1) O documento apresenta 5 exercícios sobre cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Os exercícios envolvem calcular massa, carga elétrica e áreas sobre diferentes regiões planas delimitadas por curvas. 2) Adicionalmente, são apresentados 4 exercícios extras sobre cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, envolvendo determinar carga elétrica total, área de regiões delimitadas por cardioides e calcular integral sobre região limitada por círculo. 3) Os exercí

1. Cálculo Diferencial e Integral 3
Lista de Exercícios – Integrais duplas em coordenadas polares
Professora Izabela Marques de Oliveira
x y + 2 2
1.) Calcule a integral dupla , onde R é a região semicircular limitada pelo eixo x e
pela curva y = 1− x2 (observe que esta região é a metade superior da circunferência de
centro na origem e raio 1).
2.) Calcule a integral dupla polar da função F(x, y) dada, sobre a região S apresentada em
cada caso:
a) S: 1 2 2 x + y = , 4 2 2 x + y = e y = 0 , (região superior) onde
2 F(x, y) = 3x + 4y ;
b) S: 1 2 2 x + y = , onde
15
2 2 F(x, y) = 1− x − y ; Resp.:
p
2
c) S: 3 2 2 x + y = (1º quadrante), onde
= ; Resp.:
3
1
( 1
2 2 ) 2
( , )
x y
F x y
+ +
p
4
3.) Uma lâmina tem a forma de um semicírculo de raio igual a 2 cm. Determine a massa da
lâmina sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é
( , ) (9 9 ) 2 2 r x y = x + y , medida em gramas por centímetros quadrado (g/cm2).
Resp.: m = 8p gramas
4.) Uma lâmina tem a forma de um semicírculo de raio igual a 3 cm. Determine a massa da
lâmina, e o centro de massa, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é
2 2 r (x, y) = x + y , medida em gramas por centímetros quadrado (g/cm2).
Re sp : m = 9p gramas
5.) Uma carga elétrica é distribuída sobre uma região R delimitada pela circunferência
1 2 2 x + y =
,
de modo que a densidade de carga num ponto (x,y) seja
2 2 s (x, y) = 1+ x + y , medida em Coulombs por metro quadrado (C/m2). Faça um
esboço do gráfico e determine a carga total no disco.
(e -1)
2
Resposta :
p
2
Re :
p
sp
Coulombs
3
2
Resp :
p
q =
e dA
R

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Lista de exercícios – Integrais duplas em coordenadas polares – Exercícios Extras
Professora Izabela Marques de Oliveira
1) Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco 2 2 16 x + y £ de modo que a
densidade de carga num ponto (x,y) seja s ( x, y ) = x 2 , medida em Coulombs
por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total no disco.
Resp.: 64p
Coulombs
3
q =
2) Determine a área da região situada por ambos os cardioides = 1 + cos e
= 1 − cos . Faça um esboço da região.
Resp: A =
+

3. 3) Calcule
, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo
círculo de centro na origem e raio 5. Resp:
.
4) Use integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de
quatro pétalas r = cos2q . Resp.:
p
8
A =