MAT – 001 – CÁLCULO 1
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CÁLCULO 1 – AULA 01
CAP. 1– FUNÇÕES:
1.1– RELAÇÕES...
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By ∈
Vamos admitir, agora, que esta relação xy 2= ...
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1.2 – FUNÇÃO: DEFINIÇÃO:
Sejam A e B conjuntos não...
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1.3 – DOMÍNIO:
Seja a função f definida de ℜ⊂A em ...
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03) ( )4log 2
−= xy
Devemos ter 042
>−x . Tal como...
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a) Domínio de ( )xg :
Devemos ter 0≥x
b) Domínio d...
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1.4 – IMAGEM:
Chama-se de Imagem de uma função f d...
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02) 2
4 xy −=
Isolando a variável x :
22222
444 yx...
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CÁLCULO 1 – AULA 02
CAP. 1– FUNÇÕES:
1.5 – GRÁFICO...
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EXEMPLOS
A seguir são esboçados alguns gráficos de...
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03) xy = ou ( ) xxf =
04)
x
y
1
= ou ( )
x
xf
1
= ...
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CÁLCULO 1 – AULA 03
1.6 - TIPOS DE FUNÇÕES:
1.6.1 ...
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1.6.2 – FUNÇÃO ÍMPAR:
Uma função f definida pela l...
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OBSERVAÇÃO:
O fato de havermos definido funções pa...
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B) Função Linear: É toda função f definida por uma...
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Observação:
O ponto de ordenada máxima da parábola...
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1.6.6 – FUNÇÕES TRANSCEDENTES:
Chamamos de Transce...
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02) ( ) ( ) ( )



−<−−
−≥+
=⇒



<+−−
≥++
=...
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EXEMPLO: ( ) ( ) ( )xfxfe
xse
xsex
xf =±



<<
...
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CÁLCULO 1 – AULA 04
1.6 – TIPOS DE FUNÇÕES:
1.6.7 ...
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EXEMPLO:
A função f definida de ℜ=A em +ℜ=B por 2
...
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EXEMPLO: Obter a função Inversa de 35 −= xy .
Troc...
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02) Sejam, agora, as funções ( ) 3
xxf = e ( ) 31
...
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02) Seja a função definida pela lei ( )83sen 3
+−=...
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CÁLCULO 1 – AULA 05
1.7 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS E L...
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Exemplos:
01) Produto de Potências de mesma base: ...
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OBSERVAÇÃO:
Uma vez que definimos a Função Logarít...
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CÁLCULO 1 – AULA 06
1.8 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:...
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O Domínio, a Imagem e o Período da função cosseno ...
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E – FUNÇÃO SECANTE:
F – FUNÇÃO COSSECANTE:
( ) [ ]...
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1.9 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
Como as Fu...
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C– FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE:
D– FUNÇÃO INVERSA D...
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F– FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE:
y
x
0
1−
1
xy sec...
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CÁLCULO 1 – AULA 07
1.10 – TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS:...
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Podemos, então, generalizar a translação vertical ...
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EXEMPLOS:
01)
x
yemunidadesdeverticaltranslação
x
...
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CÁLCULO 1 – AULA 08
1.11 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:
1...
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Da Trigonometria sabemos que, para um determinado ...
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2
αα −
−
=
ee
y ⇒ Seno Hiperbólico de α ⇒ αsenh=y
...
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1.11.4 – FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO:
Definição:
Gr...
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Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) tghxxtgh −=−
1.11.6 –...
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Paridade: Função Par ⇒ ( ) hxxh secsec =−
1.11.8 –...
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CÁLCULO 1 – AULA 09
1.12 – RELAÇOES ENTRE AS FUNÇÕ...
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1secsec1
cosh
1
cosh
senh
cosh
cosh 2222
22
2
2
2
...
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Para obter as demais funções hiperbólicas basta us...
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03) Provar que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +...
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( ) xxxxxx senh.senhcosh.coshcosh +=+
xxx 22
senhc...
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CÁLCULO 1 – AULA 10
1.13 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS IN...
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C – Gráfico:
1.13.2 – FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HI...
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Isto equivale a tomarmos:
⇒−+= 12
xxey
C – Gráfico...
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Portanto:
C – Gráfico:
1.13.4 – FUNÇÃO INVERSA DA ...
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Portanto:
C – Gráfico:
1.13.5 – FUNÇÃO INVERSA DA ...
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Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta:
x
x
e
x
...
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Multiplicando por y
e , obtemos:
022 22
=−−⇒=− xee...
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CÁLCULO 1 – AULA 11
1.14 – RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES ...
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Substituindo (B) e (C) em (D), resulta:
(E)
Trocan...
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Da mesma forma, podemos definir as relações entre ...
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CÁLCULO 1 – AULA 12
CAP. 2 – LIMITES
2.1 – CONCEIT...
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Analisando os resultados obtidos nas duas tabelas,...
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2.2 – DEFINIÇÃO DE LIMITE NO PONTO:
Dizemos que o ...
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Assim: ε<−− 1747x ε<− 217x
( ) ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x...
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Observa-se que o Limite no ponto 2=x da função mos...
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P5:
Exemplo:
( ) 7
4
33 2
2
2
2
2
2
2 lim
lim
lim ...
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A demonstração deste Teorema pode ser feita usando...
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CÁLCULO 1 – AULA 13
2.4 – CONTINUIDADE NUM PONTO :...
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⇒ como ( ) ( )222
2
lim fx
x
=−
→
, então a função...
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03) Verificar a descontinuidade da função ( )


...
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2.5 – LIMITES LATERAIS:
Para que possamos conceitu...
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Pode-se observar que, quando x tende a 2 por valor...
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( ) ( ) ( ) 66
6969
33
93
3
9
limlimlimlimlim 00
2...
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Graficamente:
x
y
1
1−
0
( )
x
x
xf
−
−
=
2
2
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CÁLCULO 1 – AULA 14
2.6 – LIMITES ENVOLVENDO INFIN...
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Graficamente:
Vamos tomar agora a função definida ...
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Em geral, podemos dizer que existem quatro possibi...
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4a
)
2.7 – LIMITES NO INFINITO:
Tal como foi feito...
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Graficamente:
Vamos tomar, agora, como exemplo, a ...
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Portanto: 12
1
lim =
∞→
x
x
e 12
1
lim =
−∞→
x
x
G...
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CÁLCULO 1 – AULA 15
2.8 – ASSÍNTOTAS:
2.8.1 – Defi...
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2a
)
3a
)
4a
)
OBSERVAÇÃO:
O ponto ax = deve ser u...
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2.8.3 – Assíntota Horizontal:
Dizemos que a reta b...
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OBSERVAÇÃO:
Caso
( )
x
xf
x
lim∞→
seja nulo ou inf...
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OBSERVAÇÃO:
Pode-se comprovar também que a reta 0=...
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Entretanto, existe algo errado com o esboço deste ...
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O que ocorreu com esta função é um caso particular...
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CÁLCULO 1 – AULA 16
2.9 – SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇ...
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EXEMPLOS:
1)
0
0
1
133
lim1
=
−
+−+
→ x
xx
x
(inde...
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DEMONSTRAÇÃO:
Temos dois casos a considerar:
1o
Ca...
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2o
Caso: x pertence ao 4o
Quadrante 





<<...
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Podemos escrever:
1
1
1
sen
1
sen
1
sen
lim
limlim...
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( ) 




 −





 −
=
−





 −
...
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CÁLCULO 1 – AULA 17
2.11 – LIMITE FUNDAMENTAL EXPO...
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Tomando o limite para ∞→x , resulta:
•••++++++=
...
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eee
xxx
k
k
x
x
x
kx
x
===





+




...
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OBSERVAÇÃO:
O limite acima deve ser considerado co...
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( ) )...( 2
2
1
10limlim m
mmm
axax
AxAxAxAxP ++++...
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EXEMPLOS:
1) ( ) ∞==−+−
∞→∞→
323
2432 limlim xxxx
...
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Podemos fazer três observações a respeito deste re...
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Isto é, o limite de uma função racional no infinit...
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b) Limite Lateral à Esquerda:
( ) ∞=
−
+−
=
−−
−−
...
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CÁLCULO 1 – AULA 18
CAP. 3 - DERIVADAS
3.1 – INTRO...
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Graficamente:
Temos: ⇒∆=− xxx 12 acréscimo da vari...
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222
2 xxxxxy −∆+∆+=∆
( )xxxy ∆+∆=∆ 2 (O acréscimo ...
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x
xxxxxxxx
x
y
∆
−−∆++∆+∆+
=
∆
∆ 3332 222
( ) 32
3...
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Os resultados obtidos acima parecem nos dizer que ...
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Por definição:
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
...
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04) ( )
x
xf
1
=
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxx...
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CÁLCULO 1 – AULA 19
3.6 – DERIVADA NUM PONTO:
Seja...
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( )
( ) ( )
⇒
−
−
=′
+
→
+
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
...
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( ) ( ) ( )
5
753
5
5
5
2
55
limlim −
−
=
−
−
=′
→...
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Assim, podemos escrever:





−






...
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01) Mostre que a derivada da função ( )
1
3
−
=
x
...
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
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Apostila Cálculo 1-Sebastião

  1. 1. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 01 CAP. 1– FUNÇÕES: 1.1– RELAÇÕES: Consideremos os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }8,7,6,5,4,3,2,1=B . Vamos determinar o Produto Cartesiano AXB , que é o conjunto dos pares ordenados ( )yx, , onde Ax ∈ e By ∈ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,7,4,6,4,...,3,1,2,1,1,1=AXB . Podemos perceber que este conjunto possui 32 pares ordenados. Vamos, agora, fazer uma correspondência entre os elementos Ax ∈ e By ∈ , de acordo com uma lei de formação qualquer, por exemplo, y é o dobro de x . Num diagrama de flechas: Conjunto Partida Contra-Domínio Podemos expressar o resultado obtido por um conjunto de pares ordenados relacionados pela lei xy 2= . Este conjunto é: ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,6,3,4,2,2,1 A este conjunto damos o nome de RELAÇÃO e representamos pela letra R: ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,6,3,4,2,2,1=R Uma forma mais prática de representar esta Relação é: ( ){ }xyAXByxR 2/, =∈= . A Relação acima pode ser ainda representada graficamente num sistema de coordenadas cartesianas, onde convenciona-se representar y no eixo vertical (ordenada) e x no eixo horizontal (abscissa). 1 2 3 4 1 2 4 6 8 3 5 7 A B y = 2x x y
  2. 2. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG By ∈ Vamos admitir, agora, que esta relação xy 2= seja definida no Produto Cartesiano ℜℜX , isto é, o Produto AXB , onde ℜ=A e ℜ=B , sendo ℜ o Conjunto dos Números Reais. Assim, ( ){ }xyXyxR 2/, =ℜℜ∈= . Neste caso, a representação geométrica da Relação é a reta: OBSERVAÇÃO: Quando a Relação é definida no Produto Cartesiano ℜℜX não é necessário representa-la na forma de Conjuntos ( ){ }xyXyxR 2/, =ℜℜ∈= . Uma vez que o Conjunto Partida e o Contra- domínio estão bem definidos, basta indicar a Relação apenas pela Lei de Correspondência, ou seja, xy 2= . 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 0 Ax ∈ 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 ℜ∈y ℜ∈x
  3. 3. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.2 – FUNÇÃO: DEFINIÇÃO: Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B recebe o nome de Função se, e somente se, para todo elemento Ax ∈ existir um e somente um elemento By ∈ tal que o par ordenado ( )yx, satisfaça a relação f . Simbolicamente, escrevemos: ( ) ( ){ }xfyAXByxf =∈= /, , onde: • ( )xfy = é a lei de correspondência entre as variáveis x e y ; • x é a variável independente; • y é a variável dependente. EXEMPLOS: 01) A relação xy 5= é uma função definida de ℜ=A em ℜ=B pois, para cada valor real da variável independente x podemos obter um e somente um valor real para a variável dependente y, tais que xy 5= . 02) A relação 2 xy = é uma função definida de ℜ=A em +ℜ=B . 03) A relação xy =2 NÃO é função, pois xy ±= , ou seja, para um único valor de x existem dois valores diferentes para y . x y ℜ ℜ xy 5= - 1 1 - 2 2 1 4 ℜ x y 2 xy = ℜ
  4. 4. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.3 – DOMÍNIO: Seja a função f definida de ℜ⊂A em ℜ⊂B pela lei ( )xfy = . Chama-se de Domínio da função f ao conjunto ( )fD dos elementos Ax ∈ para os quais existem os elementos By ∈ , tais que cada par ordenado ( )yx, satisfaça a lei ( )xfy = . Para se determinar, algebricamente, o Domínio ( )fD de uma função, basta verificar as suas condições de existência. Verifique, nos exemplos a seguir, como isto pode ser feito. EXEMPLOS: Determinar o Domínio ( )fD das funções definidas pelas sentenças a seguir no campo dos números reais: 01) xy = Para que ℜ∈x , devemos ter 0≥x . Portanto ou 02) 2 16 xy −= Devemos ter 016 2 ≥− x , isto é, o Domínio desta função é o conjunto de valores de x que verificam uma inequação de segundo grau, cujas raízes são 4−=x e 4=x . Fazendo o estudo de sinais no eixo dos números reais teremos: Portanto: 4 2 ℜ ℜ - 2 - 4 4 - - - - - - - - --------+ + + + + + + + x m/a m/ac/a ( ) { }44/ ≤≤−ℜ∈= xxfD ( ) +ℜ=fD ( ) { }0/ ≥ℜ∈= xxfD xy =2
  5. 5. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 03) ( )4log 2 −= xy Devemos ter 042 >−x . Tal como no exemplo anterior, devemos resolver uma inequação de segundo grau cujas raízes são 2−=x e 2=x . Fazendo o estudo de sinais, obtemos: Portanto: 04) xxy −−= 4.3 Chamando ( ) ( )    −= −= xxh xxg 4 3 teremos ( ) ( ) ( )xhxgxf .= . Para que ( )xf exista, é necessário que ( )xg e ( )xh sejam definidas simultaneamente. Sendo assim, o Domínio de ( )xf será a interseção dos Domínios de ( )xg e ( )xh . a) Domínio de ( )xg : Devemos ter 303 ≥⇒≥− xx b) Domínio de ( )xh : Devemos ter 404 ≤⇒≥− xx Portanto 05) 3− = x x y Chamando ( ) ( )    −= = 3xxh xxg teremos ( ) ( ) ( )xh xg xf = . Novamente, para que ( )xf exista, é necessário que ( )xg e ( )xh sejam definidas simultaneamente. E, tal como aconteceu no exemplo anterior, o Domínio de ( )xf será a interseção dos Domínios de ( )xg e ( )xh . - 2 2 x m/am/a c/a + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - ( ) { }43/ ≤≤ℜ∈= xxfD ( ) { }22/ >−<ℜ∈= xouxxfD
  6. 6. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG a) Domínio de ( )xg : Devemos ter 0≥x b) Domínio de ( )xh ; Devemos ter 303 >⇒>− xx Portanto 06) 3− = x x y Devemos ter 0 3 ≥ −x x e 3≠x . Para resolvermos esta equação, devemos fazer o estudo de sinais do numerador e do denominador e fazer a interseção. Assim: Portanto: OBSERVAÇÃO: As funções estudadas nos exemplos 05 e 06 parecem iguais, mas não são. Observe que elas possuem Domínios diferentes. Quando se fala que “a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes do numerador e do denominador” estamos nos referindo a uma Propriedade Operatória. Isto quer dizer que essa propriedade só é válida se ambas as raízes existirem simultaneamente. Não foi isto que aconteceu no nosso caso. Só podemos afirmar que duas funções são iguais quando possuírem: • o mesmo Domínio; • a mesma Imagem; • o mesmo gráfico. x 0 x 3 x 0 3 - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + ( ) { }3/ >ℜ∈= xxfD ( ) { }30/ >≤ℜ∈= xouxxfD
  7. 7. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.4 – IMAGEM: Chama-se de Imagem de uma função f definida de ℜ⊂A em ℜ⊂B pela lei ( )xfy = ao conjunto ( )fIm dos elementos By ∈ para os quais existem os elementos Ax ∈ , tais que os pares ordenados ( )yx, pertençam à função. A Imagem é um subconjunto do Contra-domínio. A melhor estratégia para se descobrir a Imagem de uma função é obter o seu Domínio, esboçar o seu gráfico e, aí sim, identificar no gráfico obtido a Imagem. Este raciocínio se justifica pelo fato de que a Imagem de uma função é conseqüência imediata do seu domínio. Entretanto, para o caso de algumas funções elementares, pode-se tentar obter a Imagem algebricamente. Para isto, devemos explicitar x como função de y e estudar as condições de existência da função obtida. EXEMPLOS: Determinar a Imagem ( )fIm das funções definidas pelas sentenças a seguir no campo dos números reais: 01) 12 += xy Isolando a variável x : 112 −±=⇒−= yxyx Devemos ter: 101 ≥⇒≥− yy Portanto: ℜ⊂A ℜ⊂B ( )xfy = ( )fIm( )fD x y ( ) { }1/Im ≥ℜ∈= yyf
  8. 8. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 02) 2 4 xy −= Isolando a variável x : 22222 444 yxyxxy −±=⇒−=⇒−= Devemos ter:    ≥ ≥− 0 04 2 y y Estudando-se os sinais e fazendo a interseção, obtemos: OBSERVAÇÃO: A determinação da Imagem ( )fIm de uma função se torna mais simples após fazermos o esboço do gráfico da função. Isto será estudado na próxima aula. ( ) { }20/Im ≤≤ℜ∈= yyf
  9. 9. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 02 CAP. 1– FUNÇÕES: 1.5 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO: O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ( )yx, do plano cartesiano xy tais que ( )fDx ∈ , ( )fy Im∈ e ( )xfy = . OBSERVAÇÃO: De acordo com a definição, a necessidade de que uma função f associe um e somente um valor de y para cada valor particular de x corresponde à condição geométrica de que dois pontos distintos do gráfico de uma função não podem possuir a mesma abscissa. As figuras abaixo mostram exemplos de gráficos de relações que não correspondem a funções. y x ( )fIm ( )fD ( )xfy = x = abscissa y = ordenada 1x 1y 2y x y Não é função
  10. 10. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLOS A seguir são esboçados alguns gráficos de algumas funções elementares com os respectivos Domínios e Imagens: 01) 12 += xy ou ( ) 12 += xxf . 02) 2 4 xy −= ou ( ) 2 4 xxf −= x y Não é função y x 0 1 12 += xy ( ) ( ) { }1/Im ≥ℜ∈= ℜ= yyf fD y x 2− 2 2 4 xy −= 2 ( ) { } ( ) { }20/Im 22/ ≤≤ℜ∈= ≤≤−ℜ∈= yyf xxfD 0
  11. 11. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 03) xy = ou ( ) xxf = 04) x y 1 = ou ( ) x xf 1 = . 0 y x x y 1 = ( ) ( ) * * Im ℜ= ℜ= f fD y x 0 xy = ( ) ( ) + + ℜ= ℜ= f fD Im
  12. 12. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 03 1.6 - TIPOS DE FUNÇÕES: 1.6.1 – FUNÇÃO PAR: Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Par se, e somente se, tivermos: ( ) ( )xfxf =− para todo ( )fDx ∈ A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função par possui uma simetria em relação ao eixo y (eixo das ordenadas). EXEMPLOS: 01) ( ) 2 4 xxf −= é uma função Par, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf =−=−−=− 22 44 . 02) ( ) 2 1 x xf = é uma função Par, pois ( ) ( ) ( )xf xx xf == − =− 22 11 . y x y xx− 0 ( ) ( ) fyxfyx ∈−⇒∈ ,, y x 22− 4 0 ( ) 2 4 xxf −= ( ) ( ) { }4/Im ≤ℜ∈= ℜ= yyf fD y x 0 ( ) 2 1 x xf = ( ) ( ) * * Im +ℜ= ℜ= f fD
  13. 13. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.6.2 – FUNÇÃO ÍMPAR: Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Ímpar se, e somente se, tivermos: ( ) ( )xfxf −=− para todo ( )fDx ∈ A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função ímpar possui uma simetria em relação à origem dos eixos coordenados. EXEMPLOS: 01) ( ) xxf 2= é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 2.2 . 02) ( ) 3 xxf = é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 33 . y y y− x x x− 0 ( ) ( ) fyxfyx ∈−−⇒∈ ,, y x 0 ( ) xxf 2= ( ) ( ) ℜ= ℜ= f fD Im y x 0 ( ) 3 xxf = ( ) ( ) ℜ= ℜ= f fD Im
  14. 14. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG OBSERVAÇÃO: O fato de havermos definido funções pares ou ímpares não significa, necessariamente, que toda função deva ter uma dessas classificações. Existem funções que não são pares e nem ímpares. EXEMPLO: A função f definida por ( ) xxxf −= 2 não é par e nem ímpar, pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   −≠− ≠− ⇒+=−−−=− xfxf xfxf xxxxxf 22 1.6.3 – FUNÇÃO POLINOMIAL: É toda função f definida da forma ( ) n nnn AxAxAxAxf ++++= −− ...2 2 1 10 , onde ℜ∈nAAAA ,...,,, 210 são os coeficientes e ℵ∈n representa o grau da função polinomial. CASOS PARTICULARES: A) Função Constante: É toda função f definida por uma equação da forma ( ) kxf = , onde ℜ∈k . O seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. y x 0 ( ) xxxf −= 2 1 41 ( ) ( )       ≥ℜ∈= ℜ= 4 1 /Im yyf fD y x k 0 ky = ( ) ( ) { }kf fD = ℜ= Im
  15. 15. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG B) Função Linear: É toda função f definida por uma equação do tipo ( ) baxxf += , onde ℜ∈ba, . Nesta função a é chamado de Coeficiente Angular e b é chamado de Coeficiente Linear. O seu gráfico é uma reta. C) Função Identidade: É a função f definida por ( ) xxf = . O seu gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares do sistema de coordenadas cartesianas. D) Função Quadrática: É toda função f definida pela equação cbxaxy ++= 2 , com * ℜ∈a e ℜ∈cb, . O Domínio ( )fD de qualquer Função Quadrática é o conjunto dos Reais e o seu gráfico é uma parábola que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a . y x 0 ( ) baxxf += ( ) ( ) ℜ= ℜ= f fD Im y y x x 0 0 0>a 0<a y x 0 ( ) xxf = ( ) ( ) ℜ= ℜ= f fD Im
  16. 16. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Observação: O ponto de ordenada máxima da parábola (quando 0>a ) ou o ponto de ordenada mínima (quando 0<a ) é chamado de Vértice dessa parábola e as suas coordenadas podem ser determinadas tomando-se: a b xV 2 −= e a yV 4 ∆ −= , sendo acb 42 −=∆ o Discriminante da equação 02 =++ cbxax . 1.6.4 – FUNÇÃO RACIONAL: É toda função definida da forma ( ) ( ) ( )xQ xP xf = , com ( ) 0≠xQ , onde ( )xP e ( )xQ são funções polinomiais. EXEMPLOS: 01) ( ) 1 1 2 ++ + = xx x xf 02) ( ) 32 4 2 3 ++ − = xx x xf 03) ( ) 52 += xxf 1.6.5 – FUNÇÕES ALGÉBRICAS: São funções que podem ser obtidas através de um número finito de operações algébricas elementares, isto é, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. EXEMPLOS: 01) ( ) 2 xxxf += 02) ( ) 753 2 +−= xxxf 03) ( ) xx x xf + − = 4 3 1
  17. 17. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.6.6 – FUNÇÕES TRANSCEDENTES: Chamamos de Transcedente a toda função que não á algébrica, isto é, toda função que não possa ser definida usando somente as operações algébricas elementares. São transcedentes as funções: • Exponenciais; • Logarítmicas; • Trigonométricas; • Hiperbólicas. EXEMPLOS: 01) ( ) x xf 2= 02) ( ) xxf log= 03) ( ) xxf sen= 04) ( ) 43cos2 −+−= x xxxf 1.6.7 – FUNÇÕES MODULARES: São funções definidas com o uso do Módulo. De maneira geral, poderemos definir essas funções na forma ( )xfy = , lembrando que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   <− ≥ = 0, 0, xfsexf xfsexf xf . EXEMPLOS: 01) ( ) xxf = De acordo com a definição teremos ( )    <− ≥ = 0, 0, xsex xsex xf y x 0 ( ) xxf = ( ) ( ) +ℜ= ℜ= f fD Im
  18. 18. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 02) ( ) ( ) ( )    −<−− −≥+ =⇒    <+−− ≥++ =⇒+= 3,3 3,3 03,3 03,3 3 xsex xsex xf xsex xsex xfxxf 03) ( ) 652 +−= xxxf ( ) ( )     <<−+− ≥≤+− =⇒     <+−−+− ≥+−+− = 32,65 32,65 065,65 065,65 2 2 22 22 xsexx xouxsexx xf xxsexx xxsexx xf 1.6.8 – FUNÇÃO PERIÓDICA: Dizemos que uma função f é periódica se existir um número positivo T tal que: ( ) ( )xfTxf =± para todo ( )fDx ∈ Ao menor valor de T que satisfaz esta condição damos o nome de Período da função f . Os exemplos mais conhecidos de funções periódicas são as funções trigonométricas, que serão estudadas futuramente. y x 3− 0 ( ) 3+= xxf ( ) ( ) +ℜ= ℜ= f fD Im y x 0 2 3 ( ) 652 +−= xxxf ( ) ( ) +ℜ= ℜ= f fD Im
  19. 19. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLO: ( ) ( ) ( )xfxfe xse xsex xf =±    << ≤≤ = 2 21,1 10, y x 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4
  20. 20. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 04 1.6 – TIPOS DE FUNÇÕES: 1.6.7 – FUNÇÃO INJETORA: Uma função f , definida de A em B pela lei ( )xfy = , é chamada Injetora quando: ( ) ( )212121 ,, xfxfxxseAxx ≠⇒≠∈∀ EXEMPLO: A função ( ) xxf 5= é Injetora, pois 212121 55,, xxxxsexx ≠⇒≠∀ . 1.6.8 – FUNÇÃO SOBREJETORA: Uma função f , definida de A em B pela lei ( )xfy = , é chamada Sobrejetora se: ( )xfyAxBy =∈∃∈∀ /, Isto significa dizer que não sobram elementos no conjunto B, ou seja, a Imagem da função é o próprio conjunto B. A B Ax ∈ By ∈ ( )xfy = A B Ax ∈ By ∈ ( )xfy =
  21. 21. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLO: A função f definida de ℜ=A em +ℜ=B por 2 xy = é Sobrejetora, pois todo +ℜ∈y tem correspondente ℜ∈x . 1.6.9 – FUNÇÃO BIJETORA: Chamamos de Bijetora às funções que são Injetoras e Sobrejetoras, simultaneamente. EXEMPLO: A função f , definida de ℜ em ℜ pela lei 14 += xy , é Bijetora. 1.6.10 – FUNÇÃO INVERSA: Se uma função f definida de A em B pela equação ( )xfy = é Bijetora, então podemos definir de B em A a função 1− f que é a Inversa da função f . EXEMPLO: A função Inversa de xy 2= é a função 2 x y = OBSERVAÇÕES: O1: Se uma função f admite uma função Inversa 1− f , então: ( ) ( )1 Im − ⊃ ffD ( ) ( )1 Im − ⊃ fDf O2: Para se determinar a função Inversa 1− f de uma função ( )xfy = , caso ela exista, deve-se proceder da seguinte maneira: • na sentença ( )xfy = trocar y por x e x por y ; • em seguida, expressar y como função de x .
  22. 22. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLO: Obter a função Inversa de 35 −= xy . Trocando as variáveis: 35 −= yx Isolando a variável y : 5 3 5 += x y , que é a função Inversa da função dada. O3: Os gráficos de f e 1− f são simétricos em relação à reta xy = . De fato, se o ponto ( )ba, pertence ao gráfico de f , então o ponto ( )ab, pertence a 1− f , e vice-versa. EXEMPLOS: 01) Seja a função f definida pela lei 2 xy = , com 0≥x . Trocando x por y : xyyx ±=⇒= 2 Porém 0≥y , logo xy = é a função inversa de 2 xy = para 0≥x . . y x xy = a a b b ( )ba, ( )ab, 0 y x xy = 2 xy = xy = ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − ℜ== ℜ== 1 1 Im Im fDf ffD
  23. 23. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 02) Sejam, agora, as funções ( ) 3 xxf = e ( ) 31 xxf =− . 1.6.11 – FUNÇÃO COMPOSTA: Dados os conjuntos não vazios A, B e C, uma função f definida de A em B por ( )tfy = e uma função g definida de B em C por ( )xgt = , chama-se de Função Composta à função definida pela lei ( )[ ]xgfy = , definida de A em C. Observe os diagramas abaixo: EXEMPLOS: 01) Seja a função f definida por 32 += xy . Chamando 32 += xt , teremos ty = . Portanto, ( )tfy = e ( )xgt = , ou seja, ( )[ ]xgfy = é uma função composta. y x 0 1 1 1− 1− xy = 3 xy = 3 xy = ( ) ( ) ( ) ( ) ℜ== ℜ== − − 1 1 Im Im fDf ffD A B C ( )tfy = ( )xgt = ( )[ ]xgfy =
  24. 24. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 02) Seja a função definida pela lei ( )83sen 3 +−= xxy . Fazendo 833 +−= xxt , teremos ty sen= . Portanto, ( )tfy = e ( )xgt = , isto é, ( )[ ]xgfy = é uma função composta. 03) Seja a função definida pela lei ( )x tgy 2= . Fazendo xu = e u t 2= , teremos tgty = . Portanto, ( )tfy = , ( )ugt = e ( )xhu = , isto é, ( )[ ]{ }xhgfy = é um função composta.
  25. 25. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 05 1.7 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS: 1.7.1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL: A Função Exponencial é definida por uma equação que tem a forma x ay = , com * +ℜ∈a e 1≠a , isto é, a base a é um número Real positivo e diferente da unidade. Curiosamente, o gráfico da Função Exponencial pode ser representado de duas formas, de acordo com o valor da base. a) Para 1>a , o gráfico da Função Exponencial tem a forma abaixo: b) Para 10 << a , o gráfico da Função Exponencial tem a seguinte forma: OBSERVAÇÃO: Aplicam-se para as Funções Exponenciais as mesmas propriedades fundamentais da Potenciação. y x ( )1>= aay x 0 1 ( ) ( ) * Im +ℜ= ℜ= f fD x y 0 1 ( )10 <<= aay x ( ) ( ) * Im +ℜ= ℜ= f fD
  26. 26. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Exemplos: 01) Produto de Potências de mesma base: xxxx 22 22 33.3 + = 02) Quociente de Potências de mesma base: xxx x x 22 2 2 23 2 3 == − 03) Potência de potência: ( ) xx 33 1010 = 1.7.2 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA: Define-se uma Função Logarítmica pela equação log x a y = , onde * +ℜ∈a e 1≠a é a base e 0>x . A Função Logarítmica é a função Inversa da Exponencial x ay = . Como a Função Exponencial pode ter duas formas geométricas de representação, que dependem do valor da base a , então a Função Logarítmica terá igualmente duas formas de gráficos, de acordo com o valor da base. Vejamos um esboço desses gráficos: a) Para 1>a o gráfico da Função Logarítmica tem a seguinte forma: b) Para 10 << a o gráfico da Função Logarítmica tem a forma abaixo: y x 0 1 ( )1log >= ay x a ( ) ( ) ℜ= ℜ= + f fD Im * y x 0 1 ( )10log <<= ay x a ( ) ( ) ℜ= ℜ= + f fD Im *
  27. 27. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG OBSERVAÇÃO: Uma vez que definimos a Função Logarítmica, é importante que façamos uma revisão das Propriedades Operatórias de Logaritmos. Essas propriedades, com certeza, serão úteis em problemas envolvendo este tipo de função. PROPRIEDADE 1: Adição de Logaritmos: logloglog MN a N a M a =+ PROPRIEDADE 2: Subtração de Logaritmos: logloglog N M a N a M a =− PROPRIEDADE 3: Logaritmo de Potência: 0,loglog >= Mparak M a M a k PROPRIEDADE 4: Mudança de Base: 10, log log log ≠>= bebparaa b M b M a .
  28. 28. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 06 1.8 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Apresentamos abaixo, a título de revisão os gráficos das Funções Trigonométricas, com os respectivos Domínios, as Imagens e os respectivos Períodos. A– FUNÇÃO SENO: B– FUNÇÃO COSSENO: y x períodoT = 0 π π2π−π2− xy sen= ( ) ( ) { } π2 11/Im = ≤≤−ℜ∈= ℜ= T yyf fD 1 1− 2 π 2 3π 2 5π 2 π − 2 3π − 2 5π − y x 0 1 1− períodoT = xy cos= π2− 2 3π − π− 2 π − 2 π π 2 3π π2
  29. 29. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG O Domínio, a Imagem e o Período da função cosseno são idênticos ao da função seno. C– FUNÇÃO TANGENTE: D– FUNÇÃO COTANGENTE: y x períodoT = tgxy = 0 2 π π 2 3π 2 π − π− 2 3π − ( ) ( ) ( ) π π = ℜ= Ζ∈    +−ℜ= T f kkfD Im )( 2 .12 y x 0 2 π π 2 3π π2 gxy cot= 2 π − π− 2 3π − π2− períodoT =
  30. 30. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG E – FUNÇÃO SECANTE: F – FUNÇÃO COSSECANTE: ( ) [ ] ( ) ( ) π π = ℜ= Ζ∈−ℜ= T f kkfD Im xy sec= períodoT = y x 0 1 1− 2 π π 2 3π 2 π −π− 2 3π − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] [ ) π π 2 ,11,Im 2 .12 = ∞−∞−= Ζ∈    +−ℜ= T f kkfD U y x períodoT = 0 1− 1 xy seccos= 2 π π 2 3π π2 2 π − π− 2 3π −π2− ( ) ( ) ( ) ( ] [ ) π π 2 ,11,Im = ∞−∞−= Ζ∈−ℜ= T f kkfD U
  31. 31. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.9 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Como as Funções Trigonométricas são todas periódicas, então nenhuma delas é Bijetora. Portanto, dentro do Domínio de cada uma, nenhuma delas tem função inversa. Entretanto, podemos definir as funções inversas das trigonométricas, se restringirmos os seus Domínios, para que elas se tornem Bijetoras nesses intervalos. Vejamos essas funções. A– FUNÇÃO INVERSA DO SENO: B– FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO: y x 1− 1 2 π − 0 2 π xy arcsen= ( ) { } ( )       ≤≤−ℜ∈= ≤≤−ℜ∈= 22 /Im 11/ ππ yyf xxfD y x 1− 0 1 xy arccos= 2 π π ( ) { } ( ) { }π≤≤ℜ∈= ≤≤−ℜ∈= yyf xxfD 0/Im 11/
  32. 32. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG C– FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE: D– FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE: E– FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE: y x arctgxy = 0 2 π 2 π − ( ) ( )       −= ℜ= 2 , 2 Im ππ f fD y x gxarcy cot= 0 2 π π ( ) ( ) ( )π,0Im = ℜ= f fD y x xarcy sec= 1− 0 1 2 π π ( ) ( ] [ ) ( )             = ∞−∞−= π ππ , 22 ,0Im ,11, U U f fD
  33. 33. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG F– FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE: y x 0 1− 1 xy secarccos= 2 π − 2 π ( ) ( ] [ ) ( )             −= ∞−∞−= 2 ,00, 2 Im ,11, ππ U U f fD
  34. 34. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 07 1.10 – TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS: O estudo da translação de gráficos é importante, pois nos permite obter gráficos de outras funções semelhantes a funções conhecidas, a partir dos gráficos também conhecidos. A translação pode ser Vertical, horizontal ou simultânea (vertical e horizontal). Vamos estudar cada uma separadamente. 1.10.1 – TRANSLAÇÃO VERTICAL: Para que possamos entender como interpretar a translação vertical do gráfico de uma função, vamos fazer um exemplo envolvendo funções elementares. Vamos, então, traçar, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções quadráticas definidas por 2 xy = , 12 −= xy e 12 += xy . Percebemos que os gráficos das funções definidas por 12 += xy e 12 −= xy nada mais são do que o resultado da translação do gráfico de 2 xy = de uma unidade para cima e para baixo, respectivamente. Observamos também que, com a translação vertical, o Domínio se manteve o mesmo para as três funções, porém a Imagem dessas funções foi alterada. 12 += xy 2 xy = 12 −= xy y x 1 0 1−
  35. 35. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Podemos, então, generalizar a translação vertical de k unidades ( )Ζ∈k de uma função definida por ( )xfy = para ( ) kxfy += . 1.10.2 – TRANSLAÇÃO HORIZONTAL: Tal como fizemos na translação Vertical, vamos também tomar um exemplo para mostrar a translação horizontal. Vamos construir, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções quadráticas definidas pelas equações 2 xy = , ( )2 1−= xy e ( )2 1+= xy . Observamos que os gráficos das funções definidas por ( )2 1−= xy e ( )2 1+= xy nada mais são do que os resultados da translação horizontal do gráfico de 2 xy = de uma unidade para a direita e para a esquerda, respectivamente. Podemos, então, generalizar a translação horizontal de k unidades ( )Ζ∈k de uma função definida por ( )xfy = para ( )kxfy += . ( ) ( ) ( )xffunçãodaunidadeskdeverticaltranslaçãokkxf ⇒Ζ∈+ 2 xy = ( )2 1+= xy ( )2 1−= xy y x 1− 0 1 ( ) ( ) ( )xffunçãodaunidadeskdehorizontaltranslaçãokkxf ⇒Ζ∈+
  36. 36. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLOS: 01) x yemunidadesdeverticaltranslação x y xx x y x x y 1 2 1 2 1212 =⇒+=⇒+=⇒ + = . 02) ( ) xycurvanaunidadedehorizontaltranslaçãoxy log11log =⇒−= 03) ⇒+ − = 3 2 1 x y Neste exemplo, temos uma translação horizontal de 2 unidades para a direita e uma translação vertical de 3 unidades para cima no gráfico da função x y 1 = . x x y 12 + = y x 2 2 1 − 0 ( ) ( ) { }2Im * −ℜ= ℜ= f fD y x 0 1 2 ( )1log −= xy ( ) ( ) ( ) ℜ= ∞= f fD Im ,1 y x 3 2 1 + − = x y 3 20 ( ) { } ( ) { }3Im 2 −ℜ= −ℜ= f fD
  37. 37. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 08 1.11 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: 1.11.1 – INTRODUÇÃO: O estudo de Funções Hiperbólicas visa a simplificar e resolver uma infinidade de problemas matemáticos e físicos que envolvem combinações de Funções Exponenciais de base Natural. Chamamos de exponencial ou logaritmo de base natural àqueles cuja base é o número irracional e, chamado de Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718. Assim: ⇒x e exponencial de base natural ⇒x elog logaritmo de base natural Teremos oportunidade de conhecer e definir este número irracional com todos os detalhes no próximo capítulo, quando tratarmos de Limites. Por enquanto, é suficiente aceitarmos a definição dada a este número e realizarmos operações com ele, com faríamos com qualquer outro número irracional. Teremos oportunidade de verificar, futuramente, que o Número Neperiano representa para o Cálculo uma importância igual ou até maior que alguns números irracionais conhecidos (e essenciais) como são os números π , 2 , 3 , etc. 1.11.2 – ORIGEM DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: Consideremos a circunferência de raio unitário e centro na origem dos eixos coordenados, cuja equação é 122 =+ yx . y x 122 =+ yx 0 y x α
  38. 38. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Da Trigonometria sabemos que, para um determinado ângulo α, temos: αcos=x ⇒abscissa da circunferência ⇒= αseny ordenada da circunferência Vemos que estas expressões satisfazem a equação da circunferência 122 =+ yx . Vamos considerar, agora, a Hipérbole Eqüilátera 122 =− yx , cujo gráfico é mostrado abaixo: Podemos mostrar que as expressões 2 αα − + = ee x e 2 αα − − = ee y , com ℜ∈α , satisfazem a equação desta hipérbole eqüilátera. Substituindo as expressões acima na equação, teremos: 1 4 4 4 2 4 2 22 222222 == +− − ++ =      − −      + −−−− αααααααα eeeeeeee Portanto, podemos afirmar que: 2 αα − + = ee x é abscissa da hipérbole eqüilátera 122 =− yx ; 2 αα − − = ee y é ordenada da hipérbole eqüilátera 122 =− yx . Por analogia com a Trigonometria, estas expressões recebem nomes apropriados, que são: 2 αα − + = ee x ⇒ Cosseno Hiperbólico de α ⇒ αcosh=x y x 0 x y xy = xy −= 122 =− yx
  39. 39. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 2 αα − − = ee y ⇒ Seno Hiperbólico de α ⇒ αsenh=y αα αα − − + − = ee ee x y ⇒ Tangente Hiperbólica de α ⇒ αtgh x y = αα αα − − − + = ee ee y x ⇒ Cotangente Hiperbólica de α ⇒ αgh y x cot= αα − + = eex 21 ⇒ Secante Hiperbólica de α ⇒ αh x sec 1 = αα − − = eey 21 ⇒ Cossecante Hiperbólica de α ⇒ αh y seccos 1 = O número Real α é chamado de argumento hiperbólico. 1.11.3 – FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO: Definição: Gráfico: Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) xx senhsenh −=− 2 senh xx ee xy − − == y x 0 xy senh= ( ) ( ) ℜ= ℜ= f fD Im
  40. 40. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1.11.4 – FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO: Definição: Gráfico: Paridade: Função Par ⇒ ( ) xx coshcosh =− 1.11.5 – FUNÇÃO TANGENTE HIPERBÓLICA: Definição: Gráfico: 2 cosh xx ee xy − + == y x 0 1 xy cosh= ( ) ( ) [ )∞= ℜ= ,1Im f fD xx xx ee ee tghxy − − + − == y x 1 0 1− tghxy = ( ) ( ) ( )1,1Im −= ℜ= f fD
  41. 41. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) tghxxtgh −=− 1.11.6 – FUNÇÃO COTANGENTE HIPERBÓLICA: Definição: Gráfico: Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) ghxxgh cotcot −=− 1.11.7 – FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA: Definição: Gráfico: xx xx ee ee ghxy − − − + == cot y x 1 0 1− ghxy cot= ( ) ( ) ( ) ( )∞−∞−= ℜ= ,11,Im * Uf fD xx ee hxy − + == 2 sec y x 0 1 hxy sec= ( ) ( ) ( ]1,0Im = ℜ= f fD
  42. 42. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Paridade: Função Par ⇒ ( ) hxxh secsec =− 1.11.8 – FUNÇÃO COSSECANTE HIPERBÓLICA: Definição: Gráfico: Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) hxxh seccosseccos −=− xx ee hxy − − == 2 seccos y x 0 hxy seccos= ( ) ( ) * * Im ℜ= ℜ= f fD
  43. 43. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 09 1.12 – RELAÇOES ENTRE AS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: Demonstramos a seguir três tipos de relações entre as Funções Hiperbólicas. Teremos a oportunidade de ver que essas relações são muito parecidas com as relações que já conhecemos entre as funções trigonométricas. 1.12.1 – RELAÇÃO FUNDAMENTAL: Demonstração: Vimos que 2 cosh xx ee x − + = e 2 senh xx ee x − − = . Portanto: 22 22 22 senhcosh       − −      + =− −− xxxx eeee xx 4 22 senhcosh 2222 22 xxxx eeee xx −− −+−++ =− 1 4 4 senhcosh 22 ==− xx 1.12.2 – RELAÇÕES DERIVADAS: Demonstração: Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22 =− xx por x2 cosh , obtemos: 1senhcosh 22 =− xx 1sec 22 =+ xtghxh 1seccoscot 22 =− xhxgh
  44. 44. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 1secsec1 cosh 1 cosh senh cosh cosh 2222 22 2 2 2 =+⇒=−⇒=− xtghxhxhxtgh xx x x x Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22 =− xx por x2 senh , obtemos: 1seccoscotseccos1cot senh 1 senh senh senh cosh 2222 22 2 2 2 =−⇒=−⇒=− xhxghxhxgh xx x x x 1.12.3 – RELAÇÕES COM A EXPONENCIAL: Demonstração: Usando as definições das Funções Hiperbólicas, temos: x xxxxxxxxx e eeeeeeeee xx == −++ = − + + =+ −−−− 2 2 222 senhcosh x xxxxxxxxx e eeeeeeeee xx − −−−−− == +−+ = − − + =− 2 2 222 senhcosh APLICAÇÕES: 01) Sendo 0<x e hxx sec3cosh = , achar todas as Funções Hiperbólicas de x . SOLUÇÃO: 3cosh3cosh cosh 3 cosh 2 ±=⇒=⇒= xx x x Porém, ℜ∈∀> xx ,1cosh . Portanto: Da Relação Fundamental: 1senhcosh 22 =− xx Portanto: ( ) 2senh2senh13senh1senh3 2222 ±=⇒=⇒−=⇒=− xxxx Como 0senh0 <⇒< xx . Logo: x exx =+ senhcosh x exx − =− senhcosh 3cosh =x 2senh −=x
  45. 45. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Para obter as demais funções hiperbólicas basta usar as suas definições, ou seja: 3 2 cosh senh − == x x tghx . Racionalizando: 2 3 senh cosh cot − == x x ghx . Racionalizando: 3 1 cosh 1 sec == x hx . Racionalizando: 2 1 senh 1 seccos − == x hx . Racionalizando: 02) Provar que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ SOLUÇÃO: Usando a definição do seno hiperbólico: ( ) 2 .. 2 senh babababa eeeeee ba −−−−+ − = − =+ Aplicando as relações com a exponencial: ( ) ( )( ) ( )( ) 2 senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcosh senh bbaabbaa ba −−−++ =+ Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++ e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−− Portanto: ( ) 2 cosh.senh2senh.cosh2 senh baba ba + =+ ⇒ ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ 3 6 −=tghx 2 6 cot −=ghx 3 3 sec =hx 2 2 seccos −=hx
  46. 46. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 03) Provar que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ SOLUÇÃO: Usando a definição do cosseno hiperbólico: ( ) 2 .. 2 cosh babababa eeeeee ba −−−−+ + = + =+ Aplicando as relações com a exponencial: ( ) ( )( ) ( )( ) 2 senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcosh cosh bbaabbaa ba −−+++ =+ Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++ e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−− Portanto: ( ) 2 senh.senh2cosh.cosh2 cosh baba ba + =+ ⇒ ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ 04) Provar que xxx cosh.senh22senh = SOLUÇÃO: Do exercício 02, vimos que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ . Fazendo xba == , teremos: ( ) xxxxxx cosh.senhcosh.senhsenh +=+ xxx cosh.senh22senh = 05) Provar que xxx 22 senhcosh2cosh += SOLUÇÃO: Do exercício 03, vimos que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ . Fazendo xba == , teremos:
  47. 47. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ( ) xxxxxx senh.senhcosh.coshcosh +=+ xxx 22 senhcosh2cosh += 06) Sendo 3senhcosh =+ xx , achar x , xsenh e xcosh . SOLUÇÃO: Das relações com a exponencial: x exx =+ senhcosh Portanto: log 3 3 e x xe =⇒= Observação: O logaritmo cuja base é o Número Neperiano e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano, e é indicado por eln . Então: 2 3 13 322 senh 1 3ln3ln3ln3ln − = − = − = − = − −− eeeeee x xx ⇒ 2 3 13 322 cosh 1 3ln3ln3ln3ln + = + = + = + = − −− eeeeee x xx ⇒ 3ln=x 3 4 senh =x 3 5 cosh =x
  48. 48. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 10 1.13 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS: Estudaremos nesta aula as Funções Hiperbólicas Inversas. Como as Funções Hiperbólicas são definidas por combinações de exponenciais, veremos que cada Função Hiperbólica Inversa terá a sua definição dada por uma expressão logarítmica. 1.13.1 – FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO: A – Notação: xy senharg= ou xy 1 senh− = , onde arg = argumento. B – Definição: Se xy senharg= , então yx senh= Assim, por definição: 2 yy ee x − − = . Resolvendo esta equação exponencial na variável y : x e exee y yyy 2 1 2 =−⇒=− − Multiplicando por y e , obtemos: 0122 =−− yy xee , que é uma equação de 2o grau cuja variável é y e . Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta: 1 2 122 2 442 2 22 +±=⇒ +± =⇒ +± = xxe xx e xx e yyy Como 0>y e e ℜ∈∀>+ xxx ,12 , então 12 ++= xxey Isolando a variável y , obtém-se: ( )1ln 2 ++= xxy
  49. 49. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG C – Gráfico: 1.13.2 – FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO: A – Notação: xy cosharg= ou xy 1 cosh− = B – Definição: Se xy cosharg= , então yx cosh= Assim, por definição: 2 yy ee x − + = . Resolvendo esta equação exponencial na variável y : x e exee y yyy 2 1 2 =+⇒=+ − Multiplicando por y e , obtemos: 0122 =+− yy xee , que é uma equação de 2o grau cuja variável é y e . Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta: 1 2 122 2 442 2 22 −±=⇒ −± =⇒ −± = xxe xx e xx e yyy Uma vez que 0>y e e ℜ∈∀<− xxx ,12 , então devemos ter 1≥x . Nestas condições, a exponencial y e tanto pode ser definida para 12 −+= xxey quanto para 12 −−= xxey . Porém, como a função cosseno hiperbólico não é bijetora (lembre-se de que ela é par), então convenciona-se tomar apenas o ramo positivo da função. y x 0 xy senharg= ( ) ( ) ℜ= ℜ= f fD Im
  50. 50. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Isto equivale a tomarmos: ⇒−+= 12 xxey C – Gráfico: 1.13.3 – FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE HIPERBÓLICA: A – Notação: tghxy arg= ou xtghy 1− = B – Definição: Se tghxy arg= , então tghyx = Assim, por definição: yy yy ee ee x − − + − = . y y y yyyyy e e e x xeeexexe 1 −=+⇒−=+ −− Multiplicando por y e , obtemos: ( ) x x e x x exxeexxe yyyyy − + =⇒ − + =⇒+=−⇒−=+ 1 1 1 1 111 2222 . Como 0>y e , devemos ter 110 1 1 <<−⇒> − + x x x , ( )1ln 2 −+= xxy y x 0 1 xy cosharg= ( ) [ ) ( ) +ℜ= ∞= f fD Im ,1
  51. 51. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Portanto: C – Gráfico: 1.13.4 – FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE HIPERBÓLICA: A – Notação: ghxy cotarg= ou xghy 1 cot − = B – Definição: Se ghxy cotarg= , então ghyx cot= Assim, por definição: yy yy ee ee x − − − + = . y y y yyyyy e e e x xeeexexe 1 +=−⇒+=− −− Multiplicando por y e , obtemos: ( ) 1 1 1 1 111 2222 − + =⇒ − + =⇒+=−⇒+=− x x e x x exxeexxe yyyyy . Como 0>y e , devemos ter 110 1 1 >−<⇒> − + xoux x x . x x y − + = 1 1 ln y x 1− 0 1 tghxy arg= ( ) ( ) ( ) ℜ= −= f fD Im 1,1
  52. 52. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Portanto: C – Gráfico: 1.13.5 – FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE HIPERBÓLICA: A – Notação: hxy secarg= ou xhy 1 sec − = B – Definição: Se hxy secarg= , então hyx sec= Assim, por definição: yy ee x − + = 2 . 22 =+⇒=+ − y yyy e x xexexe Multiplicando por y e , obtemos: 022 22 =+−⇒=+ xeexexxe yyyy . 1 1 ln − + = x x y y x 1− 0 1 ghxy cotarg= ( ) ( ) ( ) ( ) * Im ,11, ℜ= ∞⊂−∞−= f fD
  53. 53. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta: x x e x x e x x e yyy 222 11 2 122 2 442 −± =⇒ −± =⇒ −± = Como a função hxy sec= não é bijetora, toma-se o ramo positivo da função, isto é: ⇒≤< −+ = 10 11 2 xe x x ey C – Gráfico: 1.13.6 – FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE HIPERBÓLICA: A – Notação: hxy seccosarg= ou xhy 1 seccos − = B – Definição: Se hxy seccosarg= , então hyx seccos= Assim, por definição: yy ee x − − = 2 . 22 =−⇒=− − y yyy e x xexexe         −+ = x x y 2 11 ln y x 0 1 hxy secarg= ( ) ( ] ( ) +ℜ= = f fD Im 1,0
  54. 54. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Multiplicando por y e , obtemos: 022 22 =−−⇒=− xeexexxe yyyy . Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta: x x e x x e x x e yyy 222 11 2 122 2 442 +± =⇒ +± =⇒ +± = Como 0>y e e *2 ,11 ℜ∈∀>+ xx , então: • para x x ex y 2 11 0 ++ =⇒> • para x x ex y 2 11 0 +− =⇒< Podemos, ainda, escrever: ⇒ + += x x x ey 2 11 C – Gráfico:         + += x x x y 2 11 ln y x 0 hxy seccosarg= ( ) ( ) * * Im ℜ= ℜ= f fD
  55. 55. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 11 1.14 – RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS E TRIGONOMÉTRICAS: Nesta aula conheceremos as relações entre as Funções Hiperbólicas e as Funções Trigonométricas. Veremos que essas relações só poderão ser definidas com a aplicação da unidade imaginária. Para chegarmos até as relações, devemos primeiramente conhecer as chamadas Fórmulas de Euler. Essas Fórmulas serão obtidas utilizando-se Séries de Potências, que será objeto de estudos futuros. O estudo de Série de Potências mostra que as funções x e , xsen e xcos podem ser definidas como polinômios generalizados da seguinte maneira: ( ) ... !1 ... !3!2!1!0 13210 + − +++++= − n xxxxx e n x , onde ...,3,2,1=n ( ) ... !1 ... !3!2 1 132 + − +++++= − n xxx xe n x (A) ( ) ( ) ( ) ... !12 1... !6!4!2!0 cos 12 1 6420 + − −++−+−= − − n xxxxx x n n , onde ...,3,2,1=n ( ) ( ) ( ) ... !12 1... !6!4!2 1cos 12 1 642 + − −++−+−= − − n xxxx x n n (B) ( ) ( ) ... !12 1... !7!5!3!1 sen 12 1 7531 + − −++−+−= − − n xxxxx x n n , onde ...,3,2,1=n (C) Fazendo em (A) ix α= , onde ℜ∈α e 1−=i (unidade imaginária), temos: ... !7!6!5!4!3!2 1 765432 +−−++−−+= αααααα αα iiiie i Reagrupando os termos, teremos:       +−+−++−+−= ... !7!5!3 ... !6!4!2 1 753642 ααα α αααα ie i (D)
  56. 56. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Substituindo (B) e (C) em (D), resulta: (E) Trocando α por α− em (E), obtemos: ( ) ( )ααα −+−=− sencos ie i mas: ( ) αα coscos =− e ( ) αα sensen −=− Logo: (F) As expressões (E) e (F) acima são chamadas de Fórmulas de Euler. Fazendo (E) + (F), tem-se: ααααα αααα cos2sencossencos =+⇒−++=+ −− iiii eeiiee Então: 2 cos ii ee αα α − + = Comparando com a definição do cosseno hiperbólico, podemos escrever que: Fazendo (E) - (F), tem-se: ααααα αααα sen2sencossencos ieeiiee iiii =−⇒+−+=− −− Então: 2 sen ii ee i αα α − − = Comparando com a definição do seno hiperbólico, podemos escrever que: ααα sencos ie i += ααα sencos ie i −=− ( ) αα coscosh =i ( ) αα sensenh ii =
  57. 57. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Da mesma forma, podemos definir as relações entre as demais funções por: As expressões obtidas acima mostram as relações entre Funções Hiperbólicas de argumento imaginário puro com Funções Trigonométricas de argumento real. Vamos obter agora as relações contrárias, isto é, as relações entre Funções Trigonométricas de argumento imaginário puro e Funções Hiperbólicas de argumento real. Vimos que: αα sensenh ii = (1) αα coscosh =i (2) Fazendo xi=α em (1), teremos: ( ) ( )x i ixixixixiiix −=⇒=−⇒= senh 1 sensensenhsen.senh mas: ( ) xx senhsenh −=− (função ímpar) e i i −= 1 Portanto: Fazendo xi=α em (2), teremos: ( ) ixxixiix coscoshcos.cosh =−⇒= mas: ( ) xx coshcosh =− (função par). Portanto: Da mesma forma que se fez no caso anterior, obtemos as demais relações, que são: ( ) αα tgiitgh = ( ) αα giigh cotcot −= ( ) αα secsec =ih ( ) αα seccosseccos iih −= xiix senhsen = xix coshcos = itghxixtg = ghxiixg cotcot −= hxix secsec = hxiix seccosseccos −=
  58. 58. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 12 CAP. 2 – LIMITES 2.1 – CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE : Nesta aula, iniciaremos o estudo de Limites. Para começarmos a entender o conceito de Limite de uma função num ponto, vamos agir de forma intuitiva. Para isto, vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( ) 2 42 − − = x x xf , cujo Domínio é ( ) { }2/ ≠ℜ∈= xxfD , isto é, a função é definida para todo valor Real de x , com exceção de 2=x . Vamos estudar o comportamento da função ( )xf nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto 2=x , isto é, vejamos o que acontece com a função quando atribuímos à variável x valores cada vez mais próximos de 2. Neste caso, dizemos que vamos fazer x tender a 2. Temos duas possibilidades: 1a : x tende a 2 por valores inferiores a 2: Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos: x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 … ( )xf 3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 … 2a : x tende a 2 por valores superiores a 2: Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos: x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 … ( )xf 5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 …
  59. 59. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Analisando os resultados obtidos nas duas tabelas, podemos verificar que: a) ( ) 01,499,301,299,1 <<⇒<< xfx ( ) 01,0401,0401,0201,02 +<<−⇒+<<− xfx ( ) 01,0401,001,0201,0 <−<−⇒<−<− xfx ou b) ( ) 001,4999,3001,2999,1 <<⇒<< xfx ( ) 001,04001,04001,02001,02 +<<−⇒+<<− xfx ( ) 001,04001,0001,02001,0 <−<−⇒<−<− xfx ou Notamos que, quando x tende a 2, ( )xf tende a 4, isto é, quanto mais próximo do valor 2 tomarmos o valor de x , mais próximo de 4 vamos obter o valor de ( )xf . Observamos também que podemos ter ( )xf tão próximo de 4 quanto quisermos. Para isto, basta tomar x cada vez mais próximo de 2. Generalizando, se quisermos que ( )xf esteja próximo do valor 4 de uma distância menor que 0>ε , basta tomar valores de x próximos a 2 de uma distância 0>δ . Por exemplo,se queremos que ( )xf esteja próximo de 4 de uma distância 001,0<ε , devemos tomar x próximo a 2 de uma distância 001,0<δ . ATENÇÃO: Observe que ( )xf não é definida para 2=x . Porém, podemos tomar valores para x tão próximos de 2 quanto quisermos, obtendo valores para ( )xf tão próximos de 4 quanto também o quisermos. Mas jamais estamos fazendo 2=x (e nem podemos fazê-lo). Vamos verificar o que está acontecendo graficamente com esta função nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto 2=x . ( ) 01,0401,02 <−⇒<− xfx ( ) 001,04001,02 <−⇒<− xfx
  60. 60. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 2.2 – DEFINIÇÃO DE LIMITE NO PONTO: Dizemos que o limite de uma função ( )xf quando x tende a a ( ℜ∈a ) é igual a L, e escrevemos ( ) Lxf ax = → lim se, para um número infinitesimal 0>ε , existir em correspondência um número infinitesimal 0>δ , sendo ( )εδδ = , tais que: Observe que “construímos” esta definição no item anterior, quando conceituamos a definição de Limites de uma forma intuitiva. Exemplo: Usando a definição, mostre que ( ) 1747lim3 =− − x x . SOLUÇÃO: Devemos mostrar que, para qualquer número infinitesimal 0>ε existe um número infinitesimal 0>δ , sendo δ função de ε , tais que ( ) ε<−17xf sempre que δ<− 3x . y x 0 ε+4 4 ε−4 δ−2 2 δ+2 ( ) 2,2 2 42 ≠+= − − = xsex x x xf ( ) { } ( ) { }4Im 2 −ℜ= −ℜ= f fD ( ) δε <−≠<− axeaxquesempreLxf
  61. 61. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Assim: ε<−− 1747x ε<− 217x ( ) ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x 7 3 ε <−x Portanto, existe 7 ε δ = que satisfaz a definição de limite no ponto. Então podemos dizer que ( ) 1747lim3 =− → x x . 2.3 – PROPRIEDADES DE LIMITES : Uma vez que conceituamos e definimos o Limite de uma função num ponto, vamos enunciar as suas propriedades. É importante observar que essas propriedades se aplicam para limites gerais, isto é, limites que não tenham indeterminação. O estudo de limites indeterminados será feito mais adiante. Sejam, então, as funções ( )xf e ( )xg , e os números reais k, a, L e M. Vamos, ainda, admitir que ( ) Lxf ax = → lim e lim ax→ ( ) Mxg = . P1: Teorema da Unicidade e Existência: O Limite de uma função, quando existe, é único. Podemos ilustrar esta propriedade graficamente. y x 0 a L ( )xfy = y x 0 a 1L 2L ( )xfy = ( ) Lxf ax = → lim ( ) existenãoxf ax lim→
  62. 62. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Observa-se que o Limite no ponto 2=x da função mostrada no gráfico da direita não existe, pois o comportamento da função é diferente para valores menores e maiores que 2. Estes Limites serão tratados nas próximas aulas. P2: Exemplos: 01) ( ) 3562722 limlimlim 3 3 3 3 3 =+=+=+ →→→ xxxx xxx 02) ( ) 60401008484 limlimlim 5 2 5 2 5 =−=−=− →→→ xxxx xxx P3: Exemplo: 322.16.. limlimlim 4 2 4 2 4 === →→→ xxxx xxx P4: Exemplos: 01) 55lim1 = →x 02) 100100lim50 = −→x ( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf axaxax ±=±=± →→→ limlimlim ( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf axaxax ... limlimlim == →→→ kk ax = → lim
  63. 63. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG P5: Exemplo: ( ) 7 4 33 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim = + = + → → → x x x x x x x P6: Exemplo: ( ) ( ) 125511 3 3 2 2 32 2 limlim ==      +=+ →→ xx xx P7: Exemplo: 883 2 3 2 limlim =−== −→−→ xx xx P8: Teorema do Confronto: Sejam f , g e h funções tais que os seus Domínios sejam subconjuntos de ℜ e seja ax = um ponto pertencente a esses subconjuntos. Se ( ) Lxf ax = → lim , ( ) Lxg ax = → lim e se ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ nas vizinhanças do ponto ax = , então podemos afirmar que ( ) Lxh ax = → lim . ( ) ( ) ( ) ( ) 0, lim lim lim ≠== → → → Mpara M L xg xf xg xf ax ax ax ( )[ ] ( ) n n ax n ax Lxfxf =      = →→ limlim ( ) ( ) Lxfxf axax == →→ limlim
  64. 64. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG A demonstração deste Teorema pode ser feita usando-se a definição de Limites. Entretanto, podemos visualizá-lo graficamente. y x 0 a L f h g
  65. 65. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 13 2.4 – CONTINUIDADE NUM PONTO : O conceito de Continuidade, aplicado a funções reais a variáveis reais, é de extrema importância para o Cálculo. Devemos estar atentos para os pontos de descontinuidade de uma função, principalmente quanto ao comportamento da função nas vizinhanças desses pontos. Por exemplo, serão nesses pontos de descontinuidade que o gráfico da função pode possuir Assíntotas, que serão estudadas mais adiante. Definimos a Continuidade de uma função da seguinte maneira: ⇒ Dizemos que uma função f definida pela equação ( )xfy = é contínua num ponto ax = do seu Domínio se forem verificadas, simultaneamente, as três condições abaixo: Se pelo menos uma das condições acima não for satisfeita, dizemos que a função é descontínua no ponto ax = . EXEMPLOS: 01) Estudar a continuidade da função ( ) 22 −= xxf no ponto 2=x . SOLUÇÃO: ⇒ ( ) ( ) 22222 2 =⇒−= ff (existe) ⇒ ( ) ( ) 22222 2 2 2 2 2 22 limlimlimlim =−=−=−= →→→→ xxxx xxxf (existe) (1) existe ( )af , isto é, a função possui valor numérico em ax = ; (2) existe e é finito o ( )xf ax lim→ ; (3) ( ) ( )afxf ax = → lim
  66. 66. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ⇒ como ( ) ( )222 2 lim fx x =− → , então a função é contínua no ponto 2=x . Podemos confirmar esta continuidade, pelo esboço do gráfico da função. 02) Verificar se a função definida por ( )      = ≠ − +− = 2,3 2, 2 442 xse xse x xx xf é contínua no ponto 2=x . SOLUÇÃO: Para 2≠x , podemos fazer ( ) 2 1 2 2 44 22 −= − − = − +− x x x x xx ⇒ ( ) 32 =f (existe) ⇒ ( ) ( ) 0222limlim 22 =−=−= →→ xxf xx (existe) ⇒ Como ( ) ( )2lim2 fxf x ≠ → , entendemos que a função é descontínua no ponto 2=x . Graficamente: y x 2− 0 2 2 ( ) 22 −= xxf ( ) ( ) [ )∞−= ℜ= ,2Im f fD y x 0 2 2− 3 ( )xf ( ) ( ) * Im ℜ= ℜ= f fD
  67. 67. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 03) Verificar a descontinuidade da função ( )    > ≤− = 3,2 3,2 xse xsex xf no ponto 3=x . SOLUÇÃO: ⇒ ( ) 1233 =−=f (existe) ⇒ Para ( ) ( ) 12323 limlim 33 =−=−=⇒< →→ xxfx xx ⇒ Para ( ) 223 limlim 33 ==⇒> →→ xx xfx Podemos perceber que o comportamento da função para valores de x próximos de 3, mas menores que 3, é diferente do seu comportamento para valores próximos de 3, mas maiores que 3, isto é, o Limite da função à esquerda de 3 é diferente do Limite à direita. Então, de acordo com o Teorema da Unicidade, podemos afirmar que a função dada não possui limite no ponto 3=x . Portanto, a função é descontínua nesse ponto. Graficamente: Os conceitos aqui estudados sobre continuidade e descontinuidade serão muito explorados nas próximas aulas. y x 0 2− 2 3 1 2 ( )xf
  68. 68. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 2.5 – LIMITES LATERAIS: Para que possamos conceituar Limites Laterais, vamos considerar o seguinte exemplo: Estudar a continuidade da função ( )    ≥+− <+ = 2,62 2,2 xsex xsex xf no ponto 2=x . SOLUÇÃO: Aplicando as condições de Continuidade num ponto, temos: a) ( ) ( ) 226222 =⇒+−= fxf (existe); b) ( ) ????lim2 = → xf x ⇒ Para ( ) ( ) ( ) 422 limlim 22 =+=⇒+= →→ xxfxxf xx ⇒ Para ( ) ( ) ( ) 26262 limlim 22 =+−=⇒+−= →→ xxfxxf xx De acordo com o Teorema da Unicidade, o limite de uma função num ponto, quando existe, deve ser único. Então, no nosso exemplo, entendemos que não existe o ( )xf x lim2→ . Portanto, a função é descontínua em 2=x . Graficamente: A descontinuidade apresentada neste exemplo nos permite enxergar o conceito de Limites Laterais. y x 4 2 2− 0 2 3 ( ) 2+= xxf ( ) 62 +−= xxf ( ) ( ) ( )4,Im ∞−= ℜ= f fD
  69. 69. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Pode-se observar que, quando x tende a 2 por valores inferiores a 2, ( )xf tende a 4. Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Esquerda de 2=x é igual a 4, e representamos por: ( ) 4lim2 = − → xf x . Da mesma forma, quando x tende a 2 por valores superiores a 2, ( )xf tende a 2. Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Direita de 2=x é igual a 2, e representamos por : ( ) 2lim2 = + → xf x . Concluímos ainda que, para que uma função ( )xf tenha limite num ponto ax = , é necessário que ela tenha Limites Laterais neste ponto e que eles sejam iguais. Se ( ) ( )xfxf axax limlim +− →→ ≠ , então não existe ( )xf x lim→ . OBSERVAÇÃO: Para se estudar os Limites Laterais de uma função ( )xf num ponto ax = , podemos considerar dois pontos, um à esquerda e outro à direita de ax = , situados a uma distância 0>h deste ponto. Pode-se estudar os Limites Laterais da função no ponto ax = , fazendo-se: EXEMPLOS: 01) Calcular os Limites Laterais da função ( ) 3 92 − − = x x xf no ponto 3=x e verificar se o limite da função existe neste ponto. SOLUÇÃO: a) Limite Lateral à Esquerda: ha − a ha + x ( ) ( ) ( ) ( )hafxf hafxf hax hax += −= →→ →→ + − limlim limlim 0 0
  70. 70. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ( ) ( ) ( ) 66 6969 33 93 3 9 limlimlimlimlim 00 2 0 2 0 2 3 =−= − −− = − −+− = −− −− = − − →→→→→ − h h hh h hh h h x x hhhhx b) Limite Lateral à Direita: ( ) ( ) ( ) 66 6969 33 93 3 9 limlimlimlimlim 00 2 0 2 0 2 3 =+= + = −++ = −+ −+ = − − →→→→→ + h h hh h hh h h x x hhhhx Como os Limites Laterais existem e são iguais, podemos afirmar que 6 3 92 3 lim = − − → x x x . Graficamente: 02) Repetir o exercício anterior para a função ( ) x x xf − − = 2 2 no ponto 2=x . SOLUÇÃO: a) Limite Lateral à Esquerda: ( ) ( ) 1 22 22 22 22 2 2 limlimlimlimlim 00002 === +− +− = −− −− = − − →→→→→ − h h h h h h h h x x hhhhx b) Limite Lateral à Direita: ( ) ( ) 1 22 22 22 22 2 2 limlimlimlimlim 00002 −= − = − − = −− −− = +− +− = − − →→→→→ + h h h h h h h h x x hhhhx Como x x x x xx − − ≠ − − +− →→ 2 2 2 2 limlim 22 , então não existe o x x x − − → 2 2 lim2 . y x 6 3 3− 0 3 ( ) 3 92 − − = x x xf ( ) { } ( ) { }6Im 3 −ℜ= −ℜ= f fD
  71. 71. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Graficamente: x y 1 1− 0 ( ) x x xf − − = 2 2
  72. 72. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 14 2.6 – LIMITES ENVOLVENDO INFINITO: Vamos procurar entender o conceito de Limites Envolvendo Infinito de uma forma intuitiva, como fizemos com o Limite de uma função num ponto. Por exemplo, vamos estudar o comportamento da função ( ) 2 1 x xf = nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto 0=x , isto é, vamos atribuir valores para x cada vez mais próximos de zero e verificar o que acontece com a função. Temos duas possibilidades: 1a - x tende a zero pela direita: x 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,01 ••• f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 ••• 2a - x tende a zero pela esquerda: x -1 - 0,5 - 0,25 - 0,1 - 0,01 - 0,001 ••• f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 ••• Os resultados obtidos nas tabelas acima indicam que, à medida em que a variável x tende a zero, a função assume valores cada vez maiores. Como podemos tomar a variável x tão próxima de zero quanto quisermos, a função tende a crescer indefinidamente. Neste caso, expressamos este comportamento da função dizendo que o limite de ( ) 2 1 x xf = , quando x tende a zero, é infinito , e escrevemos: ( ) ∞== →→ 2 00 1 limlim x xf xx
  73. 73. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Graficamente: Vamos tomar agora a função definida por ( ) 2 2 − = x xf , cujo gráfico é apresentado na figura abaixo: Observando atentamente o gráfico acima, podemos verificar que: • quando x tende a 2 pela direita, ( )xf aumenta indefinidamente; • quando x tende a 2 pela esquerda, ( )xf diminui indefinidamente. Expressamos estes fatos escrevendo: ∞= −+ → 2 2 lim2 xx e −∞= −− → 2 2 lim2 xx x y 0 ( ) 2 1 x xf = x y 0 1− 2 ( ) 2 2 − = x xf
  74. 74. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Em geral, podemos dizer que existem quatro possibilidades para limites laterais num ponto ( )ℜ∈= aax que envolvem o infinito. Para nossa melhor compreensão, vamos visualiza-las graficamente: 1a ) 2a ) 3a ) x y 0 a ( )xf ( ) ∞= + → xf ax lim y x 0 a ( )xf ( ) ∞= − → xf ax lim y x 0 a ( )xf ( ) −∞= + → xf ax lim
  75. 75. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 4a ) 2.7 – LIMITES NO INFINITO: Tal como foi feito no item anterior, vamos conceituar Limites no Infinito a partir de um exemplo, isto é, vamos atingir este conceito de uma forma intuitiva. Para isto, vamos tomar a função definida por ( ) x xf 1 = e estudar o seu comportamento quando a variável x cresce ou decresce indefinidamente. 1o Caso: x cresce indefinidamente: x 1 5 10 100 1.000 10.000 ••• f(x) 1 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 ••• 2o Caso: x decresce indefinidamente: x - 1 - 5 - 10 - 100 - 1.000 - 10.000 ••• f(x) - 1 - 0,2 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 ••• Em ambos os casos, observamos que ( )xf tende a zero. Então escrevemos: e y x 0 a ( )xf ( ) −∞= − → xf ax lim ( ) 0 1 limlim == ∞→∞→ x xf xx ( ) 0 1 limlim == −∞→−∞→ x xf xx
  76. 76. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Graficamente: Vamos tomar, agora, como exemplo, a função definida por ( ) x xf 1 2= cujo Domínio é ( ) ∗ ℜ=fD e estudar o seu comportamento nas vizinhanças do ponto 0=x (usando Limites Laterais) e no infinito. a) Limite Lateral à Direita de zero: Se ∞→→∞→⇒→ ∞+ 22 1 0 1 x e x x , portanto ∞= + → x x 1 0 2lim b) Limite Lateral à Esquerda de zero: Se 0 1 2 1 22 1 0 1 → ∞ →→→−∞→⇒→ ∞ ∞−− x e x x , portanto 02 1 0 lim = − → x x c) Limite no Infinito: Se 1220 1 0 1 →→→⇒∞→ x e x x Se 1220 1 0 1 →→→⇒−∞→ x e x x y x 0 ( ) x xf 1 =
  77. 77. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Portanto: 12 1 lim = ∞→ x x e 12 1 lim = −∞→ x x Graficamente: y 1 0 x ( ) x xf 1 2=
  78. 78. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 15 2.8 – ASSÍNTOTAS: 2.8.1 – Definição: Dizemos que uma reta r é Assíntota da curva de uma função ( )xf se a distância de um ponto variável ( )yxP , da curva até essa reta tende a zero, à medida em que o ponto tende ao infinito. A Assíntota pode ser uma reta vertical, horizontal ou oblíqua. Podemos observar que, quando a curva da função possui uma Assíntota, a curva tende a essa reta. A determinação das Assíntotas de uma curva (quando existem), é feita com a aplicação de limites. Vejamos como isto é feito. 2.8.2 – Assíntota Vertical: Dizemos que a reta ax = é Assíntota Vertical da função ( )xf se pelo menos uma das condições abaixo for verificada: 1a ) y x ( )xf 0 r ( )yxP , ( ) ∞= + → xf ax lim
  79. 79. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 2a ) 3a ) 4a ) OBSERVAÇÃO: O ponto ax = deve ser um ponto de descontinuidade da função. EXEMPLO: Seja a função definida por ( ) tgxxf = para 22 ππ <<− x Temos: ∞= − → tgx x lim 2 π e −∞= + −→ tgx x lim 2 π Portanto, as retas 2 π −=x e 2 π =x são Assíntotas Verticais da função ( ) tgxxf = . ( ) ∞= − → xf ax lim ( ) −∞= + → xf ax lim ( ) −∞= − → xf ax lim y x 0 2 π − 2 π ( ) tgxxf =
  80. 80. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 2.8.3 – Assíntota Horizontal: Dizemos que a reta by = , com ℜ∈b , é uma Assíntota Horizontal da função ( )xf se pelo menos uma das condições abaixo for satisfeita: 1a ) 2a ) EXEMPLO: Seja a função definida por ( ) arctgxxf = . Temos: 2lim π = ∞→ arctgx x e 2lim π −= −∞→ arctgx x . Portanto, as retas 2 π −=y e 2 π =y são Assíntotas Horizontais da função ( ) arctgxxf = . 2.8.4 – Assíntota Oblíqua: Caso uma função ( )xf tenha uma Assíntota Oblíqua, essa Assíntota será uma reta cuja equação tem a forma reduzida baxy += , com ∗ ℜ∈a e ℜ∈b , onde: ( ) bxf x = ∞→ lim ( ) bxf x = −∞→ lim y x 0 2 π 2 π − ( ) arctgxxf =
  81. 81. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG OBSERVAÇÃO: Caso ( ) x xf x lim∞→ seja nulo ou infinito, então não existem Assíntotas Oblíquas. EXEMPLO: Determinar a equação da Assíntota Oblíqua da curva da função definida por ( ) x xx xf 122 −+ = . ( ) 1 12 1 12 22 2 limlimlim =      −+= −+ == ∞→∞→∞→ xxx xx x xf a xxx ( )[ ] 2 1 2 1212 limlimlimlim 222 =      −= −−+ =      − −+ =−= ∞→∞→∞→∞→ xx xxx x x xx axxfb xxxx Portanto, a reta 2+= xy é uma Assíntota Oblíqua do gráfico da função dada. Graficamente: ( ) x xf a x lim∞→ = ( )[ ]axxfb x −= ∞→ lim y x 02− 2 21−− 21+− 2+= xy ( ) x xx xf 122 −+ =
  82. 82. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG OBSERVAÇÃO: Pode-se comprovar também que a reta 0=x (eixo y ) é uma Assíntota Vertical do gráfico desta função, isto é, ∞= −+ − → x xx x 122 0 lim e −∞= −+ + → x xx x 122 0 lim (VERIFIQUE). APLICAÇÃO IMPORTANTE DE ASSÍNTOTAS: O exemplo resolvido a seguir ilustra uma particularidade de certas funções que possuem Assíntotas. Consideremos, então, o problema de se determinar todas as Assíntotas do gráfico da função definida por ( ) 4 2 2 2 − ++ = x xx xf , cujo Domínio é ( ) { }2,2−−ℜ=fD , isto é, esta função é descontínua nos pontos 2−=x e 2=x . a) Assíntotas Verticais: Temos: ∞= − ++ − −→ 4 2 2 2 2 lim x xx x ; −∞= − ++ + −→ 4 2 2 2 2 lim x xx x −∞= − ++ − → 4 2 2 2 2 lim x xx x ; ∞= − ++ + → 4 2 2 2 2 lim x xx x Portanto, as retas 2−=x e 2=x são Assíntotas Verticais desta função. b) Assíntota Horizontal: Temos 1 4 2 2 2 lim = − ++ ∞→ x xx x e 1 4 2 2 2 lim = − ++ −∞→ x xx x Portanto, 1=y é Assíntota Horizontal desta função. c) Assíntota Oblíqua: A função dada não possui Assíntota Oblíqua, pois ( ) 0lim == ∞→ x xf a x . De acordo com os resultados obtidos acima, o gráfico desta função,aparentemente, é:
  83. 83. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Entretanto, existe algo errado com o esboço deste gráfico. O gráfico desenhado acima mostra que as curvas têm simetria com relação ao eixo y . Esta é uma característica das funções pares e a função estudada não é par. Portanto, o gráfico acima está errado. O gráfico correto é mostrado abaixo. y x 0 1 2− 221− y x 0 1 2− 221−6− ( ) 4 2 2 2 − ++ = x xx xf
  84. 84. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG O que ocorreu com esta função é um caso particular em que a curva intercepta a Assíntota. Isto pode ocorrer também com relação à Assíntota Oblíqua. Isto é, se a curva possui uma Assíntota Oblíqua, ela pode interceptar essa Assíntota. Para verificar se o gráfico de uma determinada função intercepta as Assíntotas Horizontal ou Oblíqua (quando existirem), basta igualar a equação da curva com a equação da Assíntota. Se a equação resultante possuir solução Real, é porque existe essa interseção e ela ocorre exatamente sobre a(s) raiz(es). No exemplo anterior isto ocorreu no ponto 6−=x pois, para 1=y , temos: 642421 4 2 22 2 2 −=⇒−=+⇒−=++⇒= − ++ xxxxx x xx
  85. 85. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 16 2.9 – SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇÃO: Na resolução de Limites, são freqüentes os casos em que aparecem operações que não têm significado algébrico, isto é, operações que não podem ser realizadas algebricamente. Essas operações recebem o nome de Símbolos de Indeterminação. São elas: EXEMPLOS: 1) 0 0 3 92 3 lim = − − → x x x (indeterminado) 2) ∞= → .0 1 .sen 2 0 lim x x x (indeterminado) 3) ∞ ∞ = +∞→ 1 5 3 2 lim x x x (indeterminado) 4) ( ) ∞−∞=− ∞→ 32 2lim xx x (indeterminado) 5) 0log 1 0 0lim = + → x x x (indeterminado) 6) 0log 1 lim ∞= ∞→ x x x (indeterminado) 7) ∞ → = 1log 1 1 lim x x x (indeterminado) Para se resolver um Limite que tenha uma destas indeterminações, é necessário eliminar a indeterminação. Isto pode ser feito, dependendo do Limite, com o uso da Fatoração, da aplicação de Conjugados ou aplicando-se Limites Fundamentais. ∞ ∞−∞∞∞ ∞ ∞ 1;;.0;0;; 0 0 00 e
  86. 86. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLOS: 1) 0 0 1 133 lim1 = − +−+ → x xx x (indeterminado) Multiplicando e dividindo por ( )133 +++ xx , que é o conjugado do numerador, temos: ( )( )1331 133 133 133 . 1 133 1 133 limlimlim 111 +++− −−+ = +++ +++ − +−+ = − +−+ →→→ xxx xx xx xx x xx x xx xxx ( ) ( )( ) ( ) 2 1 133 2 1331 12 1 133 limlimlim 111 −= +++ − = +++− −− = − +−+ →→→ xxxxx x x xx xxx 2) ( ) ∞−∞=+−− ∞→ 11lim xx x (indeterminado) Multiplicando e dividindo pelo conjugado ( )11 ++− xx , obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 11 2 11 11 11 11 .11 limlimlim = ++− − = ++− −−− = ++− ++− +−− ∞→∞→∞→ xxxx xx xx xx xx xxx 3) ( ) 0 01 33 2 lim = − ++− → ax axax ax ( )0≠a (indeterminado) Fatorando o numerador e o denominador, encontramos: ( ) ( )( ) ( )( ) 2222233 2 3 1111 limlimlim a a aaxx x aaxxax xax ax axax axaxax − = ++ − = ++− −− = − ++− →→→ 2.10 – LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO: O limite da razão x xsen , quando x tende a zero, é igual à unidade, isto é: 1 sen lim0 = → x x x
  87. 87. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG DEMONSTRAÇÃO: Temos dois casos a considerar: 1o Caso: x pertence ao 1o Quadrante       << 2 0 π x . Vamos considerar a circunferência trigonométrica, cuja equação é 122 =+ yx . . Da figura , observamos que: tgxxxBDBCAC <<⇒<< sen Tomando os inversos: x x xxtgxxx sen cos1 sen 111 sen 1 >>⇒<< Multiplicando por xsen ( 0sen >x no 1o Quadrante): x x x cos sen 1 >> ou 1 sen cos << x x x (A) y x O A B C D 122 =+ yx tgxBD xBC xAC = = = sen
  88. 88. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 2o Caso: x pertence ao 4o Quadrante       <<− 0 2 x π . . Da figura, podemos notar que: xxtgxACBCBD sen<<⇒<< Tomando os inversos: xxx x xxtgx sen 11 sen cos sen 111 >>⇒>> Multiplicando por xsen ( 0sen <x no 4o Quadrante): 1 sen cos << x x x (B) Percebemos que, tanto no primeiro quanto no segundo caso, as desigualdades são as mesmas, isto é A = B. Tomando, agora, o limite para x tendendo a zero, teremos: 1coslim0 = → x x e 11lim0 = →x Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos afirmar que 1 sen lim0 = → x x x . EXEMPLOS: 1) 0 0 senlim0 = → x x x (indeterminado) y x O A B C D 122 =+ yx tgxBD xBC xAC = = = sen
  89. 89. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Podemos escrever: 1 1 1 sen 1 sen 1 sen lim limlim 0 00 ==== → →→ x x x xx x x xx 2) 0 0arcsen lim0 = → x x x (indeterminado) Chamando: txxt senarcsen =⇒= Se 00 →⇒→ tx Então: 1 sen arcsen limlim 00 == →→ t t x x tx Observação: Os limites resolvidos acima também podem ser considerados como fundamentais. 3) 0 0 2 cos lim2 = −→ x x x π (indeterminado) Se 2 2 ππ →⇒→ x z Da Trigonometria, sabemos que       −= xx 2 sencos π . Portanto, podemos escrever: 2 2 2 sen 2 1 2 1 sen 2 2 sen 2 cos limlimlimlim 2222 −       − = −       − = −       − = − →→→→ x x x x x x x x x xxxx ππ πππ Multiplicando o numerador e o denominador por x2 π , teremos:
  90. 90. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ( )       −       − = −       − = − →→→→ x x x x x x x x x x x x xxxx 2 2 . 2 2 .sen . 2 2. 2 2 2 sen. 2 2 cos limlimlimlim 2222 π π π π π ππ Fazendo t x x =      − 2 2 .π , podemos observar que, se 2→x , então 0→t . Assim, podemos escrever: 4 1. 4 sen . 22 cos limlimlim 022 πππ π === − →→→ t t xx x txx 4) 0 0 2 3 lim0 =      → x tg x x (indeterminado)             =             =             =       → → →→→ 2 sen 2 cos.3 2 sen 2 cos.3 3 cos 2 sen 3 2 3 lim lim limlimlim 0 0 000 x x x x x x x x x x tg x x x xxx Dividindo o numerador e o denominador por x3 , temos: 6 1. 6 1 1 2 2 sen .. 6 1 2 cos 6 3 2 sen. 6 1 2 cos 3 2 sen 2 cos 2 3 lim lim lim lim lim lim lim 0 0 0 0 0 0 0 ==             =             =             =       → → → → → → → x x x x x x x x x x tg x x x x x x x x
  91. 91. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 17 2.11 – LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL: O limite da seqüência x x       + 1 1 , quando ∞→x , é igual ao número irracional e, chamado de Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718. DEMONSTRAÇÃO: Queremos provar que e x x x =      + ∞→ 1 1lim . Para isto, vamos inicialmente desenvolver a expressão ( )n ba + aplicando o conceito de Binômio de Newton. ( ) 011133322211100 ... ababababababba nn n nn n n n n n n n n n n CCCCCC +++++=+ −−−−− Temos: ( ) !0 1 !!0 ! !0!0 !0 == − = n n n n Cn ( ) ( ) ( ) !1!1!1 !1 !1!1 !1 n n nn n n Cn = − − = − = ( ) ( )( ) ( ) ( ) !2!2 1 !2!2 !21 !2!2 ! 2 2 nnnn n nnn n n Cn − = − = − −− = − = ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) !3 23 !3 21 !3!3 !321 !3!3 ! 23 3 nnnnnn n nnnn n n Cn +− = −− = − −−− = − = • • • Fazendo 1=a , x b 1 = e xn = , teremos: •••+     +− +     − +      +      =      + −−− 3 323 2 22 1 10 1. 1 . !3 23 1. 1 . !2 1. 1 . !1 1. 1 . !0 11 1 xxxx x x xxx x xx x x xx •••+      +−+      −++=      + 2 23 1 !3 11 1 !2 1 !1 1 !0 11 1 xxxx x
  92. 92. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Tomando o limite para ∞→x , resulta: •••++++++=      + ∞→ !5 1 !4 1 !3 1 !2 1 !1 1 !0 11 1lim x x x Pode-se observar que o resultado do limite é uma soma de infinitos termos, que decrescem cada vez mais rapidamente. Esta soma particular recebe o nome de Número Neperiano e é indicada pela letra e. Assim: APLICAÇÕES: 1) Prove que ( ) ex x x =+ → 1 0 1lim Fazendo x t t x 11 =⇒= Se ∞→⇒→ tx 0 Então: ( ) e t x t t x x =      +=+ ∞→→ 1 11 limlim 1 0 2) Prove que ( )ℜ∈=      + ∞→ ke x k k x x 1lim Fazendo t k xt x k =⇒= Se 0→⇒∞→ tx Então: ( ) ( ) k k t t t k t x x ett x k =      +=+=      + →→∞→ 1 00 111 limlimlim 3) Prove que ( )ℜ∈=      + + ∞→ ke x kx x 1 1lim e x x x =      + ∞→ 1 1lim
  93. 93. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG eee xxx k k x x x kx x ===      +      +=      + ∞→∞→ + ∞→ 1.1. 1 1. 1 1 1 1 limlimlim OBSERVAÇÃO: Os limites resolvidos acima podem ser considerados também como fundamentais. 4) Calcular ( )10 1 lim0 ≠> − → aea x ax x Podemos verificar que o limite acima possui indeterminação da forma 0 0 . Vamos, então, fazer a substituição: tata xx +=⇒=− 11 Tomando logaritmos na base a em ambos os termos dessa igualdade, teremos: ( ) ( ) logloglog 11 t a t a a a x x ++ =⇒= Se 00 →⇒→ tx Tomando os limites: ( ) log limlim 1 00 1 t a t x x t x a + →→ = − Dividindo o numerador e o denominador por t, resulta: ( ) ( ) ( ) logloglimloglim lim log limlim 11 . 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 00 e a t a t t a t t t a t x x t t t t t x a ==== − + → + → → + →→ Mas: log log log log 1 a ee a a a e a == (Propriedade de Mudança de Bases) O logaritmo de base e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano e é indicado pela notação: a a e lnlog = . Portanto: a x ax x ln 1 lim0 = − →
  94. 94. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG OBSERVAÇÃO: O limite acima deve ser considerado como fundamental a partir dessa demonstração. 5) Calcule x x x x       + − ∞→ 1 1 lim Podemos observar que este limite possui a indeterminação da forma ∞ ∞ . Como ele é um limite que envolve Função Exponencial, vamos tentar escreve-lo na forma do Limite Exponencial Fundamental. Podemos fazer: x x x x x x x x xxx x x x x x       + −=      + − + + =      + −+− =      + − ∞→∞→∞→∞→ 1 2 1 1 2 1 1 1 111 1 1 limlimlimlim Tomando: 1 2 1 2 −−=⇒= + − t xt x Se 0→⇒∞→ tx Com estas substituições, teremos: ( ) ( ) ( ) 221 0 2 1 0 1 2 0 1.1.11 1 1 limlimlimlim −−− → − → −− →∞→ ==+      +=+=      + − eettt x x t t t t t x x 2.12 – LIMITE FUNDAMENTAL POLINOMIAL: Vamos considerar a função polinomial: ( ) m mmm AxAxAxAxP ++++= −− ...2 2 1 10 onde ℜ∈mAAAA ,...,,, 210 e Ν∈m . Podemos considerar dois casos: 1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax Neste caso:
  95. 95. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ( ) )...( 2 2 1 10limlim m mmm axax AxAxAxAxP ++++= −− →→ ( ) ( )aPAaAaAaAxP m mmm ax =++++= −− → ...2 2 1 10lim Assim: Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ( )ℜ∈→ aax , é igual ao valor numérico desse polinômio para ax = . EXEMPLO: ( ) 1028422.4224 22 2 lim =−+=−+=−+ → xx x 2o Caso: A variável ±∞→x Neste caso: ( ) )...( 2 2 1 10limlim m mmm xx AxAxAxAxP ++++= −− ±∞→±∞→ A probabilidade desse limite possuir uma indeterminação da forma ∞−∞ é muito grande. Vamos, então, usar o artifício de colocar em evidência o termo de maior grau do polinômio. ( )         ++++= ±∞→±∞→ m mm xx xA A xA A xA A xAxP 0 2 0 2 0 1 0 ...1limlim Porém, quando ±∞→x , podemos verificar que: 0;...;0;0 0 2 0 2 0 1 →→→ m m xA A xA A xA A Portanto, podemos concluir que: Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ±∞→x , é igual ao limite quando ±∞→x do seu termo de maior grau. ( ) ( )aPxP ax = → lim ( ) m xx xAxP 0limlim ±∞→±∞→ =
  96. 96. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLOS: 1) ( ) ∞==−+− ∞→∞→ 323 2432 limlim xxxx xx 2) ( ) ( ) −∞=−=−− ∞→∞→ 442 3324 limlim xxx xx 3) ( ) −∞==+− −∞→−∞→ 545 2532 limlim xxxx xx 4) ( ) ( ) ∞=−=−− −∞→−∞→ 55 3324 limlim xxx xx 2.13 – LIMITE FUNDAMENTAL RACIONAL: Vamos considerar a função racional: ( ) ( ) n nnn m mmm BxBxBxB AxAxAxA xQ xP ... ... 2 2 1 10 2 2 1 10 +++ ++++ = −− −− onde: Ν∈Ν∈ℜ∈ℜ∈ nemBBBBAAAA nm ;,...,,,;,...,,, 210210 Podemos considerar dois casos: 1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax ( ) ( ) n nnn m mmm axax BxBxBxB AxAxAxA xQ xP ... ... 2 2 1 10 2 2 1 10 limlim +++ ++++ = −− −− →→ Neste caso: ( ) ( ) ( ) ( )aQ aP BaBaBaB AaAaAaA xQ xP n nnn m mmm ax = +++ ++++ = −− −− → ... ... 2 2 1 10 2 2 1 10 lim Ou seja: ( ) ( ) ( ) ( )aQ aP xQ xP ax = → lim
  97. 97. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Podemos fazer três observações a respeito deste resultado: 1a ) Se ( ) 0=aP e ( ) 0≠aQ , então ( ) ( ) 0lim = → xQ xP ax ; 2a ) Se ( ) 0=aP e ( ) 0=aQ , então ( ) ( ) 0 0 lim = → xQ xP ax (indeterminado) Neste caso, o limite é resolvido com o uso da fatoração, pois tanto ( )xP quanto ( )xQ são divisíveis por ( )ax − . 3a ) Se ( ) 0≠aP e ( ) 0=aQ , teremos ( ) ( ) ( ) 0lim aP xQ xP ax = → . Neste caso, devemos aplicar Limites Laterais para verificar a existência ou não do limite. 2o Caso: A variável ±∞→x ( ) ( ) n nnn m mmm xx BxBxBxB AxAxAxA xQ xP ... ... 2 2 1 10 2 2 1 10 limlim +++ ++++ = −− −− ±∞→±∞→ Neste caso, é muito grande a possibilidade de se obter indeterminações das formas ∞−∞ ∞ ∞ ou . Repetindo o procedimento adotado para limites de funções polinomiais, vamos colocar em evidência os termos de maior grau do numerador e do denominador. Assim: ( ) ( )         ++++       ++++ = ±∞→±∞→ n nn m mm xx xB B xB B xB B xB xA A xA A xA A xA xQ xP 0 2 0 2 0 1 0 0 2 0 2 0 1 0 ...1 ...1 limlim Para ±∞→x , teremos: 0;...;0;0;0;...;0;0 0 2 0 2 0 1 0 2 0 2 0 1 →→→→→→ n n m m xB B xB B xB B xA A xA A xA A Portanto: ( ) ( ) n m xx xB xA xQ xP 0 0 limlim ±∞→±∞→ =
  98. 98. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Isto é, o limite de uma função racional no infinito é igual ao limite no infinito do quociente dos termos de maior grau do numerador e do denominador dessa função. OBSERVAÇÃO: Podemos tirar três conclusões a respeito deste resultado: 1a ) Se nm = , então ( ) ( ) 0 0 lim B A xQ xP x = ±∞→ ; 2a ) Se nm > , então ( ) ( ) ±∞= ±∞→ xQ xP x lim ; 3a ) Se nm < , então ( ) ( ) 0lim = ±∞→ xQ xP x EXEMPLOS: 1) 9 7 144 568 12.22 52.32.2 12 532 2 2 2 2 2 lim = ++ +− = ++ +− = ++ +− → xx xx x 2) 0 5 0 32 12 1 lim == + − → x x x 3) 0 0 1 13 1 lim = − − → x x x (indeterminado) Usando a fatoração: ( )( ) ( ) 31111 1 11 1 1 2 1 2 1 3 1 limlimlim =++=++= − ++− = − − →→→ xx x xxx x x xxx 4) 0 1 3 25 lim3 − = − − → x x x Neste caso, temos que aplicar Limites Laterais para verificar a existência do limite. a) Limite Lateral à Direita: ( ) −∞= −− = −+ +− = − − →→→ + h h h h x x hhx 21 33 3.25 3 25 limlimlim 003
  99. 99. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG b) Limite Lateral à Esquerda: ( ) ∞= − +− = −− −− = − − →→→ − h h h h x x hhx 21 33 3.25 3 25 limlimlim 003 Como os limites laterais no ponto 3=x são diferentes, entendemos que não existe o limite. 5) ∞=== +− ++ ∞→∞→∞→ 2 3 5 3 45 3 2 6 12 226 limlimlim x x x xx xx xxx 6) 0 5 2 5 2 15 132 limlimlim 3 2 3 2 === − +− −∞→−∞→−∞→ xx x x xx xxx 7) 3 7 3 7 3 7 352 27 limlimlim 9 9 942 59 −= − = − = −− + ∞→∞→∞→ xxx x x xxx xx 8) −∞=== + + −∞→−∞→−∞→ 2 3 2 3 52 23 3 6 9 6 9 limlimlim x x x x x xxx 9) ( ) ( ) ∞=== + − = + − ∞→∞→∞→∞→ 10 45 10 6 105 10 23 52 5 3 2 4 .3 4 .3 12 53 12 53 limlimlimlim x x x x x x x xxxx
  100. 100. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 18 CAP. 3 - DERIVADAS 3.1 – INTRODUÇÃO: O estudo de Derivadas, de maneira geral, trata do problema de se determinar a taxa de variação de uma grandeza quando outra grandeza, da qual ela depende, sofrer alterações. A motivação para a descoberta desse conceito veio de problemas físicos simples, como problemas de cinemática onde se quer, por exemplo, conhecer a velocidade de um objeto em movimento num determinado instante. Para se chegar ao conceito de Derivada, é necessário primeiramente que façamos algumas definições, como faremos a seguir. 3.2 – ACRÉSCIMOS: 3.2.1 – ACRÉSCIMO DE UMA VARIÁVEL: Chama-se Acréscimo de uma variável x , e representa-se por x∆ , à diferença entre dois valores particulares 1x e 2x dessa variável. 3.2.2 – ACRÉSCIMO DE UMA FUNÇÃO: Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio é um subconjunto de ℜ . Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um acréscimo para a função ( )xfy = , que indicaremos por y∆ . x 1x 2x x∆ 12 xxx −=∆
  101. 101. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Graficamente: Temos: ⇒∆=− xxx 12 acréscimo da variável ( ) ( ) ⇒∆=− yxfxf 12 acréscimo da função Como: xxx ∆+= 12 , podemos escrever: ( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆ ou, genericamente: Esta é a forma generalizada de se escrever o Acréscimo de uma função definida pela lei ( )xfy = para um Acréscimo x∆ na sua variável x . EXEMPLOS: 01) Achar o Acréscimo da função definida por ( )ℜ∈+= babaxy , Temos: ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ No nosso caso: ( ) ( )baxbxxay +−+∆+=∆ baxbxaaxy −−+∆+=∆ xay ∆=∆ (o acréscimo da função é diretamente proporcional ao acréscimo da variável) 02) Encontrar o Acréscimo da função dada por 2 xy = . ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ ( ) 22 xxxy −∆+=∆ y x 0 ( )22 xfy = ( )11 xfy = y∆ 1x 2x x∆ ( )xfy = ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆
  102. 102. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 222 2 xxxxxy −∆+∆+=∆ ( )xxxy ∆+∆=∆ 2 (O acréscimo da função não é proporcional ao acréscimo da variável). 3.3 – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO: Chama-se de Taxa Média de Variação (ou Razão Incremental) de uma função ( )xfy = ao quociente de y∆ por x∆ . A Taxa Média indica a “velocidade média de variação” de uma função num determinado intervalo do seu Domínio. EXEMPLOS: 01) Achar a Taxa Média de Variação da função definida por 85 += xy Temos: ( ) ( ) x xfxxf x y ∆ −∆+ = ∆ ∆ No nosso caso: ( ) ( ) x xxx x y ∆ +−+∆+ = ∆ ∆ 8585 x xxx x y ∆ −−+∆+ = ∆ ∆ 85855 5 5 = ∆ ∆ = ∆ ∆ x x x y Conclusão: a velocidade de variação da função é constante em qualquer ponto. 02) Encontre a Taxa Média de Variação da função xxy 32 += no ponto 2=x . Temos: ( ) ( ) x xfxxf x y ∆ −∆+ = ∆ ∆ No nosso caso: ( ) ( ) ( ) x xxxxxx x y ∆ +−∆++∆+ = ∆ ∆ 33 22 ( ) ( ) x xfxxf x y MT ∆ −∆+ = ∆ ∆ =..
  103. 103. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG x xxxxxxxx x y ∆ −−∆++∆+∆+ = ∆ ∆ 3332 222 ( ) 32 32 +∆+= ∆ ∆ ⇒ ∆ +∆+∆ = ∆ ∆ xx x y x xxx x y No ponto 2=x , teremos: x x y ∆+= ∆ ∆ 7 3.4 – TAXA INSTANTÂNEA: Consideremos, por exemplo, a função definida por 12 += xy . Vamos determinar as Taxas Médias de Variação desta função nos seguintes intervalos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xe ∆+1;105,1;1;1,1;1;2,1;1;5,1;1;2;1 a) Intervalo [ ]2;1 : ( ) ( ) 3 1 25 12 12 = − = − − = ∆ ∆ ff x y b) Intervalo [ ]5,1;1 : ( ) ( ) 5,2 5,0 225,3 15,1 15,1 = − = − − = ∆ ∆ ff x y c) Intervalo [ ]2,1;1 : ( ) ( ) 2,2 2,0 244,2 12,1 12,1 = − = − − = ∆ ∆ ff x y d) Intervalo [ ]1,1;1 : ( ) ( ) 1,2 1,0 221,2 11,1 11,1 = − = − − = ∆ ∆ ff x y e) Intervalo [ ]05,1;1 : ( ) ( ) 05,2 05,0 21025,2 105,1 105,1 = − = − − = ∆ ∆ ff x y f) Intervalo [ ]x∆+1;1 : ( ) ( ) x x xx x fxf x y ∆+= ∆ ∆+∆ = −∆+ −∆+ = ∆ ∆ 2 2 11 11 2
  104. 104. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Os resultados obtidos acima parecem nos dizer que a Taxa Média tende a 2 , à medida em que o acréscimo x∆ tende a zero. Portanto, o Limite da Taxa Média de Variação desta função, quando o acréscimo x∆ tende a zero é igual a 2 . Este resultado é chamado de Taxa Instantânea de Variação. Então, definimos: “Taxa Instantânea de uma função ( )xfy = é o limite da Taxa Média de Variação x y ∆ ∆ desta função quando x∆ tende a zero.” 3.5 – DERIVADA OU FUNÇÃO DERIVADA: Vamos considerar uma função definida no campo dos Reais pela lei ( )xfy = .Chama-se de Derivada ou Função Derivada de ( )xfy = ao limite do quociente de y∆ por x∆ , quando x∆ tende a zero. A Derivada da função ( )xfy = pode ser indicada por um dos símbolos abaixo: ( ) ( ) ( )[ ] . . ;;;;; xf dx d xfyxfy dx dy ′′ Neste curso, nos limitaremos a utilizar apenas uma das três primeiras notações apresentadas acima. A Derivada nada mais é do que a Taxa Instantânea genérica, ou seja: EXEMPLOS: Usando a definição, encontre as derivadas das seguintes funções: 01) 2 2xy = x y IT x ∆ ∆ = →∆ lim0 .. ( ) ( ) x xfxxf x y dx dy xx ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ limlim 00
  105. 105. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Por definição: ( ) ( ) x xfxxf dx dy x ∆ −∆+ = →∆ lim0 No nosso caso: ( ) x xxx dx dy x ∆ −∆+ = →∆ 22 0 22 lim x xxxxx dx dy x ∆ −∆+∆+ = →∆ 222 0 2242 lim ( ) ( ) x dx dy xx x xxx dx dy xx 424 24. limlim 00 =⇒∆+= ∆ ∆+∆ = →∆→∆ Portanto, a Derivada da função ( ) 2 2xxf = é a função ( ) xxf 4=′ . 02) 3 xy = Por definição: ( ) ( ) x xfxxf dx dy x ∆ −∆+ = →∆ lim0 No nosso caso: ( ) x xxx dx dy x ∆ −∆+ = →∆ 33 0 lim x xxxxxxx dx dy x ∆ −∆+∆+∆+ = →∆ 33223 0 33 lim ( ) ( ) 222 0 22 0 333 33. limlim x dx dy xxxx x xxxxx dx dy xx =⇒∆+∆+= ∆ ∆+∆+∆ = →∆→∆ 03) ( ) xxf = Por definição: ( ) ( ) ( ) x xfxxf xf x ∆ −∆+ =′ →∆ lim0 No nosso exemplo: ( ) x xxx xf x ∆ −∆+ =′ →∆ lim0 Observamos que o limite acima possui uma indeterminação da forma 0 0 . Portanto, vamos fazer uso do conjugado, isto é, vamos tomar: ( ) ( ) ( )xxxx x xxxx xxx xxx xxx x xxx xf xxx +∆+∆ ∆ = +∆+∆ −∆+ = +∆+ +∆+ ∆ −∆+ =′ →∆→∆→∆ limlimlim 000 . ( ) ( ) x xf xxx xf x 2 11 lim0 =′⇒ +∆+ =′ →∆
  106. 106. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 04) ( ) x xf 1 = Por definição: ( ) ( ) ( ) x xfxxf xf x ∆ −∆+ =′ →∆ lim0 No nosso exemplo: ( ) x xxxxf x ∆ − ∆+=′ →∆ 11 lim0 ( ) ( ) ( )xxxx x x xxx xxx xf xx ∆+∆ ∆− = ∆ ∆+ ∆−− =′ →→∆ ..limlim 00 ( ) ( ) ( ) 2 0 11 lim x xf xxx xf x −=′⇒ ∆+ − =′ →∆
  107. 107. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG CÁLCULO 1 – AULA 19 3.6 – DERIVADA NUM PONTO: Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 0x um ponto desse Domínio. A derivada desta função no ponto 0x , que indicaremos pelas notações ( )0xf ′ ou ( )0xy′ , é definida por: OBSERVAÇÕES: O1: Como conseqüência da definição, podemos verificar que a função ( )xfy = só será derivável no ponto 0x se: a) existir ( )0xf , isto é, a função possui valor numérico no ponto 0x ; b) a função seja definida nas vizinhanças do ponto 0x (para justificar a aplicação do limite neste ponto); c) exista e seja finito o ( ) ( ) 0 0 lim0 xx xfxf xx − − → . O2: Se ( ) ( ) 0 0 lim0 xx xfxf xx − − → existir somente para valores inferiores ou superiores a 0x , ou se este limite possui resultados diferentes à esquerda e à direita de 0x , dizemos que se trata de Derivadas Laterais e indicamos por: ( ) ( ) ( ) ⇒ − − =′ − → − 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx Derivada Lateral à Esquerda de 0x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim0 xx xfxf xf xx − − =′ →
  108. 108. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ( ) ( ) ( ) ⇒ − − =′ + → + 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx Derivada Lateral à Direita de 0x O3: Se ( ) ( )00 xfxf +− ′=′ então dizemos que a derivada da função ( )xfy = existe no ponto 0x e é igual a ( )0xf ′ . O4: A derivada de uma função num ponto (quando existe) nada mais é do que o valor numérico da função derivada naquele ponto EXEMPLOS: Usando a definição, achar as derivadas das funções definidas a seguir nos pontos dados: 01) ( ) 2 3xxf = no ponto 5=x . 1a Solução: Aplicando a definição de Derivada, temos: ( ) ( ) ( ) x xfxxf xf x ∆ −∆+ =′ →∆ lim0 ( ) ( ) x xxxxx x xxx xf xx ∆ −∆+∆+ = ∆ −∆+ =′ →∆→∆ 222 0 22 0 336333 limlim ( ) ( ) ( ) ( ) xxfxx x xxx xf xx 636 36. limlim 00 =′⇒∆+= ∆ ∆+∆ =′ →∆→∆ No ponto 5=x , teremos: ( ) ( ) 3055.65 =′⇒=′ ff . 2a Solução: Aplicando a definição de Derivada no Ponto: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim0 xx xfxf xf xx − − =′ →
  109. 109. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG ( ) ( ) ( ) 5 753 5 5 5 2 55 limlim − − = − − =′ →→ x x x fxf f xx ( ) ( ) ( )( ) 5 5.5.3 5 25.3 5 limlim 5 2 5 − −+ = − − =′ →→ x xx x x f xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30555.355.35 lim5 =′⇒+=′⇒+=′ → ffxf x 02) ( ) 1+= xxf no ponto 15=x . ( ) ( ) ( ) 15 41 15 15 15 limlim 1515 − −+ = − − =′ →→ x x x fxf f xx Aplicando o conjugado do numerador, obtemos: ( ) ( )( )41.15 15 41 41 . 15 41 15 limlim 1515 ++− − = ++ ++ − −+ =′ →→ xx x x x x x f xx ( ) ( ) 8 1 15 41 1 15 lim15 =′⇒ ++ =′ → f x f x 03) ( ) tgxxf = no ponto 4 π =x . ( ) 4 4 4 4 4 limlim 44 π π π π π ππ −       − = −       − =      ′ →→ x tgtgx x fxf f xx             −       −      = −             − =      ′ →→ 4 cos.cos. 4 cos. 4 sen 4 cos.sen 4 4 cos 4 sen cos sen 4 limlim 44 ππ ππ π π π π ππ xx xx x x x f xx Da Trigonometria, sabemos que: ( )BAABBA −=− sencos.sencos.sen . Portanto, pode-se dizer que:       −=      −      4 sencos. 4 sen 4 cos.sen πππ xxx .
  110. 110. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Assim, podemos escrever:      −       − =     ′ →→ 4 cos.cos 1 . 4 4 sen 4 limlim 44 ππ π π ππ xx x f xx Como o primeiro limite é Fundamental e vale 1, então: 2 4 2 2 1 4 cos 1 4 cos.cos 1 4 2 2 4 lim =      ′⇒         =       =       =      ′ → π ππ π π f x f x 04) ( ) 1−= xxf no ponto 1=x . ( ) ( ) ( ) 1 1 1 111 1 1 1 limlimlim 111 − − = − −−− = − − =′ →→→ x x x x x fxf f xxx Porém, de acordo com a definição de Módulo ou Valor Absoluto, podemos escrever: ( )    <−−−=− ≥−−=− 01,11 01,11 xsexx xsexx ⇒ ( )    <−−=− ≥−=− 1,11 1,11 xsexx xsexx Como queremos obter a derivada no ponto 1=x , entendemos que devemos calcular as derivadas laterais neste ponto, isto é: ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 1 limlimlim 111 −=−= − −− = − − =′ →→→ − − xxx x x x x f ( ) 11 1 1 1 1 1 limlimlim 111 == − − = − − =′ →→→ + + xxx x x x x f Como ( ) ( )11 +− ′≠′ ff , entendemos que a função dada não possui derivada no ponto 1=x . SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS: Para que você se auto-avalie com relação ao assunto estudado nesta aula, sugerimos que você tente resolver os exercícios abaixo:
  111. 111. MAT – 001 – CÁLCULO 1 Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 01) Mostre que a derivada da função ( ) 1 3 − = x xf no ponto 4=x é igual a 3 1 − . 02) Mostre que a derivada da função ( ) x exf = no ponto 3=x é igual a 3 e . 03) Mostre que a função ( ) xxxf 42 −= não possui derivada no ponto 4=x . 3.7 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NO PONTO: Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 0x um ponto desse Domínio. Vamos admitir que o gráfico dessa função possua uma reta tangente pelo ponto 0x e que essa tangente não seja perpendicular ao eixo x e vamos considerar também uma reta secante curva pelos pontos 0x e x , conforme se pode ver na figura abaixo: Da figura, temos: α = inclinação da reta tangente (ângulo que a reta tangente forma com o sentido positivo do eixo x ); β = inclinação da reta secante (ângulo que a reta secante forma com o sentido positivo do eixo x ); 0xxx −=∆ (Acréscimo da variável); ( ) ( )0xfxfy −=∆ (Acréscimo da função) y x 0 ( )xf ( )0xf α β β y∆ x∆ 0x x ( )xfy = Reta secante Reta tangente

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