Projeto de Pilares em Concreto

1
Pilares
Prof. Romel Dias Vanderlei
Notas de Aulas
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Capítulo3
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
1.º Semestre de 2008
Prof.RomelDiasVanderlei
Bibliografia:
ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado:
projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas de aula – USP –
EESC – SET. Fevereiro de 2008
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003.
Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.
CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto
armado. p.9-25. Notas de aula – Universidade Federal de São Carlos,
2002.
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Editora
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.
FUSCO, P. B. Introdução ao projeto estrutural. McGraw-Hill do Brasil. São
Paulo, 1976.
MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón armado.
Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.
PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios.
capítulo 16: Pilares. Notas de aula – EESC-USP, 2007.
PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. Concreto armado:
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.
VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto
armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP, 1987.

2
Sumário (2ª Parte)
3.11- Exemplos
3.11.1- Pilar Interno – P5
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
3.11.3- Pilar de Canto – P1
3.11- Exemplos
Projetar os pilares:
P5 - pilar interno;
P4 - pilar de
extremidade;
P1 - pilar de canto.

3
3.11- Exemplos
Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifício:
Para a determinação dos efeitos de 2ª ordem, emprega-se:
Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.
Dados iniciais:

4
Dados iniciais:
Dados iniciais:
Nk = 2.720kN
Nd = 1,4 x 2.720 = 3.808kN
Mk = 0kN e Md = 0kN
1- Características Geométricas
Comprimentos equivalentes:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
Na direção x:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
533
560
533
560
53335498
49862560
0
0
0
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=

5
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
560
560
568
560
56860508
50852560
0
0
0
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Na direção y:
3,32
60
1256012
=
⋅
=
⋅
==
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Índices de Esbeltez:
Na direção x:
8,52
35
1253312
=
⋅
=
⋅
==
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ

6
Como os momentos nas seções de extremidades (topo e
Base) e na intermediária são nulos, as excentricidades
iniciais também são nulas.
2- Excentricidades:
Excentricidade Inicial
d
topo
topoi
N
M
e =,
d
base
basei
N
M
e =,
d
meio
meioi
N
M
e =,
0
808.3
0
, ==topoie 0
808.3
0
, ==baseie0
808.3
0
, ==meioie
Sendo:
2- Excentricidades:
Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00423,0
60,5100
1
100
1
00433,0
33,5100
1
100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
⋅=
⋅=
θ
θ

7
rad00333,0
300
1
min,11 ==≥ θθ
(OK)00423,0
(OK)00433,0
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
18,1
2
560
00423,0
2
15,1
2
533
00433,0
2
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015)(
0,03h0,015)(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015)(
55,235,003,0015,00,03h0,015)(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=

8
cme
cme
y
x
30,3
55,2
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(0
55,2)(0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(18,118,10
55,2)(15,115,10
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
30,3
55,2
1
1
=
=
90
35
e
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
h
e
cmhe
h
e
xxi
xb
x
xi
x 350:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo25
0,1
35
0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =xbα

9
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 600:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo25
0,1
60
0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
358,52 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de
2ª ordem na direção x.
353,32 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário
considerar o efeito de 2ª ordem
na direção y.

10
cml
cmkNeNMM
xe
xmíndmíndAd
b
533
.4,710.955,2808.3)(0
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥=
=α
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
85,0
4,1
0,3
)6035(
808.3
=
⋅⋅
=
⋅
=
cdc
sd
fA
N
ν
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,0
5,0
005,01
≤
+
=
ν
( )
55
103,14
35
005,0
1058,10
5,085,035
005,01 −−
⋅=<⋅=
+
=
r
(OK)

11
Direção x:
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
4,134.21
4,710.91058,10
10
533
808.34,710.90,1
,
5
2
,
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
cm
N
M
e
d
totd
xtot 55,5
808.3
4,134.21,
, ===
3- Situações de Projeto e de Cálculo:

12
cm
N
M
e
cmkNM
kNN
d
totd
x
totd
d
55,5
808.3
4,134.21
4,134.21
808.3
,
,
===
⋅=
=
4- Dimensionamento das armaduras
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária
Direção y: Seção Intermediária ou de Extremidades.
cmee
kNN
yy
d
30,3
808.3
1 ==
=
b) Equações adimensionais:
Direção x:
13,0
35
55,5
85,0
85,0
4,1
0,3
6035
808.3
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν

13
Direção y:
05,0
60
30,3
85,0
85,0
4,1
0,3
6035
808.3
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
y
y
ddy
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,36
13,0
85,0
10,011,0
35
0,4
=
=
≅==
′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν

14
Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
ω = 0,36
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12φ20 - As,efe = 37,68cm2;
- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
2
26,37
15,1
50
4,1
0,3)6035(
36,0 cm
f
fA
A
yd
cdc
s =
××
×=
⋅
⋅= ω

15
Direção y:
Escolha do Ábaco:
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [d’/h=0,05] e A-18
[d’/h=0,10]
05,0
85,0
07,0
60
0,4
=
=
==
′
dy
d
y
y
h
d
μ
ν
Direção y:
Como ωx = 0,36 > ωy = 0,13:
- O arranjo para a direção “x” (12φ20 ) atende as duas
situações de cálculo da armadura;

16
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK)75,43
8
350
2010
8
10
mmmmmm
b
mm l
=<<
≤≤ φ
%4,0%63,085,0
15,1
50
4,1
0,3
15,0
%4,015,0
15,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
míns
mín
f
f
f
f
fA
N
A
A
ρ
νρ
%79,101794,0
6035
68,37
==
×
==
c
s
A
A
ρ
5- Detalhamento
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,4
2
%0,8
==máxρ

17
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
20
20
.,
≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
703522
≤
⎩
⎨
⎧ =×=⋅
≤
mm
mm
mm
tlt 5
5
4
20
4
5
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
==
≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 20
242,01212
35cmseçãodadimensãomenor
20
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/20

18
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK)404,83,2
4,8
16
0,265,025,2260
1
22
cmacmacma
cma
n
nch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Como (a+ φl) =10,4cm ≈ 20φt = 10cm, é necessário
proteção contra flambagem apenas nas duas barras
centrais (estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos

19
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,223525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
400,525,2235
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
)180(20/529
291
20
560
1
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=+
+
=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
f) Número de estribos
( )[ ]4020/5292 cφ×
180

20
5- Detalhamento
f) Desenho da seção
transversal
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥=⋅⋅=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥≥⋅⋅=
mm
l
lll
mm
l
l
A
A
ll
b
bbnecb
b
b
efs
calcs
bnecb
100
10
3,0
0,10,1
100
10
3,0
,
min,
,
,
1,
φ
φα
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥≥=
mm
l
lll
b
ocnecboc
200
15
6,0
min,, φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas

21
5- Detalhamento
bd
yd
b
f
f
l ⋅=
4
φ
3
2
3
2
3375,0
21,0
0,10,125,2
321
ckbd
c
ck
bd
ctdbd
ff
f
f
ff
⋅=
⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
γ
ηηη
⎩
⎨
⎧
≥=
mm
ll boc
200
15φ
5- Detalhamento
3
2
3
2
35,13375,04 ck
yd
ck
yd
b
f
f
f
f
l
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
φ

22
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
7071,66
3035,1
15,1
500
0,2
35,1
3
2
3
2
≈=
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
5- Detalhamento
Logo:
⎩
⎨
⎧ =×=
≥==
mm
cm
cmll boc
200
300,21515
70
φ
cml
lhll ocviga
63070560
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais

23
5- Detalhamento
Desenho do Pilar P5:
630
Dados iniciais:

24
Dados iniciais:
460
Dados iniciais:
Nk = 1.670kN
Nd = 1,4 x 1.670 = 2.338kN
Na direção x:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
423
460
423
460
42325398
39862460
0
0
0
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Características Geométricas
Comprimentos equivalentes do Pilar:

25
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
460
460
478
460
47870408
40852460
0
0
0
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Vão efetivo da Viga V2:
cml
aall
viga
vigaovigaef
570
2
35
2
25
600,0
21,,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P4:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,12
6,18623,03,0
5,12
2
25
2 1
2,21
4,
1
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===

26
Vão efetivo da Viga V2:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,17
6,18623,03,0
5,17
2
35
2 2
2,22
5,
2
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
viga
vigaovigaef
6005,175,12570,0
21,,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V2:
b) Momento fletor no Pilar P4:
Modelo Simplificado NBR 6118:2003:

27
3
3
sup
sup 293.1
423
2
1
12
2570
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1293cm3
Rigidez da viga:
3
3
648.2
600
12
6220
44
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅
⋅
=
⋅
=
cmkNkNm
lqg
M
viga
eng ⋅==
⋅
=
⋅+
= 700.557
12
0,619
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MM
viga
eng ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⋅= 408.1
293.1293.1648.2
293.1
700.5
infsup
sup
sup

28
Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:
Minf = Msup = 1.408kN.cm
Na direção y:
8,22
70
1246012
=
⋅
=
⋅
==
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Na direção x:
6,58
25
1242312
=
⋅
=
⋅
==
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ

29
2- Excentricidades:
Na direção x:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseixtopoix 84,0
338.2
408.14,1,
,, =
⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
34,0
34,084,04,017,0)84,0(4,084,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Na direção y: cm
N
M
eee
d
Ady
meioiybaseiytopoiy 0,0
338.2
0,0,
,,, =====
Sendo:
2- Excentricidades:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466,0
60,4100
1
100
1
00486,0
23,4100
1
100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
⋅=
⋅=
θ
θ

30
rad00333,0
300
1
min,11 ==≥ θθ
(OK)00466,0
(OK)00486,0
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
07,1
2
460
00466,0
2
03,1
2
423
00486,0
2
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015)(
0,03h0,015)(
+=
+=
y
x
e
e
Logo:
cme
cme
y
x
60,370,003,0015,00,03h0,015)(
25,225,003,0015,00,03h0,015)(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=

31
kNcmeNM
kNcmeNM
yiddy
xiddx
8,416.860,3338.2)(
5,260.525,2338.2)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
Momentos mínimos:
cme
cme
y
x
60,3
25,2
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
60,3)(0
25,2)(84,0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
60,3)(07,107,10
25,2)(37,103,134,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
cme
cme
y
x
60,3
25,2
1
1
=
=

32
90
35
e
5,1225
1
b
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
i
h
e
cmhe
h
e
xxi
xb
x
xi
x 2584,0:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo4,25
0,1
25
84,0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.971,2kNcm < M1dx,mín = 5.260,5kNcm 0,1, =xbα
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 700:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo25
0,1
70
0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα

33
na direção y.
cml
cmkNeNMcmkNM
xe
xmíndmíndAd
b
423
.5,260.525,2338.2)(2,971.1
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥⋅=
=α
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
Direção x:

34
62,0
4,1
0,3
)7025(
338.2
=
⋅⋅
=
⋅
=
cdc
sd
fA
N
ν
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,0
5,0
005,01
≤
+
=
ν
( )
44
100,2
25
005,0
1079,1
5,062,025
005,01 −−
⋅=<⋅=
+
=
r
(OK)
Direção x:
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
7,748.12
5,260.51079,1
10
423
338.25,260.50,1
,
4
2
,
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
cm
N
M
e
d
totd
xtot 45,5
338.2
7,748.12,
, ===

35
3- Situações de Projeto e de Cálculo:
cm
N
M
e
cmkNM
kNN
d
totd
x
totd
d
45,5
338.2
7,748.12
7,748.12
338.2
,
,
===
⋅=
=
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária – Flexão normal composta
Direção y: Seção Extremidade – Flexão oblíqua
cmee
cmee
kNN
yy
topoixx
d
60,3
84,0
338.2
1
,
==
==
=

36
Direção x:
14,0
25
45,5
62,0
62,0
4,1
0,3
7025
338.2
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
Direção y:
03,0032,0
70
60,3
62,0
02,0021,0
25
84,0
62,0
62,0
4,1
0,3
7025
338.2
≅=×=⋅=
≅=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
y
y
ddy
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
h
e
ν
fA
N
μ
μ
ν

37
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
14,0
62,0
15,016,0
25
0,4
=
=
≅==
′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
ω = 0,25

38
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12φ16 - As,efe = 24,12cm2;
2
52,21
15,1
50
4,1
0,3)7025(
25,0 cm
f
fA
A
yd
cdc
s =
××
×=
⋅
⋅= ω
Direção y:
03,0032,0
70
60,3
62,0
02,0021,0
25
84,0
62,0
62,0
15,016,0
25
0,4
05,006,0
70
0,4
≅=⋅=⋅=
≅=⋅=⋅=
=
≅==
′
≅==
′
y
y
ddy
x
x
ddx
d
x
x
y
y
h
e
h
e
h
d
h
d
νμ
νμ
ν

39
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Como não há arranjo para 12φ, escolhe-se os ábaco A-16
[20φ] e A-17 [8φ] de Pinheiro (1994)
Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0

40
Como ωx = 0,25 > ωy = 0,0:
- O arranjo para a direção “x” (12φ16 ) atende as duas
situações de cálculo da armadura;
5- Detalhamento
a) Diâmetro das barras
(OK)25,31
8
250
1610
8
10
mmmmmm
b
mm l
=<<
≤≤ φ

41
%4,0%46,062,0
15,1
50
4,1
0,3
15,0
%4,015,0
15,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
míns
mín
f
f
f
f
fA
N
A
A
ρ
νρ
%38,10138,0
7025
12,24
==
×
==
c
s
A
A
ρ
5- Detalhamento
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,4
2
%0,8
==máxρ
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
16
20
.,
≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
502522
≤
⎩
⎨
⎧ =×=⋅
≤

42
mm
mm
mm
tlt 5
4
4
16
4
5
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
≥ φφφ
5- Detalhamento
a) Diâmetro
cms
cm
cm
s t
l
t 19
2,191,61212
20
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/19
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
(OK)409,103,2
9,10
16
6,165,025,2270
1
22
cmacmacma
cma
n
nch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ

43
5- Detalhamento
Como (a+ φl) =12,5cm > 20φt = 10cm, é necessário
proteção contra flambagem em todas as barras centrais
(estribos suplementares)
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,222525,22702
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
5- Detalhamento
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=

44
)180(19/525
251
19
460
1
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=+
+
=
5- Detalhamento
( )[ ]3019/5254 cφ×
180C/19
C/19
5- Detalhamento
transversal

45
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
5537,53
3035,1
15,1
500
6,1
35,1
3
2
3
2
≈=
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
5- Detalhamento
Logo:
⎩
⎨
⎧ =×=
≥==
mm
cm
cmll boc
200
246,11515
55
φ
cml
lhll ocviga
51555460
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento

46
5- Detalhamento
180
515
C/19
C/19
C/19
Dados iniciais:

47
Dados iniciais:
Dados iniciais:
Nk = 1.230kN
Nd = 1,4 x 1.230 = 1.722kN
Na direção x:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
423
460
423
460
42325398
39862460
0
0
0
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Características Geométricas

48
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
460
460
468
460
46860408
40852460
0
0
0
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Vão efetivo das Vigas V1 e V4:
a) Viga V1:
cml
aall
V
VoVef
5,557
2
60
2
25
6001,0
211,1,
=−−=
++=
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,12
6,18623,03,0
5,12
2
25
2 1
11
1,
1
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===

49
a) Viga V1:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
6,18
6,18623,03,0
0,30
2
60
2 2
12
2,
2
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
6,5886,185,125,5571,
211,1,
=++=
++=
b) Viga V4:
cml
aall
V
VoVef
0,315
2
70
60
2
20
4004,0
214,4,
=−−+=
++=
cma
cmha
cm
h
a
V
Py
6,15
6,15523,03,0
0,30
2
60
2 1
41
1,
1
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===

50
b) Viga V4:
cma
cmha
cm
h
a
V
Py
6,15
6,15523,03,0
0,35
2
70
2 2
42
4,
2
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
2,3466,156,150,3154,
214,4,
=++=
++=
Momento fletor relativo a viga V1:
Eixo “x”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003

51
3
3
sup
sup 108.1
423
2
1
12
2560
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
rinf = rsup = 1.108cm3
Rigidez da viga:
3
3
699.2
6,588
12
6220
44
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅
⋅
=
⋅
=
cmkNkNm
lqg
M
viga
eng ⋅==
⋅
=
⋅+
= 774.574,57
12
886,520
12
)( 22
cmkN
rrr
r
MMM
viga
eng ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⋅== 302.1
108.1108.1699.2
108.1
774.5
infsup
sup
infsup

52
Eixo “y”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
3
3
sup
sup 870.5
460
2
1
12
6025
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
rinf = rsup = 5.870cm3
Rigidez da viga:
3
3
625.1
2,346
12
5212
44
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅
⋅
=
⋅
=

53
cmkNkNm
lqg
M
viga
eng ⋅==
⋅
=
⋅+
= 598.198,15
12
462,316
12
)( 22
cmkN
rrr
r
MMM
viga
eng ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⋅== 702
870.5870.5625.1
870.5
598.1
infsup
sup
infsup
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar P1

54
Na direção y:
6,26
60
1246012
=
⋅
=
⋅
==
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Na direção x:
6,58
25
1242312
=
⋅
=
⋅
==
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ
2- Excentricidades:
Na direção x:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseixtopoix 06,1
722.1
302.14,1,
,, =
⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
42,0
42,006,14,021,0)06,1(4,006,16,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=

55
2- Excentricidades:
Na direção y:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseiytopoiy 57,0
722.1
7024,1,
,, =
⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioiy
meioiy
iyiyiymeioiy
23,0
23,057,04,011,0)57,0(4,057,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Sendo:
2- Excentricidades:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466,0
60,4100
1
100
1
00486,0
23,4100
1
100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
⋅=
⋅=
θ
θ

56
rad00333,0
300
1
min,11 ==≥ θθ
(OK)00466,0
(OK)00486,0
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
07,1
2
460
00466,0
2
03,1
2
423
00486,0
2
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015)(
0,03h0,015)(
+=
+=
y
x
e
e
Logo:
cme
cme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015)(
25,225,003,0015,00,03h0,015)(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=

57
kNcmeNM
kNcmeNM
yiddy
xiddx
6,682.530,3722.1)(
5,874.325,2722.1)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
Momentos mínimos:
cme
cme
y
x
30,3
25,2
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(57,0
25,2)(06,1
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(30,107,123,0
25,2)(45,103,142,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
cme
cme
y
x
30,3
25,2
1
1
=
=

58
90
35
e
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
h
e
cmhe
h
e
xxi
xb
x
xi
x 2506,1:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo5,25
0,1
25
06,1
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.822,8kNcm < M1dx,mín = 3.874,5kNcm 0,1, =xbα
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 6057,0:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo1,25
0,1
60
057
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 982,8 < M1dy,mín = 5.682,6kNcm 0,1, =ybα

59
na direção y.
Para pilares sob flexão oblíqua, se em pelo menos
uma direção for necessário considerar o efeito de 2ª
ordem, deve-se considerar o efeito de 2ª ordem nas
duas direções principais.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
⋅
−
⋅
=
min,1
,1
2
,1
,
120
1 d
AdAdb
totd
M
MM
M
ν
κ
λ
α
νκ ⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+⋅=
d
totd
Nh
M ,
5132
Solução única:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
a
cabb
M totd
⋅
⋅⋅−+−
=
2
42
,
Addb
Adb
d
d
MNhc
M
Nh
Nhb
a
,1
,1
2
2,0
19200
2,0
1
⋅⋅⋅⋅−=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
α
α
λ

60
mKncmkNM
mkNcmkNM
kNN
mcmh
míndx
Adx
d
x
x
bx
⋅==
⋅=⋅=
=
==
=
=
75,38.0,875.3
23,180,823.1
722.1
25,025
6,58
0,1
,1
,1
λ
α
Direção x:
Direção x:
6,569.123,18722.125,00,12,0
2,0
126,923,180,1
19200
722.125,06,58
722.125,02,0
19200
2,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
−=⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
c
MNhc
b
M
Nh
Nhb
a
Adxdxbx
Adxbx
dxx
dx
α
α
λ

61
Direção x:
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅=
>⋅=⋅=
⋅
−⋅⋅−−+−−
=
⋅
⋅⋅−+−
=
mkNM
mkNM
cmkNmkNM
M
a
cabb
M
dx
Adx
totdx
totdx
totdx
875.3
823.1
3,444.4443,44
0,12
6,569.10,14126,9126,9
2
4
min,1
,1
,
2
,
2
,
cm
N
M
e
d
totdx
xtot 58,2
722.1
3,444.4,
, ===
mKncmkNM
mkNcmkNM
kNN
mcmh
mínyd
Ayd
d
y
y
bx
⋅==
⋅=⋅=
=
==
=
=
83,56.683.5
83,9983
722.1
60,060
6,26
0,1
,1
,1
λ
α
Direção y:

62
Direção y:
3,031.283,9722.160,00,12,0
2,0
73,15883,90,1
19200
722.160,06,26
722.160,02,0
19200
2,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
=⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
c
MNhc
b
M
Nh
Nhb
a
Adxdxbx
Adyby
dyy
dy
α
α
λ
Direção y:
( )
cmkNM
cmkNM
cmkNM
cmkNmkNM
M
a
cabb
M
totdy
dx
Adx
totdy
totdy
totdy
⋅=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅=
≥⋅=⋅=
⋅
−⋅⋅−+−
=
⋅
⋅⋅−+−
=
683.5
683.5
983
4,190.1904,11
0,12
3,031.20,1473,15873,158
2
4
,
min,1
,1
,
2
,
2
,
cm
N
M
e
d
totdy
ytot 30,3
722.1
683.5,
, ===

63
cme
cme
kNN
y
x
d
30,3
58,2
722.1
=
=
=
cme
cme
kNN
y
x
d
57,0
25,2
722.1
=
=
=
a) Situação de cálculo:
Seção Intermediária – Flexão obíqua
Seção Extremidade – Flexão oblíqua
Direção x: Direção y:
cme
cme
kNN
y
x
d
30,3
06,1
722.1
=
=
=
Situação mais desfavorável
03,0
60
30,3
54,0
06,0
25
58,2
54,0
54,0
4,1
0,3
6025
722.1
=×=⋅=
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
y
y
ddy
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
h
e
ν
fA
N
μ
μ
ν

64
15,016,0
25
0,4
05,007,0
60
0,4
≅==
′
≅==
′
x
x
y
y
h
d
h
d
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [Pimheiro, 1994]
03,0
60
30,3
54,0
06,0
25
58,2
54,0
54,0
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=
y
y
ddy
x
x
ddx
d
h
e
h
e
νμ
νμ
ν
Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0

65
Área das barras:
A seção precisa ser armada com armadura mínima.
2
0,0 cm
f
fA
A
yd
cdc
s =
⋅
⋅= ω
22
, 00,66025004,0%4,094,5
15,1
50
722.1
15,015,0 cmAcm
f
N
A c
yd
d
míns =××=≥=⋅=⋅=
%0,4
2
%0,8
%5,0
6025
36,7
==<=
×
== máx
c
s
A
A
ρρ
5- Detalhamento
a) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
Escolha das barras:
- 6φ12,5 - As,efe = 7,36cm2;
2
0,6 cmAs =

66
5- Detalhamento
b) Diâmetro das barras
(OK)25,31
8
250
5,1210
8
10
mmmmmm
b
mm l
=<<
≤≤ φ
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
5,12
20
.,
≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
502522
≤
⎩
⎨
⎧ =×=⋅
≤

67
mm
mm
mm
tlt 5
1,3
4
5,12
4
5
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
≥ φφφ
5- Detalhamento
a) Diâmetro
cms
cm
cm
s t
l
t 15
151,251212
20
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/15
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
(OK)4013,253,2
13,25
13
25,135,025,2260
1
22
cmacmacma
cma
n
nch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ

68
5- Detalhamento
Como (a+ φl) =26,4cm > 20φt = 10cm, é necessário
proteção contra flambagem na barra central (estribo
suplementar)
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1600,525,222525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
5- Detalhamento
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=

69
)160(15/532
321
15
460
1
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=+
+
=
5- Detalhamento
( )3015/532 cφ
N2 - 32φ5,0 c/15 C = 160
55
N3 - 32φ5,0 c/15 C = 30
5- Detalhamento
transversal
6 φ 12,5 mm
26,4 cm

70
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
4570,41
3035,1
15,1
500
25,1
35,1
3
2
3
2
≈=
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
5- Detalhamento
Logo:
⎩
⎨
⎧ =×=
≥==
mm
cm
cmll boc
200
75,1825,11515
45
φ
cml
lhll ocviga
50545460
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento

71
5- Detalhamento
N2 - 32φ5,0 c/15 C = 160
N3 - 32φ5,0 c/15 C = 30
N1-6φ12,5,0C=505
32N2c/15
55

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