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Guia de Estudo para
a preparação para
exame de ingresso
ao mestrado
profissionalizante
Características do exame
 Tipo de pergunta
Múltipla escolha(40 perguntas ) só precisa marcar sua
resposta
 Gabarito
Exame sobre 80 pontos distribuídos
1. Cada pergunta de múltipla escolha avaliada com 0(escolha
errada) ou 2(escolha certa) pontos .
2. Aprovado 30 ponto ( 15 perguntas corretas)
Conteúdos das questões
a) Proporcionalidade e Porcentagem
b) Equações do Primeiro Grau
c) Equações do Segundo Grau
d) Teorema de Pitágoras
e) Áreas
f) Razões Trigonométricas
g) Métodos de Contagem
h) Probabilidade
i) Noções de Estatística
j) Triângulos: Congruências e Semelhanças
Fundamentos dos conteúdos das
questões
 Geometria euclidiana plana: figuras geométricas
planas: retas, semi-retas, segmentos; ângulos;
elementos, propriedades de polígonos e do círculo;
relações de congruência e semelhança,
paralelismo e perpendicularismo; áreas e
perímetros: polígonos; círculos e partes do círculo;
relações métricas nos triângulos,
polígonos,polígonos regulares e círculos; inscrição
e circunscrição de polígonos e círculos.
 Geometria do espaço , Sólidos( Pirâmide, cone,
cubo, prismas, cilindro, esfera) áreas e volumes.
 Noção de seqüência. Progressões aritméticas e
geométricas.
 Conceito de função .Funções linear, quadrática e modular.
Gráficos em cartesianas.
 Equações linear e quadrática .Sistemas de equações
lineares. Métodos de solução.
 Métodos de contagem, com o sem repetição , com o sem
ordem . Soma Gaussiana. Permutações. Produto de
combinações.
 Relações trigonométricas no triangulo. Funções
trigonométricas.
 Conceito de probabilidade clássica. Construção do espaço
amostral .Probabilidade condicional. Relações com as
combinações e permutações.
 Media aritmética , desvio padrão. Valor esperado.
 Números naturais, inteiros , racionais e irracionais.
M.d.c. e m.m.c. Divisão de números inteiros.
Congruências. Ordem dos números racionais.
Potenciação. Racionalização de expressões irracionais.
Construção das questões
As questões do exame serão formuladas
preferencialmente como situações
problema,buscando questões que envolvam
o exercício do conteúdo matemático do
programa em contextos novos. As questões
podem envolver estudos de caso,simulações
e interpretação de textos, imagens, gráficos e
tabelas.
Sugestões para a preparação individual
 Estudo e resumo dos conteúdos a ser avaliados apoiado
na bibliografia orientada.
 Estudo de exercícios de aplicações resolvidos na
bibliografia.
 Estudo dos exercícios dos exames anteriores.
 Tentar resolver exercícios propostos.
 Em caso de não conseguir tentar:
 Ver se existe algum parecido e tentar resolver por
analogia.
 Se no consegue revisar de novo a teoria e volver a tentar.
 Se não conseguir precisara de ajuda externa.
 Se não encontra parecido revisar de todas formas a
teoria e volver a tentar.
 Se não conseguir precisara de ajuda externa.
Solução passo a passo de
questões com sua
argumentação matemática
Teoría dos números
Exemplo 1
 Orden dos números racionáis  Qual dos números abaixo é o
mais próximo de 0,7?
 A) 1/2
 B) 2/3
 C) 3/4
 D) 4/5
 E) 5/7
Conhecimentos
necessários
Solução passo a passo
 Representação de números
racionais como frações
decimais.
 Distancia entre números
 Calculemos sua distancia a
cada um dos 5, a menor
distancia indicara o número
mais perto.
10
7
7.0 
0.7 1/ 2 0.7 0.5 0.2,
0.7 2/3 0.7 0.66 0.04,
0.7 3/ 4 0.7 0.75 0.05,
0.7 4/5 0.7 0.80 0.10,
0.7 5/ 7 0.7 0.714 0.014
   
   
   
   
   
Finalmente
então fica mais perto de 5/7.
 Resposta alternativa E
Exemplo 2
Sejam a=27000,b=53000,c=132000
, e . Assinale a alternativa correta:
A) c<a<b
B) c<b<a
C) a<b<c
D) b<c<a
E) a<c<b
Solução
 Trabalho com
potenciação de números
naturais
 Propriedades da
potenciação
 Fundamentalmente
 Observe as bases são
diferentes. Utilizemos a
propriedade da
potencia(I) de direita a
esquerda.
200070003000
1325 
)(.
Iaa cbbc

 
 
  1000100022000
1000100077000
1000100033000
1691313
12822
12555



Ordenando com o mesmo expoente
veja
 Três com o mesmo expoente diferente base, podemos
ordenar-las ficaria alternativa A
Aplicando propriedades da potenciação
 Exemplo3
O número é igual a:
a)1/18 b)1/81 c)1/9 d)-18 e)9
3/2
27
Solução
 Propriedades da
potenciação
 Denominador no
expoente é raiz
 Sinal negativo no
expoente o termo passa
ao denominador
  9
1
3
1
27
1
27
1
27 22
3
3/2
3/2

Representação decimal de números racionais
Conceitos teóricos necessários.
 Os números racionais são representados na parte
decimal por uma seqüência cíclica de algarismos.
 Importante determinar a quantidade de algarismos de
o ciclo e os algarismos que o formam.
 Determinação de resíduo da divisão inteira.
Exemplo 4
 Dividendo 6 por 7 o
100º algarismo da
expansão decimal que
aparece apos a virgula
é:
 a)1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7
 Dividamos 6 entre 7 e
determinemos todos os
algarismos diferentes de
seu ciclo.
 Observe que o ciclo é
formado por 857142 são
6 algarismos, por tanto
para saber qual é o 100º
temos que dividir 100/6 e
obter o resíduo.
0.8571428
7
6

100/6=16*6+4
Como o resíduo é igual 4, contando a partir
de 8, temos que 1 será o quarto algarismo
resposta alternativa a
simplificação de expressões numéricas e
algébricas. Números irracionais.
 Neste tipo de exercício precisamos de trabalho
algébrico , fatoração,conhecer os casos tipos de
expressões algébricas (diferença de quadrados,
binômio de Newton, trinômio quadrado perfeito,
diferença cúbica).
 Trabalho com expressões irracionais e sua
racionalização.
Exemplo 5
Considere os números reais
A opção verdadeira é:
A) a e b são ambos irracionais e c é racional.
B) a e b são ambos inteiros e c é racional.
C) a e c são ambos racionais e b é irracional.
D) a é inteiro, b é racional e c é irracional.
E) a é racional e b e c são ambos irracionais.
   
24
721
,31,8
21
2
3
2 


 cba
Solução
 Temos expressões
algébricas com
números irracionais.
 Devemos simplificá-las
 Simplifiquemos a
,multiplicando pela
conjugada do
denominador, ao
numerador e
denominador
22222222
1
)21(2
8
)21)(21(
)21(2
8
21
2









a
 b não tem mais
simplificação.
 C pode ser simplificado.
 Simplifiquemos c
aplicando a formula do
binômio de Newton
sobre o termo cúbico.
     
4
5
24
25
24
7226231
24
7223231
24
721
323






c
Conclusão a e c são racionais e b irracional,
resposta alternativa C
Trabalho com frações, razões, proporções,
porcentagem.
 Neste tipo de exercícios precisamos de combinar
conhecimentos de outras áreas da matemática por
exemplo de geometria, unidades de grandezas,
variáveis e sua variação porcentual o proporcional,
solução de equações.
Proporções com geometria da circunferência
 Movimento e proporções
na circunferência
 Exemplo6
Meninas formaram uma
roda. Maria é a quinta
garota à esquerda de
Denise e é a sexta garota à
direita de María. Quantas
meninas estão na roda?
 A) 10
 B) 11
 C) 12
 D) 13
 E) 17
Solução
 Desenhar um circulo
colocar a Denise a sua
esquerda marcar 5 a 5ta
será Maria, então marcar
a direita 6 de forma que a
6ta coincida com Maria.
Então contar a
quantidade colocada na
circunferência.
D
M
São 11 resposta alternativa c)
Exemplo7
 Em um show de música, os organizadores notaram que a razão
entre o número de homens e o número de mulheres presentes no
início do evento era de 7/10 .Durante o show nenhum homem e
nenhuma mulher saiu ou entrou. Ao final do show, os organizadores
observaram um aumento de mais 255 homens e que 150 mulheres
deixaram o local, de modo que a razão entre o número de homens e
o número de mulheres presentes depois disto passou a ser 9/10
.Qual o número total de pessoas que estiveram presentes em algum
momento no show?
 (A) 1365
 (D) 3570
 (B) 1950
 (E) 3954
 (C) 3315
Solução
 Observe que a variável
principal é o número de
pessoas que estiveram no
show.
 Temos que determinar
número de mulheres e
homens presentes.
 Dos dados obter relações
entre as variáveis
anteriores.
 M0-número de homens
no inicio.
 Ho-número de mulheres
no inicio.
 Mo/Ho=7/10
 Ao final (Mo+255)/(Ho-
150)=
9/10
10(Mo+255)=9(Ho-150)(I)
10Mo=7Ho(II)
 Isolando Mo em (II) e substituindo em (I) obtemos
uma equação linear com relação a Ho.
 10(7/10Ho+255)=9(Ho-150)
 7Ho+2550=9Ho-1350,2Ho=3900,, Ho=1950.
 Mo=7(1950)/10=1365
 Total=Mo+255+Ho=1365+255+1950=3570
 Reposta alternativa D
Exemplo 8
Solução
 Devemos interpretar e
construir a figura
geométrica.
 Semelhança de
triângulos para obter as
relações entre o lado
AM=x e o comprimento
BN.
Exemplo 9
Solução
 Tempo equivalente entre
as dúas academias.
Formar com os dados
uma equação linear.
 70t+130=80t+90
 10t=40
 t=4 meses
Resposta alternativa A
Exemplo 10
Solução
 Neste exemplo
precisamos trabalho com
medias aritméticas.
Devemos combinar as
duas entre os dois
períodos e formar uma
equação linear.
 m-media do2009-2012
 m=325.
 X-quantidade de 2013
 m+.2m=(4*m+x)/5
 x=1.2m*5-4m=2m=650
 Resposta alternativa E
Exemplo 11
Solução
 O conhecimento do
porcentagem é muito
importante.
 Ir diminuindo até passar a
metade do valor original.
 Sim diminui 20% conserva
um 80% do valor que é
equivalente a multiplicar
cada valor anual por 4/5
 Considerando 1 o total
 1*4/5=4/5
 4/5*4/5=16/25
 16/25*4/5=64/125
 64/125*4/5=256/625<1/2
 Demoramos 4 anos
mínimo.
 Resposta alternativa B
Exemplo 12
Solução
 Os conhecimento da
semelhança de triângulos é
fundamental neste exemplo.
 Lembremos as propriedades de
dois triângulos semelhantes.
Seus ângulos correspondentes são
iguais e seus lados opostos
proporcionais.
O perímetro de um trapézio é soma
de seus lados.
Determinar os lados com
comprimento dados e
desconhecidos.
Usando semelhança obter as
relações para calcular os
desconhecidos.
 AB=9cm,BC e CD
desconhecidos, DA=6cm.
 Pelo semelhança dos triângulos
ABD e BDC obtemos as
igualdades por lados
correspondentes proporcionais.
 BD/AB=CD/BD=BC/DA
 12/9=CD/12=BC/6 de aqui
teremos
 CD=144/9=16cm
 BC=72/9=8cm
 Perímetro=16+8+9+6=39cm
 Resposta Alternativa C
Exemplo 13
Solução
 Exemplo típico do
trabalho com
proporções.
 Determinar a variável do
problema quantidade de
estudantes da turma .
 Formar as diferentes
relações que a envolvem
e formar uma equação
para determina-la.
 X- número total de
estudantes da turma.
 Custo fixo é aqui a chave
 Temos dois custos
quando participa toda a
turma (X) e quando não
participam 8.Igualando
estes dois produtos
 30*X=37.5(X-8)
 Obtemos uma equação
linear para calcular X.
 30X=37.5(X-8)
 7.5X=37.5*8=300
 X=300/7.5=40 alunos.
 Resposta Alternativa D
Exemplo 14
 Um pacote de biscoitos tem 10 biscoitos e pesa 85
gramas. É dada a informação de que 15 gramas de
biscoito correspondem a 90 kcalorias. Quantas
quilocalorias têm cada biscoito?
 a)38 kcal b)43 kcal c)46 kcal d) 51 kcal e)56 kcal
Solução
 Determinar quantidade
de gramas de cada
biscoito.
 Determinar a quantidade
de kcal por grama de
biscoito
 Então já podemos
calcular quantidade de
kcal de cada biscoito.
 Se 10 biscoitos pesam 85
gramas então cada
biscoito pesa 8.5 gramas.
 Se 15 gramas contem 90
kcal então 90/15=6
 Multiplicando a
quantidade de kcal por
grama (6) por
quantidade de gramas de
cada biscoito(8.5)
 6*8.5=51 kcal
Resposta 51g alternativa d)
Exemplo 15 Proporções na balança
Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois
pratos. Ele possui 5 pesos distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e
81g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos,
descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam no
mesmo prato que a pera?
 A) 1, 9 e 27
 B) 3 e 27
 C) 9 e 27
 D) 1 e 9
 E) 3 e 9
Solução
 Obter uma igualdade
entre as pesas e a pera
em ambos pratos da
balança.
 Obter o total e dividir em
dois.
 Determinar quais
somadas como peso da
pera é igual a metade.
 Total=(1+3+9+27+81)+61=
182.
 Total/2=91
 61+27+3=91
 Resposta alternativa B
Exemplo 16
Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade.
Isto significa que em 100 gramas da amostra teremos 18
gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhor
aproximação do percentual de água da amostra a ser
evaporado se quisermos obter 30% de salinidade?
 A) 30 %
 B) 36 %
 C) 42 %
 D) 49%
 E) 58%
Solução
 Necessitamos do trabalho com
proporções , porcentagem e
regra de três.
De 100 g como temos 18 % de sal
então podemos supor que 18 g
de sal e 82 g de agua.
Na nova proporção
teremos 30 % do peso de sal.
O peso p=60 g de peso como
teremos igual 18g de sal então de
agua ficarão 42g de agua
Por tanto se evaporara 82-42=40g
Que representa
40/82*100=48.7..%
Resposta alternativa D
18 30
100p

Exemplo17
 Segundo informações do último censo do IBGE, a população brasileira
cresceu cerca de 12% , entre os anos de 2000 a 2010 . Nesse período, a
população urbana passou de cerca de 81% para cerca de 84% da
população total. A partir dessas informações, podemos concluir que a
população não urbana no período:
 a) decresceu aproximadamente 8%
 b) decresceu aproximadamente 6%
 c) permaneceu aproximadamente a mesma
 d) cresceu aproximadamente 9%
 e) cresceu aproximadamente 12%
Solução
 O centro de partida é a
população brasileira no
ano 2000.
 Interpretar os dados
relacionados com a
variável principal e suas
variações.
 Agora calculemos o
porcentagem.
 Chamemos de
x-população de 2000
2000 2010
Total x 1.12x
Urbana 0.81x 0.84(1.12x)
Rural 0.19x 0.16(1.12x)
68.5100
19.0
0108.0
100
19.0
1792.019.0
100
19.0
)12.1(16.019.0





x
xx
x
xx
p
Resposta alternativa B
Geometria Euclidiana
 Necessitamos uma base de conhecimentos da geometria
plana atendendo aos conteúdos colocados no edital do
exame.
 Alguns questões não tem a figura intente faze-la bem
grande e com certa precisão, determine ângulos, simetrias,
faca conjeturas de acordo ao elemento a determinar.
 Alguns questões tem a figura, então passamos de acordo ao
que temos que determinar , ver os elementos que
conhecemos, a vezes precisamos de construir elementos
auxiliares, prolongar semirreta, segmentos, etc.
 Na questões discursivas necessitamos justificar nossas
conclusões.
Exemplo 18
Solução
 Necessitamos os
conhecimentos das
relações geométricas da
pirâmide quadrada. Um
desenho da pirâmide
ajuda a entender o
problema.
d
 A altura da pirâmide é um cateto do triangulo
retângulo outro cateto é a metade da diagonal do
quadrado da base.
 Teríamos então d- diagonal .
2 2 2 2
8 8 8 2, 8 ( / 2) 4 2d h d     
 Reposta alternativa A
Exemplo 19
Solução
 Necessitamos conhecer
as características do
triângulo
isósceles(mediatriz,
mediana e altura
coincidem).
 h- cateto do triangulo
retângulo
 h2=b2-(a/2)2=100-64=36,
h=6
 O apoio de medida c
esta no ponto médio do
cateto do triangulo
retângulo, logo o outro
extremo esta ponto
médio da hipotenusa
 c=h/2=3.
 Notemos agora que v é o lado lateral do triangulo
isósceles , assim
 v=b/2=10/2=5
 Resposta alternativa A
Exemplo 20
Solução
 Maximizar área da figura com
perímetro constante.
 Precisamos conhecimento das
características geométricas
( área , perímetro ) do circulo e o
retângulo.
Obter uma função área da figura
com perímetro constante .
Conhecimento da função
quadrática (parabólica) e
obtenção de seu
vértice(máximo)
Completa mento do trinômio
quadrado perfeito.
 Área da figura cinza se obtém
a subtrair a área do retângulo
(XY) a área do circulo πr2
(r=X/2)
 A(X,Y)=XY- πX2/4,
 Ágora a restrição colocada de
perímetro=10.
 P- perímetro
 P=2Y+2 πX/2=2Y+πX =10
 Insolando Y=(10-πX)/2 e
substituido na função A
obtemos
 A(X)=X (10-πX)/2 - πX2/4
 A(X)=X (10-πX)/2 - πX2/4=-3 π/4X2+5X função quadrática.
 Determinemos o vértice onde a função alcança seu valor
máximo, completando o trinômio quadrado perfeito.
 A(X)= -3 π/4 (X2-2 (10/3 π) X+ (10/3 π) 2)+25/3 π
 A(X)= -3 π/4 (X- 10/3 π)2+ 25/3 π parábola que alcança seu
máximo em X= 10/3
 A(10/3)=25/3/3.14=2.6539…
 Resposta
 Alternativa E
Exemplo 21
Solução
 Exemplo de aferimento
de um tanque cilíndrico.
 Necessitamos calcular a
área sombreada ,
apoiados na geometria
do circulo ( área de
região circular central) e
área de triangulo
retângulo.
 cos(pâb)=R/2/R=1/2,
pâb=π/3
 Então a área do setor
circular acoba=π/3R2
 Agora determinemos
área do triangulo acpba
 A cateto
 Area Triangulo acpba=
2 2 3
( / 2)
2
pb R R R  
23
4
R
 Área sombreada=
 Multiplicando por o comprimento do cilindro
obtemos o volume
 Resposta alternativa B
23
( )
3 4
R


23
10( )
3 4
V R

 
Exemplo 22
Solução
 Necessitamos os
conhecimentos de áreas
de círculos, quadrados,
relação entre lados de
um quadrado inscrito a
uma circunferência e o
raio de esta.
 Um desenho ajudaria
muito
2l r
 Área do circulo interior =1= πr2,r2=1/ π.
 O então o raio do circulo exterior é R= l, área
Cexterior= πR2=2
 Resposta alternativa C.
Exemplo 23
Solução
 Construir o hexágono
regular e os triângulos
equiláteros que tem
dentro.
 Com a quantidade de
triângulos equiláteros
que contem 3 hexágonos
construir triângulos
equiláteros.
 Desenho gráfico
Veja 6 triângulos por 3 da 18 triângulos de
lado 10 centímetros.
 Resumindo da para construir 2 triângulos equiláteros
de 30 cm lado
 Resposta alternativa C
Exemplo24
Solução
 AC diagonal do quadrado
 f(x)- função que representará
a área sombreada.
 Observe que f(0)=0,f(1)=1,
f(2)=2
 De aqui excluímos os casos
C;D e E.
 Então estamos entre A y B
 Veja como varia f(x) para
xE[0,1]
 f(x)=Soma de área de um
triângulos retângulos
isósceles de altura x.
 f(x)=x2, xE[0,1]
 Evidentemente será
alternativa A sem avaliar
xE(1,2].
 Mais para que não fiquem
duvidas calculemos f(x) será
diferença da área do
quadrado ABCDA- área do
um triangulo retângulo
isósceles de altura x-2
 f(x)=2-(2-x)2
Exemplo 25
Solução
 Formular área de
retângulo em função de
sua altura e base.
 A=b.h
 Expressa-la como função
das novas variações de b
e h.
 A=(b+b*/10)(h-h/10)
 Simplificando
 A=b*1.1*h.9=.99b/h
 Então diminui em 1%.
 Resposta alternativa A
Exemplo 26
Solução
 Necessitamos conhecer as
formulações das áreas do
retângulo, triângulos
retângulos.
 Área do retângulo=2*3
 Área triangulo ABC=Área do
retângulo –Área triangulo
retângulo -área do trapézio.
 Área do trapézio= área
triangulo retângulo maior –
área triangulo retângulo
menor, ambos são
semelhantes
 2/x=4/1, x=1/2
 Área trapézio=1/2*4*1-
1/2*2*1/2=3/2
 =6-1/2*2*2-3/2=5/2
 Resposta alternativa E
Exemplo 27
Solução
 Aqui necessitamos nossos conhecimentos sobre
ângulos interiores num polígono regular.
 Num polígono convexo regular de n lados a soma de
seus ângulos interiores e igual a (n-2)180.
 No caso temos x ângulo interior de um pentágono a
soma será 3*180=540, agora dividendo por 5 temos
 540/5=108
 Resposta alternativa A
Exemplo 28
Solução
 Entender o problema e
determinar o elemento
geométrico a calcular.
 Introduzir as variáveis
necessárias para calcular a
principal.
 Procurar dados por
semelhança de triângulos,
paralelismo.
 Equacionar.
 Resolver.
 Nos pedem calcular o
comprimento do segmento
BP, chamaremos de y.
 y=BP.
 Temos dois triângulos
retângulos relacionando
este segmento
 ∆APB e ∆BPX
 Conhecemos a longitude
do segmento
AX=5,AB=1,distancia entre
paralelas=2.
 Chamemos AP=z, outra variável . O ∆AXB tem altura
2( distancia entre paralelas) e base 1.
 Por outro lado a área A∆AXB= A∆APB+A ∆BPX de
onde obtemos a equação
 Resposta alternativa C
1 2 . (5 ) 5 2
2 2 2 2 5
x z y z y y
y

    
Exemplo 29
Solução
 Precisamos dos
conhecimentos sobre o
trapézio , seu perímetro.
Elemento a calcular
perímetro trapézio menor.
 Trapézio isósceles lados
no paralelos de igual
comprimento.
 Tirar conclusões do
encaixamento dos
trapézios menor no maior.
 Observe que três lados do
trapézio menor são iguais
chamaremos de x , e tem
um lado maior
chamaremos de y.
 Os ângulos interiores dos
trapézios pelo
encaixamento são de 60º os
agudos e 120º os obtusos.
Por trigonometria implica
y=2x.
 Então o perímetro do
trapézios sombreado é
y+3x=2x+3x=5x.
 Por inspeção o perímetro do trapézio maior
 4y+2x=4(2x)+2x=10x=36
 De onde x=3.6 cm
 Perímetro do trapézio sombreado é 5*3.6=18cm
 Resposta alternativa C
Exemplo 30
Solução
 Identificamos o
elemento a calcular.
 Interpretamos os dados
da construção
geométrica.
 Estabelecemos as
relacoes para calcular o
valor.
 Os triângulos são
semelhantes, por ter
seus três ângulos
interiores iguais por
alternos internos entre
paralelas.
 Por tanto seus lados são
proporcionais.
 Essa proporção a
conhecemos de as bases
 AB/DE=8/5.
 Sabemos que a proporção linear k=8/5 por tanto área
do triangulo maior=k2 área do triangulo menor.
 Então a razão é 2.56
 Resposta alternativa E
Exemplo 31
Solução
 Entender a construção
da figura a partir de um
circulo.
 Necessitamos conhecer
área do circulo e
perímetro da
circunferência.
 Estabelecer relacoes
entre as duas figuras.
 Área do circulo inicial de
raio=10 é 100∏.
 A figura construída de
um retângulo central e
dois semicírculos de raio
5.
 O perímetro de ambas
coincide
 p=20 ∏=10 ∏+2*x
 x-comprimento lado
desconhecido.
 Isolando obtemos x= 5∏.
 Então a área da figura é =25 ∏ +50 ∏=75 ∏
 A razão fica 75∏/100 ∏=3/4
 Resposta alternativa A
Exemplo 32
Solução
 Conhecimento de
paralelismo e
perpendicularidade de
segmentos.
 Construir o segmento
paralelo a AC e utilizar a
semelhança de
triângulos.
 Estabelecer relacoes de
proporção necessárias
para obter a equação.
 x=AC incógnita
 Da semelhança dos
triângulos BDG e BFH.
Resposta alternativa D
Exemplo 33
Solução
 Temos que utilizar os
conhecimentos sobre
triângulos equiláteros e
retangulares,
semelhança de
triângulos.
 Construir as alturas AR e
BS
 Construir as relacoes
necessárias para
equacionar.
 Chamemos de x –
comprimento do lado
 Os triângulos BNM e BRA
são semelhantes, por tanto
como BM é a metade de
BA então BN é a metade
de BR e BN=x/4 e
NC=3x/4.
 Os triângulos CPN e CSB
são semelhantes então
CP=3/4CS, por outro lado
AP=12 CP=x-12
 Equações obtemos
3
12
8
x
CP x  
 De onde x=19.2
 Resposta alternativa E
Exemplo 34
Solução
 Conhecimento de área
de triângulos retângulos
e retângulos.
 Proporcionalidade entre
triângulos semelhantes.
 Obter relacoes entre as
áreas das 3 figuras.
Relação entre lados de triângulos
semelhantes
 lb/la=20/40=1/2
 Área A= 4 área= área C
 ∆A=40x, C=40x resposta
 Alternativa D
Exemplo 35
Solução
 Conhecimento da
circunferência.
 Observe as simetrias.
 4 áreas iguais, cada área
pode ser oleada como a
soma de dois iguais
 Teremos 8
 Calculemos uma delas
como diferencia da área de
um setor circular de
amplitude Pi/4 –área de
triangulo retângulo de
base 1 y altura =1*1/2
 8(Pi/4-1/2)=2Pi-4
 Resposta alternativa C
Exemplo 36
Solução
 Os hexágonos regulares
podem olear-se como
soma de áreas de
triângulos equiláteros
cujos lados tem relação
com o raio da
circunferência.
 Área de triangulo
equilátero = 3/4l2
 O hexágono inscrito
temos l=r,e tem 6
triângulos equiláteros
 Temos sua área
 =6 3/4r2=3 3/2r2
 O hexágono circunscrito
Os triângulos tem uma
como altura o raio.
Então aplicando Pitágoras
 r= l2-l2/4= 3/2l l=2/ 3r
 Então como temos 6 triângulos 6 3/4(2/ 3r)2
 =4/3(3 3/2r2)
 Resposta alternativa B.
Exemplo 37
Solução
 Conhecimentos de áreas de
semicircunferências.
 Como as áreas da
semicircunferência menor
esta uma sombreada e
outra sem sombrear se
compensam.
 Por tanto área sombreada é
a soma das áreas da
semicircunferência media
e maior.
 Area=π6^2/2+
π3^2/2=22.5π
 Resposta alternativa B
Exemplo 38
Solução
 Precisamos das
propriedades dos
triângulos isósceles,
circunferência
circunscrita a um
triangulo.
 Seja y a metade da base
do triangulo isósceles .
Então área do triangulo
isósceles é igual a x*y.
 Determinemos o y em
função do x.
 r=3cm por dado.
Por Pitágoras r2=(x-r)2+y2
 Isolando
Resposta alternativa A
2 2
9 ( 3) 9 6 9 (6 )y x x x x x        
(6 )A x x x 
Exemplo 39
Solução
 Precisamos das
propriedades dos
triângulos retângulos.
 Triângulos retângulos com
a mesma área o produto de
sus catetos é igual.
 BP*BC=AP*AQ=QD*DC
 (I e
II)AP/BP=BC/AQ=BC/(BC-
QD)= 1/(1-QD/BC)
 (I e
III)QD/BC=BP/DC=BP/(BP+
AP)=1/(1+AP/BP)
 Agora combinando
 X=AP/BP
 X =1/(1-1/(1+X))
 Obtemos uma equação com
relação a X
Resposta alternativa B
2
1 1
1
1
1
1 0
x
x
x
x
x x

 


  
1 5
2
x


Exemplo 40
Solução
 Trabalho com triângulos
retângulo e semelhança de
triângulos.
 x= FE,
 No triangulo FEC
retângulo aplicamos
Pitágoras
 x2=(1-x)2+1/4
 Cuja solução é x=5/8
 Os triângulos retângulos
GDF e FEC são
semelhantes , pois os
ângulos DFG e EFC são
complementares
 Então FE/CE=GF/FD,5/8
3/8 1/ 2
5/ 6
FG
FG


Resposta alternativa D
Modelagem com equações lineares
 Precisamos entender bem a situação real, o problema a
resolver(geralmente necessitamos conhecimentos de
áreas especificas).
 Determinar a variável incógnita do problema.
 Encontrar as relações da incógnita com os dados e
representá-lo em formulações.
 Reduzir a uma equação linear.
 Resolver a equação obtida.
Exemplo 41
 Considere três números, a, b e c. A média aritmética
entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b e c é 15. O
valor de c é:
 A) 9
 B) 10
 C) 11
 D) 12
 E) 15
Solução
 Necessitamos conhecer o
conceito de media
aritmética de um conjunto
de números.
Dados x1,x2,…xn
Media A=(x1+x2+…+xn)/n
 As incógnitas estão em
forma explicita no
problema.
 Construir as relações a
traves das medias
aritméticas.
 Incógnitas os números a,b
e c, relacionam-se por suas
medias aritméticas.
 Incógnita principal a
calcular c.
 (a+b)/2=17 (i)
 (a+b+c)/3=15(ii)
 Isolando (a+b)=34 e
substituindo em (ii)
obtemos a equação com
relação a c.
 (34+c)/3=15
 c=45-34=11  Resposta alternativa C
Exemplo 42
 No dia do aniversário de João em , uma pessoa
perguntou a idade dele. João respondeu: “se eu
não contasse os sábados e os domingos da
minha vida, eu teria 40 anos de idade”. João
nasceu no ano de:
a) 1946
b) 1954
c) 1962
d) 1964
e) 1968
Solução
 Conhecimentos
necessários sobre
calendários( dias de um
ano, dias da semana).
 A variável principal esta
explicita.
 Determinemos relações
pelos dados
 Ano normal tem 365
dias, a semana tem 7
dias.
 Ano de nascimento de
João é x.
 Dias vividos ate 2010
365(2010-x).
 Agora calculemos os dias
vividos, tomando em
conta que teria 40 anos
sim sábados e domingos
 Obter duas expressões dos anos vividos tomando em
conta anos normais e por outro lado que teria 40 anos
não contando os sábados e domingos.
365(2010 ) 365(2010 )
40*365
7 7
x x 
 
Igualando as expressões
obtemos a equação para
calcular x
365(2010 ) 365(2010 )
365(2010 ) 40*365
7 7
1954
x x
x
de onde x
 
   

Resposta alternativa b
Exemplo 43
Solução
 Tipo problema cuja solução
são equações lineares .
 Determinar as variáveis.
 x-número de acertos
 y-número de erros
 Soma de pontos por acertos
e erros do cara são 50
 Soma de acertos e erros em
qualquer prova é 35
 3x-2y=50
 x+y=35
 Isolando y=35-x e
substituindo 3x-2(35-x)=50
 5x=50+70=120
 x=24
 Resposta alternativa D
Exemplo 44
Solução
 Necessitamos
representar números no
sistema base 10.
 Por os dados do
problema plantear a
equação que da o
número x.
 A direita 10x+1
 A esquerda 10^5+x
 Então 10x+1=3(100000+x)
 De onde obtemos
 7x=300000-1=299999
 x=299999/7=42857
 Soma dos
dígitos=4+2+8+5+7=26
 Resposta alternativa B
Exemplo 45
Solução
 Temos três números
inteiros, as somas de eles
dois a dois é conhecida,
formaremos 3 equações
lineares com 3 incógnitas
a,b,c.
 Resolvendo o sistema
obtemos os 3 números e os
multiplicamos.
 a+b=37(I)
 b+c=41(II)
 a+c=44(III)
 De (I) -(II)
 a-c=-4
 a+c=44
 Somando 2*a=40, a=20
 b=17,c=24
 O produto
abc=24*20*17=8160
 Resposta alternativa D
Exemplo 46
Solução
Com os dados formemos
uma equação linear para
calcular o número de
integrantes da torcida A .
 x- Números de
integrantes torcida A
 32*x+34(84-x)=2752
 34*84-2752=2x
 x=104/2=52
 Resposta alternativa D
Exemplo 47
Solução
 Combinar contagem com
equação linear
 n-rapazes , 2n mocas
 Total de jogadores 3n.
 Total de partidas
combinatória sim repetição
e sim ordem.
 3n!/(3n-2)!/2!=3n(3n-1)/2
 O 10% das partidas foi
entre rapazes n.
 n!/(n-2)!/2!=n(n-1)/2
 1/10=n(n-1)/2/3n(3n-1)/2
 Simplificando obtemos
 9n-3=10n-10,n=7
 Resposta alternativa B
Modelagem com equações quadráticas
Exemplo 48
 Um grupo de jovens aluga por 342 reais
uma van para um passeio, findo o qual três
deles saíram sem pagar. Os outros tiveram
que completar o total pagando, cada um
deles, 19 reais a mais. O número de jovens
era de
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 19
Solução
 Necessitamos interpretar
bem o problema.
 A variável principal é
clara.
 Procurar relações com a
variável principal para
construir a equação.
 O número de jovens
chamaremos de x.
 Deveria pagar cada um
deles 342/x.
 Como 3 deles farão
embora fico para o resto
pagar o anterior mais
19.
342/(x-3)=342/x+19
010265719
342*3)3(19
342
19
)3(
3
2





xx
xx
xx
xx
 Cujas soluções são x=-6 e x=9, então
 Resposta alternativa b
Exemplo 49
Solução
 Temos uma função
quadrática também
modular.
 As propriedades de estas
funções devemos utiliza-
las.
 Podemos procurar uma
solução gráfica.
 a função tem duas
ramas
 Grafiquemos f(x).
2
2
2 ( 2), 0
( )
2 ( 2), 0
x x x x x
f x
x x x x x
    
 
   
3 2 1 1 2 3
1
1
2
3
 Observe do gráfico que a reta paralela ao eixo x, só
corta em 4 pontos a curva no intervalo(0,-1). Resposta
alternativa D.
3 2 1 1 2 3
1.0
0.5
0.5
1.0
Exemplo 50
Solução
 Temos uma equação de
2do grau e um expressão
que utiliza uma raiz dela
.
 x2+x-1=0,r-raiz dela
então
 r2=1-r
 Substituindo na
expressão 1-r por
r2obtemos:
 Resposta alternativa A
5 6
3 2 2
2 4
2
2
2
2
2 ( 2)
1
(1 )( 2) 2
1 ( 1) 1 0 1
r r
r r r r
r r
agora substituindo r por r
r r r r
transformando obtemos
r r
     

     
     
Exemplo 51
Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas de
terra. Admita que todos possuem a mesma velocidade de trabalho
(medida em área cortada por unidade de tempo) e que uma das glebas
tenha o dobro da área da outra. Até a metade do dia todos trabalham
juntos na gleba maior e, na outra metade do dia, metade dos
trabalhadores passa a cortar a cana da gleba menor, enquanto a outra
metade continua cortando grama na gleba maior. No final deste dia, os
trabalhadores terminaram de cortar toda a cana da gleba maior, mas
um trabalhador demorou mais um dia inteiro para terminar de cortar a
cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia no grupo?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Solução
 Conhecimentos necessários
para entender o problema,
(geometria elementar
combinada com proporções).
 Determinação da variável
principal.
 Determinação de relações
entre a variável principal e
outras variáveis do problema
e os dados.
 Variável principal
quantidade de trabalhadores-x
Tomaremos como unidade de
tempo o dia.
p- área cortada/unidade de
tempo de cada trabalhador
 Para obter uma equação para
calcular x, podemos apoiar
nos na quantidade de
trabalhadores utilizados em
cada área alem de conhecer
que uma gleba tem o duplo da
área da outra.
 Para cortar a cana da gleba A
Utilizarão todos os trabalhadores médio dia + a metade
deles na outra metade do dia e dizer. Obtemos a
expressão da área da gleba A em função de x e p.
)
42
(
2
1
**
22
1
**
xx
p
p
x
px


 Para cortar a cana da gleba B utilizarão a metade dos
trabalhadores médio dia, mais um trabalhador um dia
a mais completo e dizer.
 Obtemos a expressão da área da gleba B em função de
x e p.
)1
4
(
1**1
2
1
**
2


x
p
pp
x
 Igualando as áreas cortadas proporcionalmente
 área(A)/2= área(B) obtemos a igualdade:
81
8
1
484
)1
4
(
2
42




x
x
xxx
x
p
xx
p
Exemplo 52
Solução
 Combinar relações para
obter o valor de x pode ser
uma alternativa.
 Vamos construir as
relações
 x*z*y=108y=72x=6s*y=x*w
*s=54*w.
 Obtemos rapidamente
72x=108y
 y=2/3x, s=72x/6y=18
 54w=108*2/3x, w=4/3x
 x*4/3x*18=72x
 x=3
 x+y=3+2=5
 Resposta alternativa A
Exemplo 53
Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este bilhete: “Dividam
igual-mente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do
dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro,
pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5
reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a mãe deixou?
a) 25 reais
b) 35 reais
c)45 reais
d)48 reais
e)55 reais
Solução
 Interpretar o problema e
identificar a variável
incógnita .
 Procurar relações dela
com os dados
 Equacionar
 Variável principal
quantidade de dinheiro
que deixo a mãe deles-x
 Encontremos relações
com x
 O primeiro filho pego
x/3
 O segundo pego um
terço do que fico (2x/3)/3
 O ultimo pego o que fico
5*4=20 reais
Então a soma deles = x(total)
454/180
20*94,20
9
59
20
9
23
20
9
2
3
20
3
1
3
2
3








x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
x
Resposta alternativa c
Exemplo 54
Solução
 Formar a equação passo
a passo.
 N- quantidade de
figurinhas
 6/7*4/5*2*3*N=96
 Equação linear respeito a
N
 N=210.
 Resposta alternativa B
 Exemplo 55
A figura ao lado é formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se
um número inteiro.
O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir é a soma dos números que estão
escondidos nos quadrados pintados.
Modelagem com sistema de equações lineares
O número do quadrinho central é:
a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 13
Solução
 Necessitamos entender
bem a problema.
 Introduzir variáveis em
cada quadrinho.
 Formar o sistema de
equações lineares
 Resolve-lo
A variável principal e c
 Formemos a sistema de equações
)(24
)(23
)(22
)(29
)(26
Vedba
IVedca
IIIedcb
IIecba
Idcba





Subtraendo da equação (V) outras obtemos expressões
para substituir em (I). Resposta alternativa c
7284,2624
26512
5,5)()(
2,2)()(
1,1)()(





ccc
cccc
cdcdIIV
cacaIIIV
cbcbIVV
Exemplo 56
Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1 . Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e
sua média caiu 0,2. Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas?
a) 10
b)5
c) 6
d) 8
e) 9
Solução
 Conhecimentos de media
aritmética.
 Determinar a variável
principal.
 Relações da variável
principal as secundarias e
os dados.
 Formar sistema de
equações.
 Variável principal quantidade
de notas –n.
 Variáveis secundarias
mediafinal-m
 Somafinal-s
 Temos as seguinte variações
da nota media.
 m=s/n
 m+0.2=(s-7)/(n-1),
 (m+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)
 Temos um sistema com três
incógnitas m,s e n.
 m=s/n(I)
 m+0.2=(s-7)/(n-1)(II)
 (m+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)(III)
Resolvendo o sistema
 Substituindo(I) em (II) e (III)obtemos
 s/n+0.2 =(s-7)/(n-1)
 (s/n+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)
 Isolando s em ambas e igualando obtemos uma equação
com relação a n.
 s=7n+0.2n(n-1) e s=0.1n(n-2)/2+16.8n/2
 7n+0.2n(n-1)=0.1n(n-2)/2+16.8n/2
 Simplificando obtemos uma equação com relação a n.
 15n^2-150n=0, onde n=10, n=0
 Resposta alternativa a
Exemplo 57(resolvendo a prova de erro)
Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um
deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum
deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana foi
a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos
peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Solução
 Precisamos interpretar
corretamente o
problema.
 Determinar a variável
principal.
 Obter as relações
importantes a partir dos
dados.
 A variável a determinar
quantidade de peixes
pescados por os meninos
Chamaremos de x.
Ana a que mais pesco
chamamos de A
Beatriz a que menos pesco
chamamos de B
x1, x2- o que pescarão os
meninos x1+x2=x
 A>x2>x1>B>=1
 soma=A+B+x1+x2=11
 Provando combinações
 B=1, x1=2,x2=3,A=4, soma=1+2+3+4=10 diferente
de 11
 Observe que só podemos incrementar uma delas o
lógico seria a ultima e satisfizemos todas as
condições por tanto x1+x2=x=5
 Resposta alternativa C
Modelagem com inequações
 Difere das equações só que obtemos uma desigualdade
no lugar de uma igualdade.
Exemplo 58
Na loja , um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa de manutenção mensal
de 20 reais. Na loja, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém a taxa de
manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a
compra na loja A se torna mais vantajosa que a da loja B?
a) 30
b) 72
c) 39
d) 63
e ) 44
Solução
 Necessitamos conhecimentos
elementares de economia(
juros mensais).
 Determinar a variável
principal.
 Determinar relações dos
dados com a variável
principal.
 Variável principal depois de
quantos meses e mais
rentável a compra na loja A -
x .
 O custo de A
 3800 +20x
 C ucto de B
 2500+50x
 O inequação
 3800+20x<2500+50x
 De onde isolando x obtemos
 1300/30<x x>43.3
 Resposta alternativa e
Exemplo 59.Resolvendo equações não
lineares
A soma das raízes da equação é igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
223  xx
Solução
 Identificar o tipo de
equação não linear.
 Aplicando operações
validas isolar a variável e
determinar o conjunto
solução da equação.
 Elevando ao quadrado e
transformando
convenientemente:
   
 
1,9
0)1)(9(
0910,496
43,23
4)3(2,462
4423
223
22
2
22







xx
xx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxx
xx
 Verifiquemos qual das soluções da ultima equação é
solução da original
 Observe que x=1 não é solução
 Mais x=9 é solução
 Resposta alternativa d
211 
55
2925


Modelagem com contagem
 Necessitamos conhecer as diferentes situações de
contagem.
 Contagem aritmética com soma gaussiana
 Contagem com repetição de m em n é nm
 Contagem sem repetição de m em n é
.
2
)1(
1




mm
i
mi
i
)!(
!
mn
n

 Contagem sem repetição e sem ordem de m em n
 Lei do produto é a combinação de contagem anteriores em
produto deles
 Podem existir contagem que combinem vários dos anteriores
 Outras situações de contagem resultam quando temos que
contar caminhos para ir de um ponto a outro em uma matriz.
 Contagem pode ser combinado com resolução de equações .
!
( )! !
m
n
n
C
n m m


Exemplo
 Contagem com repetição e com ordem
Quantos números de dois algarismos podemos formar com os
dígitos 1,2,3?
Veja m=2,n=3 debe ser 32
{11,12,13,21,22,23,31,32,33} observe são 9 pares é dizer 3^2=9.
 Agora sem repetir dígitos( excluímos 11,22,e 33)
{12,13,21,23,31,32} só 6 é dizer 3!/(3-2)!=6
 Agora sem repetir dígitos e sem ordem( significa que é o
mesmo 23 que 32 ,12 e 21 e 13 e 31) excluímos 3 mais fica
então.
 {12,13,23} só 3 é dizer 3!/((3-2)!2!)=3
Exemplo 60
Um campeonato com 25 clubes é disputado num ano, com um único turno, pelo sistema de pontos corridos (cada
clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada semana há sempre o mesmo número de jogos e não há
jogos na semana do Natal nem na do Carnaval. O número de jogos que devem ser disputados em cada semana é:
a) 5
b) 4
c) 8
d) 6
e) 10
Resolução
 Identificar o problema
como de contagem
 Tipo de contagem.Como
identificá-lo.
 Analisemos os equipes não
joga com sigo mesmo,
então sem repetição, alem
de isso, a ordem também
não importa é o mesmo a
com b que b com a. Então a
contagem é combinatória
de m em n.
 Quantidade de jogos entre
25 equipes, cada um jogo
com os outros uma vez.
 300 jogos
 Queremos saber quantos
jogos semanais ,
eliminando duas
semanas,calculemos
quantidade de semanas
num ano.
300
2
24*25
!2)!225(
!2525
2 

C
 365/7=52
 52-2=50
 Por tanto a quantidade de jogos por semana 300/50=6
 Resposta alternativa 6
Exemplo 61
Um número natural é chamado de estranho se seus
algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 e é
chamado de belo se todos os seus algarismos são pares.
Quantos são os números de quatro algarismos que são
estranhos ou belos?
A) 24
B) 500
C) 3024
D) 3500
E) 3548
Resolução
 Identificar como problema
de contagem
 Tipo de contagem
É combinado pelas
definições de números
estranhos que são sim
repetição e os números
belos tem repetição, alem
tem que tirar os números
que são as duas cosas, uma
vez.
 Combinando os dígitos de 1
…9 sem repetição de 4
teríamos todos os
estranhos
9!/(9-4)!=6*7*8*9=3024
Agora vamos tirar os que são
também belos,temos os
estranhos com pares
distintos.
4 pares 2,4,6,8
4!=24
Então teremos 3024-24=3000
Estranhos só.
Números belos
 Todos seus algarismos são pares podem repetir se
 {0,2,4,6,8} o zero entra qualquer posição exceto inicio ,
mais pode ter repetição.
4*5*5*5=500
Então teremos 3000+500=3500
Resposta alternativa D
Exemplo 62
Solução
 Contagem sem repetição
e com ordem
 Só três dígitos
interessam
 Podemos utilizar para o
primer número todos
menos o zero. Temos 9
para o segundo temos 9
também pois entra o
zero e ficam só 8 para o
ultimo.
 9*9*8=648
 Resposta alternativa A
Exemplo 63
O número2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e
3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números
naturais entre1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem
crescente?
a) 126
b) 144
c) 186
d) 210
e) 252
Solução
 Identificar um problema
de contagem.
 Tipo de contagem (
contar os números que
seus dígitos estão
estritamente em ordem
crescente de 4dígitos
 Por exemplo fixando o
número como primeiro
1_ _ _ quantos podemos
formar
 Utilizando 2…9 é dizer 8
sem repetição de
números e em ordem
crescente ( ordem
unidirecional)
 Teremos 8!/((8-3)!3!)=56
possibilidades
 Fixando o número 2 como primeiro dígito temos 7 possibilidades para escolhermos os
outros 3 dígitos que irão compor nosso número , ou seja, temos números
que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999
 Fixando o número 3 como primeiro dígito temos 6 possibilidades para escolhermos os
outros 3 dígitos que irão compor nosso número , ou seja, temos
números que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999 .
 Fixando o número4 como primeiro dígito temos 5 possibilidades para escolhermos os
outros3 dígitos que irão compor nosso número, ou seja, temos números
que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999 .
7!
35
(7 3)!3!


6!
20
(6 3)!3!


5!
10
(5 3)!3!


 Fixando o 6 número como primeiro dígito temos
possibilidades para escolhermos os outros 3 dígitos
que irão compor nosso número, ou seja, temos
números que possuem dígitos em ordem crescente
entre 1000 e 9999.
 Logo, somando todas as possibilidades, o número n de
números naturais entre e que possuem seus dígitos em
ordem crescente é:
 56+35+20+10+4+1=126
 Resposta alternativa a
3!
1
0!3!

Exemplo 64
Em uma festa há 13 casais. Cada homem cumprimenta com um aperto de mão os
outros convidados, exceto sua própria esposa. As mulheres recebem apertos de
mão, mas não procuram ninguém para cumprimentar. Quantos apertos de mão
são dados pelos 26 participantes?
a) 234
b) 235
c)236
d) 237
e)238
Solução
 Identificar o problema de
contagem
 Tipos de contagem (
aperto de mãos entre
homens e de homens
com as mulheres
excetuando a dele)
 Que diferença tem entre
ambos contagens?
 O aperto de mão entre
homens é sem repetição
sem ordem.
 Então temos
 Entre homens e
mulheres temos
 Cada homem a cada
mulher 13*12=156
13!
78
(13 2)!2!


Resposta 78+156=234
 Alternativa a
Exemplo 65
Caminhos
 AOB
 ACOB
 ACEB
 ADFB
 ADOB
 AOEB
 AOFB
 ACOEB
 ADOFB
 ADOEB
 ACOFB
 Resposta alternativa C
Exemplo 66
 De quantas maneiras é possível escolher três números
inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja
par?
 A) 1620
 B) 810
 C) 570
 D) 720
 E)120
Solução
 Identificar como
contagem
 Tipo soma de numero
temos que conhecer que
a operação é comutativa
e associativa , que é com
números distintos sem
repetição, também deve
ser par, devemos saber
sobre o resultados pares.
 Temos que escolher 3
entre 20 ,mais para ter
soma par, temos os
casos:
 Os 3 números são pares
 2 impar e 1 par.
A soma dos casos será a
resposta.
Temos 10 números pares
entre 1 e 20.
 Por tanto as combinações são 3 entre 10.
 10!/(10-3)!/3!=120
 Para o segundo caso teremos que aplicar a regra do
produto de combinações, de dois impar e 1 par.
 A soma é 120+450=570
 Resposta alternativa C.
10 10
1 2
10! 10!
. . 10.45 450
9! 8!.2!
C C   
Exemplo 67
Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos
diferentes?
A) 448
B) 504
C) 546
D) 952
E) 1008
Solução
 Identificar como problema de
contagem
 Tipo de
problema(conhecimento de
múltiplo de um número
inteiro , características de os
números múltiplos de 5)
 Tipo de contagem no caso
sem repetição e ordem.
 Isolar casos e somar todos.
 Os múltiplos de 5 são
números terminados em 5 ou
0.
 Por tanto teremos dois casos
 _ _ _5
 _ _ _0
 Os outros 3 números o
primeiro não pode ser 0 nem
5 só números entre
{1,2,3,4,6,7,8,9}, os outros dois
podem ser sem repetição os
que ficam excluindo o 0u 5
em dependência do caso mais
outro.
Calculemos
 O caso terminam em 5 teremos para o primeiro
elemento 8 possibilidades {1,2,3,4,6,7,8,9}, para os dois
seguintes ficariam 7 e o 0.entao
 8.8!/6!=448
 O caso terminam em 0 teremos então para o primeiro
elemento 9 possibilidades {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e ficariam
para os dois seguintes 8 possibilidades dois 9
anteriores, então.
 9.8!/6!=504
 Total =504+448=952
Resposta alternativa D
Exemplo 68
Considere todos os números inteiros positivos escritos
com exatamente cinco algarismos ímpares distintos.
Qual é o valor da soma desses números?
A) 6666600
B) 6666000
C) 6660000
D) 6600000
E) 6000000
Solução
 Identificar a
necessidade da
contagem para resolver
o problema.
 Tipo de contagem
 Sem repetição com
ordem.
 Conhecimento de
números impares.
 Quantidade de impares
 5{1,3,5,7,9}
 Contagem são as
permutações deles
 5!=120
 Observemos que
teremos a soma de 120
números de 5 dígitos,
onde teremos 24
terminados em cada um
deles.
Calculemos a soma deles cada coluna é
igual a seu valor, por tanto.
 24*5+24*3+24*7+24*9+24=24(1+3+5+7+9)=600
 Teríamos
 Dois zeros 00 e na terceira coluna empezaria o primer
6
 Resposta alternativa A
Exemplo 69
Solução
 O problema pode olear-se
como contagem.
 Contagem de rodadas de
distribuição de balas.
 Contagem
 Soma Gaussiana
 1+2+3…+n=n(n+1)/2=300
 Obtemos a equação de 2do
grau para contar as rodadas
 n2+n-600=0
 (n+25)(n-24)=0
 Então da para 24 vezes
entre 4 são 6 rodadas de
repartição cada um.
 Daniela é a terceira na distribuição por tanto começo
com 3 balas e 4 a mais cada vez em 6 rodadas.
 x-balas recebidas por Daniela
 x=(3+7+11+15+19+23)=78
 Resposta alternativa C
Contagem de divisores de um número
 Expressando o número pelo o teorema fundamental
da aritmética é dizer:
 Dado n
 Onde pi são os primos divisores de n.
 Então a quantidade de divisores q é igual
 q=(a1+1)(a2+1)...(am+1)
1 2
1 . 2 ...a a am
n p p pm
Exemplo 70
O número total de divisores positivos de 10!=10987654321
é igual a:
A) 15
B) 270
C) 320
D) 1024
E) 10!
Solução
 Contagem de divisores
 Descompor por teorema
fundamental da
aritmética.
 10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
 Os primos ficam os
outros descompomos em
primos
 (2.5)(3.3)(2..2.2)7(2.3)5(2.
2)3.2.1=
 Agrupando por primos
 Aplicando a formula
2 4 8
7.5 .3 .2
 q=(1+1)(2+1)(4+1)(8+1)=2.3.5.9=270
 Resposta alternativa B
Exemplo 71
Solução
 Podemos movermos só
de três formas, isto
implica que a cada
quadricula podemos
chegar só de 3
quadriculas vizinhas.
 A quantidade de formas
para chegar a D será a
soma das que utilize para
chegar a seus vizinhas.
 Quando a quadricula é
na coluna o linha
fronteira só teremos
uma forma de chegar.
Veja nas fronteiras da matriz.
Vamos contar então
Exemplo 72
Solução
 Lançamento de dados.
 Chamemos aos pares de
números opostos
respetivamente (a,b),(c,d),(e,f).
 Nos mostram 2 lançamentos e
podemos equacionar pra
determinar número oposto ao 6.
 Supondo a+b+c+d=15(I)
 Sabemos que a soma de todos é
21
 a+b+c+d+e+f=21(II)
 No segundo lançamento como o
resultado é diferente mudo um
par então supondo que seja a,b
 c+d+e+f=12(III)
 Razoemos a+b=9
 e+f=6, e,f não será o par que
contem ao 6,pois o zero não
entra .
 Então c c+d=6 também
e,f e c,d podem ser só 4,2 e 5,1
 6 esta no par a,b como a soma é 9 seu oposto só pode
ser 3
 Resposta alternativa C
Exemplo 73
Solução
 Entender bem como ocorre
a mudança das placas.
 Primero os números desde
o 0000-9999 tem 10000
números no sistema
decimal.
 As letras mudam desde
AAA-ZZZ no sistema de 26
letras do alfabeto e 10000
tem as mesmas letras , por
tanto as letras estão numa
dupla sistema decimal e
base 26 das letras.
 20290754=a+b*10+c+102+d*
103+
e*104+f*10426+g*104262.
Então a chapa será tomando
em conta que adiantamos
uma unidade que devemos
tirar do premier resíduo.
gfedcb(a-1)
20290754/10=2029075+4/10
a=4
2029075/10=202907+5/10
b=5
 Temos vias de solução básicas
solução exaustiva contagem
recorrendo os casos todos.
 O expressando o número da
chapa que nos pedem no
dupla sistema decimal e 26
letras e com os resíduos da
divisão formar a chapa.
 Utilizaremos a segunda via.
 202907/10=20290+7/10
 c=7
 20290/10=2029
 d=0
 Agora dividimos entre 26 e o
resultado numérico é em
letras 0->A, 1->B, 2->C,3-
>D,...
 25->Z
 2029/26=78+1/26
 e=B
 78/26=3
 f=A,g=D
 A chapa será então DAB0753
 Resposta alternativa C
Exemplo 74
Solução
 Combinar dois
algarismos sim
repetição pero com
ordem entre 8 pois o 3 e
o 5 já não contam.
 Temos combinações de
m em n
 n!/(n-m)!
 8!/(8-2)!=7*8=56
 Como é cada dois
minutos e considerando
que o primeiro intento
no espera teríamos
55*2=110 minutos
máximo.
 1h e 50 minutos
 Resposta alternativa B
Exemplo 75
Solução
 mmc estamos falhando
de divisão . O maior
múltiplo de 42 menor
que 10000, podemos
dividir 10000 entre 42 e
tirando o resíduo de 1000
teríamos o maior
número menor que
10000 divisível por 42.
 10000/42=238+4/42
 Resíduo 4 então o maior
múltiplo e 10000-4=9996
 Resposta alternativa E
Exemplo 76
Solução
 Visitar 5 lugares mais
não pode começar nem
terminar por um deles
ficaria no meio sempre.
 Um forma de olear a
solução é somando
todas as permutações
dos 4 assumindo outro
fixo em 3 posições
interiores.
 3*4!=72
 Resposta alternativa B
Exemplo 77
Solução
 6 letras se podem
escrever com
permutações de 6.
 Mais as letras a,b e c
devem estar sempre
nesse ordem. Então elas
3 teriam permutações de
3, no conjunto anterior
de 6. e so uma
permutação seria valida .
 6!/6=5!=120 formas
 Resposta alternativa A
Exemplo 78
Solução
 Temos que resolver
exaustivo
 No centro A um cor, B e C
de cores diferentes, D e E
da mesma cor, mostramos
uma combinação, como
temos 4 cores diferentes
para A , ficariam 3 para B. 2
para C e uma para D e E
teríamos 4 combinações.

4 combinações para A
3 para B com A fixo
2 para cada C com B e A fixo veja
número de combinações neste
caso 4*3*2*1=24
 Segundo caso B e C serão coloridos da mesma cor.
Neste caso A terá 4 cores diferentes como no caso
anterior. B e C terão 3 diferentes cores, 2 ficarão para
D e E também terá 2 cores. Veja
D com duas cores com A,B e C com cor fixo
E com duas cores com A,B, C e D
fixo.
 Teríamos 4*3*2*2=48
 Então o total 24+48=72 formas
 Resposta alternativa D.
Exemplo 79
Solução
 Exemplo gráfico  Contagem exaustivo casos
 Todos os vértices com 1
então todas as faces
somam 2 teríamos
 Soma =9*2=18
 Caso todos cero todos as
faces com zero.
 Soma =0
 Quando um 1 e o resto 0,
independentemente onde
fique o resultado é o
mesmo
Os três faces ligadas ao vértice tomariam valor 1 o resto 0
então soma =3
Quando temos dois vértices com valor 1,
independentemente onde estejam a soma será igual
,veja dois exemplos
A soma =6
 Quando temos 3 vértices com 1, teremos soma=9
 Quando temos 4 vértices com 1, teremos soma=12
 Quando temos 5 vértices com 1, teremos soma=15
 Por tanto teremos 7 .
 Resposta alternativa C
Modelagem com funções
 Traçado de gráficas funções no plano cartesiano.
 Domínio e imagem de funções elementares.
 Conhecimento da função linear, suas equações.
 Conhecimento da função quadrática, suas equações.
 Conhecimento da funções polinomiais.
 Conhecimento das funções exponencial e logarítmica.
 Variação de funções.
 Extremos de funções.
Exemplo 80
No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos
A=(4,3) e B=(6,4) corta os eixos nos pontos P e Q. O
comprimento do segmento PQ é:
A)1
B)
C)
D)
E) 2
2
3
5
Solução
 Devemos traçar a
gráfica da função linear
pelos pontos dados.
 Necessitamos a
equação da reta que
passa por dois pontos.
 Traçado da gráfica
6 4
4 ( 3)
4 3
2 2
y x
y x

  

 
Grafica

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
4
3
2
1
1
2
 Calculemos as coordenadas dos interceptos com os
eixos.
 x=0,y=-2 ponto P(0,-2)
 y=0,x=1 ponto Q(1,0)
 Distancia
 Resposta alternativa D
2
2 1 5PQ   
Exemplo 81
 A figura abaixo apresenta o gráfico da função no
intervalo [1, 4]. 23418163)(xxxxf
 Quantas soluções reais distintas possui a equação no
intervalo [1, 4]? 1018163234xxx
Solução
Resolver equações como
pontos de intercepção de
duas funções.
 Podemos ver como
encontrar os interceptos
da função cuja gráfica
conhecemos com a reta
y=-10
 Temos então 2 soluções
 Resposta alternativa C
Exemplo 82
Solução
 Trabalho com a transformação de expressões
algébricas, solução de inequações. Completamento de
trinômio quadrado perfeito.
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 (2 )( )
1, 2 ( ) 0, 5, 2 ( ) 0
5 ( 5)( )
1( ) 0, 6( ) 0
0, 1, 0,0 1
2 ( ) 0, 0, 0.
A
x y y x y y I
para x y I x y I
B
x x x x II
para x II x II
C
x x x x x x
D
x xy y x xy y x y x y
    
     
  
   
      
         
Resposta alternativa D
Exemplo 83
Solução
 Equações de 2do grau ,
encontrar seus zeros.
 Graficar as parábolas.
 Os sinais do termo
quadrático indicam
côncava o convexa
2
2
2
2 3 0
( 3)( 1) 0
3, 1
3 4 0
( 3 4) 0
( 4)( 1) 0
4, 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
  
  
  
   
   
  
  
2 1 1 2 3 4
6
4
2
2
4
6
g x
f x
 A verdadeira
 B verdadeira
 C Falsa Resposta correta
Progressões
 Progressões aritmética geométrica , indução
matemática.
Exemplo 84
Solução
 Temos uma sequencia de
números naturais, a lei de
formação do seguinte
elemento ,pelo anterior e
conhecemos o primeiro
elemento.
 Devemos encontrar o
termo para n=9.
 Intentemos obter dois ao
frente substituindo
recursivamente.
 a1=2ao-3=2.5-3=7
 a2=2a1-3=14-3=11
 a3=2a2-3=22-3=19
 a4=2a3-3=38-3=35
 Observe que
 a1=5+2,a2=a1+22,a3=a2+23
 a4=a3+24,ak=5+2+22+…+2k.
 a9=5+2+…+29=1027
 Resposta alternativa C
Exemplo 85
Solução
 Progressão aritmética
 an=ao+n.p
 Não conhecemos p
 Temos 3 termos
determinar o seguinte
 Determinemos p
 an-an-1=p
 ao=5,a1=356?
 a1-a0=351
 Mais 356+351 590
 Vamos supor que entre
5e 356 existe um
 X-5=356-X
 X=(356+5)/2 não inteiro
nao serve
 Experimentemos do outro lado
 X-356=590-X
 X=(590+356)/2=473
 Então p=473-356=117,
 Verifiquemos
 5+117=122
 122+117=239
 239+117=356 tudo bem
 Por tanto o seguinte elemento é 590+117=707
 Resposta alternativa D
Modelagem com equações modulares
 Divisão euclidiana a/b é a=n*b+r
 r- resíduo da divisão inteira
Exemplo 86
Resolução
 Identificar como problema
de resíduos.
 Determinar as variáveis do
problema
 Formular as equações.
 Resolver o sistema de
equações.
 c- cadeiras
 k- crianças
 Colocando duas crianças
por cadeira sobra 1, então
 k=2c+1(I)
 Agora se cada cadeira tem 3
crianças sobra uma cadeira
 c=k/3+1(II)
 Obtivemos um sistema de
duas equações residuais.
 Substituindo (I) em (II) obtemos:
 c=(2c+1)/3+1,3c=2c+1+3,c=4 , então temos 9criancas.
 Resposta alternativa D
Exemplo 87
Solução
 Evidentemente é um exemplo de
equações residuais
 No caso divisão por 7.
 O resíduo de divisão por 7 é
 {0,1,2,3,4,5,6}
 Uma solução é construir a tabela
de resíduos para cada expressão
tomando como base os dados da
equação dada.
 Mais podemos transformar
aplicando propriedades dos
resíduos.
 10x+y=n.7
 (10x+y)/7=n inteiro. Implica o
resíduo da divisão por 7 é 0
 7x+7y é divisível por 7.
 A diferença o soma de dois
múltiplos de 7 da outro múltiplo
de 7
 Por tanto 10x+y-(7x+7y)=3x-6y
que será também múltiplo de 7,
al dividi-lo por um número
(3)continua sendo múltiplo de 7
 (3x-6y)/3=x-2y e teremos que x-
2y é divisível por 7
 Resposta alternativa A
Conhecimentos necessários
 Media aritmética de o conjunto (x1,x2,...xn)
 Desvio padrão de o conjunto (x1,x2,...xn)
 Probabilidade clássica.
 P(A)= nA/n a probabilidade do evento aleatório A
 nA - número de acertos do evento A, n número total
de possibilidades.
_
1
n
i
i
x
x
n



_
2
1
( )
n
i
i
x x
n
 



Valor esperado de uma variável
aleatória
 Suponhamos que a variável aleatória toma um
conjunto discreto finito e a cada valor da variável x
corresponde uma probabilidade p(x), então o valor
esperado da variável x é
 E(x)=Σx*p(x)
Exemplo 88
Solução
 Necessitamos a media
aritmética e desvio
padrão.
 Devemos calcula-lo em
dois momentos antes e
depois da entrada do
novo funcionário e
compara-los.
1
n
i
i
x
m
n



2
1
( )
n
i
i
x m
d
n




m e d media e desvio padrão antes da entrada do
novo funcionário.
 Veja como ficaria depois da entrada a nova media
aritmética
 Veja como ficaria o novo desvio padrão
1 * ( 1)
1
1 1 1
n
i
i
x m
n m m n m
m m
n n n


 
   
  

2
2 2 1
1
( )
( ) ( )
1
1 1 1
n
n i
i
i
i
x m
x m m m n
nnd d
n n n



  
  
  


Conclusão a media é igual e o desvio
padrão diminui.
 Resposta alternativa D
Exemplo 89
Solução
 Podemos olear o problema
como um evento A
Lançamento de uma bola e
um dado simultaneamente
que saia o mesmo número
nos dois.
 Temos que encontrar o
espaço de todas as
possibilidades, calculando
a número de elementos
 Dentro do espaço
determinar o número de
elementos do evento A.
dado
bola
1 2 3 4 5 6
1 x
2 x
3 x
 Temos 18 resultados possíveis dos quais só 3 são o
evento A.
Por tanto P(A)=3/18=1/6
Resposta alternativa C
Exemplo 90
Solução
 Precisamos do valor esperado
E(x)=Σx.p(x).
 Valor esperado da media aritmética ao
retirar simultaneamente duas moedas.
 Aqui necessitamos determinar a media
aritmética de todos os possíveis
resultados ao retirar duas moedas , como
temos mais moedas de 50 centavos que
de 1 real, a intuição nos leva a pensar que
estará mais perto de 50 é dizer entre
0.50 e 0.75.
 x-media aritmética de duas moedas
retiradas do cofre.
 Por tanto x= 0.50,0.75,1
 A intuição nos leva a pensar que o valor
esperado deve estar mais perto de 0.50
que de um por ter mais moedas de este
valor, por tanto estará entre 0.67 e 0.75.
 Temos que a tirar duas onde temos 2 de 1
real e 4 de 0.50 e dizer 6 moedas todos
os casos possíveis são
 n=6!/(6-2)! =30 combinação sem
repetição e com ordem.
 A variável aleatória toma três valores
possíveis 0.50 sim retiramos duas de
0.50 , 0.75 sem retiramos uma de cada
tipo, e 1 sim retiramos as duas de 1 real.
 x=0.50,0.75,1
 Para cada valor da variável x temos que
determinar sua probabilidade que será
 P(x)=nx/n
 Temos que determinar das 30
combinações ao retirar duas quantas
ocorre x.
 Para x=0.50 temos um produto de combinações
 Tirar 1 de 4 com a primeira moeda ficam então 3 para a
segunda tirada.
 4*3=12
 p(0.50)=12/30
 Tirar uma de cada tipo temos duas fontes
 A primeira de 1 de 2 a segunda de 0.50 de 4 possíveis.
 2*4=8
 A segunda ao contrario primeiro a de 0.50 temos 1 de 4 e a
segunda de 1 tiramos 1 de 2
 4*2=8
 Total de possibilidades 8+8=16
 p(0.75)=16/30
 Finalmente os casos de tirar as duas de 1 real
 A primeira 1de2 a segunda é a única 1 de 1
 2*1=2
 p(1)=2/30
 Por tanto a media esperada
E(x)=0.50*p(0.50)+0.75*p(0.75)+1*p(1)=0.50*12/30+0.75*16/
30+1*2/30=20/30 esta mais próximo de 0.67 por tanto
 Resposta alternativa B
Exemplo 91
Solução
 Exemplo típico da
probabilidade clássica
 O espaço de sortear 3
dentro de 10 é o total n,
mais em quantos
elementos do espaço estará
Joao um deles é sua
frequência nj, a
probabilidade será p=nj/n
 Temos n é a combinação
sim repetição e sem ordem
de 3 em 10
 n=10!/(10-
3)!/3!=8*9*10/6=120
 Agora em quantas estará
um deles fixo. Sim um esta
fixo, para os outros temos a
combinação de 2 entre 9
 9!/(9-2)!/2!=8*9/2=36
 p=36/120=6/20=3/10
 Resposta alternativa A
Exemplo 92
Solução
 Um exemplo de
probabilidade combinado
com divisibilidade por 4
 O espaço é todos as
permutações de 5
algoritmos.
 Quantos deles serão
divisíveis por 4,será a
frequência e por tanto a
probabilidade
 p=n4/n
 n=5!=120
 Precisamos saber
quando um número é
divisível por 4.
 Quando seus dois
últimos algarismos
formão um número
divisíveis por 4.
 Então entre 1-5
 Teremos os casos 12,24,32
e52 divisíveis por 4.
 Sim fixamos 12 ao final
 xxx12
 n12=3! O mesmo ocorre
para os outros 3 casos
 n4=4*3!=4!
 n4=24
 p=24/120=4/20
 Resposta alternativa D
Exemplo 93
Solução
 Conhecer o conceito de
media aritmética
necessitamos para
resolver o problema,
 Combinar com a lei de
formação da sequencia .
 (a1+a2+...a9)+a10=10(110)
 Transformando a
expressão entre
parêntesis obtemos
 9(109)+a10=10(110)
 De onde obtemos
 a10=1100-981=119
 Resposta alternativa D
Exemplo 94
Solução
 Temos que 100000 de jovens
de 21 anos, segundo as
estatísticas quantos tem
probabilidades de chegar a 23.
Temos que calcular dois
probabilidades consecutivas,
primeiro quantos chegarão a
22, e de aqui quantos
chegarão a 23.
A- de 21 chegam a 22
P(A)=1-.001=0.999
Então multiplicando a
probabilidade por a quantidade
obtemos
1000000*0.999=999000 a 22
anos
Agora a estes aplicamos a
segunda probabilidade
B-de 22 chegam a 23
P(B)=1-.001=0.999
999000*0.999=998001
Resposta alternativa A
Exemplo 95
Solução
 Temos um exemplo
clássico de probabilidade,
determinar o espaço n e
as ocorrências do nosso
caso( quantos elementos a
soma de seus valores e
igual a 5)nx
 P(x)=nx/n
 Temos 12 bolas retiramos 3
 Então o total de elementos
do espaço é a combinação
sem repetição e com
ordem 3 em 12.
 n=12!/(12-3)!=10*11*12=1320
 Quantos casos somam os
três números 5.
 Temos 3 com número 1
 5 com 2 e 4com o número 3.
 Somam 5
 1+2+2=5
 1+1+3=5
 Cada caso tem uma quantidade de vezes calculemo-las
 Temos 1 de 3 para tirar um 1, 1 de 5 para na segunda a tirar um 2 e 1 de 4
para tirar um 2 na terceira
 Então teremos 3*5*4=60 ,mais pode ocorrer de 3
formas{(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)} total deste casso=3*60=180
 No outro caso temo
 3*2*4=24, mais pode ocorrer de 3 formas{(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)} então
teríamos
 total deste caso =3*24=72 ,casos n5=180+72=252 .Probabilidade
p(x)=252/1320=21/110
 Resposta alternativa C.
Problema 1
Qual dos números abaixo é o mais longe de 0,7?
A) 2/3
B) 4/3
C) 5/4
D) 1/5
E) 5/7
Problema 2
Sejam a=26000 ,b=34000 ,c=72000
, e . Assinale a alternativa correta:
A) c<a<b
B) c<b<a
C) a<b<c
D) b<c<a
E) a<c<b
Problema 3
 Na seguinte matriz de 4x4 de quantas formas podemos
movermos desde a esquina inferior esquerda ate a
esquina superior direitas com deslizamentos
horizontais e verticais.
Problema 4
Considere os números reais
A opção verdadeira é:
A) a e b são ambos irracionais e c é racional.
B) b é racional a e c são ambos irracionais.
C) a e c são ambos racionais e b é irracional.
D) a e b são racional e c é irracional.
E) a é racional e b e c são ambos irracionais.
2 2
3 (1 5) 6 (1 3 2)
27, ,
1 3 3 5 2
a b c
  
   

Problema 5
 O número é igual a:
A) 1/64
B) 1/16
C) ¼
D) ½
E) 1
 
3
264

Problema 6
O radio de um cilindro circular reto aumenta em um
20%,por outro lado o comprimento diminui em um
12%.Quanto varia se volume?
A)-26,72%
B)26,72%
C)-12%
D)20%
E)8%
Problema 7
 Qual é o valor de 77+ 77+ 77+ 77 +77+77+77?
 A) 497 B)749 C) 78 D)77
Exemplo 8
 Joao tem um ticket para comprar numa loja com
desconto do 20%, ele quer comprar um brinquedo
que tem um desconto de um 30%. Qual é o desconto
total que Joao receberá por a compra do brinquedo?
 A)44% B) 50% C)60% D) 66%
Exemplo 9
 Quantos seguintes 60 números são múltiplos de 60?
 84,2.84,3.84,...,58.84,59.84,60.84
 A)18 B)15 C)12 D)30
Exemplo 10
 Na figura ABCD é um quadrado , onde BF=FE=EA
 A razão área (FEDC)/área (ABCD vale:
 A)2/5 B) ½ C)2/3 D)3/4
Exemplo 11
 Tem um número que possui 2005 algarismos e segue
o padrão:
 Os últimos três algarismos são:
 A) 1,7 e 1 B)7 , 1 e 8 C)1,8 e 2 D) 2,6 e 3
Exemplo 12
 Quantas soluções inteiras tem a equação 2.
22x=4x+64?
A)0 B)1 c) 2 D)3
Exemplo 13
 Pelo o padrão das três primeiras figuras, qual será o
número de triângulos na nona figura.
 A)216 B)486 C) 540 D)600
Exemplo 32
 Qual dos seguintes números divide a raiz quadrada de
20042004?
 A)1671670 B)31003 C)22002 D)41003
Exemplo 14
 Numa caixa temos muitas bolas de 20 cores distintos.
São escolhidas ao acaso bolas. Qual é o número
mínimo de bolas a tirar para garantir 100 bolas da
mesma cor?
 A)20000 B) 100 C) 1981 D)19001
Exemplo 15
 Quantos elementos tem o conjunto formado pelos
números naturais da forma abc (a>0) tais que
a2+b2+c2 divide a 26 ?
 A)3 B) 4 C)6 D)7
Exemplo 16
 Sim a cada número 60, 100 e 150 somamos uma
constante k, formamos uma progressão geométrica. A
razão da progressão geométrica comum é:
 A)100 B) 1.25 C) 0.80 D) 160
Exemplo 17
 Uma caixa forte tem uma combinação para abri-la de 4
algarismos diferentes de números de 1 ao 9. Para abrir
a caixa necessitamos também uma chave que tem o
número 16794081 que é a soma de todas as
combinações que não abrem a caixa. A combinação
que abre a caixa é:
 A)3024 B)4239 C)1563 D)1679
Exemplo 18
Todos os alunos de uma turma alugarão um ônibus
para um passeio, o custo do ônibus é fixo independente
do número de passageiros, incialmente iam viajar só os
alunos e cada um tinha que pagar 25 reais, mais
finalmente seis alunos levarão suas enamoradas e o
custo por pessoa caio para 20.Quantos alunos tem a
turma ?
A) 24 B) 120 C) 25 D) 30
Exemplo 19
 Considere a equação (x é a incógnita e
k€R).Assinale alternativa que indica todos os valores
de k para os quais a equação tem exatamente 3
soluções em R.
 A) k€[0,1] B) k €]0,1[ C) k €[0,1[ D)k €]0,1]
2x x x k 
Exemplo20
 Quantas vezes num dia (24 horas) os ponteiros de um
relógio apontam em direções opostas?
 (A) 48
 (B) 44
 (C) 24
 (D) 22
 (E) 23
Exemplo 21
Seja f uma função definida para todo x real, que satisfaz
as condições
 f (5) =1/2 e f (x + 5) = f (x)f (5) :
 Então f ( -5) vale:
 (A) 1/2
 (B) 0
 (C)- ½
 (D) 2
 (E) 1
Exemplo 22
 Dada a função f : Z -> Z definida por
 onde Z é o conjunto dos números inteiros, o número
de soluções da equação f (𝑥2
) = f (x) e:
 (A) 0
 (B) 1
 (C) 2
 (D) 3
 (E) 4






paréxsex
imparéxsex
xf
,3
,2
)(
Exemplo 23
 Uma urna fechada contem bolas pretas e vermelhas. Uma
certa pontuação é dada para cada bola preta retirada e outra
para cada bola vermelha retirada. Ana retirou 3 bolas; duas
pretas e uma vermelha, e obteve 13 pontos. Luíza retirou
também 3 bolas e obteve 14 pontos. Se a pontuação dada a
cada bola retirada é um número inteiro, quantos pontos são
atribuídos para cada bola preta retirada?
 (A) 2
 (B) 3
 (C) 4
 (D) 5
 (E) 6
Exemplo 24
 Qual dos números a seguir é o maior?
 (A) 245
 (B) 420
 (C) 814
 (D) 32 9
 (E) 16 12
Exemplo 25
 Na sequência de inteiros positivos
𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 16 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎𝑖 é o i-esimo
ímpar positivo e para i > 16, o termo 𝑎𝑖 é a média
aritmética dos termos anteriores. O termo a100
 É igual a:
 (A) 256
 (B) 16
 (C) 32
 (D) 0
 (E) 4

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Apostilha preparação profmat2015

  • 1. Guia de Estudo para a preparação para exame de ingresso ao mestrado profissionalizante
  • 2. Características do exame  Tipo de pergunta Múltipla escolha(40 perguntas ) só precisa marcar sua resposta  Gabarito Exame sobre 80 pontos distribuídos 1. Cada pergunta de múltipla escolha avaliada com 0(escolha errada) ou 2(escolha certa) pontos . 2. Aprovado 30 ponto ( 15 perguntas corretas)
  • 3. Conteúdos das questões a) Proporcionalidade e Porcentagem b) Equações do Primeiro Grau c) Equações do Segundo Grau d) Teorema de Pitágoras e) Áreas f) Razões Trigonométricas g) Métodos de Contagem h) Probabilidade i) Noções de Estatística j) Triângulos: Congruências e Semelhanças
  • 4. Fundamentos dos conteúdos das questões  Geometria euclidiana plana: figuras geométricas planas: retas, semi-retas, segmentos; ângulos; elementos, propriedades de polígonos e do círculo; relações de congruência e semelhança, paralelismo e perpendicularismo; áreas e perímetros: polígonos; círculos e partes do círculo; relações métricas nos triângulos, polígonos,polígonos regulares e círculos; inscrição e circunscrição de polígonos e círculos.  Geometria do espaço , Sólidos( Pirâmide, cone, cubo, prismas, cilindro, esfera) áreas e volumes.  Noção de seqüência. Progressões aritméticas e geométricas.
  • 5.  Conceito de função .Funções linear, quadrática e modular. Gráficos em cartesianas.  Equações linear e quadrática .Sistemas de equações lineares. Métodos de solução.  Métodos de contagem, com o sem repetição , com o sem ordem . Soma Gaussiana. Permutações. Produto de combinações.  Relações trigonométricas no triangulo. Funções trigonométricas.  Conceito de probabilidade clássica. Construção do espaço amostral .Probabilidade condicional. Relações com as combinações e permutações.
  • 6.  Media aritmética , desvio padrão. Valor esperado.  Números naturais, inteiros , racionais e irracionais. M.d.c. e m.m.c. Divisão de números inteiros. Congruências. Ordem dos números racionais. Potenciação. Racionalização de expressões irracionais.
  • 7. Construção das questões As questões do exame serão formuladas preferencialmente como situações problema,buscando questões que envolvam o exercício do conteúdo matemático do programa em contextos novos. As questões podem envolver estudos de caso,simulações e interpretação de textos, imagens, gráficos e tabelas.
  • 8. Sugestões para a preparação individual  Estudo e resumo dos conteúdos a ser avaliados apoiado na bibliografia orientada.  Estudo de exercícios de aplicações resolvidos na bibliografia.  Estudo dos exercícios dos exames anteriores.  Tentar resolver exercícios propostos.  Em caso de não conseguir tentar:  Ver se existe algum parecido e tentar resolver por analogia.  Se no consegue revisar de novo a teoria e volver a tentar.
  • 9.  Se não conseguir precisara de ajuda externa.  Se não encontra parecido revisar de todas formas a teoria e volver a tentar.  Se não conseguir precisara de ajuda externa.
  • 10. Solução passo a passo de questões com sua argumentação matemática
  • 11. Teoría dos números Exemplo 1  Orden dos números racionáis  Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7?  A) 1/2  B) 2/3  C) 3/4  D) 4/5  E) 5/7
  • 12. Conhecimentos necessários Solução passo a passo  Representação de números racionais como frações decimais.  Distancia entre números  Calculemos sua distancia a cada um dos 5, a menor distancia indicara o número mais perto. 10 7 7.0  0.7 1/ 2 0.7 0.5 0.2, 0.7 2/3 0.7 0.66 0.04, 0.7 3/ 4 0.7 0.75 0.05, 0.7 4/5 0.7 0.80 0.10, 0.7 5/ 7 0.7 0.714 0.014                    
  • 13. Finalmente então fica mais perto de 5/7.  Resposta alternativa E
  • 14. Exemplo 2 Sejam a=27000,b=53000,c=132000 , e . Assinale a alternativa correta: A) c<a<b B) c<b<a C) a<b<c D) b<c<a E) a<c<b
  • 15. Solução  Trabalho com potenciação de números naturais  Propriedades da potenciação  Fundamentalmente  Observe as bases são diferentes. Utilizemos a propriedade da potencia(I) de direita a esquerda. 200070003000 1325  )(. Iaa cbbc 
  • 16.       1000100022000 1000100077000 1000100033000 1691313 12822 12555    Ordenando com o mesmo expoente
  • 17. veja  Três com o mesmo expoente diferente base, podemos ordenar-las ficaria alternativa A
  • 18. Aplicando propriedades da potenciação  Exemplo3 O número é igual a: a)1/18 b)1/81 c)1/9 d)-18 e)9 3/2 27
  • 19. Solução  Propriedades da potenciação  Denominador no expoente é raiz  Sinal negativo no expoente o termo passa ao denominador   9 1 3 1 27 1 27 1 27 22 3 3/2 3/2 
  • 20. Representação decimal de números racionais Conceitos teóricos necessários.  Os números racionais são representados na parte decimal por uma seqüência cíclica de algarismos.  Importante determinar a quantidade de algarismos de o ciclo e os algarismos que o formam.  Determinação de resíduo da divisão inteira.
  • 21. Exemplo 4  Dividendo 6 por 7 o 100º algarismo da expansão decimal que aparece apos a virgula é:  a)1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7  Dividamos 6 entre 7 e determinemos todos os algarismos diferentes de seu ciclo.  Observe que o ciclo é formado por 857142 são 6 algarismos, por tanto para saber qual é o 100º temos que dividir 100/6 e obter o resíduo. 0.8571428 7 6 
  • 22. 100/6=16*6+4 Como o resíduo é igual 4, contando a partir de 8, temos que 1 será o quarto algarismo resposta alternativa a
  • 23. simplificação de expressões numéricas e algébricas. Números irracionais.  Neste tipo de exercício precisamos de trabalho algébrico , fatoração,conhecer os casos tipos de expressões algébricas (diferença de quadrados, binômio de Newton, trinômio quadrado perfeito, diferença cúbica).  Trabalho com expressões irracionais e sua racionalização.
  • 24. Exemplo 5 Considere os números reais A opção verdadeira é: A) a e b são ambos irracionais e c é racional. B) a e b são ambos inteiros e c é racional. C) a e c são ambos racionais e b é irracional. D) a é inteiro, b é racional e c é irracional. E) a é racional e b e c são ambos irracionais.     24 721 ,31,8 21 2 3 2     cba
  • 25. Solução  Temos expressões algébricas com números irracionais.  Devemos simplificá-las  Simplifiquemos a ,multiplicando pela conjugada do denominador, ao numerador e denominador
  • 27.  b não tem mais simplificação.  C pode ser simplificado.  Simplifiquemos c aplicando a formula do binômio de Newton sobre o termo cúbico.
  • 28.       4 5 24 25 24 7226231 24 7223231 24 721 323       c
  • 29. Conclusão a e c são racionais e b irracional, resposta alternativa C
  • 30. Trabalho com frações, razões, proporções, porcentagem.  Neste tipo de exercícios precisamos de combinar conhecimentos de outras áreas da matemática por exemplo de geometria, unidades de grandezas, variáveis e sua variação porcentual o proporcional, solução de equações.
  • 31. Proporções com geometria da circunferência  Movimento e proporções na circunferência  Exemplo6 Meninas formaram uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta garota à direita de María. Quantas meninas estão na roda?  A) 10  B) 11  C) 12  D) 13  E) 17
  • 32. Solução  Desenhar um circulo colocar a Denise a sua esquerda marcar 5 a 5ta será Maria, então marcar a direita 6 de forma que a 6ta coincida com Maria. Então contar a quantidade colocada na circunferência. D M
  • 33. São 11 resposta alternativa c)
  • 34. Exemplo7  Em um show de música, os organizadores notaram que a razão entre o número de homens e o número de mulheres presentes no início do evento era de 7/10 .Durante o show nenhum homem e nenhuma mulher saiu ou entrou. Ao final do show, os organizadores observaram um aumento de mais 255 homens e que 150 mulheres deixaram o local, de modo que a razão entre o número de homens e o número de mulheres presentes depois disto passou a ser 9/10 .Qual o número total de pessoas que estiveram presentes em algum momento no show?  (A) 1365  (D) 3570  (B) 1950  (E) 3954  (C) 3315
  • 35. Solução  Observe que a variável principal é o número de pessoas que estiveram no show.  Temos que determinar número de mulheres e homens presentes.  Dos dados obter relações entre as variáveis anteriores.  M0-número de homens no inicio.  Ho-número de mulheres no inicio.  Mo/Ho=7/10  Ao final (Mo+255)/(Ho- 150)= 9/10 10(Mo+255)=9(Ho-150)(I) 10Mo=7Ho(II)
  • 36.  Isolando Mo em (II) e substituindo em (I) obtemos uma equação linear com relação a Ho.  10(7/10Ho+255)=9(Ho-150)  7Ho+2550=9Ho-1350,2Ho=3900,, Ho=1950.  Mo=7(1950)/10=1365  Total=Mo+255+Ho=1365+255+1950=3570  Reposta alternativa D
  • 38. Solução  Devemos interpretar e construir a figura geométrica.  Semelhança de triângulos para obter as relações entre o lado AM=x e o comprimento BN.
  • 39.
  • 41. Solução  Tempo equivalente entre as dúas academias. Formar com os dados uma equação linear.  70t+130=80t+90  10t=40  t=4 meses Resposta alternativa A
  • 43. Solução  Neste exemplo precisamos trabalho com medias aritméticas. Devemos combinar as duas entre os dois períodos e formar uma equação linear.  m-media do2009-2012  m=325.  X-quantidade de 2013  m+.2m=(4*m+x)/5  x=1.2m*5-4m=2m=650  Resposta alternativa E
  • 45. Solução  O conhecimento do porcentagem é muito importante.  Ir diminuindo até passar a metade do valor original.  Sim diminui 20% conserva um 80% do valor que é equivalente a multiplicar cada valor anual por 4/5  Considerando 1 o total  1*4/5=4/5  4/5*4/5=16/25  16/25*4/5=64/125  64/125*4/5=256/625<1/2  Demoramos 4 anos mínimo.  Resposta alternativa B
  • 47. Solução  Os conhecimento da semelhança de triângulos é fundamental neste exemplo.  Lembremos as propriedades de dois triângulos semelhantes. Seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados opostos proporcionais. O perímetro de um trapézio é soma de seus lados. Determinar os lados com comprimento dados e desconhecidos. Usando semelhança obter as relações para calcular os desconhecidos.  AB=9cm,BC e CD desconhecidos, DA=6cm.  Pelo semelhança dos triângulos ABD e BDC obtemos as igualdades por lados correspondentes proporcionais.  BD/AB=CD/BD=BC/DA  12/9=CD/12=BC/6 de aqui teremos  CD=144/9=16cm  BC=72/9=8cm  Perímetro=16+8+9+6=39cm  Resposta Alternativa C
  • 49. Solução  Exemplo típico do trabalho com proporções.  Determinar a variável do problema quantidade de estudantes da turma .  Formar as diferentes relações que a envolvem e formar uma equação para determina-la.  X- número total de estudantes da turma.  Custo fixo é aqui a chave  Temos dois custos quando participa toda a turma (X) e quando não participam 8.Igualando estes dois produtos  30*X=37.5(X-8)  Obtemos uma equação linear para calcular X.
  • 50.  30X=37.5(X-8)  7.5X=37.5*8=300  X=300/7.5=40 alunos.  Resposta Alternativa D
  • 51. Exemplo 14  Um pacote de biscoitos tem 10 biscoitos e pesa 85 gramas. É dada a informação de que 15 gramas de biscoito correspondem a 90 kcalorias. Quantas quilocalorias têm cada biscoito?  a)38 kcal b)43 kcal c)46 kcal d) 51 kcal e)56 kcal
  • 52. Solução  Determinar quantidade de gramas de cada biscoito.  Determinar a quantidade de kcal por grama de biscoito  Então já podemos calcular quantidade de kcal de cada biscoito.  Se 10 biscoitos pesam 85 gramas então cada biscoito pesa 8.5 gramas.  Se 15 gramas contem 90 kcal então 90/15=6  Multiplicando a quantidade de kcal por grama (6) por quantidade de gramas de cada biscoito(8.5)  6*8.5=51 kcal
  • 54. Exemplo 15 Proporções na balança Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui 5 pesos distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e 81g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos, descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera?  A) 1, 9 e 27  B) 3 e 27  C) 9 e 27  D) 1 e 9  E) 3 e 9
  • 55. Solução  Obter uma igualdade entre as pesas e a pera em ambos pratos da balança.  Obter o total e dividir em dois.  Determinar quais somadas como peso da pera é igual a metade.  Total=(1+3+9+27+81)+61= 182.  Total/2=91  61+27+3=91  Resposta alternativa B
  • 56. Exemplo 16 Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100 gramas da amostra teremos 18 gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhor aproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30% de salinidade?  A) 30 %  B) 36 %  C) 42 %  D) 49%  E) 58%
  • 57. Solução  Necessitamos do trabalho com proporções , porcentagem e regra de três. De 100 g como temos 18 % de sal então podemos supor que 18 g de sal e 82 g de agua. Na nova proporção teremos 30 % do peso de sal. O peso p=60 g de peso como teremos igual 18g de sal então de agua ficarão 42g de agua Por tanto se evaporara 82-42=40g Que representa 40/82*100=48.7..% Resposta alternativa D 18 30 100p 
  • 58. Exemplo17  Segundo informações do último censo do IBGE, a população brasileira cresceu cerca de 12% , entre os anos de 2000 a 2010 . Nesse período, a população urbana passou de cerca de 81% para cerca de 84% da população total. A partir dessas informações, podemos concluir que a população não urbana no período:  a) decresceu aproximadamente 8%  b) decresceu aproximadamente 6%  c) permaneceu aproximadamente a mesma  d) cresceu aproximadamente 9%  e) cresceu aproximadamente 12%
  • 59. Solução  O centro de partida é a população brasileira no ano 2000.  Interpretar os dados relacionados com a variável principal e suas variações.  Agora calculemos o porcentagem.  Chamemos de x-população de 2000 2000 2010 Total x 1.12x Urbana 0.81x 0.84(1.12x) Rural 0.19x 0.16(1.12x)
  • 62.
  • 63. Geometria Euclidiana  Necessitamos uma base de conhecimentos da geometria plana atendendo aos conteúdos colocados no edital do exame.  Alguns questões não tem a figura intente faze-la bem grande e com certa precisão, determine ângulos, simetrias, faca conjeturas de acordo ao elemento a determinar.  Alguns questões tem a figura, então passamos de acordo ao que temos que determinar , ver os elementos que conhecemos, a vezes precisamos de construir elementos auxiliares, prolongar semirreta, segmentos, etc.  Na questões discursivas necessitamos justificar nossas conclusões.
  • 65. Solução  Necessitamos os conhecimentos das relações geométricas da pirâmide quadrada. Um desenho da pirâmide ajuda a entender o problema. d
  • 66.  A altura da pirâmide é um cateto do triangulo retângulo outro cateto é a metade da diagonal do quadrado da base.  Teríamos então d- diagonal . 2 2 2 2 8 8 8 2, 8 ( / 2) 4 2d h d       Reposta alternativa A
  • 68. Solução  Necessitamos conhecer as características do triângulo isósceles(mediatriz, mediana e altura coincidem).  h- cateto do triangulo retângulo  h2=b2-(a/2)2=100-64=36, h=6  O apoio de medida c esta no ponto médio do cateto do triangulo retângulo, logo o outro extremo esta ponto médio da hipotenusa  c=h/2=3.
  • 69.  Notemos agora que v é o lado lateral do triangulo isósceles , assim  v=b/2=10/2=5  Resposta alternativa A
  • 71. Solução  Maximizar área da figura com perímetro constante.  Precisamos conhecimento das características geométricas ( área , perímetro ) do circulo e o retângulo. Obter uma função área da figura com perímetro constante . Conhecimento da função quadrática (parabólica) e obtenção de seu vértice(máximo) Completa mento do trinômio quadrado perfeito.  Área da figura cinza se obtém a subtrair a área do retângulo (XY) a área do circulo πr2 (r=X/2)  A(X,Y)=XY- πX2/4,  Ágora a restrição colocada de perímetro=10.  P- perímetro  P=2Y+2 πX/2=2Y+πX =10  Insolando Y=(10-πX)/2 e substituido na função A obtemos  A(X)=X (10-πX)/2 - πX2/4
  • 72.  A(X)=X (10-πX)/2 - πX2/4=-3 π/4X2+5X função quadrática.  Determinemos o vértice onde a função alcança seu valor máximo, completando o trinômio quadrado perfeito.  A(X)= -3 π/4 (X2-2 (10/3 π) X+ (10/3 π) 2)+25/3 π  A(X)= -3 π/4 (X- 10/3 π)2+ 25/3 π parábola que alcança seu máximo em X= 10/3  A(10/3)=25/3/3.14=2.6539…  Resposta  Alternativa E
  • 74. Solução  Exemplo de aferimento de um tanque cilíndrico.  Necessitamos calcular a área sombreada , apoiados na geometria do circulo ( área de região circular central) e área de triangulo retângulo.  cos(pâb)=R/2/R=1/2, pâb=π/3  Então a área do setor circular acoba=π/3R2  Agora determinemos área do triangulo acpba  A cateto  Area Triangulo acpba= 2 2 3 ( / 2) 2 pb R R R   23 4 R
  • 75.  Área sombreada=  Multiplicando por o comprimento do cilindro obtemos o volume  Resposta alternativa B 23 ( ) 3 4 R   23 10( ) 3 4 V R   
  • 77. Solução  Necessitamos os conhecimentos de áreas de círculos, quadrados, relação entre lados de um quadrado inscrito a uma circunferência e o raio de esta.  Um desenho ajudaria muito 2l r
  • 78.  Área do circulo interior =1= πr2,r2=1/ π.  O então o raio do circulo exterior é R= l, área Cexterior= πR2=2  Resposta alternativa C.
  • 80. Solução  Construir o hexágono regular e os triângulos equiláteros que tem dentro.  Com a quantidade de triângulos equiláteros que contem 3 hexágonos construir triângulos equiláteros.  Desenho gráfico
  • 81. Veja 6 triângulos por 3 da 18 triângulos de lado 10 centímetros.
  • 82.  Resumindo da para construir 2 triângulos equiláteros de 30 cm lado  Resposta alternativa C
  • 84.
  • 85. Solução  AC diagonal do quadrado  f(x)- função que representará a área sombreada.  Observe que f(0)=0,f(1)=1, f(2)=2  De aqui excluímos os casos C;D e E.  Então estamos entre A y B  Veja como varia f(x) para xE[0,1]  f(x)=Soma de área de um triângulos retângulos isósceles de altura x.  f(x)=x2, xE[0,1]  Evidentemente será alternativa A sem avaliar xE(1,2].  Mais para que não fiquem duvidas calculemos f(x) será diferença da área do quadrado ABCDA- área do um triangulo retângulo isósceles de altura x-2
  • 88. Solução  Formular área de retângulo em função de sua altura e base.  A=b.h  Expressa-la como função das novas variações de b e h.  A=(b+b*/10)(h-h/10)  Simplificando  A=b*1.1*h.9=.99b/h  Então diminui em 1%.  Resposta alternativa A
  • 90. Solução  Necessitamos conhecer as formulações das áreas do retângulo, triângulos retângulos.  Área do retângulo=2*3  Área triangulo ABC=Área do retângulo –Área triangulo retângulo -área do trapézio.  Área do trapézio= área triangulo retângulo maior – área triangulo retângulo menor, ambos são semelhantes  2/x=4/1, x=1/2  Área trapézio=1/2*4*1- 1/2*2*1/2=3/2  =6-1/2*2*2-3/2=5/2  Resposta alternativa E
  • 92. Solução  Aqui necessitamos nossos conhecimentos sobre ângulos interiores num polígono regular.  Num polígono convexo regular de n lados a soma de seus ângulos interiores e igual a (n-2)180.  No caso temos x ângulo interior de um pentágono a soma será 3*180=540, agora dividendo por 5 temos  540/5=108  Resposta alternativa A
  • 94. Solução  Entender o problema e determinar o elemento geométrico a calcular.  Introduzir as variáveis necessárias para calcular a principal.  Procurar dados por semelhança de triângulos, paralelismo.  Equacionar.  Resolver.  Nos pedem calcular o comprimento do segmento BP, chamaremos de y.  y=BP.  Temos dois triângulos retângulos relacionando este segmento  ∆APB e ∆BPX  Conhecemos a longitude do segmento AX=5,AB=1,distancia entre paralelas=2.
  • 95.  Chamemos AP=z, outra variável . O ∆AXB tem altura 2( distancia entre paralelas) e base 1.  Por outro lado a área A∆AXB= A∆APB+A ∆BPX de onde obtemos a equação  Resposta alternativa C 1 2 . (5 ) 5 2 2 2 2 2 5 x z y z y y y      
  • 97. Solução  Precisamos dos conhecimentos sobre o trapézio , seu perímetro. Elemento a calcular perímetro trapézio menor.  Trapézio isósceles lados no paralelos de igual comprimento.  Tirar conclusões do encaixamento dos trapézios menor no maior.  Observe que três lados do trapézio menor são iguais chamaremos de x , e tem um lado maior chamaremos de y.  Os ângulos interiores dos trapézios pelo encaixamento são de 60º os agudos e 120º os obtusos. Por trigonometria implica y=2x.  Então o perímetro do trapézios sombreado é y+3x=2x+3x=5x.
  • 98.  Por inspeção o perímetro do trapézio maior  4y+2x=4(2x)+2x=10x=36  De onde x=3.6 cm  Perímetro do trapézio sombreado é 5*3.6=18cm  Resposta alternativa C
  • 100. Solução  Identificamos o elemento a calcular.  Interpretamos os dados da construção geométrica.  Estabelecemos as relacoes para calcular o valor.  Os triângulos são semelhantes, por ter seus três ângulos interiores iguais por alternos internos entre paralelas.  Por tanto seus lados são proporcionais.  Essa proporção a conhecemos de as bases  AB/DE=8/5.
  • 101.  Sabemos que a proporção linear k=8/5 por tanto área do triangulo maior=k2 área do triangulo menor.  Então a razão é 2.56  Resposta alternativa E
  • 103. Solução  Entender a construção da figura a partir de um circulo.  Necessitamos conhecer área do circulo e perímetro da circunferência.  Estabelecer relacoes entre as duas figuras.  Área do circulo inicial de raio=10 é 100∏.  A figura construída de um retângulo central e dois semicírculos de raio 5.  O perímetro de ambas coincide  p=20 ∏=10 ∏+2*x  x-comprimento lado desconhecido.
  • 104.  Isolando obtemos x= 5∏.  Então a área da figura é =25 ∏ +50 ∏=75 ∏  A razão fica 75∏/100 ∏=3/4  Resposta alternativa A
  • 106. Solução  Conhecimento de paralelismo e perpendicularidade de segmentos.  Construir o segmento paralelo a AC e utilizar a semelhança de triângulos.  Estabelecer relacoes de proporção necessárias para obter a equação.  x=AC incógnita  Da semelhança dos triângulos BDG e BFH.
  • 109. Solução  Temos que utilizar os conhecimentos sobre triângulos equiláteros e retangulares, semelhança de triângulos.  Construir as alturas AR e BS  Construir as relacoes necessárias para equacionar.
  • 110.  Chamemos de x – comprimento do lado  Os triângulos BNM e BRA são semelhantes, por tanto como BM é a metade de BA então BN é a metade de BR e BN=x/4 e NC=3x/4.  Os triângulos CPN e CSB são semelhantes então CP=3/4CS, por outro lado AP=12 CP=x-12  Equações obtemos 3 12 8 x CP x  
  • 111.  De onde x=19.2  Resposta alternativa E
  • 113. Solução  Conhecimento de área de triângulos retângulos e retângulos.  Proporcionalidade entre triângulos semelhantes.  Obter relacoes entre as áreas das 3 figuras.
  • 114. Relação entre lados de triângulos semelhantes  lb/la=20/40=1/2  Área A= 4 área= área C  ∆A=40x, C=40x resposta  Alternativa D
  • 116. Solução  Conhecimento da circunferência.  Observe as simetrias.  4 áreas iguais, cada área pode ser oleada como a soma de dois iguais  Teremos 8  Calculemos uma delas como diferencia da área de um setor circular de amplitude Pi/4 –área de triangulo retângulo de base 1 y altura =1*1/2  8(Pi/4-1/2)=2Pi-4  Resposta alternativa C
  • 118. Solução  Os hexágonos regulares podem olear-se como soma de áreas de triângulos equiláteros cujos lados tem relação com o raio da circunferência.  Área de triangulo equilátero = 3/4l2  O hexágono inscrito temos l=r,e tem 6 triângulos equiláteros  Temos sua área  =6 3/4r2=3 3/2r2  O hexágono circunscrito Os triângulos tem uma como altura o raio. Então aplicando Pitágoras
  • 119.  r= l2-l2/4= 3/2l l=2/ 3r  Então como temos 6 triângulos 6 3/4(2/ 3r)2  =4/3(3 3/2r2)  Resposta alternativa B.
  • 121. Solução  Conhecimentos de áreas de semicircunferências.  Como as áreas da semicircunferência menor esta uma sombreada e outra sem sombrear se compensam.  Por tanto área sombreada é a soma das áreas da semicircunferência media e maior.  Area=π6^2/2+ π3^2/2=22.5π  Resposta alternativa B
  • 123. Solução  Precisamos das propriedades dos triângulos isósceles, circunferência circunscrita a um triangulo.  Seja y a metade da base do triangulo isósceles . Então área do triangulo isósceles é igual a x*y.  Determinemos o y em função do x.  r=3cm por dado.
  • 125.  Isolando Resposta alternativa A 2 2 9 ( 3) 9 6 9 (6 )y x x x x x         (6 )A x x x 
  • 127. Solução  Precisamos das propriedades dos triângulos retângulos.  Triângulos retângulos com a mesma área o produto de sus catetos é igual.  BP*BC=AP*AQ=QD*DC  (I e II)AP/BP=BC/AQ=BC/(BC- QD)= 1/(1-QD/BC)  (I e III)QD/BC=BP/DC=BP/(BP+ AP)=1/(1+AP/BP)  Agora combinando  X=AP/BP  X =1/(1-1/(1+X))  Obtemos uma equação com relação a X
  • 128. Resposta alternativa B 2 1 1 1 1 1 1 0 x x x x x x         1 5 2 x  
  • 130. Solução  Trabalho com triângulos retângulo e semelhança de triângulos.  x= FE,  No triangulo FEC retângulo aplicamos Pitágoras  x2=(1-x)2+1/4  Cuja solução é x=5/8  Os triângulos retângulos GDF e FEC são semelhantes , pois os ângulos DFG e EFC são complementares  Então FE/CE=GF/FD,5/8 3/8 1/ 2 5/ 6 FG FG  
  • 132. Modelagem com equações lineares  Precisamos entender bem a situação real, o problema a resolver(geralmente necessitamos conhecimentos de áreas especificas).  Determinar a variável incógnita do problema.  Encontrar as relações da incógnita com os dados e representá-lo em formulações.  Reduzir a uma equação linear.  Resolver a equação obtida.
  • 133. Exemplo 41  Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b e c é 15. O valor de c é:  A) 9  B) 10  C) 11  D) 12  E) 15
  • 134. Solução  Necessitamos conhecer o conceito de media aritmética de um conjunto de números. Dados x1,x2,…xn Media A=(x1+x2+…+xn)/n  As incógnitas estão em forma explicita no problema.  Construir as relações a traves das medias aritméticas.  Incógnitas os números a,b e c, relacionam-se por suas medias aritméticas.  Incógnita principal a calcular c.  (a+b)/2=17 (i)  (a+b+c)/3=15(ii)  Isolando (a+b)=34 e substituindo em (ii) obtemos a equação com relação a c.  (34+c)/3=15
  • 135.  c=45-34=11  Resposta alternativa C
  • 136. Exemplo 42  No dia do aniversário de João em , uma pessoa perguntou a idade dele. João respondeu: “se eu não contasse os sábados e os domingos da minha vida, eu teria 40 anos de idade”. João nasceu no ano de: a) 1946 b) 1954 c) 1962 d) 1964 e) 1968
  • 137. Solução  Conhecimentos necessários sobre calendários( dias de um ano, dias da semana).  A variável principal esta explicita.  Determinemos relações pelos dados  Ano normal tem 365 dias, a semana tem 7 dias.  Ano de nascimento de João é x.  Dias vividos ate 2010 365(2010-x).  Agora calculemos os dias vividos, tomando em conta que teria 40 anos sim sábados e domingos
  • 138.  Obter duas expressões dos anos vividos tomando em conta anos normais e por outro lado que teria 40 anos não contando os sábados e domingos. 365(2010 ) 365(2010 ) 40*365 7 7 x x    Igualando as expressões obtemos a equação para calcular x 365(2010 ) 365(2010 ) 365(2010 ) 40*365 7 7 1954 x x x de onde x       
  • 141. Solução  Tipo problema cuja solução são equações lineares .  Determinar as variáveis.  x-número de acertos  y-número de erros  Soma de pontos por acertos e erros do cara são 50  Soma de acertos e erros em qualquer prova é 35  3x-2y=50  x+y=35  Isolando y=35-x e substituindo 3x-2(35-x)=50  5x=50+70=120  x=24  Resposta alternativa D
  • 143. Solução  Necessitamos representar números no sistema base 10.  Por os dados do problema plantear a equação que da o número x.  A direita 10x+1  A esquerda 10^5+x  Então 10x+1=3(100000+x)  De onde obtemos  7x=300000-1=299999  x=299999/7=42857  Soma dos dígitos=4+2+8+5+7=26  Resposta alternativa B
  • 145. Solução  Temos três números inteiros, as somas de eles dois a dois é conhecida, formaremos 3 equações lineares com 3 incógnitas a,b,c.  Resolvendo o sistema obtemos os 3 números e os multiplicamos.  a+b=37(I)  b+c=41(II)  a+c=44(III)  De (I) -(II)  a-c=-4  a+c=44  Somando 2*a=40, a=20  b=17,c=24  O produto abc=24*20*17=8160  Resposta alternativa D
  • 147. Solução Com os dados formemos uma equação linear para calcular o número de integrantes da torcida A .  x- Números de integrantes torcida A  32*x+34(84-x)=2752  34*84-2752=2x  x=104/2=52  Resposta alternativa D
  • 149. Solução  Combinar contagem com equação linear  n-rapazes , 2n mocas  Total de jogadores 3n.  Total de partidas combinatória sim repetição e sim ordem.  3n!/(3n-2)!/2!=3n(3n-1)/2  O 10% das partidas foi entre rapazes n.  n!/(n-2)!/2!=n(n-1)/2  1/10=n(n-1)/2/3n(3n-1)/2  Simplificando obtemos  9n-3=10n-10,n=7  Resposta alternativa B
  • 150. Modelagem com equações quadráticas
  • 151. Exemplo 48  Um grupo de jovens aluga por 342 reais uma van para um passeio, findo o qual três deles saíram sem pagar. Os outros tiveram que completar o total pagando, cada um deles, 19 reais a mais. O número de jovens era de a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 19
  • 152. Solução  Necessitamos interpretar bem o problema.  A variável principal é clara.  Procurar relações com a variável principal para construir a equação.  O número de jovens chamaremos de x.  Deveria pagar cada um deles 342/x.  Como 3 deles farão embora fico para o resto pagar o anterior mais 19. 342/(x-3)=342/x+19
  • 154.  Cujas soluções são x=-6 e x=9, então  Resposta alternativa b
  • 156. Solução  Temos uma função quadrática também modular.  As propriedades de estas funções devemos utiliza- las.  Podemos procurar uma solução gráfica.  a função tem duas ramas  Grafiquemos f(x). 2 2 2 ( 2), 0 ( ) 2 ( 2), 0 x x x x x f x x x x x x           
  • 157. 3 2 1 1 2 3 1 1 2 3
  • 158.  Observe do gráfico que a reta paralela ao eixo x, só corta em 4 pontos a curva no intervalo(0,-1). Resposta alternativa D. 3 2 1 1 2 3 1.0 0.5 0.5 1.0
  • 160. Solução  Temos uma equação de 2do grau e um expressão que utiliza uma raiz dela .  x2+x-1=0,r-raiz dela então  r2=1-r  Substituindo na expressão 1-r por r2obtemos:  Resposta alternativa A 5 6 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ( 2) 1 (1 )( 2) 2 1 ( 1) 1 0 1 r r r r r r r r agora substituindo r por r r r r r transformando obtemos r r                   
  • 161. Exemplo 51 Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas de terra. Admita que todos possuem a mesma velocidade de trabalho (medida em área cortada por unidade de tempo) e que uma das glebas tenha o dobro da área da outra. Até a metade do dia todos trabalham juntos na gleba maior e, na outra metade do dia, metade dos trabalhadores passa a cortar a cana da gleba menor, enquanto a outra metade continua cortando grama na gleba maior. No final deste dia, os trabalhadores terminaram de cortar toda a cana da gleba maior, mas um trabalhador demorou mais um dia inteiro para terminar de cortar a cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia no grupo? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
  • 162. Solução  Conhecimentos necessários para entender o problema, (geometria elementar combinada com proporções).  Determinação da variável principal.  Determinação de relações entre a variável principal e outras variáveis do problema e os dados.  Variável principal quantidade de trabalhadores-x Tomaremos como unidade de tempo o dia. p- área cortada/unidade de tempo de cada trabalhador  Para obter uma equação para calcular x, podemos apoiar nos na quantidade de trabalhadores utilizados em cada área alem de conhecer que uma gleba tem o duplo da área da outra.
  • 163.  Para cortar a cana da gleba A Utilizarão todos os trabalhadores médio dia + a metade deles na outra metade do dia e dizer. Obtemos a expressão da área da gleba A em função de x e p. ) 42 ( 2 1 ** 22 1 ** xx p p x px  
  • 164.  Para cortar a cana da gleba B utilizarão a metade dos trabalhadores médio dia, mais um trabalhador um dia a mais completo e dizer.  Obtemos a expressão da área da gleba B em função de x e p. )1 4 ( 1**1 2 1 ** 2   x p pp x
  • 165.  Igualando as áreas cortadas proporcionalmente  área(A)/2= área(B) obtemos a igualdade: 81 8 1 484 )1 4 ( 2 42     x x xxx x p xx p
  • 167. Solução  Combinar relações para obter o valor de x pode ser uma alternativa.  Vamos construir as relações  x*z*y=108y=72x=6s*y=x*w *s=54*w.  Obtemos rapidamente 72x=108y  y=2/3x, s=72x/6y=18  54w=108*2/3x, w=4/3x  x*4/3x*18=72x  x=3  x+y=3+2=5  Resposta alternativa A
  • 168. Exemplo 53 Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este bilhete: “Dividam igual-mente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro, pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a mãe deixou? a) 25 reais b) 35 reais c)45 reais d)48 reais e)55 reais
  • 169. Solução  Interpretar o problema e identificar a variável incógnita .  Procurar relações dela com os dados  Equacionar  Variável principal quantidade de dinheiro que deixo a mãe deles-x  Encontremos relações com x  O primeiro filho pego x/3  O segundo pego um terço do que fico (2x/3)/3  O ultimo pego o que fico 5*4=20 reais
  • 170. Então a soma deles = x(total) 454/180 20*94,20 9 59 20 9 23 20 9 2 3 20 3 1 3 2 3         x x xx xx x x xx xx x Resposta alternativa c
  • 172. Solução  Formar a equação passo a passo.  N- quantidade de figurinhas  6/7*4/5*2*3*N=96  Equação linear respeito a N  N=210.  Resposta alternativa B
  • 173.  Exemplo 55 A figura ao lado é formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se um número inteiro. O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir é a soma dos números que estão escondidos nos quadrados pintados. Modelagem com sistema de equações lineares O número do quadrinho central é: a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 13
  • 174. Solução  Necessitamos entender bem a problema.  Introduzir variáveis em cada quadrinho.  Formar o sistema de equações lineares  Resolve-lo
  • 175. A variável principal e c  Formemos a sistema de equações )(24 )(23 )(22 )(29 )(26 Vedba IVedca IIIedcb IIecba Idcba     
  • 176. Subtraendo da equação (V) outras obtemos expressões para substituir em (I). Resposta alternativa c 7284,2624 26512 5,5)()( 2,2)()( 1,1)()(      ccc cccc cdcdIIV cacaIIIV cbcbIVV
  • 177. Exemplo 56 Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1 . Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e sua média caiu 0,2. Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas? a) 10 b)5 c) 6 d) 8 e) 9
  • 178. Solução  Conhecimentos de media aritmética.  Determinar a variável principal.  Relações da variável principal as secundarias e os dados.  Formar sistema de equações.  Variável principal quantidade de notas –n.  Variáveis secundarias mediafinal-m  Somafinal-s  Temos as seguinte variações da nota media.  m=s/n  m+0.2=(s-7)/(n-1),  (m+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)  Temos um sistema com três incógnitas m,s e n.
  • 179.  m=s/n(I)  m+0.2=(s-7)/(n-1)(II)  (m+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)(III) Resolvendo o sistema  Substituindo(I) em (II) e (III)obtemos  s/n+0.2 =(s-7)/(n-1)  (s/n+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)  Isolando s em ambas e igualando obtemos uma equação com relação a n.
  • 180.  s=7n+0.2n(n-1) e s=0.1n(n-2)/2+16.8n/2  7n+0.2n(n-1)=0.1n(n-2)/2+16.8n/2  Simplificando obtemos uma equação com relação a n.  15n^2-150n=0, onde n=10, n=0  Resposta alternativa a
  • 181. Exemplo 57(resolvendo a prova de erro) Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
  • 182. Solução  Precisamos interpretar corretamente o problema.  Determinar a variável principal.  Obter as relações importantes a partir dos dados.  A variável a determinar quantidade de peixes pescados por os meninos Chamaremos de x. Ana a que mais pesco chamamos de A Beatriz a que menos pesco chamamos de B x1, x2- o que pescarão os meninos x1+x2=x
  • 183.  A>x2>x1>B>=1  soma=A+B+x1+x2=11  Provando combinações  B=1, x1=2,x2=3,A=4, soma=1+2+3+4=10 diferente de 11  Observe que só podemos incrementar uma delas o lógico seria a ultima e satisfizemos todas as condições por tanto x1+x2=x=5  Resposta alternativa C
  • 184. Modelagem com inequações  Difere das equações só que obtemos uma desigualdade no lugar de uma igualdade.
  • 185. Exemplo 58 Na loja , um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa de manutenção mensal de 20 reais. Na loja, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a compra na loja A se torna mais vantajosa que a da loja B? a) 30 b) 72 c) 39 d) 63 e ) 44
  • 186. Solução  Necessitamos conhecimentos elementares de economia( juros mensais).  Determinar a variável principal.  Determinar relações dos dados com a variável principal.  Variável principal depois de quantos meses e mais rentável a compra na loja A - x .  O custo de A  3800 +20x  C ucto de B  2500+50x  O inequação  3800+20x<2500+50x  De onde isolando x obtemos  1300/30<x x>43.3  Resposta alternativa e
  • 187. Exemplo 59.Resolvendo equações não lineares A soma das raízes da equação é igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 223  xx
  • 188. Solução  Identificar o tipo de equação não linear.  Aplicando operações validas isolar a variável e determinar o conjunto solução da equação.  Elevando ao quadrado e transformando convenientemente:       1,9 0)1)(9( 0910,496 43,23 4)3(2,462 4423 223 22 2 22        xx xx xxxxx xxxx xxxx xxx xx
  • 189.  Verifiquemos qual das soluções da ultima equação é solução da original  Observe que x=1 não é solução  Mais x=9 é solução  Resposta alternativa d 211  55 2925  
  • 190. Modelagem com contagem  Necessitamos conhecer as diferentes situações de contagem.  Contagem aritmética com soma gaussiana  Contagem com repetição de m em n é nm  Contagem sem repetição de m em n é . 2 )1( 1     mm i mi i )!( ! mn n 
  • 191.  Contagem sem repetição e sem ordem de m em n  Lei do produto é a combinação de contagem anteriores em produto deles  Podem existir contagem que combinem vários dos anteriores  Outras situações de contagem resultam quando temos que contar caminhos para ir de um ponto a outro em uma matriz.  Contagem pode ser combinado com resolução de equações . ! ( )! ! m n n C n m m  
  • 192. Exemplo  Contagem com repetição e com ordem Quantos números de dois algarismos podemos formar com os dígitos 1,2,3? Veja m=2,n=3 debe ser 32 {11,12,13,21,22,23,31,32,33} observe são 9 pares é dizer 3^2=9.  Agora sem repetir dígitos( excluímos 11,22,e 33) {12,13,21,23,31,32} só 6 é dizer 3!/(3-2)!=6  Agora sem repetir dígitos e sem ordem( significa que é o mesmo 23 que 32 ,12 e 21 e 13 e 31) excluímos 3 mais fica então.  {12,13,23} só 3 é dizer 3!/((3-2)!2!)=3
  • 193. Exemplo 60 Um campeonato com 25 clubes é disputado num ano, com um único turno, pelo sistema de pontos corridos (cada clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada semana há sempre o mesmo número de jogos e não há jogos na semana do Natal nem na do Carnaval. O número de jogos que devem ser disputados em cada semana é: a) 5 b) 4 c) 8 d) 6 e) 10
  • 194. Resolução  Identificar o problema como de contagem  Tipo de contagem.Como identificá-lo.  Analisemos os equipes não joga com sigo mesmo, então sem repetição, alem de isso, a ordem também não importa é o mesmo a com b que b com a. Então a contagem é combinatória de m em n.  Quantidade de jogos entre 25 equipes, cada um jogo com os outros uma vez.  300 jogos  Queremos saber quantos jogos semanais , eliminando duas semanas,calculemos quantidade de semanas num ano. 300 2 24*25 !2)!225( !2525 2   C
  • 195.  365/7=52  52-2=50  Por tanto a quantidade de jogos por semana 300/50=6  Resposta alternativa 6
  • 196. Exemplo 61 Um número natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos são os números de quatro algarismos que são estranhos ou belos? A) 24 B) 500 C) 3024 D) 3500 E) 3548
  • 197. Resolução  Identificar como problema de contagem  Tipo de contagem É combinado pelas definições de números estranhos que são sim repetição e os números belos tem repetição, alem tem que tirar os números que são as duas cosas, uma vez.  Combinando os dígitos de 1 …9 sem repetição de 4 teríamos todos os estranhos 9!/(9-4)!=6*7*8*9=3024 Agora vamos tirar os que são também belos,temos os estranhos com pares distintos. 4 pares 2,4,6,8 4!=24 Então teremos 3024-24=3000 Estranhos só.
  • 198. Números belos  Todos seus algarismos são pares podem repetir se  {0,2,4,6,8} o zero entra qualquer posição exceto inicio , mais pode ter repetição. 4*5*5*5=500 Então teremos 3000+500=3500 Resposta alternativa D
  • 200. Solução  Contagem sem repetição e com ordem  Só três dígitos interessam  Podemos utilizar para o primer número todos menos o zero. Temos 9 para o segundo temos 9 também pois entra o zero e ficam só 8 para o ultimo.  9*9*8=648  Resposta alternativa A
  • 201. Exemplo 63 O número2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente? a) 126 b) 144 c) 186 d) 210 e) 252
  • 202. Solução  Identificar um problema de contagem.  Tipo de contagem ( contar os números que seus dígitos estão estritamente em ordem crescente de 4dígitos  Por exemplo fixando o número como primeiro 1_ _ _ quantos podemos formar  Utilizando 2…9 é dizer 8 sem repetição de números e em ordem crescente ( ordem unidirecional)  Teremos 8!/((8-3)!3!)=56 possibilidades
  • 203.  Fixando o número 2 como primeiro dígito temos 7 possibilidades para escolhermos os outros 3 dígitos que irão compor nosso número , ou seja, temos números que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999  Fixando o número 3 como primeiro dígito temos 6 possibilidades para escolhermos os outros 3 dígitos que irão compor nosso número , ou seja, temos números que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999 .  Fixando o número4 como primeiro dígito temos 5 possibilidades para escolhermos os outros3 dígitos que irão compor nosso número, ou seja, temos números que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999 . 7! 35 (7 3)!3!   6! 20 (6 3)!3!   5! 10 (5 3)!3!  
  • 204.  Fixando o 6 número como primeiro dígito temos possibilidades para escolhermos os outros 3 dígitos que irão compor nosso número, ou seja, temos números que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999.  Logo, somando todas as possibilidades, o número n de números naturais entre e que possuem seus dígitos em ordem crescente é:  56+35+20+10+4+1=126  Resposta alternativa a 3! 1 0!3! 
  • 205. Exemplo 64 Em uma festa há 13 casais. Cada homem cumprimenta com um aperto de mão os outros convidados, exceto sua própria esposa. As mulheres recebem apertos de mão, mas não procuram ninguém para cumprimentar. Quantos apertos de mão são dados pelos 26 participantes? a) 234 b) 235 c)236 d) 237 e)238
  • 206. Solução  Identificar o problema de contagem  Tipos de contagem ( aperto de mãos entre homens e de homens com as mulheres excetuando a dele)  Que diferença tem entre ambos contagens?  O aperto de mão entre homens é sem repetição sem ordem.  Então temos  Entre homens e mulheres temos  Cada homem a cada mulher 13*12=156 13! 78 (13 2)!2!  
  • 209.
  • 210. Caminhos  AOB  ACOB  ACEB  ADFB  ADOB  AOEB  AOFB  ACOEB  ADOFB  ADOEB  ACOFB  Resposta alternativa C
  • 211. Exemplo 66  De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par?  A) 1620  B) 810  C) 570  D) 720  E)120
  • 212. Solução  Identificar como contagem  Tipo soma de numero temos que conhecer que a operação é comutativa e associativa , que é com números distintos sem repetição, também deve ser par, devemos saber sobre o resultados pares.  Temos que escolher 3 entre 20 ,mais para ter soma par, temos os casos:  Os 3 números são pares  2 impar e 1 par. A soma dos casos será a resposta. Temos 10 números pares entre 1 e 20.
  • 213.  Por tanto as combinações são 3 entre 10.  10!/(10-3)!/3!=120  Para o segundo caso teremos que aplicar a regra do produto de combinações, de dois impar e 1 par.  A soma é 120+450=570  Resposta alternativa C. 10 10 1 2 10! 10! . . 10.45 450 9! 8!.2! C C   
  • 214. Exemplo 67 Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes? A) 448 B) 504 C) 546 D) 952 E) 1008
  • 215. Solução  Identificar como problema de contagem  Tipo de problema(conhecimento de múltiplo de um número inteiro , características de os números múltiplos de 5)  Tipo de contagem no caso sem repetição e ordem.  Isolar casos e somar todos.  Os múltiplos de 5 são números terminados em 5 ou 0.  Por tanto teremos dois casos  _ _ _5  _ _ _0  Os outros 3 números o primeiro não pode ser 0 nem 5 só números entre {1,2,3,4,6,7,8,9}, os outros dois podem ser sem repetição os que ficam excluindo o 0u 5 em dependência do caso mais outro.
  • 216. Calculemos  O caso terminam em 5 teremos para o primeiro elemento 8 possibilidades {1,2,3,4,6,7,8,9}, para os dois seguintes ficariam 7 e o 0.entao  8.8!/6!=448  O caso terminam em 0 teremos então para o primeiro elemento 9 possibilidades {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e ficariam para os dois seguintes 8 possibilidades dois 9 anteriores, então.  9.8!/6!=504  Total =504+448=952
  • 218. Exemplo 68 Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números? A) 6666600 B) 6666000 C) 6660000 D) 6600000 E) 6000000
  • 219. Solução  Identificar a necessidade da contagem para resolver o problema.  Tipo de contagem  Sem repetição com ordem.  Conhecimento de números impares.  Quantidade de impares  5{1,3,5,7,9}  Contagem são as permutações deles  5!=120  Observemos que teremos a soma de 120 números de 5 dígitos, onde teremos 24 terminados em cada um deles.
  • 220. Calculemos a soma deles cada coluna é igual a seu valor, por tanto.  24*5+24*3+24*7+24*9+24=24(1+3+5+7+9)=600  Teríamos  Dois zeros 00 e na terceira coluna empezaria o primer 6  Resposta alternativa A
  • 222. Solução  O problema pode olear-se como contagem.  Contagem de rodadas de distribuição de balas.  Contagem  Soma Gaussiana  1+2+3…+n=n(n+1)/2=300  Obtemos a equação de 2do grau para contar as rodadas  n2+n-600=0  (n+25)(n-24)=0  Então da para 24 vezes entre 4 são 6 rodadas de repartição cada um.
  • 223.  Daniela é a terceira na distribuição por tanto começo com 3 balas e 4 a mais cada vez em 6 rodadas.  x-balas recebidas por Daniela  x=(3+7+11+15+19+23)=78  Resposta alternativa C
  • 224. Contagem de divisores de um número  Expressando o número pelo o teorema fundamental da aritmética é dizer:  Dado n  Onde pi são os primos divisores de n.  Então a quantidade de divisores q é igual  q=(a1+1)(a2+1)...(am+1) 1 2 1 . 2 ...a a am n p p pm
  • 225. Exemplo 70 O número total de divisores positivos de 10!=10987654321 é igual a: A) 15 B) 270 C) 320 D) 1024 E) 10!
  • 226. Solução  Contagem de divisores  Descompor por teorema fundamental da aritmética.  10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1  Os primos ficam os outros descompomos em primos  (2.5)(3.3)(2..2.2)7(2.3)5(2. 2)3.2.1=  Agrupando por primos  Aplicando a formula 2 4 8 7.5 .3 .2
  • 229. Solução  Podemos movermos só de três formas, isto implica que a cada quadricula podemos chegar só de 3 quadriculas vizinhas.  A quantidade de formas para chegar a D será a soma das que utilize para chegar a seus vizinhas.  Quando a quadricula é na coluna o linha fronteira só teremos uma forma de chegar.
  • 230. Veja nas fronteiras da matriz.
  • 233. Solução  Lançamento de dados.  Chamemos aos pares de números opostos respetivamente (a,b),(c,d),(e,f).  Nos mostram 2 lançamentos e podemos equacionar pra determinar número oposto ao 6.  Supondo a+b+c+d=15(I)  Sabemos que a soma de todos é 21  a+b+c+d+e+f=21(II)  No segundo lançamento como o resultado é diferente mudo um par então supondo que seja a,b  c+d+e+f=12(III)  Razoemos a+b=9  e+f=6, e,f não será o par que contem ao 6,pois o zero não entra .  Então c c+d=6 também e,f e c,d podem ser só 4,2 e 5,1
  • 234.  6 esta no par a,b como a soma é 9 seu oposto só pode ser 3  Resposta alternativa C
  • 236. Solução  Entender bem como ocorre a mudança das placas.  Primero os números desde o 0000-9999 tem 10000 números no sistema decimal.  As letras mudam desde AAA-ZZZ no sistema de 26 letras do alfabeto e 10000 tem as mesmas letras , por tanto as letras estão numa dupla sistema decimal e base 26 das letras.  20290754=a+b*10+c+102+d* 103+ e*104+f*10426+g*104262. Então a chapa será tomando em conta que adiantamos uma unidade que devemos tirar do premier resíduo. gfedcb(a-1) 20290754/10=2029075+4/10 a=4 2029075/10=202907+5/10 b=5
  • 237.  Temos vias de solução básicas solução exaustiva contagem recorrendo os casos todos.  O expressando o número da chapa que nos pedem no dupla sistema decimal e 26 letras e com os resíduos da divisão formar a chapa.  Utilizaremos a segunda via.  202907/10=20290+7/10  c=7  20290/10=2029  d=0  Agora dividimos entre 26 e o resultado numérico é em letras 0->A, 1->B, 2->C,3- >D,...  25->Z  2029/26=78+1/26  e=B  78/26=3  f=A,g=D
  • 238.  A chapa será então DAB0753  Resposta alternativa C
  • 240. Solução  Combinar dois algarismos sim repetição pero com ordem entre 8 pois o 3 e o 5 já não contam.  Temos combinações de m em n  n!/(n-m)!  8!/(8-2)!=7*8=56  Como é cada dois minutos e considerando que o primeiro intento no espera teríamos 55*2=110 minutos máximo.  1h e 50 minutos  Resposta alternativa B
  • 242. Solução  mmc estamos falhando de divisão . O maior múltiplo de 42 menor que 10000, podemos dividir 10000 entre 42 e tirando o resíduo de 1000 teríamos o maior número menor que 10000 divisível por 42.  10000/42=238+4/42  Resíduo 4 então o maior múltiplo e 10000-4=9996  Resposta alternativa E
  • 244. Solução  Visitar 5 lugares mais não pode começar nem terminar por um deles ficaria no meio sempre.  Um forma de olear a solução é somando todas as permutações dos 4 assumindo outro fixo em 3 posições interiores.  3*4!=72  Resposta alternativa B
  • 246. Solução  6 letras se podem escrever com permutações de 6.  Mais as letras a,b e c devem estar sempre nesse ordem. Então elas 3 teriam permutações de 3, no conjunto anterior de 6. e so uma permutação seria valida .  6!/6=5!=120 formas  Resposta alternativa A
  • 248. Solução  Temos que resolver exaustivo  No centro A um cor, B e C de cores diferentes, D e E da mesma cor, mostramos uma combinação, como temos 4 cores diferentes para A , ficariam 3 para B. 2 para C e uma para D e E teríamos 4 combinações. 
  • 250. 3 para B com A fixo
  • 251. 2 para cada C com B e A fixo veja
  • 252. número de combinações neste caso 4*3*2*1=24  Segundo caso B e C serão coloridos da mesma cor. Neste caso A terá 4 cores diferentes como no caso anterior. B e C terão 3 diferentes cores, 2 ficarão para D e E também terá 2 cores. Veja
  • 253. D com duas cores com A,B e C com cor fixo
  • 254. E com duas cores com A,B, C e D fixo.
  • 255.  Teríamos 4*3*2*2=48  Então o total 24+48=72 formas  Resposta alternativa D.
  • 257. Solução  Exemplo gráfico  Contagem exaustivo casos  Todos os vértices com 1 então todas as faces somam 2 teríamos  Soma =9*2=18  Caso todos cero todos as faces com zero.  Soma =0  Quando um 1 e o resto 0, independentemente onde fique o resultado é o mesmo
  • 258. Os três faces ligadas ao vértice tomariam valor 1 o resto 0 então soma =3
  • 259. Quando temos dois vértices com valor 1, independentemente onde estejam a soma será igual ,veja dois exemplos
  • 260. A soma =6  Quando temos 3 vértices com 1, teremos soma=9  Quando temos 4 vértices com 1, teremos soma=12  Quando temos 5 vértices com 1, teremos soma=15  Por tanto teremos 7 .  Resposta alternativa C
  • 261. Modelagem com funções  Traçado de gráficas funções no plano cartesiano.  Domínio e imagem de funções elementares.  Conhecimento da função linear, suas equações.  Conhecimento da função quadrática, suas equações.  Conhecimento da funções polinomiais.  Conhecimento das funções exponencial e logarítmica.  Variação de funções.  Extremos de funções.
  • 262. Exemplo 80 No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos A=(4,3) e B=(6,4) corta os eixos nos pontos P e Q. O comprimento do segmento PQ é: A)1 B) C) D) E) 2 2 3 5
  • 263. Solução  Devemos traçar a gráfica da função linear pelos pontos dados.  Necessitamos a equação da reta que passa por dois pontos.  Traçado da gráfica 6 4 4 ( 3) 4 3 2 2 y x y x       
  • 264. Grafica  1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 4 3 2 1 1 2
  • 265.  Calculemos as coordenadas dos interceptos com os eixos.  x=0,y=-2 ponto P(0,-2)  y=0,x=1 ponto Q(1,0)  Distancia  Resposta alternativa D 2 2 1 5PQ   
  • 266. Exemplo 81  A figura abaixo apresenta o gráfico da função no intervalo [1, 4]. 23418163)(xxxxf  Quantas soluções reais distintas possui a equação no intervalo [1, 4]? 1018163234xxx
  • 267.
  • 268. Solução Resolver equações como pontos de intercepção de duas funções.  Podemos ver como encontrar os interceptos da função cuja gráfica conhecemos com a reta y=-10  Temos então 2 soluções  Resposta alternativa C
  • 270. Solução  Trabalho com a transformação de expressões algébricas, solução de inequações. Completamento de trinômio quadrado perfeito.
  • 271. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 )( ) 1, 2 ( ) 0, 5, 2 ( ) 0 5 ( 5)( ) 1( ) 0, 6( ) 0 0, 1, 0,0 1 2 ( ) 0, 0, 0. A x y y x y y I para x y I x y I B x x x x II para x II x II C x x x x x x D x xy y x xy y x y x y                                   
  • 274. Solução  Equações de 2do grau , encontrar seus zeros.  Graficar as parábolas.  Os sinais do termo quadrático indicam côncava o convexa 2 2 2 2 3 0 ( 3)( 1) 0 3, 1 3 4 0 ( 3 4) 0 ( 4)( 1) 0 4, 1 x x x x x x x x x x x x x x                       
  • 275. 2 1 1 2 3 4 6 4 2 2 4 6 g x f x
  • 276.  A verdadeira  B verdadeira  C Falsa Resposta correta
  • 277. Progressões  Progressões aritmética geométrica , indução matemática.
  • 279. Solução  Temos uma sequencia de números naturais, a lei de formação do seguinte elemento ,pelo anterior e conhecemos o primeiro elemento.  Devemos encontrar o termo para n=9.  Intentemos obter dois ao frente substituindo recursivamente.  a1=2ao-3=2.5-3=7  a2=2a1-3=14-3=11  a3=2a2-3=22-3=19  a4=2a3-3=38-3=35  Observe que  a1=5+2,a2=a1+22,a3=a2+23  a4=a3+24,ak=5+2+22+…+2k.
  • 282. Solução  Progressão aritmética  an=ao+n.p  Não conhecemos p  Temos 3 termos determinar o seguinte  Determinemos p  an-an-1=p  ao=5,a1=356?  a1-a0=351  Mais 356+351 590  Vamos supor que entre 5e 356 existe um  X-5=356-X  X=(356+5)/2 não inteiro nao serve
  • 283.  Experimentemos do outro lado  X-356=590-X  X=(590+356)/2=473  Então p=473-356=117,  Verifiquemos  5+117=122  122+117=239  239+117=356 tudo bem  Por tanto o seguinte elemento é 590+117=707  Resposta alternativa D
  • 284. Modelagem com equações modulares  Divisão euclidiana a/b é a=n*b+r  r- resíduo da divisão inteira
  • 286. Resolução  Identificar como problema de resíduos.  Determinar as variáveis do problema  Formular as equações.  Resolver o sistema de equações.  c- cadeiras  k- crianças  Colocando duas crianças por cadeira sobra 1, então  k=2c+1(I)  Agora se cada cadeira tem 3 crianças sobra uma cadeira  c=k/3+1(II)  Obtivemos um sistema de duas equações residuais.
  • 287.  Substituindo (I) em (II) obtemos:  c=(2c+1)/3+1,3c=2c+1+3,c=4 , então temos 9criancas.  Resposta alternativa D
  • 289. Solução  Evidentemente é um exemplo de equações residuais  No caso divisão por 7.  O resíduo de divisão por 7 é  {0,1,2,3,4,5,6}  Uma solução é construir a tabela de resíduos para cada expressão tomando como base os dados da equação dada.  Mais podemos transformar aplicando propriedades dos resíduos.  10x+y=n.7  (10x+y)/7=n inteiro. Implica o resíduo da divisão por 7 é 0  7x+7y é divisível por 7.  A diferença o soma de dois múltiplos de 7 da outro múltiplo de 7  Por tanto 10x+y-(7x+7y)=3x-6y que será também múltiplo de 7, al dividi-lo por um número (3)continua sendo múltiplo de 7  (3x-6y)/3=x-2y e teremos que x- 2y é divisível por 7  Resposta alternativa A
  • 290.
  • 291. Conhecimentos necessários  Media aritmética de o conjunto (x1,x2,...xn)  Desvio padrão de o conjunto (x1,x2,...xn)  Probabilidade clássica.  P(A)= nA/n a probabilidade do evento aleatório A  nA - número de acertos do evento A, n número total de possibilidades. _ 1 n i i x x n    _ 2 1 ( ) n i i x x n     
  • 292. Valor esperado de uma variável aleatória  Suponhamos que a variável aleatória toma um conjunto discreto finito e a cada valor da variável x corresponde uma probabilidade p(x), então o valor esperado da variável x é  E(x)=Σx*p(x)
  • 294. Solução  Necessitamos a media aritmética e desvio padrão.  Devemos calcula-lo em dois momentos antes e depois da entrada do novo funcionário e compara-los. 1 n i i x m n    2 1 ( ) n i i x m d n    
  • 295. m e d media e desvio padrão antes da entrada do novo funcionário.  Veja como ficaria depois da entrada a nova media aritmética  Veja como ficaria o novo desvio padrão 1 * ( 1) 1 1 1 1 n i i x m n m m n m m m n n n             2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 n n i i i i x m x m m m n nnd d n n n              
  • 296. Conclusão a media é igual e o desvio padrão diminui.  Resposta alternativa D
  • 298. Solução  Podemos olear o problema como um evento A Lançamento de uma bola e um dado simultaneamente que saia o mesmo número nos dois.  Temos que encontrar o espaço de todas as possibilidades, calculando a número de elementos  Dentro do espaço determinar o número de elementos do evento A. dado bola 1 2 3 4 5 6 1 x 2 x 3 x
  • 299.  Temos 18 resultados possíveis dos quais só 3 são o evento A. Por tanto P(A)=3/18=1/6 Resposta alternativa C
  • 301. Solução  Precisamos do valor esperado E(x)=Σx.p(x).  Valor esperado da media aritmética ao retirar simultaneamente duas moedas.  Aqui necessitamos determinar a media aritmética de todos os possíveis resultados ao retirar duas moedas , como temos mais moedas de 50 centavos que de 1 real, a intuição nos leva a pensar que estará mais perto de 50 é dizer entre 0.50 e 0.75.  x-media aritmética de duas moedas retiradas do cofre.  Por tanto x= 0.50,0.75,1  A intuição nos leva a pensar que o valor esperado deve estar mais perto de 0.50 que de um por ter mais moedas de este valor, por tanto estará entre 0.67 e 0.75.  Temos que a tirar duas onde temos 2 de 1 real e 4 de 0.50 e dizer 6 moedas todos os casos possíveis são  n=6!/(6-2)! =30 combinação sem repetição e com ordem.  A variável aleatória toma três valores possíveis 0.50 sim retiramos duas de 0.50 , 0.75 sem retiramos uma de cada tipo, e 1 sim retiramos as duas de 1 real.  x=0.50,0.75,1  Para cada valor da variável x temos que determinar sua probabilidade que será  P(x)=nx/n  Temos que determinar das 30 combinações ao retirar duas quantas ocorre x.
  • 302.  Para x=0.50 temos um produto de combinações  Tirar 1 de 4 com a primeira moeda ficam então 3 para a segunda tirada.  4*3=12  p(0.50)=12/30  Tirar uma de cada tipo temos duas fontes  A primeira de 1 de 2 a segunda de 0.50 de 4 possíveis.  2*4=8  A segunda ao contrario primeiro a de 0.50 temos 1 de 4 e a segunda de 1 tiramos 1 de 2  4*2=8
  • 303.  Total de possibilidades 8+8=16  p(0.75)=16/30  Finalmente os casos de tirar as duas de 1 real  A primeira 1de2 a segunda é a única 1 de 1  2*1=2  p(1)=2/30  Por tanto a media esperada E(x)=0.50*p(0.50)+0.75*p(0.75)+1*p(1)=0.50*12/30+0.75*16/ 30+1*2/30=20/30 esta mais próximo de 0.67 por tanto  Resposta alternativa B
  • 305. Solução  Exemplo típico da probabilidade clássica  O espaço de sortear 3 dentro de 10 é o total n, mais em quantos elementos do espaço estará Joao um deles é sua frequência nj, a probabilidade será p=nj/n  Temos n é a combinação sim repetição e sem ordem de 3 em 10  n=10!/(10- 3)!/3!=8*9*10/6=120  Agora em quantas estará um deles fixo. Sim um esta fixo, para os outros temos a combinação de 2 entre 9  9!/(9-2)!/2!=8*9/2=36  p=36/120=6/20=3/10  Resposta alternativa A
  • 307. Solução  Um exemplo de probabilidade combinado com divisibilidade por 4  O espaço é todos as permutações de 5 algoritmos.  Quantos deles serão divisíveis por 4,será a frequência e por tanto a probabilidade  p=n4/n  n=5!=120
  • 308.  Precisamos saber quando um número é divisível por 4.  Quando seus dois últimos algarismos formão um número divisíveis por 4.  Então entre 1-5  Teremos os casos 12,24,32 e52 divisíveis por 4.  Sim fixamos 12 ao final  xxx12  n12=3! O mesmo ocorre para os outros 3 casos  n4=4*3!=4!  n4=24  p=24/120=4/20  Resposta alternativa D
  • 310. Solução  Conhecer o conceito de media aritmética necessitamos para resolver o problema,  Combinar com a lei de formação da sequencia .  (a1+a2+...a9)+a10=10(110)  Transformando a expressão entre parêntesis obtemos  9(109)+a10=10(110)  De onde obtemos  a10=1100-981=119  Resposta alternativa D
  • 312. Solução  Temos que 100000 de jovens de 21 anos, segundo as estatísticas quantos tem probabilidades de chegar a 23. Temos que calcular dois probabilidades consecutivas, primeiro quantos chegarão a 22, e de aqui quantos chegarão a 23. A- de 21 chegam a 22 P(A)=1-.001=0.999 Então multiplicando a probabilidade por a quantidade obtemos 1000000*0.999=999000 a 22 anos Agora a estes aplicamos a segunda probabilidade B-de 22 chegam a 23 P(B)=1-.001=0.999 999000*0.999=998001 Resposta alternativa A
  • 314. Solução  Temos um exemplo clássico de probabilidade, determinar o espaço n e as ocorrências do nosso caso( quantos elementos a soma de seus valores e igual a 5)nx  P(x)=nx/n  Temos 12 bolas retiramos 3  Então o total de elementos do espaço é a combinação sem repetição e com ordem 3 em 12.  n=12!/(12-3)!=10*11*12=1320  Quantos casos somam os três números 5.  Temos 3 com número 1
  • 315.  5 com 2 e 4com o número 3.  Somam 5  1+2+2=5  1+1+3=5  Cada caso tem uma quantidade de vezes calculemo-las  Temos 1 de 3 para tirar um 1, 1 de 5 para na segunda a tirar um 2 e 1 de 4 para tirar um 2 na terceira  Então teremos 3*5*4=60 ,mais pode ocorrer de 3 formas{(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)} total deste casso=3*60=180  No outro caso temo  3*2*4=24, mais pode ocorrer de 3 formas{(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)} então teríamos  total deste caso =3*24=72 ,casos n5=180+72=252 .Probabilidade p(x)=252/1320=21/110  Resposta alternativa C.
  • 316.
  • 317. Problema 1 Qual dos números abaixo é o mais longe de 0,7? A) 2/3 B) 4/3 C) 5/4 D) 1/5 E) 5/7
  • 318. Problema 2 Sejam a=26000 ,b=34000 ,c=72000 , e . Assinale a alternativa correta: A) c<a<b B) c<b<a C) a<b<c D) b<c<a E) a<c<b
  • 319. Problema 3  Na seguinte matriz de 4x4 de quantas formas podemos movermos desde a esquina inferior esquerda ate a esquina superior direitas com deslizamentos horizontais e verticais.
  • 320. Problema 4 Considere os números reais A opção verdadeira é: A) a e b são ambos irracionais e c é racional. B) b é racional a e c são ambos irracionais. C) a e c são ambos racionais e b é irracional. D) a e b são racional e c é irracional. E) a é racional e b e c são ambos irracionais. 2 2 3 (1 5) 6 (1 3 2) 27, , 1 3 3 5 2 a b c        
  • 321. Problema 5  O número é igual a: A) 1/64 B) 1/16 C) ¼ D) ½ E) 1   3 264 
  • 322. Problema 6 O radio de um cilindro circular reto aumenta em um 20%,por outro lado o comprimento diminui em um 12%.Quanto varia se volume? A)-26,72% B)26,72% C)-12% D)20% E)8%
  • 323. Problema 7  Qual é o valor de 77+ 77+ 77+ 77 +77+77+77?  A) 497 B)749 C) 78 D)77
  • 324. Exemplo 8  Joao tem um ticket para comprar numa loja com desconto do 20%, ele quer comprar um brinquedo que tem um desconto de um 30%. Qual é o desconto total que Joao receberá por a compra do brinquedo?  A)44% B) 50% C)60% D) 66%
  • 325. Exemplo 9  Quantos seguintes 60 números são múltiplos de 60?  84,2.84,3.84,...,58.84,59.84,60.84  A)18 B)15 C)12 D)30
  • 326. Exemplo 10  Na figura ABCD é um quadrado , onde BF=FE=EA  A razão área (FEDC)/área (ABCD vale:  A)2/5 B) ½ C)2/3 D)3/4
  • 327. Exemplo 11  Tem um número que possui 2005 algarismos e segue o padrão:  Os últimos três algarismos são:  A) 1,7 e 1 B)7 , 1 e 8 C)1,8 e 2 D) 2,6 e 3
  • 328. Exemplo 12  Quantas soluções inteiras tem a equação 2. 22x=4x+64? A)0 B)1 c) 2 D)3
  • 329. Exemplo 13  Pelo o padrão das três primeiras figuras, qual será o número de triângulos na nona figura.  A)216 B)486 C) 540 D)600
  • 330. Exemplo 32  Qual dos seguintes números divide a raiz quadrada de 20042004?  A)1671670 B)31003 C)22002 D)41003
  • 331. Exemplo 14  Numa caixa temos muitas bolas de 20 cores distintos. São escolhidas ao acaso bolas. Qual é o número mínimo de bolas a tirar para garantir 100 bolas da mesma cor?  A)20000 B) 100 C) 1981 D)19001
  • 332. Exemplo 15  Quantos elementos tem o conjunto formado pelos números naturais da forma abc (a>0) tais que a2+b2+c2 divide a 26 ?  A)3 B) 4 C)6 D)7
  • 333. Exemplo 16  Sim a cada número 60, 100 e 150 somamos uma constante k, formamos uma progressão geométrica. A razão da progressão geométrica comum é:  A)100 B) 1.25 C) 0.80 D) 160
  • 334. Exemplo 17  Uma caixa forte tem uma combinação para abri-la de 4 algarismos diferentes de números de 1 ao 9. Para abrir a caixa necessitamos também uma chave que tem o número 16794081 que é a soma de todas as combinações que não abrem a caixa. A combinação que abre a caixa é:  A)3024 B)4239 C)1563 D)1679
  • 335. Exemplo 18 Todos os alunos de uma turma alugarão um ônibus para um passeio, o custo do ônibus é fixo independente do número de passageiros, incialmente iam viajar só os alunos e cada um tinha que pagar 25 reais, mais finalmente seis alunos levarão suas enamoradas e o custo por pessoa caio para 20.Quantos alunos tem a turma ? A) 24 B) 120 C) 25 D) 30
  • 336. Exemplo 19  Considere a equação (x é a incógnita e k€R).Assinale alternativa que indica todos os valores de k para os quais a equação tem exatamente 3 soluções em R.  A) k€[0,1] B) k €]0,1[ C) k €[0,1[ D)k €]0,1] 2x x x k 
  • 337. Exemplo20  Quantas vezes num dia (24 horas) os ponteiros de um relógio apontam em direções opostas?  (A) 48  (B) 44  (C) 24  (D) 22  (E) 23
  • 338. Exemplo 21 Seja f uma função definida para todo x real, que satisfaz as condições  f (5) =1/2 e f (x + 5) = f (x)f (5) :  Então f ( -5) vale:  (A) 1/2  (B) 0  (C)- ½  (D) 2  (E) 1
  • 339. Exemplo 22  Dada a função f : Z -> Z definida por  onde Z é o conjunto dos números inteiros, o número de soluções da equação f (𝑥2 ) = f (x) e:  (A) 0  (B) 1  (C) 2  (D) 3  (E) 4       paréxsex imparéxsex xf ,3 ,2 )(
  • 340. Exemplo 23  Uma urna fechada contem bolas pretas e vermelhas. Uma certa pontuação é dada para cada bola preta retirada e outra para cada bola vermelha retirada. Ana retirou 3 bolas; duas pretas e uma vermelha, e obteve 13 pontos. Luíza retirou também 3 bolas e obteve 14 pontos. Se a pontuação dada a cada bola retirada é um número inteiro, quantos pontos são atribuídos para cada bola preta retirada?  (A) 2  (B) 3  (C) 4  (D) 5  (E) 6
  • 341. Exemplo 24  Qual dos números a seguir é o maior?  (A) 245  (B) 420  (C) 814  (D) 32 9  (E) 16 12
  • 342. Exemplo 25  Na sequência de inteiros positivos 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 16 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎𝑖 é o i-esimo ímpar positivo e para i > 16, o termo 𝑎𝑖 é a média aritmética dos termos anteriores. O termo a100  É igual a:  (A) 256  (B) 16  (C) 32  (D) 0  (E) 4

Notas do Editor

  1. Σ