Um Curso de C´alculo e Equa¸c˜oes
Diferenciais com Aplica¸c˜oes1
Lu´ıs Gustavo Doninelli Mendes 23
1
Continuarei acrescent...
´Indice
Parte 1. C´alculo Diferencial e Integral e primeiras Aplica¸c˜oes 13
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 15
1. O que ´e o C´...
4 ´INDICE
4. Quando a parte ´e do mesmo tamanho do todo 66
5. Exerc´ıcios 68
Cap´ıtulo 6. A no¸c˜ao de Continuidade 71
1. ...
´INDICE 5
Cap´ıtulo 11. Aplica¸c˜oes da primeira e segunda derivadas 139
1. Primeiro crit´erio de m´aximos e m´ınimos 139
...
6 ´INDICE
3. Derivada da “fun¸c˜ao”x
1
n , de x
m
n e de x
−m
n 223
4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225
5. Deriv...
´INDICE 7
9. A regra de L’Hˆopital 315
10. A fun¸c˜ao xx
319
11. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 321
12. Um...
8 ´INDICE
2. As primeiras Transformadas de Laplace, a fun¸c˜ao Gama e o fatorial 392
3. F´ormula de Euler para o fatorial ...
´INDICE 9
Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinˆomios de grau 4 463
1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463
2...
10 ´INDICE
16. Exerc´ıcios 558
Cap´ıtulo 37. Curvas de Persegui¸c˜ao 559
1. O problema 559
2. As elipses is´ocronas, segun...
´INDICE 11
Cap´ıtulo 41. Equa¸c˜oes com pontos n˜ao-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643
1. Solu¸c˜ao expl´ıcita da Ai...
12 ´INDICE
Cap´ıtulo 48. O operador de Laplace e as equa¸c˜oes do calor e da onda 725
1. Laplaciano em coordenadas polares...
Parte 1
C´alculo Diferencial e Integral e primeiras
Aplica¸c˜oes
CAP´ıTULO 1
Introdu¸c˜ao
1. O que ´e o C´alculo
O C´alculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o C´alculo, ´e a matem´...
4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16
2. Sobre o Curso
Um alerta: este curso trata de matem´atica superior. Em v´arias universidades...
CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 17
Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirma¸c˜oes,
sem ler ...
6. PROGRAMAS ´UTEIS 18
As referˆencias usadas no Apˆendice sobre a Lei de Kleiber, Cap´ıtulo 34, est˜ao dadas
l´a.
Na Part...
CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 19
qu´ımica. E tamb´em pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus,
with il...
CAP´ıTULO 2
Alguns dos objetivos do C´alculo
A descri¸c˜ao matem´atica dos fenˆomenos se faz principalmente a partir da no...
1. FUNC¸ ˜OES E SEUS DOM´INIOS 22
curva no plano.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Figura: O gr´afico de y = T(x) forma uma cu...
CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 23
2. Fun¸c˜ao
Uma fun¸c˜ao ´e uma regra que associa a cada ponto1
de um co...
4. DIFERENTES DOM´INIOS DE FUNC¸ ˜OES 24
3.2. Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Dentre os modos mais ´uteis de se produzir um
fun...
CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 25
Mas ´e claro que em certas situa¸c˜oes os dom´ınios tamb´em podem ser a ...
7. FUNC¸ ˜AO CRESCENTE OU DECRESCENTE 26
Mais adiante, no Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 6.1 explicaremos em termos do C´alculo
...
CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 27
Figura: Exemplo de gr´afico de y = f(x) crescente.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
32...
8. M ´AXIMOS E M´INIMOS 28
Saber que uma fun¸c˜ao ´e crescente pode ser um fato extremamente relevante do
ponto de vista c...
CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 29
Figura: Fun¸c˜ao com um m´ınimo global, um m´aximo local e um m´ınimo lo...
9. EXERC´ICIOS 30
Exerc´ıcio 9.5. Fa¸ca as composi¸c˜oes f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f, onde:
i) f = 1
x3 , g = sin(x) h = x + 5
i...
CAP´ıTULO 3
Propriedade b´asicas dos n´umeros Reais
As fun¸c˜oes definidas nos Reais e tomando valores Reais s˜ao important...
2. ORDEM NOS REAIS: N ˜AO TIRAR ´AS A RA´IZ QUADRADA DE N ´UMEROS
NEGATIVOS ! 32
⇔ x − x = 1 · x − 1 · x ⇔ x − x = x − 1 ·...
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 33
S´o resta provar que
−1 · (−1) = 1,
ou seja, nos reduzimos a pro...
3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34
Demonstrac¸˜ao.
i) Dados x, y, z, w ∈ R com
x ≥ y e z ≥ w,
podemos traduzir is...
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 35
Se 1
x
> 1 ent˜ao multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0,...
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36
y = x em vermelho, y = x2
em verde, y = x3
em amarelo
e y = x4
em azul, para x ∈ [0, 1....
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 37
Pela defini¸c˜ao de m´odulo, |x − x| < ǫ significa que
x − x < ǫ, ...
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38
4.1. O que ´e ´util num intervalo aberto.
Os intervalos abertos s˜ao importante no C´al...
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 39
4.2. O que ´e ´util num intervalo fechado.
Num intervalo aberto ...
5. METAMORFOSES DE C ´UBICAS 40
y
0,5
1
x
10 0,5
-0,5
-1
0
-1
-0,5
Bom, mas tratar de c´ırculos ´e covardia, pois temos su...
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 41
Uma Figura compat´ıvel8
com essa descri¸c˜ao ´e:
y
2
-2
3
1
-1
0...
5. METAMORFOSES DE C ´UBICAS 42
Uma Figura compat´ıvel com essa descri¸c˜ao ´e (r = −1).
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5...
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 43
Figura: A curva y2
− x3
− x = 0.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
21,510,50
...
5. METAMORFOSES DE C ´UBICAS 44
5.1. Suaviza¸c˜ao do caso r = 0.
H´a uma pergunta natural: o que acontece na curva y2
− x3...
CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 45
• dado x > 0, o tra¸co da curva y2
= x3
+ s que tem y > 0 fica se...
6. EXERC´ICIOS 46
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2
− x3
= 0, y2
− x3
+ 8 = 0, y2
− x3
+ 1 = 0 e y2
− x3
+ 0.5 = ...
CAP´ıTULO 4
Sequˆencias e seus limites
1. Sequˆencias
Neste Curso ser´a importante a situa¸c˜ao em que o dom´ınio de uma f...
2. LIMITES DE SEQUˆENCIAS 48
a partir de um certo n, ou seja se n ≥ nǫ (onde uso a nota¸c˜ao nǫ para destacar que
esse n d...
CAP´ITULO 4. SEQUˆENCIAS E SEUS LIMITES 49
Imagine uma m´aquina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x d...
3. DEFINIC¸ ˜AO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50
2) A sequˆencia diferen¸ca (xn − zn)n tem
lim
n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.
3) ...
CAP´ITULO 4. SEQUˆENCIAS E SEUS LIMITES 51
Ent˜ao obtemos de acima:
|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1| + |yn − L2| <
ǫ
2
+
...
3. DEFINIC¸ ˜AO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52
E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
...
CAP´ITULO 4. SEQUˆENCIAS E SEUS LIMITES 53
o que d´a
|
1
zn
−
1
L2
| <
2
|L2|2
·
ǫ · L2
2
2
= ǫ.
Sobre 7): de fato, ap´os ...
4. EXERC´ICIOS 54
Exerc´ıcio 4.3.
Explique se existem ou n˜ao os limites das seguintes sequˆencias:
i) xn := 5 n,
ii) xn :...
CAP´ITULO 4. SEQUˆENCIAS E SEUS LIMITES 55
J´a a sequˆencia xn = 1 − 1
n
fica tamb´em dentro do intervalo [0, 1] mas ´e cre...
CAP´ıTULO 5
Limites de fun¸c˜oes definidas em intervalos
Neste Curso usaremos a no¸c˜ao de continuidade fortemente quando c...
1. OPERAC¸ ˜OES ELEMENTARES COM LIMITES DE FUNC¸ ˜OES 58
1. Opera¸c˜oes elementares com limites de fun¸c˜oes
A no¸c˜ao de ...
CAP´ITULO 5. LIMITES DE FUNC¸ ˜OES DEFINIDAS EM INTERVALOS 59
Ora, pelo item 1) do Teorema 3.1, aplicado `as sequˆencias f...
2. A DEFINIC¸ ˜AO USUAL COM ǫ E δ 60
J´a que vale para todo δ > tomo-os da forma δ(n) := 1
n
. Ent˜ao concluo que os
xδ(n)...
CAP´ITULO 5. LIMITES DE FUNC¸ ˜OES DEFINIDAS EM INTERVALOS 61
1)- f(x) = ax + b, polinˆomio de grau ≤ 1, tem limx→x f(x) =...
3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 62
Defini¸c˜ao 3.2. Dizemos que
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R
se ∀(xn)n contida no dom´ınio d...
CAP´ITULO 5. LIMITES DE FUNC¸ ˜OES DEFINIDAS EM INTERVALOS 63
5) A fun¸c˜ao produto (f · g)(x) tem
lim
x→+∞
(f · g)(x) = L...
3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 64
6)
lim
x→+∞
C1 x
C2 x + C3
=
C1
C2
,
onde C1, C2, C3 s˜ao constantes n˜ao nulas. ...
CAP´ITULO 5. LIMITES DE FUNC¸ ˜OES DEFINIDAS EM INTERVALOS 65
De fato,
lim
x→+∞
xm
· (am + am−1
x
+ . . . + a0
xm )
xm · x...
Cálculo e equações em Química - Apostila + exercícios com gabarito.
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  1. 1. Um Curso de C´alculo e Equa¸c˜oes Diferenciais com Aplica¸c˜oes1 Lu´ıs Gustavo Doninelli Mendes 23 1 Continuarei acrescentando material, al´em de corrigir poss´ıveis erros ou imperfei¸c˜oes. Por isso sugiro que o improv´avel leitor n˜ao imprima o texto. Quando for estud´a-lo dˆe uma olhada no meu site se j´a h´a uma vers˜ao mais atualizada. Sugest˜oes ou corre¸c˜oes, por favor as envie para mendes.lg@gmail.com 2 Professor Adjunto do Departamento de Matem´atica da UFRGS 3 ´Ultima atualiza¸c˜ao: 09/05/2012
  2. 2. ´Indice Parte 1. C´alculo Diferencial e Integral e primeiras Aplica¸c˜oes 13 Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 15 1. O que ´e o C´alculo 15 2. Sobre o Curso 16 3. Sobre os Gr´aficos e Figuras 16 4. Alerta aos estudantes 16 5. Livros-texto e Referˆencias 17 6. Programas ´uteis 18 Cap´ıtulo 2. Alguns dos objetivos do C´alculo 21 1. Fun¸c˜oes e seus dom´ınios 21 2. Fun¸c˜ao 23 3. Fun¸c˜oes definidas a partir de outras fun¸c˜oes 23 4. Diferentes dom´ınios de fun¸c˜oes 24 5. Gr´afico descont´ınuo, mas que mesmo assim ´e gr´afico 25 6. Fun¸c˜ao positiva, negativa e zeros ou ra´ızes 25 7. Fun¸c˜ao crescente ou decrescente 26 8. M´aximos e m´ınimos 28 9. Exerc´ıcios 29 Cap´ıtulo 3. Propriedade b´asicas dos n´umeros Reais 31 1. Os Reais como sistema de n´umeros: n˜ao dividir´as por zero ! 31 2. Ordem nos Reais: n˜ao tirar´as a ra´ız quadrada de n´umeros negativos ! 32 3. Propriedades gerais das desigualdades 33 4. Intervalos e suas utilidades 36 5. Metamorfoses de c´ubicas 39 6. Exerc´ıcios 46 Cap´ıtulo 4. Sequˆencias e seus limites 47 1. Sequˆencias 47 2. Limites de sequˆencias 48 3. Defini¸c˜ao e Propriedades fundamentais 49 4. Exerc´ıcios 53 Cap´ıtulo 5. Limites de fun¸c˜oes definidas em intervalos 57 1. Opera¸c˜oes elementares com limites de fun¸c˜oes 58 2. A defini¸c˜ao usual com ǫ e δ 59 3. Limites quando x tende ao infinito 61 3
  3. 3. 4 ´INDICE 4. Quando a parte ´e do mesmo tamanho do todo 66 5. Exerc´ıcios 68 Cap´ıtulo 6. A no¸c˜ao de Continuidade 71 1. Opera¸c˜oes com fun¸c˜oes cont´ınuas 72 2. Polinˆomios, fun¸c˜oes racionais e trigonom´etricas 74 3. Continuidade da fun¸c˜ao inversa 78 4. Dois teoremas fundamentais sobre fun¸c˜oes cont´ınuas 79 5. Primeiras aplica¸c˜oes do T.V.I 79 6. Ra´ızes de polinˆomios cujo grau ´e ´ımpar 79 7. Ra´ızes simples e fatora¸c˜ao de polinˆomios 81 8. Poss´ıveis ra´ızes Racionais de polinˆomios a coeficientes inteiros 83 9. Exerc´ıcios 84 Cap´ıtulo 7. Geometria Anal´ıtica Plana 87 1. Equa¸c˜oes de retas, coeficientes angular e linear 87 2. Ortogonalidade 89 3. Teorema de Tales no c´ırculo 90 4. A equa¸c˜ao da reta de Euler 91 5. A inversa como reflex˜ao de gr´afico na diagonal 99 6. O m´etodo de Descartes para as tangentes a um gr´afico 100 7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 104 8. Exerc´ıcios 104 Cap´ıtulo 8. A Tangente ao gr´afico, segundo o C´alculo 107 1. Retas secantes a um gr´afico 107 2. A reta tangente a um gr´afico 107 3. A reta tangente ao seno em (0, 0) ´e a diagonal 109 4. Interpreta¸c˜ao F´ısica da reta tangente 113 5. Exerc´ıcios 113 Cap´ıtulo 9. A derivada 115 1. Defini¸c˜ao, primeiras propriedades e exemplos simples 115 2. Um ´Arbitro que s´o avalia as inclina¸c˜oes 117 3. Derivadas da soma e da diferen¸ca 119 4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993 120 5. A segunda derivada 123 6. Exerc´ıcios 124 Cap´ıtulo 10. Sinal da derivada e crescimento 127 1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 127 2. O Teorema 0 das Equa¸c˜oes Diferenciais 131 3. Crit´erios de crescimento e de decrescimento 133 4. Uma confus˜ao frequente sobre o significado do sinal da derivada 134 5. Descontinuidade da fun¸c˜ao derivada 135 6. Exerc´ıcios 136
  4. 4. ´INDICE 5 Cap´ıtulo 11. Aplica¸c˜oes da primeira e segunda derivadas 139 1. Primeiro crit´erio de m´aximos e m´ınimos 139 2. Crit´erio da segunda derivada 139 3. Um problema t´ıpico para os engenheiros 140 4. M´ınimos de distˆancias e ortogonalidade 142 5. Concavidades dos gr´aficos 146 6. M´ınimos quadrados e a m´edia aritm´etica 149 7. Pontos de inflex˜oes dos gr´aficos 151 8. Crit´erio da derivada de ordem n 152 9. Confec¸c˜ao de gr´aficos de polinˆomios 154 10. Exerc´ıcios 155 Cap´ıtulo 12. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 161 1. O cosseno como derivada do seno 161 2. Leis de Hooke com e sem atrito 163 3. Exerc´ıcios 166 Cap´ıtulo 13. Derivada do produto, indu¸c˜ao e a derivada de xn , n ∈ Z. 167 1. Princ´ıpio de indu¸c˜ao matem´atica 167 2. Derivada do Produto 169 3. Derivadas de x−n , ∀n ∈ N 170 4. Ra´ızes m´ultiplas e fatora¸c˜ao de polinˆomios 171 5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinˆomio 173 6. Exerc´ıcios 177 Cap´ıtulo 14. Derivada da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes 179 1. Regra da composta ou da cadeia 179 2. A derivada do quociente 183 3. Uma fun¸c˜ao que tende a zero oscilando 185 4. Confec¸c˜ao de gr´aficos de fun¸c˜oes racionais 186 5. Involu¸c˜oes fracionais lineares 189 6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938 190 7. Uma fun¸c˜ao com derivada, mas sem a segunda derivada 192 8. M´aximos e m´ınimos: o problema do freteiro 193 9. Exerc´ıcios 205 Cap´ıtulo 15. Derivadas de fun¸c˜oes Impl´ıcitas 207 1. Curvas versus gr´aficos 207 2. Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita 209 3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie 212 4. Tangentes, pontos racionais de c´ubicas e c´odigos secretos 213 5. Deriva¸c˜ao impl´ıcita de segunda ordem 218 6. Exerc´ıcios 220 Cap´ıtulo 16. Fun¸c˜oes inversas e suas derivadas 221 1. Derivada de y = √ x 222 2. Distˆancia versus quadrado da distˆancia 223
  5. 5. 6 ´INDICE 3. Derivada da “fun¸c˜ao”x 1 n , de x m n e de x −m n 223 4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225 5. Derivada do arcotangente 228 6. Exerc´ıcios 231 Cap´ıtulo 17. Taxas relacionadas 235 1. Como varia um ˆangulo 235 2. Como varia uma distˆancia 236 3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores 238 4. Exerc´ıcios 241 Cap´ıtulo 18. O M´etodo de aproxima¸c˜ao de Newton 243 Cap´ıtulo 19. O Princ´ıpio de Fermat e a refra¸c˜ao da luz 247 1. Princ´ıpio de Fermat 247 2. Refra¸c˜ao, distˆancias ponderadas e Lei de Snell 249 3. Exerc´ıcios 253 Cap´ıtulo 20. As Cˆonicas e suas propriedades refletivas 255 1. Distˆancia at´e uma par´abola 255 2. Defini¸c˜ao unificada das cˆonicas 257 3. A Par´abola e sua propriedade refletiva 265 4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco 269 5. A Elipse e sua propriedade refletiva 271 6. A Hip´erbole e o an´alogo da propriedade refletiva 275 7. Fam´ılia de cˆonicas co-focais ortogonais 281 8. Exerc´ıcios 284 Cap´ıtulo 21. Integra¸c˜ao e o Primeiro Teorema Fundamental 285 1. ´Area sob um gr´afico positivo 285 2. Qual fun¸c˜ao descreve as ´Areas sob gr´aficos? 286 3. Primeira Vers˜ao do Primeiro Teorema fundamental do C´alculo 289 4. A Integral e suas propriedades 291 5. Teorema do valor m´edio de integrais 294 6. A integral indefinida e o Primeiro Teorema fundamental 295 7. Existem fun¸c˜oes com primeira derivada, mas sem segunda derivada 297 8. Exerc´ıcios 298 Cap´ıtulo 22. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 301 1. Existe uma fun¸c˜ao f ≡ 0 que seja imune `a deriva¸c˜ao ? 301 2. Propriedades fundamentais do logaritmo e da exponencial 304 3. loga x , ∀a > 0 e ln | x | 306 4. As fun¸c˜oes ex e ax , para a > 0 308 5. xa e sua derivada, a ∈ R. 309 6. Crescimento lento do logaritmo e r´apido da exponencial 310 7. Uma observa¸c˜ao sobre o termo geral de uma s´erie infinita 313 8. Um problema da Putnam Competiton, n. 11, 1951 314
  6. 6. ´INDICE 7 9. A regra de L’Hˆopital 315 10. A fun¸c˜ao xx 319 11. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 321 12. Um modo de aproximar e por n´umeros Racionais 322 13. Fun¸c˜oes f(x)g(x) em geral e suas indetermina¸c˜oes 323 14. Derivada logar´ıtmica 324 15. Uma fun¸c˜ao extremamente achatada 326 16. Exerc´ıcios 329 Cap´ıtulo 23. Segundo Teorema Fundamental e ´Areas 335 1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre ´area 335 2. Segundo Teorema Fundamental do C´alculo 336 3. Regi˜oes entre dois gr´aficos 337 4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340 5. Integral e centro de gravidade 343 6. Arquimedes e a par´abola: prova versus heur´ıstica 345 7. Exerc´ıcios 348 Cap´ıtulo 24. Integra¸c˜ao por partes 353 1. Exerc´ıcios 356 Cap´ıtulo 25. Integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao 359 1. A substitui¸c˜ao trigonom´etrica x = sin(θ) 362 2. ´Areas do C´ırculo e Elipse 363 3. √ r2 − x2 dx 365 4. Mais exemplos da substitui¸c˜ao x = sin(θ) 365 5. Substitui¸c˜ao trigonom´etrica x = tan(θ) 367 6. Mais exemplos da substitui¸c˜ao x = tan(θ) 367 7. √ r2 + x2 dx 369 8. Substitui¸c˜ao trigonom´etrica x = sec(θ) 369 9. Mais exemplos para a substitui¸c˜ao x = sec(θ). 370 10. √ x2 − r2 dx 371 11. E as da forma 1√ Ax3+Bx2+Cx+D dx ? 371 12. Exerc´ıcios 371 Cap´ıtulo 26. Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 373 1. (ax2 + bx + c)−1 dx 373 2. αx+β ax2+bx+c dx 375 3. 1 Ax3+Bx2+Cx+D dx 377 4. Fra¸c˜oes parciais em geral 380 5. 1 (1+x2)n dx, n ≥ 2 383 6. Exemplos 384 7. Exerc´ıcios 387 Cap´ıtulo 27. Integrais impr´oprias 389 1. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 391
  7. 7. 8 ´INDICE 2. As primeiras Transformadas de Laplace, a fun¸c˜ao Gama e o fatorial 392 3. F´ormula de Euler para o fatorial 396 4. Exerc´ıcios 396 Cap´ıtulo 28. A curvatura dos gr´aficos 397 1. O comprimento de um gr´afico 397 2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399 3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399 4. Integrais que ningu´em pode integrar 401 5. Velocidade de um gr´afico ou de uma curva 402 6. Defini¸c˜ao de curvatura e sua f´ormula 403 7. Qual a curvatura de uma quina ? 405 Cap´ıtulo 29. S´eries convergentes 409 1. S´eries k-harmˆonicas, k > 1. 409 2. A s´erie geom´etrica 411 3. O teste da raz˜ao (quociente) 412 4. Um argumento geom´etrico para a s´erie geom´etrica 414 Cap´ıtulo 30. Aproxima¸c˜ao de N´umeros e Fun¸c˜oes importantes 415 1. Aproxima¸c˜oes de ra´ızes quadradas por n´umeros racionais 415 2. Ra´ızes quadradas que s˜ao irracionais 415 3. Como tirar ra´ız quadrada s´o com +, −, ×, / 416 4. Os Reais atrav´es de sequˆencias de n´umeros Racionais 418 5. Aproxima¸c˜oes de e por n´umeros Racionais 419 6. Arcotangente e cartografia 421 7. A aproxima¸c˜ao de π dada por Leibniz 423 8. Aproxima¸c˜oes de logaritmos 425 9. Aproxima¸c˜ao de logaritmos de n´umeros quaisquer 426 10. Aproxima¸c˜ao de ln(2) 428 11. Exerc´ıcios 428 Cap´ıtulo 31. S´eries num´ericas e de fun¸c˜oes 429 1. S´eries num´ericas 429 2. S´eries de potˆencias 431 3. S´eries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434 4. A s´erie binomial e sua s´erie de Taylor 439 5. Um devaneio sobre os n´umeros Complexos 442 6. Exerc´ıcios 443 Cap´ıtulo 32. O discriminante de polinˆomios de grau 3 445 1. Prepara¸c˜ao para a f´ormula de Cardano 445 2. A f´ormula de Cardano para as trˆes ra´ızes Reais: viagem nos Complexos 449 3. O discriminante como curva 452 4. A curva discriminante entre as c´ubicas singulares 454 5. Parametriza¸c˜ao dos pontos racionais de c´ubicas singulares 458 6. C´ubicas singulares aparecem como se¸c˜oes com o plano tangente 459
  8. 8. ´INDICE 9 Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinˆomios de grau 4 463 1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463 2. Discriminante como envelope de fam´ılias de retas ou planos 465 Cap´ıtulo 34. Apˆendice: O expoente 3 4 comanda a vida ! 467 1. Metabolismo versus massa corporal 467 2. Escalas log/log para um experimento 468 3. Reta de ajuste - m´etodo de m´ınimos quadrados 468 4. A Lei experimental de Kleiber 470 5. Justifica¸c˜ao racional da Lei de Kleiber 471 6. O argumento 472 Parte 2. Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e Aplica¸c˜oes 479 Cap´ıtulo 35. As primeiras equa¸c˜oes diferenciais 481 1. A exponencial e as equa¸c˜oes diferenciais 481 2. A defini¸c˜ao original de Napier para o logaritmo 482 3. Decaimento radioativo e data¸c˜ao 484 4. Equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes 486 5. Objetos em queda-livre vertical 489 6. Queda ao longo de um gr´afico 493 7. A curva que minimiza o tempo 496 8. Bal´ıstica e o Super M´ario 500 9. Equa¸c˜oes diferenciais lineares em geral 504 10. Um problema da Putnam Competition, n.14, 1954 504 11. Solu¸c˜oes das equa¸c˜oes lineares gerais 506 12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510 13. As equa¸c˜oes de Bernoulli e sua redu¸c˜ao a equa¸c˜oes lineares 511 14. Exerc´ıcios 512 Cap´ıtulo 36. Aspectos gerais das equa¸c˜oes de primeira ordem 515 1. Equa¸c˜oes diferenciais e metamorfoses de curvas 515 2. Equa¸c˜oes diferenciais em forma normal e as curvas Is´oclinas 517 3. Existˆencia e unicidade para y′ (x) = F(x, y) - M´etodo de Picard 520 4. Equa¸c˜oes separ´aveis 525 5. A clepsidra 527 6. Equa¸c˜oes homogˆeneas 528 7. Equa¸c˜oes exatas 530 8. Integral ao longo de um caminho 534 9. Derivada da integral em rela¸c˜ao ao parˆametro - F´ormulas de Leibniz 536 10. Fatores integrantes 539 11. Equa¸c˜oes impl´ıcitas, discriminantes e envelopes 542 12. Um problema da Putnam Competition, n. 5, 1942 548 13. Equa¸c˜oes de Clairaut e de Lagrange: is´oclinas retas 550 14. Transforma¸c˜ao de Legendre, dualidade e resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais553 15. Apˆendice: Fun¸c˜oes cont´ınuas de duas vari´aveis e continuidade uniforme 556
  9. 9. 10 ´INDICE 16. Exerc´ıcios 558 Cap´ıtulo 37. Curvas de Persegui¸c˜ao 559 1. O problema 559 2. As elipses is´ocronas, segundo A. Lotka 566 3. Um envelope que ´e uma curva de persegui¸c˜ao 568 4. Exerc´ıcios 570 Cap´ıtulo 38. Cin´etica qu´ımica e crescimento bacteriano 571 1. Cin´etica qu´ımica 571 2. Equa¸c˜ao diferencial de uma rea¸c˜ao de primeira ordem 573 3. Equa¸c˜ao diferencial de uma rea¸c˜ao de segunda ordem 574 4. Crescimento bacteriano 576 5. Ponto de inflex˜ao da fun¸c˜ao log´ıstica 580 6. Equa¸c˜ao de Bernoulli e rea¸c˜oes qu´ımicas de ordem fracion´aria 581 Cap´ıtulo 39. Newton e a gravita¸c˜ao 583 1. Atra¸c˜ao segundo o inverso do quadrado da distˆancia 583 2. Tempo de colis˜ao e velocidade de escape 584 3. N´ıveis de energia 587 4. ´Orbitas planet´arias 589 5. Velocidade e acelera¸c˜ao expressas em coordenadas polares 589 6. Grandezas constantes ao longo das trajet´orias 592 7. As ´orbitas como cˆonicas em coordenadas polares 597 8. Oscilador harmˆonico 599 9. ´Area em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as ´areas 601 10. Em torno da proposi¸c˜ao XXX do Principia 602 11. A Equa¸c˜ao de Kepler para o movimento planet´ario el´ıptico 606 Cap´ıtulo 40. Equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem 609 1. Redu¸c˜ao de ordem 609 2. Homogˆeneas, a coeficientes constantes 610 3. N˜ao-Homogˆeneas, lineares de segunda ordem 614 4. N˜ao homogˆenas: M´etodo de Lagrange de varia¸c˜ao de parˆametros 616 5. Um problema da Putnam Competition, n.58, 1987 617 6. Equa¸c˜ao diferencial de um circuito el´etrico simples 619 7. N˜ao-homogˆeneas: M´etodo de coeficientes a determinar 620 8. Sistemas de equa¸c˜oes diferenciais 624 9. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 626 10. Homogˆeneas, n˜ao-singulares, coeficientes vari´aveis: redu¸c˜ao a constantes 627 11. Homogˆeneas, n˜ao-singulares, coeficientes vari´aveis: M´etodo de D’Alembert629 12. Existˆencia de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes homogˆeneas e n˜ao-singulares 630 13. Propriedades das solu¸c˜oes de equa¸c˜oes lineares de segunda ordem 632 14. Um problema da Putnam Competition, n. 15, 1955 635 15. O Teorema de Compara¸c˜ao de Sturm 638 16. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 639 17. Exerc´ıcios 641
  10. 10. ´INDICE 11 Cap´ıtulo 41. Equa¸c˜oes com pontos n˜ao-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643 1. Solu¸c˜ao expl´ıcita da Airy 643 2. Solu¸c˜ao expl´ıcita da Hermite 645 3. Solu¸c˜ao expl´ıcita da Legendre em torno de x = 0 647 4. Polinˆomios de Legendre e expans˜ao em s´erie do potencial gravitacional 649 5. Ortogonalidade dos polinˆomios de Legendre 650 Cap´ıtulo 42. Equa¸c˜ao com ponto singular: Hipergeom´etrica de Gauss 653 1. Integral el´ıptica como s´erie hipergeom´etrica 656 Cap´ıtulo 43. Equa¸c˜ao com ponto singular: a Equa¸c˜ao de Bessel 659 1. A defini¸c˜ao original de Bessel 659 2. Zeros de fun¸c˜oes de Bessel 661 3. Ortogonalidade das fun¸c˜oes de Bessel 664 Cap´ıtulo 44. Equa¸c˜oes com pontos singulares do tipo regular 667 1. A Equa¸c˜ao de Euler e sua redu¸c˜ao a coeficientes constantes 667 2. Solu¸c˜ao direta da equa¸c˜ao de Euler 670 3. Defini¸c˜oes gerais e exemplos de pontos singulares regulares 672 4. In´ıcio do M´etodo de Frobenius 673 5. Solu¸c˜oes expl´ıcitas de algumas equa¸c˜oes Bessel 676 6. A Equa¸c˜ao de Bessel com ν = 1 3 e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Airy 679 7. Equa¸c˜ao hipergeom´etrica com c ∈ Z 680 Cap´ıtulo 45. Equa¸c˜oes de Riccati 681 1. Solu¸c˜oes de Riccati segundo Daniel Bernoulli 682 2. Ass´ıntotas verticais de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes de Riccati 687 3. Solu¸c˜oes das Riccati segundo Euler 688 4. A Equa¸c˜ao de Bessel com ν = 1 4 e a solu¸c˜ao da Riccati y′ = x2 + y2 691 5. Exerc´ıcios 691 Parte 3. S´eries de Fourier e Equa¸c˜oes diferenciais parciais 693 Cap´ıtulo 46. S´eries de Fourier 695 1. S´eries de Fourier e seus coeficientes 696 2. S´eries de Fourier s´o de senos ou s´o de cossenos 699 3. Convergˆencia pontual da S´erie de Fourier 699 4. S´eries de Fourier de cos(r · sin(x)) e de sin(r · sin(x)), r ∈ R 706 5. Convergˆencia absoluta da S´erie de Fourier 707 6. A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Kepler via s´erie de Fourier e fun¸c˜oes de Bessel 710 7. Exerc´ıcios 713 Cap´ıtulo 47. Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais 715 1. Observa¸c˜oes gerais, tipos, separa¸c˜ao de vari´aveis, solu¸c˜oes cl´assicas 715 2. Equa¸c˜oes parciais de primeira ordem e o m´etodo das caracter´ısticas 717 3. A Equa¸c˜ao da difus˜ao do Calor 717 4. Problemas de esfriamento unidimensionais 720
  11. 11. 12 ´INDICE Cap´ıtulo 48. O operador de Laplace e as equa¸c˜oes do calor e da onda 725 1. Laplaciano em coordenadas polares e esf´ericas 725 2. Estado estacion´ario do calor num disco e expans˜ao em s´eries de Fourier 727 3. A f´ormula integral de Poisson 729 4. Estado estacion´ario do calor na esfera e s´erie de polinˆomios de Legendre 731 5. Exerc´ıcios 736 Cap´ıtulo 49. Equa¸c˜ao da onda e as vibra¸c˜oes de cordas e membranas 737 1. Vibra¸c˜ao de uma corda com extremos fixos, sem atrito 737 2. Vibra¸c˜ao de uma corda infinita: F´ormula de D’Alembert 739 3. Modos normais de vibra¸c˜ao de um tambor circular e as fun¸c˜oes de Bessel 741 Parte 4. C´alculo diferencial e integral sobre os n´umeros Complexos 747 Cap´ıtulo 50. Um portal para o C´alculo Complexo 749 1. O Teorema de Green e as Rela¸c˜oes de Cauchy-Riemann 759 2. A integral complexa e a id´eia da primitiva Complexa 761 3. Curvas integrais como parte imagin´aria das primitivas Complexas 764 4. A exponencial Complexa e os ramos do logaritmo Complexo 766 5. O Teorema fundamental do C´alculo sobre os Complexos 768 6. Exerc´ıcios 769 Cap´ıtulo 51. Os Teoremas Fundamentais 771 1. A primitiva Complexa 771 Cap´ıtulo 52. Solu¸c˜oes detalhadas de alguns Exerc´ıcios 773
  12. 12. Parte 1 C´alculo Diferencial e Integral e primeiras Aplica¸c˜oes
  13. 13. CAP´ıTULO 1 Introdu¸c˜ao 1. O que ´e o C´alculo O C´alculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o C´alculo, ´e a matem´atica que est´a na base da ciˆencia de hoje. As ciˆencias mais desenvolvidas como F´ısica e Qu´ımica n˜ao podem expressar seus conceitos sem fazerem uso do C´alculo. Tamb´em a Economia e a Biologia cada vez mais s˜ao matematizadas atrav´es do C´alculo. O C´alculo foi fundamental na revolu¸c˜ao cient´ıfica dos s´eculos XVII e XVIII e de l´a para c´a n˜ao cessou de produzir resultados e aplica¸c˜oes. O C´alculo ´e uma teoria matem´atica, ou seja, um modo unificado de se ver uma s´erie de fatos matem´aticos. Na matem´atica, quando surge uma nova teoria, ao inv´es de se eliminar os resul- tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz ´e: • reobter os teoremas at´e ent˜ao conhecidos, • dar generaliza¸c˜oes deles, • produzir resultados completamente novos. Isso s´o ocorre em matem´atica: em outras ciˆencias uma nova teoria pode tornar obsoleta e errada a teoria anterior. Por exemplo, a determina¸c˜ao exata da ´Area de certas regi˜oes, que com m´etodos elementares exigiu o gˆenio de Arquimedes, com o C´alculo vira uma continha de rotina. Mas atrav´es do C´alculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre ´Areas, como o fato de regi˜oes ilimitadas poderem ter ´Area finita. Al´em de nos permitir provar tudo que j´a ouvimos falar de matem´atica no col´egio, o C´alculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e suas miss˜oes. Atrav´es do C´alculo , s´o com as quatro opera¸c˜oes +, −, x vamos poder no Cap´ıtulo 30 aproximar com a precis˜ao que quisermos: • fun¸c˜oes fundamentais como arctan(x), ln(x), etc • n´umeros como √ p (p primo), π, e = exp(1). Uma das inspira¸c˜oes fundamentais para o C´alculo foi a F´ısica, ou F´ısica-matem´atica com a qual Isaac Newton revolucionou a ciˆencia da ´epoca. V´arios fenˆomenos f´ısicos tiveram ent˜ao uma explica¸c˜ao completa e unificada, atrav´es das t´ecnicas do C´alculo. Essas t´ecnicas s´o ficar˜ao aparentes `a medida que o leitor entre na Segunda Parte do Curso, que ´e a parte de Equa¸c˜oes Diferenciais. 15
  14. 14. 4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16 2. Sobre o Curso Um alerta: este curso trata de matem´atica superior. Em v´arias universidades, inclusive a nossa, h´a uma a tentativa de se ensinar o C´alculo como se fosse uma continua¸c˜ao do Ensino M´edio, seu ensino sendo feito atrav´es de tabelas, regrinhas, macetes. Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farm´acia, Economia, Biologia, o C´alculo ´e uma das poucas disciplinas de matem´atica que ter˜ao na univer- sidade. Desse modo, imitando o Ensino M´edio, se cursaria um Curso Superior sem ter contato com a Matem´atica Superior. A forma¸c˜ao cient´ıfica desses cursos ficaria prejudicada e de fato n˜ao poderiam chamar-se cursos universit´arios. Por isso neste Curso sempre que for poss´ıvel (exceto quando a explica¸c˜ao for t´ecnica demais) vamos tentar dar justifica¸c˜oes matem´aticas corretas, sem apelar para a credulidade do estudante e argumentos de autoridade, do tipo acreditem em mim. Os argumentos que damos s˜ao concatena¸c˜oes de id´eias simples, mas `as vezes ex- igem um certo fˆolego do leitor para acompanh´a-lo do come¸co ao fim. Esse treino de concentra¸c˜ao certamente ir´a colaborar na forma¸c˜ao t´ecnico-cient´ıfica do estudante. 3. Sobre os Gr´aficos e Figuras Tentei fazer o m´aximo poss´ıvel de gr´aficos para ilustrar o conte´udo, usando o pro- grama Maple 9 para fazˆe-lo numericamente, ou seja, realisticamente. Este programa ´e pago, mas o estudante pode usar o XMaxima ou o Gnuplot que s˜ao programas livres, do Linux, como auxiliar no estudo. Sempre que poss´ıvel usei a mesma escala nos dois eixos, pois isso determina inclina¸c˜oes das retas e essas inclina¸c˜oes s˜ao importantes no C´alculo1 . Mas nem sempre isso foi poss´ıvel, por exemplo quando as fun¸c˜oes crescem muito r´apido, onde n˜ao d´a para manter as mesmas escalas nos eixos x e y. A teoria tem que ser sempre nossa guia na confec¸c˜ao de gr´aficos, pois os computa- dores erram ao representar fun¸c˜oes descont´ınuas ou fun¸c˜oes que est˜ao muito pr´oximas de um certo valor sem alcan¸car esse valor. Tamb´em fiz figuras qualitativas e diagramas usando o programa Winfig, que ´e pago, e o Xfig, do Linux, que ´e gr´atis. 4. Alerta aos estudantes Por ser matem´atica superior, o Curso exige do aluno um empenho e aten¸c˜ao muito diferente daquele exigido nos seus contatos anteriores com a matem´atica. Principalmente o aluno deve usar de modo preciso os conceitos que v˜ao sendo apresentados (por ex. limites, continuidade, derivada). Se n˜ao os entender, per- gunte ao professor at´e ter esclarecido o conceito. Pois embora `as vezes pare¸cam ape- nas conceitos qualitativos, s˜ao de fato bastante precisos e mais tarde d˜ao resultados quantitativos de absoluta precis˜ao. 1Veja, por exemplo, que o gr´afico do seno est´a errado em v´arias edi¸c˜oes do livro do Anton, pois ele n˜ao usou as mesmas escalas nos eixos x e y, portanto a inclina¸c˜ao na origem n˜ao fica bem representada
  15. 15. CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 17 Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirma¸c˜oes, sem ler todas as demonstra¸c˜oes. Mas de fato, s´o se entende completamente um fato matem´atico quando se entende a sua demonstra¸c˜ao. Por ´ultimo, ´e muito importante que o estudante pense nos exerc´ıcios propostos em cada Cap´ıtulo. Mesmo que n˜ao responda todos, ao tentar fazer exerc´ıcios o conte´udo vai sendo assimilado concretamente. E se o aluno n˜ao consegue fazer quase que nenhum exerc´ıcio, ent˜ao precisa voltar a refletir no conte´udo dado. Alguns tˆem solu¸c˜ao bastante detalhada, apresentada no Cap´ıtulo 52. Mas que s´o devem ser lidas ap´os muito trabalho pessoal do aluno. Ao longo do livro aparecem problemas da prestigiada W. L. Putnam Mathematical Competition, que ocorre anualmente desde sua Primeira Edi¸c˜ao em 1938. V˜ao apare- cendo `a medida que desenvolvemos material suficiente para poder resolvˆe-los. Nessa competi¸c˜ao aparecem problemas dif´ıceis, mas tratei de selecionar alguns simples e acess´ıveis. Minhas fontes foram o site: http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml (onde est˜ao as Competi¸c˜oes de 1985-2009) e o livro The W. L. Putnam Mathemat- ical Competition, Problems and solutions, 1938-1964., Math. Association of America. Esses problemas devem ser pensados pelo leitor e s´o depois do leitor apresentar a sua resposta, do seu jeito de ver o problema, ´e que pode ler as respostas. Foi assim que eu fiz: eu resolvi sozinho cada um dos que apresento, e minhas respostas n˜ao tˆem a pretens˜ao de serem as mais elegantes poss´ıveis. Lembro o que um professor muito bom me disse: S´o se aprende matem´atica re- solvendo problemas ! 5. Livros-texto e Referˆencias Livros ruins de C´alculo h´a v´arios, de cuyos nombres no quiero acordarme. Bastante razo´avel o livro do G. Thomas, dispon´ıvel na biblioteca em v´arias edi¸c˜oes. Curto, direto e bom pre¸co: R. Silverman, Essential Calculus with applications, Dover. Para mim um dos melhores livros de C´alculo ´e o de Michael Spivak, Calculus (edi¸c˜oes em espanhol e ingles na biblioteca da UFRGS). Aprende-se muito nesse livro e me foi ´uil em alguns momentos na hora em que se fez necess´ario a precis˜ao que falta em outros livros. Claro que ´e bastante dif´ıcil como primeiro livro de C´alculo, mas o esfor¸co de ler qualquer se¸c˜ao dele ´e sempre recompensado. Na Primeira Parte usei coisas que aprendi: • no enciclop´edico livro de R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Interscience, 1965. • no curso de Elon Lima Curso de An´alise, Projeto Euclides, SBM. • no cl´assico E. T. Whittaker e G. Watson, A course of modern Analysis, Cambridge, reimpress˜ao de 1996. • no belo livro de C.H. Edwards, The historical development of the Calculus, Springer, 1979. • no livro de S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader, Oxford University Press , 1995.
  16. 16. 6. PROGRAMAS ´UTEIS 18 As referˆencias usadas no Apˆendice sobre a Lei de Kleiber, Cap´ıtulo 34, est˜ao dadas l´a. Na Parte 2, sobre Equa¸c˜oes diferenciais, usei material do Courant-John, bem como • o excepcional livro de M. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press, 1974, • o muito bem escrito e motivante livro de G. Simmons Differential equations with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1972. Alguns Exerc´ıcios propostos neste livro me serviram de guia para diversas Se¸c˜oes. Usei bastante esse livro. • o livro de H. S. Bear, Differential Equations, a Concise Course, Dover, 1962 ´e pequeno mas muito informativo. Nele se encontra uma prova perfeitamente leg´ıvel do Teorema de existˆencia de solu¸c˜oes de Picard, por exemplo. • o de J. W. Bruce e P. j. Giblin, Curves and singularities, Cambrige U. Press, 1984. • o cl´assico G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions , Cam- brige, 1958. • o livro de A. Gray e G. B. Mathews, A treatise on Bessel functions and their applications to Physics, McMillan and co, 1895. • ademais usei no Cap´ıtulo 37 artigos de A. Bernhardt e de A. Lotka, bem como • o cl´assico livro de F. Gomes Teixeira, Trait´e des courbes speciales remar- quables, planes et gauches, reimpress˜ao de 1971, Chelsea Publishing Com- pany. • last but not least, E. Kamke, Differentialgleichungen- Losungsmethoden und losungen, T. I, Chelsea Publisinhg Company, 1948. 6. Programas ´uteis Programas como o Maple podem ser um grande auxiliar para o estudo: para conferir contas, plotar curvas, etc, mas s´o ser˜ao ´uteis se o estudante tentar fazer sozinho e depois usar os programas para checar seus resultados. Para usu´arios do Windows existe o programa gr´atis WXMaxima, que vocˆe baixa em instantes no site: http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/ 5.21.1-Windows/maxima-5.21.1.exe/download Esse programa faz tudo: resolve equa¸c˜oes alg´ebricas e diferenciais, deriva, integra, faz gr´aficos, etc. O Maple ´e programa an´alogo pago. Tamb´em existe um site, http://www.wolframalpha.com, onde se pode fazer online gr´aficos, integrais, limites e derivadas, o que ´e ´util quando se est´a estudando fora de casa. Agradecimentos: Agrade¸co ao Professor Mark Thompson, da Matem´atica da UFRGS, por ter me disponibilizado Notas que serviram para a elabora¸c˜ao da Se¸c˜ao sobre Cin´etica
  17. 17. CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 19 qu´ımica. E tamb´em pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus, with illustrations from Geometry, Mechanics and Physics, reimpress˜ao de 1956 da edi¸c˜ao de 1901, que me foi ´util. Agrade¸co ao Professor V´ıtor Pereira, da Geologia da UFRGS, que me explicou o belo fenˆomeno da meia-vida da luz das super-novas. As notas de Aula do Professor Eduardo Brietzke, da Matem´atica da UFRGS, para a disciplina de Equa¸c˜oes Diferenciais II, me serviram de fio-condutor entre os diversos temas poss´ıveis. Abordei alguns dos exemplos que l´a aparecem de um ponto vista um pouco diferente. Lhe sou grato. Agrade¸co `as estudantes que fizeram C´alculo comigo em 2008: Pˆamela Lukasewicz Ferreira, por ter tomado notas do curso que dei e que me serviram de roteiro para este texto e Mˆonica Hoeveler, por participa¸c˜oes em aula e por sugest˜oes de temas. Agrade¸co aos estudantes Luciano Bracht Barros e Magno V. F. Teixeira da Silva por conversas no fim da aula que me motivaram a escrever a Se¸c˜ao 6 do Cap´ıtulo 32. O estudante Walter Ferreira Diniz J´unior resolveu v´arios problemas de modo original, produziu exemplos, e at´e me indicou como escrever melhor a Se¸c˜ao 5 do Cap´ıtulo 26 !
  18. 18. CAP´ıTULO 2 Alguns dos objetivos do C´alculo A descri¸c˜ao matem´atica dos fenˆomenos se faz principalmente a partir da no¸c˜ao de fun¸c˜ao y = f(x) e de seu gr´afico. Se pudermos entender: • se f(x) assume somente valores Reais, onde f(x) se anula, onde ´e positiva ou negativa, • se e onde f(x) cresce ou decresce `a medida que x cresce, • se f(x) se aproxima de um certo valor quando x cresce muito, • se e onde f(x) tem valor m´aximo ou m´ınimo, • no caso de y = f(x) ≥ 0, qual a ´area sob seu gr´afico e acima do eixo dos x, • se dado y pudermos descobrir qual x gerou y = f(x), ent˜ao podemos dizer que entendemos o comportamento da f(x). Estaremos capacitados a fazer previs˜oes sobre o fenˆomeno modelado por essa fun¸c˜ao. Esses s˜ao alguns dos objetivos do C´alculo. Nas pr´oximas Se¸c˜oes passamos lembrar / definir essas no¸c˜oes. 1. Fun¸c˜oes e seus dom´ınios Os fil´osofos sempre se espantaram com o fato de que as coisas mudam, e se ques- tionaram tanto sobre o que muda como sobre o que permanece nessas mudan¸cas. Os matem´aticos tamb´em compartilham desse espanto e sempre se perguntaram, ao ver que h´a mudan¸cas, como as coisas mudam. A resposta a essa pergunta pode ser tanto qualitativa como quantitativa, as duas s˜ao interessantes. Por exemplo ´e qualitativa quando um astrˆonomo afirma que certo cometa voltar´a a passar algum dia. ´E quantitativa no caso de Halley, que previu o ano em que certo cometa voltaria, usando as ferramentas do C´alculo. Se um fenˆomeno (a temperatura de um sistema, por exemplo) depende de um s´o parˆametro (o tempo, por exemplo) ´e natural descrever sua evolu¸c˜ao num gr´afico da fun¸c˜ao que associa a cada momento x a temperatura T(x). Esse gr´afico formar´a uma 21
  19. 19. 1. FUNC¸ ˜OES E SEUS DOM´INIOS 22 curva no plano. 0,8 1 0,4 0 0,6 0,2 x 210-1-2 Figura: O gr´afico de y = T(x) forma uma curva no plano. Mas ´e claro que conhecemos fenˆomenos z = F(x, y) que dependem de dois fatores e para descrever esse fenˆomeno precisariamos de gr´aficos que formam superf´ıcies no espa¸co, ao inv´es de curvas no plano. E em geral os fenˆomenos dependem de v´arios parˆametros (em qu´ımica, por exemplo, quantidades de reagentes, press˜ao, ph, etc). Figura: O gr´afico de z = F(x, y) forma uma superf´ıcie no espa¸co Os conceitos que aprenderemos neste curso se adaptam facilmente para superf´ıcies, mas vamos nos restringir a gr´aficos que s˜ao curvas. Ou como se diz, faremos o C´alculo de 1 vari´avel. A seguir vamos come¸car a estabelecer conceitos qualitativos sobre gr´aficos que s˜ao importantes no Curso. O manejo correto desses conceitos ´e fundamental para a compreens˜ao do resto do curso.
  20. 20. CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 23 2. Fun¸c˜ao Uma fun¸c˜ao ´e uma regra que associa a cada ponto1 de um conjunto (o dom´ınio da fun¸c˜ao) um ponto de um outro conjunto fixado (o contra-dom´ınio). Dito de outro modo, uma reta vertical tra¸cada passando por um ponto do dom´ınio de uma fun¸c˜ao y = f(x) corta seu gr´afico exatamente em 1 ponto. Por isso, por exemplo, um c´ırculo n˜ao ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao y = f(x). O subconjunto do contradom´ınio formado por pontos que s˜ao efetivamente valores da fun¸c˜ao formam a imagem da fun¸c˜ao. Por exemplo, f : R → R, f(x) = x2 tem como dom´ınio e contradom´ınio os n´umeros Reais, mas sua imagem s˜ao apenas os Reais n˜ao-negativos2 . Quando dizemos que f : I → J ´e sobrejetiva isto quer dizer que n˜ao somente a imagem f(I) verifica f(I) ⊂ J, mas que de fato verifica f(I) = J. Ou seja, que efetivamente todo ponto de J foi atingido pela f. Por exemplo, f(x) = x2 s´o ´e sobrejetiva vista como fun¸c˜ao f : R → R≥0 . ´E importante notar na defini¸c˜ao de fun¸c˜ao que s´o h´a um valor associado a cada ponto do dom´ınio. Se houver ambiguidade na atribui¸c˜ao do valor ent˜ao dizemos que a fun¸c˜ao n˜ao est´a bem-definida naquele ponto. Por exemplo, quando perguntamos qual ´e a ra´ız quadrada de 9 h´a uma ambiguidade: pode ser que tomemos a ra´ız positiva 3 ou a ra´ız negativa −3. N˜ao confunda a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao com outra, a de fun¸c˜ao injetiva: uma fun¸c˜ao ´e injetiva quando n˜ao associa o mesmo valor a dois pontos distintos de seu dom´ınio. Por exemplo, f : [0, 3] → R, f(x) = x2 ´e injetiva mas f : [−3, 3] → R, f(x) = x2 n˜ao ´e injetiva. 3. Fun¸c˜oes definidas a partir de outras fun¸c˜oes 3.1. Fun¸c˜ao inversa. Imagine uma fun¸c˜ao que desfaz o efeito de outra fun¸c˜ao. Por exemplo, uma d´a a a velocidade de um carro em fun¸c˜ao do tempo trascorrido v = v(t). Sua inversa diria para cada velocidade v qual o tempo necess´ario para atingir essa velocidade t = t(v) (o que d´a uma medida da potˆencia do motor do carro, por ex.) Ou por exemplo, a temperatura de um objeto vai caindo com o tempo. Sabendo quanto caiu a temperatura T(t) como determinar o tempo t transcorrido ? Para se ter uma fun¸c˜ao inversa f−1 , a fun¸c˜ao f necessariamente tem que ser injetiva ! Se n˜ao, vejamos: se y = f(x1) = f(x2) com x1 = x2, o que deve fazer f−1 com y ? Envi´a-lo em x1 = f−1 (y) ou em x2 = f−1 (y) ? Isso ´e uma ambiguidade inaceit´avel para f−1 . Vamos mais tarde falar do sentido geom´etrico da fun¸c˜ao inversa. 1Para mim os n´umeros Reais formam um reta, portanto uso n´umero ou ponto indistintamente. 2V´arias vezes no curso usaremos isso: o quadrado de um n´umero Real nunca ´e negativo
  21. 21. 4. DIFERENTES DOM´INIOS DE FUNC¸ ˜OES 24 3.2. Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Dentre os modos mais ´uteis de se produzir um fun¸c˜ao interessante a partir de fun¸c˜oes simples est´a a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. A id´eia ´e simples e fundamental: o resultado de uma fun¸c˜ao g(x) vira entrada de uma segunda fun¸c˜ao f. A nota¸c˜ao usual ´e: se f : I → J e g : J → K ent˜ao (f ◦ g) : I → K faz (f ◦ g)(x) := f( g(x) ). ´E claro que se pode compor um n´umero qualquer de fun¸c˜oes. Pense em quantos exemplos encontramos disso na natureza, nas rea¸c˜oes qu´ımicas, nas ind´ustrias, em que um processo complicado ´e dividido em v´arias etapas simples concatenadas. Neste Curso procedermos assim tamb´em: vamos primeiro entender os casos mais simples e depois, via composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, entender os mais complicados. 3.3. O que ´e a ´Area sob um gr´afico ? Podemos usar o gr´afico de uma fun¸c˜ao para definir outra. Por exemplo, tomo a diagonal y = x como gr´afico e me pergunto pela ´Area do triˆangulo determinado pela origem, o eixo horizontal e um segmento vertical de (x, 0) at´e (x, x). `A medida que x avan¸ca no eixo dos x, a ´Area do triˆangulo obtido aumenta e poder´ıamos tentar descrever como essa ´Area depende de x isso num outro gr´afico. Na defini¸c˜ao do Logaritmo Natural, faremos exatamente isso, mas a ´area em quest˜ao ser´a delimitada sob o gr´afico de 1/x e n˜ao sob y = x. x=1 x Figura: ´Area sob um o gr´afico, de x = 1 at´e x. Precisaremos saber primeiro, o que ´e a ´Area sob um gr´afico curvado como 1/x. Isso que foge do que sabemos do Ensino M´edio, que s˜ao ´areas de regi˜oes elementares como triˆangulos, quadrados, trap´ezios, setores circulares, etc. S´o entenderemos isso plenamente na Parte 2 do curso, com o conceito de Integral. 4. Diferentes dom´ınios de fun¸c˜oes A princ´ıpio o dom´ınio de uma fun¸c˜ao pode ser qualquer conjunto, mas neste Curso usaremos como dom´ınios quase sempre: • todos os Reais R, ou • intervalos de n´umeros reais, incluindo semi-retas ou • apenas os Naturais N ⊂ R.
  22. 22. CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 25 Mas ´e claro que em certas situa¸c˜oes os dom´ınios tamb´em podem ser a uni˜ao de v´arios intervalos (como se ver´a por exemplo na Se¸c˜ao 2.3 do Cap´ıtulo 6), somente os n´umeros Racionais Q ⊂ R, etc. 5. Gr´afico descont´ınuo, mas que mesmo assim ´e gr´afico H´a gr´aficos que sofrem um salto abrupto, mas que mesmo assim s˜ao gr´aficos. Por exemplo, o gr´afico da fun¸c˜ao f : R → R, definida condicionalmente por f(x) = x − 2, se x < 2 e f(x) = x2 se x ≥ 2. O ponto 2 de seu dom´ınio ´e um ponto catastr´ofico: se estamos em pontos que s˜ao um pouquinho menores que 2 a fun¸c˜ao tem valores pr´oxima do zero. Mas se mexemos um pouco a coordenada x, chegando em x = 2 ou acrescentando algo positivo muito pequeno ao 2, o valor da fun¸c˜ao j´a pula para ≥ 22 = 4. x=2 y=4 Figura: O gr´afico de fun¸c˜ao descont´ınua no ponto x = 2 Outro modo de ver o que acontece ´e que, enquanto seu dom´ınio R ´e feito de um s´o peda¸co, sua imagem f(R) = R≤0 ∪R≥4 ´e feito de dois peda¸cos: a fun¸c˜ao rasga seu dom´ınio em dois peda¸cos. Esses gr´aficos s˜ao ´uteis para modelar matematicamente comportamentos explo- sivos: uma explos˜ao qu´ımica, o comportamento de um animal `a medida que aumenta o stress, etc. Mas em cursos de C´alculo veremos gr´aficos que n˜ao tem essas varia¸c˜oes dram´aticas de valores. 6. Fun¸c˜ao positiva, negativa e zeros ou ra´ızes Uma fun¸c˜ao f : I → R ´e positiva (negativa)3 se sua imagem est´a contida nos Reais positivos (negativos). Muito importante para um t´ecnico ou cientista ´e determinar os pontos do dom´ınio onde a fun¸c˜ao se anula (ou, como se diz, onde corta o eixo dos x, que ´e dado por y = 0). Ou seja, ´e importante resolver uma equa¸c˜ao f(x) = 0. No caso de polinˆomios esses pontos s˜ao as chamadas ra´ızes. Aconselho o leitor a ler o Teorema 7.1 no Cap´ıtulo 6, que prova a rela¸c˜ao entre ra´ızes e fatores de polinˆomios. 3Para evitar escrever duas frases onde s´o trocaria uma palavra, ponho em parˆenteses a modi- fica¸c˜ao a ser feita na frase
  23. 23. 7. FUNC¸ ˜AO CRESCENTE OU DECRESCENTE 26 Mais adiante, no Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 6.1 explicaremos em termos do C´alculo qual o significado das ra´ızes m´ultiplas. 4 6 0 -4 2 -2 -6 x 21-1 0-2 Figura: Um gr´afico de polinˆomio com 3 ra´ızes 7. Fun¸c˜ao crescente ou decrescente Defini¸c˜ao 7.1. Uma fun¸c˜ao f : I → R ´e estritamente crescente exatamente quando ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). E dizemos que ´e apenas crescente exatamente quando ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Analogamente se define estritamente decrescente, trocando f(x1) < f(x2) por f(x1) > f(x2). 0,6 1 0,2 0,8 0,4 0 x 32,521 1,5
  24. 24. CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 27 Figura: Exemplo de gr´afico de y = f(x) crescente. 1 0,8 0,6 0,4 0,2 x 32,5210,50 1,5 Figura: Exemplo de gr´afico de y = f(x) decrescente. Claro que h´a fun¸c˜oes que n˜ao s˜ao nem crescentes nem decrescentes, ou sejam, que oscilam. 1 0,6 0,8 0,4 0 0,2 x 0,4-0,4-0,6 0,2 0,6-0,2 0 Figura: Exemplo de gr´afico de y = f(x) que oscila. Uma observa¸c˜ao simples mas ´util: Se uma fun¸c˜ao f ´e estritamente crescente (ou estritamente decrescente) ent˜ao f ´e injetiva. De fato, se tomo quaisquer x1, x2 diferentes de seu dom´ınio, posso sempre me perguntar qual deles ´e menor, por exemplo, x1 < x2. Como a f ´e estritamente crescente (ou estritamente decrescente), temos f(x1) < f(x2) (ou f(x1) > f(x2)), mas de qualquer forma f(x1) = f(x2). Logo ´e injetiva. Um exemplo importante ´e o que j´a demos de uma fun¸c˜ao f que mede a ´Area sob um gr´afico de uma outra fun¸c˜ao positiva. ´E natural que f seja uma fun¸c˜ao estritamente crescente, pois `a medida que vamos para a direita no eixo x h´a mais ´area sob o gr´afico. Logo ´e natural que seja injetiva e tenha ent˜ao uma inversa f−1 . Volto nesse ponto, com f o Logaritmo Natural e f−1 a Exponencial.
  25. 25. 8. M ´AXIMOS E M´INIMOS 28 Saber que uma fun¸c˜ao ´e crescente pode ser um fato extremamente relevante do ponto de vista cient´ıfico: por exemplo, um dos princ´ıpios f´ısicos mais fundamentais ´e que a fun¸c˜ao Entropia ´e uma fun¸c˜ao crescente, ou seja, que as coisas tˆem uma tendˆencia a se desorganizar. ´E essa Entropia crecente que est´a na base da nossa distin¸c˜ao entre passado, presente e futuro. Por outro lado um exemplo marcante de fun¸c˜ao decrescente ´e a fun¸c˜ao y = f(x) que d´aa quantidade de uma substˆancia radioativa no tempo x. Uma descoberta cient´ıfica fundamental foi a de descrever de modo quantitativamente preciso como ´e essa fun¸c˜ao para cada substˆancia radioativa. ´E fundamental neste curso estabelecermos um crit´erio para determinar se uma fun¸c˜ao ´e crescente (ou ´e decrescente). De preferˆencia um crit´erio que consista em entender uma fun¸c˜ao que seja mais simples que a fun¸c˜ao f ela mesma ! Se n˜ao n˜ao adiantaria muito. Isso veremos no Cap´ıtulo 10, que ´e muito importante. 8. M´aximos e m´ınimos Uma das grandes utilidades do C´alculo ´e encontrar pontos onde uma fun¸c˜ao atinge seu m´aximo ou m´ınimo. Ou seja, o C´alculo serve para minimar ou maximizar: rendi- mento de um processo, custos, gastos, etc, desde que o problema seja formulado matematicamente. Vamos definir um m´aximo local (analogamente um m´ınimo local). Defini¸c˜ao 8.1. Seja f : I → R e x ∈ I. Dizemos que x ´e m´aximo local se existe algum intervalo (−ǫ + x, x + ǫ) centrado em x, tal que ∀x ∈ I ∩ (−ǫ + x, x + ǫ), f(x) ≤ f(x). J´a x ´e dito ser um m´aximo global de f : I → R se ∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x). ´E a mesma diferen¸ca que h´a entre ser o cara que corre mais r´apido no clube do bairro e ser o cara que corre mais r´apido no mundo ! x 0,60,4 4 0,20 3,6 -0,4 4,2 3,8 3,4 3 3,2 -0,2-0,6
  26. 26. CAP´ITULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO C ´ALCULO 29 Figura: Fun¸c˜ao com um m´ınimo global, um m´aximo local e um m´ınimo local. Chamo a aten¸c˜ao de que h´a fun¸c˜oes que simplesmente n˜ao tem m´aximo, como j´a vimos no caso de f : (0, 5] → R, f(x) = 1 x . E existem as que n˜ao tem m´ınimo: por ex. f : R≥1 → R, f(x) = 1 x . De fato, se tomo n ∈ R≥1 , temos f(n) = 1 n , que j´a sabemos fica t˜ao pr´oximo quanto quisermos de 0, sem nunca atingir zero. Isso diz que f vai sempre diminuindo um valor, n˜ao tendo portanto um ponto de seu dom´ınio onde um valor m´ınimo fosse atingido. D´a vontade de dizer algo sobre o papel do 0 neste exemplo f : R≥1 → R, f(x) = 1 x . O 0 realmente nunca ´e atingido pela fun¸c˜ao mas de certo modo demarca, delimita o conjunto imagem f(R≥1 ) = (0, 1]. 0 ´e o que se costuma chamar uma cota inferior do conjunto imagem f(R≥1 ), isto ´e, ∀y ∈ f(R≥1 ), 0 ≤ y. E mais ainda, qualquer n´umero maior que zero n˜ao ´e cota inferior de f(R≥1 ), pois 1 n ∈ f(R≥1 ) se aproxima o que quisermos de zero. Portanto 0 ´e a maior cota inferior de f(R≥1 ), que se chama o ´Infimo desse conjunto. 9. Exerc´ıcios Exerc´ıcio 9.1. Determine em que intervalos as fun¸c˜oes a seguir s˜ao negativas ou positivas e onde est˜ao seus zeros: vi) x2 − x vii) x2 − 5x + 6 viii) x3 − x2 Exerc´ıcio 9.2. Dˆe exemplos de frases do dia a dia que s˜ao verdade, mas cujas rec´ıprocas n˜ao s˜ao verdade. Exerc´ıcio 9.3. Negue as seguintes frases: i) dado qualquer pol´ıtico, existe um valor de suborno tal que por esse valor ele se corrompe. ii) dada uma distˆancia qualquer, existe um tempo tal que a partir daquele tempo o aster´oide dista da terra menos que a distˆancia dada. Exerc´ıcio 9.4. Imagine alguns exemplos, qualitativamente, sem precisar dar explici- tamente a regra f(x), de fun¸c˜oes: i) positivas e crescentes, ii) negativas e crescentes, iii) negativas e decrescentes, iv) negativas e decrescentes, v) com m´ınimo local, mas sem m´ınimo global vi) com m´aximo local e m´aximo global diferentes.
  27. 27. 9. EXERC´ICIOS 30 Exerc´ıcio 9.5. Fa¸ca as composi¸c˜oes f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f, onde: i) f = 1 x3 , g = sin(x) h = x + 5 ii) f = x2 , g = 1 x , h = sin(x). iv) Imagine algum exemplo onde aconte¸ca f ◦ g ◦ h = h ◦ g ◦ f (o que ´e raro !). Exerc´ıcio 9.6. (resolvido) Determine explicitamente as fun¸c˜oes inversas f−1 das fun¸c˜oes f(x) a seguir. Teste sua resposta verificando que x = f−1 (f(x)). i) f : R → R, f(x) = x3 ii) f : R → R, f(x) = x3 + 1 iii) f : R → R, f(x) = (x − 1)3 iv): f : R → R, f(x) = −5 · x3 + 10. v): f : (0, 1) → R, f(x) = x 1−x2 . Dica: o mais dif´ıcil neste item ´e n˜ao se equivocar com os sinais.
  28. 28. CAP´ıTULO 3 Propriedade b´asicas dos n´umeros Reais As fun¸c˜oes definidas nos Reais e tomando valores Reais s˜ao importantes pelas aplica¸c˜oes ao mundo f´ısico. Por exemplo, se um Engenheiro me diz que a laje da pe¸ca onde estou vai cair em 5 minutos eu certamente saio correndo da sala. Mas se um Matem´atico me disser que a laje vai cair no tempo 5 · I := 5 √ −1, que fazer ? Essa utilidade dos Reais, por corresponder `a linha do tempo (passado = n´umero negativo, presente = 0, futuro = n´umero positvo), tem como ˆonus o fato que as fun¸c˜oes Reais nem sempre est˜ao definidas. Veremos duas restri¸c˜oes, uma sobre quocientes e outra sobre a ra´ız quadrada. A primeira afeta n˜ao s´o os Reais, mas qualquer sistema de n´umeros. A segunda, da Ra´ız, ´e t´ıpica dos n´umeros que podem ser ordenados. 1. Os Reais como sistema de n´umeros: n˜ao dividir´as por zero ! Todo professor passa aulas e aulas repetindo que n˜ao se pode dividir por zero. E infelizmente muitos alunos de C´alculo dividem por zero, pois confundem o fato de um n´umero ser pequeno com um n´umero ser zero ! Mas a final, por quˆe n˜ao se pode dividir por zero ? No que podemos nos apoiar para provar que n˜ao existe o n´umero 1 0 ? Nos bastar´a algumas das propriedades mais gerais dos R (por sinal compartilhadas com outros sistemas de n´umros, como Q ou C), que s˜ao: • existe um elemento neutro aditivo, 0, tal que 0 + x = x, ∀x ∈ R. • ∀x ∈ R existe o inverso aditivo −x tal que x + (−x) = 0. • existe um elemento neutro multiplicativo, 1, tal que 1 · x = x, ∀x ∈ R. • ∀x ∈ R, x = 0, existe o inverso multiplicativo 1 x tal que x · 1 x = 1. • 1 = 0 • as opera¸c˜oes de soma e produto s˜ao distributivas, associativas e comutativas. De posse dessas propriedades, que s˜ao assumidas como verdades, posso provar: Afirma¸c˜ao 1.1. i) −x = −1 · x, ∀x ∈ R, ii) 0 · x = 0, ∀x ∈ R. iii) n˜ao existe 1 0 . Demonstrac¸˜ao. De i): 0 = (1 − 1) · x ⇔ x − x = (1 − 1) · x ⇔ 31
  29. 29. 2. ORDEM NOS REAIS: N ˜AO TIRAR ´AS A RA´IZ QUADRADA DE N ´UMEROS NEGATIVOS ! 32 ⇔ x − x = 1 · x − 1 · x ⇔ x − x = x − 1 · x ⇔ −x = −1 · x. De ii): 0 · x = 0 ⇔ (1 − 1) · x = 0 ⇔ ⇔ x − 1 · x = 0 ⇔ x − x = 0, e este ´ultimo fato ´e verdade: x = x. De iii): Suponhamos por absurdo que exista o n´umero 1 0 . Ent˜ao 0 · 1 0 = 1, pois o sentido de 1 x ´e ser o inverso multiplicativo de x. Mas o item ii) d´a que: 0 · 1 0 = 0. Logo 0 = 1: contradi¸c˜ao. 2. Ordem nos Reais: n˜ao tirar´as a ra´ız quadrada de n´umeros negativos ! Um aspecto bonito da matem´atica ´e que, ap´os assumir a verdade de certos fatos simples, podemos deduzir fatos novos, `as vezes n˜ao t˜ao simples. Vamos assumir a validade dos seguinte Princ´ıpios (Axiomas): • Princ´ıpio 0: Existe um subconjunto P dos Reais chamado de conjunto dos n´umeros positivos. Vale para todo x ∈ R apenas uma das 3 possibilidades: ou x ∈ P ou x = 0 ou −x ∈ P. O elemento neutro multiplicativo 1 ´e positivo. • Princ´ıpio 1: A soma de quaisquer dois n´umeros positivos ´e um n´umero positivo. • Princ´ıpio 2: o produto de um n´umero positivo por um n´umero positivo ´e positivo. Um n´umero ´e chamado n˜ao-negativo se x ∈ P ∪ {0}. Denotamos os positivos usualmente com x > 0 e os n˜ao-negativos com x ≥ 0. Os negativos, por x < 0. Podemos agora provar: Afirma¸c˜ao 2.1. i) (Regra de multiplica¸c˜ao de sinais) (−x) · (−x) = x · x, ∀x ∈ R. ii) x2 := x · x ≥ 0 ∀x ∈ R. iii) √ x n˜ao ´e um n´umero Real, se x < 0. Demonstrac¸˜ao. De i): De fato, pelo item i) da Afirma¸c˜ao 1.1 (−1) · x = −x. Pela comutatividade e associatividade do produto: (−x) · (−x) = (−1) · x · (−1) · x = (−1) · (−1) · x · x.
  30. 30. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 33 S´o resta provar que −1 · (−1) = 1, ou seja, nos reduzimos a provar apenas a Regra dos Sinais para o −1. Ora, −1 · (−1 + 1) = 0 ⇔ −1 · (−1) − 1 · 1 = 0 ⇔ ⇔ −1 · (−1) − 1 = 0 ⇔ −1 · (−1) = 1, como quer´ıamos. De ii): Se x = 0 ent˜ao x · x = 0, pelo item ii) da Afirma¸c˜ao 1.1. Se x > 0 ent˜ao x · x > 0 (Pr. 2). Se, por outro lado, x < 0 ent˜ao −x > 0 (Pr. 0). E ent˜ao x · x = (−x) · (−x) > 0 (Pr. 3 e 2). De iii): Suponha agora por absurdo que y := √ x ∈ R para x < 0. Ent˜ao y2 ≥ 0 pelo item ii). Mas ent˜ao chegamos em 0 ≤ y2 = ( √ x)2 = x < 0, em contradi¸c˜ao com o Princ´ıpio 0. 3. Propriedades gerais das desigualdades Usando os Princ´ıpios 0 , 1, 2 e a Regra de Multiplica¸c˜ao de Sinais podemos provar as propriedades a seguir, que s˜ao fundamentais. Alerta: se o estudante n˜ao manejar bem essas propriedades ter´a problemas no Curso. Afirma¸c˜ao 3.1. i) Se x ≥ y e z ≥ w ent˜ao x + z ≥ y + w, ∀x, y, z, w ∈ R. ii) Se x > 0 e y ≥ z ent˜ao x · y ≥ x · z. iii) Se x < 0 e y ≥ z ent˜ao x · y ≤ x · z. iv) se x > 0 ent˜ao 1 x > 0 v) se x > 1 ent˜ao 1 x < 1. vi) 0 < x1 < x2 ⇒ 0 < 1 x2 < 1 x1 . vii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2 < x < 1. viii) 1 < x ⇒ 1 < x < x2 ix) 0 < x1 < x2 < 1 ⇒ 1 < 1 x2 < 1 x1 . x) 1 < x1 < x2 ⇒ 1 x2 < 1 x1 < 1. xi): 0 < x < 1 ⇒ 1 < 1 x < 1 x2 . xii): 1 < x ⇒ 1 x2 < 1 x < 1. xiii): 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w ent˜ao 0 ≤ x · z ≤ y · w.
  31. 31. 3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34 Demonstrac¸˜ao. i) Dados x, y, z, w ∈ R com x ≥ y e z ≥ w, podemos traduzir isso em: (x − y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0. Queremos provar que x + z ≥ y + w, que se traduz em (x + z) − (y + w) ≥ 0, ou, o que diz o mesmo: (x − y) + (z − w) ≥ 0. Isso ´e o que queremos. Para termos isso, podemos usar o Princ´ıpio 1, pois ent˜ao com esse princ´ıpio: (x − y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0 ⇒ (x − y) + (z − w) ≥ 0. ii) Temos que x > 0. Caso y = z ent˜ao x · y = x · z. Por isso supomos que y > z, ou seja, y − z > 0. Queremos provar que x · y > x · z, ou seja, que x · y − x · z > 0, o que ´e o mesmo que dizer que x · (y − z) > 0. Isso ´e o que queremos. Ent˜ao podemos usar o Princ´ıpio 2, que d´a: x > 0 e y − z > 0 ⇒ x · (y − z) > 0. iii) Temos agora −x > 0 pelo Princ´ıpio 0. Caso y = z ent˜ao x · y = x · z. Por isso supomos y > z, ou seja, y − z > 0. Ent˜ao o Princ´ıpio 2 d´a: (−x) · (y − z) > 0, ou seja −x · y + x · z > 0, ou seja, x · y − x · z < 0, que ´e o que busc´avamos provar: x · y < x · z. iv) Temos x > 0 e suponhamos por absurdo que 1 x < 0. Ent˜ao −1 x > 0 e pelo Princ´ıpio 2: x · (− 1 x ) > 0. Mas x · (−1 x ) = −1. Logo obtemos −1 > 0 ou seja 1 < 0, que contradiz o Princ´ıpio 0. v) Seja x > 1. Suponhamos por absurdo que 1 x ≥ 1. Se 1 x = 1 ent˜ao chegamos na contradi¸c˜ao: 1 = x.
  32. 32. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 35 Se 1 x > 1 ent˜ao multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0, temos x · 1 x > x · 1 (pelo item ii) j´a provado). Como x · 1 x = 1 pela pr´opria defini¸c˜ao de 1 x e como x · 1 pela defini¸c˜ao do neutro 1, obtemos 1 > x, que contradiz x > 1. Deixo para o leitor a prova das propriedades vi-xii, onde pode usar as propriedades i) - v) que j´a foram provadas. Fa¸co a prova de xiii): Como 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w ent˜ao sai primeiro que 0 ≤ x · z. Agora, para ver que x · z ≤ y · w, note que x · z ≤ y · z, pois 0 ≤ (y − x) · z. Do mesmo jeito sai que: y · z ≤ y · w, e portanto x · z ≤ y · w. Proponho agora ao leitor o seguinte Exerc´ıcio: explicar com itens da Afirma¸c˜ao 3.1 algumas propriedades dos Gr´aficos das fun¸c˜oes a seguir, a saber: • por quˆe em determinado intervalo um est´a acima ou abaixo do outro, • por quˆe isso se inverte ao passar de x = 1, 2 1 1,5 0,5 0 x 1,210,4 0,6 0,80,20
  33. 33. 4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36 y = x em vermelho, y = x2 em verde, y = x3 em amarelo e y = x4 em azul, para x ∈ [0, 1.2] 2 1 1,5 0,8 0,5 x 1,61,41,21 1,8 y = 1 x em vermelho, y = 1 x2 em verde, para x ∈ [2 3 , 2] 4. Intervalos e suas utilidades Um intervalo I ⊂ R ´e definido como o conjunto de todos os n´umeros Reais maiores (ou iguais) a um certo n´umero a e menores (ou iguais) que um certo b.1 Se impomos que sejam estritamente maiores que a e estritamente menores que b temos um intervalo aberto I = {x ∈ R; a < x < b} denotado I = (a, b). Caso contr´ario surgem os intervalos semi-abertos, fechados, etc. Um t´ıpico intervalo que vamos usar no Curso ser´a o intervalo aberto de raio ǫ > 0 centrado num ponto x: (−ǫ + x, x + ǫ) onde x ´e um ponto da reta dos Reais e ǫ > 0 ´e um n´umero positivo fixado por n´os. O modo como vamos usar esses intervalos centrados ´e o seguinte: (−ǫ + x, x + ǫ) ser´a uma esp´ecie de gaiola ou cercado em torno de x, delimitando pontos pr´oximos dele (`a medida que ǫ > 0 ´e tomado pequeno). Explico isso em mais detalhe: Defini¸c˜ao 4.1. A distˆancia entre dois pontos x, x da reta dos Reais ´e definida pelo m´odulo2 da diferen¸ca entre eles: |x − x| = |x − x|. 1Podemos considerar a reta R toda ou uma semi-reta tamb´em como intervalos: veremos isso em detalhe na Se¸c˜ao 4. Ao inv´es de usarmos o s´ımbolo (2, +∞) para denotar a semi-reta dos n´umeros maiores que 2, prefiro usar o s´ımbolo R>2 : o motivo ´e evitar o mal uso do s´ımbolo +∞. 2para um n´umero Real △, |△| := △, se △ ≥ 0 ou |△| := −△, se △ < 0
  34. 34. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 37 Pela defini¸c˜ao de m´odulo, |x − x| < ǫ significa que x − x < ǫ, se x − x ≥ 0 ou − (x − x) < ǫ, se x − x < 0. ´E importante entender que: Afirma¸c˜ao 4.1. (−ǫ + x, x + ǫ) ´e exatamente3 o conjunto dos pontos que distam de x menos que ǫ > 0. Demonstrac¸˜ao. Vamos mostrar primeiro que (−ǫ + x, x + ǫ) ⊂ {x ∈ R; |x − x| < ǫ}. Tome x ∈ (−ǫ + x, x + ǫ), com x = x (caso x = x n˜ao h´a nada a provar, pois ǫ > 0). Ou seja x verifica: −ǫ + x < x < x ou x < x < x + ǫ. Que equivale (subtraindo x) a: −ǫ < x − x < 0 ou 0 < x − x < ǫ. Que equivale4 a: 0 < −(x − x) < ǫ ou 0 < x − x < ǫ, ou seja, 0 < |x − x| < ǫ, como quer´ıamos. Agora vamos mostrar que: {x ∈ R; |x − x| < ǫ} ⊂ (−ǫ + x, x + ǫ). . Tome x ∈ {x ∈ R; |x − x| < ǫ}. Se 0 ≤ x − x ent˜ao temos x − x < ǫ ⇔ x < x + ǫ, e portanto x ∈ [x , x + ǫ). Se x − x < 0 ent˜ao −(x − x) < ǫ ⇔ −x + x < ǫ ⇔ −ǫ + x < x, ou seja, x ∈ (−ǫ + x , x).5 . 3Dois conjuntos X e Y s˜ao iguais se X ⊂ Y e Y ⊂ X 4Aten¸c˜ao: as desigualdade se invertem quando multiplicadas por um n´umero negativo, por ex., 1 < 2 < 3 mas −3 < −2 < −1 5O quadrado `a direita significa que a demonstra¸c˜ao terminou
  35. 35. 4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38 4.1. O que ´e ´util num intervalo aberto. Os intervalos abertos s˜ao importante no C´alculo, e o ponto importante ´e que um intervalo aberto tem uma certa tolerˆancia com cada um de seus elementos. Podemos mexer um pouquinho em cada um de seus elementos sem sair do intervalo aberto. Mais especificamente: Afirma¸c˜ao 4.2. Dado qualquer x ∈ (a, b) existe um pequeno intervalo aberto centrado em x denotado Ix tal que Ix ⊆ (a, b). Demonstrac¸˜ao. Considere as distˆancias de x ∈ (a, b) at´e o extremo a e at´e o extremo b: |x − a| := x − a > 0, |x − b| := b − x > 0 (s˜ao dois n´umeros positivos pois (a, b) ´e intervalo aberto). Dentre os dois agora escolho o menor, chamando-o de δ0 > 0: δ0 := m´ınimo{ x − a, b − x }. Fa¸ca Ix := (−δ0 + x, x + δ0), e vamos verificar que (−δ0 + x, x + δ0) ⊂ (a, b). Para isso vamos supor que ´e o caso que δ0 = x − a, ou seja, que x est´a ou no centro do intervalo (a, b) ou um pouco mais pr´oximo de a que de b (analogamente no outro caso). Ent˜ao (−δ0 + x, x + δ0) = ( −(x − a) + x, x + (x − a) ) = = ( a, x + (x − a) ). Ora supusemos estar na situa¸c˜ao em que x − a ≤ b − x, logo: (a, x + (x − a)) ⊆ (a, x + (b − x)) = (a, b), portanto: (−δ0 + x, x + δ0) ⊆ (a, b) como quer´ıamos. Observe nessa Prova que `a medida que x se aproxima de a ou de b a tolerˆancia (medida pelo δ0) fica menor, mas sempre existe. J´a no intervalo semi-aberto I = (0, 5] n˜ao h´a tolerˆancia nenhuma com seu elemento 5: ou seja, qualquer n´umero δ > 0 que for somada a 5, j´a faz que 5 + δ n˜ao perten¸ca a (0, 5].
  36. 36. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 39 4.2. O que ´e ´util num intervalo fechado. Num intervalo aberto acontece de seus elementos estarem se aproximando cada vez mais de um ponto que ele mesmo n˜ao est´a no intervalo, por assim dizer de um fantasma. Por exemplo, os pontos 1 2 , 1 3 , . . . , 1 n de (0, 5) est˜ao cada vez mais pr´oximos de 0, mas mesmo assim 0 ∈ (0, 5). Isso n˜ao acontece no intervalo fechado [0, 5]. Dito de outro modo, no Curso n˜ao estamos apenas interessados em saber se um certo n´umero z pertence ou n˜ao pertence a um conjunto X ⊂ R, como se fazia no ensino M´edio. Tamb´em vamos querer saber se desse ponto z podemos achar elementos x ∈ X t˜ao pr´oximos quanto quisermos. • Se I ´e um intervalo aberto, pode acontecer que z /∈ I e mesmo assim hajam elementos de I t˜ao pr´oximos quanto quisermos. • Se I ´e intervalo fechado, e h´a elementos de I t˜ao pr´oximos quanto quisermos de z, ent˜ao de fato z ∈ I. Uma informa¸c˜ao extremamente importante para um cientista ´e saber se uma fun¸c˜ao que lhe interessa assume m´aximo ou m´ınimo em seu dom´ınio e principal- mente, saber onde o faz. Somente os intervalos fechados I = [a, b] garantir˜ao sempre m´aximos e m´ınimos globais de fun¸c˜oes, sen˜ao pode acontecer algo como segue. Pense em f : (0, 5] → R, f(x) = 1 x . `A medida que vamos tomando os pontos 1/n ∈ (0, 5] a fun¸c˜ao vale f( 1 n ) = n, que fica t˜ao grande quanto quisermos. Note que (0, 5] n˜ao ´e um intervalo fechado. 5. Metamorfoses de c´ubicas Nesta Se¸c˜ao resolvi descrever curvas interessantes usando apenas propriedades b´asicas do Reais, como regra dos sinais, desigualdades, m´odulo, etc. que j´a justifi- camos acima neste mesmo Cap´ıtulo. Tudo o que vem a seguir nesta Se¸c˜ao ´e baseado em que n˜ao h´a ra´ız quadrada Real de um n´umero Real negativo. Come¸cemos com o conhecido c´ırculo y2 + x2 = r2 de raio r > 0. Observe que: • podemos tomar o gr´afico de y = √ r2 − x2 para descrever o semic´ırculo su- perior (ou tomar y = − √ r2 − x2 para o inferior). • se r2 −x2 > 0 h´a duas escolhas de ra´ızes, positiva e negativa, e quando x = r ou x = −r essas duas escolhas colapsam numa s´o, que ´e y = 0. • Onde r2 − x2 < 0 deixamos de trabalhar sobre os Reais, pois os valores asso- ciados a y = √ r2 − x2 passam para o terreno dos n´umeros Complexos.6 Como s´o tratamos neste Curso de fun¸c˜oes a valores Reais, n˜ao existem pontos do c´ırculo cuja coordenada x verifique r2 − x2 < 0. Por ´ultimo, observe que mudando o valor de r muda o raio do c´ırculo, portanto podemos pensar em y2 + x2 = r2 como sendo uma fam´ılia de c´ırculos em que cada elemento fica determinando pelo r. Veja a Figura: 6H´a uma vers˜ao magn´ıfica do C´alculo sobre os n´umeros complexos !
  37. 37. 5. METAMORFOSES DE C ´UBICAS 40 y 0,5 1 x 10 0,5 -0,5 -1 0 -1 -0,5 Bom, mas tratar de c´ırculos ´e covardia, pois temos sua imagem impressa na nossa mente desde a infˆancia. Que tal tratarmos de alguma curva que n˜ao tenha sua imagem impressa na nossa mente ? E ademaias, que tal tratarmos logo de uma fam´ılia delas ? Considere a familia de curvas dada por: y2 − x3 − r · x = 0, r = 0. Vamos analisar separadamente o que acontece quando r > 0 e quando r < 0. Caso r > 0: Temos y2 = x3 + r x ⇔ y2 = x · (x2 + r). Como x2 + r ≥ r > 0, o sinal de x · (x2 + r) s´o depende do de x. Logo • se x > 0 temos duas op¸c˜oes y = x · (x2 + r) ou y = − x · (x2 + r). Ou seja, a curva n˜ao ´e um gr´afico, ela tem uma parte no eixo y > 0 e uma parte no eixo −y. H´a uma simetria relativa ao eixo dos x. • ainda se x > 0, |y| = √ x3 + rx observo que fica t˜ao grande quanto quisermos. De fato, se dou o valor 7 K >> 1: x ≥ 3 √ K2 ⇒ x3 ≥ K2 ⇒ ⇒ x3 + rx ≥ K2 ⇒ |y| = √ x3 + rx ≥ K. • essas duas escolhas y = x · (x2 + r) ou y = − x · (x2 + r) colapsam numa s´o se x = 0, pois ent˜ao y = 0. • se x < 0 a(s) coordenada(s) y deixa de ser um n´umero Real, ou seja, para n´os deixa de existir. 7O sinal >> 1 quer dizer bem maior que 1
  38. 38. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 41 Uma Figura compat´ıvel8 com essa descri¸c˜ao ´e: y 2 -2 3 1 -1 0 -3 x 1,61,20,80,40 Caso r < 0 Agora y2 = x · (x2 + r), e (x2 + r) pode ser positivo, negativo ou positivo. Por isso o estudo do sinal de x · (x2 + r) ´e mais delicado. Note que x2 + r > 0 ⇔ x2 > −r > 0 ⇔ √ x2 > √ −r. S´o que √ x2 = |x| e portanto temos x2 + r > 0 ⇔ |x| > √ −r. Se x > 0, |x| > √ −r quer dizer x > √ −r mas se x < 0 isso quer dizer −x > √ −r, ou seja x < − √ −r. Em suma: x2 + r > 0 ⇔ x < − √ −r ou x > √ −r. Ent˜ao • se x > 0 x · (x2 + r) ≥ 0 ⇔ x ≥ √ −r, e teremos duas op¸c˜oes de ra´ızes para determinar y. Que colapsam para y = 0 se x = √ −r. • se x ≤ 0, s´o teremos x · (x2 + r) ≥ 0 se (x2 + r) ≤ 0. Ou seja, − √ −r ≤ x ≤ 0. Nessa faixa de valores de x teremos duas op¸c˜oes de y, que colapsam em y = 0 se x = 0 ou x = − √ −r. 8Na Figura tra¸cada h´a mais informa¸c˜ao do que a que justificamos. Somente na Se¸c˜ao 5 do Cap´ıtulo 15 ´e que teremos esses dados.
  39. 39. 5. METAMORFOSES DE C ´UBICAS 42 Uma Figura compat´ıvel com essa descri¸c˜ao ´e (r = −1). y 1 2 0 -2 -1 x 21,50,50 1-1 -0,5 Por ´ultimo, note que se |r| vai ficando pequeno, ent˜ao os pontos (− √ −r, 0), (0, 0) e ( √ −r, 0) v˜ao se aproximando. Note que as ovais da parte negativa v˜ao diminuindo de tamanho quando |r| vai diminuindo. Imagine r vindo de valores positivos, que v˜ao ficando bem pr´oximos de zero, pulam o valor zero, e passam a assumir ent˜ao valores negativos. ´E como se de um continente fosse expelida uma ilhota, que vai ficando maior e mais distante do continente: as quatro figuras a seguir tentam mostrar isso. y 2 -2 3 1 -1 0 -3 x 1,61,20,80,40
  40. 40. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 43 Figura: A curva y2 − x3 − x = 0. y 2 -2 3 1 -1 0 -3 x 21,510,50 Figura: A curva y2 − x3 − 0.4 x = 0. y 1 2 0 -2 -1 x 21,50,50-0,5 1 Figura: A curva y2 − x3 + 0.3 x = 0. y 1 2 0 -2 -1 x 21,50,50 1-1 -0,5 Figura: A curva y2 − x3 + x = 0.
  41. 41. 5. METAMORFOSES DE C ´UBICAS 44 5.1. Suaviza¸c˜ao do caso r = 0. H´a uma pergunta natural: o que acontece na curva y2 − x3 − 0 x = y2 − x3 = 0 ? J´a aviso: os programas gr´aficos ficam bem perdidos para tra¸car essa curva, se a coordenada x fica pr´oxima de 0. Por isso vou proceder como em muitos ramos da ciˆencia, vou tentar inferir qual o formato dessa curva tomando curvas que entendamos e que estejam cada vez mais pr´oximas dela. Num sentido que ficar´a claro mais tarde, essas curvas pr´oximas s˜ao suaves ou n˜ao-singulares (ver Defini¸c˜ao 4.1 na Se¸c˜ao 4 do Cap´ıtulo 32). Na Figura a seguir tra¸co a curva y2 − x3 = 0 s´o que estabele¸co x ≥ 0.4, deixando a regi˜ao em torno de x = 0 como um mist´erio. y 2 -2 3 1 -1 0 -3 x 1,61,20,80,40 A curva y2 − x3 = 0, s´o que x ≥ 0.4. Como quero ter mais luz sobre esse objeto y2 −x3 = 0 n˜ao vou deform´a-lo de novo na fam´ılia y2 − x3 − r x = 0, mas sim noutra fam´ılia: y2 − x3 + s = 0, s ∈ R>0 . Observo que a rela¸c˜ao y2 = x3 − s permite tirar ra´ızes quadradas desde que x3 − s ≥ 0. Portanto h´a duas op¸c˜oes de x > 3 √ s ou apenas y = 0 se x = 3 √ s. Ou seja: • a curva y2 = x3 − s s´o tem tra¸co no plano Real se x ≥ 3 √ s e • a partir de x > 3 √ s a curva ´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixo x, j´a que temos duas op¸c˜oes diferentes: y = √ x3 − s e y = − √ x3 − s. Ademais note que se x > 3 √ s, ent˜ao y = √ x3 − s < √ x3 e y = − √ x3 − s > √ x3. ou seja:
  42. 42. CAP´ITULO 3. PROPRIEDADE B ´ASICAS DOS N ´UMEROS REAIS 45 • dado x > 0, o tra¸co da curva y2 = x3 + s que tem y > 0 fica sempre abaixo do de y = √ x3. • dado x > 0, o tra¸co da curva y2 = x3 + s que tem y < 0 fica sempre acima do de y = − √ x3. A Figura a seguir ilustra isso para y2 − x3 + 8 = 0: y 2 4 x 0 2,51,5 21 -4 -2 0,5 A curva y2 − x3 = 0, s´o que x ≥ 0.4, e a curva y2 − x3 − 8 = 0. As Figuras a seguir ilustram curvas cada vez mais pr´oximas: y 2 4 x 0 2,51,5 2 -4 -2 0,5 1 A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0 e y2 − x3 + 1 = 0.
  43. 43. 6. EXERC´ICIOS 46 y 2 4 x 0 2,51,5 2 -4 -2 0,5 1 A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0, y2 − x3 + 1 = 0 e y2 − x3 + 0.5 = 0. Ser´a que agora o leitor consegue inferir a forma de y2 − x3 = 0 ? 6. Exerc´ıcios Exerc´ıcio 6.1. (resolvido) Prove, ao inv´es de apenas assumir, que vale: x · x = (−x) · (−x), ∀x ∈ R. Exerc´ıcio 6.2. (resolvido) Para quais valores de x: i) −3x + 2 > 0 ? ii) x2 − x > 0 ? iii) 3x2 − 2x − 1 > 0 ? iii) 3x + 2 > 2x − 8 ? iv) |x − 6| < 2 ? v) |x + 7| < 1 ? Exerc´ıcio 6.3. (resolvido) Prove que para quaisquer n´umeros Reais e △: | + △| ≤ | | + |△|. Exerc´ıcio 6.4. Como s˜ao os gr´afico das fun¸c˜oes (com dom´ınio ∀x ∈ R): i) y = |x|, ii) y = −| x|, iii) y = |x − 5|, iv) y = |x| + |x − 1| + |x − 2| ?
  44. 44. CAP´ıTULO 4 Sequˆencias e seus limites 1. Sequˆencias Neste Curso ser´a importante a situa¸c˜ao em que o dom´ınio de uma fun¸c˜ao ser´a o conjunto dos n´umeros Naturais N = {1, 2, 3, ...}. Nesse caso f : N → R ´e chamada de sequˆencia. A imagem de uma tal f ´e uma lista de n´umeros Reais. Como cada ponto de sua imagem ´e do tipo f(n) ´e comum denot´a-lo por xn e a sequˆencia toda por (xn)n. Exemplo 0: f : N → R dada por f(n) = K ´e a sequˆencia mais boba de todas, pois sua imagem ´e somente o conjunto {K} - chama-se sequˆencia constante. Exemplo 1: Uma sequˆencia n˜ao t˜ao boba ´e f : N → R dada por f(n) = 2n, cuja imagem s˜ao os n´umeros Pares. Exemplo 2: Uma sequˆencia fundamental para todo o Curso ´e f : N → R, f(n) = 1 n . No que segue, dizer que N ´e um conjunto ilimitado em R ´e dizer que sempre h´a um n´umero Natur