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da Não-Linearidade Geométrica Utilizando o
Método de Otimização Topológica
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• INTRODUÇÃO
• OBJETIVO E JUSTIFICATIVA
• REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
• MECÂNICA DO CONTÍNUO
• MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA (...
INTRODUÇÃO
Não-Linearidade no MEF
Ricardo Doll Lahuerta 3
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Deformação Plástica (Encruamento)
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• Distribui uma quantidade fixa de material no interior de uma região
determinada (Domínio Fixo Estendido).
• Tal que, u...
Processo de Otimização Topológica
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Topologia Ótima!
5Ricardo Doll Lahuerta
INTRODUÇÃO
Revisão Bibliográfica
MOT considerando o efeito Não-Linear Geométrico
Ricardo Doll Lahuerta
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Revisão Bibliográfica
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MOT Não-Linear
Trabalhos relevantes utilizando gradientes.
BRUNS, D., & TORTOR...
JUSTIFICATIVA
Ricardo Doll Lahuerta 8
Obter resultados de Otimização Topológica Não-Linear mais
consistentes baseado nos s...
OBJETIVOS
Ricardo Doll Lahuerta
• Projetar estruturas mecânicas considerando o feito da não-
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MECÂNICA DO CONTÍNUO
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Lei de Material.
Neo-Hookiana de Simo-Ciarlet.
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Pseudo-Densidade
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Problemas
Escala de Cinza, Dependência de Malha e
Instabilidade de Tabuleiro
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Solução do Sistema Não-Linear
Método de Newton (“Full Newton”)
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Algoritmo de Otimização
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Critério da Optimalidade (CO)
(Bendsøe 1989)
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Solução adotada para a dependência de malha e
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Ricardo Doll Lahuerta
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Independência do Resultado com a Técnica de Projeção
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Técnica de Projeção
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Função de Relaxação
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RESULTADOS
Viga Bi-Engastada
- Módulo de Elasticidade (𝐸): 3,00 GPa.
- Força em Y: 230 kN.
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RESULTADOS - EPD
Linear
“End Compliance”
Kirchhoff-Saint
Venant
Neo-Hookiano
7,123 kJ
10,073 kJ
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CONCLUSÕES
Ricardo Doll Lahuerta
• MEF NL Geométrico se mostrou muito robusto utilizando não-linearidade
exata, convergind...
TRABALHOS FUTUROS
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• Implementar o Método de Otimização Topológica (MOT) NL para elementos
3D cont...
AGRADECIMENTOS
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• Aos Professores Dr. Emílio Carlos N. Silva, Dr. Paulo Pimenta,
Dr. Eduardo Campe...
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  1. 1. Projeto de Estruturas Considerando o Efeito da Não-Linearidade Geométrica Utilizando o Método de Otimização Topológica Ricardo Doll Lahuerta Apresentação para a obtenção do Título de Mestre em Engenharia Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva Orientador Escola Politécnica USP/2012 Programa de Engenharia Mecânica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil 1 Apoio FUSP
  2. 2. • INTRODUÇÃO • OBJETIVO E JUSTIFICATIVA • REVISÃO BIBLIOGRÁFICA • MECÂNICA DO CONTÍNUO • MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA (MOT) • IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DO MEF NÃO-LINEAR (NL) • FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL GEOMÉTRICO • RESULTADOS • CONCLUSÕES • TRABALHOS FUTUROS • AGRADECIMENTOS SUMÁRIO Ricardo Doll Lahuerta 2
  3. 3. INTRODUÇÃO Não-Linearidade no MEF Ricardo Doll Lahuerta 3 Estampagem de uma chapa Deformação Plástica (Encruamento) Colapso de uma viga Efeito pós-flambagem (Geométrica) Contato de um selo de borracha Existem inúmeros casos em que uma análise não-linear é indispensável, podendo ser citadas três fontes principais de não-linearidades no MEF: • Não-linearidade de Material (Plasticidade). • Não-linearidade nas Condições de Contorno (contato). • Não-linearidade Geométrica (Elástica ou Cinemática). (Wriggers 2006).
  4. 4. 4 • Distribui uma quantidade fixa de material no interior de uma região determinada (Domínio Fixo Estendido). • Tal que, uma função objetivo seja minimizada e suas respectivas restrições sejam satisfeitas. • Combina um Método de Otimização Numérica com o MEF. F ? Exemplo de Otimização Topológica Ricardo Doll Lahuerta INTRODUÇÃO Método de Otimização Topológica
  5. 5. Processo de Otimização Topológica ? Topologia Ótima! 5Ricardo Doll Lahuerta INTRODUÇÃO
  6. 6. Revisão Bibliográfica MOT considerando o efeito Não-Linear Geométrico Ricardo Doll Lahuerta T. Buhl, C.B.W. Pedersen and O. Sigmund (2001) R.Kemmler, A.Lipka, E.Ramm (2005) 6 Zerar a força interna dos elementos com pseudo densidade menores que 0.01. Valores de pseudo-densidades menores que 0.01, é penalizado somente .EK T E GK K K
  7. 7. Revisão Bibliográfica Ricardo Doll Lahuerta MOT Não-Linear Trabalhos relevantes utilizando gradientes. BRUNS, D., & TORTORELLI, D. (1998). Topology optimization of geometrically nonlinear structures and compliant mechanisms. CARDOSO, E. L. (2005). Otimização Topológica de Transdutores Piezelétricos Considerando a Não-Linearidade Geométrica. PENZELER, P. & WIRTH, B. (2010). A phase-field model for compliance shape optimization Non-linear elasticity. HUANG, X & Xie, Y. M. (2004). Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structurs 7 Trabalho relevantes sem gradientes.
  8. 8. JUSTIFICATIVA Ricardo Doll Lahuerta 8 Obter resultados de Otimização Topológica Não-Linear mais consistentes baseado nos seguintes pontos: • Utilizar leis de materiais adequadas ao problema de elementos de baixa densidade, estabilizando assim de forma consistente o problema de Otimização Topológico Não-Linear Geométrico. • Permitir que elementos de baixa densidade reapareçam durante o processo iterativo de otimização.
  9. 9. OBJETIVOS Ricardo Doll Lahuerta • Projetar estruturas mecânicas considerando o feito da não- linearidade geométrica utilizando o Método de Otimização Topológica (MOT) . • Implementar rotinas do MEF não-linear Geométrico para solução de problemas 2D (EPD e EPT). • Implementar uma técnica de projeção mais robusta aplicada a OT não-linear com baixo campo de cinza. • Trabalhar com elementos de baixa densidade de forma mais adequada. 9
  10. 10. Ricardo Doll Lahuerta MECÂNICA DO CONTÍNUO Considerações deste trabalho • Formulação Lagrangiana. • Não-Linearidade Geométrica Exata (NL Elástica Exata). • Primeiro Tensor das Tensões de Piolla-Kirchhoff. • Lei de Material Kirchhoff-Saint Venant. • Lei de Material Neo-Hookiana. 10
  11. 11. Ricardo Doll Lahuerta 14 MECÂNICA DO CONTÍNUO ext int int :b u t u P Fr r r V S r r r r r V S V P P T P P P dV dS dV              Teorema das Potências { , }P F Considerando o Sistema Quase-Estático. intP Potência Interna. Derivada Temporal da Energia Cinética.0T   extP Potência Externa. VP Potência das Forças de Volume. SP Potência das Forças de Superfície. (Pimenta, P 2008).
  12. 12. Ricardo Doll Lahuerta 15 MECÂNICA DO CONTÍNUO Lei de Material. Kirchhoff-Saint Venant. Função da Energia de Deformação Específica. 21 2 2 I IIE EE 2 tr , trE EE EI II   Invariante do tensor de Deformação. 2ES E I + E Relação entre o par conjugado .,S E EP F F C I Relação entre o par conjugado .,P F i ij j D f Tensor dos Módulos de Rigidez Elástico Tangente. (Pimenta, P 2008).
  13. 13. Ricardo Doll Lahuerta 16 MECÂNICA DO CONTÍNUO Lei de Material. Neo-Hookiana de Simo-Ciarlet. Função da Energia de Deformação Específica. 21 1 1 , 1 ln 3 2ln 2 2 2 J I J J I JC C     2 21 : , : , det 2 C C C CI C C C CI II I III        Invariantes do tensor de Deformação. 21 1 1 2 J J P G F F Relação entre o par conjugado .,P F i ij j D f Tensor dos Módulos de Rigidez Elástico Tangente. (Pimenta, P 2008).
  14. 14. Ricardo Doll Lahuerta 17 MECÂNICA DO CONTÍNUO Lei de Material. Estiramento unidirecional em .1x 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 KSV NH (Wriggers 2006).
  15. 15. Domínio Fixo Estendido De Projeto Domínio Estendido Fixo Domínio Desconhecido Otimização Topológica (Bendsøe & Kikuchi 1988) Ricardo Doll Lahuerta MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 18
  16. 16. Modelo de Material Ricardo Doll Lahuerta 0 1 ? • Problema discreto (zero ou um) é mal-posto, não apresenta solução (dependência da malha). • Material deve assumir valores de pseudo-densidades intermediárias durante o processo de otimização utilizando o “modelo de material” (SIMP) o problema é relaxado. • O problema discreto deve ser recuperado através de penalizadores no modelo de material. MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 19
  17. 17. Ricardo Doll Lahuerta Pseudo-Densidade Modulo de Elasticidade Efetivo Modulo de Elasticidade Nominal Penalização Bendsøe & Sigmund (2003) SIMP (“Solid Isotropic Material With Penalization”) 20 Modelo de Material MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 0( ) ( ) ( ),x x xp E E
  18. 18. Problemas Escala de Cinza, Dependência de Malha e Instabilidade de Tabuleiro Ricardo Doll Lahuerta Escala de Cinza Instabilidade de Tabuleiro Dependência de Malha ALLAIRE (2002); BENDSØE & SIGMUND (2003) MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 21
  19. 19. Método dos Elementos Finitos Ricardo Doll Lahuerta 22 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA 1 ( , ) k a a k N xx ext int ext int ext int :r r r r r r r r r r r V S V r r r r r V S V P P dV dS dV dV dS dV N u N u F u N N u N u f u f f f b t P b t P Teorema das Potências Virtuais. Processo Quase-Estático. Relação que rege o meio continuo do meio discreto (em elementos).
  20. 20. Solução do Sistema Não-Linear Método de Newton (“Full Newton”) Ricardo Doll Lahuerta 23 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA 1 1 1 1 1 ( ) ( ) i i i i i i i j j T j j i u u K u r u f y y y f' y
  21. 21. Algoritmo de Otimização Ricardo Doll Lahuerta Critério da Optimalidade (CO) (Bendsøe 1989) Método das Assíntotas Móveis (MAM) (Svanberg 1986) 24 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
  22. 22. Solução adotada para a dependência de malha e instabilidade de tabuleiro: Técnica de Projeção Ricardo Doll Lahuerta Independência do Resultado com a Técnica de Projeção GUEST et al., 2004 26 e e n j i j e n j i j w f w d x x d x x s s min min , 0 e j w i j e j w r r se w r se x x x x IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
  23. 23. Ricardo Doll Lahuerta Independência do Resultado com a Técnica de Projeção 27 Técnica de Projeção Função de ponderação linear, forma um cone na projeção das pseudo-densidades. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA .e e p n j i j e n p j i j w f w d x x d x x s s Função de ponderação não-linear
  24. 24. Função de Relaxação Ricardo Doll Lahuerta 28 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA • Evitar Instabilidade em Elementos de Baixa Densidade (“void elements”) causada pela alteração abrupta das pseudo-densidades pelo otimizador numérico. • Controla a atualização dos valores de pseudo-densidades baseado em um critério de distorção dos elementos. Quanto maior a distorção do elemento menor será a mudança no valor da pseudo-densidade em relação a iteração anterior. 1 (ia i i i i e e e 1
  25. 25. Ricardo Doll Lahuerta 29 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL GEOMÉTRICO Minimizar 1 0 1 0 ( )( ) ( ) Sujeito à : ( ) 0 0 ( ) 1 ( ( )) ( ( )) 0 f C V f V V r u xx x x x x 0 ( ) .e f Cx p u int ( ) ( ) ,e p f u r u 0
  26. 26. Ricardo Doll Lahuerta Cálculo da Sensibilidade 30 1 int 0 0 0 0 0 0 / 0 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e T eT e e e e e e e e e e e T e e e e f C f f u K p f p u r u p u r u u p r u u r u u r u p p K u K Método Adjunto isolar 10 int 0 r e T p T r e V e df p dV d u f B P FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL GEOMÉTRICO
  27. 27. Fluxograma de Operação Ricardo Doll Lahuerta 31 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL GEOMÉTRICO Dados de Entrada Malha e Configurações de Otimização MEF Não-Linear Geométrico Lagrangiano Cálculo da Função Objetivo e Sensibilidades Mapeamento da Função de Projeção Função de Projeção Otimizador OC/MAM Resultado FinalConvergência? Não Sim Função de Relaxação Informações sobre distorção dos elementos
  28. 28. Ricardo Doll Lahuerta 36 - Módulo de Elasticidade (𝐸): 3,00 GPa. - Coeficiente de Poisson: 0,40. - Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 7014 elementos. Minimizar 1 0 1 0 ( ) Sujeito à : ( ) ( ) 0,5 0 0,001 1 e ee e e e e f C V f V p u RESULTADOS Viga Engastada
  29. 29. Ricardo Doll Lahuerta 37 RESULTADOS – KSV - EPD Força Aplicada 6 kN 12 kN 60 kN 96 kN 144 kN 0,038 kJ 0,188 kJ 4,645 kJ 11,780 kJ 25,920 kJ 0,038 kJ 0,150 kJ 3,707 kJ 9,342 kJ 21,888 kJ “End Compliance” “End Compliance”Literatura Buhl et. al Ricardo
  30. 30. Ricardo Doll Lahuerta 12 kN 60 kN 96 kN 144 kN 240 kN 0,188 kJ 4,645 kJ 11,780 kJ 25,920 kJ 66,520 kJ 0,180 kJ 4,422 kJ 11,074 kJ 23,546 kJ 64,385 kJ “End Compliance” “End Compliance” 38 Ricardo RESULTADOS – NH - EPD Força Aplicada Literatura Buhl et. al
  31. 31. Ricardo Doll Lahuerta 40 60 kN Força 144 kN Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures X. Huang e Y. M. Xie RESULTADOS - KSV Topologia
  32. 32. Ricardo Doll Lahuerta 41 RESULTADOS Viga Bi-Engastada - Módulo de Elasticidade (𝐸): 3,00 GPa. - Força em Y: 230 kN. - Coeficiente de Poisson: 0,40. - Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 6700 elementos. 1 0 ( ) ( ) 0,1 0e e V f V
  33. 33. Ricardo Doll Lahuerta 42 RESULTADOS - EPD Linear “End Compliance” Kirchhoff-Saint Venant Neo-Hookiano 7,123 kJ 10,073 kJ 13,607 kJ
  34. 34. CONCLUSÕES Ricardo Doll Lahuerta • MEF NL Geométrico se mostrou muito robusto utilizando não-linearidade exata, convergindo entre 3 à 6 iterações com Método de Newton. • A utilização da NL Geométrica Exata em conjunto com a Função de Relaxação proposta se mostrou essencial para lidar com elementos de baixa densidade sem deletar ou zerar a força interna do elemento. • Os resultados são somente estáveis garantindo resíduo igual à no incremento de força e de deslocamento. • A utilização da lei de material poli-convexa foi essencial para obter resultados com valores de carga maiores sem perder elipsidade, ou seja com a lei de material Neo-Hookiana é possível obter topologia com carregamentos maiores em relação a lei de material KSV. • Os resultados aqui apresentados se mostram melhores em comparação aos resultados da literatura até presente momento. 43 8 10
  35. 35. TRABALHOS FUTUROS Ricardo Doll Lahuerta 44 • Implementar o Método de Otimização Topológica (MOT) NL para elementos 3D contínuo. • Estender o MOT NL implementado para Projetar MEMS de efeito de pós- flambagem. • Incluir no MOT NL o efeito da plasticidade. • Implementação da metodologia desenvolvida para elementos de Cascas 3D. • Implementação do MOT NL para ALE (Lagrangiano Euleriano Arbitrário).
  36. 36. AGRADECIMENTOS Ricardo Doll Lahuerta 45 • Aos Professores Dr. Emílio Carlos N. Silva, Dr. Paulo Pimenta, Dr. Eduardo Campello, Dr. Pablo Muñoz. • Aos amigos Eduardo Simões, Ronny C. Carbonari e a todos do grupo de pós-graduação. • À FUSP pela bolsa de treinamento durante o mestrado. • À Escola Politécnica da USP.

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