Resistência dos Materiais II - Unidade 02

Unidade 02 – Flexão Composta
Resistência dos Materiais II
Elson Toledo
Flávia Bastos
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 26

Flexão Composta
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na ﬂexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na ﬂexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos

Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta
Encontramos diversas situações em Engenharia onde as peças estão solicitadas
simultamente pela ação de momentos ﬂetores e esforços normais
A esse tipo de solicitação denominamos ﬂexão composta
Ocorrências usuais:
Pilares de canto
Ganchos
Sapatas com cargas excêntricas
Vigas protendidas

Flexão Composta

Flexão Composta
Fundações submetidas a cargas excêntricas

Flexão Composta
Vigas protendidas

Flexão Composta
Projeto de componentes mecânicos1
1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson, Springer-
Verlag, 2009; pg 349-351

Flexão Composta

Flexão Composta Distribuição de tensões normais na ﬂexão composta
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação
Carga aplicada fora do centroide
Provoca momentos ﬂetores decorrentes de sua excentricidade
α
y
z
P
α
y
z
zc
yc
Mz = Pyc
My = Pzc

Flexão Composta
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação
Carga aplicada fora do centroide
Provoca momentos ﬂetores decorrentes de sua excentricidade
P
y
z
C(zc, yc) zc
yc
y
z
zc
yc
α
ES
s
s
M
Mz
MyM

Flexão Composta
Considere y e z eixos principais de inércia
Redução da força P em C(zc, yc) ao centroide
da seção resulta em uma força e um momento
N = P
My = −Nzc
Mz = Nyc
P é aplicada na direção do eixo da peça
P é positivo se provoca tração na seção
As tensões atuantes são determinadas por su-
perposição de efeitos
σx = σN
x + σ
My
x + σMz
x
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM

Flexão Composta
As tensões atuantes são determinadas por su-
perposição de efeitos
σx = σN
x + σ
My
x + σMz
x
onde
σN
x = N
A
σ
My
x = −
My
Iy
z
σMz
x = Mz
Iz
y
o que resulta em
σx =
N
A
−
My
Iy
z +
Mz
Iz
y
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM

Flexão Composta
Considerando que
N = P
My = −Nzc
Mz = Nyc
e substituindo em
σx =
N
A
−
My
Iy
z +
Mz
Iz
y
temos que
σx =
N
A
+
Nzc
Iy
z +
Nyc
Iz
y
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM

Flexão Composta
Com os eixos principais de inércia
σx = N
A + Mz
Iz
y −
My
Iy
z
= N
A + Nyc
Iz
y + −Nzc
Iy
z
Deﬁnindo o raio de giração tal que Ii = ρ2
i A, podemos reescrever
σx =
N
A

1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z


Essa é a equação de um plano que não passa pela origem (centroide da seção)

Flexão Composta
z
y
C
x
yc
zc
My = Pzc
Mz = Pyc
P σx =
N
A

1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z



Flexão Composta
Com o eixo na linha neutra, onde LNC
é a posição da LN na ﬂexão composta
σx =
N
A
+
Mn
In
u
s
s
M
ES
LNO
f
f
P
LNC
σN
x = N
A
σMn
x = Mn
In
u σx = N
A + Mn
In
u

Flexão Composta
E se os sistema de eixos não coincidir com os eixos principais de inércia,
σx =
N
A
+


MzIy + MyIyz
IzIy + I2
yz

 y −


MyIz − MzIyz
IzIy − I2
yz

 z
ou
σx =
N
A
+
(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z
IzIy − I2
yz

Flexão Composta Determinação da linha neutra
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta
Por deﬁnição, a linha neutra (LN) é o
lugar geométrico onde σx = 0
Usando os eixos principais de inércia,
e fazendo
σx =
N
A

1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z

 = 0
temos
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
Esta é uma equação de uma reta que
não passa pela origem
z
y
C
x
yc
zc
My = Pzc
Mz = Pyc
P

Flexão Composta
Para determinar as ordenadas y0 e z0,
podemos usar a equação
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
e escrever a forma segmentária
y
y0
+
z
z0
= 1
Após algum algebrismo,
z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −
ρ2
z
yc
y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −
ρ2
y
zc
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0

Flexão Composta Paralelismo das LN’s na ﬂexão oblíqua e composta
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta
Podemos determinar o paralelismo da
LN na flexão composta com a LN da
flexão oblíqua
Seja β1 a inclinação com relação ao
eixo z da LN na flexão pura
Seja β a inclinação da LN na flexão
composta
Vamos mostrar que β = β1
Na flexão oblíqua temos que
tan α tan β1 = −
Iz
Iy
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc

Flexão Composta
Na ﬂexão composta observamos que
tan α =
yc
zc
e que a equação da LN é
1 +
zcz
ρ2
y
+
ycy
ρ2
z
= 0
o que permite escever
y =
−ρ2
z
yc

1 +
zcz
ρ2
y

 = a + bz
onde b é a inclinação da LN com
relação ao eixo z
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc

Flexão Composta
O valor de b pode ser calculado como
b = tan β =
dy
dx
=
−ρ2
z zc
ρ2
yyc
Substituindo ρ2
z A = Iz, ρ2
y A = Iy e
tan α = yc
zc
tan β = −
Iz
Iy
yc
zc
= −
Iz
Iy
1
tan α
Resultando em
tan α tan β = −
Iz
Iy
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc

Flexão Composta
Comparando os dois resultados
tan α tan β1 = −
Iz
Iy
, tan α tan β = −
Iz
Iy
Tem-se imediatamente que
tan β1 = tan β ⇒ β = β1
Conclusão:
Estando a secão sujeita aos mes-
mos momentos ﬂetores, as LN’s na
ﬂexão oblíqua e composta têm a
mesma inclinação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc

Flexão Composta Núcleo central de inércia
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta
Quando se varia o centro de aplicação da carga, a posição da linha neutra varia
O diagrama de tensões pode ser:
Bi-triangular: tensões de tração e compressão no campo da seção
Trapezoidal: tensão de um único sinal em toda a tensão (a LN não corta a seção);
Triangular: a tensão nula se reduz a um único ponto
2
2Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006,
XVI, 529 p.

Flexão Composta
Deﬁnição: O núcleo central de inércia é o lu-
gar geométrico da seção transver-
sal, tal que, se nele for aplicada
uma carga de compressão P, toda a
seção está comprimida. Alternativa-
mente,
região da seção transversal
onde aplicada uma força nor-
mal, sua linha neutra não corta
a seção
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3

Flexão Composta
Conseqüência: a seção só terá tensões de um
mesmo sinal (compressão ou tra-
ção) de acordo com o sinal da força
Importância: materiais com baixa resistência a
tração. Exemplos: murros de ar-
rimo, chaminés e pilares
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3

Flexão Composta
Processo espontâneo de determinação do N.C.a
partir de um número ﬁnito de tangentes à seção
da peça: Considerando-as cada uma como uma
linha neutra, podemos determinar os centros de
solicitação das cargas correspondentes, que seria o
contorno deste núcleo.
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3

Flexão Composta
Vamos considerar a seção ao lado,
submetida a flexão composta dada or
uma carga de compressão aplicada
em C, que provoca um momento M
e é a excentricidade da carga
n0n0 é e LN na flexão pura
nn é e LN na flexão pura
θ é o ângulo entre a LN na flexão e o
eixo de solicitação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0

Flexão Composta
A tensão normal se escreve
σx =
N
A
+
Mn
In
u
com
Mn = M sin θ, M = Ne
de onde vem
M = Ne sin θ
A equação da LN (σx = 0) ﬁca
σx =
N
A
+
Ne sin θ
In
u = 0 y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0

Flexão Composta
Considerando que u = s0 sin θ vem
N
A
+
Ne sin2
θs0
ρ2
nA
= 0
o que resulta em
1 +
e sin2
θs0
ρ2
n
= 0
Chegamos ﬁnalmente em
es0 =
−ρ2
n
sin2θ
⇒ es0 = −r2
n
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0

Flexão Composta
A equação
es0 = −r2
n
relaciona a distância (ao centroide)
do ponto de aplicação da carga com
a distância (ao centroide) do ponto
onde a LN corta o ES
A constante rn = −ρ2
n
sin2θ
depende
a inércia da seção e da posição do
centro de solicitação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0

Flexão Composta
Ao lado vemos a variação da LN com
a posição do centro de solicitação
O sinal negativo em es0 = −r2
n deve
ser interpretado entendo-se que o
centro de solicitação e o ponto de
passagem da LN estão sempre em
lados opostos do ES dividido pelo
baricentro (antipolaridade)
Temos que
e1s1 = −r2
n
e2s2 = −r2
n
...
ek sk = −r2
n
y
z
n
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3

Flexão Composta
Para obterms o NCI de uma seção
qualquer, considere
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
Dado C(yc, zc)m podemos obter a LN
a partir dos pontos onde esta corta os
eixos coordenados
z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −
ρ2
z
yc
y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −
ρ2
y
zc
y
z
n
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3

Flexão Composta
O processo pode ser realizado de
forma “inversa”:
1 Arbitra-se uma LN tangente à seção
2 Determina-se y0 e z0
3 Obtêm-se as coordenada de yc e zc
yc = −
ρ2
z
y0
zc = −
ρ2
y
z0
4 Repetem-se as operações anteriores
até que se obtenha um conjunto
satisfatórios de pontos para o NCI
y
z
n
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3

Flexão Composta
Análise de uma seção retangular (ﬂexão reta)
Vamos determinar a posição do centro de soli-
citação (zc, yc) ao longo do eixo y ⇒ zc = 0
O centro de solicitação tem coordenadas
(0, yc)
Para satisfazer a cndição do NCI, a LN deve
passar por uma das arestas do retângulo (d =
±h
2 )
σx(d) ≤ 0 ⇒ σx(±
h
2
) ≤ 0
Dai temos (para o caso ao lado)
σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0 ⇒ 1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0
y
z
(0, yc < 0)
LN
h
b
d

Flexão Composta
Da condição do NCI,
σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0 ⇒ 1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0
o que resulta em
yc ≤ −
2ρ2
z
h
=
2Iz
Ah
= 2
bh3
12
1
bh
1
h
E então temos
yc ≥
−h
6
⇒ yc ≤
h
6
De modo análogo, temos zc ≤ b
6
y
z
(0, yc < 0)
LN
h
b
d

Flexão Composta
Outros exemplos de NCI
3
3Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006,
XVI, 529 p.

Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta
Sejam C(yc, zc) centro de solicitação de um
carregamento e
nn a LN originada pela aplicação de uma
carga em C
Sejam também C (yc, zc) um ponto qualquer
de nn e
n n uma reta passante por C
Temos então a LN associada a C
nn ⇒ 1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)

Flexão Composta
Podemos mostrar que se
C ∈ nn ⇒ C ∈ n n
onde n n é a LN associada a uma carga cm
centro de solicitação C
Temos então
C ∈ nn ⇒ 1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0
Por outro lado, a equação de n n é
1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0 y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)

Flexão Composta
Então, a partir de
1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0
concluímos que
Se C ∈ n n então
z = zc, y = yc
o que prova a propriedade
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)

Flexão Composta
A partir de
1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0
podemos constatar que
quando o C → C as LN associadas a estes
centros de solicitação giram em torno de C
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
C (yc , zc )
n
n
LN”

Flexão Composta
Essa propriedade pode ser usada de forma
inversa:
Dadas duas LN (LN1, LN2) tangentes a uma
seção, que passam por um mesmo ponto,
podemos determinar todos os centros de soli-
citação que passam por uma reta que contem
os centros de solicitação associados (C1, C2)
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
C (yc , zc )
n
n
LN”

Flexão Composta Exemplos
Programa
1 Flexão Composta
Exemplos

Flexão Composta Exemplos
Flexão Composta
Exemplos
Determinar o maior valor que a força de tração T,
aplicada no ponto C da seção ao lado, pode atingir.
Determine também o diagrama de tensões ﬁnal para
a carga calculada.
Dados:
| ¯σc| = | ¯σt| = 150 N/cm2
.
zc = 0.8 cm;
yc = 2.0 cm;
C
20
60
y
z

Resistência dos Materiais II - Unidade 02

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