SistemasEstruturaisparaArquitetura_Parte5_PrticosIsostticos.pptx

Sistemas Estruturais
Prof. Ricardo A. M. Silveira
Deciv/EM/UFOP
5. PÓRTICOS (QUADROS)
ISOSTÁTICOS

SUMÁRIO
5.1. Introdução
5.2. Pórticos Engastados-Livres
5.3. Pórticos Biapoiados
5.4. Pórticos Triarticulados
5.5. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (ou Escora)
5.6. Pórticos Compostos
5.7. Estabilidade
5.8. Grau de Indeterminação
5.9. Barras Inclinadas
5.10. Pórticos com Barras Curvas (Arcos)
5.11. Arcos Triarticulados
5.12. Pórticos Espaciais
5. Pórticos (Quadros) Isostáticos

5. PÓRTICOS (QUADROS)
ISOSTÁTICOS
5.1. INTRODUÇÃO
São estruturas reticuladas formadas por várias barras situadas num único
plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural.
a) Definição
• Os nós entre as barras são LIGAÇÕES RÍGIDAS ou ROTULADAS
• Esforços solicitantes numa dada seção: MOMENTO FLETOR (M),
ESFORÇO CORTANTE (V) e ESFORÇO NORMAL (N)
• Pórticos simples ou compostos
• Barras retilíneas ou curvas (arcos)
b) Observações

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
c) Exemplos
Pórticos com barras retilíneas
(b) Biapoiado
(c) Triarticulado (d) Atirantado, biapoiado e
articulação interna
(a) Em balanço
(e) De múltiplos vãos (f) De múltiplis andares
P
P P
P
P
P
P
P p
p
p

Pórticos com barras curvas
(a) Biapoiado
(c) Triarticulado
(b) Biengastado com articulação
(d) Atirantado
p
p
p
p

Pórticos compostos

Pórticos espaciais

c) Diagramas de esforços solicitantes
1. Momento Fletor (DMF)
2. Esforços Cortantes (DEC) e Esforços Normais (DEN)
Obter os momentos fletores atuantes nos nós das barras e, em seguida,
ligá-los por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se
os diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam
sobre cada uma das barras que constituem o quadro.
Obtenção imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reações de
apoio.

5.2. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES
Exemplo : Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
A
C
D
E
B
F

5.3 PÓRTICOS BIAPOIADOS
Pede-se: Reações e diagramas (DMF, DEC e DEN)

5.4. PÓRTICOS TRIARTICULADOS
Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

CUIDADO !!! Pórticos Triarticulados

5.5. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO
E TIRANTE (OU ESCORA)

ESCORAS E TIRANTES
Definição: uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre
ela funciona como uma ligação do primeiro gênero, surgindo nesta apenas
forças na direção do seu eixo (esforço normal).
Quando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA,
quando está TRACIONADA diz-se que é um TIRANTE
N
N
Escora
N
N
Tirante
ESCORA
TIRANTE
PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA)

5.6. PÓRTICOS COMPOSTOS
a) Definição: são estruturas formadas através de associações de quadros simples.
Quadro Composto
Quadros Simples

1. Decompor o quadro composto original em quadros simples.
2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade própria.
3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade própria para o
carregamento atuante sobre eles.
4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade própria
para o carregamento atuante sobre eles, acrescidos das forças
transmitidas pelas rótulas.
b) Solução

Quadro Composto
Quadros Simples
PÓRTICOS COMPOSTOS

Pede-se: 1. Reações de apoio
2. Diagramas: DMF e DEN
Quadro Composto
PÓRTICOS COMPOSTOS
F

Solução:
1. Decompor o pórtico composto original em pórticos simples
2. Verificar qual o pórtico com e sem estabilidade própria
Sem estabilidade
própria
Com estabilidade
própria

Solução:
3. Resolver o pórtico simples sem estabilidade própria
para o carregamento atuante sobre ele
- Reações de apoio:
 
x Dx Fx Dx Fx
F 0 R R 0 R R 1

     

 
y Dy Fy Dy Fy
F 0 R R 0 R R 2
       

   
D Fy Fy
M 0 R 2a 1 1 0 R 0 3
       
   Dy
De 2 : R 0

   
dir Fx Fx
I
1
M 0 R a 1 0 R 4
a
     
   Dx
1
De 1 : R
a


- Esforços internos:
Seção D:
MD = 0
ND = 0
Seção F:
MF = 0
NF = 0
Seção Hi:
MH
i = - 1
NH
i = 0
Seção HD:
MH
D = - 1
NH
D = -1/a
Seção Ie:
MI
e = - 1
NI
e = -1/a
DMF: DEN:

Solução:
4. Resolver o pórtico simples com estabilidade própria
para o carregamento atuante sobre ele ACRESCIDO das força
transmitidas pelas rótulas

- Reações de apoio:
 
x Ax Bx Ax Bx
1 1
F 0 R R 0 R R 1
a a

       

 
y Ay By Ay By
F 0 R R 0 R R 2
       

       
A By By
1 1
M 0 R 4a 1 1 a a 0 R 0 3
a a
         
   Ay
De 2 : R 0

   
dir Bx Bx
E
1
M 0 R a 1 0 R 4
a
     
   Ax
1
De 1 : R
a


- Esforços internos:
Seção A:
MA = 0
NA = 0
Seção B:
MB = 0
NB = 0
Seção Ci:
MC
i = - 1
NC
i = 0
Seção CD:
MC
D = - 1
NC
D = -1/a
Seção Ee:
ME
e = - 1
NE
e = 0
Seção De:
MD
e = - 1
ND
e = -1/a
Seção DD:
MD
D = - 1
ND
D = 0
DMF: DEN:

5.7. ESTABILIDADE
Restrição Parcial
Restrição Inadequada
Restrição Inadequada

Está relacionado com as restrições impostas à estrutura (vigas, quadros,
pórticos, etc); ou se a estrutura é geometricamente instável ou estável.
Restrições Parciais
Restrições Inadequadas
r = número de incógnitas (reações e forças)
n = número de partes do sistema estrutural

r 3n
As reações são concorrentes (as linhas de ação das reações se
interceptam um ponto em comum) ou são paralelas.
Situações
a) Conceito Básico

r 3n

1. Restrições Parciais: 
r 3n

2. Restrições Inadequadas: 
r 3n

Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As
estruturas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem
atuar em qualquer lugar.
b) Aplicação
(c)
(a)
(b)
(d)
(e)

1. Estrutura Estaticamente Determinada
2. Estrutura Estaticamente Indeterminada
Todas as forças (reações e esforços internos) podem ser avaliadas através das
equações de equilíbrio da mecânica clássica.
As estruturas (vigas, quadros, pórticos, etc) têm mais forças incógnitas do que
equações de equilíbrio da mecânica clássica.
5.8. GRAU DE INDETERMINAÇÃO
r = número de incógnitas (reações e forças)
n = número de partes do sistema estrutural
a) Conceito Básico

r 3n

r 3n

Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou
estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de
indeterminação. As vigas são submetidas à carregamentos externos
conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.
b) Aplicação
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)

(f) (g)
(h) (i)

(j) (k)
(l)

5.9. BARRAS INCLINADAS
a) CASO A: Força distribuída em uma barra inclinada
1 x y
1
p p



1
p
p x
y
2 
Definição de p1 e p2:
Definição de p3 e p4: 3 1 2
p p sen p cos
   
4 1 2
p p cos p sen
    

x
cos 


y
sen 

2
2
x
y
2
2
y
x
3 p
p
p






2
y
x
y
2
y
x
x
4 p
p
p









e


y
3
3
1 p
sen
p
p 



x
3
3
2 p
cos
p
p 


y
1
x p
p



x
2
y p
p



3
y
y
3
y
1
x p
p
p
p 








3
x
x
3
x
2
y p
p
p
p 








b) CASO B: Força distribuída transversal em uma barra inclinada
e

x
cos 


y
sen 


c) Exemplo 1: Pórtico plano biapoiado com uma barra inclinada.
(i) Reações
B A
M 0 R 8 30(1
,5 5) 20 5 2,5 0
         

 A
R = 55,625 kN
Y A B
F 0 R R 30 20 5 0
       

 B
R = 74,375 kN
cos 3/5 0,6
  
sen 4/5 0,8
  

(ii) Esforços solicitantes
Viga auxiliar
DMF (kNm)
• Momento Fletor
DMF
DMF

• Esforço Cortantes e Normais
 Seção A:
 Seção Cd:
 Seção Dd:
 Seção B:
A A
V R cos 55,625 0,6 33,375 kN
    
A A
N R sen 55,625 0,8 44,5 kN
       
C' A
V V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN
      
D A
V R 30 55,625 30 25,625 kN
    
D
N 0

B D B
V V 20 5 25,625 100 74,375 kN R
        
B
N 0

DEC (kN)
DEN (kN)
C' A
N N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN
        
cos 3/5 0,6
  
sen 4/5 0,8
  

d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída
na horizontal.
Viga auxiliar
DMF DEC DEN

e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída
na vertical.
DMF DEC DEN

f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída
ao longo do comprimento da barra.
DMF DEC DEN

g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída
ao longo do comprimento da barra
DMF DEC DEN

5.10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)
Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas de esforços (DMF, DEC e DEN).
P
A B
s
q
R

5.11. ARCOS TRIARTICULADOS

a) Estudo
1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direções: princípios
gerais da Estática já utilizados.
2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituição.

b) Viga biapoiada de substituição
Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS
Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs
Notação

c) Equações de equilíbrio
        
 ' ' ' ' '
X A B A B
F 0 H cos H cos 0 H H H
Y A B i
i
F 0 V V P 0
 
    
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
 


 

B A 1 2 i 1 2 i
i
i 1 2 i
i
A
1 2
M 0 V l l P l l x 0
P l l x
V
l l
(1)
(2)
(3)
Substituindo (3) em (1):
 
 
i 1 2 i
i
B i A B i
i i 1 2
P l l x
V P V V P
l l
 
 
 
    


 
(4)
 
 
e
A 1 i 1 i
' ' i
A 1 i 1 i
G
i
V l P l x
M 0 V l H cos f P l x 0 H
f cos
 
 
 
 
        
  

  (5)
Arco

Viga de substituição
y a b i
i
F 0 V V P 0
 
    
 
 
  (6)
(7)
Substituindo (7) em (6):
(8)
 
g a 1 i 1 i
i
M V l P l x
 
  
 
 (9)
Momento fletor no ponto g:
   
 
 
b a 1 2 i 1 2 i
i
i 1 2 i
i
a
1 2
M 0 V l l P l l x 0
P l l x
V
l l
 
       
 
 
 
 


 

 
 
i 1 2 i
i
b i a b i
i i 1 2
P l l x
V P V V P
l l
 
 
 
    


 

Comparações: Arco x Viga de Substituição
Equações (3) e (7): VA = Va
Equações (4) e (8): VB = Vb
Equações (5) e (9): g
'
M
H =
f cos
As reações do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas
a viga de substituição.
(10)
(11)
(12)
Conclusão

d) Esforços solicitantes numa seção genérica S
  '
S A i i
i
M V x P x x H cos y
    

' '
S A i
i
V V cos P cos H cos sen Hsen cos
         

' '
S A i
i
N V sen P sen H cos cos Hsen sen
          

Simplificando as expressões (14) e (15), tem-se:
  '
S A i i
i
M V x P x x H cos y
    

 
'
S A i
i
V V P cos H sen
 
      
 
 

 
'
S A i
i
N V P sen H cos
 
       
 
 

(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Arco

Análise dos esforços VA e H’:
H’ cos :
Seção S
H' cos 

N
N V
 N = - H' cos  cos 
V = - H' cos  sen 
H’ sen :
Seção S
H' sen 
N
V

N = - H' sen  sen 
V = H' sen  cos 


VA
Seção S
N
V



VA
N = - V sen 
V = V cos 
A
A
H’

Viga
 
s a i i
i
M V x P x x
  

s a i
i
V V P
  
s
N 0

Comparações: Arco x Viga de Substituição
  '
S s
M M Hcos y

 
  
'
S s
V V cos H sen
  
 
  
'
S s
N = V sen H cos
  
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Observação: essas expressões permanecem válidas se ocorrerem também
cargas verticais distribuídas.

e) Linha de Pressões: determinação e definição
Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado
carregamento, todas as seções tenham MF nulo (MS = 0). Isto é,
adotando-se a notação empregada, obter a ordenada y para cada
seção S tal que MS = 0. São dados l1, l2, f e .
Solução: Na expressão (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:
'
S s
M M H cos y 0
   
 s
'
M
y
Hcos
(25)

Demonstração que VS = 0
Derivando-se (25):
s
s
' '
dM
V
dy dx
dx H cos H cos
 
 
 
 
 
E levando-se em conta que
*
* dy dY dy dy
y Y y tg tg
dx dx dx dx
         
  '
s
s
'
V
dy
tg tg V tg tg H cos
dx H cos
          

(26)
(27)
Chega-se, após a substiuição de (27) em (23), a:
   
' '
S
V tg tg H cos cos H sen
          
(28)
   
' '
S
V H sen H sen 0
        

Avaliação de NS
   
  
2 2
' '
S s
N V H sen Hcos
 
Inclinação da tangente ao eixo do arco
triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):


'
s
'
V H sen
tg
Hcos



Conclusão: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, está
submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de
pressões desse carregamento.
(29)
(30)

Observações Finais:
1. No caso da reta AB ser horizontal:
g
'
M
H
f

s
'
M
y
H

s
'
V
tg
H
 
2 '2
S s
N V H
 
(32)
(31)
(33)
(34)
2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima
para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de COMPRESSÃO.
3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima
para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de TRAÇÃO (Caso dos CABOS).

4. Linha de pressões: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econômica
de trabalho estrutural).
5. Linha de pressões para carregamento uniforme: PARÁBOLA do 2º GRAU.
6. Construtores da antiguidade: notável intuição estática (venceram grandes vãos
com arcos e abóbadas de alvenaria de pedra).
7. Arcos triarticulados: encontrados em várias construções.
Arcos biengastados (hiperestáticos): mais utilizados na prática.

e) Aplicação
Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do
carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se:
a. A linha de pressões.
b. Os esforços normais máximo e mínimo atuantes.
c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m.

Solução
Viga de substituição…??
Viga de substituição
Arco triarticulado

5.12. PÓRTICOS ESPACIAIS
Calcule as reações e os esforços internos do pórtico espacial mostrado abaixo:
a) Aplicação

Solução 1: Reações
x
y
z
F 0
F 0
F 0






x
y
z
M 0
M 0
M 0






Forças
Momentos

Solução 2: Esforços Internos
Elemento 3, Nó 3 ao Nó 4 Elemento 2, Nó 2 ao Nó 3

Elemento 1, Nó 1 ao Nó 2

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