Cálculo e Equações Diferenciais

Um Curso de Cálculo e Equa¸cões
Diferenciais com Aplica¸cões1
Lu´ıs Gustavo Doninelli Mendes 23
1
Continuarei acrescentando material, além de corrigir poss´ıveis erros ou imperfei¸cões. Por isso
sugiro que o improvável leitor não imprima o texto. Quando for estudá-lo dê uma olhada no
meu site se já há uma versão mais atualizada. Sugestões ou corre¸cões, por favor as envie para
mendes.lg@gmail.com
2
Professor Adjunto do Departamento de Matemática da UFRGS
3 Última atualiza¸cão: 09/05/2012

Índice
Parte 1. Cálculo Diferencial e Integral e primeiras Aplica¸cões 13
Cap´ıtulo 1. Introdu¸cão 15
1. O que é o Cálculo 15
2. Sobre o Curso 16
3. Sobre os Gráficos e Figuras 16
4. Alerta aos estudantes 16
5. Livros-texto e Referências 17
6. Programas úteis 18
Cap´ıtulo 2. Alguns dos objetivos do Cálculo 21
1. Fun¸cões e seus dom´ınios 21
2. Fun¸cão 23
3. Fun¸cões definidas a partir de outras fun¸cões 23
4. Diferentes dom´ınios de fun¸cões 24
5. Gráfico descont´ınuo, mas que mesmo assim é gráfico 25
6. Fun¸cão positiva, negativa e zeros ou ra´ızes 25
7. Fun¸cão crescente ou decrescente 26
8. Máximos e m´ınimos 28
9. Exerc´ıcios 29
Cap´ıtulo 3. Propriedade básicas dos números Reais 31
1. Os Reais como sistema de números: não dividirás por zero ! 31
2. Ordem nos Reais: não tirarás a ra´ız quadrada de números negativos ! 32
3. Propriedades gerais das desigualdades 33
4. Intervalos e suas utilidades 36
5. Metamorfoses de cúbicas 39
6. Exerc´ıcios 46
Cap´ıtulo 4. Sequências e seus limites 47
1. Sequências 47
2. Limites de sequências 48
3. Defini¸cão e Propriedades fundamentais 49
4. Exerc´ıcios 53
Cap´ıtulo 5. Limites de fun¸cões definidas em intervalos 57
1. Opera¸cões elementares com limites de fun¸cões 58
2. A defini¸cão usual com ǫ e δ 59
3. Limites quando x tende ao infinito 61
3

4 ÍNDICE
4. Quando a parte é do mesmo tamanho do todo 66
5. Exerc´ıcios 68
Cap´ıtulo 6. A no¸cão de Continuidade 71
1. Opera¸cões com fun¸cões cont´ınuas 72
2. Polinômios, fun¸cões racionais e trigonométricas 74
3. Continuidade da fun¸cão inversa 78
4. Dois teoremas fundamentais sobre fun¸cões cont´ınuas 79
5. Primeiras aplica¸cões do T.V.I 79
6. Ra´ızes de polinômios cujo grau é ´ımpar 79
7. Ra´ızes simples e fatora¸cão de polinômios 81
8. Poss´ıveis ra´ızes Racionais de polinômios a coeficientes inteiros 83
9. Exerc´ıcios 84
Cap´ıtulo 7. Geometria Anal´ıtica Plana 87
1. Equa¸cões de retas, coeficientes angular e linear 87
2. Ortogonalidade 89
3. Teorema de Tales no c´ırculo 90
4. A equa¸cão da reta de Euler 91
5. A inversa como reflexão de gráfico na diagonal 99
6. O método de Descartes para as tangentes a um gráfico 100
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 104
8. Exerc´ıcios 104
Cap´ıtulo 8. A Tangente ao gráfico, segundo o Cálculo 107
1. Retas secantes a um gráfico 107
2. A reta tangente a um gráfico 107
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) é a diagonal 109
4. Interpreta¸cão F´ısica da reta tangente 113
Cap´ıtulo 9. A derivada 115
1. Defini¸cão, primeiras propriedades e exemplos simples 115
2. Um Árbitro que só avalia as inclina¸cões 117
3. Derivadas da soma e da diferen¸ca 119
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993 120
5. A segunda derivada 123
Cap´ıtulo 10. Sinal da derivada e crescimento 127
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 127
2. O Teorema 0 das Equa¸cões Diferenciais 131
3. Critérios de crescimento e de decrescimento 133
4. Uma confusão frequente sobre o significado do sinal da derivada 134
5. Descontinuidade da fun¸cão derivada 135

ÍNDICE 5
Cap´ıtulo 11. Aplica¸cões da primeira e segunda derivadas 139
1. Primeiro critério de máximos e m´ınimos 139
2. Critério da segunda derivada 139
3. Um problema t´ıpico para os engenheiros 140
4. M´ınimos de distâncias e ortogonalidade 142
5. Concavidades dos gráficos 146
6. M´ınimos quadrados e a média aritmética 149
7. Pontos de inflexões dos gráficos 151
8. Critério da derivada de ordem n 152
9. Confeçcão de gráficos de polinômios 154
Cap´ıtulo 12. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 161
1. O cosseno como derivada do seno 161
2. Leis de Hooke com e sem atrito 163
Cap´ıtulo 13. Derivada do produto, indu¸cão e a derivada de xn
, n ∈ Z. 167
1. Princ´ıpio de indu¸cão matemática 167
2. Derivada do Produto 169
3. Derivadas de x−n
, ∀n ∈ N 170
4. Ra´ızes múltiplas e fatora¸cão de polinômios 171
5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinômio 173
Cap´ıtulo 14. Derivada da composi¸cão de fun¸cões 179
1. Regra da composta ou da cadeia 179
2. A derivada do quociente 183
3. Uma fun¸cão que tende a zero oscilando 185
4. Confeçcão de gráficos de fun¸cões racionais 186
5. Involu¸cões fracionais lineares 189
7. Uma fun¸cão com derivada, mas sem a segunda derivada 192
8. Máximos e m´ınimos: o problema do freteiro 193
Cap´ıtulo 15. Derivadas de fun¸cões Impl´ıcitas 207
1. Curvas versus gráficos 207
2. Teorema da fun¸cão impl´ıcita 209
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie 212
4. Tangentes, pontos racionais de cúbicas e códigos secretos 213
5. Deriva¸cão impl´ıcita de segunda ordem 218
Cap´ıtulo 16. Fun¸cões inversas e suas derivadas 221
1. Derivada de y =
√
x 222
2. Distância versus quadrado da distância 223

6 ÍNDICE
3. Derivada da “fun¸cão”x
1
n , de x
m
n e de x
−m
n 223
4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225
5. Derivada do arcotangente 228
Cap´ıtulo 17. Taxas relacionadas 235
1. Como varia um ângulo 235
2. Como varia uma distância 236
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores 238
Cap´ıtulo 18. O Método de aproxima¸cão de Newton 243
Cap´ıtulo 19. O Princ´ıpio de Fermat e a refra¸cão da luz 247
1. Princ´ıpio de Fermat 247
2. Refra¸cão, distâncias ponderadas e Lei de Snell 249
Cap´ıtulo 20. As Cônicas e suas propriedades refletivas 255
1. Distância até uma parábola 255
2. Defini¸cão unificada das cônicas 257
3. A Parábola e sua propriedade refletiva 265
4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco 269
5. A Elipse e sua propriedade refletiva 271
6. A Hipérbole e o análogo da propriedade refletiva 275
7. Fam´ılia de cônicas co-focais ortogonais 281
Cap´ıtulo 21. Integra¸cão e o Primeiro Teorema Fundamental 285
1. Área sob um gráfico positivo 285
2. Qual fun¸cão descreve as Áreas sob gráficos? 286
3. Primeira Versão do Primeiro Teorema fundamental do Cálculo 289
4. A Integral e suas propriedades 291
5. Teorema do valor médio de integrais 294
6. A integral indefinida e o Primeiro Teorema fundamental 295
7. Existem fun¸cões com primeira derivada, mas sem segunda derivada 297
Cap´ıtulo 22. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 301
1. Existe uma fun¸cão f ≡ 0 que seja imune à deriva¸cão ? 301
2. Propriedades fundamentais do logaritmo e da exponencial 304
3. loga x , ∀a > 0 e ln | x | 306
4. As fun¸cões ex
e ax
, para a > 0 308
5. xa
e sua derivada, a ∈ R. 309
6. Crescimento lento do logaritmo e rápido da exponencial 310
7. Uma observa¸cão sobre o termo geral de uma série infinita 313
8. Um problema da Putnam Competiton, n. 11, 1951 314

ÍNDICE 7
9. A regra de L’Hôpital 315
10. A fun¸cão xx
319
12. Um modo de aproximar e por números Racionais 322
13. Fun¸cões f(x)g(x)
em geral e suas indetermina¸cões 323
14. Derivada logar´ıtmica 324
15. Uma fun¸cão extremamente achatada 326
Cap´ıtulo 23. Segundo Teorema Fundamental e Áreas 335
1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre área 335
2. Segundo Teorema Fundamental do Cálculo 336
3. Regiões entre dois gráficos 337
4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340
5. Integral e centro de gravidade 343
6. Arquimedes e a parábola: prova versus heur´ıstica 345
Cap´ıtulo 24. Integra¸cão por partes 353
Cap´ıtulo 25. Integra¸cão por substitui¸cão 359
1. A substitui¸cão trigonométrica x = sin(θ) 362
2. Áreas do C´ırculo e Elipse 363
3.
√
r2 − x2 dx 365
4. Mais exemplos da substitui¸cão x = sin(θ) 365
5. Substitui¸cão trigonométrica x = tan(θ) 367
6. Mais exemplos da substitui¸cão x = tan(θ) 367
7.
√
r2 + x2 dx 369
8. Substitui¸cão trigonométrica x = sec(θ) 369
9. Mais exemplos para a substitui¸cão x = sec(θ). 370
10.
√
x2 − r2 dx 371
11. E as da forma 1√
Ax3+Bx2+Cx+D
dx ? 371
Cap´ıtulo 26. Integra¸cão de fun¸cões racionais 373
1. (ax2
+ bx + c)−1
dx 373
2. αx+β
ax2+bx+c
dx 375
3. 1
Ax3+Bx2+Cx+D
dx 377
4. Fra¸cões parciais em geral 380
5. 1
(1+x2)n dx, n ≥ 2 383
6. Exemplos 384
Cap´ıtulo 27. Integrais impróprias 389

8 ÍNDICE
2. As primeiras Transformadas de Laplace, a fun¸cão Gama e o fatorial 392
3. Fórmula de Euler para o fatorial 396
Cap´ıtulo 28. A curvatura dos gráficos 397
1. O comprimento de um gráfico 397
2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399
3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399
4. Integrais que ninguém pode integrar 401
5. Velocidade de um gráfico ou de uma curva 402
6. Defini¸cão de curvatura e sua fórmula 403
7. Qual a curvatura de uma quina ? 405
Cap´ıtulo 29. Séries convergentes 409
1. Séries k-harmônicas, k > 1. 409
2. A série geométrica 411
3. O teste da razão (quociente) 412
4. Um argumento geométrico para a série geométrica 414
Cap´ıtulo 30. Aproxima¸cão de Números e Fun¸cões importantes 415
1. Aproxima¸cões de ra´ızes quadradas por números racionais 415
2. Ra´ızes quadradas que são irracionais 415
3. Como tirar ra´ız quadrada só com +, −, ×, / 416
4. Os Reais através de sequências de números Racionais 418
5. Aproxima¸cões de e por números Racionais 419
6. Arcotangente e cartografia 421
7. A aproxima¸cão de π dada por Leibniz 423
8. Aproxima¸cões de logaritmos 425
9. Aproxima¸cão de logaritmos de números quaisquer 426
10. Aproxima¸cão de ln(2) 428
Cap´ıtulo 31. Séries numéricas e de fun¸cões 429
1. Séries numéricas 429
2. Séries de potências 431
3. Séries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434
4. A série binomial e sua série de Taylor 439
5. Um devaneio sobre os números Complexos 442
Cap´ıtulo 32. O discriminante de polinômios de grau 3 445
1. Prepara¸cão para a fórmula de Cardano 445
2. A fórmula de Cardano para as três ra´ızes Reais: viagem nos Complexos 449
3. O discriminante como curva 452
4. A curva discriminante entre as cúbicas singulares 454
5. Parametriza¸cão dos pontos racionais de cúbicas singulares 458
6. Cúbicas singulares aparecem como se¸cões com o plano tangente 459

ÍNDICE 9
Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinômios de grau 4 463
1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463
2. Discriminante como envelope de fam´ılias de retas ou planos 465
Cap´ıtulo 34. Apêndice: O expoente 3
4
comanda a vida ! 467
1. Metabolismo versus massa corporal 467
2. Escalas log/log para um experimento 468
3. Reta de ajuste - método de m´ınimos quadrados 468
4. A Lei experimental de Kleiber 470
5. Justifica¸cão racional da Lei de Kleiber 471
6. O argumento 472
Parte 2. Equa¸cões diferenciais ordinárias e Aplica¸cões 479
Cap´ıtulo 35. As primeiras equa¸cões diferenciais 481
1. A exponencial e as equa¸cões diferenciais 481
2. A defini¸cão original de Napier para o logaritmo 482
3. Decaimento radioativo e data¸cão 484
4. Equa¸cões diferenciais lineares com coeficientes constantes 486
5. Objetos em queda-livre vertical 489
6. Queda ao longo de um gráfico 493
7. A curva que minimiza o tempo 496
8. Bal´ıstica e o Super Mário 500
9. Equa¸cões diferenciais lineares em geral 504
11. Solu¸cões das equa¸cões lineares gerais 506
12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510
13. As equa¸cões de Bernoulli e sua redu¸cão a equa¸cões lineares 511
Cap´ıtulo 36. Aspectos gerais das equa¸cões de primeira ordem 515
1. Equa¸cões diferenciais e metamorfoses de curvas 515
2. Equa¸cões diferenciais em forma normal e as curvas Isóclinas 517
3. Existência e unicidade para y′
(x) = F(x, y) - Método de Picard 520
4. Equa¸cões separáveis 525
5. A clepsidra 527
6. Equa¸cões homogêneas 528
7. Equa¸cões exatas 530
8. Integral ao longo de um caminho 534
9. Derivada da integral em rela¸cão ao parâmetro - Fórmulas de Leibniz 536
10. Fatores integrantes 539
11. Equa¸cões impl´ıcitas, discriminantes e envelopes 542
13. Equa¸cões de Clairaut e de Lagrange: isóclinas retas 550
14. Transforma¸cão de Legendre, dualidade e resolu¸cão de equa¸cões diferenciais553
15. Apêndice: Fun¸cões cont´ınuas de duas variáveis e continuidade uniforme 556

10 ÍNDICE
Cap´ıtulo 37. Curvas de Persegui¸cão 559
1. O problema 559
2. As elipses isócronas, segundo A. Lotka 566
3. Um envelope que é uma curva de persegui¸cão 568
Cap´ıtulo 38. Cinética qu´ımica e crescimento bacteriano 571
1. Cinética qu´ımica 571
2. Equa¸cão diferencial de uma rea¸cão de primeira ordem 573
3. Equa¸cão diferencial de uma rea¸cão de segunda ordem 574
4. Crescimento bacteriano 576
5. Ponto de inflexão da fun¸cão log´ıstica 580
6. Equa¸cão de Bernoulli e rea¸cões qu´ımicas de ordem fracionária 581
Cap´ıtulo 39. Newton e a gravita¸cão 583
1. Atra¸cão segundo o inverso do quadrado da distância 583
2. Tempo de colisão e velocidade de escape 584
3. N´ıveis de energia 587
4. Órbitas planetárias 589
5. Velocidade e acelera¸cão expressas em coordenadas polares 589
6. Grandezas constantes ao longo das trajetórias 592
7. As órbitas como cônicas em coordenadas polares 597
8. Oscilador harmônico 599
9. Área em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as áreas 601
10. Em torno da proposi¸cão XXX do Principia 602
11. A Equa¸cão de Kepler para o movimento planetário el´ıptico 606
Cap´ıtulo 40. Equa¸cões diferenciais de segunda ordem 609
1. Redu¸cão de ordem 609
2. Homogêneas, a coeficientes constantes 610
3. Não-Homogêneas, lineares de segunda ordem 614
4. Não homogênas: Método de Lagrange de varia¸cão de parâmetros 616
6. Equa¸cão diferencial de um circuito elétrico simples 619
7. Não-homogêneas: Método de coeficientes a determinar 620
8. Sistemas de equa¸cões diferenciais 624
10. Homogêneas, não-singulares, coeficientes variáveis: redu¸cão a constantes 627
11. Homogêneas, não-singulares, coeficientes variáveis: Método de D’Alembert629
12. Existência de solu¸cões de equa¸cões homogêneas e não-singulares 630
13. Propriedades das solu¸cões de equa¸cões lineares de segunda ordem 632
15. O Teorema de Compara¸cão de Sturm 638

ÍNDICE 11
Cap´ıtulo 41. Equa¸cões com pontos não-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643
1. Solu¸cão expl´ıcita da Airy 643
2. Solu¸cão expl´ıcita da Hermite 645
3. Solu¸cão expl´ıcita da Legendre em torno de x = 0 647
4. Polinômios de Legendre e expansão em série do potencial gravitacional 649
5. Ortogonalidade dos polinômios de Legendre 650
Cap´ıtulo 42. Equa¸cão com ponto singular: Hipergeométrica de Gauss 653
1. Integral el´ıptica como série hipergeométrica 656
Cap´ıtulo 43. Equa¸cão com ponto singular: a Equa¸cão de Bessel 659
1. A defini¸cão original de Bessel 659
2. Zeros de fun¸cões de Bessel 661
3. Ortogonalidade das fun¸cões de Bessel 664
Cap´ıtulo 44. Equa¸cões com pontos singulares do tipo regular 667
1. A Equa¸cão de Euler e sua redu¸cão a coeficientes constantes 667
2. Solu¸cão direta da equa¸cão de Euler 670
3. Defini¸cões gerais e exemplos de pontos singulares regulares 672
4. In´ıcio do Método de Frobenius 673
5. Solu¸cões expl´ıcitas de algumas equa¸cões Bessel 676
6. A Equa¸cão de Bessel com ν = 1
3
e a solu¸cão da equa¸cão de Airy 679
7. Equa¸cão hipergeométrica com c ∈ Z 680
Cap´ıtulo 45. Equa¸cões de Riccati 681
1. Solu¸cões de Riccati segundo Daniel Bernoulli 682
2. Ass´ıntotas verticais de solu¸cões de equa¸cões de Riccati 687
3. Solu¸cões das Riccati segundo Euler 688
4. A Equa¸cão de Bessel com ν = 1
4
e a solu¸cão da Riccati y′
= x2
+ y2
691
Parte 3. Séries de Fourier e Equa¸cões diferenciais parciais 693
Cap´ıtulo 46. Séries de Fourier 695
1. Séries de Fourier e seus coeficientes 696
2. Séries de Fourier só de senos ou só de cossenos 699
3. Convergência pontual da Série de Fourier 699
4. Séries de Fourier de cos(r · sin(x)) e de sin(r · sin(x)), r ∈ R 706
5. Convergência absoluta da Série de Fourier 707
6. A solu¸cão da equa¸cão de Kepler via série de Fourier e fun¸cões de Bessel 710
Cap´ıtulo 47. Equa¸cões Diferenciais Parciais 715
1. Observa¸cões gerais, tipos, separa¸cão de variáveis, solu¸cões clássicas 715
2. Equa¸cões parciais de primeira ordem e o método das caracter´ısticas 717
3. A Equa¸cão da difusão do Calor 717
4. Problemas de esfriamento unidimensionais 720

12 ÍNDICE
Cap´ıtulo 48. O operador de Laplace e as equa¸cões do calor e da onda 725
1. Laplaciano em coordenadas polares e esféricas 725
2. Estado estacionário do calor num disco e expansão em séries de Fourier 727
3. A fórmula integral de Poisson 729
4. Estado estacionário do calor na esfera e série de polinômios de Legendre 731
Cap´ıtulo 49. Equa¸cão da onda e as vibra¸cões de cordas e membranas 737
1. Vibra¸cão de uma corda com extremos fixos, sem atrito 737
2. Vibra¸cão de uma corda infinita: Fórmula de D’Alembert 739
3. Modos normais de vibra¸cão de um tambor circular e as fun¸cões de Bessel 741
Parte 4. Cálculo diferencial e integral sobre os números Complexos 747
Cap´ıtulo 50. Um portal para o Cálculo Complexo 749
1. O Teorema de Green e as Rela¸cões de Cauchy-Riemann 759
2. A integral complexa e a idéia da primitiva Complexa 761
3. Curvas integrais como parte imaginária das primitivas Complexas 764
4. A exponencial Complexa e os ramos do logaritmo Complexo 766
5. O Teorema fundamental do Cálculo sobre os Complexos 768
Cap´ıtulo 51. Os Teoremas Fundamentais 771
1. A primitiva Complexa 771
Cap´ıtulo 52. Solu¸cões detalhadas de alguns Exerc´ıcios 773

Parte 1
C´alculo Diferencial e Integral e primeiras
Aplica¸c˜oes

CAP´ıTULO 1
Introdu¸cão
1. O que é o Cálculo
O Cálculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o Cálculo, é a matemática que
está na base da ciência de hoje.
As ciências mais desenvolvidas como F´ısica e Qu´ımica não podem expressar seus
conceitos sem fazerem uso do Cálculo. Também a Economia e a Biologia cada vez
mais são matematizadas através do Cálculo.
O Cálculo foi fundamental na revolu¸cão cient´ıfica dos séculos XVII e XVIII e de
lá para cá não cessou de produzir resultados e aplica¸cões.
O Cálculo é uma teoria matemática, ou seja, um modo unificado de se ver uma
série de fatos matemáticos.
Na matemática, quando surge uma nova teoria, ao invés de se eliminar os resul-
tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz é:
• reobter os teoremas até então conhecidos,
• dar generaliza¸cões deles,
• produzir resultados completamente novos.
Isso só ocorre em matemática: em outras ciências uma nova teoria pode tornar
obsoleta e errada a teoria anterior.
Por exemplo, a determina¸cão exata da Área de certas regiões, que com métodos
elementares exigiu o gênio de Arquimedes, com o Cálculo vira uma continha de rotina.
Mas através do Cálculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre Áreas, como o fato
de regiões ilimitadas poderem ter Área finita.
Além de nos permitir provar tudo que já ouvimos falar de matemática no colégio,
o Cálculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem
que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e
suas missões. Através do Cálculo , só com as quatro opera¸cões +, −, x vamos poder
no Cap´ıtulo 30 aproximar com a precisão que quisermos:
• fun¸cões fundamentais como arctan(x), ln(x), etc
• números como
√
p (p primo), π, e = exp(1).
Uma das inspira¸cões fundamentais para o Cálculo foi a F´ısica, ou F´ısica-matemática
com a qual Isaac Newton revolucionou a ciência da época. Vários fenômenos f´ısicos
tiveram então uma explica¸cão completa e unificada, através das técnicas do Cálculo.
Essas técnicas só ficarão aparentes à medida que o leitor entre na Segunda Parte
do Curso, que é a parte de Equa¸cões Diferenciais.
15

4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16
2. Sobre o Curso
Um alerta: este curso trata de matemática superior. Em várias universidades,
inclusive a nossa, há uma a tentativa de se ensinar o Cálculo como se fosse uma
continua¸cão do Ensino Médio, seu ensino sendo feito através de tabelas, regrinhas,
macetes.
Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farmácia, Economia,
Biologia, o Cálculo é uma das poucas disciplinas de matemática que terão na univer-
sidade. Desse modo, imitando o Ensino Médio, se cursaria um Curso Superior sem
ter contato com a Matemática Superior. A forma¸cão cient´ıfica desses cursos ficaria
prejudicada e de fato não poderiam chamar-se cursos universitários.
Por isso neste Curso sempre que for poss´ıvel (exceto quando a explica¸cão for
técnica demais) vamos tentar dar justifica¸cões matemáticas corretas, sem apelar para
a credulidade do estudante e argumentos de autoridade, do tipo acreditem em mim.
Os argumentos que damos são concatena¸cões de idéias simples, mas às vezes ex-
igem um certo fôlego do leitor para acompanhá-lo do come¸co ao fim. Esse treino de
concentra¸cão certamente irá colaborar na forma¸cão técnico-cient´ıfica do estudante.
3. Sobre os Gráficos e Figuras
Tentei fazer o máximo poss´ıvel de gráficos para ilustrar o conteúdo, usando o pro-
grama Maple 9 para fazê-lo numericamente, ou seja, realisticamente. Este programa é
pago, mas o estudante pode usar o XMaxima ou o Gnuplot que são programas livres,
do Linux, como auxiliar no estudo. Sempre que poss´ıvel usei a mesma escala nos dois
eixos, pois isso determina inclina¸cões das retas e essas inclina¸cões são importantes no
Cálculo1
.
Mas nem sempre isso foi poss´ıvel, por exemplo quando as fun¸cões crescem muito
rápido, onde não dá para manter as mesmas escalas nos eixos x e y.
A teoria tem que ser sempre nossa guia na confeçcão de gráficos, pois os computa-
dores erram ao representar fun¸cões descont´ınuas ou fun¸cões que estão muito próximas
de um certo valor sem alcan¸car esse valor.
Também fiz figuras qualitativas e diagramas usando o programa Winfig, que é
pago, e o Xfig, do Linux, que é grátis.
4. Alerta aos estudantes
Por ser matemática superior, o Curso exige do aluno um empenho e aten¸cão muito
diferente daquele exigido nos seus contatos anteriores com a matemática.
Principalmente o aluno deve usar de modo preciso os conceitos que vão sendo
apresentados (por ex. limites, continuidade, derivada). Se não os entender, per-
gunte ao professor até ter esclarecido o conceito. Pois embora às vezes pare¸cam ape-
nas conceitos qualitativos, são de fato bastante precisos e mais tarde dão resultados
quantitativos de absoluta precisão.
1Veja, por exemplo, que o gráfico do seno está errado em várias edi¸cões do livro do Anton,
pois ele não usou as mesmas escalas nos eixos x e y, portanto a inclina¸cão na origem não fica bem
representada

CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 17
Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirma¸cões,
sem ler todas as demonstra¸cões. Mas de fato, só se entende completamente um fato
matemático quando se entende a sua demonstra¸cão.
Por último, é muito importante que o estudante pense nos exerc´ıcios propostos em
cada Cap´ıtulo. Mesmo que não responda todos, ao tentar fazer exerc´ıcios o conteúdo
vai sendo assimilado concretamente. E se o aluno não consegue fazer quase que
nenhum exerc´ıcio, então precisa voltar a refletir no conteúdo dado.
Alguns têm solu¸cão bastante detalhada, apresentada no Cap´ıtulo 52. Mas que só
devem ser lidas após muito trabalho pessoal do aluno.
Ao longo do livro aparecem problemas da prestigiada W. L. Putnam Mathematical
Competition, que ocorre anualmente desde sua Primeira Edi¸cão em 1938. Vão apare-
cendo à medida que desenvolvemos material suficiente para poder resolvê-los. Nessa
competi¸cão aparecem problemas dif´ıceis, mas tratei de selecionar alguns simples e
acess´ıveis.
Minhas fontes foram o site:
http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
(onde estão as Competi¸cões de 1985-2009) e o livro The W. L. Putnam Mathemat-
ical Competition, Problems and solutions, 1938-1964., Math. Association of America.
Esses problemas devem ser pensados pelo leitor e só depois do leitor apresentar a
sua resposta, do seu jeito de ver o problema, é que pode ler as respostas. Foi assim
que eu fiz: eu resolvi sozinho cada um dos que apresento, e minhas respostas não têm
a pretensão de serem as mais elegantes poss´ıveis.
Lembro o que um professor muito bom me disse: Só se aprende matemática re-
solvendo problemas !
5. Livros-texto e Referências
Livros ruins de Cálculo há vários, de cuyos nombres no quiero acordarme.
Bastante razoável o livro do G. Thomas, dispon´ıvel na biblioteca em várias edi¸cões.
Curto, direto e bom pre¸co: R. Silverman, Essential Calculus with applications,
Dover.
Para mim um dos melhores livros de Cálculo é o de Michael Spivak, Calculus
(edi¸cões em espanhol e ingles na biblioteca da UFRGS). Aprende-se muito nesse livro
e me foi úil em alguns momentos na hora em que se fez necessário a precisão que falta
em outros livros. Claro que é bastante dif´ıcil como primeiro livro de Cálculo, mas o
esfor¸co de ler qualquer se¸cão dele é sempre recompensado.
Na Primeira Parte usei coisas que aprendi:
• no enciclopédico livro de R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and
Analysis, Interscience, 1965.
• no curso de Elon Lima Curso de Análise, Projeto Euclides, SBM.
• no clássico E. T. Whittaker e G. Watson, A course of modern Analysis,
Cambridge, reimpressão de 1996.
• no belo livro de C.H. Edwards, The historical development of the Calculus,
Springer, 1979.
• no livro de S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader,
Oxford University Press , 1995.

6. PROGRAMAS ÚTEIS 18
As referências usadas no Apêndice sobre a Lei de Kleiber, Cap´ıtulo 34, estão dadas
lá.
Na Parte 2, sobre Equa¸cões diferenciais, usei material do Courant-John, bem como
• o excepcional livro de M. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical
systems and linear algebra, Academic Press, 1974,
• o muito bem escrito e motivante livro de G. Simmons Differential equations
with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1972. Alguns Exerc´ıcios
propostos neste livro me serviram de guia para diversas Se¸cões. Usei bastante
esse livro.
• o livro de H. S. Bear, Differential Equations, a Concise Course, Dover, 1962
é pequeno mas muito informativo. Nele se encontra uma prova perfeitamente
leg´ıvel do Teorema de existência de solu¸cões de Picard, por exemplo.
• o de J. W. Bruce e P. j. Giblin, Curves and singularities, Cambrige U. Press,
1984.
• o clássico G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions , Cam-
brige, 1958.
• o livro de A. Gray e G. B. Mathews, A treatise on Bessel functions and their
applications to Physics, McMillan and co, 1895.
• ademais usei no Cap´ıtulo 37 artigos de A. Bernhardt e de A. Lotka, bem
como
• o clássico livro de F. Gomes Teixeira, Traité des courbes speciales remar-
quables, planes et gauches, reimpressão de 1971, Chelsea Publishing Com-
pany.
• last but not least, E. Kamke, Differentialgleichungen- Losungsmethoden und
losungen, T. I, Chelsea Publisinhg Company, 1948.
6. Programas úteis
Programas como o Maple podem ser um grande auxiliar para o estudo: para
conferir contas, plotar curvas, etc, mas só serão úteis se o estudante tentar fazer
sozinho e depois usar os programas para checar seus resultados.
Para usuários do Windows existe o programa grátis WXMaxima, que você baixa
em instantes no site:
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/
5.21.1-Windows/maxima-5.21.1.exe/download
Esse programa faz tudo: resolve equa¸cões algébricas e diferenciais, deriva, integra,
faz gráficos, etc.
O Maple é programa análogo pago.
Também existe um site, http://www.wolframalpha.com, onde se pode fazer online
gráficos, integrais, limites e derivadas, o que é útil quando se está estudando fora de
casa.
Agradecimentos:
Agrade¸co ao Professor Mark Thompson, da Matemática da UFRGS, por ter
me disponibilizado Notas que serviram para a elabora¸cão da Se¸cão sobre Cinética

CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 19
qu´ımica. E também pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus,
with illustrations from Geometry, Mechanics and Physics, reimpressão de 1956 da
edi¸cão de 1901, que me foi útil.
Agrade¸co ao Professor V´ıtor Pereira, da Geologia da UFRGS, que me explicou o
belo fenômeno da meia-vida da luz das super-novas.
As notas de Aula do Professor Eduardo Brietzke, da Matemática da UFRGS, para
a disciplina de Equa¸cões Diferenciais II, me serviram de fio-condutor entre os diversos
temas poss´ıveis. Abordei alguns dos exemplos que lá aparecem de um ponto vista um
pouco diferente. Lhe sou grato.
Agrade¸co às estudantes que fizeram Cálculo comigo em 2008: Pâmela Lukasewicz
Ferreira, por ter tomado notas do curso que dei e que me serviram de roteiro para
este texto e Mônica Hoeveler, por participa¸cões em aula e por sugestões de temas.
Agrade¸co aos estudantes Luciano Bracht Barros e Magno V. F. Teixeira da
Silva por conversas no fim da aula que me motivaram a escrever a Se¸cão 6 do Cap´ıtulo
32.
O estudante Walter Ferreira Diniz Júnior resolveu vários problemas de modo
original, produziu exemplos, e até me indicou como escrever melhor a Se¸cão 5 do
Cap´ıtulo 26 !

CAP´ıTULO 2
Alguns dos objetivos do Cálculo
A descri¸cão matemática dos fenômenos se faz principalmente a partir da no¸cão de
fun¸cão y = f(x) e de seu gráfico.
Se pudermos entender:
• se f(x) assume somente valores Reais, onde f(x) se anula, onde é positiva
ou negativa,
• se e onde f(x) cresce ou decresce à medida que x cresce,
• se f(x) se aproxima de um certo valor quando x cresce muito,
• se e onde f(x) tem valor máximo ou m´ınimo,
• no caso de y = f(x) ≥ 0, qual a área sob seu gráfico e acima do eixo dos x,
• se dado y pudermos descobrir qual x gerou y = f(x),
então podemos dizer que entendemos o comportamento da f(x).
Estaremos capacitados a fazer previsões sobre o fenômeno modelado por essa
fun¸cão.
Esses são alguns dos objetivos do Cálculo.
Nas próximas Se¸cões passamos lembrar / definir essas no¸cões.
1. Fun¸cões e seus dom´ınios
Os filósofos sempre se espantaram com o fato de que as coisas mudam, e se ques-
tionaram tanto sobre o que muda como sobre o que permanece nessas mudan¸cas.
Os matemáticos também compartilham desse espanto e sempre se perguntaram,
ao ver que há mudan¸cas, como as coisas mudam.
A resposta a essa pergunta pode ser tanto qualitativa como quantitativa, as duas
são interessantes. Por exemplo é qualitativa quando um astrônomo afirma que certo
cometa voltará a passar algum dia. É quantitativa no caso de Halley, que previu o
ano em que certo cometa voltaria, usando as ferramentas do Cálculo.
Se um fenômeno (a temperatura de um sistema, por exemplo) depende de um só
parâmetro (o tempo, por exemplo) é natural descrever sua evolu¸cão num gráfico da
fun¸cão que associa a cada momento x a temperatura T(x). Esse gráfico formará uma
21

1. FUNÇ ÕES E SEUS DOMÍNIOS 22
curva no plano.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Figura: O gráfico de y = T(x) forma uma curva no plano.
Mas é claro que conhecemos fenômenos z = F(x, y) que dependem de dois fatores
e para descrever esse fenômeno precisariamos de gráficos que formam superf´ıcies no
espa¸co, ao invés de curvas no plano. E em geral os fenômenos dependem de vários
parâmetros (em qu´ımica, por exemplo, quantidades de reagentes, pressão, ph, etc).
Figura: O gráfico de z = F(x, y) forma uma superf´ıcie no espa¸co
Os conceitos que aprenderemos neste curso se adaptam facilmente para superf´ıcies,
mas vamos nos restringir a gráficos que são curvas. Ou como se diz, faremos o Cálculo
de 1 variável.
A seguir vamos come¸car a estabelecer conceitos qualitativos sobre gráficos que
são importantes no Curso. O manejo correto desses conceitos é fundamental para a
compreensão do resto do curso.

CAPÍTULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ÁLCULO 23
2. Fun¸cão
Uma fun¸cão é uma regra que associa a cada ponto1
de um conjunto (o dom´ınio
da fun¸cão) um ponto de um outro conjunto fixado (o contra-dom´ınio). Dito de outro
modo, uma reta vertical tra¸cada passando por um ponto do dom´ınio de uma fun¸cão
y = f(x) corta seu gráfico exatamente em 1 ponto. Por isso, por exemplo, um c´ırculo
não é gráfico de uma fun¸cão y = f(x).
O subconjunto do contradom´ınio formado por pontos que são efetivamente valores
da fun¸cão formam a imagem da fun¸cão. Por exemplo,
f : R → R, f(x) = x2
tem como dom´ınio e contradom´ınio os números Reais, mas sua imagem são apenas
os Reais não-negativos2
.
Quando dizemos que f : I → J é sobrejetiva isto quer dizer que não somente
a imagem f(I) verifica f(I) ⊂ J, mas que de fato verifica f(I) = J. Ou seja, que
efetivamente todo ponto de J foi atingido pela f. Por exemplo, f(x) = x2
só é
sobrejetiva vista como fun¸cão f : R → R≥0
.
É importante notar na defini¸cão de fun¸cão que só há um valor associado a cada
ponto do dom´ınio. Se houver ambiguidade na atribui¸cão do valor então dizemos que a
fun¸cão não está bem-definida naquele ponto. Por exemplo, quando perguntamos qual
é a ra´ız quadrada de 9 há uma ambiguidade: pode ser que tomemos a ra´ız positiva 3
ou a ra´ız negativa −3.
Não confunda a defini¸cão de fun¸cão com outra, a de fun¸cão injetiva: uma fun¸cão
é injetiva quando não associa o mesmo valor a dois pontos distintos de seu dom´ınio.
Por exemplo, f : [0, 3] → R, f(x) = x2
é injetiva mas f : [−3, 3] → R, f(x) = x2
não
é injetiva.
3. Fun¸cões definidas a partir de outras fun¸cões
3.1. Fun¸cão inversa. Imagine uma fun¸cão que desfaz o efeito de outra fun¸cão.
Por exemplo, uma dá a a velocidade de um carro em fun¸cão do tempo trascorrido
v = v(t). Sua inversa diria para cada velocidade v qual o tempo necessário para
atingir essa velocidade t = t(v) (o que dá uma medida da potência do motor do carro,
por ex.)
Ou por exemplo, a temperatura de um objeto vai caindo com o tempo. Sabendo
quanto caiu a temperatura T(t) como determinar o tempo t transcorrido ?
Para se ter uma fun¸cão inversa f−1
, a fun¸cão f necessariamente tem que ser
injetiva !
Se não, vejamos: se y = f(x1) = f(x2) com x1 = x2, o que deve fazer f−1
com y
? Enviá-lo em x1 = f−1
(y) ou em x2 = f−1
(y) ? Isso é uma ambiguidade inaceitável
para f−1
.
Vamos mais tarde falar do sentido geométrico da fun¸cão inversa.
1Para mim os números Reais formam um reta, portanto uso número ou ponto indistintamente.
2Várias vezes no curso usaremos isso: o quadrado de um número Real nunca é negativo

4. DIFERENTES DOMÍNIOS DE FUNÇ ÕES 24
3.2. Composi¸cão de fun¸cões. Dentre os modos mais úteis de se produzir um
fun¸cão interessante a partir de fun¸cões simples está a composi¸cão de fun¸cões.
A idéia é simples e fundamental: o resultado de uma fun¸cão g(x) vira entrada de
uma segunda fun¸cão f.
A nota¸cão usual é: se f : I → J e g : J → K então (f ◦ g) : I → K faz
(f ◦ g)(x) := f( g(x) ).
É claro que se pode compor um número qualquer de fun¸cões.
Pense em quantos exemplos encontramos disso na natureza, nas rea¸cões qu´ımicas,
nas indústrias, em que um processo complicado é dividido em várias etapas simples
concatenadas.
Neste Curso procedermos assim também: vamos primeiro entender os casos mais
simples e depois, via composi¸cão de fun¸cões, entender os mais complicados.
3.3. O que é a Área sob um gráfico ? Podemos usar o gráfico de uma fun¸cão
para definir outra. Por exemplo, tomo a diagonal y = x como gráfico e me pergunto
pela Área do triângulo determinado pela origem, o eixo horizontal e um segmento
vertical de (x, 0) até (x, x). À medida que x avan¸ca no eixo dos x, a Área do triângulo
obtido aumenta e poder´ıamos tentar descrever como essa Área depende de x isso num
outro gráfico.
Na defini¸cão do Logaritmo Natural, faremos exatamente isso, mas a área em
questão será delimitada sob o gráfico de 1/x e não sob y = x.
x=1 x
Figura: Área sob um o gráfico, de x = 1 até x.
Precisaremos saber primeiro, o que é a Área sob um gráfico curvado como 1/x.
Isso que foge do que sabemos do Ensino Médio, que são áreas de regiões elementares
como triângulos, quadrados, trapézios, setores circulares, etc. Só entenderemos isso
plenamente na Parte 2 do curso, com o conceito de Integral.
4. Diferentes dom´ınios de fun¸cões
A princ´ıpio o dom´ınio de uma fun¸cão pode ser qualquer conjunto, mas neste Curso
usaremos como dom´ınios quase sempre:
• todos os Reais R, ou
• intervalos de números reais, incluindo semi-retas ou
• apenas os Naturais N ⊂ R.

Mas é claro que em certas situa¸cões os dom´ınios também podem ser a união de
vários intervalos (como se verá por exemplo na Se¸cão 2.3 do Cap´ıtulo 6), somente os
números Racionais Q ⊂ R, etc.
5. Gráfico descont´ınuo, mas que mesmo assim é gráfico
Há gráficos que sofrem um salto abrupto, mas que mesmo assim são gráficos.
Por exemplo, o gráfico da fun¸cão f : R → R, definida condicionalmente por
f(x) = x − 2, se x < 2 e f(x) = x2
se x ≥ 2.
O ponto 2 de seu dom´ınio é um ponto catastrófico: se estamos em pontos que são um
pouquinho menores que 2 a fun¸cão tem valores próxima do zero. Mas se mexemos
um pouco a coordenada x, chegando em x = 2 ou acrescentando algo positivo muito
pequeno ao 2, o valor da fun¸cão já pula para ≥ 22
= 4.
x=2
y=4
Figura: O gráfico de fun¸cão descont´ınua no ponto x = 2
Outro modo de ver o que acontece é que, enquanto seu dom´ınio R é feito de um
só peda¸co, sua imagem f(R) = R≤0
∪R≥4
é feito de dois peda¸cos: a fun¸cão rasga seu
dom´ınio em dois peda¸cos.
Esses gráficos são úteis para modelar matematicamente comportamentos explo-
sivos: uma explosão qu´ımica, o comportamento de um animal à medida que aumenta
o stress, etc. Mas em cursos de Cálculo veremos gráficos que não tem essas varia¸cões
dramáticas de valores.
6. Fun¸cão positiva, negativa e zeros ou ra´ızes
Uma fun¸cão f : I → R é positiva (negativa)3
se sua imagem está contida nos
Reais positivos (negativos).
Muito importante para um técnico ou cientista é determinar os pontos do dom´ınio
onde a fun¸cão se anula (ou, como se diz, onde corta o eixo dos x, que é dado por
y = 0). Ou seja, é importante resolver uma equa¸cão f(x) = 0.
No caso de polinômios esses pontos são as chamadas ra´ızes. Aconselho o leitor a ler
o Teorema 7.1 no Cap´ıtulo 6, que prova a rela¸cão entre ra´ızes e fatores de polinômios.
3Para evitar escrever duas frases onde só trocaria uma palavra, ponho em parênteses a modi-
fica¸cão a ser feita na frase

7. FUNÇ ÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE 26
Mais adiante, no Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 6.1 explicaremos em termos do Cálculo
qual o significado das ra´ızes múltiplas.
4
6
0
-4
2
-2
-6
x
21-1 0-2
Figura: Um gráfico de polinômio com 3 ra´ızes
7. Fun¸cão crescente ou decrescente
Defini¸cão 7.1. Uma fun¸cão f : I → R é estritamente crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
E dizemos que é apenas crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Analogamente se define estritamente decrescente, trocando f(x1) < f(x2) por
f(x1) > f(x2).
0,6
1
0,2
0,8
0,4
0
x
32,521 1,5

Figura: Exemplo de gráfico de y = f(x) crescente.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
32,5210,50 1,5
Figura: Exemplo de gráfico de y = f(x) decrescente.
Claro que há fun¸cões que não são nem crescentes nem decrescentes, ou sejam, que
oscilam.
1
0,6
0,8
0,4
0
0,2
x
0,4-0,4-0,6 0,2 0,6-0,2 0
Figura: Exemplo de gráfico de y = f(x) que oscila.
Uma observa¸cão simples mas útil:
Se uma fun¸cão f é estritamente crescente (ou estritamente decrescente) então f
é injetiva.
De fato, se tomo quaisquer x1, x2 diferentes de seu dom´ınio, posso sempre me
perguntar qual deles é menor, por exemplo, x1 < x2. Como a f é estritamente
crescente (ou estritamente decrescente), temos f(x1) < f(x2) (ou f(x1) > f(x2)),
mas de qualquer forma f(x1) = f(x2). Logo é injetiva.
Um exemplo importante é o que já demos de uma fun¸cão f que mede a Área
sob um gráfico de uma outra fun¸cão positiva. É natural que f seja uma fun¸cão
estritamente crescente, pois à medida que vamos para a direita no eixo x há mais
área sob o gráfico. Logo é natural que seja injetiva e tenha então uma inversa f−1
.
Volto nesse ponto, com f o Logaritmo Natural e f−1
a Exponencial.

8. M ÁXIMOS E MÍNIMOS 28
Saber que uma fun¸cão é crescente pode ser um fato extremamente relevante do
ponto de vista cient´ıfico: por exemplo, um dos princ´ıpios f´ısicos mais fundamentais
é que a fun¸cão Entropia é uma fun¸cão crescente, ou seja, que as coisas têm uma
tendência a se desorganizar. É essa Entropia crecente que está na base da nossa
distin¸cão entre passado, presente e futuro.
Por outro lado um exemplo marcante de fun¸cão decrescente é a fun¸cão y = f(x)
que dáa quantidade de uma substância radioativa no tempo x. Uma descoberta
cient´ıfica fundamental foi a de descrever de modo quantitativamente preciso como é
essa fun¸cão para cada substância radioativa.
É fundamental neste curso estabelecermos um critério para determinar se uma
fun¸cão é crescente (ou é decrescente).
De preferência um critério que consista em entender uma fun¸cão que seja mais
simples que a fun¸cão f ela mesma ! Se não não adiantaria muito. Isso veremos no
Cap´ıtulo 10, que é muito importante.
8. Máximos e m´ınimos
Uma das grandes utilidades do Cálculo é encontrar pontos onde uma fun¸cão atinge
seu máximo ou m´ınimo. Ou seja, o Cálculo serve para minimar ou maximizar: rendi-
mento de um processo, custos, gastos, etc, desde que o problema seja formulado
matematicamente.
Vamos definir um máximo local (analogamente um m´ınimo local).
Defini¸cão 8.1. Seja f : I → R e x ∈ I. Dizemos que x é máximo local se existe
algum intervalo
(−ǫ + x, x + ǫ)
centrado em x, tal que
∀x ∈ I ∩ (−ǫ + x, x + ǫ), f(x) ≤ f(x).
Já x é dito ser um máximo global de f : I → R se
∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x).
É a mesma diferen¸ca que há entre ser o cara que corre mais rápido no clube do
bairro e ser o cara que corre mais rápido no mundo !
x
0,60,4
4
0,20
3,6
-0,4
4,2
3,8
3,4
3
3,2
-0,2-0,6

Figura: Fun¸cão com um m´ınimo global, um máximo local e um m´ınimo local.
Chamo a aten¸cão de que há fun¸cões que simplesmente não tem máximo, como já
vimos no caso de f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
.
E existem as que não tem m´ınimo: por ex. f : R≥1
→ R, f(x) = 1
x
.
De fato, se tomo n ∈ R≥1
, temos f(n) = 1
n
, que já sabemos fica tão próximo
quanto quisermos de 0, sem nunca atingir zero. Isso diz que f vai sempre diminuindo
um valor, não tendo portanto um ponto de seu dom´ınio onde um valor m´ınimo fosse
atingido.
Dá vontade de dizer algo sobre o papel do 0 neste exemplo f : R≥1
→ R, f(x) = 1
x
.
O 0 realmente nunca é atingido pela fun¸cão mas de certo modo demarca, delimita o
conjunto imagem
f(R≥1
) = (0, 1].
0 é o que se costuma chamar uma cota inferior do conjunto imagem f(R≥1
), isto é,
∀y ∈ f(R≥1
), 0 ≤ y.
E mais ainda, qualquer número maior que zero não é cota inferior de f(R≥1
), pois
1
n
∈ f(R≥1
) se aproxima o que quisermos de zero. Portanto 0 é a maior cota inferior
de f(R≥1
), que se chama o Ínfimo desse conjunto.
9. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 9.1. Determine em que intervalos as fun¸cões a seguir são negativas ou
positivas e onde estão seus zeros:
vi) x2
− x
vii) x2
− 5x + 6
viii) x3
− x2
Exerc´ıcio 9.2. Dê exemplos de frases do dia a dia que são verdade, mas cujas
rec´ıprocas não são verdade.
Exerc´ıcio 9.3. Negue as seguintes frases:
i) dado qualquer pol´ıtico, existe um valor de suborno tal que por esse valor ele se
corrompe.
ii) dada uma distância qualquer, existe um tempo tal que a partir daquele tempo
o asteróide dista da terra menos que a distância dada.
Exerc´ıcio 9.4. Imagine alguns exemplos, qualitativamente, sem precisar dar explici-
tamente a regra f(x), de fun¸cões:
i) positivas e crescentes,
ii) negativas e crescentes,
iii) negativas e decrescentes,
iv) negativas e decrescentes,
v) com m´ınimo local, mas sem m´ınimo global
vi) com máximo local e máximo global diferentes.

9. EXERCÍCIOS 30
Exerc´ıcio 9.5. Fa¸ca as composi¸cões f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f, onde:
i) f = 1
x3 , g = sin(x) h = x + 5
ii) f = x2
, g = 1
x
, h = sin(x).
iv) Imagine algum exemplo onde aconte¸ca f ◦ g ◦ h = h ◦ g ◦ f (o que é raro !).
Exerc´ıcio 9.6. (resolvido)
Determine explicitamente as fun¸cões inversas f−1
das fun¸cões f(x) a seguir. Teste
sua resposta verificando que x = f−1
(f(x)).
i) f : R → R, f(x) = x3
ii) f : R → R, f(x) = x3
+ 1
iii) f : R → R, f(x) = (x − 1)3
iv): f : R → R, f(x) = −5 · x3
+ 10.
v): f : (0, 1) → R, f(x) = x
1−x2 . Dica: o mais dif´ıcil neste item é não se equivocar
com os sinais.

CAP´ıTULO 3
Propriedade básicas dos números Reais
As fun¸cões definidas nos Reais e tomando valores Reais são importantes pelas
aplica¸cões ao mundo f´ısico. Por exemplo, se um Engenheiro me diz que a laje da pe¸ca
onde estou vai cair em 5 minutos eu certamente saio correndo da sala. Mas se um
Matemático me disser que a laje vai cair no tempo 5 · I := 5
√
−1, que fazer ?
Essa utilidade dos Reais, por corresponder à linha do tempo (passado = número
negativo, presente = 0, futuro = número positvo), tem como ônus o fato que as
fun¸cões Reais nem sempre estão definidas.
Veremos duas restri¸cões, uma sobre quocientes e outra sobre a ra´ız quadrada.
A primeira afeta não só os Reais, mas qualquer sistema de números. A segunda,
da Ra´ız, é t´ıpica dos números que podem ser ordenados.
1. Os Reais como sistema de números: não dividirás por zero !
Todo professor passa aulas e aulas repetindo que não se pode dividir por zero.
E infelizmente muitos alunos de Cálculo dividem por zero, pois confundem o fato
de um número ser pequeno com um número ser zero !
Mas a final, por quê não se pode dividir por zero ? No que podemos nos apoiar
para provar que não existe o número 1
0
?
Nos bastará algumas das propriedades mais gerais dos R (por sinal compartilhadas
com outros sistemas de númros, como Q ou C), que são:
• existe um elemento neutro aditivo, 0, tal que 0 + x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R existe o inverso aditivo −x tal que x + (−x) = 0.
• existe um elemento neutro multiplicativo, 1, tal que 1 · x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R, x = 0, existe o inverso multiplicativo 1
x
tal que x · 1
x
= 1.
• 1 = 0
• as opera¸cões de soma e produto são distributivas, associativas e comutativas.
De posse dessas propriedades, que são assumidas como verdades, posso provar:
Afirma¸cão 1.1.
i) −x = −1 · x, ∀x ∈ R,
ii) 0 · x = 0, ∀x ∈ R.
iii) não existe 1
0
.
Demonstração.
De i):
0 = (1 − 1) · x ⇔ x − x = (1 − 1) · x ⇔
31

2. ORDEM NOS REAIS: N ÃO TIRAR ÁS A RAÍZ QUADRADA DE N ÚMEROS
NEGATIVOS ! 32
⇔ x − x = 1 · x − 1 · x ⇔ x − x = x − 1 · x ⇔ −x = −1 · x.
De ii):
0 · x = 0 ⇔ (1 − 1) · x = 0 ⇔
⇔ x − 1 · x = 0 ⇔ x − x = 0,
e este último fato é verdade: x = x.
De iii):
Suponhamos por absurdo que exista o número 1
0
.
Então 0 · 1
0
= 1, pois o sentido de 1
x
é ser o inverso multiplicativo de x.
Mas o item ii) dá que:
0 ·
1
0
= 0.
Logo 0 = 1: contradi¸cão.
2. Ordem nos Reais: não tirarás a ra´ız quadrada de números negativos !
Um aspecto bonito da matemática é que, após assumir a verdade de certos fatos
simples, podemos deduzir fatos novos, às vezes não tão simples.
Vamos assumir a validade dos seguinte Princ´ıpios (Axiomas):
• Princ´ıpio 0: Existe um subconjunto P dos Reais chamado de conjunto dos
números positivos. Vale para todo x ∈ R apenas uma das 3 possibilidades:
ou x ∈ P ou x = 0 ou −x ∈ P. O elemento neutro multiplicativo 1 é positivo.
• Princ´ıpio 1: A soma de quaisquer dois números positivos é um número
positivo.
• Princ´ıpio 2: o produto de um número positivo por um número positivo é
positivo.
Um número é chamado não-negativo se x ∈ P ∪ {0}. Denotamos os positivos
usualmente com x > 0 e os não-negativos com x ≥ 0. Os negativos, por x < 0.
Podemos agora provar:
Afirma¸cão 2.1.
i) (Regra de multiplica¸cão de sinais) (−x) · (−x) = x · x, ∀x ∈ R.
ii) x2
:= x · x ≥ 0 ∀x ∈ R.
iii)
√
x não é um número Real, se x < 0.
Demonstração.
De i):
De fato, pelo item i) da Afirma¸cão 1.1 (−1) · x = −x.
Pela comutatividade e associatividade do produto:
(−x) · (−x) = (−1) · x · (−1) · x = (−1) · (−1) · x · x.

CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE B ÁSICAS DOS N ÚMEROS REAIS 33
Só resta provar que
−1 · (−1) = 1,
ou seja, nos reduzimos a provar apenas a Regra dos Sinais para o −1. Ora,
−1 · (−1 + 1) = 0 ⇔ −1 · (−1) − 1 · 1 = 0 ⇔
⇔ −1 · (−1) − 1 = 0 ⇔ −1 · (−1) = 1,
como quer´ıamos.
De ii):
Se x = 0 então x · x = 0, pelo item ii) da Afirma¸cão 1.1.
Se x > 0 então x · x > 0 (Pr. 2).
Se, por outro lado, x < 0 então −x > 0 (Pr. 0).
E então x · x = (−x) · (−x) > 0 (Pr. 3 e 2).
De iii):
Suponha agora por absurdo que y :=
√
x ∈ R para x < 0.
Então y2
≥ 0 pelo item ii).
Mas então chegamos em
0 ≤ y2
= (
√
x)2
= x < 0,
em contradi¸cão com o Princ´ıpio 0.
3. Propriedades gerais das desigualdades
Usando os Princ´ıpios 0 , 1, 2 e a Regra de Multiplica¸cão de Sinais podemos provar
as propriedades a seguir, que são fundamentais.
Alerta: se o estudante não manejar bem essas propriedades terá problemas no
Curso.
Afirma¸cão 3.1.
i) Se x ≥ y e z ≥ w então x + z ≥ y + w, ∀x, y, z, w ∈ R.
ii) Se x > 0 e y ≥ z então x · y ≥ x · z.
iii) Se x < 0 e y ≥ z então x · y ≤ x · z.
iv) se x > 0 então 1
x
> 0
v) se x > 1 então 1
x
< 1.
vi) 0 < x1 < x2 ⇒ 0 < 1
x2
< 1
x1
.
vii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2
< x < 1.
viii) 1 < x ⇒ 1 < x < x2
ix) 0 < x1 < x2 < 1 ⇒ 1 < 1
x2
< 1
x1
.
x) 1 < x1 < x2 ⇒ 1
x2
< 1
x1
< 1.
xi): 0 < x < 1 ⇒ 1 < 1
x
< 1
x2 .
xii): 1 < x ⇒ 1
x2 < 1
x
< 1.
xiii): 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w então 0 ≤ x · z ≤ y · w.

3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34
Demonstração.
i) Dados x, y, z, w ∈ R com
x ≥ y e z ≥ w,
podemos traduzir isso em:
(x − y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0.
Queremos provar que
x + z ≥ y + w,
que se traduz em
(x + z) − (y + w) ≥ 0,
ou, o que diz o mesmo:
(x − y) + (z − w) ≥ 0.
Isso é o que queremos. Para termos isso, podemos usar o Princ´ıpio 1, pois então com
esse princ´ıpio:
(x − y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0 ⇒ (x − y) + (z − w) ≥ 0.
ii) Temos que x > 0. Caso y = z então x · y = x · z. Por isso supomos que y > z,
ou seja, y − z > 0.
Queremos provar que x · y > x · z, ou seja, que
x · y − x · z > 0,
o que é o mesmo que dizer que
x · (y − z) > 0.
Isso é o que queremos. Então podemos usar o Princ´ıpio 2, que dá:
x > 0 e y − z > 0 ⇒ x · (y − z) > 0.
iii) Temos agora −x > 0 pelo Princ´ıpio 0. Caso y = z então x · y = x · z.
Por isso supomos y > z, ou seja, y − z > 0. Então o Princ´ıpio 2 dá:
(−x) · (y − z) > 0,
ou seja
−x · y + x · z > 0,
ou seja,
x · y − x · z < 0,
que é o que buscávamos provar:
x · y < x · z.
iv) Temos x > 0 e suponhamos por absurdo que 1
x
< 0.
Então −1
x
> 0 e pelo Princ´ıpio 2:
x · (−
1
x
) > 0.
Mas x · (−1
x
) = −1. Logo obtemos −1 > 0 ou seja 1 < 0, que contradiz o Princ´ıpio 0.
v) Seja x > 1. Suponhamos por absurdo que 1
x
≥ 1.
Se 1
x
= 1 então chegamos na contradi¸cão: 1 = x.

Se 1
x
> 1 então multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0, temos
x ·
1
x
> x · 1
(pelo item ii) já provado).
Como x · 1
x
= 1 pela própria defini¸cão de 1
x
e como x · 1 pela defini¸cão do neutro
1, obtemos
1 > x,
que contradiz x > 1.
Deixo para o leitor a prova das propriedades vi-xii, onde pode usar as propriedades
i) - v) que já foram provadas.
Fa¸co a prova de xiii):
Como 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w então sai primeiro que 0 ≤ x · z.
Agora, para ver que x · z ≤ y · w, note que
x · z ≤ y · z,
pois 0 ≤ (y − x) · z.
Do mesmo jeito sai que:
y · z ≤ y · w,
e portanto
x · z ≤ y · w.
Proponho agora ao leitor o seguinte Exerc´ıcio: explicar com itens da Afirma¸cão
3.1 algumas propriedades dos Gráficos das fun¸cões a seguir, a saber:
• por quê em determinado intervalo um está acima ou abaixo do outro,
• por quê isso se inverte ao passar de x = 1,
2
1
1,5
0,5
0
x
1,210,4 0,6 0,80,20

4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36
y = x em vermelho, y = x2
em verde, y = x3
em amarelo
e y = x4
em azul, para x ∈ [0, 1.2]
2
1
1,5
0,8
0,5
x
1,61,41,21 1,8
y = 1
x
em vermelho, y = 1
x2 em verde, para x ∈ [2
3
, 2]
4. Intervalos e suas utilidades
Um intervalo I ⊂ R é definido como o conjunto de todos os números Reais maiores
(ou iguais) a um certo número a e menores (ou iguais) que um certo b.1
Se impomos que sejam estritamente maiores que a e estritamente menores que b
temos um intervalo aberto
I = {x ∈ R; a < x < b}
denotado I = (a, b). Caso contrário surgem os intervalos semi-abertos, fechados, etc.
Um t´ıpico intervalo que vamos usar no Curso será o intervalo aberto de raio ǫ > 0
centrado num ponto x:
(−ǫ + x, x + ǫ)
onde x é um ponto da reta dos Reais e ǫ > 0 é um número positivo fixado por nós.
O modo como vamos usar esses intervalos centrados é o seguinte: (−ǫ + x, x + ǫ)
será uma espécie de gaiola ou cercado em torno de x, delimitando pontos próximos
dele (à medida que ǫ > 0 é tomado pequeno).
Explico isso em mais detalhe:
Defini¸cão 4.1. A distância entre dois pontos x, x da reta dos Reais é definida pelo
módulo2
da diferen¸ca entre eles:
|x − x| = |x − x|.
1Podemos considerar a reta R toda ou uma semi-reta também como intervalos: veremos isso em
detalhe na Se¸cão 4. Ao invés de usarmos o s´ımbolo (2, +∞) para denotar a semi-reta dos números
maiores que 2, prefiro usar o s´ımbolo R>2
: o motivo é evitar o mal uso do s´ımbolo +∞.
2para um número Real △, |△| := △, se △ ≥ 0 ou |△| := −△, se △ < 0

Pela defini¸cão de módulo, |x − x| < ǫ significa que
x − x < ǫ, se x − x ≥ 0 ou − (x − x) < ǫ, se x − x < 0.
É importante entender que:
Afirma¸cão 4.1. (−ǫ + x, x + ǫ) é exatamente3
o conjunto dos pontos que distam de
x menos que ǫ > 0.
Demonstração.
Vamos mostrar primeiro que
(−ǫ + x, x + ǫ) ⊂ {x ∈ R; |x − x| < ǫ}.
Tome
x ∈ (−ǫ + x, x + ǫ),
com x = x (caso x = x não há nada a provar, pois ǫ > 0).
Ou seja x verifica:
−ǫ + x < x < x ou x < x < x + ǫ.
Que equivale (subtraindo x) a:
−ǫ < x − x < 0 ou 0 < x − x < ǫ.
Que equivale4
a:
0 < −(x − x) < ǫ ou 0 < x − x < ǫ,
ou seja, 0 < |x − x| < ǫ, como quer´ıamos.
Agora vamos mostrar que:
{x ∈ R; |x − x| < ǫ} ⊂ (−ǫ + x, x + ǫ).
.
Tome x ∈ {x ∈ R; |x − x| < ǫ}.
Se 0 ≤ x − x então temos
x − x < ǫ ⇔ x < x + ǫ,
e portanto x ∈ [x , x + ǫ).
Se x − x < 0 então
−(x − x) < ǫ ⇔ −x + x < ǫ ⇔ −ǫ + x < x,
ou seja, x ∈ (−ǫ + x , x).5
.
3Dois conjuntos X e Y são iguais se X ⊂ Y e Y ⊂ X
4Aten¸cão: as desigualdade se invertem quando multiplicadas por um número negativo, por ex.,
1 < 2 < 3 mas −3 < −2 < −1
5O quadrado à direita significa que a demonstra¸cão terminou

4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38
4.1. O que é útil num intervalo aberto.
Os intervalos abertos são importante no Cálculo, e o ponto importante é que um
intervalo aberto tem uma certa tolerância com cada um de seus elementos. Podemos
mexer um pouquinho em cada um de seus elementos sem sair do intervalo aberto.
Mais especificamente:
Afirma¸cão 4.2. Dado qualquer x ∈ (a, b) existe um pequeno intervalo aberto centrado
em x denotado Ix tal que Ix ⊆ (a, b).
Demonstração.
Considere as distâncias de x ∈ (a, b) até o extremo a e até o extremo b:
|x − a| := x − a > 0, |x − b| := b − x > 0
(são dois números positivos pois (a, b) é intervalo aberto).
Dentre os dois agora escolho o menor, chamando-o de δ0 > 0:
δ0 := m´ınimo{ x − a, b − x }.
Fa¸ca
Ix := (−δ0 + x, x + δ0),
e vamos verificar que
(−δ0 + x, x + δ0) ⊂ (a, b).
Para isso vamos supor que é o caso que δ0 = x − a, ou seja, que x está ou no centro
do intervalo (a, b) ou um pouco mais próximo de a que de b (analogamente no outro
caso). Então
(−δ0 + x, x + δ0) = ( −(x − a) + x, x + (x − a) ) =
= ( a, x + (x − a) ).
Ora supusemos estar na situa¸cão em que x − a ≤ b − x, logo:
(a, x + (x − a)) ⊆ (a, x + (b − x)) = (a, b),
portanto:
(−δ0 + x, x + δ0) ⊆ (a, b)
como quer´ıamos.
Observe nessa Prova que à medida que x se aproxima de a ou de b a tolerância
(medida pelo δ0) fica menor, mas sempre existe.
Já no intervalo semi-aberto I = (0, 5] não há tolerância nenhuma com seu elemento
5: ou seja, qualquer número δ > 0 que for somada a 5, já faz que 5 + δ não perten¸ca
a (0, 5].

4.2. O que é útil num intervalo fechado.
Num intervalo aberto acontece de seus elementos estarem se aproximando cada
vez mais de um ponto que ele mesmo não está no intervalo, por assim dizer de um
fantasma. Por exemplo, os pontos 1
2
, 1
3
, . . . , 1
n
de (0, 5) estão cada vez mais próximos
de 0, mas mesmo assim 0 ∈ (0, 5). Isso não acontece no intervalo fechado [0, 5].
Dito de outro modo, no Curso não estamos apenas interessados em saber se um
certo número z pertence ou não pertence a um conjunto X ⊂ R, como se fazia no
ensino Médio. Também vamos querer saber se desse ponto z podemos achar elementos
x ∈ X tão próximos quanto quisermos.
• Se I é um intervalo aberto, pode acontecer que z /∈ I e mesmo assim hajam
elementos de I tão próximos quanto quisermos.
• Se I é intervalo fechado, e há elementos de I tão próximos quanto quisermos
de z, então de fato z ∈ I.
Uma informa¸cão extremamente importante para um cientista é saber se uma
fun¸cão que lhe interessa assume máximo ou m´ınimo em seu dom´ınio e principal-
mente, saber onde o faz.
Somente os intervalos fechados I = [a, b] garantirão sempre máximos e m´ınimos
globais de fun¸cões, senão pode acontecer algo como segue.
Pense em f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
. À medida que vamos tomando os pontos
1/n ∈ (0, 5] a fun¸cão vale
f(
1
n
) = n,
que fica tão grande quanto quisermos. Note que (0, 5] não é um intervalo fechado.
5. Metamorfoses de cúbicas
Nesta Se¸cão resolvi descrever curvas interessantes usando apenas propriedades
básicas do Reais, como regra dos sinais, desigualdades, módulo, etc. que já justifi-
camos acima neste mesmo Cap´ıtulo.
Tudo o que vem a seguir nesta Se¸cão é baseado em que não há ra´ız quadrada Real
de um número Real negativo.
Come¸cemos com o conhecido c´ırculo y2
+ x2
= r2
de raio r > 0. Observe que:
• podemos tomar o gráfico de y =
√
r2 − x2 para descrever o semic´ırculo su-
perior (ou tomar y = −
√
r2 − x2 para o inferior).
• se r2
−x2
> 0 há duas escolhas de ra´ızes, positiva e negativa, e quando x = r
ou x = −r essas duas escolhas colapsam numa só, que é y = 0.
• Onde r2
− x2
< 0 deixamos de trabalhar sobre os Reais, pois os valores asso-
ciados a y =
√
r2 − x2 passam para o terreno dos números Complexos.6
Como
só tratamos neste Curso de fun¸cões a valores Reais, não existem pontos do
c´ırculo cuja coordenada x verifique r2
− x2
< 0.
Por último, observe que mudando o valor de r muda o raio do c´ırculo, portanto
podemos pensar em y2
+ x2
= r2
como sendo uma fam´ılia de c´ırculos em que cada
elemento fica determinando pelo r. Veja a Figura:
6Há uma versão magn´ıfica do Cálculo sobre os números complexos !

5. METAMORFOSES DE C ÚBICAS 40
y
0,5
1
x
10 0,5
-0,5
-1
0
-1
-0,5
Bom, mas tratar de c´ırculos é covardia, pois temos sua imagem impressa na nossa
mente desde a infância.
Que tal tratarmos de alguma curva que não tenha sua imagem impressa na nossa
mente ? E ademaias, que tal tratarmos logo de uma fam´ılia delas ?
Considere a familia de curvas dada por:
y2
− x3
− r · x = 0, r = 0.
Vamos analisar separadamente o que acontece quando r > 0 e quando r < 0.
Caso r > 0:
Temos
y2
= x3
+ r x ⇔ y2
= x · (x2
+ r).
Como x2
+ r ≥ r > 0, o sinal de x · (x2
+ r) só depende do de x. Logo
• se x > 0 temos duas op¸cões
y = x · (x2 + r) ou y = − x · (x2 + r).
Ou seja, a curva não é um gráfico, ela tem uma parte no eixo y > 0 e uma
parte no eixo −y. Há uma simetria relativa ao eixo dos x.
• ainda se x > 0, |y| =
√
x3 + rx observo que fica tão grande quanto quisermos.
De fato, se dou o valor 7
K >> 1:
x ≥
3
√
K2 ⇒ x3
≥ K2
⇒
⇒ x3
+ rx ≥ K2
⇒ |y| =
√
x3 + rx ≥ K.
• essas duas escolhas y = x · (x2 + r) ou y = − x · (x2 + r) colapsam numa
só se x = 0, pois então y = 0.
• se x < 0 a(s) coordenada(s) y deixa de ser um número Real, ou seja, para
nós deixa de existir.
7O sinal >> 1 quer dizer bem maior que 1

Uma Figura compat´ıvel8
com essa descri¸cão é:
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
Caso r < 0
Agora
y2
= x · (x2
+ r),
e (x2
+ r) pode ser positivo, negativo ou positivo. Por isso o estudo do sinal de
x · (x2
+ r)
é mais delicado.
Note que
x2
+ r > 0 ⇔ x2
> −r > 0 ⇔
√
x2 >
√
−r.
Só que √
x2 = |x|
e portanto temos
x2
+ r > 0 ⇔ |x| >
√
−r.
Se x > 0, |x| >
√
−r quer dizer x >
√
−r mas se x < 0 isso quer dizer −x >
√
−r,
ou seja x < −
√
−r.
Em suma:
x2
+ r > 0 ⇔ x < −
√
−r ou x >
√
−r.
Então
• se x > 0
x · (x2
+ r) ≥ 0 ⇔ x ≥
√
−r,
e teremos duas op¸cões de ra´ızes para determinar y. Que colapsam para y = 0
se x =
√
−r.
• se x ≤ 0, só teremos x · (x2
+ r) ≥ 0 se (x2
+ r) ≤ 0. Ou seja,
−
√
−r ≤ x ≤ 0.
Nessa faixa de valores de x teremos duas op¸cões de y, que colapsam em y = 0
se x = 0 ou x = −
√
−r.
8Na Figura tra¸cada há mais informa¸cão do que a que justificamos. Somente na Se¸cão 5 do
Cap´ıtulo 15 é que teremos esses dados.

Uma Figura compat´ıvel com essa descri¸cão é (r = −1).
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Por último, note que se |r| vai ficando pequeno, então os pontos
(−
√
−r, 0), (0, 0) e (
√
−r, 0)
vão se aproximando. Note que as ovais da parte negativa vão diminuindo de tamanho
quando |r| vai diminuindo.
Imagine r vindo de valores positivos, que vão ficando bem próximos de zero, pulam
o valor zero, e passam a assumir então valores negativos.
É como se de um continente fosse expelida uma ilhota, que vai ficando maior e
mais distante do continente: as quatro figuras a seguir tentam mostrar isso.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40

Figura: A curva y2
− x3
− x = 0.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
21,510,50
Figura: A curva y2
− x3
− 0.4 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50-0,5 1
Figura: A curva y2
− x3
+ 0.3 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Figura: A curva y2
− x3
+ x = 0.

5.1. Suaviza¸cão do caso r = 0.
Há uma pergunta natural: o que acontece na curva y2
− x3
− 0 x = y2
− x3
= 0 ?
Já aviso: os programas gráficos ficam bem perdidos para tra¸car essa curva, se a
coordenada x fica próxima de 0.
Por isso vou proceder como em muitos ramos da ciência, vou tentar inferir qual
o formato dessa curva tomando curvas que entendamos e que estejam cada vez mais
próximas dela.
Num sentido que ficará claro mais tarde, essas curvas próximas são suaves ou
não-singulares (ver Defini¸cão 4.1 na Se¸cão 4 do Cap´ıtulo 32).
Na Figura a seguir tra¸co a curva y2
− x3
= 0 só que estabele¸co x ≥ 0.4, deixando
a região em torno de x = 0 como um mistério.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
A curva y2
− x3
= 0, só que x ≥ 0.4.
Como quero ter mais luz sobre esse objeto y2
−x3
= 0 não vou deformá-lo de novo
na fam´ılia y2
− x3
− r x = 0, mas sim noutra fam´ılia:
y2
− x3
+ s = 0, s ∈ R>0
.
Observo que a rela¸cão
y2
= x3
− s
permite tirar ra´ızes quadradas desde que x3
− s ≥ 0. Portanto há duas op¸cões de
x > 3
√
s ou apenas y = 0 se x = 3
√
s.
Ou seja:
• a curva y2
= x3
− s só tem tra¸co no plano Real se x ≥ 3
√
s e
• a partir de x > 3
√
s a curva é simétrica em rela¸cão ao eixo x, já que temos
duas op¸cões diferentes: y =
√
x3 − s e y = −
√
x3 − s.
Ademais note que se x > 3
√
s, então
y =
√
x3 − s <
√
x3
e
y = −
√
x3 − s >
√
x3.
ou seja:

• dado x > 0, o tra¸co da curva y2
= x3
+ s que tem y > 0 fica sempre abaixo
do de y =
√
x3.
• dado x > 0, o tra¸co da curva y2
= x3
+ s que tem y < 0 fica sempre acima
do de y = −
√
x3.
A Figura a seguir ilustra isso para y2
− x3
+ 8 = 0:
y
2
4
x
0
2,51,5 21
-4
-2
0,5
A curva y2
− x3
= 0, só que x ≥ 0.4, e a curva y2
− x3
− 8 = 0.
As Figuras a seguir ilustram curvas cada vez mais próximas:
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2
− x3
= 0, y2
− x3
+ 8 = 0 e y2
− x3
+ 1 = 0.

6. EXERCÍCIOS 46
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2
− x3
= 0, y2
− x3
+ 8 = 0, y2
− x3
+ 1 = 0 e y2
− x3
+ 0.5 = 0.
Será que agora o leitor consegue inferir a forma de y2
− x3
= 0 ?
6. Exerc´ıcios
Prove, ao invés de apenas assumir, que vale:
x · x = (−x) · (−x), ∀x ∈ R.
Para quais valores de x:
i) −3x + 2 > 0 ?
ii) x2
− x > 0 ?
iii) 3x2
− 2x − 1 > 0 ?
iii) 3x + 2 > 2x − 8 ?
iv) |x − 6| < 2 ?
v) |x + 7| < 1 ?
Prove que para quaisquer números Reais e △:
| + △| ≤ | | + |△|.
Exerc´ıcio 6.4. Como são os gráfico das fun¸cões (com dom´ınio ∀x ∈ R):
i) y = |x|,
ii) y = −| x|,
iii) y = |x − 5|,
iv) y = |x| + |x − 1| + |x − 2| ?

CAP´ıTULO 4
Sequências e seus limites
1. Sequências
Neste Curso será importante a situa¸cão em que o dom´ınio de uma fun¸cão será o
conjunto dos números Naturais N = {1, 2, 3, ...}. Nesse caso
f : N → R
é chamada de sequência.
A imagem de uma tal f é uma lista de números Reais. Como cada ponto de sua
imagem é do tipo f(n) é comum denotá-lo por xn e a sequência toda por (xn)n.
Exemplo 0: f : N → R dada por f(n) = K é a sequência mais boba de todas,
pois sua imagem é somente o conjunto {K} - chama-se sequência constante.
Exemplo 1: Uma sequência não tão boba é f : N → R dada por f(n) = 2n, cuja
imagem são os números Pares.
Exemplo 2:
Uma sequência fundamental para todo o Curso é
f : N → R, f(n) =
1
n
.
No que segue, dizer que N é um conjunto ilimitado em R é dizer que sempre há
um número Natural maior que qualquer número Real que for dado.
Afirma¸cão 1.1. O fato de que os números naturais N formam um conjunto ilimitado
nos R é equivalente ao fato de que os valores de f : N → R, f(n) = 1/n ficam tão
próximos quanto quisermos de 0, desde que n seja suficientemente grande.
Demonstração.
Uma equivalência é uma implica¸cão em dois sentidos: ⇔.
Prova do sentido ⇒: Obviamente 1/n nunca é igual a 0: caso pensássemos o
contrário para algum n0, obter´ıamos de 1
n0
= 0 e multiplicando por n0 obtemos que
0 = 1: absurdo.
A distância entre f(n) = 1/n e 0 é dada por |1/n − 0| = 1/n. Suponha que nos
foi dado um número positivo muito pequeno ǫ0 > 0. Queremos confirmar que
1/n < ǫ0
47

2. LIMITES DE SEQUÊNCIAS 48
a partir de um certo n, ou seja se n ≥ nǫ (onde uso a nota¸cão nǫ para destacar que
esse n depende do ǫ, quanto menor o ǫ maior o nǫ). Mas negar o anterior seria dizer:
∀n ∈ N, ǫ0 ≤
1
n
.
Mas isso equivale (multiplicando por n
ǫ0
> 0):
∀n ∈ N, n ≤
1
ǫ0
Concluir´ıamos então que o número 1
ǫ0
é maior que todos os números naturais, con-
tradizendo a hipótese.
Prova do sentido ⇐:
Se existe um número K ∈ R tal que ∀n ∈ N tenhamos n ≤ K então ∀n ∈ N
ter´ıamos 1
K
≤ 1
n
. Logo a sequência 1
n
não se aproxima de 0 mais que 1
K
. Contradi¸cão.
Observa¸cão: É poss´ıvel se colocar um Axioma sobre os números Reais - chamado
Axioma de Completamento - que implica a propriedade de N ser ilimitado em R.
Para nós, neste Curso, o fato dos Naturais serem ilimitados é tomado como um
Axioma.
Podemos também dizer o conteúdo da Afirma¸cão anterior de outro modo: dada
uma cerca (−ǫ + 0, 0 + ǫ), se tomamos um nǫ suficientemente grande, então ∀n ≥ nǫ
teremos 1/n ∈ (−ǫ + 0, 0 + ǫ). Ou seja, esperando o tempo suficiente nǫ, a partir dali
a sequência 1/n não sai mais da gaiola (−ǫ + 0, 0 + ǫ). Simbolicamente escreveremos
lim
n→+∞
1
n
= 0,
que lê-se assim: zero é o limite da sequência 1/n ou a sequência tende a zero
Veremos adiante que há sequências que tendem de diversas maneiras diferentes
a pontos, algumas vão decrescendo em valores como a (xn)n = 1/n, outras vão
crescendo como −1/n, outras vão oscilando e assim por diante, mas o que é importante
é que:
• elas entram em qualquer cerca estabelecida em torno de seu limite, desde
que se espere o tempo nǫ suficiente e
• depois de lá entrarem não mais saem.
Veremos também que podemos combinar sequências simples (cujo limite podemos
intuir facilmente) para criar sequências complicadas, das quais não é poss´ıvel ter uma
intui¸cão de seu limite (exceto alguém com poderes para-normais ...). Mesmo assim
poderemos matematicamente determinar esses limites.
2. Limites de sequências
O conceito de limite é o conceito fundamental do Cálculo, de onde surgem out-
ras no¸cões importantes como continuidade, derivada e integral. Por isso este é um
Cap´ıtulo um pouco mais extenso.

CAPÍTULO 4. SEQUÊNCIAS E SEUS LIMITES 49
Imagine uma máquina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x dá um certo output f(x). Agora imagine que para um input parecido x + h (com
h pequeno) dá um output parecido: f(x + h) = f(x) + δ, com δ pequeno.
Apesar de ser uma situa¸cão plaus´ıvel, da qual temos muitos exemplos no dia a dia,
também sabemos que há exemplos da situa¸cão oposta, em que, apesar de x + h ∼ x
temos f(x + h) muito diferente de f(x). Essas duas possibilidades são t´ıpicas de
processos cont´ınuos e descont´ınuos, respectivamente.
O objetivo deste cap´ıtulo é definir essas no¸cões precisamente, pois nelas se apoiam
os dois conceitos centrais do Curso: Derivada e Integral.
3. Defini¸cão e Propriedades fundamentais
Vamos come¸car com a Defini¸cão 3.1, que é mais precisa e importante do que
parece.
Nela destaco que há:
• uma enorme exigência: onde dizemos ∀ǫ >, e
• uma imposi¸cão: a de que a partir de um certo nǫ a sequência não mais saia
de uma região onde entrou.
Defini¸cão 3.1. Um sequência (xn)n tende a um ponto L se ∀ǫ existe nǫ ∈ N tal que
se n ≥ nǫ então xn ∈ (−ǫ + L, L + ǫ).
Há diferentes formas pelas quais uma sequência pode tender a um limite; em
particular, com diferentes velocidades.
Por exemplo, Afirmo que xn = 1
n2 tende a 0 mais rapidamente do que zn = 1
n
o
faz. Ou seja, Afirmo que o tempo nǫ(zn) de espera para ter zn < ǫ é menor que o
tempo nǫ(xn) que tenho de esperar para ter xn < ǫ. De fato,1
:
nǫ(zn) = ⌈
1
ǫ
⌉, nǫ(xn) = ⌈
1
ǫ
⌉,
e é claro que 1
ǫ
≤ 1
ǫ
para ǫ pequeno.
Nos argumentos discutidos abaixo teremos às vezes que esperar o tempo n su-
ficiente para que duas ou mais sequências se aproximem de onde queremos. Como
podem ser diferentes, por precau¸cão tomamos o maior dentre eles, para que as duas
ou mais sequências estejam onde queremos.
Teorema 3.1. (Propriedades fundamentais de sequências)
Sejam (xn)n e (zn)n duas sequências, com
lim
n→+∞
xn = L1 e lim
n→+∞
zn = L2.
Então:
1) A sequência soma (xn + zn)n tem
lim
n→+∞
(xn + zn) = L1 + L2.
1onde ⌈△⌉ significa o primeiro número Natural maior ou igual que △ ∈ R.

3. DEFINIÇ ÃO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50
2) A sequência diferen¸ca (xn − zn)n tem
lim
n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R é uma constante, então a sequência (C · xn) tem
lim
n→+∞
(C · xn) = C · L1.
4) Seja (qn)n uma sequência qualquer tal que
∀n, |qn| ≤ K,
para algum K. Se L1 = 0 então limn→+∞(qn · xn) = 0
5) A sequência produto (xn · zn)n tem
lim
n→+∞
(xn · zn) = L1 · L2.
6) Se L2 = 0, então:
• i) a partir de um certo n, zn = 0 e
• ii) limn→+∞
xn
zn
= L1
L2
.
7) Suponha adicionalmente que a partir de um certo n, xn ≤ L1 e que, para uma
sequência qualquer qn, a partir de um certo n temos
xn ≤ qn ≤ L1.
Então
lim
n→+∞
qn = lim
n→+∞
xn = L1.
Demonstração. (de alguns itens do Teorema 3.1)
Prova de 1) Nesse primeiro item, o ponto a lembrar é que xn e zn se aproximam
cada uma de um número a princ´ıpio distinto e que cada uma delas o faz possivelmente
com velocidade diferente.
O que queremos provar? Queremos saber se, esperando um tempo nǫ suficiente,
conseguimos que:
xn + zn ∈ (−ǫ + L1 + L2, L1 + L2 + ǫ),
ou seja, como já explicamos, se |xn + yn − (L1 + L2)| < ǫ. Vamos traduzir esta última
condi¸cão de outro modo, que leva em conta as duas hipóteses sobre xn e zn
2
:
|xn + yn − (L1 + L2)| = |xn − L1 + yn − L2| ≤
≤ |xn − L1| + |yn − L2|.
Agora fazemos o seguinte: esperamos tempo suficiente nǫ para que tenhamos
∀n ≥ nǫ, |xn − L1| <
ǫ
2
e |zn − L2| <
ǫ
2
.
2No último passo uso uma desigualdade (chamada desigualdade triangular, ver Exerc´ıcio 6.3)
que vale para quaisquer números Reais e △:
| + △| ≤ | | + |△|
, no nosso caso aplicadoa para = xn − L1 e △ = yn − L2

Então obtemos de acima:
|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1| + |yn − L2| <
ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ,
exatamente o que quer´ıamos provar.
Prova de 2): Análoga à do 1), apenas fazendo agora:
|(xn − yn) − (L1 − L2)| = |xn − L1 + L2 − zn| ≤ |xn − L1| + |L2 − zn|.
Prova de 3): agora queremos que a partir de um certo nǫ:
| C · xn − C · L1 | < ǫ.
É claro que posso supor C = 0, senão tudo é óbvio.
Ora então o que queremos é provar que:
| C · (xn − L1) | < ǫ,
ou seja3
queremos que
|C| · |xn − L1| < ǫ.
Noto agora que, se espero tempo nǫ suficiente, tenho:
|xn − L1| <
ǫ
C
, onde C = 0
pois xn se aproxima tanto quanto quisermos de L1. Então juntando as informa¸cões:
|C · xn − C · L1| = |C| · |xn − L1| < C ·
ǫ
C
= ǫ,
exatamente o que quer´ıamos.
Prova de 4): Aqui o que fazemos é esperar o tempo nǫ suficiente para que |xn| < ǫ
K
(estou supondo que K = 0, pois se K = 0, então a h´ıpótese |qn| ≤ 0 diz que qn = 0
∀n e tudo é óbvio, pois a sequência 0 · xn é a sequência constante, igual a 0). Então
para n ≥ nǫ :
|qn · xn| = |qn| · |xn| < K ·
ǫ
K
= ǫ,
como quer´ıamos.
Prova de 5): Queremos fazer
| xn · zn − L1 · L2 | < ǫ.
dese que n cres¸ca o suficiente.
Mas posso escrever:
| xn · zn − L1 · L2 | =
= | xn · zn −xn · L2 + xn · L2
0
−L1 · L2 | =
= | xn · (zn − L2) + L2 · (xn − L1) | ≤
≤ | xn · (zn − L2) | + | L2 · (xn − L1) | =
= | xn| · | (zn − L2) | + | L2 | · | (xn − L1) |
3Para quaiquer números Reais e △ sempre vale:
| · △| = | | · |△|;
no nosso caso, uso para = C e △ = xn − L1

3. DEFINIÇ ÃO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52
E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
| (xn − L1) | quanto | (zn − L2) | se faz tão pequeno quanto quisermos, pois zn tende a
L2 e xn tende a L1.
Logo | xn · zn − L1 · L2 | fica tão pequeno quanto quisermos.
Prova de 6): Primeiro afirmo que a partir de um certo n temos
|
L2
2
| < |zn|.
Se L2 > 0, a partir de um certo n temos
0 <
L2
2
< zn
pois L2
2
< L2 = lim zn. E se L2 < 0, a partir de um certo n
zn <
L2
2
< 0
pois lim zn = L2 < L2
2
.
Ou seja, a partir de um certo n:
|
L2
2
| < |zn|
e em particular a partir desse n, temos zn = 0.
No que segue já suponho que tomei esse n para que a partir dele:
|
L2
2
| < |zn|.
Então além de podermos dividir pelos zn, podemos afirmar que
|L2|2
2
< |zn| · |L2|
e portanto
1
|zn · L2|
<
2
|L2|2
.
Portanto
|
1
zn
−
1
L2
| = |
L2 − zn
zn · L2
| =
= |
1
zn · L2
| · |L2 − zn| ≤
≤
2
|L2|2
· |L2 − zn|.
Mas |L2−zn| se faz tão pequeno quanto quisermos, desde que esperemos possivelmente
um tempo n ainda maior, já que lim zn = L2.
Por exemplo, podemos esperar um n a partir do qual valha |L2
2
| < |zn| e também
|L2 − zn| <
ǫ · L2
2
2
,

o que dá
|
1
zn
−
1
L2
| <
2
|L2|2
·
ǫ · L2
2
2
= ǫ.
Sobre 7): de fato, após esquecermos um certo número de termos das sequências,
temos
| qn − L1| ≤ |xn − L1|
e |xn − L1| se faz tão pequeno quanto quisermos.
Chamo a aten¸cão para uma propriedade, que provamos como parte do item 6), e
que será bastante útil:
Afirma¸cão 3.1. Se limn→+∞ xn = L e L = 0 então a partir de um certo tempo n,
xn = 0. Em particular, se L > 0 (ou L < 0) então a partir de um certo tempo n,
xn > 0 (ou xn < 0).
Por último, será útil mais tarde se introduzimos dois s´ımbolos:
Defini¸cão 3.2. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = +∞
se ∀K > 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn > K. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = −∞
se ∀K < 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn < K.
Ou seja, sequências que ficam tão positivas quanto quisermos, ou sequências que
ficam tão negativas quanto quisermos, esperando o tempo n suficiente. Exemplos:
xn = n2
e xn = −n2
, respectivamente.
4. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 4.1. Exemplifique com sequências (xn)n bem simples a diferen¸ca entre as
seguintes frases:
i) a partir de um certo tempo n a sequência xn dista de L menos que um ǫ > 0 e
ii) existem tempos n arbitrariamente grandes tais que xn dista de L menos que
um ǫ > 0.
Exerc´ıcio 4.2. Para as sequências (xn)n abaixo e para a fun¸cão y = f(x) = 1
x2 , diga
o formato da sequência ( f(xn) )n:
i) xn = 1√
n
,
ii) xn = 1
n
,
iii) xn = n2
.

4. EXERCÍCIOS 54
Exerc´ıcio 4.3.
Explique se existem ou não os limites das seguintes sequências:
i) xn := 5 n,
ii) xn := (−1)n
5,
iii) xn := (−1)n
(5 + 1
n
),
iv) xn := (−1)n 5
n
v) xn := (−1)n 1
n
.
vi) xn = 1
n
+ 2
n
+ 3
n
,
vii) xn = 1
n
· 2
n
· 3
n
.
Exerc´ıcio 4.4.
No dia-a-dia sabemos que todo gremista gosta de azul, mas nem todos que gostam
de azul são gremistas.
Tratando-se agora de sequências xn e zn, dê exemplos onde não existem
lim
n→+∞
xn ou lim
n→+∞
zn
mas que no entanto existam:
lim
n→+∞
(xn + zn) ou lim
n→+∞
(xn · zn).
Prove duas propriedades fundamentais de limites:
i) se xn < 0 ∀n e se limxn = L então L ≤ 0. Dê exemplo onde todo xn < 0 mas
onde L = 0.
ii) se limxn = L e se ∀n xn ≤ zn ≤ L, então limzn = L.
Exerc´ıcio 4.6. Usando algumas sequências já estudadas em aula e propriedades de
+, −, ·, / de sequências, calcule:
lim
n→+∞
3 · (2 −
1
n
+
1
n2
), lim
n→+∞
300n2
+ 35n + 1000
n3 + n
,
lim
n→+∞
300n2
+ 35n + 1000
150n2 + n + 10000
, lim
n→+∞
10123456789
n
,
lim
n→+∞
30000000n + 1200000
n2
, lim
n→+∞
2n7
+ 35n + 1000
3n7 + n + 10000
.
Dica: fatore n à for¸ca no numerador e no denominador as potências mais altas e
simplifique, antes de passar ao limite.
Exerc´ıcio 4.7. As sequências a seguir tendem a zero. Dado ǫ > 0 determine qual
n (em fun¸cão de ǫ) é suficiente para termos |xn| < ǫ nas seguintes sequências: a):
xn = 1
n4 , b): xn = 1√
n
, c): xn = 1
4
√
n
Exerc´ıcio 4.8. A sequência xn = 1
n
fica dentro do intervalo [0, 1] e é decrescente, ou
seja
xn+1 ≤ xn, ∀n.

Já a sequência xn = 1 − 1
n
fica também dentro do intervalo [0, 1] mas é crescente, ou
seja xn+1 ≥ xn, ∀n. É verdade o seguinte Teorema: sequências que ficam dentro
de algum intervalo e que são ou bem crescentes ou bem decrescentes convergem para
algum limite.
Veja em quais sequências a seguir pode-se aplicar esse Teorema: a): xn = 1
5n2 , b):
xn = 1
5n
, c): xn = (−2)n
n
, d): xn = (−1)2n
n
, e): xn = (−1)2n+1
n
.

CAP´ıTULO 5
Limites de fun¸cões definidas em intervalos
Neste Curso usaremos a no¸cão de continuidade fortemente quando calcularmos
algumas Derivadas e mais adiante na teoria de Integra¸cão do Cap´ıtulo 21.
Daremos sua defini¸cão precisa no próximo Cap´ıtulo.
Mas para isso, antes precisamos entender a no¸cão de limite de fun¸cões definidas
em intervalos. Até agora só vimos limites de um tipo de fun¸cão, cujo dom´ınio são os
Naturais, as chamadas sequências.
Agora vamos definir:
Defini¸cão 0.1. Seja uma fun¸cão f : I → R, y = f(x) definida num intervalo I. Seja
x tal que exista alguma sequência xn ∈ I {x} com limn→+∞ xn = x.
Dizemos que fun¸cão f tem limite L quando x tende a x, denotado por
lim
x→x
f(x) = L, L ∈ R,
se para toda sequência xn contida em I {x}
lim
n→+∞
xn = x
temos
lim
n→+∞
f(xn) = L.
Observa¸cões importantes sobre a Defini¸cão 0.1:
• O ponto importante nesta defini¸cão é que, não importa quantas sequências
tomemos com limn→+∞ xn = x, sempre as sequências f(xn) tendem para o
mesmo número L.
• O fato de que não seja relevante como xn se aproxima de x, mas apenas que
xn se aproxima x, fica vis´ıvel no s´ımbolo que usamos:
lim
x→x
f(x).
• O leitor verá mais tarde que às vezes x não está no dom´ınio das fun¸cões, ou
seja, que não faz sentido perguntar por quanto a fun¸cão vale nele, mas que,
como x está arbitrariamente próximo do dom´ınio dessas fun¸cões, podemos
perguntar quanto a fun¸cão vale em pontos do dom´ınio cada vez mais próximos
dele.
• o valor f(x) pode ser bem diferente de limx→x f(x). Por isso tomamos
sequências xn contidas em I {x} (ou seja, que não valem nunca x).
57

1. OPERAÇ ÕES ELEMENTARES COM LIMITES DE FUNÇ ÕES 58
1. Opera¸cões elementares com limites de fun¸cões
A no¸cão de limite de fun¸cões foi constru´ıda a partir da de limite de sequências;
assim que é natural que as propriedades de limites de sequências repercutam nas dos
limites de fun¸cões definidas em intervalos.
Teorema 1.1. (Propriedades fundamentais de limites de fun¸cões)
Sejam f e g cujos dom´ınios são intervalos e seja x tal que existam sequências nos
dom´ınios dessas fun¸cões que tendam a ele.
Suponha que existam:
lim
x→x
f(x) = L1 e lim
x→x
g(x) = L2.
Então:
1) A fun¸cão soma f + g tem
lim
x→x
(f + g)(x) = L1 + L2.
2) A fun¸cão diferen¸ca f − g tem
lim
x→x
(f − g)(x) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R é uma constante, então a fun¸cão (C · f)(x) := C · f(x) tem
lim
x→x
(C · f)(x) = C · L1
4) Suponha uma fun¸cão q(x) com o mesmo dom´ınio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K,
∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Então
lim
x→x
( f(x) · q(x) ) = 0.
5) A fun¸cão produto (f · g)(x) tem
lim
x→x
(f · g)(x) = L1 · L2.
6) Se L2 = 0, então: i) se x é suficientemente próximo de x então g(x) = 0 e ii)
limx→x
f(x)
g(x)
= L1
L2
.
7) Suponha uma outra fun¸cão q(x) definida no mesmo dom´ınio e que adicional-
mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Então
lim
x→x
q(x) = lim
x→x
f(x) = L1.
Demonstração.
Prova do Item 1): Queremos saber se
lim
n→+∞
( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2,
quando tomamos qualquer sequência xn com
lim
n→+∞
xn = x.
Mas por hipótese, limn→+∞ f(xn) = L1 e limn→+∞ g(xn) = L2 , quando tomamos
qualquer sequência xn com limn→+∞ xn = x.

CAPÍTULO 5. LIMITES DE FUNÇ ÕES DEFINIDAS EM INTERVALOS 59
Ora, pelo item 1) do Teorema 3.1, aplicado às sequências f(xn) e g(xn), concluimos
que limn→+∞ ( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2.
A prova de outros itens fica para o leitor, bastando combinar a Defini¸cão 0.1 com
alguns itens do Teorema 3.1, bem como com a Afirmacao 3.1.
2. A defini¸cão usual com ǫ e δ
Na maioria dos livros texto de Cálculo, o limite de uma fun¸cão definida em um
intervalo é definido assim:
Defini¸cão 2.1. Dizemos que f tende a L quando x tende ao x, ou em s´ımbolos:
lim
x→x
f(x) = L
se ∀ǫ > existe δ > 0 tal que se 0 < |x − x| < δ então |f(x) − L| < ǫ.
Observa¸cões:
• pense em ǫ > 0 como um número pequeno, que impõe o desafio de se encon-
trar o δ > 0 suficiente para termos |f(x) − L| < ǫ, desde que 0 < |x − x| < δ.
• o s´ımbolo ∀ǫ > 0 (para todo ǫ > 0) diz que ǫ será feito tão pequeno quanto
quisermos,
• veremos logo abaixo que o δ depende do ǫ, da natureza da f e também, em
geral, de cada ponto x.
• a cláusula 0 < |x − x| existe para que possamos ter fun¸cões com f(x) = L =
limx→x f(x).
Um pouco mais sobre o último item: suponha que temos uma f com f(x) bem
diferente dos valores f(x), para x próximos de x porém diferentes de x. Por exemplo
suponha que |f(x) − L| ≥ 1 , embora |f(x) − L| < ǫ é pequeno se x = x, mas x
próximo de x. Então |x−x| = 0 < δ, ∀δ > 0 e no entanto |f(x)−L| ≥ 1. Por isso na
Defini¸cão 2.1 estamos interessados apenas em controlar os valores f(x) para x = x.
Vejamos agora que essa nova Defini¸cão 2.1 tem o mesmo conteúdo da Defini¸cão
0.1 do Cap´ıtulo 4, mesmo que a princ´ıpio não pare¸cam o mesmo.
Afirma¸cão 2.1. A Defini¸cão 2.1 é equivalente à Defini¸cão 0.1 do Cap´ıtulo 4.
Demonstração. (da Afirma¸cão 2.1)
Provar a equivalência de duas defini¸cões é mostrar que uma implica a outra e
vice-versa.
Suponha por um momento a Defini¸cão 0.1 e por absurdo negue a Defini¸cão 2.1.
Então existe um ǫ0 > 0 especial tal que ∀δ > 0 existe um xδ com
0 < |xδ − x| < δ, mas |f(xδ) − L| ≥ ǫ0.

2. A DEFINIÇ ÃO USUAL COM ǫ E δ 60
Já que vale para todo δ > tomo-os da forma δ(n) := 1
n
. Então concluo que os
xδ(n) formam uma sequência de I {x} que tende a x, pois
0 < |xδ(n) − x| <
1
n
e já sabemos que os 1
n
ficam tão pequenos quanto quisermos. Com essa sequência
(xδ(n))n no dom´ınio da f, formo outra sequência f(xδ(n)) na imagem da f, que não
tende a L já que
|f(xδ(n)) − L| ≥ ǫ0, ∀n,
ou seja, não se aproxima do número L mais que ǫ0. Isso contradiz a Defini¸cão 0.1.
Agora suponha Defini¸cão 2.1 e vamos obter a informa¸cão dada pela Defini¸cão 0.1.
Considere qualquer sequência xn de I {x} que tenda a x: queremos saber então
se é verdade que f(xn) tende a L. Ou seja, se dado ǫ > 0 existe nǫ ∈ N tal que
∀n ≥ nǫ temos |f(xn) − L| < ǫ.
O que sei pela Defini¸cão 2.1 é que existe um δ > 0 tal que:
0 < |x − x| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.
Então tomo esse δ > 0 e, para ele, tomo um nδ ∈ N tal que:
∀n ≥ nδ ⇒ 0 < |xn − x| < δ
(o que funciona pois xn tende a x).
Logo |f(xn) − L| < ǫ pois os xn entraram na região adequada em torno de x, que
é (−δ + x, x + δ).
A Figura ilustra:
x
L
L−ε
ε+L
δ−x x + δ
x_n
f (x_n)
Lembrando que o δ = δ(ǫ), pois depende de ǫ, obtivemos o que quer´ıamos, já que
|f(xn) − L| < ǫ a partir de um certo tempo nδ(ǫ).
Exemplos:

1)- f(x) = ax + b, polinômio de grau ≤ 1, tem limx→x f(x) = ax + b. De fato, se
a = 0 é claro que a f ≡ b constante tende a b. Caso a = 0, quando for dado ǫ > 0
tome por exemplo δ(ǫ) := ǫ
|a|
. Então se |x − x| < ǫ
|a|
temos:
|f(x) − L| = |ax + b − (ax + b)| = |a||x − x| < |a| ·
ǫ
|a|
= ǫ,
como quer´ıamos.
2)- No exemplo 1) o δ só dependeu do ǫ. Agora dou um exemplo em que o δ
depende também do x, ficando cada vez menor à medida que o x vai sendo escolhido
mais perto de um extremo do dom´ınio da f.
Seja f : R>0
→ R, f(x) = 1
x
. Veremos na próxima Se¸cão que limx→x f(x) = 1
x
.
Mas a Figura a seguir ilustra como vai ficando mais dif´ıcl encontrar o δ adequado à
medida que x > 0 se aproxima do 0.
2 ε
2 ε
2 ε
Figura: Para um mesmo ǫ, preciso cada vez menores valores de δ
3. Limites quando x tende ao infinito
Quando um cientista quer entender um fenômeno, ele pode querer entender não
apenas o comportamento agora, mas sim a longo prazo. Por exemplo, pode se per-
guntar se a longo prazo a Lua permanecerá girando em torno da Terra.
Na linguagem do Cálculo isso se expressa numa pergunta assim: a que tende o
fenômeno quando o tempo x fica arbitrariamente grande ? O que se põe em s´ımbolos:
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R, ou lim
x→−∞
f(x) = L ∈ R.
Ambos s´ımbolos admitem dois tipos de defini¸cões (equivalentes)
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R
se ∀ǫ > 0 existe K > 0 tal que |f(x) − L| < ǫ, se x > K.
Ou

3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 62
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R
se ∀(xn)n contida no dom´ınio de f com limn→+∞ xn = +∞ temos limn→+∞ f(xn) =
L.
(onde limn→+∞ xn = +∞ foi apresentado na Defini¸cão 3.2).
Deixo para o leitor verificar a equivalência dessas duas Defini¸cões 3.1 e 3.2.
Analogamente se define limx→−∞ f(x) = L ∈ R.
Geometricamente, as Defini¸cões 3.1 ou 3.2 se ilustram na Figura a seguir, em que
o gráfico se aproxima da altura L cada vez mais:
0,98
0,96
0,94
0,92
x
30025020015010050
Figura: Quando x aumenta o gráfico se aproxima de uma altura definida.
As propriedades básicas dessas no¸cões são análogas àquelas do Teorema 1.1:
Teorema 3.1. Sejam f e g fun¸cões definidas em um intervalo ilimitado à direita.1
Suponha2
lim
x→+∞
f(x) = L1 ∈ R e lim
x→+∞
g(x) = L2 ∈ R.
Então:
1) A fun¸cão soma f + g tem
lim
x→+∞
(f + g)(x) = L1 + L2.
2) A fun¸cão diferen¸ca f − g tem
lim
x→+∞
(f − g)(x) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R é uma constante, então a fun¸cão (C · f)(x) := C · f(x) tem
lim
x→+∞
(C · f)(x) = C · L1
4 ) Suponha uma fun¸cão q(x) com o mesmo dom´ınio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K,
∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Então
lim
x→+∞
( f(x) · q(x) ) = 0.
1Enuncio apenas para x → +∞, pois é análogo se x → −∞
2
Aten¸cão que L1, L2 têm que ser números, não podem ser substitu´ıdos pelos s´ımbolos +∞ ou
−∞

5) A fun¸cão produto (f · g)(x) tem
lim
x→+∞
(f · g)(x) = L1 · L2.
6) Se L2 = 0, então:
i) se x é suficientemente grande então g(x) = 0 e
ii) limx→+∞
f(x)
g(x)
= L1
L2
.
7) Suponha uma outra fun¸cão q(x) definida no mesmo dom´ınio e que adicional-
mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Então
lim
x→+∞
q(x) = lim
x→+∞
f(x) = L1.
Demonstração.
Prova do item 1): Quero saber se a sequência soma f(xn)+g(xn) tende a L1 +L2,
se a sequência xn tem limn→+∞ xn = +∞. Mas por hipótese f(xn) tende a L1 e
g(xn) tende a L2. Logo pelo item 1) do Teorema 3.1 aplicado às sequências f(xn) e
g(xn) obtemos que f(xn) + g(xn) tende a L1 + L2.
Os outros itens se demonstram da mesma maneira.
Exemplos:
1) Obviamente a fun¸cão constante f ≡ C tem limx→+∞ C = C.
2) A fun¸cão f : R<0
∪ R>0
→ R, f(x) = 1
x
tem
lim
x→+∞
1
x
= lim
x→−∞
1
x
= 0.
De fato, |1
x
| < ǫ se |x| > K := 1
ǫ
, o que está de acordo com a Defini¸cão 3.1.
3)
lim
x→+∞
C
x
= C · lim
x→+∞
1
x
= C · 0 = 0
usando o Teorema 3.1.
4) Também
lim
x→+∞
1
x2
= lim
x→+∞
(
1
x
·
1
x
) = 0 · 0,
pelo Teorema 3.1.
5)
lim
x→+∞
(C +
1
x
) = C + lim
x→+∞
1
x
= C + 0 = C

3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 64
6)
lim
x→+∞
C1 x
C2 x + C3
=
C1
C2
,
onde C1, C2, C3 são constantes não nulas. De fato, primeiro observe que se x se faz
tão grande quanto quisermos, em particular x > 0. Logo posso escrever:
lim
x→+∞
C1 x
C2 x + C3
= lim
x→+∞
x C1
x (C2 + C3
x
)
= lim
x→+∞
C1
(C2 + C3
x
)
e agora uso o Teorema 3.1 e os Exemplos anteriores , concluindo que
lim
x→+∞
C1
(C2 + C3
x
)
=
C1
C2
.
7) O mesmo tipo de argumento do Exemplo 6) dá que:
lim
x→+∞
an xn
+ an−1xn−1
+ . . . + a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . . + b0
=
an
bn
,
onde ai, bi são constantes, an = 0, bn = 0.
De fato, como posso supor x > 0:
lim
x→+∞
an xn
+ an−1xn−1
+ . . . + a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . . + b0
=
= lim
x→+∞
xn
· (an + an−1
x
+ . . . + a0
xn )
xn · (bn + bn−1
x
+ . . . + b0
xn )
=
= lim
x→+∞
(an + an−1
x
+ . . . + a0
xn )
(bn + bn−1
x
+ . . . + b0
xn )
=
an
bn
,
usando novamente o Teorema 3.1 e Exemplos prévios.
Ilustro o Exemplo 7) nas Figura que segue, onde an = a2 = 2 e bn = b2 = 1:
1,6
0,8
1,2
x
2001501000 50
2
1,8
1,4
1
0,6
Figura: Gráfico de 2x2+x+4
x2+3x+7
com x ∈ [0, 200].
8)
Se m < n, am = 0, bn = 0:
lim
x→+∞
am xm
+ am−1xm−1
+ . . . + a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . . + b0
= 0.

De fato,
lim
x→+∞
xm
· (am + am−1
x
+ . . . + a0
xm )
xm · xn−m · (bn + bn−1
x
+ . . . + b0
xn )
=
= lim
x→+∞
1
xn−m
(am + am−1
x
+ . . . + a0
xm )
(bn + bn−1
x
+ . . . + b0
xn )
= 0 ·
am
bn
= 0,
Ilustro este Exemplo 8) na Figura a seguir, com am = a2 = 20 e bn = b3 = 0.01.
Escolhi o coeficiente b3 = 0.01 bem pequeno em rela¸cão ao a2 = 20 de propósito,
para indicar que não adianta, pois a longo prazo o grau 3 do denominador é mais
importante.
6000
4000
2000
0
x
302520155 10
8000
Figura: Gráfico de 20x2+30x+40
(0.01)x3 , para x ∈ [1, 30]
Estes dois Exemplos 7) e 8) ilustram o seguinte princ´ıpio: a longo prazo o que im-
porta são os graus mais altos dos polinômios envolvidos num quociente de polinômios.
9) Lembrando apenas que a fun¸cão seno tem | sin(x)| ≤ 1, então
lim
x→+∞
sin(x)
x
= 0
pois limx→+∞
1
x
= 0 (use o Teorema 3.1).
0,4
0,2
-0,2
0,3
0,1
x
12080
-0,1
0
20 40 10060
Figura: O gráfico de sin(x)
x
para x ∈ [2, 130]

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