1. Projeto de Estruturas Considerando o Efeito
da Não-Linearidade Geométrica Utilizando o
Método de Otimização Topológica
Ricardo Doll Lahuerta
Apresentação para a obtenção
do Título de Mestre em Engenharia
Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva
Orientador
Escola Politécnica
USP/2012
Programa de Engenharia Mecânica
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil
1
Apoio FUSP
2. • INTRODUÇÃO
• OBJETIVO E JUSTIFICATIVA
• REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
• MECÂNICA DO CONTÍNUO
• MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA (MOT)
• IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DO MEF NÃO-LINEAR (NL)
• FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL GEOMÉTRICO
• RESULTADOS
• CONCLUSÕES
• TRABALHOS FUTUROS
• AGRADECIMENTOS
SUMÁRIO
Ricardo Doll Lahuerta 2
3. INTRODUÇÃO
Não-Linearidade no MEF
Ricardo Doll Lahuerta 3
Estampagem de uma chapa
Deformação Plástica (Encruamento)
Colapso de uma viga
Efeito pós-flambagem
(Geométrica)
Contato de um selo
de borracha
Existem inúmeros casos em que uma análise não-linear é indispensável, podendo
ser citadas três fontes principais de não-linearidades no MEF:
• Não-linearidade de Material (Plasticidade).
• Não-linearidade nas Condições de Contorno (contato).
• Não-linearidade Geométrica (Elástica ou Cinemática).
(Wriggers 2006).
4. 4
• Distribui uma quantidade fixa de material no interior de uma região
determinada (Domínio Fixo Estendido).
• Tal que, uma função objetivo seja minimizada e suas respectivas
restrições sejam satisfeitas.
• Combina um Método de Otimização Numérica com o MEF.
F
?
Exemplo de Otimização Topológica
Ricardo Doll Lahuerta
INTRODUÇÃO
Método de Otimização Topológica
6. Revisão Bibliográfica
MOT considerando o efeito Não-Linear Geométrico
Ricardo Doll Lahuerta
T. Buhl, C.B.W. Pedersen and O. Sigmund (2001)
R.Kemmler, A.Lipka, E.Ramm (2005)
6
Zerar a força interna dos elementos com pseudo
densidade menores que 0.01.
Valores de pseudo-densidades menores que 0.01,
é penalizado somente .EK
T E GK K K
7. Revisão Bibliográfica
Ricardo Doll Lahuerta
MOT Não-Linear
Trabalhos relevantes utilizando gradientes.
BRUNS, D., & TORTORELLI, D. (1998). Topology optimization of geometrically nonlinear
structures and compliant mechanisms.
CARDOSO, E. L. (2005). Otimização Topológica de Transdutores Piezelétricos
Considerando a Não-Linearidade Geométrica.
PENZELER, P. & WIRTH, B. (2010). A phase-field model for compliance shape optimization
Non-linear elasticity.
HUANG, X & Xie, Y. M. (2004). Evolutionary Topology Optimization of Continuum
Structurs
7
Trabalho relevantes sem gradientes.
8. JUSTIFICATIVA
Ricardo Doll Lahuerta 8
Obter resultados de Otimização Topológica Não-Linear mais
consistentes baseado nos seguintes pontos:
• Utilizar leis de materiais adequadas ao problema de
elementos de baixa densidade, estabilizando assim de forma
consistente o problema de Otimização Topológico Não-Linear
Geométrico.
• Permitir que elementos de baixa densidade reapareçam
durante o processo iterativo de otimização.
9. OBJETIVOS
Ricardo Doll Lahuerta
• Projetar estruturas mecânicas considerando o feito da não-
linearidade geométrica utilizando o Método de Otimização
Topológica (MOT) .
• Implementar rotinas do MEF não-linear Geométrico para
solução de problemas 2D (EPD e EPT).
• Implementar uma técnica de projeção mais robusta aplicada a
OT não-linear com baixo campo de cinza.
• Trabalhar com elementos de baixa densidade de forma mais
adequada.
9
10. Ricardo Doll Lahuerta
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Considerações deste trabalho
• Formulação Lagrangiana.
• Não-Linearidade Geométrica Exata (NL Elástica Exata).
• Primeiro Tensor das Tensões de Piolla-Kirchhoff.
• Lei de Material Kirchhoff-Saint Venant.
• Lei de Material Neo-Hookiana.
10
11. Ricardo Doll Lahuerta 14
MECÂNICA DO CONTÍNUO
ext int
int
:b u t u P Fr r r
V S
r r r r r
V S V
P P T
P P P
dV dS dV
Teorema
das Potências
{ , }P F
Considerando o Sistema Quase-Estático.
intP Potência Interna.
Derivada Temporal da Energia Cinética.0T
extP Potência Externa.
VP Potência das Forças de Volume.
SP Potência das Forças de Superfície.
(Pimenta, P 2008).
12. Ricardo Doll Lahuerta 15
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Lei de Material.
Kirchhoff-Saint
Venant.
Função da Energia
de Deformação Específica.
21
2
2
I IIE EE
2
tr , trE EE EI II
Invariante do tensor de
Deformação.
2ES E I + E
Relação entre o par conjugado
.,S E
EP F F C I
Relação entre o par conjugado
.,P F
i
ij
j
D
f
Tensor dos Módulos de Rigidez
Elástico Tangente.
(Pimenta, P 2008).
13. Ricardo Doll Lahuerta 16
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Lei de Material.
Neo-Hookiana de Simo-Ciarlet.
Função da Energia
de Deformação Específica.
21 1 1
, 1 ln 3 2ln
2 2 2
J I J J I JC C
2 21
: , : , det
2
C C C CI C C C CI II I III
Invariantes do tensor de
Deformação.
21 1
1
2
J
J
P G F
F
Relação entre o par conjugado
.,P F
i
ij
j
D
f
Tensor dos Módulos de Rigidez
Elástico Tangente.
(Pimenta, P 2008).
14. Ricardo Doll Lahuerta 17
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Lei de Material.
Estiramento unidirecional em .1x
2
2
2
1 1
1 1
1
1
1
KSV
NH
(Wriggers 2006).
15. Domínio Fixo Estendido
De Projeto
Domínio Estendido Fixo
Domínio Desconhecido
Otimização Topológica
(Bendsøe & Kikuchi 1988)
Ricardo Doll Lahuerta
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
18
16. Modelo de Material
Ricardo Doll Lahuerta
0 1
?
• Problema discreto (zero ou um) é mal-posto, não apresenta solução
(dependência da malha).
• Material deve assumir valores de pseudo-densidades intermediárias durante o
processo de otimização utilizando o “modelo de material” (SIMP) o problema é
relaxado.
• O problema discreto deve ser recuperado através de penalizadores no modelo de
material.
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
19
17. Ricardo Doll Lahuerta
Pseudo-Densidade
Modulo de Elasticidade
Efetivo
Modulo de Elasticidade
Nominal
Penalização
Bendsøe & Sigmund (2003)
SIMP (“Solid Isotropic Material With Penalization”)
20
Modelo de Material
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
0( ) ( ) ( ),x x xp
E E
18. Problemas
Escala de Cinza, Dependência de Malha e
Instabilidade de Tabuleiro
Ricardo Doll Lahuerta
Escala de Cinza Instabilidade de Tabuleiro
Dependência de Malha
ALLAIRE (2002); BENDSØE & SIGMUND (2003)
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
21
19. Método dos Elementos Finitos
Ricardo Doll Lahuerta 22
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
1
( , )
k
a a
k
N xx
ext int
ext int
ext int
:r r r
r r r
r r r r r
V S V
r r r r r
V S V
P P
dV dS dV
dV dS dV
N u N u F
u N N u N
u f u f
f f
b t P
b t P
Teorema das Potências
Virtuais.
Processo Quase-Estático.
Relação que rege
o meio continuo do meio
discreto (em elementos).
20. Solução do Sistema Não-Linear
Método de Newton (“Full Newton”)
Ricardo Doll Lahuerta 23
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
1
1 1 1 1
( ) ( )
i i i i i
i i j j T j j
i
u u K u r u
f y
y y
f' y
21. Algoritmo de Otimização
Ricardo Doll Lahuerta
Critério da Optimalidade (CO)
(Bendsøe 1989)
Método das Assíntotas Móveis (MAM)
(Svanberg 1986)
24
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
22. Solução adotada para a dependência de malha e
instabilidade de tabuleiro: Técnica de Projeção
Ricardo Doll Lahuerta
Independência do Resultado com a Técnica de Projeção
GUEST et al., 2004
26
e
e
n j i
j
e n
j i
j
w
f
w
d x x
d
x x
s
s
min
min
,
0
e
j w
i j
e
j w
r r
se
w r
se
x
x x
x
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
23. Ricardo Doll Lahuerta
Independência do Resultado com a Técnica de Projeção
27
Técnica de Projeção
Função de ponderação linear, forma um
cone na projeção das pseudo-densidades.
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
.e
e
p
n j i
j
e n p
j i
j
w
f
w
d x x
d
x x
s
s
Função de ponderação não-linear
24. Função de Relaxação
Ricardo Doll Lahuerta 28
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
• Evitar Instabilidade em Elementos de Baixa Densidade (“void elements”)
causada pela alteração abrupta das pseudo-densidades pelo otimizador
numérico.
• Controla a atualização dos valores de pseudo-densidades baseado em um
critério de distorção dos elementos. Quanto maior a distorção do elemento
menor será a mudança no valor da pseudo-densidade em relação a iteração
anterior.
1
(ia i i i i
e e e
1
25. Ricardo Doll Lahuerta 29
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL
GEOMÉTRICO
Minimizar 1
0
1
0
( )( )
( )
Sujeito à : ( ) 0
0 ( ) 1
( ( ))
( ( )) 0
f C
V
f V
V
r u
xx
x
x
x
x
0
( ) .e
f Cx p u
int
( ) ( ) ,e
p f u r u 0
26. Ricardo Doll Lahuerta
Cálculo da Sensibilidade
30
1
int
0
0
0
0 0
0
/ 0
-
( )
( )
( )
( ) ( )
e
T eT
e e
e
e
e e e e e
e e T
e e e e
f C
f
f
u
K p
f
p u r u
p u r u
u p r u
u r u u r u
p p K
u
K
Método Adjunto
isolar
10
int
0
r
e
T p T r
e V
e
df
p dV
d
u
f B P
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL
GEOMÉTRICO
27. Fluxograma
de Operação
Ricardo Doll Lahuerta 31
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL
GEOMÉTRICO
Dados de Entrada
Malha e Configurações
de Otimização
MEF
Não-Linear Geométrico
Lagrangiano
Cálculo da Função
Objetivo e
Sensibilidades
Mapeamento da
Função de Projeção
Função de Projeção
Otimizador
OC/MAM
Resultado FinalConvergência?
Não Sim
Função de Relaxação
Informações
sobre distorção
dos elementos
28. Ricardo Doll Lahuerta 36
- Módulo de Elasticidade (𝐸): 3,00 GPa.
- Coeficiente de Poisson: 0,40.
- Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 7014 elementos.
Minimizar 1
0
1
0
( )
Sujeito à : ( )
( ) 0,5 0
0,001 1
e
ee
e
e
e
e
f C
V
f
V
p u
RESULTADOS
Viga Engastada
31. Ricardo Doll Lahuerta 40
60 kN
Força
144 kN
Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures
X. Huang e Y. M. Xie
RESULTADOS - KSV
Topologia
32. Ricardo Doll Lahuerta 41
RESULTADOS
Viga Bi-Engastada
- Módulo de Elasticidade (𝐸): 3,00 GPa.
- Força em Y: 230 kN.
- Coeficiente de Poisson: 0,40.
- Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 6700 elementos.
1
0
( )
( ) 0,1 0e
e
V
f
V
34. CONCLUSÕES
Ricardo Doll Lahuerta
• MEF NL Geométrico se mostrou muito robusto utilizando não-linearidade
exata, convergindo entre 3 à 6 iterações com Método de Newton.
• A utilização da NL Geométrica Exata em conjunto com a Função de
Relaxação proposta se mostrou essencial para lidar com elementos de baixa
densidade sem deletar ou zerar a força interna do elemento.
• Os resultados são somente estáveis garantindo resíduo igual à no
incremento de força e de deslocamento.
• A utilização da lei de material poli-convexa foi essencial para obter
resultados com valores de carga maiores sem perder elipsidade, ou seja com
a lei de material Neo-Hookiana é possível obter topologia com carregamentos
maiores em relação a lei de material KSV.
• Os resultados aqui apresentados se mostram melhores em comparação aos
resultados da literatura até presente momento.
43
8
10
35. TRABALHOS FUTUROS
Ricardo Doll Lahuerta 44
• Implementar o Método de Otimização Topológica (MOT) NL para elementos
3D contínuo.
• Estender o MOT NL implementado para Projetar MEMS de efeito de pós-
flambagem.
• Incluir no MOT NL o efeito da plasticidade.
• Implementação da metodologia desenvolvida para elementos de Cascas 3D.
• Implementação do MOT NL para ALE (Lagrangiano Euleriano Arbitrário).
36. AGRADECIMENTOS
Ricardo Doll Lahuerta 45
• Aos Professores Dr. Emílio Carlos N. Silva, Dr. Paulo Pimenta,
Dr. Eduardo Campello, Dr. Pablo Muñoz.
• Aos amigos Eduardo Simões, Ronny C. Carbonari e a todos do grupo de
pós-graduação.
• À FUSP pela bolsa de treinamento durante o mestrado.
• À Escola Politécnica da USP.