SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 9
Baixar para ler offline
Apˆendice A
Distribui¸c˜ao de Boltzmann da
energia
A Mecˆanica Estat´ıstica ´e uma ´area da F´ısica que utiliza m´etodos estat´ısticos
em uma teoria cin´etica para ´atomos e mol´eculas a fim de explicar pro-
priedades macrosc´opicas da mat´eria. Por exemplo, ´e um teorema da Mecˆanica
Estat´ıstica que o valor m´edio da energia cin´etica das mol´eculas de um g´as a
temperatura T ´e 1
2
kBT (para cada grau de liberdade)1
.
Um exemplo vai nos conduzir a um dos mais importantes resultados da f´ısica,
conhecido como distribui¸c˜ao de Boltzmann, que relaciona a Termodinˆamica
com a Mecˆanica Estat´ıstica:
Nos concentremos na distribui¸c˜ao das mol´eculas na nossa atmosfera, descon-
sideremos os ventos e suponhamos que ela est´a em equil´ıbrio t´ermico a tem-
peratura T. Se N ´e o n´umero total de mol´eculas em um volume V do g´as
a press˜ao P, ent˜ao PV = NRT, ou P = nkBT, onde n = N/V ´e o n´umero
de mol´eculas por unidade de volume. Como a temperatura ´e constante, a
press˜ao ser´a proporcional `a densidade. Vamos agora buscar a varia¸c˜ao de
densidade em fun¸c˜ao da altitude na atmosfera.
Se tomamos uma unidade de ´area a uma altura h, ent˜ao a for¸ca vertical
sobre a ´area ´e a press˜ao P. Como o sistema est´a em equil´ıbrio, as for¸cas
sobre as mol´eculas devem ser balanceadas, ou seja, a for¸ca resultante sobre
cada uma deve ser nula, ent˜ao se tomamos uma camada de espessura h+dh,
a press˜ao exercida na ´area inferior da camada deve exceder a press˜ao sobre a
´area de cima da camada de forma a balancear com o peso (a Fig. 62 ilustra
a situa¸c˜ao).
1
T em Kelvin, kB = 1, 38 × 10−23
J/K ´e a constante de Boltzmann.
191
192 A Distribui¸c˜ao de Boltzmann da energia
h + dh
g
FIGURA 62 - A press˜ao sobre uma camada h + dh deve ser tal a balancear
o peso.
mg ´e a for¸ca da gravidade em cada mol´ecula, n dh ´e o n´umero total de
mol´eculas na se¸c˜ao de ´area unit´aria. Da´ı temos a equa¸c˜ao diferencial de
equil´ıbrio
Ph+dh − Ph = dP = −mgn dh . (A.1)
Como P = nkBT e T ´e constante, podemos eliminar P e ficar com uma
equa¸c˜ao para n
dn
dh
= −
mg
kBT
n . (A.2)
A solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao diferencial nos fala como a densidade varia em
fun¸c˜ao da altura na nossa atmosfera idealizada
n = n0 e−mgh/kBT
, n0 ´e a densidade a h = 0 . (A.3)
Na Fig. 63 vemos o gr´afico da densidade de part´ıculas em fun¸c˜ao da altura.
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 10 20 30 40 50
densidade,n
(×1025
atomos/m3
)
altura, h (km)
FIGURA 63 - Densidade de ´atomos n em fun¸c˜ao da altura h. Com n0 =
2, 4 × 1025
atomos/m3
, T = 300 K, g = 10 m/s2
, m = 5, 3 × 10−26
Kg, massa
do O2.
´E interessante notar que o numerador do expoente da Eq. (A.3) ´e a energia
193
potencial de cada ´atomo, ent˜ao a densidade em cada ponto ´e proporcional a
e− /kBT
, (A.4)
onde ´e a energia potencial de cada ´atomo.
Vamos supor agora que h´a outras for¸cas agindo nos ´atomos, por exemplo que
elas sejam carregadas e estejam sob a influˆencia de um campo el´etrico, ou
que haja atra¸c˜ao entre elas. Supondo que haja apenas um tipo de mol´ecula,
a for¸ca em uma pequena por¸c˜ao de g´as ser´a a for¸ca sobre uma mol´ecula vezes
o n´umero de mol´eculas na por¸c˜ao. Por simplicidade vamos pensar que a for¸ca
age na dire¸c˜ao x. Da mesma forma do problema da atmosfera, se tomamos
dois planos paralelos no g´as separados por uma distˆancia dx, ent˜ao a for¸ca
sobre cada ´atomo vezes a densidade n vezes dx deve ser balanceada pela
diferen¸ca de press˜ao, ou seja,
Fn dx = dP = kBT dn . (A.5)
Lembrando que dW = −F dx ´e o trabalho feito sobre uma mol´ecula ao “lev´a-
la” de x at´e x + dx, e que o trabalho realizado ´e igual `a diferen¸ca de energia
potencial2
, U, ou seja dU = −Fdx, obtemos da Eq. (A.5) que
dn
n
= −
dU
kBT
, (A.6)
que pode ser facilmente integrada e resulta
n = n0 e−U/kBT
, (A.7)
onde U ´e a varia¸c˜ao de energia entre o estado final e o inicial.
A ´ultima express˜ao ´e conhecida como Lei de Boltzmann e pode ser traduzida
da seguinte forma: a probabilidade de encontrar mol´eculas em uma dada
configura¸c˜ao espacial ´e tanto menor quanto maior for a energia dessa con-
figura¸c˜ao a uma dada temperatura. Tal probabilidade diminui exponencial-
mente com a energia divida por kBT.
2
Com a condi¸c˜ao que F seja deriv´avel de um potencial.
Apˆendice B
Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao
de corpo negro
A radiˆancia de um corpo negro est´a associada diretamente `a energia das on-
das eletromagn´eticas na cavidade. Vamos ent˜ao calcular quanta energia por
unidade de volume existe dentro da cavidade. O c´alculo envolve contabilizar
o n´umero de ondas eletromagn´eticas que podem estar na cavidade, al´em do
c´alculo da energia m´edia que elas transportam.
Consideremos uma cavidade c´ubica de lado L, por simplicidade, com um dos
v´ertices em (0, 0, 0). A equa¸c˜ao de onda obedecida por uma das componentes
de uma onda eletromagn´etica no v´acuo ´e
∂2
F
∂x2
+
∂2
F
∂y2
+
∂2
F
∂z2
=
1
c2
∂2
F
∂t2
. (B.1)
F = F(x, y, z, t) representa alguma das componentes dos campos el´etrico ou
magn´etico oscilantes e c ´e a velocidade da luz. Uma maneira conveniente de
escrever a solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e a seguinte:
F(x, y, z, t) = C sen(k1x) sen(k2y) sen(k3z) sen(ωt), (B.2)
onde C ´e uma constante arbitr´aria. O campo el´etrico deve se anular nas
paredes do cubo, ou seja, em x = y = z = 0 e x = y = z = L. Dessa forma,
as constantes k1, k2 e k3 devem obedecer `as rela¸c˜oes
k1 =
n1π
L
; k2 =
n2π
L
; k3 =
n3π
L
, (B.3)
onde n1, n2 e n3 s˜ao inteiros positivos. A freq¨uˆencia angular ω pode ser
escrita como
ω =
2πc
λ
,
194
195
onde λ ´e o comprimento da onda. Assim, uma solu¸c˜ao de onda que obedece
`as condi¸c˜oes de contorno ser´a
F(x, y, z, t) = C sen
n1πx
L
sen
n2πy
L
sen
n3πz
L
sen
2πct
λ
. (B.4)
Esta ´e a equa¸c˜ao para uma onda estacion´aria dentro do cubo. Podemos
imediatamente deduzir a rela¸c˜ao entre o comprimento de onda e o tamanho
da aresta L do cubo, substituindo a equa¸c˜ao acima na equa¸c˜ao de onda.
Obtemos
n1π
L
2
+
n2π
L
2
+
n3π
L
2
=
2π
λ
2
,
ou,
n2
1 + n2
2 + n2
3 =
4L2
λ2
. (B.5)
Vamos ent˜ao contar o n´umero de ondas estacion´arias na cavidade. Consider-
emos um sistema de coordenadas num espa¸co vetorial de 3 dimens˜oes, onde
as componentes s˜ao n´umeros inteiros (n1, n2, n3).
n1
n3
n2
(n1, n2, n3)
O volume de uma esfera nesse espa¸co seria o n´umero total de modos, se
os valores de n1, n2 e n3 pudessem ser negativos. Como somente n´umeros
positivos s˜ao permitidos, dividiremos o volume da esfera por 8. Al´em disso,
devemos levar em conta que existe um grau de liberdade adicional corre-
spondente `a orienta¸c˜ao relativa entre os vetores E e B. As duas orienta¸c˜oes
poss´ıveis correspondem `as duas polariza¸c˜oes da radia¸c˜ao.
E
B
k
B
E
k
196 B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro
L
n = 1
n = 2
n = 3
FIGURA 64 - Modos de onda estacion´aria dentro da cavidade.
Ent˜ao, contabilizando isto tamb´em, vemos que o n´umero de ondas esta-
cion´arias no espa¸co n ´e
N =
1
8
× 2 ×
4
3
π(n2
1 + n2
2 + n2
3)3/2
=
π
3
(n2
1 + n2
2 + n2
3)3/2
.
(B.6)
Podemos escrever N em termos do comprimento de onda, usando a express˜ao
(B.5), da seguinte forma:
N =
8πL3
3λ3
. (B.7)
O n´umero de modos por unidade de comprimento de onda ´e obtido calculando
dN/dλ, ou seja,
−
dN
dλ
=
8πL3
λ4
⇒ −
1
L3
dN
dλ
=
8π
λ4
, (B.8)
que corresponde ao n´umero de modos da cavidade por unidade de compri-
mento de onda e de volume.
Para encontrar a energia m´edia de cada onda por unidade de volume e por
unidade de comprimento de onda, devemos multiplicar a express˜ao anterior
por uma energia m´edia . Sabemos que a energia carregada por uma onda
eletromagn´etica ´e independente do comprimento de onda; depende apenas
da intensidade (amplitude) da onda. Ap´os essa considera¸c˜ao, podemos escr-
ever a express˜ao para a energia (E) por unidade de volume (L3
), ou seja, a
densidade de energia, u, por comprimento de onda, da seguinte forma
du
dλ
=
1
L3
dE
dλ
= −
1
L3
dN
dλ
=
8π
λ4
. (B.9)
Para fazer contato com os dados experimentais, vamos relacionar a energia
dentro do volume da cavidade `a potˆencia por unidade de ´area irradiada
197
∆A
∆x
FIGURA 65 - Radia¸c˜ao com incidˆencia normal – vis˜ao em perspectiva de
uma das paredes da cavidade.
∆A
∆A
θ
θ
FIGURA 66 - Radia¸c˜ao com incidˆencia obl´ıqua – corte transversal.
pela superf´ıcie da cavidade. Consideremos, ent˜ao, uma pequena ´area ∆A da
cavidade c´ubica (figura 65). Vamos, inicialmente, por simplicidade, supor
ainda que toda incidˆencia ´e normal e, depois, generalizamos para qualquer
ˆangulo de incidˆencia. Nesse caso, o tempo que a radia¸c˜ao leva para percorrer
a cavidade ´e
∆t =
∆x
c
. (B.10)
A quantidade de energia por unidade de comprimento de onda no volume
∆A ∆x est´a relacionada `a radiˆancia1
por unidade de comprimento da onda,
ou seja,
dE
dλ
= 2
dR
dλ
∆t ∆A =
dR
dλ
2∆x ∆A
c
, (B.11)
onde o fator 2 leva em conta o fato de que apenas metade da radia¸c˜ao na
dire¸c˜ao x incide sobre a ´area ∆A – a outra metade viaja no sentido contr´ario,
e incide na parede oposta. Portanto, se toda radia¸c˜ao atingisse a parede a
90◦
, ter´ıamos
dR
dλ
=
dE
dλ
c
2∆x ∆A
=
du
dλ
c
2
. (B.12)
E se a incidˆencia n˜ao for normal? Na figura 66 vemos que a ´area ∆A , que
1
Recorde que a defini¸c˜ao de radiˆancia ´e potˆencia por unidade de ´area, ou seja, energia
por tempo por ´area.
198 B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro
recebe a mesma quantidade de radia¸c˜ao, ser´a maior do que ∆A por um fator
que depende do ˆangulo de incidˆencia, isto ´e,
∆A =
∆A
cos θ
. (B.13)
Neste caso, teremos para a potˆencia irradiada,
dR
dλ
=
dE
dλ
1
2∆t ∆A
, (B.14)
onde agora ∆t ´e dado por
∆t =
∆x
c cos θ
, (B.15)
que ´e o tempo necess´ario para se percorrer a distˆancia de uma parede `a outra
da cavidade – veja que, como a radia¸c˜ao tem incidˆencia obl´ıqua, o caminho
percorrido ser´a ∆x = ∆x/ cos θ. Incluindo esses ingredientes na express˜ao
(B.14), e tomando uma m´edia sobre os ˆangulos, vem
dR
dλ
=
dE
dλ
c cos2
θ
2∆x ∆A
=
dE
dλ
c1
2
2∆x ∆A
=
du
dλ
c
4
=
2πc
λ4
.
(B.16)
Quanto vale , a energia m´edia carregada por cada onda? As ondas car-
regam a energia proveniente da emiss˜ao do material, cujas cargas, ao serem
aceleradas pela radia¸c˜ao eletromagn´etica, ir˜ao irradiar. Devido `a quase que
total independˆencia entre os resultados emp´ıricos e as caracter´ısticas es-
pec´ıficas da cavidade, podemos fazer um modelo simples para calcular a
energia m´edia . Vamos supor que a mat´eria na cavidade seja composta
por osciladores harmˆonicos carregados, e, tratando-se se um sistema relati-
vamente simples (oscilador + radia¸c˜ao), podemos relacionar com a tem-
peratura, atrav´es dos procedimentos usuais da Mecˆanica Estat´ıstica.
Classicamente, uma cole¸c˜ao de osciladores se distribui em energia , `a tem-
peratura T, com uma densidade de probabilidade de Boltzmann dada por
p( ) =
1
Z
e− /kT
. (B.17)
A constante de normaliza¸c˜ao, Z, conhecida em Mecˆanica Estat´ıstica como
fun¸c˜ao parti¸c˜ao, pode ser calculada imediatamente, lembrando-se que a prob-
abilidade de se encontrar um oscilador com qualquer energia ´e 1. Isto se
traduz da seguinte forma:
∞
0
p( ) d =
1
Z
∞
0
e− /kT
d = 1
199
e portanto,
Z =
∞
0
e− /kT
d = kT. (B.18)
Ent˜ao, a energia m´edia ´e obtida imediatamente, por
=
∞
0
p( ) d =
1
kT
∞
0
e− /kT
d
= kT .
(B.19)
Finalmente, obtemos a equa¸c˜ao cl´assica para a distribui¸c˜ao da radia¸c˜ao de
uma cavidade:
dR
dλ
=
2πc
λ4
kT . (F´ormula de Rayleigh-Jeans) (B.20)

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Exame unificado de fisica 2013 1 solution
Exame unificado de fisica 2013 1 solutionExame unificado de fisica 2013 1 solution
Exame unificado de fisica 2013 1 solutionMarcosPacheco65
 
Exame unificado de física 2011 2 solution
Exame unificado de física 2011 2  solutionExame unificado de física 2011 2  solution
Exame unificado de física 2011 2 solution17535069649
 
Exame unificado de fisica 2012 1 solution
Exame unificado de fisica 2012 1 solutionExame unificado de fisica 2012 1 solution
Exame unificado de fisica 2012 1 solution17535069649
 
Ufpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabarito
Ufpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabaritoUfpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabarito
Ufpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabaritoRafaantz
 
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 117535069649
 
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001Astronomia e astrof´+¢sica parte 001
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001Thommas Kevin
 
Aula 13: O poço de potencial finito
Aula 13: O poço de potencial finitoAula 13: O poço de potencial finito
Aula 13: O poço de potencial finitoAdriano Silva
 
Exame unificado de fisica 2012 2 - solution
Exame unificado de fisica 2012 2 - solutionExame unificado de fisica 2012 2 - solution
Exame unificado de fisica 2012 2 - solution17535069649
 
Aula 4: Função de onda e Equação de Schrödinger
Aula 4: Função de onda e Equação de SchrödingerAula 4: Função de onda e Equação de Schrödinger
Aula 4: Função de onda e Equação de SchrödingerAdriano Silva
 
Exame unificado fisica 2008 2 solution
Exame unificado fisica 2008 2 solutionExame unificado fisica 2008 2 solution
Exame unificado fisica 2008 2 solution17535069649
 
Aula 20: O átomo de hidrogênio
Aula 20: O átomo de hidrogênioAula 20: O átomo de hidrogênio
Aula 20: O átomo de hidrogênioAdriano Silva
 
Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2
Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2
Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 217535069649
 
Lei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De FaradayLei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De Faradaydalgo
 
Exame unificado de física 2011 1 solution
Exame unificado de física 2011 1 solutionExame unificado de física 2011 1 solution
Exame unificado de física 2011 1 solutionMarcosPacheco65
 
Exame unificado fisica 2010 1 solution
Exame unificado fisica 2010 1 solutionExame unificado fisica 2010 1 solution
Exame unificado fisica 2010 1 solution17535069649
 

Mais procurados (17)

Exame unificado de fisica 2013 1 solution
Exame unificado de fisica 2013 1 solutionExame unificado de fisica 2013 1 solution
Exame unificado de fisica 2013 1 solution
 
Exame unificado de física 2011 2 solution
Exame unificado de física 2011 2  solutionExame unificado de física 2011 2  solution
Exame unificado de física 2011 2 solution
 
Exame unificado de fisica 2012 1 solution
Exame unificado de fisica 2012 1 solutionExame unificado de fisica 2012 1 solution
Exame unificado de fisica 2012 1 solution
 
Ufpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabarito
Ufpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabaritoUfpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabarito
Ufpe 2011-0-prova-completa-2a-etapa-c-gabarito
 
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 1
 
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001Astronomia e astrof´+¢sica parte 001
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001
 
Aula 13: O poço de potencial finito
Aula 13: O poço de potencial finitoAula 13: O poço de potencial finito
Aula 13: O poço de potencial finito
 
Exame unificado de fisica 2012 2 - solution
Exame unificado de fisica 2012 2 - solutionExame unificado de fisica 2012 2 - solution
Exame unificado de fisica 2012 2 - solution
 
Aula 4: Função de onda e Equação de Schrödinger
Aula 4: Função de onda e Equação de SchrödingerAula 4: Função de onda e Equação de Schrödinger
Aula 4: Função de onda e Equação de Schrödinger
 
Exame unificado fisica 2008 2 solution
Exame unificado fisica 2008 2 solutionExame unificado fisica 2008 2 solution
Exame unificado fisica 2008 2 solution
 
Aula 20: O átomo de hidrogênio
Aula 20: O átomo de hidrogênioAula 20: O átomo de hidrogênio
Aula 20: O átomo de hidrogênio
 
Fisica 2014 tipo_c
Fisica 2014  tipo_cFisica 2014  tipo_c
Fisica 2014 tipo_c
 
Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2
Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2
Questões resolvidas exame unificado de fisica 2013 2
 
Lei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De FaradayLei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De Faraday
 
Exame unificado de física 2011 1 solution
Exame unificado de física 2011 1 solutionExame unificado de física 2011 1 solution
Exame unificado de física 2011 1 solution
 
Exame unificado fisica 2010 1 solution
Exame unificado fisica 2010 1 solutionExame unificado fisica 2010 1 solution
Exame unificado fisica 2010 1 solution
 
Aula física
Aula físicaAula física
Aula física
 

Semelhante a Ap1

Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2diascavip
 
Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2diascavip
 
Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001Thommas Kevin
 
Exame unificado de física 2011 2 solution
Exame unificado de física 2011 2  solutionExame unificado de física 2011 2  solution
Exame unificado de física 2011 2 solutionMarcosPacheco65
 
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdf
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdfQuestoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdf
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdf17535069649
 
Professor helanderson sousa
Professor helanderson sousaProfessor helanderson sousa
Professor helanderson sousaDayanne Sousa
 
Trabalho ondas eletromagneticas 1
Trabalho  ondas eletromagneticas 1Trabalho  ondas eletromagneticas 1
Trabalho ondas eletromagneticas 1ggeisa
 
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 217535069649
 
Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001
Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001
Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001Thommas Kevin
 
Aps eletricidade e calor
Aps   eletricidade e calorAps   eletricidade e calor
Aps eletricidade e calorAILTON OLIVEIRA
 
Ita2002
Ita2002Ita2002
Ita2002cavip
 
Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1
Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1
Questões resolvidas exame unificado de física 2014 117535069649
 
Questao lei de_coulomb_e_potencial_el_atrico
Questao lei de_coulomb_e_potencial_el_atricoQuestao lei de_coulomb_e_potencial_el_atrico
Questao lei de_coulomb_e_potencial_el_atricoBetine Rost
 
Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001
Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001
Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001Thommas Kevin
 

Semelhante a Ap1 (20)

Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2dias
 
Ita2008 1e2dias
Ita2008 1e2diasIta2008 1e2dias
Ita2008 1e2dias
 
Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001Ita2008 1dia parte_001
Ita2008 1dia parte_001
 
2011física
2011física2011física
2011física
 
Exame unificado de física 2011 2 solution
Exame unificado de física 2011 2  solutionExame unificado de física 2011 2  solution
Exame unificado de física 2011 2 solution
 
Ita2001 parte 001
Ita2001 parte 001Ita2001 parte 001
Ita2001 parte 001
 
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdf
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdfQuestoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdf
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-2.pdf
 
Professor helanderson sousa
Professor helanderson sousaProfessor helanderson sousa
Professor helanderson sousa
 
Cap. 08
Cap. 08Cap. 08
Cap. 08
 
Trabalho ondas eletromagneticas 1
Trabalho  ondas eletromagneticas 1Trabalho  ondas eletromagneticas 1
Trabalho ondas eletromagneticas 1
 
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2014 2
 
Atômica e molecular lista1
Atômica e molecular lista1Atômica e molecular lista1
Atômica e molecular lista1
 
Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001
Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001
Fuvest2010 3fase 3dia_parte_001
 
Aps eletricidade e calor
Aps   eletricidade e calorAps   eletricidade e calor
Aps eletricidade e calor
 
Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidosExercícios resolvidos
Exercícios resolvidos
 
Ita2002
Ita2002Ita2002
Ita2002
 
Ita2002 parte 001
Ita2002 parte 001Ita2002 parte 001
Ita2002 parte 001
 
Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1
Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1
Questões resolvidas exame unificado de física 2014 1
 
Questao lei de_coulomb_e_potencial_el_atrico
Questao lei de_coulomb_e_potencial_el_atricoQuestao lei de_coulomb_e_potencial_el_atrico
Questao lei de_coulomb_e_potencial_el_atrico
 
Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001
Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001
Fuvest2013 2fase 3dia_parte_001
 

Mais de alevilaca

pectinas propriedades e aplicações
pectinas propriedades e aplicaçõespectinas propriedades e aplicações
pectinas propriedades e aplicaçõesalevilaca
 
Carboidratos1.2
Carboidratos1.2Carboidratos1.2
Carboidratos1.2alevilaca
 
Tcc ruhana costa (2)
Tcc   ruhana costa (2)Tcc   ruhana costa (2)
Tcc ruhana costa (2)alevilaca
 
Avaliação de-ciências-4º-ano1
Avaliação de-ciências-4º-ano1Avaliação de-ciências-4º-ano1
Avaliação de-ciências-4º-ano1alevilaca
 
Trabalho transcal
Trabalho transcalTrabalho transcal
Trabalho transcalalevilaca
 

Mais de alevilaca (7)

pectinas propriedades e aplicações
pectinas propriedades e aplicaçõespectinas propriedades e aplicações
pectinas propriedades e aplicações
 
Carboidratos1.2
Carboidratos1.2Carboidratos1.2
Carboidratos1.2
 
Tcc ruhana costa (2)
Tcc   ruhana costa (2)Tcc   ruhana costa (2)
Tcc ruhana costa (2)
 
Avaliação de-ciências-4º-ano1
Avaliação de-ciências-4º-ano1Avaliação de-ciências-4º-ano1
Avaliação de-ciências-4º-ano1
 
Genoveva
GenovevaGenoveva
Genoveva
 
Trabalho transcal
Trabalho transcalTrabalho transcal
Trabalho transcal
 
Evaporacao
EvaporacaoEvaporacao
Evaporacao
 

Último

Patrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptx
Patrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptxPatrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptx
Patrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptxAssimoIovahale
 
Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...
Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...
Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...DL assessoria 31
 
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024Consultoria Acadêmica
 
MAPA – DESENHO TÉCNICO – 51 / 2024
MAPA   –   DESENHO TÉCNICO  –  51 / 2024MAPA   –   DESENHO TÉCNICO  –  51 / 2024
MAPA – DESENHO TÉCNICO – 51 / 2024excellenceeducaciona
 
cipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna de
cipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna decipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna de
cipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna deGleuciane Rocha
 
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docxAE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docxConsultoria Acadêmica
 
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais PrivadosGestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais PrivadosGuilhermeLucio9
 
Condutos forçados disciplina de hidráulica.pdf
Condutos forçados disciplina de hidráulica.pdfCondutos forçados disciplina de hidráulica.pdf
Condutos forçados disciplina de hidráulica.pdfAroldoMenezes1
 

Último (8)

Patrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptx
Patrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptxPatrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptx
Patrimonio Edificado da Ilha de Moçambique.pptx
 
Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...
Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...
Para iniciarmos nossa atividade, imagine a seguinte situação: Uma jovem chama...
 
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
 
MAPA – DESENHO TÉCNICO – 51 / 2024
MAPA   –   DESENHO TÉCNICO  –  51 / 2024MAPA   –   DESENHO TÉCNICO  –  51 / 2024
MAPA – DESENHO TÉCNICO – 51 / 2024
 
cipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna de
cipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna decipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna de
cipa_assedio (2).pdf_comissão_inetrna de
 
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docxAE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
 
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais PrivadosGestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
 
Condutos forçados disciplina de hidráulica.pdf
Condutos forçados disciplina de hidráulica.pdfCondutos forçados disciplina de hidráulica.pdf
Condutos forçados disciplina de hidráulica.pdf
 

Ap1

  • 1. Apˆendice A Distribui¸c˜ao de Boltzmann da energia A Mecˆanica Estat´ıstica ´e uma ´area da F´ısica que utiliza m´etodos estat´ısticos em uma teoria cin´etica para ´atomos e mol´eculas a fim de explicar pro- priedades macrosc´opicas da mat´eria. Por exemplo, ´e um teorema da Mecˆanica Estat´ıstica que o valor m´edio da energia cin´etica das mol´eculas de um g´as a temperatura T ´e 1 2 kBT (para cada grau de liberdade)1 . Um exemplo vai nos conduzir a um dos mais importantes resultados da f´ısica, conhecido como distribui¸c˜ao de Boltzmann, que relaciona a Termodinˆamica com a Mecˆanica Estat´ıstica: Nos concentremos na distribui¸c˜ao das mol´eculas na nossa atmosfera, descon- sideremos os ventos e suponhamos que ela est´a em equil´ıbrio t´ermico a tem- peratura T. Se N ´e o n´umero total de mol´eculas em um volume V do g´as a press˜ao P, ent˜ao PV = NRT, ou P = nkBT, onde n = N/V ´e o n´umero de mol´eculas por unidade de volume. Como a temperatura ´e constante, a press˜ao ser´a proporcional `a densidade. Vamos agora buscar a varia¸c˜ao de densidade em fun¸c˜ao da altitude na atmosfera. Se tomamos uma unidade de ´area a uma altura h, ent˜ao a for¸ca vertical sobre a ´area ´e a press˜ao P. Como o sistema est´a em equil´ıbrio, as for¸cas sobre as mol´eculas devem ser balanceadas, ou seja, a for¸ca resultante sobre cada uma deve ser nula, ent˜ao se tomamos uma camada de espessura h+dh, a press˜ao exercida na ´area inferior da camada deve exceder a press˜ao sobre a ´area de cima da camada de forma a balancear com o peso (a Fig. 62 ilustra a situa¸c˜ao). 1 T em Kelvin, kB = 1, 38 × 10−23 J/K ´e a constante de Boltzmann. 191
  • 2. 192 A Distribui¸c˜ao de Boltzmann da energia h + dh g FIGURA 62 - A press˜ao sobre uma camada h + dh deve ser tal a balancear o peso. mg ´e a for¸ca da gravidade em cada mol´ecula, n dh ´e o n´umero total de mol´eculas na se¸c˜ao de ´area unit´aria. Da´ı temos a equa¸c˜ao diferencial de equil´ıbrio Ph+dh − Ph = dP = −mgn dh . (A.1) Como P = nkBT e T ´e constante, podemos eliminar P e ficar com uma equa¸c˜ao para n dn dh = − mg kBT n . (A.2) A solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao diferencial nos fala como a densidade varia em fun¸c˜ao da altura na nossa atmosfera idealizada n = n0 e−mgh/kBT , n0 ´e a densidade a h = 0 . (A.3) Na Fig. 63 vemos o gr´afico da densidade de part´ıculas em fun¸c˜ao da altura. 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0 10 20 30 40 50 densidade,n (×1025 atomos/m3 ) altura, h (km) FIGURA 63 - Densidade de ´atomos n em fun¸c˜ao da altura h. Com n0 = 2, 4 × 1025 atomos/m3 , T = 300 K, g = 10 m/s2 , m = 5, 3 × 10−26 Kg, massa do O2. ´E interessante notar que o numerador do expoente da Eq. (A.3) ´e a energia
  • 3. 193 potencial de cada ´atomo, ent˜ao a densidade em cada ponto ´e proporcional a e− /kBT , (A.4) onde ´e a energia potencial de cada ´atomo. Vamos supor agora que h´a outras for¸cas agindo nos ´atomos, por exemplo que elas sejam carregadas e estejam sob a influˆencia de um campo el´etrico, ou que haja atra¸c˜ao entre elas. Supondo que haja apenas um tipo de mol´ecula, a for¸ca em uma pequena por¸c˜ao de g´as ser´a a for¸ca sobre uma mol´ecula vezes o n´umero de mol´eculas na por¸c˜ao. Por simplicidade vamos pensar que a for¸ca age na dire¸c˜ao x. Da mesma forma do problema da atmosfera, se tomamos dois planos paralelos no g´as separados por uma distˆancia dx, ent˜ao a for¸ca sobre cada ´atomo vezes a densidade n vezes dx deve ser balanceada pela diferen¸ca de press˜ao, ou seja, Fn dx = dP = kBT dn . (A.5) Lembrando que dW = −F dx ´e o trabalho feito sobre uma mol´ecula ao “lev´a- la” de x at´e x + dx, e que o trabalho realizado ´e igual `a diferen¸ca de energia potencial2 , U, ou seja dU = −Fdx, obtemos da Eq. (A.5) que dn n = − dU kBT , (A.6) que pode ser facilmente integrada e resulta n = n0 e−U/kBT , (A.7) onde U ´e a varia¸c˜ao de energia entre o estado final e o inicial. A ´ultima express˜ao ´e conhecida como Lei de Boltzmann e pode ser traduzida da seguinte forma: a probabilidade de encontrar mol´eculas em uma dada configura¸c˜ao espacial ´e tanto menor quanto maior for a energia dessa con- figura¸c˜ao a uma dada temperatura. Tal probabilidade diminui exponencial- mente com a energia divida por kBT. 2 Com a condi¸c˜ao que F seja deriv´avel de um potencial.
  • 4. Apˆendice B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro A radiˆancia de um corpo negro est´a associada diretamente `a energia das on- das eletromagn´eticas na cavidade. Vamos ent˜ao calcular quanta energia por unidade de volume existe dentro da cavidade. O c´alculo envolve contabilizar o n´umero de ondas eletromagn´eticas que podem estar na cavidade, al´em do c´alculo da energia m´edia que elas transportam. Consideremos uma cavidade c´ubica de lado L, por simplicidade, com um dos v´ertices em (0, 0, 0). A equa¸c˜ao de onda obedecida por uma das componentes de uma onda eletromagn´etica no v´acuo ´e ∂2 F ∂x2 + ∂2 F ∂y2 + ∂2 F ∂z2 = 1 c2 ∂2 F ∂t2 . (B.1) F = F(x, y, z, t) representa alguma das componentes dos campos el´etrico ou magn´etico oscilantes e c ´e a velocidade da luz. Uma maneira conveniente de escrever a solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e a seguinte: F(x, y, z, t) = C sen(k1x) sen(k2y) sen(k3z) sen(ωt), (B.2) onde C ´e uma constante arbitr´aria. O campo el´etrico deve se anular nas paredes do cubo, ou seja, em x = y = z = 0 e x = y = z = L. Dessa forma, as constantes k1, k2 e k3 devem obedecer `as rela¸c˜oes k1 = n1π L ; k2 = n2π L ; k3 = n3π L , (B.3) onde n1, n2 e n3 s˜ao inteiros positivos. A freq¨uˆencia angular ω pode ser escrita como ω = 2πc λ , 194
  • 5. 195 onde λ ´e o comprimento da onda. Assim, uma solu¸c˜ao de onda que obedece `as condi¸c˜oes de contorno ser´a F(x, y, z, t) = C sen n1πx L sen n2πy L sen n3πz L sen 2πct λ . (B.4) Esta ´e a equa¸c˜ao para uma onda estacion´aria dentro do cubo. Podemos imediatamente deduzir a rela¸c˜ao entre o comprimento de onda e o tamanho da aresta L do cubo, substituindo a equa¸c˜ao acima na equa¸c˜ao de onda. Obtemos n1π L 2 + n2π L 2 + n3π L 2 = 2π λ 2 , ou, n2 1 + n2 2 + n2 3 = 4L2 λ2 . (B.5) Vamos ent˜ao contar o n´umero de ondas estacion´arias na cavidade. Consider- emos um sistema de coordenadas num espa¸co vetorial de 3 dimens˜oes, onde as componentes s˜ao n´umeros inteiros (n1, n2, n3). n1 n3 n2 (n1, n2, n3) O volume de uma esfera nesse espa¸co seria o n´umero total de modos, se os valores de n1, n2 e n3 pudessem ser negativos. Como somente n´umeros positivos s˜ao permitidos, dividiremos o volume da esfera por 8. Al´em disso, devemos levar em conta que existe um grau de liberdade adicional corre- spondente `a orienta¸c˜ao relativa entre os vetores E e B. As duas orienta¸c˜oes poss´ıveis correspondem `as duas polariza¸c˜oes da radia¸c˜ao. E B k B E k
  • 6. 196 B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro L n = 1 n = 2 n = 3 FIGURA 64 - Modos de onda estacion´aria dentro da cavidade. Ent˜ao, contabilizando isto tamb´em, vemos que o n´umero de ondas esta- cion´arias no espa¸co n ´e N = 1 8 × 2 × 4 3 π(n2 1 + n2 2 + n2 3)3/2 = π 3 (n2 1 + n2 2 + n2 3)3/2 . (B.6) Podemos escrever N em termos do comprimento de onda, usando a express˜ao (B.5), da seguinte forma: N = 8πL3 3λ3 . (B.7) O n´umero de modos por unidade de comprimento de onda ´e obtido calculando dN/dλ, ou seja, − dN dλ = 8πL3 λ4 ⇒ − 1 L3 dN dλ = 8π λ4 , (B.8) que corresponde ao n´umero de modos da cavidade por unidade de compri- mento de onda e de volume. Para encontrar a energia m´edia de cada onda por unidade de volume e por unidade de comprimento de onda, devemos multiplicar a express˜ao anterior por uma energia m´edia . Sabemos que a energia carregada por uma onda eletromagn´etica ´e independente do comprimento de onda; depende apenas da intensidade (amplitude) da onda. Ap´os essa considera¸c˜ao, podemos escr- ever a express˜ao para a energia (E) por unidade de volume (L3 ), ou seja, a densidade de energia, u, por comprimento de onda, da seguinte forma du dλ = 1 L3 dE dλ = − 1 L3 dN dλ = 8π λ4 . (B.9) Para fazer contato com os dados experimentais, vamos relacionar a energia dentro do volume da cavidade `a potˆencia por unidade de ´area irradiada
  • 7. 197 ∆A ∆x FIGURA 65 - Radia¸c˜ao com incidˆencia normal – vis˜ao em perspectiva de uma das paredes da cavidade. ∆A ∆A θ θ FIGURA 66 - Radia¸c˜ao com incidˆencia obl´ıqua – corte transversal. pela superf´ıcie da cavidade. Consideremos, ent˜ao, uma pequena ´area ∆A da cavidade c´ubica (figura 65). Vamos, inicialmente, por simplicidade, supor ainda que toda incidˆencia ´e normal e, depois, generalizamos para qualquer ˆangulo de incidˆencia. Nesse caso, o tempo que a radia¸c˜ao leva para percorrer a cavidade ´e ∆t = ∆x c . (B.10) A quantidade de energia por unidade de comprimento de onda no volume ∆A ∆x est´a relacionada `a radiˆancia1 por unidade de comprimento da onda, ou seja, dE dλ = 2 dR dλ ∆t ∆A = dR dλ 2∆x ∆A c , (B.11) onde o fator 2 leva em conta o fato de que apenas metade da radia¸c˜ao na dire¸c˜ao x incide sobre a ´area ∆A – a outra metade viaja no sentido contr´ario, e incide na parede oposta. Portanto, se toda radia¸c˜ao atingisse a parede a 90◦ , ter´ıamos dR dλ = dE dλ c 2∆x ∆A = du dλ c 2 . (B.12) E se a incidˆencia n˜ao for normal? Na figura 66 vemos que a ´area ∆A , que 1 Recorde que a defini¸c˜ao de radiˆancia ´e potˆencia por unidade de ´area, ou seja, energia por tempo por ´area.
  • 8. 198 B Deriva¸c˜ao cl´assica da radia¸c˜ao de corpo negro recebe a mesma quantidade de radia¸c˜ao, ser´a maior do que ∆A por um fator que depende do ˆangulo de incidˆencia, isto ´e, ∆A = ∆A cos θ . (B.13) Neste caso, teremos para a potˆencia irradiada, dR dλ = dE dλ 1 2∆t ∆A , (B.14) onde agora ∆t ´e dado por ∆t = ∆x c cos θ , (B.15) que ´e o tempo necess´ario para se percorrer a distˆancia de uma parede `a outra da cavidade – veja que, como a radia¸c˜ao tem incidˆencia obl´ıqua, o caminho percorrido ser´a ∆x = ∆x/ cos θ. Incluindo esses ingredientes na express˜ao (B.14), e tomando uma m´edia sobre os ˆangulos, vem dR dλ = dE dλ c cos2 θ 2∆x ∆A = dE dλ c1 2 2∆x ∆A = du dλ c 4 = 2πc λ4 . (B.16) Quanto vale , a energia m´edia carregada por cada onda? As ondas car- regam a energia proveniente da emiss˜ao do material, cujas cargas, ao serem aceleradas pela radia¸c˜ao eletromagn´etica, ir˜ao irradiar. Devido `a quase que total independˆencia entre os resultados emp´ıricos e as caracter´ısticas es- pec´ıficas da cavidade, podemos fazer um modelo simples para calcular a energia m´edia . Vamos supor que a mat´eria na cavidade seja composta por osciladores harmˆonicos carregados, e, tratando-se se um sistema relati- vamente simples (oscilador + radia¸c˜ao), podemos relacionar com a tem- peratura, atrav´es dos procedimentos usuais da Mecˆanica Estat´ıstica. Classicamente, uma cole¸c˜ao de osciladores se distribui em energia , `a tem- peratura T, com uma densidade de probabilidade de Boltzmann dada por p( ) = 1 Z e− /kT . (B.17) A constante de normaliza¸c˜ao, Z, conhecida em Mecˆanica Estat´ıstica como fun¸c˜ao parti¸c˜ao, pode ser calculada imediatamente, lembrando-se que a prob- abilidade de se encontrar um oscilador com qualquer energia ´e 1. Isto se traduz da seguinte forma: ∞ 0 p( ) d = 1 Z ∞ 0 e− /kT d = 1
  • 9. 199 e portanto, Z = ∞ 0 e− /kT d = kT. (B.18) Ent˜ao, a energia m´edia ´e obtida imediatamente, por = ∞ 0 p( ) d = 1 kT ∞ 0 e− /kT d = kT . (B.19) Finalmente, obtemos a equa¸c˜ao cl´assica para a distribui¸c˜ao da radia¸c˜ao de uma cavidade: dR dλ = 2πc λ4 kT . (F´ormula de Rayleigh-Jeans) (B.20)