RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA SEÇÕES
RETANGULARES
Sendo uma seção retangular com arm...
 b e h: dimensões da peça;
 υ: forma adimensional da força normal;
 μ: forma adimensional do momento na direção x;
 ω:...
 μx =
Mxd
b∙h2∙fcd
= υ ∙
ex
h
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 μy =
Myd
b∙h2∙fcd
= υ ∙
ey
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 ω =
As∙fyd
b∙h∙fcd
TAXAS DE ARMADURA:
São definidos dois...
ω =
0,5
100
∙
500 1,15⁄
20 1,4⁄
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500∙1,4
20∙1,15
= 0,15
para a taxa geométrica máxima tem-se:
ω =
4
100
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500 1,15⁄
20 1,...
 ω =
As∙fyd
b∙h∙fcd
⇒ As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
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500/1,15
= 18cm²
ao ser resolvido como se existisse apenas a...
Portanto:
As =
Md
KZ ∙ d ∙ fyd
=
1,4 ∙ 70,29
0,7544 ∙ 0,27 ∙ (
50
1,15
)
= 11,11cm²
Como se observa, quando se considerou ...
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙N
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,4 ⇒ N = 367 kN
a armadura necessária é a correspondente a ω=0,4:
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a força de compressão poderia ser, por exemplo, uma força de protensão. É interessante
observar que, somente nessa região ...
Seção B: d’
= 7,5 cm => d’
/h = 7,5/30 = 0,25 → ábaco A 1-e.
Os valores para entrada nos ábacos
1) Situação a); com seção ...
Situação/seção ábaco N (kN) M (kNm) υ μ ω As(cm²)
a-A A 1-b 918 28 1,0 0,1 0,39 11,53
b-A A 1-b 918 56 1,0 0,2 0,65 19,22
...
Como se trata de seção retangular com d’/h = 3/30 = 0,10, submetida à flexão
composta normal, emprega-se o ábaco A-1b. o v...
Neste caso tem-se d’/h = 4/20 = 0,20 e o momento My. o ábaco a ser empregado é o ábaco 6,
com os seguintes valores de entr...
 ω = 0,69
As =
ω ∙ b ∙ h ∙ fcd
fyd
=
0,69 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4
500/1,15
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Resolução da flexão composta normal e oblíqua por meio de ábacos

  1. 1. RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA SEÇÕES RETANGULARES Sendo uma seção retangular com armadura simétrica, em que y é um eixo de simetria e as armaduras As e As ’ são iguais e estão dispostas simetricamente em relação a este eixo. Aplicando-se na seção os diversos valores possíveis das deformações específicas do concreto (εc) e do aço (εs), pertencentes aos seis domínios de deformação, chega-se aos valores dos esforços resistentes de cálculo Nd e Md. É possível construir gráficos de Nd x Md, ou então de υ x μ (valores reduzidos adimensionais que serão definidos mais adiante), resultando em curvas que têm formas similares às das apresentadas nos ábacos 1 a 6. Para uma determinada quantidade de armadura, a cada par (εc, εs) corresponde um par de valores resistentes (Nd, Md). É importante destacar que, se a quantidade de armadura for alterada (para a mesma seção), a curva Nd x Md também será modificada, porém terá forma semelhante à anterior (se a quantidade de armadura for menor, a nova curva estará contida na anterior e, se for maior, conterá a inicial), conforme também se indica nos ábacos citados. Deve-se apenas ter o cuidado de usar as variáveis em termos adimendionais, como é usual na análise de solicitações normais em seções de concreto armado, empregando-se os esforços reduzidos υ, μ e a taxa mecânica de armadura ω, definidos por:  υ = Nd b∙h∙fcd ;  μ = Md b∙h2∙fcd ;  ω = As∙fyd b∙h∙fcd ; Sendo: x y As ’ = As As b d’ d’ h Seção retangular com armadura simétrica, submetida à flexão composta normal N Mx
  2. 2.  b e h: dimensões da peça;  υ: forma adimensional da força normal;  μ: forma adimensional do momento na direção x;  ω: taxa mecânica de armadura em relação à área da seção RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA OBÍQUA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA SEÇÕES RETANGULARES Nas situações de flexão composta oblíqua, além da força normal Nd, há o momento solicitante de cálculo Md, que pode ser representado por suas duas componentes Mxd (vetor momento na direção do eixo x) e Myd (vetor momento na direção do eixo y), referidas a um sistema de eixos ortogonais (x,y) paralelos aos lados do retângulo. A mesma seção pode também ser apresentada com força normal Nd, ocupando uma posição fora do centro da seção, com as coordenadas ex e ey, e neste caso:  Mxd = Nd ∙ ex;  Myd = Nd ∙ ey Essas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, como é usual na análise de solicitações normais em seções de concreto armado, pelos esforços reduzidos υ, μx, μy e pela taxa mecânica de armadura ω:  υ = Nd b∙h∙fcd ; x y As ’ = As As b d’ d’ h Momentos fletores atuantes em uma seção retangular sob flexão composta oblíqua Nd Myd Mxd
  3. 3.  μx = Mxd b∙h2∙fcd = υ ∙ ex h ;  μy = Myd b∙h2∙fcd = υ ∙ ey b  ω = As∙fyd b∙h∙fcd TAXAS DE ARMADURA: São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura: - a taxa geométrica de armadura; e - a taxa mecânica de armadura A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da armadura e a área da seção do concreto que a envolve. ρ = As Ac A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve. ω = Nsd Ncd = As ∙ fyd Ac ∙ fcd EXEMPLOS DE CÁLCULO EXEMPLO 1 Considerando que as taxas geométricas de armadura mínima e máxima em uma seção transversal sejam respectivamente 0,5% e 4%, calcular os valores correspondentes de ω (taxa mecânica de armadura) para aço CA-50 e concretos com fck variando de 20 MPa até 40 MPa. A taxa mecânica de armadura é obtida por: ω = As∙fyd Ac∙fcd A taxa geométrica, por sua vez, por meio de: ρ = As Ac para a taxa geométrica mínima tem-se:
  4. 4. ω = 0,5 100 ∙ 500 1,15⁄ 20 1,4⁄ = 500∙1,4 20∙1,15 = 0,15 para a taxa geométrica máxima tem-se: ω = 4 100 ∙ 500 1,15⁄ 20 1,4⁄ = 500∙1,4 20∙1,15 = 1,217 com base nas expressões podemos construir uma tabela que fornece todos os resultados obtidos. fck (MPa) ωmín = 0,5% ∙ fyd/fcd ωmáx = 4% ∙ fyd/fcd 20 0,152 1,217 25 0,122 0,974 30 0,101 0,812 35 0,087 0,696 40 0,076 0,609 EXEMPLO 2 Calcular a quantidade de armadura necessária As (considerada simétrica) para uma seção transversal retangular, com d’ = 3 cm, fck = 30 MPa, aço CA – 50 e momento atuante Mx = 70,29 kN.m. ‘ Resolução: Apesar de se tratar de flexão simples (momento fletor sem força normal), mas em razão da armadura ser simétrica, deve ser usado o ábaco A 1-b, por ter: d’ /h=3/30=0,10, com os seguintes valores de entrada:  υ = Nd b∙h∙fcd = 0(não há força normal)  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙70,29 0,20∙0,302∙( 30000 1,4 ) = 0,255 no ábaco obtém-se ω=0,61. Com este valor, determina-se As x As/2 As/220 N Mxd 3 3 30 y
  5. 5.  ω = As∙fyd b∙h∙fcd ⇒ As = ω∙b∙h∙fcd fyd = 0,61∙20∙30∙30/1,4 500/1,15 = 18cm² ao ser resolvido como se existisse apenas armadura tracionada, pode-se usar a tabela de flexão normal simples. 𝐾𝑀𝐷 = 𝑀 𝑑 b∙d2∙fcd = 1,4∙70,29 0,20∙0,272∙( 30000 1,4 ) = 0,315, com esse valor e entrando na tabela encontraremos:  εs = 2,2 > εyd = 2,07; KZ = 0,7544, conforme se vê na tabela abaixo
  6. 6. Portanto: As = Md KZ ∙ d ∙ fyd = 1,4 ∙ 70,29 0,7544 ∙ 0,27 ∙ ( 50 1,15 ) = 11,11cm² Como se observa, quando se considerou somente armadura tracionada, obteve-se solução mais econômica (11,11 cm²) que a do exemplo anterior (18 cm²), em que se empregou armadura dupla simétrica. EXEMPLO 3 Verificar se possível a aplicação de uma força normal de compressão na seção do exemplo anterior, de maneira que a quantidade da armadura, ainda simétrica, seja menor. Observando o ábaco A 1-b, percebe-se qu, usando a ordenada μ=0,255 e passando um segmento de reta vertical, o menor valor de taxa de armadura obtido é ω=0,4 que corresponde à ordenada vertical υ=0,4 e, portanto:
  7. 7.  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙N 0,2∙0,3∙( 30000 1,4 ) = 0,4 ⇒ N = 367 kN a armadura necessária é a correspondente a ω=0,4: portanto: As = ω ∙ b ∙ h ∙ fcd fyd = 0,41 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4 500/1,15 = 11,8cm² Com redução de : r = (1 − 11,8 18 ) ∙ 100 = 34,4%
  8. 8. a força de compressão poderia ser, por exemplo, uma força de protensão. É interessante observar que, somente nessa região do ábaco, a qual corresponde à parte do domínio 2 e ao domínio 3, é que se tem a possibilidade da diminuição da armadura com a introdução da força de compressão. EXERCÍCIO Para a mesma seção transversal, utilizando o mesmo ábaco, calcular a quantidade de armadura simétrica necessária para as situações de esforços dadas na tabela abaixo. Situação N (kN) Mx(kN ∙ m) 1 -276 0 2 0 110 3 367 110 4 643 55 5 367 28 6 1010 55 7 937 0 EXEMPLO 4 Calcular as armaduras para as seções A e B, da figura abaixo, para as seguintes situações, fck = 30 MPa e Aço CA-50: a) N = 918 kN e M = 28 kNm; b) N = 918 kN e M = 56 kNm; Trata-se de resolver a mesma seção submetida a um par de esforços, sendo que, em um caso, se usa cobrimento que resulta d’ =3 cm e, no outro, um cobrimento maior, resultando um valor final d’ = 7,5 cm, e assim se tem: Seção A: d’ = 3,0 cm => d’ /h = 3,0/30 = 0,10 → ábaco A 1-b; x As/2 As/220 N Mxd 3 3 30 yA x As/2 As/2 20 N Mxd 7,5 7,5 30 y B
  9. 9. Seção B: d’ = 7,5 cm => d’ /h = 7,5/30 = 0,25 → ábaco A 1-e. Os valores para entrada nos ábacos 1) Situação a); com seção A – ábaco A 1-b, devido d’ /h = 3,0/30 = 0,1  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙918 0,2∙0,3∙( 30000 1,4 ) = 0,9996 ≅ 1,0  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙28 0,20∙0,302∙( 30000 1,4 ) = 0,101  ω = 0,39  As = ω∙b∙h∙fcd fyd = 0,39∙20∙30∙30/1,4 500/1,15 = 11,53cm² 2) Situação b); com seção A – ábaco A 1-b, devido d’ /h = 3,0/30 = 0,1  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙918 0,2∙0,3∙( 30000 1,4 ) = 0,9996 ≅ 1,0  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙56 0,20∙0,302∙( 30000 1,4 ) = 0,203  ω = 0,65  As = ω∙b∙h∙fcd fyd = 0,65∙20∙30∙30/1,4 500/1,15 = 19,22cm² 3) Situação a); com seção B – ábaco A 1-e, d’ /h = 7,5/30 = 0,25  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙918 0,2∙0,3∙( 30000 1,4 ) = 0,9996 ≅ 1,0  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙28 0,20∙0,302∙( 30000 1,4 ) = 0,101  ω = 0,46  As = ω∙b∙h∙fcd fyd = 0,46∙20∙30∙30/1,4 500/1,15 = 13,60cm² 4) Situação b); com seção B – ábaco A 1-e, d’ /h = 7,5/30 = 0,25  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙918 0,2∙0,3∙( 30000 1,4 ) = 0,9996 ≅ 1,0  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙56 0,20∙0,302∙( 30000 1,4 ) = 0,203  ω = 0,9  As = ω∙b∙h∙fcd fyd = 0,9∙20∙30∙30/1,4 500/1,15 = 26,60cm²
  10. 10. Situação/seção ábaco N (kN) M (kNm) υ μ ω As(cm²) a-A A 1-b 918 28 1,0 0,1 0,39 11,53 b-A A 1-b 918 56 1,0 0,2 0,65 19,22 a-B A 1-e 918 28 1,0 0,1 0,46 13,60 b-B A 1-e 918 56 1,0 0,2 0,9 26,60 EXERCÍCIO Faça a correspondente análise, realizada no exemplo numérico 4, para os seguintes valores: dados fck = 25 MPa e Aço CA-50 a) N = 1300 kN; M = 40 kNm b) N = 1300 kN; M = 80 kNm EXEMPLO 5 A seção transversal retangular dada na figura abaixo está submetida aos esforços N = 804 kN e Mx = 40 kNm. Calcular o valor de b para ρ = (As/Ac) = 2%, fck = 30 MPa e aço CA-50 x As/2 As/225 N Mxd 2,5 2,5 50 yA x As/2 As/2 25 N Mxd 10 10 50 y B x As/2 As/2b N Mxd 3 3 30 y
  11. 11. Como se trata de seção retangular com d’/h = 3/30 = 0,10, submetida à flexão composta normal, emprega-se o ábaco A-1b. o valor de ω para a solução do problema é dado por:  ω = As∙fyd Ac∙fcd = 2 100 ∙ 500∙1,4 30∙1,15 = 0,40 Os valores de υ e μ, embora não possam ser calculados, guardam uma relação entre si dada por:  μ = Md b∙h2∙fcd = Nd∙𝑒 b∙h2∙fcd = e ∙ υ h A excentricidade da carga é dada por:  𝑒 = M N = 40 804 = 0,05 m Desse forma, a solução pode ser obtida graficamente, como mostrado no ábaco A-1b. marca-se no ábaco o ponto com ordenadas μ1 e υ1 de maneira que a relação entre elas seja dada por:  μ1 = 0,05 ∙ υ 0,3 = 0,167 ∙ υ1 Obtém-se assim o ponto A. Traçando-se um segmento de reta da origem O até o ponto A, corta-se a curva de ω=0,4 no ponto K, que é a solução do problema. Assim é possível determinar o valor da ordenada do ponto que permite obter o valor de b requerido. Dessa maneira chega-se a υ=0,86, a partir do qual obtém-se o valor de b:  υ = Nd b∙h∙fcd ⟹ 𝑏 = Nd υ∙h∙fcd = 804∙1,4 0,86∙0,30∙( 30000 1,4 ) = 0,2 ⟹ 𝑏 = 0,20 𝑚 EXEMPLO 6 Calcular a armadura para a seção transversal da figura abaixo, para os esforços solicitantes N = 918 kN e My = 28 kNm. Considerar fck = 30 MPa e aço CA-50. x As/2 As/220 N 3 3 30 y 4
  12. 12. Neste caso tem-se d’/h = 4/20 = 0,20 e o momento My. o ábaco a ser empregado é o ábaco 6, com os seguintes valores de entrada:  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙918 0,3∙0,2∙( 30000 1,4 ) = 0,9996 ≅ 1,0  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙28 0,3∙0,22∙( 30000 1,4 ) = 0,15 com υ = 1,0 e μ = 0,15 resulta, no ábaco 6, o valor de 0,75  ω = 0,75  As = ω∙b∙h∙fcd fyd = 0,75∙20∙30∙30/1,4 500/1,15 = 22,2cm² Utilizando o ábaco A-29, da apostila do professor Wilson Sérgio Venturini, relação d’/h = 4/20 = 0,2, teremos os seguintes valores de entrada:  υ = Nd b∙h∙fcd = 1,4∙918 0,2∙0,3∙( 30000 1,4 ) = 0,9996 ≅ 1,0  μ = Md b∙h2∙fcd = 1,4∙28 0,30∙0,202∙( 30000 1,4 ) = 0,15
  13. 13.  ω = 0,69 As = ω ∙ b ∙ h ∙ fcd fyd = 0,69 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4 500/1,15 = 20,40cm²

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