5/100 = 0,05 e <br />n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.<br />Portanto:<br />M = 3000(1 + 0,05.60) = 3000(1+3) = 12000<br />Resposta: R$12000,00<br />
  14. 14. 2 - Determine o montante produzido por um capital de R$3000,00 aplicado por 1 mês e dez dias, à taxa de 6% a.b. <br />
  15. 15. Solução<br /> Temos: <br /> P = 3000;<br /> i = 6% a.b(ao bimestre) e <br /> n = 1 mês e dez dias. <br /> Teremos que expressar n  e  i  na mesma unidade de tempo. Vamos referir tudo ao intervalo de tempo em dias, lembrando que nos cálculos comerciais, considera-se 1 mês = 30 dias:<br />
  16. 16. a) 1 bimestre = 2 meses = 2.30 = 60 dias.<br /> b) 6% a.b = 6% em 60 dias = 6% / 60 = 0,06/60) a.d (ao dia).<br /> c) 1 mês e 10 dias = 30 + 10 = 40 dias<br /> Agora que está tudo expresso em relação ao mesmo intervalo de tempo, basta aplicar diretamente a fórmula M = P(1 + in), ou seja:<br /> M = 3000(1 + (0,06/60).40) <br /> M = 3000(1 + 0,04) <br /> M = 3000.1,04 = 3120 <br /> Resposta: R$3120,00 <br />
  17. 17. 3 – (Fiscal-MS-2000) Um banco oferece a seus clientes um tipo de aplicação financeira com as seguintes características:<br /><ul><li> Prazo: 4 meses;
  18. 18. Remuneração: juros simples à taxa de 1,5% ao mês;
  19. 19. Imposto de renda: 20% do juro produzido, pago no final da aplicação.
  20. 20. Um cliente pagou R$36,00 de imposto de renda. Seu montante líquido (após o pagamento do imposto de renda) foi:</li></li></ul><li>Solução<br />Temos:<br /> i = 1,5 % a.m<br />Imposto de renda = R$36,00 relativo a 20% dos juros produzidos pelo Principal;<br />Pelo enunciado, o cliente pagou 20% do juro, relativo ao imposto de renda = R$36,00;<br />regra de três Simples :<br /> R$ %<br /> 36 ----------- 20<br /> j ----------- 100<br /> Ou seja 20% de j = 36<br /> Então <br /> 0,20 * j = 36<br /> Logo,<br /> j = 36/0,20 = 180.<br />
  21. 21. Portanto, os juros da aplicação foram de R$180,00.<br /> Como j = P* i * n, <br /> substituindo:<br /> 180 = P.(1,5/100).4, <br /> de onde tiramos <br /> P = 3000 <br />
  22. 22. Aplicando a fórmula do Montante, vem:<br />M = P(1 + in) = <br /> M = 3000(1 + (1,5/100).4) <br /> M = 3000.1,06 = 3180Mas, deste montante, R$36,00 foram pagos de imposto de renda; logo, o montante procurado é igual a <br /> 3180 - 36 = 3144, <br /> ou seja, <br /> R$3144,00.<br />
  23. 23. 4 – (CEF - Técnico Bancário) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 do seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:<br />
  24. 24. Solução:<br /> Seja P o capital aplicado durante 1 ano e 4 meses = 12 + 4 = 16 meses, <br /> resultando no montante M = (7/5).P <br /> Substituindo os valores conhecidos na fórmula de montante M = P(1 + i*n), vem: (7/5)*P = P(1 + i*16)<br />Simplificando P, fica: 1,4 = 1 + 16i , <br />
  25. 25. de onde vem: <br /> 0,4 = 16i <br /> e finalmente, <br /> i = 0,4/16 = 0,025. <br /> Para expressar em porcentagem, basta multiplicar por 100 ou seja: <br /> i = 0,025.100 = 2,5% a.m.<br />
  26. 26. Gráficos das funções envolvendo Montantes<br /> As relações envolvendo grandezas são analisadas do ponto de vista das funções matemáticas. As funções possuem inúmeras características e detalham desde cálculos cotidianos até situações de maior complexidade. No caso da Matemática Financeira, as funções são relacionadas às aplicações de capitais nos regimes de juros simples e compostos, os quais utilizamos as funções do 1º grau e exponencial respectivamente. Os gráficos representativos das funções citadas servem de análise sobre o andamento do montante formado mês a mês, observando qual aplicação é mais vantajosa dentro de um determinado período. Observe os gráficos das situações a seguir, eles representarão o andamento da aplicação de acordo com o tipo de capitalização escolhida.<br />
  27. 27. Situação – Juros Simples<br /> Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês no período de 4 meses, nos regimes de juros simples e compostos. Vamos representar a função de cada aplicação e os gráficos correspondentes aos primeiros meses. Juros simples M = C + j J = C * i * t<br /> O Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 540,00. <br />
  28. 28. Na calculadora financeira HP 12C<br />Digite:<br />500 enter<br />2 enter<br />100 :<br />Enter<br />4 X Enter<br />500 X<br />+  $ 540,00<br />
  29. 29. Gráficos – Juros Simples – Função do 1º grau<br />
  30. 30. Juros Compostos<br /> Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).<br />
  31. 31. Aplicando a mesma situação para juros compostos temos:<br /> Juros compostos <br /> n M = P * (1 + i) Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 541,22<br />
  32. 32. NA HP 12 C PELO MÉTODO NORMAL<br /> 2 enter<br />100 :<br /> enter<br />1 +<br /> enter<br />4 <br /> X<br />y<br />enter<br /> 500 x<br />
  33. 33. Na calculadora Financeira HP 12C<br />Digite:<br />500 PV<br />2 i<br />4 n<br />FV <br />$541,22<br />
  34. 34. Gráfico – Juros compostos – Função Exponencial<br />
  35. 35. Comparando JS e JC<br />
  36. 36. 5 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?<br />
  37. 37. Solução<br /> Temos: <br /> M = P(1 + in). <br /> Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. <br /> Vem:2P = P(1 + 0,05n); <br /> (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).<br /> Simplificando P, fica:2 = 1 + 0,05n (2 -1 = 0,05n), então<br /> 1 = 0,05n, <br /> de onde conclui-se n = 1/0,05 <br /> n = 20 meses (1 ano e oito meses).<br />
  38. 38. Respostas dos exercícios propostos 1 a 6<br /> 1 – Resposta $ 46.000,00<br /> 2 - Resposta: 12,5% a.a3 - Resposta: N = 100 dias<br /> 4 - Resposta: R$ 36.000,005- Resposta: 20 anos<br /> 6 - Resposta: R$6000,00<br />
  39. 39. Preparem-se<br /> Os exercícios a seguir estão de acordo com os apresentados na aula de hoje, no verso você encontrará as fórmulas para aplicá-las.<br /> Tente fazer alguns e nos 10 minutos restantes serão mostrados seus resultados!!!<br /> Boa SORTE<br />
  40. 40. JUROS SIMPLES<br />1- Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?<br />2- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.<br />3- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?<br />
  41. 41. 4- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?<br />5- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00.  Qual foi esse capital?<br />6- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00.  Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?<br />
  42. 42. 7- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?<br />8- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?<br />9- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.<br />10- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?<br />
  43. 43. 11- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?<br />12- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00.  Qual é o valor desse capital?<br />13- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.<br />
  44. 44. RESPOSTAS<br /><ul><li>1) 1.728,00
  45. 45. 2) 4.380,00
  46. 46. 3) 40% aa
  47. 47. 4) 0,75% am
  48. 48. 5) 27.000,00
  49. 49. 6) 30% aa</li></li></ul><li><ul><li>7) 10 anos
  50. 50. 8) 2 anos
  51. 51. 9) 7.400,00
  52. 52. 10) 12,5% aa
  53. 53. 11) indiferente
  54. 54. 12) 32.400,00
  55. 55. 13) 313.600,00</li></li></ul><li>JUROS COMPOSTOS – <br />CALCULE NA HP 12C QUE NA OUTRA AULA RESOLVEREMOS EM LOUSA<br />1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:<br /> a) 4% am   e  6 meses<br /> b) 8% at   e   18 meses    <br /> c) 12% aa   e   18 meses<br />
  56. 56. 2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?<br />
  57. 57. 3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira.  Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:<br /> a) 13% at       <br /> b) 18% aa        <br /> c) 14% as      <br /> d) 12% am<br />
  58. 58. RESPOSTAS<br />1) a) 4.428,62<br />    b) 5.554,06<br />    c) 4.148,54<br />2) 11 meses<br />3) a) 14.149,62<br />    b) 51.578,89<br />    c) 35.055,91<br />
  59. 59. ACESSE: www.simuladoseapostilas.blogspot.com<br />

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