Calculo pilares-Construção civil

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Calculo pilares-Construção civil

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROJETO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO AMÉRICO CAMPOS FILHO 2014
  2. 2. SUMÁRIO 1 – Dimensões ............................................................................................................................ 1 1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares .................................................. 1 1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares ................................................................................ 1 2 – Cálculo das solicitações nos pilares ..................................................................................... 4 2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis ........................................................... 4 2.2 – Contraventamento ............................................................................................................. 5 2.3 – Imperfeições geométricas ................................................................................................. 5 2.4 - Elementos isolados ............................................................................................................ 8 2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem ............................................ 8 2.5.1 - Parâmetro de instabilidade ............................................................................................. 8 2.5.2 - Coeficiente z .................................................................................................................. 8 2.6 - Análise de estruturas de nós fixos ..................................................................................... 9 2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de edifícios 10 3 - Análise de elementos isolados .............................................................................................. 12 3.1 – Generalidades ................................................................................................... 12 3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem ........................................................... 12 3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem .................................................................... 13 3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão .......................................................................... 13 3.3.2 - Método exato .................................................................................................................. 13 3.3.3 - Métodos aproximados .................................................................................................... 13 3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada .................................................... 13 3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez  aproximada .................................................... 14 3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r ............................................ 14 3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão composta oblíqua ....................................................................................................................... 14 3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2014 para verificação de pilares esbeltos ....... 15 4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua ................................................... 15 5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares ....................................................... 16 5.1 - Proteção contra flambagem das barras .............................................................................. 16 5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares ...................................................... 17 5.2.1 – Introdução ...................................................................................................................... 17 5.2.2 - Armaduras longitudinais ................................................................................................ 17 5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura ......................................................................... 17 5.2.2.2 - Distribuição transversal ............................................................................................... 18 5.2.2.3 – Comprimento de espera .............................................................................................. 18 5.2.3 - Armaduras transversais .................................................................................................. 19 5.2.4 – Detalhamento dos pilares .............................................................................................. 19 6 – Exemplos ............................................................................................................................. 21 Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 34
  3. 3. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 1 1 – Dimensões Os pilares dos edifícios correntes, com estrutura em concreto armado, têm, em geral, seções transversais constantes de piso a piso (concreto e aço). As seções transversais podem apresentar a forma quadrada, retangular, circular ou de uma figura composta por retângulos (seções L, T, U). 1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares As dimensões mínimas da seção transversal de pilares são fixadas no item 13.2.3 da NBR6118:2014. Conforme este item, a seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional n, de acordo com o indicado na tabela abaixo. Em qualquer caso, a norma não permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2 . Tabela – Valores do coeficiente adicional n b (cm)  19 18 17 16 15 14 n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 Nesta tabela, b é a menor dimensão da seção transversal do pilar e n = 1,95 – 0,05 b é um coeficiente que deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando do dimensionamento. 1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares Segundo o item 6 da NBR6118:2014 (diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto), as estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que, sob as condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto, conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o prazo correspondente à sua vida útil. A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto.
  4. 4. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 2 Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada de acordo com o apresentado na seguinte tabela e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes. Tabela - Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental (CAA) Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Submersa Insignificante II Moderada Urbana1), 2) Pequeno III Forte Marinha1) Industrial1), 2) Grande IV Muito forte Industrial1), 3) Respingos de maré Elevado 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. No item 7 da NBR6118:2014, são apresentados os critérios de projeto visando a durabilidade das estruturas de concreto. No item 7.4, são referenciados os critérios relativos à qualidade do concreto e cobrimento da armadura. A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela seguinte.
  5. 5. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 3 Tabela - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto Concreto Tipo Classe de agressividade (tabela 1) I II III IV Relação água/aglomerante em massa CA  0,65  0,60  0,55  0,45 CP  0,60  0,55  0,50  0,45 Classe de concreto (NBR 8953) CA  C20  C25  C30  C40 CP  C25  C30  C35  C40 NOTAS: CA - Componentes e elementos estruturais de concreto armado CP - Componentes e elementos estruturais de concreto protendido O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (c). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela abaixo para c=10 mm. Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser maior ou igual ao seu próprio diâmetro. cnom barra A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: dmax 1,2 cnom
  6. 6. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 4 Tabela- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c=10mm Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental I II III IV3) Cobrimento nominal mm Concreto armado Laje2) 20 25 35 45 Viga/Pilar 25 30 40 50 Elementos estruturais em contato com o solo 4) 30 40 50 Concreto protendido1) Laje 25 30 40 50 Viga/Pilar 30 35 45 55 1) Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto armado. 2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal 15 mm. 3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45mm. 4) No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm. 2 – Cálculo das solicitações nos pilares Conforme o item 15.4 da NBR6118:2014, sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura de um edifício deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas. 2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezáveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2ª ordem. As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais.
  7. 7. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 5 2.2 - Contraventamento Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós moveis. 2.3 – Imperfeições geométricas Segundo o item 11.3.3.4 da NBR6118:2014, na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. a) Imperfeições globais Na análise global dessas estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura abaixo. Figura - Imperfeições geométricas globais sendo: 1min = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 1máx  1/200. A sobreposição de vento e desaprumo não é necessária quando o menor valor entre eles não ultrapassar 30% do maior valor. Essa comparação pode ser feita com os momentos totais na base da construção e em cada direção e sentido da aplicação da ação do vento. Nesta comparação, deve-se considerar o desaprumo correspondente a θ1, não se considerando θ1mín. Quando a superposição for necessária, deve-se combinar com o vento o desaprumo correspondente a θ1, não se considerando θ1mín. Se o efeito de desaprumo for predominante, o valor do ângulo deve atender θ1mín. Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações atuando na mesma direção e sentido como equivalentes a uma ação de vento, portanto como carga variável, artificialmente amplificada para cobrir a superposição.
  8. 8. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 6 b) Imperfeições locais No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (figura a). No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar (figuras b e c, respectivamente). Figura - Imperfeições geométricas locais Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente. c) Momento mínimo O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser acrescidos os momentos de segunda ordem. Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da segurança, de acordo com a figura abaixo.
  9. 9. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 7 Figura – Envoltória mínima de primeira ordem Neste caso, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de primeira ordem. Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das direções do pilar, a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem. Para pilares de seção retangular, quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totais são calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem. A consideração desta envoltória mínima pode ser realizada através de duas análises à flexão composta normal, calculadas de forma isolada e com momentos fletores mínimos de 1ª ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direções principais. Figura - Envoltória mínima com 2ª ordem
  10. 10. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 8 2.4 - Elementos isolados São considerados elementos isolados (item 15.4.4 – NBR6118:2014), os seguintes: a) os elementos estruturais isostáticos; b) os elementos contraventados; c) os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2ª ordem. 2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem Os processos aproximados, apresentados a seguir, podem ser utilizados para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem, ou seja, para indicar se a estrutura pode ser classificada como de nós fixos, sem necessidade de cálculo rigoroso. 2.5.1 - Parâmetro de instabilidade Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade  for menor que o valor 1 conforme a expressão: )I/(ENH ccsktot sendo: 1=0,2+ 0,1n se: n  3 1=0,6 se: n  4 onde: n é o número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada; o valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. 2.5.2 - Coeficiente z O coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem. O valor de z para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:
  11. 11. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 9 1 1 ,,1 , dtot dtot z M M   onde: M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem; Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: z 1,1. 2.6 - Análise de estruturas de nós fixos Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido no item 15.8 da NBR6118:2014. O comprimento equivalente e do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: e = 0 + h e =  onde: 0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;  é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.
  12. 12. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 10 2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de edifícios Para efeitos de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados em três categorias: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto. Os pilares intermediários estão basicamente submetidos a cargas axiais de compressão. Como as vigas e lajes, que se apoiam nestes pilares, não sofrem interrupção total sobre os mesmos, admitem-se como desprezáveis os momentos fletores transmitidos para os pilares. A situação básica de projeto para os pilares intermediários é, portanto, a de compressão centrada. Os pilares de extremidade, em princípio, estão submetidos a flexão normal composta. A flexão decorre da interrupção sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada. No caso dos pilares de canto, em virtude da interrupção das vigas situadas nas duas bordas, existe uma situação de projeto de flexão oblíqua composta. Em todos os casos considerados, é importante observar que as situações de projeto levam em conta somente os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de 1ª ordem decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estrutura. Para o dimensionamento dos pilares, devem ser consideradas as excentricidades mínimas, que são também excentricidades de 1ª ordem, bem como, no caso de pilares esbeltos, as excentricidades de 2ª ordem. Figura – Arranjos estruturais dos pilares de edifícios (P.B.Fusco, Estruturas de Concreto – Solicitações Normais)
  13. 13. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 11 Segundo o item 14.6.6.1 da NBR6118:2014, pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais. Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes equações: - no tramo superior do pilar: suprinfrvigr supr  - no tramo inferior do pilar: suprinfrvigr infr  onde: ri é o coeficiente de rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme indicado na figura abaixo. Figura - Aproximação em apoios extremos Os coeficientes de rigidez são calculados através das expressões  vig vig vig I r I r I r  ; 2 ; 2 sup sup sup inf inf inf onde Iinf e Isup são os momentos principais centrais de inércia das seções transversais dos trechos inferior e superior do pilar e Ivig é o momento principal central de inércia da seção transversal da viga, considerando a contribuição das lajes.
  14. 14. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 12 3 - Análise de elementos isolados 3.1 - Generalidades As recomendações do item 15.8 da NBR6118:2014, que serão apresentadas a seguir são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção constante e armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos a flexo-compressão. Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (  200). Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,10fcdAc, o índice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com índice de esbeltez superior a 140, na análise dos efeitos locais de 2ª ordem, deve-se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional γn1 = 1 + [0,01.(λ – 140) / 1,4]. 3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite 1 estabelecido neste item. O índice de esbeltez deve ser calculado pela expressão:  = e/i sendo e o comprimento equivalente do pilar e i o raio de giração mínimo da seção transversal. O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: - a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; - a vinculação dos extremos da coluna isolada; - a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. O valor de 1 pode ser calculado pela expressão: he b  /5,1225 1 1   sendo: 9035 1   onde o valor de b para pilares biapoiados, sem cargas transversais, deve ser calculado por: 40,040,060,0  A B b M M  Os momentos MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário. Se o pilar apresentar momentos menores do que o momento mínimo, estabelecido no item 11.3.3.4.3 da NBR6118:2014, b deve ser tomado igual a 1.
  15. 15. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 13 3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem 3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão O cálculo pode ser feito pelo método exato ou por métodos aproximados. A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez  > 90. 3.3.2 - Método exato Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não- linearidade geométrica de maneira não aproximada. O método exato é obrigatório para >140. 3.3.3 - Métodos aproximados A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado. 3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com 90, seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: A1d, 2 e dA1d,btotd M r 1 10 NMM   , onde, 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada: hhr 005,0 )5,0( 005,01     sendo:  = Nd / (Ac fcd) e M1d,A  M1d,min onde, h é a altura da seção na direção considerada. O momento M1d,A e o coeficiente b têm as mesmas definições do item 3.2, sendo M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA.
  16. 16. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 14 3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez aproximada Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com 90, seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:          min1d, A1d, 2 A1d, , M M /120 1 M   b totdM sendo o valor da rigidez adimensional dado, aproximadamente, pela expressão:           d totd, h.N M 5132 As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas no item anterior. Usualmente duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo. Este procedimento recai na formulação direta dada abaixo:            Adbd Adb ed dtotdtotd MhNC Mh N NhB hA ondeCMBMA ,1 2 ,1 2 2 , 2 , ... ...5 320 . . .5 :,0..    A CABB M totd .2 ..42 ,   3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com 140 pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso. 3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão composta oblíqua Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua for menor que 90 (<90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo
  17. 17. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 15 aproximado descrito no item 3.3.3.1, 3.3.3.2 e 3.3.3.3 simultaneamente em cada uma das duas direções. A obtenção dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez. Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x e y). 3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2014 para verificação de pilares esbeltos As exigências feitas pela NBR6118:2014, para a verificação da segurança de pilares esbeltos, estão resumidas no quadro abaixo.  f Consideração dos efeitos de 2a ordem PROCESSO DE CÁLCULO Consideração da fluência Exato Aproximado (diagramas M, N, 1/r) Simplificado  1 1,4 dispensável - - - -  90 obrigatória dispensável permitido permitido dispensável 140 não permitido obrigatória 200 1,4+0,01(λ – 140) obrigatório não permitido NÃO É PERMITIDO EMPREGAR  > 200 4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua Conforme o item 17.2.5 da NBR6118:2014, nas situações de flexão simples ou composta oblíqua pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação:
  18. 18. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 16 1= M M + M M yy,Rd y,Rd xx,Rd x,Rd                  onde: MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Estes são os valores que se deseja obter; MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo;  é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado =1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares pode se adotar =1,2. 5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares 5.1 - Proteção contra flambagem das barras De acordo com o item 18.2.4 da NBR6118:2014, sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20t do canto, se nesse trecho de comprimento 20t não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Figura - Proteção contra flambagem das barras
  19. 19. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 17 No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal. 5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares 5.2.1 - Introdução As exigências, que seguem (item 18.4 da NBR6118:2014), referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são válidas para as regiões especiais. Quando a primeira condição não for satisfeita, o pilar deve ser tratado como pilar parede, aplicando-se o disposto no item 18.5 da NBR6118:2014. 5.2.2 - Armaduras longitudinais 5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão transversal. A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos especificados no item 17.3.5.3 da NBR6118:2014. Conforme este item, a taxa de armadura deve ter o valor mínimo, expresso a seguir: %,,, min 400 f f 150 A A yd cd c míns  sendo: = Nd/(Ac.fcd) onde  é o valor da força normal adimensionalizada. A tabela abaixo fornece valores para min, com o uso de aço CA-50 e considerando c = 1,4 e s = 1,15. Tabela - Taxas mínimas de armadura de pilares Valores de mín fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90  0,1 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,2 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,419% 0,444% 0,3 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,407% 0,444% 0,481% 0,518% 0,554% 0,591% 0,628% 0,665% 0,4 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,400% 0,444% 0,493% 0,542% 0,591% 0,641% 0,690% 0,739% 0,789% 0,838% 0,887% 0,5 0,400% 0,400% 0,400% 0,431% 0,493% 0,554% 0,616% 0,678% 0,739% 0,801% 0,863% 0,924% 0,986% 1,047% 1,109% 0,6 0,400% 0,400% 0,444% 0,518% 0,591% 0,665% 0,739% 0,813% 0,887% 0,961% 1,035% 1,109% 1,183% 1,257% 1,331% 0,7 0,400% 0,431% 0,518% 0,604% 0,690% 0,776% 0,863% 0,949% 1,035% 1,121% 1,208% 1,294% 1,380% 1,466% 1,553% 0,8 0,400% 0,493% 0,591% 0,690% 0,789% 0,887% 0,986% 1,084% 1,183% 1,281% 1,380% 1,479% 1,577% 1,676% 1,774% Para aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15
  20. 20. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 18 A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. As, máx = 8,0% Ac 5.2.2.2 - Distribuição transversal As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. O espaçamento livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: - 20 mm; - o diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 1,2 vezes a dimensão máxima do agregado graúdo. Para feixes de barras, deve-se considerar o diâmetro do feixe: √ . Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 400 mm. 5.2.2.3 – Comprimento de espera Conforme o item 9.5.2.3 da NBR6118:2014, o comprimento de espera das barras da armadura longitudinal dos pilares deve ser calculado por  min,0 , , 0 c efs calcs bc A A  sendo 0c, min o maior valor entre 0,6 b , 15 e 200mm. O valor b é o comprimento de ancoragem básico. Este comprimento é definido como o comprimento reto de uma barra de armadura necessário para ancorar a força limite Asfyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. O comprimento de ancoragem básico é dado por:    25 f f 4 bd yd b
  21. 21. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 19 A resistência de aderência, para barras nervuradas, pode ser calculada pela expressão m,ctbd f125,1f  - para concretos de classe até C50:  MPaf3,0f 3/2 ckm,ct  - para concretos de classes de C50 até C90:    MPaf11,01ln12,2f ckm,ct  Para o aço CA-50, o comprimento de ancoragem básico pode ser obtido, em função do valor característico da resistência à compressão do concreto, da tabela abaixo. fck [MPa] 15 20 25 30 35 40 45 50 55 ≥60 b 53 44 38 34 30 28 26 26 26 25 5.2.3 - Armaduras transversais A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:  200 mm;  menor dimensão da seção;  24 para CA-25, 12 para CA-50. Pode ser adotado o valor t</4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:         2 90 t yk máx f GPa s 5.2.4 – Detalhamento dos pilares A figura abaixo ilustra a forma que deve ser apresentado o detalhamento de um trecho de pilar, compreendido entre dois pavimentos consecutivos.
  22. 22. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 20 75 25 70 20 19 estr. 6,3 s=20 =199 20 95 estr. 6,3 s=20 =39 3o . ANDAR 2o . ANDAR 1816 =45080 Figura – Detalhamento de um pilar Figura – Continuidade das armaduras junto a lajes de piso Para realizar as emendas por traspasse junto a lajes de piso, basta, em geral, dobrar ligeiramente a parte superior das barras de canto inferiores, a fim de absorver os momentos. Nos locais de dobra, o esforço devido à mudança de direção das barras, agindo de dentro para fora, deve ser absorvido por estribos. Quando os pilares diminuírem de seção, recomendam-se os detalhes das figuras acima. 0c 0c h <h/2 0c h h/2 0c + h/2
  23. 23. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 21 As barras da armadura longitudinal que não terão prolongamento no tramo superior do pilar devem ser adequadamente ancoradas. Conforme o item 9.4.2.5 da NBR6118:2014, o comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:  min,b ef,s calc,s bnec,b A A  sendo b, min o maior valor entre 0,3 b , 10 e 100 mm. 6 - Exemplos seção retangular: hx = 30 cm; hy = 40 cm C25  fck = 2,5 kN/cm2  fcd = 1,786 kN/cm2 CA50  fyk = 50 kN/cm2  fyd = 43,48 kN/cm2 d' = c + t + 2 = 2,5 cm + 0,5 cm + 1,25 cm = 4,25 cm  5 cm mm 1/8 hx = 30/8 = 3,75 cm (hx é a menor dimensão da seção) Exemplo 1: N = 1500 kN Mx = 0  e1x = Mx/N = 0 My = 0  e1y = My/N = 0 ℓe = 2,6 m 46,3 h 12 h hb 12 hb A I i i 3 e            5,22 40 260 46,3 h 46,3 0,30 30 260 46,3 h 46,3 h 46,3 y e y x e x e    e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h 1 ecm2,7400,031,5h0,03cm1,5e ecm2,4300,031,5h0,03cm1,5e b 1yymín1y, 1xxmín1x,       35 9035 25 h/e5,1225 1 1 b 1 1            curtopilar 0e 0e y21y x21x     
  24. 24. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 22 - primeira situação de cálculo: cm21,8AA cm5'd;cm25d;cm30h;cm40b m.kN364,21500eNM kN1500N 2 2s1s mín,x1x        - segunda situação de cálculo: - detalhamento (primeira alternativa): adotando-se para a armadura longitudinal )cm64,19(254 2  , deve-se verificar, inicialmente, se a envoltória resistente engloba a envoltória mínima solicitante: - envoltória mínima de 1ª. ordem (curva vermelha): 1 m.kN5,40 M + m.kN36 M = M M + M M 2 y,mín,1 2 x,mín,1 2 yy,mín,1 y,mín,1 2 xx,mín,1 x,mín,1                           - envoltória resistente (curva azul): 1= m.kN56,65 M + m.kN51,46 M = M M + M M 2,1 y,R 2,1 x,R 2,1 yy,R y,R 2,1 xx,R x,R                           Como a envoltória resistente engloba a envoltória mínima de 1ª. ordem, a armadura adotada é suficiente. - adotando-se estribos de 5 mm, têm-se                 cm18 5,2 5,0 5,0 90 f GPa90 mm25,64/mm5como cm305,21212 cm30h cm20 s 22 t yk t x t    resultando estribos .cm18/c5 cm18,7AA cm5'd;cm35d;cm40h;cm30b m.kN5,407,21500eNM kN1500N 2 2s1s mín,y1y       
  25. 25. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 23 * espaçamento das barras: .OKcm5,2cm195,225,025,2230e cm3,29,12,1d2,1 cm5,21 cm2 e máx          .OKcm40cm5,315,25,025,2240s cm60h2 cm40 s x       * taxa de armadura longitudinal: .OK)2(%8 .OK%604,0980,0 48,43 786,1 15,0 980,0 786,14030 15004,1 fA N %40,0 f f15,0 %64,1 4030 64,19 A A máx mín cdc d yd cd mín c s           * comprimento de espera:       cm20 15 6,0 A A b ef,s cal,s bc0    cm80836,05,238 82,9 18,7 , 82,9 21,8 máxx38c0        - detalhamento (segunda alternativa): adotando-se para a armadura longitudinal )cm61,20(164204 2  , deve-se verificar, inicialmente, se a envoltória resistente engloba a envoltória mínima solicitante:
  26. 26. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 24 - envoltória mínima de 1ª. ordem (curva vermelha): 1 m.kN5,40 M + m.kN36 M = M M + M M 2 y,mín,1 2 x,mín,1 2 yy,mín,1 y,mín,1 2 xx,mín,1 x,mín,1                           - envoltória resistente (curva azul): 1= m.kN45,51 M + m.kN64,36 M = M M + M M 2,1 y,R 2,1 x,R 2,1 yy,R y,R 2,1 xx,R x,R                           Como a envoltória resistente não engloba a envoltória mínima de 1ª. ordem, a armadura adotada é insuficiente. Adota-se, então, para a armadura longitudinal )cm14,25(208 2  . - envoltória resistente (curva verde): 1= m.kN98,61 M + m.kN02,44 M = M M + M M 2,1 y,R 2,1 x,R 2,1 yy,R y,R 2,1 xx,R x,R                           Como a envoltória resistente passa a englobar a envoltória mínima de 1ª. ordem, a nova armadura adotada é suficiente. - adotando-se estribos de 5 mm, têm-se            .OKmm54/mm5como cm2421212 cm30h cm20 s t x t   resultando estribos .cm20/c5 * espaçamento das barras: .OKcm3,2cm9 2 235,025,2230 e cm3,29,12,1d2,1 cm21 cm2 e máx            .OKcm40cm16 2 25,025,2240 s cm60h2 cm40 s x        
  27. 27. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 25 * taxa de armadura longitudinal: .OK)2(%8 .OK%604,0980,0 48,43 786,1 15,0 980,0 786,14030 15004,1 fA N %40,0 f f 15,0 %10,2 4030 14,25 A A máx mín cdc d yd cd mín c s           * comprimento de espera:       cm20 15 6,0 A A máx, b ef,s cal,s bc0    cm66871,0238 43,9 18,7 , 43,9 21,8 máx38c0        * proteção contra flambagem: direçõesduasnaslementaressupestribos cm105,02020cm16 2 25,025,2240 s cm105,02020cm11 2 25,025,2230 s ty tx             Exemplo 2: N = 1200 kN Mx = ± 56 kN.m cm67,4 1200 5600 ee B x1 A x1  My = 0  e1y = My/N = 0 ℓe = 2,6 m          5,22 40 260 46,3 h 46,3 0,30 30 260 46,3 h 46,3 h 46,3 y e y x e x e   
  28. 28. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 26 - direção x: 0e4,6730 )9035(4,67 40,0 30 67,4 5,1225 h e5,1225 40,040,020,0 67,4 )67,4( 40,060,040,0 e e40,060,0 cm67,4ecm2,4300,031,5h0,03cm1,5e x2x1x x1 bx x x1 x1 bxbxA x1 B x1 bx 1xxmín1x,            - direção y: 0e355,22 359035como25 1 40 0 5,1225 h e 5,1225 10ecm2,7400,031,5h0,03cm1,5e y2y1y y1y1 by y y1 y1 by1yymín1y,         - primeira situação de cálculo: cm4,2 0e ecm67,4ee kN1200N y mín,x1x1x          - segunda situação de cálculo:         cm7,2ee cm67,4ee kN1200N mín,y1y x1x A primeira situação de cálculo é mais favorável do que a segunda e não precisa ser verificada. - situação de dimensionamento de flexo-compressão oblíqua: cm5'd;cm40h;cm30h m.kN40,327,21200M m.kN04,5667,41200M kN1200N yx y x         
  29. 29. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 27 - dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118 (2014): .OK99,0 01,102 40,32 92,71 04,56 254 23,1 48,84 40,32 18,60 04,56 224 1 Myy My Mxx Mx 2,12,1 2,12,1 2,12,1                                            solução adotada: 425 - dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: * armadura igual nos quatro cantos: As,total = 17,92 cm2 (solução adotada: 425) * armadura igual nas quatro faces: As,total = 20,62 cm2 Exemplo 3: N = 1000 kN Mx = ± 40 kN.m cm4 1000 4000 ee B x1 A x1  My = ± 60 kN.m cm6 1000 6000 ee B y1 A y1  ℓe = 2,6 m          5,22 40 260 46,3 h 46,3 0,30 30 260 46,3 h 46,3 h 46,3 y e y x e x e    - direção x: 0e7,6630 )9035(7,66 40,0 30 4 5,1225 h e5,1225 40,040,020,0 4 )4( 40,060,040,0 e e40,060,0 cm4ecm2,4300,031,5h0,03cm1,5e x2x1x x1 bx x x1 x1 bxbxA x1 B x1 bx 1xxmín1x,           
  30. 30. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 28 - direção y: 0e2,675,22 )9035(2,67 40,0 40 6 5,1225 h e 5,1225 40,040,020,0 6 )6( 40,060,040,0 e e 40,060,0 cm6ecm2,7400,031,5h0,03cm1,5e y2y1y y1 by y y1 y1 bybyA y1 B y1 by 1yymín1y,            - como e1x > e1x,mín e e1y > e1y,mín, a situação de projeto é a única situação de cálculo. cm5'd;cm40h;cm30h m.kN6061000M m.kN4041000M kN1000N yx y x          - dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118 (2014): .OK00,1 70,103 60 32,73 40 224 1 Myy My Mxx Mx 2,12,1 2,12,1                               solução adotada: 422 (4 x 3,801 = 15,20 cm2 ) - dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: * armadura igual nos quatro cantos: As,total = 13,40 cm2 (solução adotada: 422) * armadura igual nas quatro faces: As,total = 15,97 cm2 - armadura transversal: adotando-se para a armadura longitudinal )cm20,15(224 2  e estribos de 5 mm, têm-se                 cm5,20 2,2 5,0 5,0 90 f GPa90 mm5,54/mm5como cm4,262,2x1212 cm30h cm20 s 22 t yk t x t    resultando estribos .cm20/c5 Exemplo 4: N = 1400 kN Mx = 0  e1x = Mx/N = 0 My = 0  e1y = My/N = 0
  31. 31. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 29 ℓe = 4 m          6,34 40 400 46,3 h 46,3 1,46 30 400 46,3 h 46,3 h 46,3 y e y x e x e    e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h 1 ecm2,7400,031,5h0,03cm1,5e ecm2,4300,031,5h0,03cm1,5e b 1yymín1y, 1xxmín1x,       35 9035 25 h/e5,1225 1 1 b 1 1            esbeltopilar 0e 0e y21y x21x      - determinação dos efeitos locais de segunda ordem para :90    aproximadarigidezcom aproximadacurvaturacom padrãopilardométodo (a) curvatura aproximada:                    fA N 15,0com, h5,0 005,0 10 e ee eeee cdc d x 2 e x2 mín,x1x1 x1x2x1bxx                   cm4,2e cm29,489,14,2ee e cm89,1 305,091,0 005,0 10 400 e 91,0 4,1/5,24030 14004,1 cm4,2ee x1 x2x1bx x 2 x2 mín,x1x1 (b) rigidez aproximada:                      h e5132 e /120 1 e e x x x12 x x1bx x
  32. 32. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 30 - procedimento iterativo: arbitra-se, inicialmente, que ex = e1x = 2,4 cm - primeira iteração: cm97,3 80,44120 1,46 1 4,2 e;80,44 30 4,2 5132 2x             - segunda iteração: cm60,3 17,53120 1,46 1 4,2 e;17,53 30 97,3 5132 2x             - terceira iteração: cm67,3 20,51120 1,46 1 4,2 e;20,51 30 60,3 5132 2x             - quarta iteração: cm66,3 57,51120 1,46 1 4,2 e;57,51 30 67,3 5132 2x             - solução direta:              724,2.1.30e..hC 39680,14,2.1.5 3840 30.1,46 30e..5 3840 h. hB 5A :onde,0Ce.Be.A x1bxx 2 x1bx x 2 x xx 2 x cm66,3 5.2 )72(.5.439680,139680,1 A.2 C.A.4BB e 22 x      - situação de cálculo:      cm7,2ee cm66,3eee mín,y1y x2x1x cm5'd;cm40h;cm30h m.kN80,377,21400M m.kN24,5166,31400M kN1400N yx y x          - dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: * armadura igual nos quatro cantos: As,total = 22,67 cm2 * armadura igual nas quatro faces: As,total = 25,22 cm2 (adotado: 820  8x3,142=25,14 cm2 ) - detalhamento: adotando-se para a armadura transversal estribos de 5 mm, têm-se
  33. 33. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 31            .OKmm54/mm5como cm242x1212 cm30h cm20 s t x t   resultando estribos .cm20/c5 * espaçamento das barras: .OKcm3,2cm9 2 235,025,2230 e cm3,29,12,1d2,1 cm21 cm2 e máx máx,            * proteção contra flambagem: direçõesduasnaslementaressupestribos cm105,02020cm16 2 25,025,2240 s cm105,02020cm11 2 25,025,2230 s ty tx             Exemplo 5: N = 366,9 kN cm10 9,366 3669 em.kN69,36MA x A x1  cm5,2 9,366 917 em.kN17,9MB x x1  B cm25 9,366 9173 em.kN73,91MA y A y1  cm3 9,366 1101 em.kN01,11MB y x1  B ℓe = 7,5 m          9,64 40 750 46,3 h 46,3 5,86 30 750 46,3 h 46,3 h 46,3 y e y x e x e   
  34. 34. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 32 - direção x: )esbeltopilar(0e3,585,86 )9035(3,58 50,0 30 10 5,1225 h e5,1225 50,040,050,0 10 )5,2( 40,060,040,0 e e40,060,0 cm10ecm2,4300,031,5h0,03cm1,5e x2x1x x1 bx x A x1 x1 bxbxA x1 B x1 bx A 1xxmín1x,            - rigidez aproximada:                      h e5132 e /120 1 e e x x x12 x x1bx x - solução direta:              15010.5,0.30e..hC 455,5310.5,0.5 3840 30.5,86 30e..5 3840 h. hB 5A :onde,0Ce.Be.A x1bxx 2 x1bx x 2 x xx 2 x cm13 5.2 )150(.5.4455,53455,53 A.2 C.A.4BB e 22 x           )eextremidaddeseção(cm10 )ermediáriaintseção(cm13 e e x1 x - direção y: )esbeltopilar(0e7,599,64 )9035(7,59 55,0 40 25 5,1225 h e 5,1225 55,040,055,0 25 )3( 40,060,040,0 e e 40,060,0 cm25ecm2,7400,031,5h0,03cm1,5e y2y1y y1 by y A y1 y1 bybyA y1 B y1 by A 1yymín1y,           
  35. 35. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 33 - rigidez aproximada:                           h e 5132 e /120 1 e e y y y12 y y1by y - solução direta:              55025.55,0.40e..hC 6251,7225.55,0.5 3840 40.9,64 40e..5 3840 h. hB 5A :onde,0Ce.Be.A y1byy 2 y1by y 2 y yy 2 y cm02,20 5.2 )550(.5.46251,726251,72 A.2 C.A.4BB e 22 x            )eextremidaddeseção(cm25 )ermediáriaintseção(cm02,20 e e y1 y  duas situações de projeto: - seção intermediária:  cantosquatronosigualarmaduracm61,14A m.kN45,7302,209,366M m.kN70,47139,366M kN9,366N 2 total,s y x          -seção de extremidade:  cantosquatronosigualarmaduracm44,15A m.kN73,91259,366M m.kN69,36109,366M kN9,366N 2 total,s y x          solução: 425 (19,64 cm2 )
  36. 36. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 34 ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007) Tabela 1 – Características das barras Diâmetro (mm) Área (cm2 ) 6,3 0,312 8,0 0,503 10,0 0,785 12,5 1,227 16,0 2,011 20,0 3,142 22,0 3,801 25,0 4,909 32,0 8,042 40,0 12,566 Tabela 2 – Características dos fios Diâmetro (mm) Área (cm2 ) 2,4 0,045 3,4 0,091 3,8 0,113 4,2 0,139 4,6 0,166 5,0 0,196 5,5 0,238 6,0 0,283 6,4 0,322 7,0 0,385 8,0 0,503 9,5 0,709 10,0 0,785

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