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Apostila de Concreto Armado 2

1. O documento é uma apostila sobre dimensionamento de estruturas de concreto armado que aborda tópicos como pilares, torção, punção, lajes e fundações. 2. Pilares são elementos verticais sujeitos principalmente a compressão, mas também à flexão, cisalhamento e instabilidade. São classificados quanto à posição e esbeltez, sendo esta relacionada à possibilidade de flambagem. 3. O dimensionamento de pilares envolve verificar seções, armaduras longitudinal e transversal, considerando imperfeições, excentric

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Apostila CONCRETO ARMADO II De acordo com a NBR 6118/2014 Prof. Clauderson Basileu Carvalho Belo Horizonte, Fevereiro de 2017
2 SUMÁRIO 1. PILARES........................................................................................................ 3 2.TORÇÃO....................................................................................................... 26 3. PUNÇÃO...................................................................................................... 35 4. LAJES NERVURADAS................................................................................ 50 5. LAJES LISAS E LAJES COGUMELOS...................................................... 63 6. ESCADAS E CAIXAS D’ÁGUA................................................................... 70 7. INTRODUÇÃO A FUNDAÇÕES – ELEMENTOS MAIS COMUNS............. 82 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................ 88 9. ANEXOS ...................................................................................................... 89
3 1. PILARES 1.1. INTRODUÇÃO De acordo com a NBR 6118/2014 o conceito de pilar seria: Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes. Contudo, devido a excentricidades acidentais, efeitos de segunda ordem (análise p-delta) e não conformidades geométricas (desalinhamento ou desaprumo); bem como as próprias flexões provocadas pelas vigas, as solicitações associadas à flexão são extremamente importantes, e não podem ser negligenciadas. Além disso, e até pela definição estabelecida pela teoria das estruturas; esforços cisalhantes, cortantes ou tangenciais também devem ser avaliados nos dimensionamentos desses elementos, com a presença destes momentos. Na engenharia estrutural clássica os pilares em concreto armado devem ser verificados, além da capacidade resistente em relação aos esforços solicitantes (flexão, cisalhamento e esforços axiais), o comportamento com relação à instabilidade estrutural, mais precisamente às questões referentes à flambagem – fenômeno estudado em resistência dos materiais, que indica a aplicação de uma carga inferior à carga de colapso, e que leva os elementos a um comportamento instável. Os esforços que solicitam a estrutura de uma edificação qualquer, intuitivamente falando, são aplicados em 90% dos casos diretamente às lajes e vigas (elementos tratados no volume 1 do presente material), para posteriormente serem descarregados em pilares e conseqüentemente nos elementos de fundação e no solo propriamente dito, conforme visto na figura 1. Figura 1 – Fluxo dos carregamentos em uma edificação
4 Os pilares de concreto armado podem apresentar-se de diversas formas de eixos e de seção transversal, porém, a seção retangular ou seção quadrada são as mais comumente empregadas. Exemplificando outra das formas comuns da engenharia moderna, temos a de formato circular. Quando um dos lados da seção é muito maior que o outro (bw  5h) utiliza-se a denominação de pilar-parede. Os pilares-parede podem ser elementos de superfície plana ou casca cilíndrica e também podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas. Embora elas aconteçam em muitos empreendimentos da vida prática, não serão tratadas neste estudo. Os pilares de edifícios podem ser classificados de acordo com a posição que ocupam no edifício, em planta, em (figura 2): Figura 2 – Pilares de canto, intermediários e de extremidade ou borda A NBR 6118/2014 abrange simplificadamente colunas com índice de esbeltez () limitado ao valor máximo de 90, a fim de utilizar-se expressão aproximada da curvatura, no tratamento de excentricidades de segunda ordem, bem como poder desprezar a deformação lenta do concreto, estudada nos fenômenos reológicos de fluência e retração. Já para  de 90 a 200 a norma brasileira exige um maior rigor nos critérios de dimensionamento; mas também abrange tal característica física. Figura 3 – Seções transversais usuais em pilares das edificações
5 Como revisão da disciplina resistência dos materiais tem-se que o índice de esbeltez é: i l fl  onde lfl é o comprimento de flambagem (figura 4), também conhecido como comprimento destravado e i é o raio de giração dado por: hitemosgularesrestranversaiseçõespara A Ii 289,0:,tan  Figura 4 – Pontos de inflexão para determinação do comprimento de flambagem Pode-se dizer que, quanto maior a esbeltez, maior a possibilidade do elemento comprimido flambar. Figura 5 – Flambagem de uma placa
6 Análise de 2ª ordem (p-delta) Os momentos fletores originados a partir de excentricidades de 2ª ordem são os acréscimos de solicitações provenientes das deformações que ocorrem nas estruturas em um “instante após” a aplicação do carregamento, conforme mostrado na figura 6. Figura 6 – Teoria de segunda ordem 1.2. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS – GLOBAIS E LOCAIS Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos do pórtico espacial descarregado. Essas imperfeições podem ser divididas em imperfeições globais e imperfeições locais. Na análise global dessas estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura 7 n prumadas de pilares Figura 7 – Imperfeições geométricas globais
7 onde 1mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 1máx = 1/200; H é a altura total da edificação, expressa em metros; n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano. Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, considerar a = 1. Já na análise local mais precisamente na verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar. Figura 8 – Imperfeições geométricas locais 200 1 100 1 300 1 1  iH  → Hi = altura do pilar em metros Admite-se que, nos casos usuais de estruturas reticuladas, a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente nos estudos de estabilidade (figura 8 – letra “b”).
8 1.3. ROTEIRO PARA DIMENSIONAMENTO DE PILARES a) Características geométricas Comprimentos equivalentes e índice de esbeltez b) Excentricidades Inicial (eix; eiy) – Base e topo do pilar; Acidental (eax; eay) – Seção intermediária: Verificar o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín) Necessidade de excentricidade de 2ª ordem: Esbeltez limite (λ1) Efeitos de 2ª ordem: Métodos simplificados/aproximados c) Situações de cálculo Seção de topo, seção de Base, seção Intermediária d) Dimensionamento das armaduras Situação mais desfavorável, equações adimensionais, escolha do ábaco, taxa mecânica de armadura (ω), ou equações pelo método “k”, área de aço e) Detalhamento Armadura Longitudinal, diâmetro das barras, taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal, número mínimo de barras, espaçamentos para armadura longitudinal, detalhamento, armadura transversal, diâmetro, espaçamentos para armadura transversal, proteção contra flambagem localizada das armaduras, comprimento dos estribos, comprimento dos estribos suplementares, número de estribos, número de estribos suplementares, desenho da seção transversal, comprimento das esperas, comprimento total das barras longitudinais f) Desenhos 1.4. DIMENSÕES MÍNIMAS Conforme o item 13.2.3 da norma brasileira de projetos em estruturas de concreto, a seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Porém, em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com a tabela 1. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm².
9 Esse “novo” coeficiente de majoração γn (que deve ser acrescentado ao coeficiente de majoração tratado nas combinações dos esforços solicitantes em ELU) é calculado por: γn = 1,95 - 0,05b onde b é a menor dimensão do pilar Tabela 1 – Valores do coeficiente adicional γn para pilares e pilares-parede b cm 19 18 17 16 15 14 γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento O comprimento equivalente do pilar, supostamente vinculado nas duas extremidades, é o menor dos valores das designações ilustradas na figura 9. Figura 9 – Esquema para cálculo do comprimento le No caso de pilares engastados na base e livres no topo, o valor de le é igual a 2l. 1.5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO A ESBELTEZ  Pilares curtos →   1 → podem ser desprezados os efeitos de 2ª ordem.  Pilares medianamente esbeltos → 1 <   90 → devem ser considerados os efeitos de 2ª ordem em processo simplificado e pode-se desprezar o efeito da fluência.  Pilares esbeltos → 90 <   140→ devem ser considerados os efeitos de 2ª ordem em processo aproximado e deve-se incluir os efeitos da fluência, através de uma excentricidade complementar equivalente (ecc).  Pilares muito esbeltos → 140 <   200→ os efeitos de 2ª ordem e a fluência devem ser considerados e calculados em processo complexo e rigoroso, além
10 de terem os coeficientes de ponderação das ações majorados. 1.6. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO A NBR 6118/2014 não admite pilares com índice de esbeltez λ superior a 200, exceto no caso de elementos pouco comprimidos, com força normal menor que 0,10 fcdAc. Para pilares com índice de esbeltez maior ou igual a 140, na análise de 2ª ordem, devem- se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional: ]4,1/)140(01,0[11  n A esbeltez limite (λ1) corresponde ao valor da variável que a partir do qual os efeitos de 2ª ordem provocam uma redução da capacidade resistente do pilar no estado limite último, quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de 1ª ordem. Essa redução é definida arbitrariamente, não devendo ser superior a 10%, segundo a NBR 6118/2014. O valor de 1 pode ser calculado pela expressão: b h e   1 1 5,1225   onde 35  1 90 e1/h é a excentricidade relativa de 1ª ordem na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1ª ordem de maior valor absoluto. Com os diagramas de esforços normais e de momentos fletores em cada tramo do pilar, calculam-se as excentricidades iniciais no topo e na base, dividindo-se o valor do momento pela força axial. N M e topo topoi , e N M e base basei ,  (excentricidades iniciais) h é a dimensão da seção na direção considerada. Com relação ao parâmetro b temos as seguintes considerações a serem feitas: a) Para pilares biapoiados sem carga horizontal, com pelo menos um dos momentos que atuam nas extremidades do pilar sendo maior que o momento mínimo: 14,0,40,040,060,0  b A B b sendo M M  Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem e 2ª ordem global) no caso de estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior
11 valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo, em caso contrário (figura 10a). Figura 10a - Curvaturas simples e dupla dos pilares – cálculo de αb. b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: αb = 1,0 c) Para pilares em balanço: 85,020,080,0  A C b M M  Onde: MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço (figura 10b). d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores (ou iguais) que o momento mínimo: αb = 1,0 Momento mínimo e excentricidade mínima (emín) O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilares-paredes (ver item 1.2) pode ser substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: M1d,mín = Nd x emín = Nd (0,015 + 0,03h) onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, expressa em metros. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser Figura 10b – Curvatura simples/pilares em balanço
12 respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. Excentricidade de 2ª ordem A força normal atuante no pilar, sob ação das excentricidades de 1ª ordem (excentricidade inicial ou excentricidade mínima/acidental), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de 2ª ordem. A determinação dos efeitos locais de 2ª ordem em barras submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. A consideração da fluência, como dito anteriormente é obrigatória para índices de esbeltez λ > 90, acrescentando-se ao momento de 1ª ordem (M1d) a parcela relativa à excentricidade suplementar ecc. A NBR 6118/2014, em seu item 15.8.3.3.1 afirma que a determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o do pilar padrão e do pilar padrão melhorado. Com isso dois processos serão estudados:  Método do pilar-padrão com curvatura aproximada  Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. Método do pilar-padrão com curvatura aproximada Pode ser empregado apenas no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente. Ad e dAdbtotd M r l NMM ,1 2 ,1, 1 10   Sendo 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada: hhr 005,0 )5,0( 005,01     onde: )fA( N cdc d 
13 αb e o coeficiente de uniformidade dos momentos e tem as mesmas definições do exposto acima. M1d,A e o valor de cálculo do momento de 1ª ordem MA (maior momento no extremo do pilar); h é a dimensão da seção do pilar, na direção analisada; ν é a força normal adimensional; fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto; M1d,min é o momento mínimo de 1ª ordem. Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente. O valor de cálculo do momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão: Ad Adb totSd M M M ,12 ,1 , 120 1        sendo: Md1,A é o valor de cálculo do momento MA; κ é a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:         d totRd aprox hN M , 5132 Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot. Em um processo de verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = NRd. As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas nas páginas anteriores. Usualmente, duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo. O processo aproximado acima, em um caso de dimensionamento, recai na formulação direta dada abaixo: 0CM.BM.A tot,Sd 2 tot,Sd 
14 onde: A = 5h (com h sendo a dimensão da seção transversal do pilar na direção analisada); c 2 ed d 2 M.h.5 320 lN N.hB  , com Mc sendo o momento a ser amplificado pelo efeito de 2ª ordem (= αb.M1d,A ≥ Md1,min) c 2 d M.h.NC  Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se, como raiz positiva, o seguinte valor: A2 AC4BB M 2 tot,Sd   Nesse presente estudo trataremos de pilares com esbeltez menor do que 90, desconsiderando assim os efeitos mais agudos da instabilidade em segunda ordem e também da fluência e qualquer efeito reológico associado. Pilares esbeltos A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares   140 (de 90 a 140, mais precisamente) pode ser feita pelos métodos do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica os valores obtidos de diagramas M, N e 1/r específicos para o caso, considerando-se obrigatoriamente os efeitos da fluência como dito anteriormente e estudado a seguir. Consideração da Fluência Embora não estudemos os pilares esbeltos nesse material com muita ênfase, torna-se interessante o conhecimento teórico da fluência para possíveis aplicações futuras, e outras aplicações práticas na vida do profissional de engenharia. A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez  > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir:                    1718,2 Sge Sg NN N a Sg Sg cc e N M e 
15 onde 2 10 e cci e l IE N  ; ea é a excentricidade devida a imperfeições locais como visto no item 1.2 (= tg x le ou tg x le/2). MSg e NSg são respectivamente, momento e normal, devido à combinação quase permanente;  é o coeficiente de fluência (na falta de dados, o autor recomenda o valor =2) ; Eci é o modulo de elasticidade inicial do concreto; Ic é o momento de inércia da seção de concreto; le é o comprimento equivalente do pilar. Pilares muito esbeltos Pilares com  > 140 (e até 200) são considerados muito esbeltos, como visto anteriormente, e devem ser calculados com um maior rigor técnico, em termos de deformações não lineares ou efeitos de segunda ordem (análise p-delta ou outro método semelhante). Com isso deve ser utilizada bibliografia específica, que contenham os ábacos de iterações (vide alguns ábacos em anexo), bem como as suas avaliações apropriadas. Pode-se também recorrer a softwares ou programas mais sofisticados para tais dimensionamentos, já que não serão tratados em nosso estudo. 1.7. ARMAÇÕES EM FLEXÃO NORMAL COMPOSTA (FNC) De acordo com as formulações estudadas anteriormente na flexão simples associando- se aos esforços axiais; e introduzindo-se os critérios estabelecidos pelo professor José de Miranda Tepedino, as seções de concreto armado submetidas à flexão normal composta (extrapolando-se para flexão oblíqua composta com a associação dos dois momentos nas
16 direções principais), temos as seguintes expressões: 1º Caso Nd > 0 se compressão          duplaArmaçãokkkk simplesArmaçãokkkk dbf M h dN k LL L wc dd ' ' ² ) 2 (                ) ' 1( )'( )'211( 2 1 21 d d kk f dbf A f Nkdbf A AAA yd wc s yd dwc s sss  2 ' s s A A  Caso As < 0 → passar ao 2º caso Caso k < 0 → passar ao 4º caso 2º Caso As < 0 no 1º caso ou Nd(h/2 – d’) >> Md h bf Md h N ddy wc dd     )' 2 ( 2'' 2 As = 0 0'     yd wcd s f ybfN A  Caso y > h → passar ao 3º caso Caso A’s < 0 → nenhuma armadura é necessária teoricamente. Adotar armadura
17 mínima. 3º Caso y > h 1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s )'( )' 2 )(( ddf Md h hbfN A yd dwcd s     ; )'( ) 2 )(( ' ddf M h dhbfN A yd dwcd s     2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e uma adicional As, junto à borda mais comprimida. yd d wcd s f d h M hbfN A      ) ' 2 ( * yd d s f d h M A     ' 2 4º Caso Seção totalmente tracionada – k < 0 no 1º caso 1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s )'( )' 2 ( ddf Md h N A yd dd s    ; )'( ) 2 ( ' ddf M h dN A yd dd s    2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e uma adicional As, junto à borda mais tracionada. yd d d s f hd M N A 2*    yd d s f hd M A 2  
18 1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS A armadura longitudinal dos pilares deve obedecer aos seguintes valores:  As,mín= 0,15Nd/fyd ≥ 0,004Ac  As,máx = 8% Ac Para a armadura máxima devem-se considerar a região das emendas. As barras devem ter diâmetro igual ou superior a 10 mm e não mais que 1/8 da menor dimensão da seção do pilar. O espaçamento transversal, e, da armadura longitudinal deve atender aos seguintes limites: e  maior (20 mm, фL, 1,2 DMA) e  menor (40 cm, 2bw) (DMA = dimensão máxima do agregado) O diâmetro dos estribos, фt, deve ter no mínimo 5 mm ou ¼ do diâmetro das barras longitudinais isoladas (фL). O espaçamento longitudinal entre eles, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras e garantir a costura das emendas, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: - 200 mm; - 12фL para aço CA-50 e 24 фL para aço CA-25; - menor dimensão da seção do pilar; Salienta-se que para seções poligonais temos 1 barra em cada canto (no mínimo) e para seções circulares pelo menos 6 barras distribuídas no perímetro. A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. Pode ser usado фt < фL/4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite a limitação: L L L L ykL t máx MPaf s       12 500 25,090000 500 125,0 90000 )( 1 90000 222                    Caso hajam força cortante e/ou momentos torsores consideráveis no pilar, os estribos devem ser dimensionados da mesma maneira que em vigas. Com vistas a garantir a ductilidade dos pilares, recomenda-se que os espaçamentos máximos entre os estribos sejam reduzidos em 50% para concretos de classe C51 a C90, com inclinação dos ganchos pelo menos 135º.
19 Para proteger as barras longitudinais contra flambagem os estribos devem ser complementados com outros estribos ou barras retas terminadas em ganchos conforme figura 11 abaixo (conhecidos como “sargentos”): Figura 11 – Proteção contra a flambagem das barras Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 20фt dos cantos, desde que neste trecho não existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4). 1.9. ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS – PARÂMETROS  e γz Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos de 2ª ordem que, em princípio, afetam os esforços solicitantes ao longo delas, conforme visto anteriormente. Classificação das Estruturas: de nós fixos e de nós móveis São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados.
20 Análise de estruturas de nós móveis Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e, portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. Consideração aproximada da não linearidade física Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: - Lajes: (EI)sec = 0,3EcIc - Vigas: (EI)sec = 0,4 EcIc para A’s  As e (EI)sec = 0,5 EcIc para A’s = As - Pilares: (EI)sec = 0,8 EcIc onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I), incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes; e Ec é o valor representativo do módulo de deformação do concreto, igual a: Eci = αE . 5600 fck 1/2 Os valores de rigidez adotados nesta seção são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem Parâmetro de instabilidade  Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade  for menor que o valor 1, conforme expressão abaixo. Esse parâmetro é aplicado de forma aproximada, em edificações de pequeno porte, com até 4 pavimentos. ccs k tot IE N H onde 1 = 0,2 + 0,1n se n  3 ou 1 = 0,6 se n  4; n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;
21 Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk é somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para Htot), com seu valor característico; Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto; Ic é a somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, considerando a seção bruta (estádio I), podendo ser utilizado a rigidez de um pilar equivalente. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma: - calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal na direção considerada. - calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. Em resumo, este método baseia-se na verificação da deslocabilidade da estrutura geral para uma carga horizontal qualquer, aplicada no topo da edificação, a partir da equação da flecha elástica para vigas em balanço com uma carga concentrada na extremidade (f = PL³/3EI – vide anexo). O valor-limite 1 = 0,6 prescrito para n  4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Para associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-parede, adotar 1 = 0,6. No caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, adotar 1 = 0,7. Quando só houver pórticos, adotar 1 = 0,5. Coeficiente γz O coeficiente γz, de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais, é valido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados na página 20. O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão: d,tot,1 d,tot z M M 1 1     onde
22 M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura. Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz  1,1, e neste caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem. Para estruturas com γz até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por conseqüência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos esforços horizontais devem ser majorados em 95% do valor de γz, variando de 1,05 a 1,24. Para estruturas com γz maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem, como por exemplo, uma análise não linear em elementos finitos. 1.10 RESUMO DAS EXIGÊNCIAS DA NBR6118/2014
23 Exercício Um pilar de concreto armado com seção transversal de 30 cm x 30 cm e pé-direito de 290 cm apresenta vigas superiores e inferiores de 20/50. Utilizou-se concreto com resistência a compressão de 30 MPa, aço CA-50 e cobrimento de 4 cm. O carregamento axial foi de 20 tf de compressão e tivemos dois momentos fletores, nas duas direções principais, indo de +5 tfxm no topo a -5 tfxm na base. Considerar a atuação de cargas horizontais. Dimensione o pilar descrito no enunciado. Resolução cmloul ee 3203203029034050290  91,36 30 320 46,3  yx  42,35 1 30 20 500 5,1225 1     > 1 → deverá ser considerada as excentricidades de segunda ordem Excentricidade mínima: 0,015 + 0,03x0,3 = 0,024 metros = 2,4 cm Excentricidade inicial: 500/20 = 25 cm M1d,mín = 1,4x20000x2,4 = 67200 kgfxcm Excentricidade de segunda ordem (curvatura aproximada): 145,0 ) 4,1 300 3030( 4,120000     000167,0 30 005,0 )!oknão(000258,0 )5,0145,0(30 005,0 r 1    cm71,1000167,0 10 320 e 2 2  kgfxcm74788271,1200004,15000004,11M tot,d  Excentricidade total a ser considerada: cm71,26 200004,1 747882 etotal    Excentricidade de segunda ordem (rigidez aproximada): A = 5x30 = 150
24 887600005000004,11305 320 320200004,1 200004,1.30B 2 2    000017640000005000004,1130200004,1C 2  kgfxcmM totSd 28,748787 1502 000017640000001504)88760000(88760000 2 ,     32,25145,0 200004,130 28,748787 5132aprox         kgfxcmM totSd 82,748674 145,0 32,25120 91,36 1 4,15000001 2,      Excentricidade total a ser considerada: cm74,26 200004,1 82,748674 etotal    1º Caso duplaArmaçãok     295,0301,0 ²253014,182 82,748674)1525(28000                  ²24,0 ) 25 5 1( )295,0301,0( 4348 253014,182 ²86,4 4348 28000)295,0211(253014,182 2 1 21 cmA cmA AAA s s sss As = 4,86 + 0,24 = 5,1 cm² - 316 mm A’s= 0,24 cm² < 316 mm Astotal = 316 mm + 316 mm + 116 mm + 116 mm = 16 cm² (sem sobreposição das barras de canto) Porém, devido à superposição dos efeitos oblíquos, recomenda-se sobrepor as áreas de aço nas duas direções. Assim: 5,1 x 4 = 20,4 cm² → 1016 mm Para se manter a simetria temos 1216 mm. Verificação através dos Ábacos de Iteração Para =0,1
25 Para =0,2 Interpolando para =0,17 Ast = 8,48 + (0,17- 0,10)x(25,64-8,48)/0,10 = 20,49 cm² → 1216 mm Exercício Uma edificação de 4 pavimentos apresentou em seu modelo de cálculo 7,5 cm de deslocamento horizontal em seu topo após a aplicação de uma carga horizontal de 500 kN. Sabendo-se que a altura efetiva do pórtico é de 12 metros e o somatório de cargas verticais, incluindo carga permanente e carga variável, é de 14200 kN. Verificar se esta estrutura é classificada como de nós fixos ou móveis utilizando o parâmetro  da NBR 6118 e fazer uma conclusão sobre os conceitos envolvidos nesta variável. Resolução f = PL³/3EI  7,5 cm = 500 x 1200³/3EI  EI = 3,84x1010 6,073,0 1084,3 14200 1200 110     Esta edificação é de nós móveis, pois apresentou um coeficiente maior que o limite para 4 pavimentos. Deve-se então levar em consideração nos cálculos os efeitos de segunda ordem globais, ou, redimensionar a estrutura enrijecendo-o nesta direção. Seja com o aumento da inércia das peças estruturantes (pilares e vigas de travamento) ou com o engastamento das colunas na fundação. Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)  0,17 ex/b= 0,89 ey/h= 0,89 w= 0,225 r 0,01 Ast= 8,48 Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)  0,17 ex/b= 0,89 ey/h= 0,89 w= 0,68 r 0,03 Ast= 25,64
26 2. TORÇÃO 2.1 CONCEITOS O momento torsor em elementos usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: - Torção de Equilíbrio – essenciais ao combate à ruptura das estruturas. Figura 12 – Viga em balanço Figura 13 - Laje engastada na viga - Torção de compatibilidade – momentos considerados secundários, que aparecem por efeito de coação ou impedimento à deformação. Figura 14 – Viga em grelha
27 As condições fixadas pela NBR 6118/2014 pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar, conforme visto na teoria das paredes finas em resistência dos materiais. Ensaios como o de Stuttgart, mostram que a resistência à torção é mobilizada, quase que integralmente, junto à capa da seção transversal. Este efeito pode ser melhor visualizado através dos gráficos na figura 15. Figura 15 – Gráficos comparativos Ambas as seções possuem o mesmo contorno, porem, a primeira é maciça e a segunda vazada. As duas seções apresentam momentos torsores resistentes praticamente iguais, apenas a torção correspondente ao inicio da fissuração é menor na seção vazada. Em seções de mesma área, porém, com relações h/bw distintas, a rigidez efetiva e a resistência a torção são praticamente as mesmas no ELU. Isto ocorre por que a resistência a torção é obtida junto à capa externa da seção transversal. Figura 16 – Evolução da Torção em uma seção retangular vazada Podemos concluir então que uma seção quadrada maciça, no estádio II (concreto não plastificou a compressão), apresenta a mesma capacidade resistente de uma seção vazada,
28 com armaduras iguais. As diagonais de compressão dessa treliça espacial descrita acima e mostrada na figura abaixo, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30º    45º (45º seria conservador). Figura 17 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal (Leonhardt & Mönnig, 1982) Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, calculada de acordo com as prescrições normativas e com a taxa geométrica mínima dada pela seguinte expressão: MPafcom sb A uh A ywkmínw w sw sw ee sl sl 500,           r r r 3/2 3/2 , %012,0 3,0 2,02,0 ck y ck ywk ctm mínw f f f f f r (fck em MPa e menor que C55) )11,01ln(%0848,0 )11,01ln(12,2 2,02,0, ck y ck ywk ctm mínw f f f f f   r (fck em MPa e maior que C55) Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de compatibilidade,
29 é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a capacidade adequada de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção seja menor ou igual às 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: Vsd  0,7 VRd2. Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente (em armaduras duplas os ramos devem ser avaliados no que tange seu posicionamento). Os estribos por torção devem ser fechados em todo seu contorno, envolvendo as barras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º. As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. O diâmetro da barra que constitui o estribo (como visto no estudo do cisalhamento), segundo a NBR 6118/2014, deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga – bw. O espaçamento mínimo entre estribos, medidos segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo deve atender às seguintes recomendações. - se     cm d sVV máxRdd 30 6,0 67,0 2 - se      cm d sVV máxRdd 20 3,0 67,0 2
30 2.2 MÉTODO DE VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA A TORÇÃO Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, em uma dada seção, quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições: 1. TSd  TRd,2 2. TSd  TRd,3 3. TSd  TRd,4 onde TSd é o momento torsor solicitante de cálculo na seção. TRd,2 representa o limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto; TRd,3 representa o limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural; TRd,4 representa o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural. Verificação da compressão diagonal do concreto A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por: TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 onde v2 = 1 – fck/250, com fck expresso em MPa;  é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º    45º; Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada; he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. u A hc e 12 onde c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. A é a área e u é o perímetro da seção cheia. Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u  bw – 2c1 e a superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto, respeitando
31 o cobrimento exigido nos estribos. Verificação da armadura transversal Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, sendo que a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural é dada por: TRd3 = (As90/s) fywd 2Ae cotg onde fywd é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa. Verificação da armadura longitudinal A resistência decorrente das armaduras longitudinais é dada pela seguinte expressão: TRd4 = (Asl/ue) fywd 2Ae tg onde Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais e ue é o perímetro de Ae. A armadura longitudinal de torção, de área total Asl, deve manter obrigatoriamente constante a relação Asl/u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área Asl. 2.3 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: FLEXÃO E TORÇÃO Determinar as armaduras longitudinais para cada solicitação individualmente. - Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para as solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente. - No banzo comprimido pela flexão, a armadura de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas. Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal não deve superar 0,85fcd. Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão
32 tangencial de torção calculada por: ee d Td hA T 2  2.4 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: TORÇÃO E FORÇA CORTANTE Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto  coincidentes para os dois esforços. Quando for utilizado o modelo I para o estudo do cisalhamento, que se subentende  = 45º, esse deve ser o valor considerado também para a torção. A verificação da resistência à compressão do concreto deve ser realizada através da seguinte fórmula: 1 22  Rd Sd Rd Sd T T V V onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção. A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd. Exercício Determinar a armadura transversal e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada abaixo. Dados: fck = 25 MPa e aço CA-50. Resolução Diagramas de esforços solicitantes
33 Força Cortante Adotando o Modelo I (= 90º e = 45º) Verificação do concreto: dbfV wcdvRd 22 27,0  90,0250/251250/12  ckv f kNVkNV máxdRd 56404,13,2342720 4,1 5,2 90,027,0 ,2  Biela comprimida ok! Armadura transversal necessária Vc= 0,09 x fck 2/3 x bw x d = 0,09 x 252/3 x 20 x 27 = 415,52 = 41,55 kN %0683,0000683,0 48,4327209,0 55,4156 9,0       ywdw cd w sw sw dfb VV sb A r )1(/²00683,0 2 01366,01 /²01366,020000683,0 ramocmcm s As cmcm s Asw  Momento Torsor Espessura da parede equivalente he = 6 cm Verificação do concreto (adotando = 45º) TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 = 0,50 x 0,90 x 2,5/1,4 x 6 x 336 x sen90º = 1620 kNxcm onde Ae = (30 - 6) x (20 - 6) = 336 cm² TRd2 = 16,2 kNxm > Td,máx = 1,4x8 = 11,2 kNxm Armadura transversal necessária %192,000192,0 120336248,43 1120 cot2     r gbAf T weywd d sw )1(/²0384,02000192,090 ramocmcm s As  Armadura longitudinal necessária ²91,2 148,433362 761120 2 cm tgfA uT A ywde d s      u = 2 x 14 + 2 x 24 = 76 cm   cmch cm u A h e e 6322 6 30202 3020 1     
34 Solicitações combinadas: torção e força cortante 193,0 2,16 2,11 3,234 56 1 22  Rd Sd Rd Sd T T V V Detalhamento Armadura transversal )1(/²04523,00384,000683,0901 ramocmcm s A s A ss  Taxa de armadura mínima sw ywk ctm mínsw f f rr     %103,01003,1 500 253,0 2,02,0 3 3/2 , %260,0068,0192,0  swVswTsw rrr Armadura transversal total  0,0683% x 20 x 100/2 + 0,192% x 20 x 100 = 4,523 cm²/m Adotando 8 mm (Asф= 0,503 cm²) temos: cmen 11 99,8 100 99,8 503,0 523,4       cm cm smáx 30 16276,0 3,23467,056 8 mm a cada 11 cm
35 3. PUNÇÃO Figura 18 – Panorama da fissuração em uma laje puncionada 3.1 COMPORTAMENTO DE LAJES SOB CARGA DE PUNÇÃO Com relação ao comportamento das lajes sob o carregamento de punção, os ensaios mostram que as deformações circunferenciais são inicialmente maiores que as deformações radiais [Leonhardt e Mönnig (1979)]. Por isso, as fissuras radiais surgem em primeiro lugar. Somente no ato do colapso há formação de uma fissura quase circular, que limita o contorno de um sólido deslocado ao redor do pilar. Segundo CORDOVIL (1997), a distância dessa fissura circular indica até onde a superfície de ruptura se estende. Em lajes sem armadura de cisalhamento, essa superfície atinge distâncias que variam entre duas a três vezes a altura útil d da laje, como ilustra a figura 19. O sólido deslocado tem a semelhança de um tronco de cone, entretanto, com uma irregularidade acentuada. Figura 19 – Zona de ruptura em lajes submetidas à punção, sem armadura transversal CORDOVIL (1997) ressalta ainda que, no caso de lajes com armadura de cisalhamento, a superfície de ruptura pode ocorrer em três posições diferentes: - na zona entre o pilar e a primeira camada da armadura de cisalhamento, com ruptura somente do concreto adjacente ao pilar (punção restrita);
36 - na zona com armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto e da armadura transversal (punção não restrita internamente à armadura transversal); - na zona situada além da armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto (punção não restrita externamente à armadura transversal). A situação ideal seria a segunda condição, isto é, quando há ruptura da armadura transversal. Assim, a armadura entraria em escoamento plástico, aumentando a ductilidade da estrutura antes do colapso da laje. A figura 20 mostra os tipos de ruptura em lajes com armadura de punção. Figura 20 – Zonas de ruptura em lajes submetidas à punção com armadura transversal 3.2 MODELO MECÂNICO KINNUNEN e NYLANDER (1960) apud CORDOVIL (1997) apresentaram um modelo mecânico para a ruptura da laje, sem armadura transversal, por punção de pilar circular no qual a ruína ocorre a partir deste com o deslocamento de um sólido interno (vide figura 21). Esse sólido teria a forma aproximada de um tronco de cone, com a superfície inclinada entre 25º e 30º em relação ao plano da laje. Na zona contígua ao tronco de cone, a laje seria dividida em elementos rígidos iguais, limitados pela superfície inclinada e por fissuras radiais. Cada elemento rígido produziria um trabalho decorrente da rotação em torno de um ponto chamado “centro de
37 rotação” CR, como mostra a figura 22. Esse ponto seria o limite entre dois estágios ideais de fissuração: as fissuras que limitam a superfície inclinada, bem como as fissuras radiais, seriam formadas antes da ruptura da laje, e a fissura localizada entre a periferia do pilar e o CR somente seria formada no instante da ruptura da laje. A partir dessas hipóteses de funcionamento, é possível estabelecer as condições de equilíbrio entre os esforços externos e internos, mostrados na figura 21. Nessas circunstâncias, há condições de se estabelecer uma teoria próxima da realidade, bastando, para isso, aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, supondo a rotação do elemento como mostra a figura 22. Porém, como o modelo estudado por KINNUNEN e NYLANDER foi realizado em pilares circulares, quando se tenta estender essa teoria para formas quadradas ou retangulares, a formulação fica pouco confiável. Figura 21 – Modelo mecânico de KINNUNEN e NYLANDER
38 Figura 22 – Esquema da fissuração inclinada e da rotação dos segmentos da laje 3.3 CRITÉRIOS DA NBR 6118/2014 O modelo de cálculo proposto pela NBR 6118/2014 corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas ou seções de controle, definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica, denominada de contorno C do pilar ou carga concentrada, verifica-se, indiretamente, a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio de uma tensão de cisalhamento. Na segunda superfície crítica, denominada de contorno C’ e localizada a uma distância 2d do pilar ou carga concentrada, verifica-se a capacidade da ligação à punção, associada à ruína por tração diagonal, por meio também de uma tensão de cisalhamento. Caso haja necessidade, essa ligação deve ser reforçada por uma armadura transversal. A terceira superfície crítica, denominada de contorno C”, apenas deve ser verificada quando for necessário se colocar armadura transversal. Seções de Controle Apresentam-se, a seguir, as formas dos perímetros críticos utilizados nas análises de punção para pilares internos em lajes lisas. Figura 23 - Perímetros críticos em pilares internos No caso de pilares com capitel (engrossamento localizado da laje), em lajes denominadas cogumelo, devem ser feitas verificações nos contornos críticos C’1 e C’2, conforme ilustra a figura 24. As verificações são:  se lc  2(dc – d), verifica-se somente o Contorno C’2;  se 2(dc – d) < lc  2 dc , basta verificar o Contorno C’1; e  se lc > 2 dc, é necessário verificar os Contornos C’1 e C’2.
39 d = altura útil da laje no Contorno C’2; dc = altura útil da laje na face do pilar ou da carga concentrada; da = altura útil da laje no Contorno C’1; e lc = distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Figura 24 - Perímetros críticos em lajes cogumelo A NBR 6118/2014 apresenta ainda prescrições para pilares com geometrias irregulares, pilares com reentrâncias e próximos a aberturas. Nesses casos, os contornos C e C’ são determinados conforme mostra a figura 25. Figura 25 - Perímetros críticos em casos de pilares especiais Cálculo da tensão solicitante nas superfícies críticas de contorno C e C’ Pilar com carregamento simétrico Neste caso, a tensão de cisalhamento é dada por: ud Fsd sd  , d = (dx + dy)/2,
40 onde:  Fsd é a força ou reação concentrada de cálculo;  u é o valor numérico do perímetro do contorno crítico (u0 para C e u para C’);  d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C ou C’; e  dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais. Pilar com efeito de momento Devido à assimetria do carregamento, a tensão de cisalhamento é dada por: dW kM ud F p sdsd sd  , onde:  Msd é o momento de cálculo transmitido da laje ao pilar;  k é o coeficiente que fornece a parcela de Msd, transmitida ao pilar por cisalhamento, que depende da relação c1/c2; e  Wp é o módulo de resistência plástica do perímetro crítico em questão. Wp pode ser calculado nas duas direções, tendo assim uma variação de x em relação a y e vice- versa. Esta variação do parâmetro será chamado, nas equações, de Wp1 e Wp2. O coeficiente k assume os valores dados na tabela abaixo. Tabela 2 - Valores de k c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0 k 0,45 0,60 0,70 0,80 c1 é a dimensão do pilar, paralela à excentricidade da força e c2 é a dimensão do pilar, perpendicular à excentricidade da força. Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor K= 0,6. Os valores de Wp devem ser calculados pelas expressões a seguir: - para um pilar retangular: contorno C  Wp1 = c1²/2 + c1c2 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 contorno C’ Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2
41 contorno C” Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 + 2c2β + 16dβ + 4β² + c1β & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2 + 2c1β + 16dβ + 4β² + c2β onde β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção. - para um pilar circular: contorno C  Wp = D² contorno C’ Wp = (D + 4d)² contorno C” Wp = (D + 2β +4d)² onde D é o diâmetro do pilar, d é a altura útil da laje e β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção; Wp pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico através da seguinte expressão: dleW u p  0 , onde:  dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;  e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua o momento em questão. No caso de existirem momentos em duas direções ortogonais, a expressão de sd é dada por: dW M k dW M k du F p sd p sdsd sd     2 2 2 1 1 1 .  , Fazendo-se as adaptações necessárias para k1 e k2, bem como para Wp1 e Wp2. A figura 26 esclarece as associações dos momentos com os lados da seção. Figura 26 - Associação dos lados da seção do pilar com os momentos fletores
42 Cálculo da tensão resistente nas superfícies críticas de contorno C, C’ e C’’ Contorno C Neste caso a tensão resistente de compressão diagonal do concreto é igual a: cdvRdsd f 27,02  , v = (1 - fck/250), com fck em MPa, onde:  αv é o fator de fragilidade do concreto; e  fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto. O valor de Rd2 poderá ser ampliado em 20%, quando os vãos que chegam ao pilar em questão não diferem entre si em mais de 50%, e se não existirem aberturas junto ao pilar, ou seja, cdvRd f 324,02  . Contorno C’ a) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção:   3 1 1 100 20 113,0 ckRdsd f d r          , yx rrr  , onde:  d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C’, em centímetros;  r é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente;  fck é a resistência característica à compressão do concreto, em MPa;  rx e ry são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais, assim calculadas: - na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar, acrescida de 3d para cada um dos lados; - no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d. b) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos com armadura de punção:   )( 5,1100 20 110,0 3 1 3 uds senfdA f d r ywdsw ckRdsd  r          ,
43 onde:  sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, sempre menor ou igual a  0,75d;  Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo a C´;  α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;  u é o valor numérico do perímetro crítico;  fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para conectores, ou 250 MPa para estribos (CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura maior que 15 cm, pode assumir os seguintes valores: fywd = 250 + 185(h-15)/20 MPa, para 15 < h ≤ 35 cm fywd = 435 MPa, para h > 35 cm Quando for necessário utilizar armadura de combate à punção, ela deve ser estendida em contornos paralelos a C’ até que, em um contorno C’’ afastado 2d do último contorno de armadura (figura 27), não seja mais necessária armadura, isto é 1Rdsd   . Figura 27 - Disposição da armadura de punção em planta e contorno C’’ Pilares de borda e canto A Norma brasileira NBR 6118/2014 analisa individualmente as situações de aplicação de cargas concentradas nas áreas limites das lajes, mais especificamente as bordas e os cantos. Tratando dos pilares de borda, quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:
44 dW MK d*u F τ p1 Sd11Sd Sd  sendo: MSd1 = (MSd - MSd*)  0 (pode-se considerar MSd* igual a zero à favor da segurança) onde: FSd é a reação de apoio; u* é o perímetro crítico reduzido; MSd é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre; MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar; WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o perímetro u. O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, com c1 e c2 de acordo com a figura 28 Figura 28 - Perímetro crítico em pilares de borda Quando agir momento no plano paralelo à borda livre: dW MK dW MK d*u F 2p 2Sd2 1p 1Sd1Sd Sd  onde: MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre; WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo perímetro u. O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, substituindo- se c1/c2 por c2/2c1 (sendo c1 e c2 estabelecidos na figura 28).
45 Com relação aos pilares de canto aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à borda. Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada. Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção c1/c2, sendo c1 e c2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, conforme tabela 2 (ver figura 29). Figura 29 - Perímetro crítico em pilares de canto Devido a um certo grau de complexidade nas interpretações das superfícies críticas nos casos onde há pilares de canto e de borda, bem como na determinação dos respectivos módulos de resistência plástica, optou-se por apresentar em anexo todas as expressões práticas para aplicação direta (ANEXO 9.4 – página 106). Detalhamento da armadura de punção As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem como as distâncias regulamentares a serem obedecidas estão na figura 30.
46 Figura 30 - Detalhamento da armadura de punção No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que Sd seja menor que Rd1. Essa armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd. A armadura de colapso progressivo, vista na figura 30, deve ser tal que: yd Sd ccp,s f F5,1 A  onde As,ccp é o somatório de todas as áreas das barras inferiores que cruzam cada uma das faces do pilar e FSd pode ser calculado com γf (coeficiente de majoração dos carregamentos) igual a 1,2. A NBR 6118/2014 apresenta ainda as seguintes prescrições referentes ao detalhamento da armadura:  para resistir à punção, as armaduras devem ser constituídas, de preferência, por conectores do tipo “stud”, sendo permitido o uso de estribos verticais;  o diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20, onde h é a espessura da laje. Além disso, deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos (ancoragem mecânica), conforme mostra a figura 31; mínimo de 3 linhas de conectores, estribos ou pinos, com suas extremidades ancoradas fora do plano da armadura de flexão Armadura contra colapso progressivo (armadura que aumenta a ductilidade da ligação na fase de pós puncionamento, redistribuindo os esforços de modo a evitar a ocorrência do colapso progressivo)
47  as armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem. Figura 31 - Ancoragem da armadura de punção Exercício Considerando as seguintes características para o dimensionamento à punção da laje com carregamento usual para prédios de apartamentos convencionais. Trata-se de um pilar de centro com carga total de 300 kN/pavimento (Fsd = 300x1,4 = 420kN) e dimensões 100 x 35 cm, laje de espessura total de 17 cm (altura útil 15 cm) e concreto fck = 30 MPa. Os vários contornos críticos a se considerar são: Ao longo da superfície crítica C: u = 2 × 100 + 2 × 35 = 270,00 cm Ao longo da superfície crítica C’: u* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  ×30 = 458,50 cm Ao longo da superfície crítica C”: uo* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  × 60 = 647,00 cm
48 Taxa de armadura: rx = 10 c/ 20 → rx = As/Ac → rx = 4 cm² / 100 cm x 15 cm – 0,27% 10 = 0,79 cm² → 100/20 = 5 → 5 x 0,79  4 cm² ry = 10 c/ 20 → ry = As/Ac → ry = 4 cm² / 100 cm x 15 cm – 0,27% 10 = 0,79 cm² → 100/20 = 5 → 5 x 0,79  4 cm² %27,027,027,0 r Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica 2RdSd   MPa du FSd Sd 04,1 15,070,2 420,0      MPaff cdckRd 09,54,1/30)250/301(27,0)250/1(27,02  !09,504,12 okMPaRdSd  Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ para não armar 1RdSd   MPa du FSd Sd 61,0 15,058,4 420,0 *      MPafd ckRd 56,0)300027,0100)(15/201(13,0)100)(/201(13,0 3/13/1 1  r ArmarokNãoMPaRdSd  !56,061,01 Cálculo da armadura 3RdSd   MPaSd 61,0
49 * 5,1 3,1 1 3 us fA r ywdswRd Rd      Isolando Asw/sr tem-se: ²cm204,0 5,2685,1 5,458)3,1/56,061,0( f5,1 *u)3,1/( s A ywd 1RdSd r sw         Com MPafywd 5,268 20 )1517(185 250    Definindo sr = 11,3 cm → Asw = 0,204 x 11,3 = 2,31 cm² Seguindo as premissas da norma para o correto posicionamento da armadura obtemos: nciacircunferêporbarras17barras62,16 139,0 31,2 Quantidade  Utilizaremos, portanto, como forma de melhorar a distribuição das armaduras transversais, 18 barras de 4,2 mm de diâmetro – 4 barras paralelas a face maior + 3 barras paralelas a face menor + 1 barra em cada prolongamento de canto – por “perímetro”. Porém, nada impediria a utilização das 17 barras, aleatoriamente, conforme calculado. Verificação da tensão resistente na superfície crítica C” 1RdSd   MPa du FSd Sd 43,0 15,047,6 420,0 *0      MPafd ckRd 56,0)300027,0100)(15/201(13,0)100)(/201(13,0 3/13/1 1  r !56,043,01 okMPaRdSd  Armadura de colapso progressivo 5,1210m/²cm42,12 ²cm/kN48,43 kN3005,12,1 f *F A yd Sd s   
50 4. LAJES NERVURADAS 4.1 Introdução Figura 32 – Elementos da laje nervurada Uma laje nervurada é constituída por um conjunto de vigas que se cruzam, solidarizadas pela mesa. Esse elemento estrutural terá comportamento intermediário entre o de uma laje maciça e o de uma grelha. Segundo a NBR 6118/2014, lajes nervuradas são "lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte." As evoluções arquitetônicas, que forçaram o aumento dos vãos (de 5 a 15 metros), e o alto custo das formas tornam as lajes maciças desfavoráveis economicamente, em alguns casos. Surgem, como uma das alternativas, as lajes nervuradas (ver figura 33). Figura 33 – Laje nervurada bidirecional Resultantes da eliminação do concreto abaixo da linha neutra, elas propiciam uma redução no peso próprio e um melhor aproveitamento do aço e do concreto. A resistência à tração é concentrada nas nervuras, e os materiais de enchimento têm como função única substituir o concreto, sem colaborar na resistência. Essas reduções propiciam uma economia de materiais, de mão-de-obra e de formas, aumentando assim a viabilidade do sistema construtivo. Além disso, o emprego de lajes nervuradas simplifica a execução e permite a industrialização, com redução de
51 perdas e aumento da produtividade, racionalizando a construção. Essas nervuras podem ser numa só direção ou nas duas direções constituindo, como nas lajes maciças, lajes nervuradas armadas em uma só direção e lajes de armaduras cruzadas. No anexo desse estudo um catálogo técnico é apresentado, mais precisamente de uma das mais conceituadas empresas, em termos nacionais, da comercialização e otimização deste tipo de laje: a forma ATEX. 4.2 Prescrições Normativas Para que essas lajes gozem do todos os dispositivos regulamentares no tocante a regime de cálculo, a NBR 6118 estabelece que a espessura da mesa (elemento laminar), quando não existirem tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre as faces das nervuras (a) e não menor que 4 cm.      15 a cm4 hf O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para tubulações com diâmetro maior que 10 mm, a mesa deve ter a espessura mínima de : - 4 cm + o diâmetro da tubulação ou 4 cm + duas vezes o diâmetro da tubulação no caso de haver cruzamento destas tubulações. A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão (armadura dupla). Nesses casos adotamos expedientes como “alargar” as nervuras nestas regiões. Para o projeto das lajes nervuradas, devem ser obedecidas as seguintes condições: a) para lajes com espaçamentos entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios da laje; b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 e 110 cm, exige- se a verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das
52 nervuras for maior que 12 cm; c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como lajes maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. Os apoios das lajes nervuradas devem sempre ser feitos ao longo das nervuras, podendo também ser necessária a utilização de capitéis ou engrossamentos locais nas lajes. As lajes pré-moldadas devem atender adicionalmente às prescrições das normas brasileiras especificas (ABNT NBR 9062). As lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras, desprezadas a rigidez transversal e a rigidez á torção. Por outro lado, as lajes nervuradas bidirecionais, podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças. Figura 34 – Seção típica de uma laje nervurada 4.3 Tipos de Lajes Nervuradas As lajes nervuradas podem ser moldadas no local ou podem ser executadas com nervuras pré-moldadas. a) Laje moldada no local Todas as etapas de execução são realizadas "in loco". Portanto, é necessário o uso de formas e de escoramentos, além do material de enchimento. Pode-se utilizar formas para substituir os materiais inertes. Essas formas já são encontradas em polipropileno ou em metal, com dimensões moduladas, sendo necessário utilizar desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças (figura 35). b) Laje com nervuras pré-moldadas Nessa alternativa, as nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas, que dispensam o uso do tabuleiro da forma tradicional. Essas vigotas são capazes de suportar
53 seu peso próprio e as ações de construção, necessitando apenas de cimbramentos intermediários. Além das vigotas, essas lajes são constituídas de elementos de enchimento, que são colocados sobre os elementos pré-moldados, e também de concreto moldado no local. Há três tipos de vigotas (figura 36). Figura 35 – Laje nervurada moldada no local Figura 36 – Vigotas pré-moldadas 4.4 Vinculação Para as lajes nervuradas, procura-se evitar engastes e balanços, visto que, nesses casos, têm-se esforços de compressão na face inferior, região em que a área de concreto é reduzida. Nos casos em que o engastamento for necessário, duas providências são possíveis: • limitar o momento fletor ao valor correspondente à resistência da nervura à compressão; • utilizar mesa na parte inferior (figura 37), situação conhecida como laje dupla, ou região maciça de dimensão adequada (capitéis como visto acima).
54 Figura 37 – Diagrama de momentos para lajes nervuradas contínuas 4.5 Dimensionamento O dimensionamento das lajes nervuradas é feito através da consideração das nervuras como vigas “T” ou “L”. Assim devem-se observar as orientações normativas, bem com os cálculos, referentes a estas peças, conforme estudado anteriormente. Figura 38 – Considerações em vigas “T” ou “L”     2 1 5,0 1,0 b a b     4 3 1,0 b a b onde         balançoemvigaeml contínuavigadeernovãoeml contínuavigadeextremovãoeml isostáticavigaeml a 2 int6,0 75,0 com l igual ao vão da viga
55 No caso dos momentos fletores devemos fazer duas considerações: Caso 1 – se as nervuras e o espaçamento entre elas são iguais (inércias iguais nas duas direções), conforme visto na figura 39. Figura 39 – Laje nervurada com inércias iguais (env(a) = env(b)) Caso 2 – se as nervuras e/ou os espaçamentos entre elas são diferentes (inércias diferentes entre as duas direções), conforme visto na figura 40. Figura 40 – Laje nervurada com inércias diferentes (env(a)  env(b)) No caso 1 calculamos os esforços como lajes comuns utilizando para tal qualquer tabela de laje, exceto as que consideram como princípio básico as “linhas de ruptura”. Sendo assim utilizaremos a tabela de “Bares” de momentos fletores em regime elástico. Tabela 3 – Momentos Fletores – Regime elástico
56 No caso 2 os esforços são calculados utilizando-se a “teoria das grelhas” que tem como princípio básico a compatibilidade das flechas das nervuras nas direções a e b. Assim determinam-se “quinhões de carga” para cada direção. Procedendo-se assim reduzimos o problema da bi-flexão das lajes em duas flexões ortogonais “independentes”. Neste caso não levamos em consideração o efeito benéfico dos momentos volventes que reduzem o efeito dos momentos fletores positivos atuantes. Assim temos: qa = ka x q ou qb = kb x q ab4 a b b a a k1kou b a I I c c 1 1 k          onde q é a carga total atuante na laje; qa é o quinhão de carga atuante na direção a; ca é o coeficiente do tipo de apoio na direção a; Ia é o momento de inércia na direção a em uma faixa unitária (1 metro); qb é o quinhão de carga atuante na direção b; cb é o coeficiente do tipo de apoio na direção b; Ib é o momento de inércia na direção b em uma faixa unitária (1 metro);
57 a e b são os vãos da laje. Teoria das Grelhas Se observarmos as fórmulas das flechas (ou deslocamentos elásticos) de vigas de um só tramo, conforme anexo, notamos que elas podem ser escritas da seguinte forma: EI ql cf 4  onde c pode ter os seguintes valores conforme os tipos de apoios 1) c = 5/384  viga bi-apoiada → caso 6; 2) c= 3/554 (ou 2,07/384)  viga apoiada-engastada → caso 14; 3) c= 1/384  viga bi-engastada → caso 18; Assim, podemos escrever para cada direção, considerando representativa uma “faixa unitária”: bb 4 b bb aa 4 a aa IE bq cfe IE aq cf  onde fa é a flecha máxima, da faixa unitária, na direção a; fb é a flecha máxima, da faixa unitária, na direção b; Ea e Eb são os módulos de elasticidade do material nas direções a e b respectivamente. Figura 41 – “Faixas unitárias” na laje nervurada Mas fa = fb (equação de compatibilidade), logo; bb 4 b b aa 4 a a IE bq c IE aq c  desenvolvendo, temos: 4 bba 4 aab b a aIEc bIEc q q     4 aab 4 bba 4 aab ba a bIEcaIEc bIEc qq q     Porém sabemos que qa + qb = q e como o concreto armado tem o mesmo módulo de elasticidade nas duas direções, temos:
58 q bIcaIc bIc q 4 ab 4 ba 4 ab a     ou q b a I I c c 1 1 q 4 a b b a a          ou ainda qa = ka x q onde 4 a b b a a b a I I c c 1 1 k         Analogamente: qb = kb x q onde 4 b a a b b a b I I c c 1 1 k         Exercício Dimensionar a laje nervurada abaixo para um concreto com fck = 20 MPa, aço CA-50, sobrecarga de 200 kgf/m², 50 kgf/m² de revestimento e utilizando tijolos cerâmicos furados como enchimento das nervuras. Adotar cobrimento igual a 2 cm. Cálculo do peso próprio Volume da unidade: 0,50 x 0,50 x 0,17 = 0,0425 m³ Volume de tijolos: 0,4 x 0,4 x 0,1 = 0,0160 m³ Volume de concreto: 0,0425 – 0,0160 = 0,0265 m³ Peso da unidade 0,0265 x 2500 + 0,0160 x 1300 = 87,05 kgf Peso por metro quadrado de laje 87,05  0,5 x 0,5 = 348,20 kgf/m²  350 kgf/m² Carga total na laje: q = 350 + 200 + 50 = 600 kgf/m² Cálculo dos momentos fletores Neste caso a laje tem inércias iguais nas duas direções. Assim adotaremos a tabela 3 para o cálculo.
59 b/a = 1000/800 = 1,25  laje tipo 1  ma = 16,45 e mb = 23,95 Ma = 600 x 8²/ 16,45 = 2334 kgf x m/m Mb = 600 x 8²/ 23,95 = 1603 kgf x m/m ou Ma = 2334 x 0,50/1,00 = 1167 kgf x m/nervura Mb = 1603 x 0,50/1,00 = 801 kgf x m/nervura Dimensionamento como viga “T” Para Ma Cálculo de bf       20405,0 808001,0 b1 bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm Armadura para as nervuras ²cm/kgf43,121 4,1 20085,0 fc    d = h – d’ = 17 – 3 = 14 cm                  duplaArmaçãokkkk hbgularreSeçãok simplesArmaçãokkkk d h d h b b dbf M k LL f L ff w f wc d ' tan0 ' ) 2 1(1 ² hbgulartanreSeção0k813,0) 142 7 1( 14 7 1 10 50 ²141043,121 1167004,1 k f             295,0137,0 ²145043,121 1167004,1 k     nervurapor10381²cm89,2)137,0211( 4348 145043,121 As     Para Mb Cálculo de bf       20405,0 10010001,0 b1 bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm
60 Armadura para as nervuras hbgulartanreSeção0k03,1) 142 7 1( 14 7 1 10 50 ²141043,121 801004,1 k f             295,0094,0 ²145043,121 801004,1 k     nervurapor10281²cm93,1)094,0211( 4348 145043,121 As     Exercício Dimensionar a laje nervurada abaixo para um concreto com fck = 20 MPa, aço CA-50, sobrecarga de 150 kgf/m², 50 kgf/m² de revestimento e utilizando tijolos cerâmicos furados como enchimento das nervuras. Adotar cobrimento igual a 2 cm. Cálculo de bfa       10205,0 707001,0 b1 bf = 10 + 10 + 10 = 30 cm Cálculo de bfb       20405,0 909001,0 b1 bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm
61 Cálculo de Ia e Ib cm92,13 1510730 5,715105,18730 ya         nerv/cm50,142575,792,131510 12 1510 92,135,18730 12 730 I 42 3 2 3 a      Por faixa unitária temos: 14257,50 x 1,00/0,30 = 47525,01 cm4 /m cm20,15 1510750 5,715105,18750 yb         nerv/cm67,169465,720,151510 12 1510 20,155,18750 12 750 I 42 3 2 3 b      Por faixa unitária temos: 16946,67 x 1,00/0,50 = 33893,33 cm4 /m Como temos inércias diferentes nas duas direções usaremos a teoria das grelhas 793,0 900 700 01,47525 33,33893 384 5 384 5 1 1 k 4 a          qa= 0,793q e qb= (1 – 0,793)q= 0,207q Cálculo do peso próprio Volume da unidade: 0,30 x 0,50 x 0,22 = 0,033 m³ Volume de tijolos: 0,2 x 0,4 x 0,15 = 0,012 m³ Volume de concreto: 0,033 – 0,012 = 0,021 m³ Peso da unidade 0,021 x 2500 + 0,012 x 1300 = 68,10 kgf Peso por metro quadrado de laje 68,10  0,3 x 0,5 = 454 kgf/m² Carga total na laje: q = 454 + 150 + 50 = 654 kgf/m² qa= 0,793 x 654 = 518,62 kgf/m x metro de laje qb= 0,207 x 654 = 135,38 kgf/m x metro de laje Cálculo dos momentos fletores Ma = 518,62 x 7²/8 = 3176,56 kgf x m/m Ma = 3176,56 x 0,3/1,00 = 952,97 kgf x m/nervura Mb = 135,38 x 9²/8 = 1370,70 kgf x m/m
62 Mb = 1370,70 x 0,50/1,00 = 685,35 kgf x m/nervura Dimensionamento como viga “T” Para Ma Armadura para as nervuras d = h – d’ = 22 – 3 = 19 cm hbgulartanreSeção0k297,0) 192 7 1( 19 7 1 10 30 ²191043,121 952974,1 k f             295,0101,0 ²193043,121 952974,1 k     nervurapor1023,61²cm70,1)101,0211( 4348 193043,121 As     Para Mb Armadura para as nervuras hbgulartanreSeção0k983,0) 192 7 1( 19 7 1 10 50 ²191043,121 685354,1 k f             295,0044,0 ²195043,121 685354,1 k     nervurapor823,61²cm19,1)044,0211( 4348 195043,121 As    
63 5. LAJES LISAS E LAJES COGUMELOS Segundo a NBR 6118/2014 as lajes-cogumelo são elementos laminares apoiados diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são apoiadas nos pilares sem capitéis (ver figura 42). Figura 42 – Laje lisa e laje-cogumelo, respectivamente A análise estrutural de lajes lisas e cogumelo deve ser realizada mediante emprego de procedimento numérico adequado, por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos ou elementos de contorno. Na figura 43 tem-se uma laje lisa modelada no software Sap 2000 (MEF – método dos elementos finitos). Figura 43 – Laje lisa modela em elementos finitos no Sap 2000 Nos casos das lajes em concreto armado, em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais, de maneira regular e com vão pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser realizado pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar, em cada direção, pórticos múltiplos, para obtenção dos esforços solicitantes. Para cada pórtico deve ser considerada a carga total. A distribuição dos momentos, obtida em cada direção, segundo as faixas indicadas na figura 44, deve ser feita da seguinte maneira:
64 a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas, ou 22,5 % para cada uma delas; b) 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas, ou 12,5 % para cada uma delas; d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. Devem ser cuidadosamente estudadas as ligações das lajes com os pilares, com especial atenção aos casos em que não haja simetria de forma ou de carregamento da laje em relação ao apoio. Obrigatoriamente, devem ser considerados os momentos de ligação entre laje e pilares extremos. A punção deve ser verificada de acordo com o capítulo 3. Figura 44 – Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos Em lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo visto acima, devem ser respeitadas as disposições contidas na figura 45. - pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, respeitando-se também a armadura contra o colapso progressivo visto no capítulo 3. - em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além de atender as demais prescrições, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 24ф no capitel. - devem ser atendidas as condições de ancoragem. O diâmetro máximo da armadura de flexão é h/8 e seu espaçamento máximo 2h ou 20 cm. As armaduras secundárias devem ter 20% da área da armadura principal no mínimo e espaçamento até 33 cm
65 Figura 45 – Disposições construtivas para lajes lisas As lajes cogumelo devem ter espessura mínima de 14 cm fora do capitel; já as lajes lisas devem ter no mínimo 16 cm Método de dimensionamento O método de dimensionamento das lajes lisas ou cogumelo partem da divisão dos painéis das lajes em faixas internas e externas, como visto na figura 44. Para o cálculo dos esforços atuantes, considera-se que o conjunto laje-pilares formem pórticos (pórticos equivalentes), ou vigas, perpendiculares entre si, de acordo com a figura 46. E neste procedimento o carregamento total atua em cada direção isoladamente. Naturalmente que, para o cálculo das reações nos pilares, isso não deve ser considerado (a área de influência do pórtico nas duas direções não deve ser sobreposta). A partir daí carregam-se os pórticos com as solicitações atuantes. E como o carregamento pode ter parcelas de cargas de natureza diferentes (cargas permanentes e cargas acidentais), deve-se comparar os valores dessas cargas afim de se considerar suas combinações mais desfavoráveis. Como última etapa deste procedimento de cálculo deve-se distribuir os momentos fletores encontrados, pelas faixas internas e externas, de acordo com os percentuais estudados na página anterior. Somente após esta divisão e que se parte para o dimensionamento das seções a flexão no Estado Limite Último. Se a variação no módulo dos carregamentos for considerável em termos de natureza dos esforços, por exemplo, a carga permanente apresentar uma magnitude
66 similar à carga acidental, uma pesquisa de “maior momento” nas seções pode ser requerida; conforme visto nas considerações estudadas anteriormente para as cargas acidentais maiores que 20% da carga total (estudo de VIGAS). Por considerações arquitetônicas, nem sempre se consegue que os pilares estejam alinhados. Com isso permite-se um desalinhamento máximo entre pilares de até 10% dos vãos entre pilares adjacentes para validação do processo estudado. Do contrário, métodos mais avançados deverão ser utilizados (MEF). Figura 46 – Pórtico equivalente para dimensionamento das lajes lisas/cogumelo Exercício Dimensionar a laje abaixo usando CA-50 e fck igual a 20 MPa. Trata-se de um piso de prédio residencial. O desnível entre andares é de 3,05 m. Espessura da laje igual a 16 cm e dimensões dos pilares iguais a 30 cm x 30 cm. Adotar como carregamento peso próprio, revestimento de 80 kgf/m², carga de alvenaria distribuída uniformemente de 100 kgf/m² e sobrecarga de 150 kgf/m². Adotar cobrimento igual a 2 cm (d’ 3 cm). q
67 Resolução q = 0,16 x 2500 + 80 + 100 +150 = 730 kgf/m² Cálculo dos esforços (Direção x igual a direção y) Inércia da viga fictícia: Iv = 4 x 0,16³/12 = 0,001365 m4 (linhas externas) Inércia da viga fictícia: Iv = 6 x 0,16³/12 = 0,002048 m4 (linhas interna) Inércia do pilar: 0,34 /12 = 0,000675 m4 Diagrama de momentos fletores para as linhas externas por metro de laje (tf x m)
68 Diagrama de momentos fletores para as linhas internas por metro de laje (tf x m) Dimensionamento O cálculo é feito para os valores máximos encontrados para cada trecho. Será feito um dimensionamento único para todos os eixos já que pequenas diferenças foram encontradas entre os valores dos pórticos externos e internos. Momentos Finais Largura das faixas → 6,00/4 = 1,50 m Faixas Externas Momentos (Painel) * % por faixa Momento por faixa** As (total)*** As (por metro)**** 1580 x 6 = 9480 kgfxm/m 37,5 3555 kgfxm/m 9,68 cm² 6,46 cm² 2580 x 6 = 15480 kgfxm/m 37,5 5805 kgfxm/m 17,09 cm² 11,39 cm² 1320 x 6 = 7920 kgfxm/m 27,5 2178 kgfxm/m 5,70 cm² 3,80 cm² 6m
69 Faixas Internas Momentos (Painel) * % por faixa Momento por faixa** As (total)*** As (por metro)**** 1580 x 6 = 9480 kgfxm/m 12,5 1185 kgfxm/m 3,02 cm² Asmín 2580 x 6 = 15480 kgfxm/m 12,5 1935 kgfxm/m 5,03 cm² 3,36 cm² 1320 x 6 = 7920 kgfxm/m 22,5 1782 kgfxm/m 4,62 cm² 3,08 cm² *O valor que multiplica os momentos finais (6 m) deve ser igual à base em que foi modelado o pórtico; lembrando que nesse exemplo o dimensionamento foi único para todos os eixos **O momento por faixa será o valor do momento no painel dividido por 1 metro e multiplicado pela porcentagem por faixa. ***As (total) tem como base a largura da faixa (bw) ****As (por metro) divide o As (total) pela largura da faixa Asmín = 0,15% bwh = 2,40 cm²/m O detalhamento das barras nas respectivas faixas deve ser orientado de acordo com a figura 45. Não será verificada a resistência ao puncionamento apenas por questões acadêmicas, já que este assunto foi abordado no capítulo 3. Porém salienta-se que a mesma deve ser analisada sempre que tratarmos de projetos estruturais de engenharia.
70 6. ESCADAS E CAIXAS D’ÁGUA Cálculo de escadas usuais Classificação Podemos classificar as escadas comuns de edifícios em 3 classes: a) Escadas armadas transversalmente; b) Escadas armadas longitudinalmente; c) Escadas armadas em cruz. Depois de estudar o funcionamento destas 3 classes de escadas, passaremos ao cálculo das vigas que servem de apoio às mesmas e, em seguida, ao projeto dos principais tipos de escadas usualmente empregados em edifícios. Cargas atuantes As cargas que atuam nas escadas são a sobrecarga (NBR 6120/1980), os revestimentos, o peso próprio e os parapeitos. A sobrecarga é tomada como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal de escada, sendo adotados os seguintes valores: - Escada com acesso ao público → 3 kN/m² - Escada sem acesso ao público → 2,5 kN/m² Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para suportarem um carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para a carga indicada acima. O revestimento varia de 50 a 100 kgf/m², e é considerado como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal. O peso próprio das escadas pode também ser avaliado por metro quadrado de projeção horizontal. Porém, devido à variação da espessura pela existência dos degraus, uma espessura média deve ser considerada. Uma relação, utilizada nos projetos arquitetônicos, entre o piso do degrau e seu espelho é estabelecida pela fórmula de Blondel; preconizada por: 2E + P = 64 cm onde E é a altura do espelho e P é o piso (ver figura 47)
71 Figura 47 – Fórmula de Blondel O parapeito, em geral, se apóia nas vigas laterais, salvo o caso de escadas sem vigas, onde o seu peso pode ser distribuído por metro quadrado de projeção horizontal. Escadas armadas transversalmente Nas escadas armadas transversalmente, os apoios serão vigas ou paredes situadas longitudinalmente nas faces laterais da escada. Figura 48 – Escadas armadas transversalmente Depois de obtida a carga total por metro quadrado de projeção horizontal e analisado os vãos efetivos e as condições de contorno (apoio ou engaste), dimensiona-se o elemento à flexão simples tomando-se como altura de cálculo a espessura média. Escadas armadas longitudinalmente Nas escadas armadas longitudinalmente, os apoios serão vigas ou paredes situadas transversalmente à escada. Figura 49 – Escadas armadas longitudinalmente
72 Apesar de termos que recorrer intuitivamente a relações trigonométricas (seno e cosseno) para transformarmos as cargas por metro de projeção horizontal em cargas normais ao eixo da escada e por metro segundo o plano inclinado da escada (vide li da figura 49); verifica-se que as escadas nessa situação podem ser calculadas tomando-se para o vão o valor da projeção horizontal do comprimento da escada e para a carga aquela que age verticalmente por metro quadrado de projeção horizontal. Calculado o momento fletor máximo devemos observar na figura 49 que só podemos considerar como espessura da escada a parte que constitui uma laje inclinada com espessura h situada por baixo dos degraus. Na ligação das escadas com os pisos existe um pequeno engastamento que pode ser considerado no cálculo, usando-se para momento positivo e momento negativo os valores: M = ql²/10 e X= -ql²/40. Escadas armadas em cruz Nas escadas armadas em cruz (vide figura 50), os apoios serão vigas ou paredes situadas longitudinalmente e transversalmente, devendo-se fazer um estudo associado às duas situações anteriores, com a aplicação dos conceitos adquiridos nas lajes armadas nas duas direções (visto anteriormente). Porém, como estes casos são muito pouco comuns por questões econômicas, convenciona-se adotar um ou outro caso; ou seja, considera-se o dimensionamento exatamente igual às escadas armadas longitudinalmente ou às escadas armadas transversalmente, fazendo com que pelo menos duas vigas paralelas entre si, não recebam a solicitação a título de cálculo. Estas duas, das quatro vigas existentes, atuem apenas como vigas de composição. Como espessura de cálculo convenciona-se, independente do processo assumido, espessura h situada por baixo dos degraus. Figura 50 – Escadas armadas em cruz
73 Exercício A escada residencial descarrega nas vigas V1 e V2, conforme esquema abaixo, dimensione a armação principal da escada considerando-se fck igual a 30 MPa, revestimento de 50 kgf/m², cobrimento de 2 cm e CA-50. Dados complementares: altura do espelho = 18,5 cm; comprimento do piso = 25 cm; altura da laje = 12 cm. Verificando a fórmula de Blondel (apenas como curiosidade, pois isso é responsabilidade arquitetônica ou de projeto básico). 2x19 + 25 = 63 cm → aproximadamente 64 cm → ok! Altura média tgф = 19/25 = 0,76  ф = 37,23º 12/cos37,23º = 15,07 cm cm57,24 2 07,15)07,1519( hmédio    Peso próprio: 0,2457 x 2500 = 614,25 kgf/m² Carga total: 614,25 + 250 + 50 = 914,25 kgf/m²  915 kgf/m² Momento máximo de cálculo: 1,4 x 915 x 3,9²/8 = 2435,5 kgf x m/m Dimensionamento da armadura principal 295,0165,0 ²910014,182 243550 k    11.c10m/²cm84,6165,0211( 4348 910014,182 As    Asmín = 0,15%bwh = 0,0015 x 100 x 24,57 = 3,68 cm²/m < 6,84 cm²/m → ok
74 Cálculo de caixas d’água Classificação Nos edifícios, as caixas d’água se apresentam, em geral, constituídas de várias placas planas, podendo ser adotada uma classificação simples abrangendo os principais tipos encontrados na prática. As caixas d’água serão divididas em duas classes quanto à situação em relação à estrutura de base: elevadas e enterradas. Ambos estes tipos são subdivididos em: a) Caixas d’água armadas segundo um plano horizontal; b) Caixas d’água armadas segundo um plano vertical; c) Caixas d’água armadas em vários planos; d) Caixas d’água contendo vigas ou paredes intermediárias. Cargas As cargas que atuam nas caixas d’água, além das sobrecargas e do peso próprio, temos: - Nas caixas elevadas: empuxo d’água; - Nas caixas enterradas: empuxo d’água, empuxo de terra e subpressão d’água. O empuxo d’água será representado por uma carga triangular atuando normalmente às paredes, e o valor em qualquer ponto será: qágua = 1000xh, onde h é a altura da coluna d’água em metros e qa o empuxo em kgf/m². Na figura 51 apresentamos a configuração dos diagramas dos esforços solicitantes oriundos do peso d’água. Figura 51 – Carregamento em kgf/m² Assim, temos nas paredes cargas triangulares e no fundo carga uniforme. Quanto ao empuxo de terra que atua nas caixas enterradas, seu valor depende da natureza e das propriedades do solo (ângulo de “repouso” e peso específico, por exemplo), e de uma maneira simplificada adotaremos o diagrama triangular, e o valor em qualquer ponto será: qsolo = 600xh, onde h é a altura do solo em metros e qsolo o empuxo em kgf/m². A título de orientação, esse valor foi tomado a partir de um peso específico médio, γsolo, igual a 1800 kgf/m³ e ângulo de “repouso” médio, , igual a 30º.
75 Nos reservatórios enterrados, quando o nível do lençol freático (nível d’água) é mais elevado que o fundo da caixa, temos que considerar uma pressão exercida pela água no sentido ascendente (baixo para cima), denominada subpressão (ver figura 52). Chamando de h’ a diferença entre o nível d’água (NA) e o fundo da caixa, podemos considerar a subpressão com o valor igual a 1000xh’, expresso em kgf/m². Figura 52 – Carregamento, em kgf/m², para caixas enterradas – empuxo de terra e nível d’água elevado, respectivamente Generalidades sobre o funcionamento das caixas d’água De um modo geral, fazendo um corte vertical ou horizontal em um reservatório, obteremos um quadro fechado de forma retangular representando as solicitações, como mostram as figuras 53, 54 e 55. Reservatório elevado Figura 53 – Corte vertical e horizontal de reservatório elevado, respectivamente Reservatório enterrado vazio Figura 54 – Corte vertical e horizontal de reservatório enterrado vazio, respectivamente Reservatório enterrado cheio
76 Figura 55 – Corte vertical e horizontal de reservatório enterrado cheio, respectivamente Nas caixas d’água enterradas, teremos que acrescentar as cargas devidas à subpressão, quando houver. Nas figuras 54 e 55 essa situação foi negligenciada. Ainda nas caixas enterradas, desde que o terreno permita, podemos aproveitar o fundo da caixa como fundação da mesma, de modo que teremos uma carga de baixo para a cima constituída pela reação do terreno que é igual ao peso total da caixa acrescido das sobrecargas e dividido pela área do fundo. Nota-se, também, que para a caixa cheia há concomitância da carga devida ao empuxo d’água com a devida ao empuxo de terra, podendo ser calculada desde o início pela resultante das duas. Porém, devido a vários fatores que podem ocorrer na situação de caixa enterrada cheia, tais como: o solo adjacente não ter sido bem compactado, ou mesmo a retirada deste material por alguma necessidade futura (por exemplo manutenção), o autor aconselha não subtrair o empuxo de solo do empuxo da água, ou seja, o carregamento ficará conforme a figura 56. Figura 56 – Corte vertical e horizontal de reservatório enterrado cheio, respectivamente Cálculo aproximado Nas caixas d’água armadas em mais de uma direção, o cálculo exato se torna muito complexo, pois teríamos que considerar a situação da caixa com seu funcionamento em conjunto no espaço, estudando o problema à luz da teoria da elasticidade.
77 Para estudar o calculo das lajes armadas em mais de uma direção por métodos aproximados, podemos inicialmente observar que, na união das lajes entre si, isto é, nas 8 arestas da caixa d’água existem dois tipos de situação distintas: a) Arestas que possuem grandes momentos devido à continuidade, os quais se aproximam dos valores que se obtêm imaginando engastamento perfeito; b) Arestas que possuem momentos pequenos, podendo ser assimiladas a apoio simples, para efeito de cálculo aproximado. As arestas verticais, que unem as paredes entre si, são sempre do tipo “a”, isto é, tem grandes momentos e podem ser consideradas como engaste perfeito, para efeito de cálculo aproximado. Quanto às arestas horizontais que ligam as paredes com a tampa e as paredes com o fundo, devemos considerar a direção das cargas de acordo com as figuras 57, 58 e 59. Figura 57 – Esquema de cálculo para reservatório elevado Figura 58 – Esquema de cálculo para reservatório enterrado vazio Figura 59 – Esquema de cálculo para reservatório enterrado cheio Tabelas para cálculo de lajes com carga triangular
78 Tabela 4 – Laje retangular simplesmente apoiada em dois lados opostos e engastada nos outros, sujeita a carga triangular – Tipo 1 Tabela 5 – Laje retangular simplesmente apoiada em dois lados opostos e engastada nos outros, sujeita a carga triangular – Tipo 2 A q B A/B f Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00422 -0,0596 0,0399 0,0117 0,00422 -0,0601 0,0425 0,0117 0,55 0,00370 -0,0577 0,0349 0,0133 0,00370 -0,0582 0,0375 0,0133 0,60 0,00322 -0,0556 0,0302 0,0146 0,00322 -0,0562 0,0330 0,0146 0,65 0,00279 -0,0532 0,0260 0,0155 0,00279 -0,0543 0,0290 0,0155 0,70 0,00240 -0,0506 0,0221 0,0159 0,00240 -0,0522 0,0254 0,0159 0,75 0,00207 -0,0479 0,0187 0,0160 0,00207 -0,0499 0,0225 0,0160 0,80 0,00177 -0,0451 0,0158 0,0159 0,00177 -0,0475 0,0202 0,0159 0,85 0,00152 -0,0425 0,0133 0,0157 0,00152 -0,0450 0,0191 0,0157 0,90 0,00131 -0,0398 0,0112 0,0153 0,00131 -0,0424 0,0163 0,0153 0,95 0,00112 -0,0373 0,0095 0,0149 0,00113 -0,0399 0,0146 0,0149 1,00 0,00096 -0,0349 0,0079 0,0142 0,00098 -0,0375 0,0130 0,0142 A q B A/B f Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00131 -0,0423 0,0009 0,0207 0,00161 -0,0572 0,0076 0,0247 0,55 0,00129 -0,0421 0,0015 0,0204 0,00156 -0,0546 0,0089 0,0239 0,60 0,00126 -0,0419 0,0021 0,0200 0,00150 -0,0521 0,0099 0,0231 0,65 0,00123 -0,0414 0,0029 0,0195 0,00144 -0,0496 0,0108 0,0220 0,70 0,00120 -0,0408 0,0036 0,0190 0,00138 -0,0473 0,0115 0,0210 0,75 0,00117 -0,0401 0,0044 0,0183 0,00132 -0,0451 0,0121 0,0198 0,80 0,00114 -0,0392 0,0052 0,0175 0,00126 -0,0433 0,0125 0,0185 0,85 0,00110 -0,0382 0,0059 0,0167 0,00119 -0,0417 0,0129 0,0174 0,90 0,00106 -0,0372 0,0067 0,0159 0,00112 -0,0403 0,0131 0,0163 0,95 0,00101 -0,0361 0,0073 0,0151 0,00105 -0,0389 0,0131 0,0152 1,00 0,00096 -0,0349 0,0079 0,0142 0,00098 -0,0375 0,0130 0,0142 2 A q 1 B
79 Tabela 6 – Laje retangular engastada em seu contorno, sujeita a carga triangular – Tipo 1 Tabela 6 – Laje retangular engastada em seu contorno, sujeita a carga triangular – Tipo 2 Tabela 7 – Laje retangular simplesmente apoiada em um dos lados e engastada nos restantes, sujeita a carga triangular com valor mínimo no lado apoiado – Tipo 1 A/B f Xa¹ Xa² Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00125 -0,0469 -0,0327 -0,0280 0,0200 0,0019 0,00125 -0,0294 0,0200 0,0050 0,55 0,00122 -0,0487 -0,0319 -0,0280 0,0192 0,0028 0,00122 -0,0296 0,0192 0,0051 0,60 0,00117 -0,0475 -0,0309 -0,0281 0,0183 0,0038 0,00117 -0,0297 0,0183 0,0052 0,65 0,00111 -0,0463 -0,0297 -0,0283 0,0173 0,0048 0,00111 -0,0298 0,0173 0,0055 0,70 0,00104 -0,0449 -0,0282 -0,0284 0,0161 0,0058 0,00104 -0,0298 0,0161 0,0058 0,75 0,00098 -0,0431 -0,0266 -0,0282 0,0149 0,0066 0,00098 -0,0296 0,0152 0,0066 0,80 0,00092 -0,0412 -0,0249 -0,0279 0,0136 0,0072 0,00092 -0,0293 0,0142 0,0072 0,85 0,00085 -0,0391 -0,0230 -0,0275 0,0123 0,0078 0,00085 -0,0290 0,0132 0,0078 0,90 0,00078 -0,0370 -0,0211 -0,0270 0,0111 0,0083 0,00078 -0,0285 0,0122 0,0083 0,95 0,00071 -0,0351 -0,0194 -0,0263 0,0099 0,0086 0,00071 -0,0279 0,0112 0,0086 1,00 0,00064 -0,0333 -0,0178 -0,0255 0,0088 0,0088 0,00064 -0,0270 0,0101 0,0088 A q 1 B A/B f Xa¹ Xa² Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00125 -0,0449 -0,0111 -0,0413 0,0019 0,0200 0,00139 -0,0500 0,0092 0,0223 0,55 0,00122 -0,0434 -0,0123 -0,0403 0,0028 0,0192 0,00128 -0,0482 0,0092 0,0210 0,60 0,00117 -0,0427 -0,0135 -0,0392 0,0038 0,0183 0,00119 -0,0461 0,0092 0,0196 0,65 0,00111 -0,0419 -0,0147 -0,0380 0,0048 0,0173 0,00112 -0,0438 0,0092 0,0180 0,70 0,00104 -0,0410 -0,0158 -0,0366 0,0058 0,0161 0,00104 -0,0414 0,0093 0,0164 0,75 0,00098 -0,0399 -0,0166 -0,0349 0,0066 0,0149 0,00098 -0,0387 0,0097 0,0150 0,80 0,00092 -0,0387 -0,0171 -0,0330 0,0072 0,0136 0,00092 -0,0360 0,0101 0,0136 0,85 0,00085 -0,0375 -0,0175 -0,0310 0,0078 0,0123 0,00085 -0,0336 0,0103 0,0123 0,90 0,00078 -0,0362 -0,0177 -0,0290 0,0083 0,0111 0,00078 -0,0313 0,0104 0,0111 0,95 0,00071 -0,0348 -0,0178 -0,0271 0,0086 0,0099 0,00071 -0,0291 0,0103 0,0099 1,00 0,00064 -0,0333 -0,0178 -0,0255 0,0088 0,0088 0,00064 -0,0270 0,0101 0,0088 A q B
80 Tabela 8 – Laje retangular simplesmente apoiada em um dos lados e engastada nos restantes, sujeita a carga triangular com valor mínimo no lado apoiado – Tipo 2 Para A/B < 1: para flechas qa4 /D; para os momentos qa² Para B/A < 1: para flechas qb4 /D; para os momentos qb² Observação: as tampas dos reservatórios e as lajes de fundo, que apresentam cargas uniformes (retangulares), são dimensionadas como as lajes convencionais das edificações e estudadas anteriormente; inclusive com as mesmas orientações adotadas. Exercício Dimensionar as paredes de um reservatório elevado, cúbico (todos os lados iguais), com espessura igual a 20 cm e vão efetivo igual a 3 metros. Adotar fck igual a 25 MPa, aço CA-50 e cobrimento igual a 3 cm. A/B f Xa Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00203 -0,0621 -0,0362 0,0251 0,0044 0,00203 -0,0362 0,0251 0,0058 0,55 0,00188 -0,0603 -0,0360 0,0235 0,0056 0,00188 -0,0360 0,0235 0,0062 0,60 0,00173 -0,0578 -0,0356 0,0217 0,0068 0,00173 -0,0356 0,0217 0,0068 0,65 0,00159 -0,0548 -0,0352 0,0198 0,0079 0,00159 -0,0352 0,0198 0,0079 0,70 0,00145 -0,0516 -0,0346 0,0179 0,0089 0,00145 -0,0346 0,0179 0,0089 0,75 0,00132 -0,0482 -0,0338 0,0161 0,0096 0,00132 -0,0338 0,0161 0,0096 0,80 0,00119 -0,0450 -0,0329 0,0143 0,0101 0,00119 -0,0329 0,0143 0,0101 0,85 0,00107 -0,0422 -0,0319 0,0127 0,0105 0,00107 -0,0319 0,0128 0,0105 0,90 0,00095 -0,0395 -0,0307 0,0112 0,0107 0,00095 -0,0307 0,0117 0,0107 0,95 0,00084 -0,0370 -0,0295 0,0098 0,0106 0,00084 -0,0296 0,0104 0,0106 1,00 0,00074 -0,0345 -0,0283 0,0085 0,0105 0,00074 -0,0285 0,0095 0,0105 A q B A/B f Xa Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00124 -0,0451 -0,0413 0,0017 0,0203 0,00141 -0,0499 0,0092 0,0230 0,55 0,00120 -0,0441 -0,0406 0,0025 0,0196 0,00131 -0,0480 0,0092 0,0211 0,60 0,00116 -0,0431 -0,0398 0,0034 0,0188 0,00123 -0,0460 0,0092 0,0196 0,65 0,00112 -0,0421 -0,0389 0,0044 0,0179 0,00116 -0,0439 0,0093 0,0182 0,70 0,00108 -0,0410 -0,0378 0,0053 0,0169 0,00110 -0,0416 0,0093 0,0170 0,75 0,00104 -0,0399 -0,0366 0,0063 0,0159 0,00105 -0,0395 0,0094 0,0159 0,80 0,00099 -0,0387 -0,0352 0,0071 0,0148 0,00099 -0,0373 0,0094 0,0148 0,85 0,00094 -0,0376 -0,0336 0,0076 0,0138 0,00094 -0,0352 0,0095 0,0138 0,90 0,00088 -0,0365 -0,0319 0,0080 0,0127 0,00088 -0,0330 0,0096 0,0127 0,95 0,00081 -0,0355 -0,0301 0,0083 0,0116 0,00081 -0,0307 0,0096 0,0116 1,00 0,00074 -0,0345 -0,0283 0,0085 0,0105 0,00074 -0,0285 0,0095 0,0105
81 Carga triangular com valor máximo na base q = 1000 x 3 = 3000 kgf/m² Momento de engastamento entre as paredes (Xb) -0,0285 x 3000 x 3² = -769,15 kgfxm/m Momento de engastamento entre a laje de fundo e a parede (Xa) -0,0345 x 3000 x 3² = -931,5 kgfxm/m Momento positivo horizontal (Mb) 0,0105 x 3000 x 3² = 283,5 kgfxm/m Momento positivo vertical (Ma) 0,0095 x 3000 x 3² = 256,5 kgfxm/m Devido à magnitude dos esforços encontrados, não será feita a compensação de momentos. Dimensionamento do maior momento fletor encontrado 295,0038,0 ²1510079,151 931504,1 k     m/²cm03,2038,0211( 4348 1510079,151 As    Asmín = 0,15%bwh = 0,0015 x 100 x 20 = 3,00 cm²/m > 2,03cm²/m (não será considerada a utilização do fator de correção para armaduras positivas em cruz). Como o maior momento fletor encontrado apresentou armadura mínima, adotaremos de maneira geral ф6,3mm a cada 10 cm, ou seja, nas faces internas e externas das paredes teremos 3,12 cm²/m (armadura mínima). 7. INTRODUÇÃO A FUNDAÇÕES – ELEMENTOS MAIS COMUNS Como o estudo de fundações requer uma análise mais específica em termos de mecânica dos solos e geotecnia, o presente material tem por objetivo simplificar a vida do profissional de engenharia estrutural e apresentar “links” entre a descida das cargas A q B
82 estruturais, sejam elas normais, tangenciais ou de flexão, e sua distribuição no solo com uma característica qualquer. Nosso estudo limita-se apenas aos dimensionamentos básicos e correlações entre as dimensões e o cálculo das armaduras. Lembrando que um estudo mais aprofundado dos parâmetros do solo e das interações entre o concreto armado e o material elástico de apoio deve ser mais bem avaliado. Sendo assim, temos: Tubulões 1) Diâmetro do fuste onde Nd é a carga vertical majorada e fc = 0,85fck/1,4 2) Diâmetro da base onde N é a carga vertical característica e σadm é a tensão admissível do solo de base 3) Altura da base Hbase = 0,866 x (ΦBase – Φfuste) – Para  = 60º 4) Altura do rodapé: 20 cm Cintas de fundação Geralmente as cintas de fundação são adotadas em uma das situações abaixo: 1 – Para suportar as alvenarias do nível inferior, evitando fissuras nas ligações das paredes com os pilares (ver figura 60) cm70 f875,0 N4 c d Fuste       adm Base N4      (NR18 – Ministério do Trabalho e Emprego)
83 Figura 60 – Alvenaria em nível inferior Neste caso o cálculo é feito normalmente considerando a cinta apoiada (ou engastada) nas fundações, suportando o peso da alvenaria e o seu peso próprio. 2 – Para “travarmos” as fundações, principalmente nas soluções em tubulões e estacas isoladas (ver figura 61). Figura 61 – Cintas de travamento Considera-se, em boa parte dos casos, como critério de dimensionamento das cintas de travamento, a absorção de um momento equivalente referente a uma excentricidade do elemento de fundação profunda. Esta excentricidade e estimada da ordem de 10% do seu diâmetro útil e sua direção indeterminada; devendo-se colocar a armação na parte inferior e superior da cinta. Exemplo: Seja uma estaca com diâmetro de 320 mm e carga de 35 tf, adota-se como momento equivalente, Meq = N x e = 35 tf x 0,032 m = 1,12 tf x m. Este momento leva a uma determinada área de aço, que deve ser posicionada na parte de cima e repetida na parte de baixo da cinta. Blocos de coroamento 1 Elemento Figura 62 – Bloco de uma estaca (tubulão)
84 Dimensões L = ø + (2 x 15) cm H = h + 5 cm Estribos Horizontais (fretagem) h )aL( P25,0Z   com P igual a carga na estaca ou tubulão. yd s yd s f2 Z4,1 A f Z4,1 A2  2 Elementos Figura 63 – Bloco de duas estacas (tubulões) Pela teoria das bielas )ae2( h8 P 'P ) 4 a 2 e ( h2 P 'Ph'P) 4 a 2 e ( 2 P   com P igual a carga na estaca ou tubulão.     bL6,0 2/e h Tensão de corte cdf25,0 Bh2 P4,1 hB 4,12 P     Armação Principal yd s f 'P4,1 A          bL )L(75,0 )aL(75,0 h 
85 Os blocos de 3, 4, 5 ou mais estacas obedecem ao mesmo método utilizado acima – teoria das bielas – e podem ser adotados, utilizando-se geometria própria. Sapatas Figura 64 – Sapata isolada 'd 3 aA 3 bB e           (para trabalharmos como sapata rígida) Combate ao deslizamento 5,1 F F h v      onde  é o coeficiente de atrito entre o solo e o concreto armado, que pode ser tomado simplificadamente por tg2/3 = tg2/3 x 30º = 0,364; Fv é o somatório de cargas verticais (Peso próprio + peso do solo + P + etc...); Fh é o somatório de cargas horizontais. Porcentagem de área comprimida Como temos associado momentos fletores a esforços axiais e tangentes temos que deixar a sapata em contato com o solo, transmitindo compressão ao mesmo, em pelo menos 67% da área da base (linha neutra dividindo 1/3 de 2/3 de A ou B). Análise de tensões adm v ²AB M6 BA F        onde M = Fh x H Armações principais das sapatas
86 q= Tensão máxima Figura 65 – Esquema de cálculo de sapata isolada Considera-se a base das sapatas como se ela estivesse engastada próxima ao centro (seção dos pilares), mais precisamente a uma distância L de acordo com a figura 65; e a tensão máxima transformada em seção média. Após estas simplificações dimensiona-se uma laje em balanço com as fórmulas específicas. LqVe 2 ²Lq M    Figura 66 – Esquema de detalhamento das armações da sapata isolada O fuste é calculado como um pilar engastado na base e livre no topo (vide cálculo de pilares). Se as sapatas forem consideradas flexíveis ou apoiadas diretamente sobre rochas, deve- se verificar as tensões cisalhantes devido ao puncionamento. Nesta última situação, a tensão máxima deve ser considerada igual a duas vezes a tensão média (ver figura 67). Em caso contrário, no caso das sapatas rígidas, pelo menos a compressão diagonal, no perímetro c, deve ser avaliada (ver estudo da punção).
87 Figura 67 – Distribuição de tensões de contato para fundações apoiadas em rocha 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT); Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento (NBR 6118/2014). Rio de Janeiro, 2003, 170p. σ = 2 σmédio
88 2. Teixeira, Pedro Wellington G. N; Pilares: dimensionamento e determinação de cargas nas fundações. Notas de aula, 2011, 38p. 3. Rabelo, Antônio Carlos Nogueira; Curso de Projeto Estrutural de Edifícios em Concreto Armado conforme a nova NB-1. Apostila, 89p. 4. Schäffer, Almir; Concreto Armado II – Flexão Composta. Apostila - PUC-RS, 2006, 24p. 5. Notas de Aula da disciplina de estrutura de concreto II - Material de Apoio – PUC – GO, 20p. 6. PFEIL, Walter. Concreto Armado. Volume II. LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 7. Scadelai, Murilo Alessandro. Dimensionamento de pilares de acordo com a NBR 6118:2003. Dissertação de mestrado – Escola de Engenharia de São Carlos, SP, 2004, 124p. 8. Tepedino, José de Miranda; Calixto, José Márcio; Silva, Márcio Dario da; Chaves, Ronaldo Azevedo. Apostila de Concreto Armado II – Notas de aula – UFMG, BH, 2001, 106p. 9. Bittencourt, Túlio N. – Análise de vigas submetidas a momento de torção – LMC, Escola Politécnica da USP. 10. Carvalho, Clauderson Basileu – Análise Crítica dos Critérios Normativos de Dimensionamento à Punção em Lajes Lisas – Dissertação de Mestrado – UFMG, BH, 2008, 215p. 11. Souza, Ronilson Flávio de; Notas de aula – Estruturas de Concreto Armado. Apostila – Pitágoras, 2014, 182p. 12. Site ATEX Brasil - http://www.atex.com.br/Content/dadosTecnicos.pdf 13. Filho, Américo Campos – Projeto de Pilares de Concreto Armado. Apostila – UFRGS, 2011, 32p. 14. Piancastelli, Élvio Mosci – Fundações Superficiais. Apostila – UFMG, 78p.
89 9. ANEXOS 9.1 Ábacos para cálculo de pilares
90
91
92
93 9.2 Tabelas de deslocamentos e momentos de engastamento perfeito
94
95
96
97
98
99
100 9.3 Dados Técnicos – ATEX Brasil
101
102
103
104
105
106 9.4 Expressões Práticas para Perímetros e Módulos de Resistência Plástica das Superfícies Críticas para Pilares de Borda e Canto. Pilares de borda Perímetros reduzidos onde da 5,10  e     15,0 5,1 C d a – Contorno C 2120 * 22 CCCau  2 CC 2 C w 21 2 1 1p  21 2 2 2 4 CC C wp  20 212 001 * Ca2 2 CC aaC e    – Contorno C’ dCau 22 2 *  1 2 2 21 2 1 1p dCd8dC2 2 CC 2 C w  2 2 121 2 2 2 84 4 dCddCCC C wp  d2Ca2 dCd8dC2 2 CC aaC e 2 1 2 2 212 1 *   
107 – Contorno C” pdCau   22 2 * 21 21 2 2 21 2 1 1p p2 2 pC dp8pCdCd8dC2 2 CC 2 C w    22 12 2 121 2 2 2 2 2 8284 4 p pC dppCdCddCCC C wp    pd2Ca2 p2 2 pC dp8pCdCd8dC2 2 CC aaC e 2 21 21 2 2 212 1 *      Pilares de canto – Contornos críticos     1 01 5,1 C d a     2 02 5,1 C d a     1 1 5,0 5,1 C d a     2 2 5,0 5,1 C d a
108 – Análise de Msd1 – Análise de Msd2 – Parâmetros para verificação – Contorno C 210201 * CCaau  – Análise de Msd1 24 21 2 1 1 CCC wp   0201 102 2 01011* 1 2 aa CaaaC e    – Análise de Msd2 24 12 2 2 2 CCC wp 
109  0102 201 2 02022* 2 2 aa CaaaC e    – Contorno C’ daau  21 * – Análise de Msd1 2 42 24 12 2 21 2 1 1 dC ddC CCC wp    daa dCddaCaaaC e      21 1 2 212 2 111* 1 2 84 – Análise de Msd2 2 42 24 22 1 12 2 2 2 dC ddC CCC wp    daa dCddaCaaaC e      12 2 2 121 2 222* 2 2 84 – Contorno C” 2 21 * p daau    – Análise de Msd1 21 2 12 2 21 2 1 1 4 4 2 42 24 p pC dppC dC ddC CCC wp            2 2 2 2 8284 21 21 21 2 212 2 111 * 1 p daa p pC dppadCddaCaaaC e     – Análise de Msd2 22 1 22 1 12 2 1 2 4 4 2 42 24 p pC dppC dC ddC CCC wp            2 2 2 2 8284 12 22 12 2 121 2 222 * 2 p daa p pC dppadCddaCaaaC e    

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Apostila de Concreto Armado 2

  • 1.
    Apostila CONCRETO ARMADO II Deacordo com a NBR 6118/2014 Prof. Clauderson Basileu Carvalho Belo Horizonte, Fevereiro de 2017
  • 2.
    2 SUMÁRIO 1. PILARES........................................................................................................ 3 2.TORÇÃO.......................................................................................................26 3. PUNÇÃO...................................................................................................... 35 4. LAJES NERVURADAS................................................................................ 50 5. LAJES LISAS E LAJES COGUMELOS...................................................... 63 6. ESCADAS E CAIXAS D’ÁGUA................................................................... 70 7. INTRODUÇÃO A FUNDAÇÕES – ELEMENTOS MAIS COMUNS............. 82 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................ 88 9. ANEXOS ...................................................................................................... 89
  • 3.
    3 1. PILARES 1.1. INTRODUÇÃO Deacordo com a NBR 6118/2014 o conceito de pilar seria: Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes. Contudo, devido a excentricidades acidentais, efeitos de segunda ordem (análise p-delta) e não conformidades geométricas (desalinhamento ou desaprumo); bem como as próprias flexões provocadas pelas vigas, as solicitações associadas à flexão são extremamente importantes, e não podem ser negligenciadas. Além disso, e até pela definição estabelecida pela teoria das estruturas; esforços cisalhantes, cortantes ou tangenciais também devem ser avaliados nos dimensionamentos desses elementos, com a presença destes momentos. Na engenharia estrutural clássica os pilares em concreto armado devem ser verificados, além da capacidade resistente em relação aos esforços solicitantes (flexão, cisalhamento e esforços axiais), o comportamento com relação à instabilidade estrutural, mais precisamente às questões referentes à flambagem – fenômeno estudado em resistência dos materiais, que indica a aplicação de uma carga inferior à carga de colapso, e que leva os elementos a um comportamento instável. Os esforços que solicitam a estrutura de uma edificação qualquer, intuitivamente falando, são aplicados em 90% dos casos diretamente às lajes e vigas (elementos tratados no volume 1 do presente material), para posteriormente serem descarregados em pilares e conseqüentemente nos elementos de fundação e no solo propriamente dito, conforme visto na figura 1. Figura 1 – Fluxo dos carregamentos em uma edificação
  • 4.
    4 Os pilares deconcreto armado podem apresentar-se de diversas formas de eixos e de seção transversal, porém, a seção retangular ou seção quadrada são as mais comumente empregadas. Exemplificando outra das formas comuns da engenharia moderna, temos a de formato circular. Quando um dos lados da seção é muito maior que o outro (bw  5h) utiliza-se a denominação de pilar-parede. Os pilares-parede podem ser elementos de superfície plana ou casca cilíndrica e também podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas. Embora elas aconteçam em muitos empreendimentos da vida prática, não serão tratadas neste estudo. Os pilares de edifícios podem ser classificados de acordo com a posição que ocupam no edifício, em planta, em (figura 2): Figura 2 – Pilares de canto, intermediários e de extremidade ou borda A NBR 6118/2014 abrange simplificadamente colunas com índice de esbeltez () limitado ao valor máximo de 90, a fim de utilizar-se expressão aproximada da curvatura, no tratamento de excentricidades de segunda ordem, bem como poder desprezar a deformação lenta do concreto, estudada nos fenômenos reológicos de fluência e retração. Já para  de 90 a 200 a norma brasileira exige um maior rigor nos critérios de dimensionamento; mas também abrange tal característica física. Figura 3 – Seções transversais usuais em pilares das edificações
  • 5.
    5 Como revisão dadisciplina resistência dos materiais tem-se que o índice de esbeltez é: i l fl  onde lfl é o comprimento de flambagem (figura 4), também conhecido como comprimento destravado e i é o raio de giração dado por: hitemosgularesrestranversaiseçõespara A Ii 289,0:,tan  Figura 4 – Pontos de inflexão para determinação do comprimento de flambagem Pode-se dizer que, quanto maior a esbeltez, maior a possibilidade do elemento comprimido flambar. Figura 5 – Flambagem de uma placa
  • 6.
    6 Análise de 2ªordem (p-delta) Os momentos fletores originados a partir de excentricidades de 2ª ordem são os acréscimos de solicitações provenientes das deformações que ocorrem nas estruturas em um “instante após” a aplicação do carregamento, conforme mostrado na figura 6. Figura 6 – Teoria de segunda ordem 1.2. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS – GLOBAIS E LOCAIS Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos do pórtico espacial descarregado. Essas imperfeições podem ser divididas em imperfeições globais e imperfeições locais. Na análise global dessas estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura 7 n prumadas de pilares Figura 7 – Imperfeições geométricas globais
  • 7.
    7 onde 1mín = 1/300para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 1máx = 1/200; H é a altura total da edificação, expressa em metros; n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano. Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, considerar a = 1. Já na análise local mais precisamente na verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar. Figura 8 – Imperfeições geométricas locais 200 1 100 1 300 1 1  iH  → Hi = altura do pilar em metros Admite-se que, nos casos usuais de estruturas reticuladas, a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente nos estudos de estabilidade (figura 8 – letra “b”).
  • 8.
    8 1.3. ROTEIRO PARADIMENSIONAMENTO DE PILARES a) Características geométricas Comprimentos equivalentes e índice de esbeltez b) Excentricidades Inicial (eix; eiy) – Base e topo do pilar; Acidental (eax; eay) – Seção intermediária: Verificar o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín) Necessidade de excentricidade de 2ª ordem: Esbeltez limite (λ1) Efeitos de 2ª ordem: Métodos simplificados/aproximados c) Situações de cálculo Seção de topo, seção de Base, seção Intermediária d) Dimensionamento das armaduras Situação mais desfavorável, equações adimensionais, escolha do ábaco, taxa mecânica de armadura (ω), ou equações pelo método “k”, área de aço e) Detalhamento Armadura Longitudinal, diâmetro das barras, taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal, número mínimo de barras, espaçamentos para armadura longitudinal, detalhamento, armadura transversal, diâmetro, espaçamentos para armadura transversal, proteção contra flambagem localizada das armaduras, comprimento dos estribos, comprimento dos estribos suplementares, número de estribos, número de estribos suplementares, desenho da seção transversal, comprimento das esperas, comprimento total das barras longitudinais f) Desenhos 1.4. DIMENSÕES MÍNIMAS Conforme o item 13.2.3 da norma brasileira de projetos em estruturas de concreto, a seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Porém, em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com a tabela 1. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm².
  • 9.
    9 Esse “novo” coeficientede majoração γn (que deve ser acrescentado ao coeficiente de majoração tratado nas combinações dos esforços solicitantes em ELU) é calculado por: γn = 1,95 - 0,05b onde b é a menor dimensão do pilar Tabela 1 – Valores do coeficiente adicional γn para pilares e pilares-parede b cm 19 18 17 16 15 14 γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento O comprimento equivalente do pilar, supostamente vinculado nas duas extremidades, é o menor dos valores das designações ilustradas na figura 9. Figura 9 – Esquema para cálculo do comprimento le No caso de pilares engastados na base e livres no topo, o valor de le é igual a 2l. 1.5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO A ESBELTEZ  Pilares curtos →   1 → podem ser desprezados os efeitos de 2ª ordem.  Pilares medianamente esbeltos → 1 <   90 → devem ser considerados os efeitos de 2ª ordem em processo simplificado e pode-se desprezar o efeito da fluência.  Pilares esbeltos → 90 <   140→ devem ser considerados os efeitos de 2ª ordem em processo aproximado e deve-se incluir os efeitos da fluência, através de uma excentricidade complementar equivalente (ecc).  Pilares muito esbeltos → 140 <   200→ os efeitos de 2ª ordem e a fluência devem ser considerados e calculados em processo complexo e rigoroso, além
  • 10.
    10 de terem oscoeficientes de ponderação das ações majorados. 1.6. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO A NBR 6118/2014 não admite pilares com índice de esbeltez λ superior a 200, exceto no caso de elementos pouco comprimidos, com força normal menor que 0,10 fcdAc. Para pilares com índice de esbeltez maior ou igual a 140, na análise de 2ª ordem, devem- se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional: ]4,1/)140(01,0[11  n A esbeltez limite (λ1) corresponde ao valor da variável que a partir do qual os efeitos de 2ª ordem provocam uma redução da capacidade resistente do pilar no estado limite último, quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de 1ª ordem. Essa redução é definida arbitrariamente, não devendo ser superior a 10%, segundo a NBR 6118/2014. O valor de 1 pode ser calculado pela expressão: b h e   1 1 5,1225   onde 35  1 90 e1/h é a excentricidade relativa de 1ª ordem na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1ª ordem de maior valor absoluto. Com os diagramas de esforços normais e de momentos fletores em cada tramo do pilar, calculam-se as excentricidades iniciais no topo e na base, dividindo-se o valor do momento pela força axial. N M e topo topoi , e N M e base basei ,  (excentricidades iniciais) h é a dimensão da seção na direção considerada. Com relação ao parâmetro b temos as seguintes considerações a serem feitas: a) Para pilares biapoiados sem carga horizontal, com pelo menos um dos momentos que atuam nas extremidades do pilar sendo maior que o momento mínimo: 14,0,40,040,060,0  b A B b sendo M M  Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem e 2ª ordem global) no caso de estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior
  • 11.
    11 valor absoluto aolongo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo, em caso contrário (figura 10a). Figura 10a - Curvaturas simples e dupla dos pilares – cálculo de αb. b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: αb = 1,0 c) Para pilares em balanço: 85,020,080,0  A C b M M  Onde: MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço (figura 10b). d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores (ou iguais) que o momento mínimo: αb = 1,0 Momento mínimo e excentricidade mínima (emín) O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilares-paredes (ver item 1.2) pode ser substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: M1d,mín = Nd x emín = Nd (0,015 + 0,03h) onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, expressa em metros. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser Figura 10b – Curvatura simples/pilares em balanço
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    12 respeitado em cadauma das direções principais, separadamente. Excentricidade de 2ª ordem A força normal atuante no pilar, sob ação das excentricidades de 1ª ordem (excentricidade inicial ou excentricidade mínima/acidental), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de 2ª ordem. A determinação dos efeitos locais de 2ª ordem em barras submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. A consideração da fluência, como dito anteriormente é obrigatória para índices de esbeltez λ > 90, acrescentando-se ao momento de 1ª ordem (M1d) a parcela relativa à excentricidade suplementar ecc. A NBR 6118/2014, em seu item 15.8.3.3.1 afirma que a determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o do pilar padrão e do pilar padrão melhorado. Com isso dois processos serão estudados:  Método do pilar-padrão com curvatura aproximada  Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. Método do pilar-padrão com curvatura aproximada Pode ser empregado apenas no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente. Ad e dAdbtotd M r l NMM ,1 2 ,1, 1 10   Sendo 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada: hhr 005,0 )5,0( 005,01     onde: )fA( N cdc d 
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    13 αb e ocoeficiente de uniformidade dos momentos e tem as mesmas definições do exposto acima. M1d,A e o valor de cálculo do momento de 1ª ordem MA (maior momento no extremo do pilar); h é a dimensão da seção do pilar, na direção analisada; ν é a força normal adimensional; fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto; M1d,min é o momento mínimo de 1ª ordem. Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente. O valor de cálculo do momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão: Ad Adb totSd M M M ,12 ,1 , 120 1        sendo: Md1,A é o valor de cálculo do momento MA; κ é a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:         d totRd aprox hN M , 5132 Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot. Em um processo de verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = NRd. As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas nas páginas anteriores. Usualmente, duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo. O processo aproximado acima, em um caso de dimensionamento, recai na formulação direta dada abaixo: 0CM.BM.A tot,Sd 2 tot,Sd 
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    14 onde: A = 5h(com h sendo a dimensão da seção transversal do pilar na direção analisada); c 2 ed d 2 M.h.5 320 lN N.hB  , com Mc sendo o momento a ser amplificado pelo efeito de 2ª ordem (= αb.M1d,A ≥ Md1,min) c 2 d M.h.NC  Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se, como raiz positiva, o seguinte valor: A2 AC4BB M 2 tot,Sd   Nesse presente estudo trataremos de pilares com esbeltez menor do que 90, desconsiderando assim os efeitos mais agudos da instabilidade em segunda ordem e também da fluência e qualquer efeito reológico associado. Pilares esbeltos A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares   140 (de 90 a 140, mais precisamente) pode ser feita pelos métodos do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica os valores obtidos de diagramas M, N e 1/r específicos para o caso, considerando-se obrigatoriamente os efeitos da fluência como dito anteriormente e estudado a seguir. Consideração da Fluência Embora não estudemos os pilares esbeltos nesse material com muita ênfase, torna-se interessante o conhecimento teórico da fluência para possíveis aplicações futuras, e outras aplicações práticas na vida do profissional de engenharia. A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez  > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir:                    1718,2 Sge Sg NN N a Sg Sg cc e N M e 
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    15 onde 2 10 e cci e l IE N  ; ea éa excentricidade devida a imperfeições locais como visto no item 1.2 (= tg x le ou tg x le/2). MSg e NSg são respectivamente, momento e normal, devido à combinação quase permanente;  é o coeficiente de fluência (na falta de dados, o autor recomenda o valor =2) ; Eci é o modulo de elasticidade inicial do concreto; Ic é o momento de inércia da seção de concreto; le é o comprimento equivalente do pilar. Pilares muito esbeltos Pilares com  > 140 (e até 200) são considerados muito esbeltos, como visto anteriormente, e devem ser calculados com um maior rigor técnico, em termos de deformações não lineares ou efeitos de segunda ordem (análise p-delta ou outro método semelhante). Com isso deve ser utilizada bibliografia específica, que contenham os ábacos de iterações (vide alguns ábacos em anexo), bem como as suas avaliações apropriadas. Pode-se também recorrer a softwares ou programas mais sofisticados para tais dimensionamentos, já que não serão tratados em nosso estudo. 1.7. ARMAÇÕES EM FLEXÃO NORMAL COMPOSTA (FNC) De acordo com as formulações estudadas anteriormente na flexão simples associando- se aos esforços axiais; e introduzindo-se os critérios estabelecidos pelo professor José de Miranda Tepedino, as seções de concreto armado submetidas à flexão normal composta (extrapolando-se para flexão oblíqua composta com a associação dos dois momentos nas
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    16 direções principais), temosas seguintes expressões: 1º Caso Nd > 0 se compressão          duplaArmaçãokkkk simplesArmaçãokkkk dbf M h dN k LL L wc dd ' ' ² ) 2 (                ) ' 1( )'( )'211( 2 1 21 d d kk f dbf A f Nkdbf A AAA yd wc s yd dwc s sss  2 ' s s A A  Caso As < 0 → passar ao 2º caso Caso k < 0 → passar ao 4º caso 2º Caso As < 0 no 1º caso ou Nd(h/2 – d’) >> Md h bf Md h N ddy wc dd     )' 2 ( 2'' 2 As = 0 0'     yd wcd s f ybfN A  Caso y > h → passar ao 3º caso Caso A’s < 0 → nenhuma armadura é necessária teoricamente. Adotar armadura
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    17 mínima. 3º Caso y >h 1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s )'( )' 2 )(( ddf Md h hbfN A yd dwcd s     ; )'( ) 2 )(( ' ddf M h dhbfN A yd dwcd s     2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e uma adicional As, junto à borda mais comprimida. yd d wcd s f d h M hbfN A      ) ' 2 ( * yd d s f d h M A     ' 2 4º Caso Seção totalmente tracionada – k < 0 no 1º caso 1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s )'( )' 2 ( ddf Md h N A yd dd s    ; )'( ) 2 ( ' ddf M h dN A yd dd s    2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e uma adicional As, junto à borda mais tracionada. yd d d s f hd M N A 2*    yd d s f hd M A 2  
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    18 1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Aarmadura longitudinal dos pilares deve obedecer aos seguintes valores:  As,mín= 0,15Nd/fyd ≥ 0,004Ac  As,máx = 8% Ac Para a armadura máxima devem-se considerar a região das emendas. As barras devem ter diâmetro igual ou superior a 10 mm e não mais que 1/8 da menor dimensão da seção do pilar. O espaçamento transversal, e, da armadura longitudinal deve atender aos seguintes limites: e  maior (20 mm, фL, 1,2 DMA) e  menor (40 cm, 2bw) (DMA = dimensão máxima do agregado) O diâmetro dos estribos, фt, deve ter no mínimo 5 mm ou ¼ do diâmetro das barras longitudinais isoladas (фL). O espaçamento longitudinal entre eles, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras e garantir a costura das emendas, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: - 200 mm; - 12фL para aço CA-50 e 24 фL para aço CA-25; - menor dimensão da seção do pilar; Salienta-se que para seções poligonais temos 1 barra em cada canto (no mínimo) e para seções circulares pelo menos 6 barras distribuídas no perímetro. A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. Pode ser usado фt < фL/4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite a limitação: L L L L ykL t máx MPaf s       12 500 25,090000 500 125,0 90000 )( 1 90000 222                    Caso hajam força cortante e/ou momentos torsores consideráveis no pilar, os estribos devem ser dimensionados da mesma maneira que em vigas. Com vistas a garantir a ductilidade dos pilares, recomenda-se que os espaçamentos máximos entre os estribos sejam reduzidos em 50% para concretos de classe C51 a C90, com inclinação dos ganchos pelo menos 135º.
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    19 Para proteger asbarras longitudinais contra flambagem os estribos devem ser complementados com outros estribos ou barras retas terminadas em ganchos conforme figura 11 abaixo (conhecidos como “sargentos”): Figura 11 – Proteção contra a flambagem das barras Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 20фt dos cantos, desde que neste trecho não existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4). 1.9. ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS – PARÂMETROS  e γz Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos de 2ª ordem que, em princípio, afetam os esforços solicitantes ao longo delas, conforme visto anteriormente. Classificação das Estruturas: de nós fixos e de nós móveis São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados.
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    20 Análise de estruturasde nós móveis Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e, portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. Consideração aproximada da não linearidade física Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: - Lajes: (EI)sec = 0,3EcIc - Vigas: (EI)sec = 0,4 EcIc para A’s  As e (EI)sec = 0,5 EcIc para A’s = As - Pilares: (EI)sec = 0,8 EcIc onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I), incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes; e Ec é o valor representativo do módulo de deformação do concreto, igual a: Eci = αE . 5600 fck 1/2 Os valores de rigidez adotados nesta seção são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem Parâmetro de instabilidade  Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade  for menor que o valor 1, conforme expressão abaixo. Esse parâmetro é aplicado de forma aproximada, em edificações de pequeno porte, com até 4 pavimentos. ccs k tot IE N H onde 1 = 0,2 + 0,1n se n  3 ou 1 = 0,6 se n  4; n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;
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    21 Htot é aaltura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk é somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para Htot), com seu valor característico; Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto; Ic é a somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, considerando a seção bruta (estádio I), podendo ser utilizado a rigidez de um pilar equivalente. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma: - calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal na direção considerada. - calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. Em resumo, este método baseia-se na verificação da deslocabilidade da estrutura geral para uma carga horizontal qualquer, aplicada no topo da edificação, a partir da equação da flecha elástica para vigas em balanço com uma carga concentrada na extremidade (f = PL³/3EI – vide anexo). O valor-limite 1 = 0,6 prescrito para n  4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Para associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-parede, adotar 1 = 0,6. No caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, adotar 1 = 0,7. Quando só houver pórticos, adotar 1 = 0,5. Coeficiente γz O coeficiente γz, de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais, é valido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados na página 20. O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão: d,tot,1 d,tot z M M 1 1     onde
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    22 M1,tot,d é omomento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura. Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz  1,1, e neste caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem. Para estruturas com γz até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por conseqüência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos esforços horizontais devem ser majorados em 95% do valor de γz, variando de 1,05 a 1,24. Para estruturas com γz maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem, como por exemplo, uma análise não linear em elementos finitos. 1.10 RESUMO DAS EXIGÊNCIAS DA NBR6118/2014
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    23 Exercício Um pilar deconcreto armado com seção transversal de 30 cm x 30 cm e pé-direito de 290 cm apresenta vigas superiores e inferiores de 20/50. Utilizou-se concreto com resistência a compressão de 30 MPa, aço CA-50 e cobrimento de 4 cm. O carregamento axial foi de 20 tf de compressão e tivemos dois momentos fletores, nas duas direções principais, indo de +5 tfxm no topo a -5 tfxm na base. Considerar a atuação de cargas horizontais. Dimensione o pilar descrito no enunciado. Resolução cmloul ee 3203203029034050290  91,36 30 320 46,3  yx  42,35 1 30 20 500 5,1225 1     > 1 → deverá ser considerada as excentricidades de segunda ordem Excentricidade mínima: 0,015 + 0,03x0,3 = 0,024 metros = 2,4 cm Excentricidade inicial: 500/20 = 25 cm M1d,mín = 1,4x20000x2,4 = 67200 kgfxcm Excentricidade de segunda ordem (curvatura aproximada): 145,0 ) 4,1 300 3030( 4,120000     000167,0 30 005,0 )!oknão(000258,0 )5,0145,0(30 005,0 r 1    cm71,1000167,0 10 320 e 2 2  kgfxcm74788271,1200004,15000004,11M tot,d  Excentricidade total a ser considerada: cm71,26 200004,1 747882 etotal    Excentricidade de segunda ordem (rigidez aproximada): A = 5x30 = 150
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    24 887600005000004,11305 320 320200004,1 200004,1.30B 2 2    000017640000005000004,1130200004,1C 2  kgfxcmM totSd28,748787 1502 000017640000001504)88760000(88760000 2 ,     32,25145,0 200004,130 28,748787 5132aprox         kgfxcmM totSd 82,748674 145,0 32,25120 91,36 1 4,15000001 2,      Excentricidade total a ser considerada: cm74,26 200004,1 82,748674 etotal    1º Caso duplaArmaçãok     295,0301,0 ²253014,182 82,748674)1525(28000                  ²24,0 ) 25 5 1( )295,0301,0( 4348 253014,182 ²86,4 4348 28000)295,0211(253014,182 2 1 21 cmA cmA AAA s s sss As = 4,86 + 0,24 = 5,1 cm² - 316 mm A’s= 0,24 cm² < 316 mm Astotal = 316 mm + 316 mm + 116 mm + 116 mm = 16 cm² (sem sobreposição das barras de canto) Porém, devido à superposição dos efeitos oblíquos, recomenda-se sobrepor as áreas de aço nas duas direções. Assim: 5,1 x 4 = 20,4 cm² → 1016 mm Para se manter a simetria temos 1216 mm. Verificação através dos Ábacos de Iteração Para =0,1
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    25 Para =0,2 Interpolando para=0,17 Ast = 8,48 + (0,17- 0,10)x(25,64-8,48)/0,10 = 20,49 cm² → 1216 mm Exercício Uma edificação de 4 pavimentos apresentou em seu modelo de cálculo 7,5 cm de deslocamento horizontal em seu topo após a aplicação de uma carga horizontal de 500 kN. Sabendo-se que a altura efetiva do pórtico é de 12 metros e o somatório de cargas verticais, incluindo carga permanente e carga variável, é de 14200 kN. Verificar se esta estrutura é classificada como de nós fixos ou móveis utilizando o parâmetro  da NBR 6118 e fazer uma conclusão sobre os conceitos envolvidos nesta variável. Resolução f = PL³/3EI  7,5 cm = 500 x 1200³/3EI  EI = 3,84x1010 6,073,0 1084,3 14200 1200 110     Esta edificação é de nós móveis, pois apresentou um coeficiente maior que o limite para 4 pavimentos. Deve-se então levar em consideração nos cálculos os efeitos de segunda ordem globais, ou, redimensionar a estrutura enrijecendo-o nesta direção. Seja com o aumento da inércia das peças estruturantes (pilares e vigas de travamento) ou com o engastamento das colunas na fundação. Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)  0,17 ex/b= 0,89 ey/h= 0,89 w= 0,225 r 0,01 Ast= 8,48 Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)  0,17 ex/b= 0,89 ey/h= 0,89 w= 0,68 r 0,03 Ast= 25,64
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    26 2. TORÇÃO 2.1 CONCEITOS Omomento torsor em elementos usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: - Torção de Equilíbrio – essenciais ao combate à ruptura das estruturas. Figura 12 – Viga em balanço Figura 13 - Laje engastada na viga - Torção de compatibilidade – momentos considerados secundários, que aparecem por efeito de coação ou impedimento à deformação. Figura 14 – Viga em grelha
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    27 As condições fixadaspela NBR 6118/2014 pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar, conforme visto na teoria das paredes finas em resistência dos materiais. Ensaios como o de Stuttgart, mostram que a resistência à torção é mobilizada, quase que integralmente, junto à capa da seção transversal. Este efeito pode ser melhor visualizado através dos gráficos na figura 15. Figura 15 – Gráficos comparativos Ambas as seções possuem o mesmo contorno, porem, a primeira é maciça e a segunda vazada. As duas seções apresentam momentos torsores resistentes praticamente iguais, apenas a torção correspondente ao inicio da fissuração é menor na seção vazada. Em seções de mesma área, porém, com relações h/bw distintas, a rigidez efetiva e a resistência a torção são praticamente as mesmas no ELU. Isto ocorre por que a resistência a torção é obtida junto à capa externa da seção transversal. Figura 16 – Evolução da Torção em uma seção retangular vazada Podemos concluir então que uma seção quadrada maciça, no estádio II (concreto não plastificou a compressão), apresenta a mesma capacidade resistente de uma seção vazada,
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    28 com armaduras iguais. Asdiagonais de compressão dessa treliça espacial descrita acima e mostrada na figura abaixo, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30º    45º (45º seria conservador). Figura 17 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal (Leonhardt & Mönnig, 1982) Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, calculada de acordo com as prescrições normativas e com a taxa geométrica mínima dada pela seguinte expressão: MPafcom sb A uh A ywkmínw w sw sw ee sl sl 500,           r r r 3/2 3/2 , %012,0 3,0 2,02,0 ck y ck ywk ctm mínw f f f f f r (fck em MPa e menor que C55) )11,01ln(%0848,0 )11,01ln(12,2 2,02,0, ck y ck ywk ctm mínw f f f f f   r (fck em MPa e maior que C55) Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de compatibilidade,
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    29 é possível desprezá-la,desde que o elemento estrutural tenha a capacidade adequada de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção seja menor ou igual às 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: Vsd  0,7 VRd2. Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente (em armaduras duplas os ramos devem ser avaliados no que tange seu posicionamento). Os estribos por torção devem ser fechados em todo seu contorno, envolvendo as barras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º. As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. O diâmetro da barra que constitui o estribo (como visto no estudo do cisalhamento), segundo a NBR 6118/2014, deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga – bw. O espaçamento mínimo entre estribos, medidos segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo deve atender às seguintes recomendações. - se     cm d sVV máxRdd 30 6,0 67,0 2 - se      cm d sVV máxRdd 20 3,0 67,0 2
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    30 2.2 MÉTODO DEVERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA A TORÇÃO Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, em uma dada seção, quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições: 1. TSd  TRd,2 2. TSd  TRd,3 3. TSd  TRd,4 onde TSd é o momento torsor solicitante de cálculo na seção. TRd,2 representa o limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto; TRd,3 representa o limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural; TRd,4 representa o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural. Verificação da compressão diagonal do concreto A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por: TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 onde v2 = 1 – fck/250, com fck expresso em MPa;  é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º    45º; Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada; he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. u A hc e 12 onde c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. A é a área e u é o perímetro da seção cheia. Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u  bw – 2c1 e a superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto, respeitando
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    31 o cobrimento exigidonos estribos. Verificação da armadura transversal Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, sendo que a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural é dada por: TRd3 = (As90/s) fywd 2Ae cotg onde fywd é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa. Verificação da armadura longitudinal A resistência decorrente das armaduras longitudinais é dada pela seguinte expressão: TRd4 = (Asl/ue) fywd 2Ae tg onde Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais e ue é o perímetro de Ae. A armadura longitudinal de torção, de área total Asl, deve manter obrigatoriamente constante a relação Asl/u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área Asl. 2.3 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: FLEXÃO E TORÇÃO Determinar as armaduras longitudinais para cada solicitação individualmente. - Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para as solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente. - No banzo comprimido pela flexão, a armadura de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas. Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal não deve superar 0,85fcd. Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão
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    32 tangencial de torçãocalculada por: ee d Td hA T 2  2.4 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: TORÇÃO E FORÇA CORTANTE Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto  coincidentes para os dois esforços. Quando for utilizado o modelo I para o estudo do cisalhamento, que se subentende  = 45º, esse deve ser o valor considerado também para a torção. A verificação da resistência à compressão do concreto deve ser realizada através da seguinte fórmula: 1 22  Rd Sd Rd Sd T T V V onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção. A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd. Exercício Determinar a armadura transversal e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada abaixo. Dados: fck = 25 MPa e aço CA-50. Resolução Diagramas de esforços solicitantes
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    33 Força Cortante Adotando oModelo I (= 90º e = 45º) Verificação do concreto: dbfV wcdvRd 22 27,0  90,0250/251250/12  ckv f kNVkNV máxdRd 56404,13,2342720 4,1 5,2 90,027,0 ,2  Biela comprimida ok! Armadura transversal necessária Vc= 0,09 x fck 2/3 x bw x d = 0,09 x 252/3 x 20 x 27 = 415,52 = 41,55 kN %0683,0000683,0 48,4327209,0 55,4156 9,0       ywdw cd w sw sw dfb VV sb A r )1(/²00683,0 2 01366,01 /²01366,020000683,0 ramocmcm s As cmcm s Asw  Momento Torsor Espessura da parede equivalente he = 6 cm Verificação do concreto (adotando = 45º) TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 = 0,50 x 0,90 x 2,5/1,4 x 6 x 336 x sen90º = 1620 kNxcm onde Ae = (30 - 6) x (20 - 6) = 336 cm² TRd2 = 16,2 kNxm > Td,máx = 1,4x8 = 11,2 kNxm Armadura transversal necessária %192,000192,0 120336248,43 1120 cot2     r gbAf T weywd d sw )1(/²0384,02000192,090 ramocmcm s As  Armadura longitudinal necessária ²91,2 148,433362 761120 2 cm tgfA uT A ywde d s      u = 2 x 14 + 2 x 24 = 76 cm   cmch cm u A h e e 6322 6 30202 3020 1     
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    34 Solicitações combinadas: torçãoe força cortante 193,0 2,16 2,11 3,234 56 1 22  Rd Sd Rd Sd T T V V Detalhamento Armadura transversal )1(/²04523,00384,000683,0901 ramocmcm s A s A ss  Taxa de armadura mínima sw ywk ctm mínsw f f rr     %103,01003,1 500 253,0 2,02,0 3 3/2 , %260,0068,0192,0  swVswTsw rrr Armadura transversal total  0,0683% x 20 x 100/2 + 0,192% x 20 x 100 = 4,523 cm²/m Adotando 8 mm (Asф= 0,503 cm²) temos: cmen 11 99,8 100 99,8 503,0 523,4       cm cm smáx 30 16276,0 3,23467,056 8 mm a cada 11 cm
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    35 3. PUNÇÃO Figura 18– Panorama da fissuração em uma laje puncionada 3.1 COMPORTAMENTO DE LAJES SOB CARGA DE PUNÇÃO Com relação ao comportamento das lajes sob o carregamento de punção, os ensaios mostram que as deformações circunferenciais são inicialmente maiores que as deformações radiais [Leonhardt e Mönnig (1979)]. Por isso, as fissuras radiais surgem em primeiro lugar. Somente no ato do colapso há formação de uma fissura quase circular, que limita o contorno de um sólido deslocado ao redor do pilar. Segundo CORDOVIL (1997), a distância dessa fissura circular indica até onde a superfície de ruptura se estende. Em lajes sem armadura de cisalhamento, essa superfície atinge distâncias que variam entre duas a três vezes a altura útil d da laje, como ilustra a figura 19. O sólido deslocado tem a semelhança de um tronco de cone, entretanto, com uma irregularidade acentuada. Figura 19 – Zona de ruptura em lajes submetidas à punção, sem armadura transversal CORDOVIL (1997) ressalta ainda que, no caso de lajes com armadura de cisalhamento, a superfície de ruptura pode ocorrer em três posições diferentes: - na zona entre o pilar e a primeira camada da armadura de cisalhamento, com ruptura somente do concreto adjacente ao pilar (punção restrita);
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    36 - na zonacom armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto e da armadura transversal (punção não restrita internamente à armadura transversal); - na zona situada além da armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto (punção não restrita externamente à armadura transversal). A situação ideal seria a segunda condição, isto é, quando há ruptura da armadura transversal. Assim, a armadura entraria em escoamento plástico, aumentando a ductilidade da estrutura antes do colapso da laje. A figura 20 mostra os tipos de ruptura em lajes com armadura de punção. Figura 20 – Zonas de ruptura em lajes submetidas à punção com armadura transversal 3.2 MODELO MECÂNICO KINNUNEN e NYLANDER (1960) apud CORDOVIL (1997) apresentaram um modelo mecânico para a ruptura da laje, sem armadura transversal, por punção de pilar circular no qual a ruína ocorre a partir deste com o deslocamento de um sólido interno (vide figura 21). Esse sólido teria a forma aproximada de um tronco de cone, com a superfície inclinada entre 25º e 30º em relação ao plano da laje. Na zona contígua ao tronco de cone, a laje seria dividida em elementos rígidos iguais, limitados pela superfície inclinada e por fissuras radiais. Cada elemento rígido produziria um trabalho decorrente da rotação em torno de um ponto chamado “centro de
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    37 rotação” CR, comomostra a figura 22. Esse ponto seria o limite entre dois estágios ideais de fissuração: as fissuras que limitam a superfície inclinada, bem como as fissuras radiais, seriam formadas antes da ruptura da laje, e a fissura localizada entre a periferia do pilar e o CR somente seria formada no instante da ruptura da laje. A partir dessas hipóteses de funcionamento, é possível estabelecer as condições de equilíbrio entre os esforços externos e internos, mostrados na figura 21. Nessas circunstâncias, há condições de se estabelecer uma teoria próxima da realidade, bastando, para isso, aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, supondo a rotação do elemento como mostra a figura 22. Porém, como o modelo estudado por KINNUNEN e NYLANDER foi realizado em pilares circulares, quando se tenta estender essa teoria para formas quadradas ou retangulares, a formulação fica pouco confiável. Figura 21 – Modelo mecânico de KINNUNEN e NYLANDER
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    38 Figura 22 –Esquema da fissuração inclinada e da rotação dos segmentos da laje 3.3 CRITÉRIOS DA NBR 6118/2014 O modelo de cálculo proposto pela NBR 6118/2014 corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas ou seções de controle, definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica, denominada de contorno C do pilar ou carga concentrada, verifica-se, indiretamente, a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio de uma tensão de cisalhamento. Na segunda superfície crítica, denominada de contorno C’ e localizada a uma distância 2d do pilar ou carga concentrada, verifica-se a capacidade da ligação à punção, associada à ruína por tração diagonal, por meio também de uma tensão de cisalhamento. Caso haja necessidade, essa ligação deve ser reforçada por uma armadura transversal. A terceira superfície crítica, denominada de contorno C”, apenas deve ser verificada quando for necessário se colocar armadura transversal. Seções de Controle Apresentam-se, a seguir, as formas dos perímetros críticos utilizados nas análises de punção para pilares internos em lajes lisas. Figura 23 - Perímetros críticos em pilares internos No caso de pilares com capitel (engrossamento localizado da laje), em lajes denominadas cogumelo, devem ser feitas verificações nos contornos críticos C’1 e C’2, conforme ilustra a figura 24. As verificações são:  se lc  2(dc – d), verifica-se somente o Contorno C’2;  se 2(dc – d) < lc  2 dc , basta verificar o Contorno C’1; e  se lc > 2 dc, é necessário verificar os Contornos C’1 e C’2.
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    39 d = alturaútil da laje no Contorno C’2; dc = altura útil da laje na face do pilar ou da carga concentrada; da = altura útil da laje no Contorno C’1; e lc = distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Figura 24 - Perímetros críticos em lajes cogumelo A NBR 6118/2014 apresenta ainda prescrições para pilares com geometrias irregulares, pilares com reentrâncias e próximos a aberturas. Nesses casos, os contornos C e C’ são determinados conforme mostra a figura 25. Figura 25 - Perímetros críticos em casos de pilares especiais Cálculo da tensão solicitante nas superfícies críticas de contorno C e C’ Pilar com carregamento simétrico Neste caso, a tensão de cisalhamento é dada por: ud Fsd sd  , d = (dx + dy)/2,
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    40 onde:  Fsd éa força ou reação concentrada de cálculo;  u é o valor numérico do perímetro do contorno crítico (u0 para C e u para C’);  d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C ou C’; e  dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais. Pilar com efeito de momento Devido à assimetria do carregamento, a tensão de cisalhamento é dada por: dW kM ud F p sdsd sd  , onde:  Msd é o momento de cálculo transmitido da laje ao pilar;  k é o coeficiente que fornece a parcela de Msd, transmitida ao pilar por cisalhamento, que depende da relação c1/c2; e  Wp é o módulo de resistência plástica do perímetro crítico em questão. Wp pode ser calculado nas duas direções, tendo assim uma variação de x em relação a y e vice- versa. Esta variação do parâmetro será chamado, nas equações, de Wp1 e Wp2. O coeficiente k assume os valores dados na tabela abaixo. Tabela 2 - Valores de k c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0 k 0,45 0,60 0,70 0,80 c1 é a dimensão do pilar, paralela à excentricidade da força e c2 é a dimensão do pilar, perpendicular à excentricidade da força. Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor K= 0,6. Os valores de Wp devem ser calculados pelas expressões a seguir: - para um pilar retangular: contorno C  Wp1 = c1²/2 + c1c2 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 contorno C’ Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2
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    41 contorno C” Wp1= c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 + 2c2β + 16dβ + 4β² + c1β & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2 + 2c1β + 16dβ + 4β² + c2β onde β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção. - para um pilar circular: contorno C  Wp = D² contorno C’ Wp = (D + 4d)² contorno C” Wp = (D + 2β +4d)² onde D é o diâmetro do pilar, d é a altura útil da laje e β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção; Wp pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico através da seguinte expressão: dleW u p  0 , onde:  dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;  e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua o momento em questão. No caso de existirem momentos em duas direções ortogonais, a expressão de sd é dada por: dW M k dW M k du F p sd p sdsd sd     2 2 2 1 1 1 .  , Fazendo-se as adaptações necessárias para k1 e k2, bem como para Wp1 e Wp2. A figura 26 esclarece as associações dos momentos com os lados da seção. Figura 26 - Associação dos lados da seção do pilar com os momentos fletores
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    42 Cálculo da tensãoresistente nas superfícies críticas de contorno C, C’ e C’’ Contorno C Neste caso a tensão resistente de compressão diagonal do concreto é igual a: cdvRdsd f 27,02  , v = (1 - fck/250), com fck em MPa, onde:  αv é o fator de fragilidade do concreto; e  fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto. O valor de Rd2 poderá ser ampliado em 20%, quando os vãos que chegam ao pilar em questão não diferem entre si em mais de 50%, e se não existirem aberturas junto ao pilar, ou seja, cdvRd f 324,02  . Contorno C’ a) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção:   3 1 1 100 20 113,0 ckRdsd f d r          , yx rrr  , onde:  d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C’, em centímetros;  r é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente;  fck é a resistência característica à compressão do concreto, em MPa;  rx e ry são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais, assim calculadas: - na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar, acrescida de 3d para cada um dos lados; - no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d. b) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos com armadura de punção:   )( 5,1100 20 110,0 3 1 3 uds senfdA f d r ywdsw ckRdsd  r          ,
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    43 onde:  sr éo espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, sempre menor ou igual a  0,75d;  Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo a C´;  α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;  u é o valor numérico do perímetro crítico;  fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para conectores, ou 250 MPa para estribos (CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura maior que 15 cm, pode assumir os seguintes valores: fywd = 250 + 185(h-15)/20 MPa, para 15 < h ≤ 35 cm fywd = 435 MPa, para h > 35 cm Quando for necessário utilizar armadura de combate à punção, ela deve ser estendida em contornos paralelos a C’ até que, em um contorno C’’ afastado 2d do último contorno de armadura (figura 27), não seja mais necessária armadura, isto é 1Rdsd   . Figura 27 - Disposição da armadura de punção em planta e contorno C’’ Pilares de borda e canto A Norma brasileira NBR 6118/2014 analisa individualmente as situações de aplicação de cargas concentradas nas áreas limites das lajes, mais especificamente as bordas e os cantos. Tratando dos pilares de borda, quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:
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    44 dW MK d*u F τ p1 Sd11Sd Sd  sendo: MSd1 =(MSd - MSd*)  0 (pode-se considerar MSd* igual a zero à favor da segurança) onde: FSd é a reação de apoio; u* é o perímetro crítico reduzido; MSd é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre; MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar; WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o perímetro u. O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, com c1 e c2 de acordo com a figura 28 Figura 28 - Perímetro crítico em pilares de borda Quando agir momento no plano paralelo à borda livre: dW MK dW MK d*u F 2p 2Sd2 1p 1Sd1Sd Sd  onde: MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre; WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo perímetro u. O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, substituindo- se c1/c2 por c2/2c1 (sendo c1 e c2 estabelecidos na figura 28).
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    45 Com relação aospilares de canto aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à borda. Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada. Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção c1/c2, sendo c1 e c2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, conforme tabela 2 (ver figura 29). Figura 29 - Perímetro crítico em pilares de canto Devido a um certo grau de complexidade nas interpretações das superfícies críticas nos casos onde há pilares de canto e de borda, bem como na determinação dos respectivos módulos de resistência plástica, optou-se por apresentar em anexo todas as expressões práticas para aplicação direta (ANEXO 9.4 – página 106). Detalhamento da armadura de punção As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem como as distâncias regulamentares a serem obedecidas estão na figura 30.
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    46 Figura 30 -Detalhamento da armadura de punção No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que Sd seja menor que Rd1. Essa armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd. A armadura de colapso progressivo, vista na figura 30, deve ser tal que: yd Sd ccp,s f F5,1 A  onde As,ccp é o somatório de todas as áreas das barras inferiores que cruzam cada uma das faces do pilar e FSd pode ser calculado com γf (coeficiente de majoração dos carregamentos) igual a 1,2. A NBR 6118/2014 apresenta ainda as seguintes prescrições referentes ao detalhamento da armadura:  para resistir à punção, as armaduras devem ser constituídas, de preferência, por conectores do tipo “stud”, sendo permitido o uso de estribos verticais;  o diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20, onde h é a espessura da laje. Além disso, deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos (ancoragem mecânica), conforme mostra a figura 31; mínimo de 3 linhas de conectores, estribos ou pinos, com suas extremidades ancoradas fora do plano da armadura de flexão Armadura contra colapso progressivo (armadura que aumenta a ductilidade da ligação na fase de pós puncionamento, redistribuindo os esforços de modo a evitar a ocorrência do colapso progressivo)
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    47  as armadurasdevem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem. Figura 31 - Ancoragem da armadura de punção Exercício Considerando as seguintes características para o dimensionamento à punção da laje com carregamento usual para prédios de apartamentos convencionais. Trata-se de um pilar de centro com carga total de 300 kN/pavimento (Fsd = 300x1,4 = 420kN) e dimensões 100 x 35 cm, laje de espessura total de 17 cm (altura útil 15 cm) e concreto fck = 30 MPa. Os vários contornos críticos a se considerar são: Ao longo da superfície crítica C: u = 2 × 100 + 2 × 35 = 270,00 cm Ao longo da superfície crítica C’: u* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  ×30 = 458,50 cm Ao longo da superfície crítica C”: uo* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  × 60 = 647,00 cm
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    48 Taxa de armadura: rx= 10 c/ 20 → rx = As/Ac → rx = 4 cm² / 100 cm x 15 cm – 0,27% 10 = 0,79 cm² → 100/20 = 5 → 5 x 0,79  4 cm² ry = 10 c/ 20 → ry = As/Ac → ry = 4 cm² / 100 cm x 15 cm – 0,27% 10 = 0,79 cm² → 100/20 = 5 → 5 x 0,79  4 cm² %27,027,027,0 r Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica 2RdSd   MPa du FSd Sd 04,1 15,070,2 420,0      MPaff cdckRd 09,54,1/30)250/301(27,0)250/1(27,02  !09,504,12 okMPaRdSd  Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ para não armar 1RdSd   MPa du FSd Sd 61,0 15,058,4 420,0 *      MPafd ckRd 56,0)300027,0100)(15/201(13,0)100)(/201(13,0 3/13/1 1  r ArmarokNãoMPaRdSd  !56,061,01 Cálculo da armadura 3RdSd   MPaSd 61,0
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    49 * 5,1 3,1 1 3 us fA r ywdswRd Rd      Isolando Asw/sr tem-se: ²cm204,0 5,2685,1 5,458)3,1/56,061,0( f5,1 *u)3,1/( s A ywd 1RdSd r sw         ComMPafywd 5,268 20 )1517(185 250    Definindo sr = 11,3 cm → Asw = 0,204 x 11,3 = 2,31 cm² Seguindo as premissas da norma para o correto posicionamento da armadura obtemos: nciacircunferêporbarras17barras62,16 139,0 31,2 Quantidade  Utilizaremos, portanto, como forma de melhorar a distribuição das armaduras transversais, 18 barras de 4,2 mm de diâmetro – 4 barras paralelas a face maior + 3 barras paralelas a face menor + 1 barra em cada prolongamento de canto – por “perímetro”. Porém, nada impediria a utilização das 17 barras, aleatoriamente, conforme calculado. Verificação da tensão resistente na superfície crítica C” 1RdSd   MPa du FSd Sd 43,0 15,047,6 420,0 *0      MPafd ckRd 56,0)300027,0100)(15/201(13,0)100)(/201(13,0 3/13/1 1  r !56,043,01 okMPaRdSd  Armadura de colapso progressivo 5,1210m/²cm42,12 ²cm/kN48,43 kN3005,12,1 f *F A yd Sd s   
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    50 4. LAJES NERVURADAS 4.1Introdução Figura 32 – Elementos da laje nervurada Uma laje nervurada é constituída por um conjunto de vigas que se cruzam, solidarizadas pela mesa. Esse elemento estrutural terá comportamento intermediário entre o de uma laje maciça e o de uma grelha. Segundo a NBR 6118/2014, lajes nervuradas são "lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte." As evoluções arquitetônicas, que forçaram o aumento dos vãos (de 5 a 15 metros), e o alto custo das formas tornam as lajes maciças desfavoráveis economicamente, em alguns casos. Surgem, como uma das alternativas, as lajes nervuradas (ver figura 33). Figura 33 – Laje nervurada bidirecional Resultantes da eliminação do concreto abaixo da linha neutra, elas propiciam uma redução no peso próprio e um melhor aproveitamento do aço e do concreto. A resistência à tração é concentrada nas nervuras, e os materiais de enchimento têm como função única substituir o concreto, sem colaborar na resistência. Essas reduções propiciam uma economia de materiais, de mão-de-obra e de formas, aumentando assim a viabilidade do sistema construtivo. Além disso, o emprego de lajes nervuradas simplifica a execução e permite a industrialização, com redução de
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    51 perdas e aumentoda produtividade, racionalizando a construção. Essas nervuras podem ser numa só direção ou nas duas direções constituindo, como nas lajes maciças, lajes nervuradas armadas em uma só direção e lajes de armaduras cruzadas. No anexo desse estudo um catálogo técnico é apresentado, mais precisamente de uma das mais conceituadas empresas, em termos nacionais, da comercialização e otimização deste tipo de laje: a forma ATEX. 4.2 Prescrições Normativas Para que essas lajes gozem do todos os dispositivos regulamentares no tocante a regime de cálculo, a NBR 6118 estabelece que a espessura da mesa (elemento laminar), quando não existirem tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre as faces das nervuras (a) e não menor que 4 cm.      15 a cm4 hf O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para tubulações com diâmetro maior que 10 mm, a mesa deve ter a espessura mínima de : - 4 cm + o diâmetro da tubulação ou 4 cm + duas vezes o diâmetro da tubulação no caso de haver cruzamento destas tubulações. A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão (armadura dupla). Nesses casos adotamos expedientes como “alargar” as nervuras nestas regiões. Para o projeto das lajes nervuradas, devem ser obedecidas as seguintes condições: a) para lajes com espaçamentos entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios da laje; b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 e 110 cm, exige- se a verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das
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    52 nervuras for maiorque 12 cm; c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como lajes maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. Os apoios das lajes nervuradas devem sempre ser feitos ao longo das nervuras, podendo também ser necessária a utilização de capitéis ou engrossamentos locais nas lajes. As lajes pré-moldadas devem atender adicionalmente às prescrições das normas brasileiras especificas (ABNT NBR 9062). As lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras, desprezadas a rigidez transversal e a rigidez á torção. Por outro lado, as lajes nervuradas bidirecionais, podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças. Figura 34 – Seção típica de uma laje nervurada 4.3 Tipos de Lajes Nervuradas As lajes nervuradas podem ser moldadas no local ou podem ser executadas com nervuras pré-moldadas. a) Laje moldada no local Todas as etapas de execução são realizadas "in loco". Portanto, é necessário o uso de formas e de escoramentos, além do material de enchimento. Pode-se utilizar formas para substituir os materiais inertes. Essas formas já são encontradas em polipropileno ou em metal, com dimensões moduladas, sendo necessário utilizar desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças (figura 35). b) Laje com nervuras pré-moldadas Nessa alternativa, as nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas, que dispensam o uso do tabuleiro da forma tradicional. Essas vigotas são capazes de suportar
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    53 seu peso próprioe as ações de construção, necessitando apenas de cimbramentos intermediários. Além das vigotas, essas lajes são constituídas de elementos de enchimento, que são colocados sobre os elementos pré-moldados, e também de concreto moldado no local. Há três tipos de vigotas (figura 36). Figura 35 – Laje nervurada moldada no local Figura 36 – Vigotas pré-moldadas 4.4 Vinculação Para as lajes nervuradas, procura-se evitar engastes e balanços, visto que, nesses casos, têm-se esforços de compressão na face inferior, região em que a área de concreto é reduzida. Nos casos em que o engastamento for necessário, duas providências são possíveis: • limitar o momento fletor ao valor correspondente à resistência da nervura à compressão; • utilizar mesa na parte inferior (figura 37), situação conhecida como laje dupla, ou região maciça de dimensão adequada (capitéis como visto acima).
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    54 Figura 37 –Diagrama de momentos para lajes nervuradas contínuas 4.5 Dimensionamento O dimensionamento das lajes nervuradas é feito através da consideração das nervuras como vigas “T” ou “L”. Assim devem-se observar as orientações normativas, bem com os cálculos, referentes a estas peças, conforme estudado anteriormente. Figura 38 – Considerações em vigas “T” ou “L”     2 1 5,0 1,0 b a b     4 3 1,0 b a b onde         balançoemvigaeml contínuavigadeernovãoeml contínuavigadeextremovãoeml isostáticavigaeml a 2 int6,0 75,0 com l igual ao vão da viga
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    55 No caso dosmomentos fletores devemos fazer duas considerações: Caso 1 – se as nervuras e o espaçamento entre elas são iguais (inércias iguais nas duas direções), conforme visto na figura 39. Figura 39 – Laje nervurada com inércias iguais (env(a) = env(b)) Caso 2 – se as nervuras e/ou os espaçamentos entre elas são diferentes (inércias diferentes entre as duas direções), conforme visto na figura 40. Figura 40 – Laje nervurada com inércias diferentes (env(a)  env(b)) No caso 1 calculamos os esforços como lajes comuns utilizando para tal qualquer tabela de laje, exceto as que consideram como princípio básico as “linhas de ruptura”. Sendo assim utilizaremos a tabela de “Bares” de momentos fletores em regime elástico. Tabela 3 – Momentos Fletores – Regime elástico
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    56 No caso 2os esforços são calculados utilizando-se a “teoria das grelhas” que tem como princípio básico a compatibilidade das flechas das nervuras nas direções a e b. Assim determinam-se “quinhões de carga” para cada direção. Procedendo-se assim reduzimos o problema da bi-flexão das lajes em duas flexões ortogonais “independentes”. Neste caso não levamos em consideração o efeito benéfico dos momentos volventes que reduzem o efeito dos momentos fletores positivos atuantes. Assim temos: qa = ka x q ou qb = kb x q ab4 a b b a a k1kou b a I I c c 1 1 k          onde q é a carga total atuante na laje; qa é o quinhão de carga atuante na direção a; ca é o coeficiente do tipo de apoio na direção a; Ia é o momento de inércia na direção a em uma faixa unitária (1 metro); qb é o quinhão de carga atuante na direção b; cb é o coeficiente do tipo de apoio na direção b; Ib é o momento de inércia na direção b em uma faixa unitária (1 metro);
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    57 a e bsão os vãos da laje. Teoria das Grelhas Se observarmos as fórmulas das flechas (ou deslocamentos elásticos) de vigas de um só tramo, conforme anexo, notamos que elas podem ser escritas da seguinte forma: EI ql cf 4  onde c pode ter os seguintes valores conforme os tipos de apoios 1) c = 5/384  viga bi-apoiada → caso 6; 2) c= 3/554 (ou 2,07/384)  viga apoiada-engastada → caso 14; 3) c= 1/384  viga bi-engastada → caso 18; Assim, podemos escrever para cada direção, considerando representativa uma “faixa unitária”: bb 4 b bb aa 4 a aa IE bq cfe IE aq cf  onde fa é a flecha máxima, da faixa unitária, na direção a; fb é a flecha máxima, da faixa unitária, na direção b; Ea e Eb são os módulos de elasticidade do material nas direções a e b respectivamente. Figura 41 – “Faixas unitárias” na laje nervurada Mas fa = fb (equação de compatibilidade), logo; bb 4 b b aa 4 a a IE bq c IE aq c  desenvolvendo, temos: 4 bba 4 aab b a aIEc bIEc q q     4 aab 4 bba 4 aab ba a bIEcaIEc bIEc qq q     Porém sabemos que qa + qb = q e como o concreto armado tem o mesmo módulo de elasticidade nas duas direções, temos:
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    58 q bIcaIc bIc q 4 ab 4 ba 4 ab a    ou q b a I I c c 1 1 q 4 a b b a a          ou ainda qa = ka x q onde 4 a b b a a b a I I c c 1 1 k         Analogamente: qb = kb x q onde 4 b a a b b a b I I c c 1 1 k         Exercício Dimensionar a laje nervurada abaixo para um concreto com fck = 20 MPa, aço CA-50, sobrecarga de 200 kgf/m², 50 kgf/m² de revestimento e utilizando tijolos cerâmicos furados como enchimento das nervuras. Adotar cobrimento igual a 2 cm. Cálculo do peso próprio Volume da unidade: 0,50 x 0,50 x 0,17 = 0,0425 m³ Volume de tijolos: 0,4 x 0,4 x 0,1 = 0,0160 m³ Volume de concreto: 0,0425 – 0,0160 = 0,0265 m³ Peso da unidade 0,0265 x 2500 + 0,0160 x 1300 = 87,05 kgf Peso por metro quadrado de laje 87,05  0,5 x 0,5 = 348,20 kgf/m²  350 kgf/m² Carga total na laje: q = 350 + 200 + 50 = 600 kgf/m² Cálculo dos momentos fletores Neste caso a laje tem inércias iguais nas duas direções. Assim adotaremos a tabela 3 para o cálculo.
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    59 b/a = 1000/800= 1,25  laje tipo 1  ma = 16,45 e mb = 23,95 Ma = 600 x 8²/ 16,45 = 2334 kgf x m/m Mb = 600 x 8²/ 23,95 = 1603 kgf x m/m ou Ma = 2334 x 0,50/1,00 = 1167 kgf x m/nervura Mb = 1603 x 0,50/1,00 = 801 kgf x m/nervura Dimensionamento como viga “T” Para Ma Cálculo de bf       20405,0 808001,0 b1 bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm Armadura para as nervuras ²cm/kgf43,121 4,1 20085,0 fc    d = h – d’ = 17 – 3 = 14 cm                  duplaArmaçãokkkk hbgularreSeçãok simplesArmaçãokkkk d h d h b b dbf M k LL f L ff w f wc d ' tan0 ' ) 2 1(1 ² hbgulartanreSeção0k813,0) 142 7 1( 14 7 1 10 50 ²141043,121 1167004,1 k f             295,0137,0 ²145043,121 1167004,1 k     nervurapor10381²cm89,2)137,0211( 4348 145043,121 As     Para Mb Cálculo de bf       20405,0 10010001,0 b1 bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm
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    60 Armadura para asnervuras hbgulartanreSeção0k03,1) 142 7 1( 14 7 1 10 50 ²141043,121 801004,1 k f             295,0094,0 ²145043,121 801004,1 k     nervurapor10281²cm93,1)094,0211( 4348 145043,121 As     Exercício Dimensionar a laje nervurada abaixo para um concreto com fck = 20 MPa, aço CA-50, sobrecarga de 150 kgf/m², 50 kgf/m² de revestimento e utilizando tijolos cerâmicos furados como enchimento das nervuras. Adotar cobrimento igual a 2 cm. Cálculo de bfa       10205,0 707001,0 b1 bf = 10 + 10 + 10 = 30 cm Cálculo de bfb       20405,0 909001,0 b1 bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm
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    61 Cálculo de Iae Ib cm92,13 1510730 5,715105,18730 ya         nerv/cm50,142575,792,131510 12 1510 92,135,18730 12 730 I 42 3 2 3 a      Por faixa unitária temos: 14257,50 x 1,00/0,30 = 47525,01 cm4 /m cm20,15 1510750 5,715105,18750 yb         nerv/cm67,169465,720,151510 12 1510 20,155,18750 12 750 I 42 3 2 3 b      Por faixa unitária temos: 16946,67 x 1,00/0,50 = 33893,33 cm4 /m Como temos inércias diferentes nas duas direções usaremos a teoria das grelhas 793,0 900 700 01,47525 33,33893 384 5 384 5 1 1 k 4 a          qa= 0,793q e qb= (1 – 0,793)q= 0,207q Cálculo do peso próprio Volume da unidade: 0,30 x 0,50 x 0,22 = 0,033 m³ Volume de tijolos: 0,2 x 0,4 x 0,15 = 0,012 m³ Volume de concreto: 0,033 – 0,012 = 0,021 m³ Peso da unidade 0,021 x 2500 + 0,012 x 1300 = 68,10 kgf Peso por metro quadrado de laje 68,10  0,3 x 0,5 = 454 kgf/m² Carga total na laje: q = 454 + 150 + 50 = 654 kgf/m² qa= 0,793 x 654 = 518,62 kgf/m x metro de laje qb= 0,207 x 654 = 135,38 kgf/m x metro de laje Cálculo dos momentos fletores Ma = 518,62 x 7²/8 = 3176,56 kgf x m/m Ma = 3176,56 x 0,3/1,00 = 952,97 kgf x m/nervura Mb = 135,38 x 9²/8 = 1370,70 kgf x m/m
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    62 Mb = 1370,70x 0,50/1,00 = 685,35 kgf x m/nervura Dimensionamento como viga “T” Para Ma Armadura para as nervuras d = h – d’ = 22 – 3 = 19 cm hbgulartanreSeção0k297,0) 192 7 1( 19 7 1 10 30 ²191043,121 952974,1 k f             295,0101,0 ²193043,121 952974,1 k     nervurapor1023,61²cm70,1)101,0211( 4348 193043,121 As     Para Mb Armadura para as nervuras hbgulartanreSeção0k983,0) 192 7 1( 19 7 1 10 50 ²191043,121 685354,1 k f             295,0044,0 ²195043,121 685354,1 k     nervurapor823,61²cm19,1)044,0211( 4348 195043,121 As    
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    63 5. LAJES LISASE LAJES COGUMELOS Segundo a NBR 6118/2014 as lajes-cogumelo são elementos laminares apoiados diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são apoiadas nos pilares sem capitéis (ver figura 42). Figura 42 – Laje lisa e laje-cogumelo, respectivamente A análise estrutural de lajes lisas e cogumelo deve ser realizada mediante emprego de procedimento numérico adequado, por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos ou elementos de contorno. Na figura 43 tem-se uma laje lisa modelada no software Sap 2000 (MEF – método dos elementos finitos). Figura 43 – Laje lisa modela em elementos finitos no Sap 2000 Nos casos das lajes em concreto armado, em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais, de maneira regular e com vão pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser realizado pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar, em cada direção, pórticos múltiplos, para obtenção dos esforços solicitantes. Para cada pórtico deve ser considerada a carga total. A distribuição dos momentos, obtida em cada direção, segundo as faixas indicadas na figura 44, deve ser feita da seguinte maneira:
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    64 a) 45% dosmomentos positivos para as duas faixas internas, ou 22,5 % para cada uma delas; b) 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas, ou 12,5 % para cada uma delas; d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. Devem ser cuidadosamente estudadas as ligações das lajes com os pilares, com especial atenção aos casos em que não haja simetria de forma ou de carregamento da laje em relação ao apoio. Obrigatoriamente, devem ser considerados os momentos de ligação entre laje e pilares extremos. A punção deve ser verificada de acordo com o capítulo 3. Figura 44 – Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos Em lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo visto acima, devem ser respeitadas as disposições contidas na figura 45. - pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, respeitando-se também a armadura contra o colapso progressivo visto no capítulo 3. - em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além de atender as demais prescrições, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 24ф no capitel. - devem ser atendidas as condições de ancoragem. O diâmetro máximo da armadura de flexão é h/8 e seu espaçamento máximo 2h ou 20 cm. As armaduras secundárias devem ter 20% da área da armadura principal no mínimo e espaçamento até 33 cm
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    65 Figura 45 –Disposições construtivas para lajes lisas As lajes cogumelo devem ter espessura mínima de 14 cm fora do capitel; já as lajes lisas devem ter no mínimo 16 cm Método de dimensionamento O método de dimensionamento das lajes lisas ou cogumelo partem da divisão dos painéis das lajes em faixas internas e externas, como visto na figura 44. Para o cálculo dos esforços atuantes, considera-se que o conjunto laje-pilares formem pórticos (pórticos equivalentes), ou vigas, perpendiculares entre si, de acordo com a figura 46. E neste procedimento o carregamento total atua em cada direção isoladamente. Naturalmente que, para o cálculo das reações nos pilares, isso não deve ser considerado (a área de influência do pórtico nas duas direções não deve ser sobreposta). A partir daí carregam-se os pórticos com as solicitações atuantes. E como o carregamento pode ter parcelas de cargas de natureza diferentes (cargas permanentes e cargas acidentais), deve-se comparar os valores dessas cargas afim de se considerar suas combinações mais desfavoráveis. Como última etapa deste procedimento de cálculo deve-se distribuir os momentos fletores encontrados, pelas faixas internas e externas, de acordo com os percentuais estudados na página anterior. Somente após esta divisão e que se parte para o dimensionamento das seções a flexão no Estado Limite Último. Se a variação no módulo dos carregamentos for considerável em termos de natureza dos esforços, por exemplo, a carga permanente apresentar uma magnitude
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    66 similar à cargaacidental, uma pesquisa de “maior momento” nas seções pode ser requerida; conforme visto nas considerações estudadas anteriormente para as cargas acidentais maiores que 20% da carga total (estudo de VIGAS). Por considerações arquitetônicas, nem sempre se consegue que os pilares estejam alinhados. Com isso permite-se um desalinhamento máximo entre pilares de até 10% dos vãos entre pilares adjacentes para validação do processo estudado. Do contrário, métodos mais avançados deverão ser utilizados (MEF). Figura 46 – Pórtico equivalente para dimensionamento das lajes lisas/cogumelo Exercício Dimensionar a laje abaixo usando CA-50 e fck igual a 20 MPa. Trata-se de um piso de prédio residencial. O desnível entre andares é de 3,05 m. Espessura da laje igual a 16 cm e dimensões dos pilares iguais a 30 cm x 30 cm. Adotar como carregamento peso próprio, revestimento de 80 kgf/m², carga de alvenaria distribuída uniformemente de 100 kgf/m² e sobrecarga de 150 kgf/m². Adotar cobrimento igual a 2 cm (d’ 3 cm). q
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    67 Resolução q = 0,16x 2500 + 80 + 100 +150 = 730 kgf/m² Cálculo dos esforços (Direção x igual a direção y) Inércia da viga fictícia: Iv = 4 x 0,16³/12 = 0,001365 m4 (linhas externas) Inércia da viga fictícia: Iv = 6 x 0,16³/12 = 0,002048 m4 (linhas interna) Inércia do pilar: 0,34 /12 = 0,000675 m4 Diagrama de momentos fletores para as linhas externas por metro de laje (tf x m)
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    68 Diagrama de momentosfletores para as linhas internas por metro de laje (tf x m) Dimensionamento O cálculo é feito para os valores máximos encontrados para cada trecho. Será feito um dimensionamento único para todos os eixos já que pequenas diferenças foram encontradas entre os valores dos pórticos externos e internos. Momentos Finais Largura das faixas → 6,00/4 = 1,50 m Faixas Externas Momentos (Painel) * % por faixa Momento por faixa** As (total)*** As (por metro)**** 1580 x 6 = 9480 kgfxm/m 37,5 3555 kgfxm/m 9,68 cm² 6,46 cm² 2580 x 6 = 15480 kgfxm/m 37,5 5805 kgfxm/m 17,09 cm² 11,39 cm² 1320 x 6 = 7920 kgfxm/m 27,5 2178 kgfxm/m 5,70 cm² 3,80 cm² 6m
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    69 Faixas Internas Momentos (Painel) * %por faixa Momento por faixa** As (total)*** As (por metro)**** 1580 x 6 = 9480 kgfxm/m 12,5 1185 kgfxm/m 3,02 cm² Asmín 2580 x 6 = 15480 kgfxm/m 12,5 1935 kgfxm/m 5,03 cm² 3,36 cm² 1320 x 6 = 7920 kgfxm/m 22,5 1782 kgfxm/m 4,62 cm² 3,08 cm² *O valor que multiplica os momentos finais (6 m) deve ser igual à base em que foi modelado o pórtico; lembrando que nesse exemplo o dimensionamento foi único para todos os eixos **O momento por faixa será o valor do momento no painel dividido por 1 metro e multiplicado pela porcentagem por faixa. ***As (total) tem como base a largura da faixa (bw) ****As (por metro) divide o As (total) pela largura da faixa Asmín = 0,15% bwh = 2,40 cm²/m O detalhamento das barras nas respectivas faixas deve ser orientado de acordo com a figura 45. Não será verificada a resistência ao puncionamento apenas por questões acadêmicas, já que este assunto foi abordado no capítulo 3. Porém salienta-se que a mesma deve ser analisada sempre que tratarmos de projetos estruturais de engenharia.
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    70 6. ESCADAS ECAIXAS D’ÁGUA Cálculo de escadas usuais Classificação Podemos classificar as escadas comuns de edifícios em 3 classes: a) Escadas armadas transversalmente; b) Escadas armadas longitudinalmente; c) Escadas armadas em cruz. Depois de estudar o funcionamento destas 3 classes de escadas, passaremos ao cálculo das vigas que servem de apoio às mesmas e, em seguida, ao projeto dos principais tipos de escadas usualmente empregados em edifícios. Cargas atuantes As cargas que atuam nas escadas são a sobrecarga (NBR 6120/1980), os revestimentos, o peso próprio e os parapeitos. A sobrecarga é tomada como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal de escada, sendo adotados os seguintes valores: - Escada com acesso ao público → 3 kN/m² - Escada sem acesso ao público → 2,5 kN/m² Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para suportarem um carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para a carga indicada acima. O revestimento varia de 50 a 100 kgf/m², e é considerado como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal. O peso próprio das escadas pode também ser avaliado por metro quadrado de projeção horizontal. Porém, devido à variação da espessura pela existência dos degraus, uma espessura média deve ser considerada. Uma relação, utilizada nos projetos arquitetônicos, entre o piso do degrau e seu espelho é estabelecida pela fórmula de Blondel; preconizada por: 2E + P = 64 cm onde E é a altura do espelho e P é o piso (ver figura 47)
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    71 Figura 47 –Fórmula de Blondel O parapeito, em geral, se apóia nas vigas laterais, salvo o caso de escadas sem vigas, onde o seu peso pode ser distribuído por metro quadrado de projeção horizontal. Escadas armadas transversalmente Nas escadas armadas transversalmente, os apoios serão vigas ou paredes situadas longitudinalmente nas faces laterais da escada. Figura 48 – Escadas armadas transversalmente Depois de obtida a carga total por metro quadrado de projeção horizontal e analisado os vãos efetivos e as condições de contorno (apoio ou engaste), dimensiona-se o elemento à flexão simples tomando-se como altura de cálculo a espessura média. Escadas armadas longitudinalmente Nas escadas armadas longitudinalmente, os apoios serão vigas ou paredes situadas transversalmente à escada. Figura 49 – Escadas armadas longitudinalmente
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    72 Apesar de termosque recorrer intuitivamente a relações trigonométricas (seno e cosseno) para transformarmos as cargas por metro de projeção horizontal em cargas normais ao eixo da escada e por metro segundo o plano inclinado da escada (vide li da figura 49); verifica-se que as escadas nessa situação podem ser calculadas tomando-se para o vão o valor da projeção horizontal do comprimento da escada e para a carga aquela que age verticalmente por metro quadrado de projeção horizontal. Calculado o momento fletor máximo devemos observar na figura 49 que só podemos considerar como espessura da escada a parte que constitui uma laje inclinada com espessura h situada por baixo dos degraus. Na ligação das escadas com os pisos existe um pequeno engastamento que pode ser considerado no cálculo, usando-se para momento positivo e momento negativo os valores: M = ql²/10 e X= -ql²/40. Escadas armadas em cruz Nas escadas armadas em cruz (vide figura 50), os apoios serão vigas ou paredes situadas longitudinalmente e transversalmente, devendo-se fazer um estudo associado às duas situações anteriores, com a aplicação dos conceitos adquiridos nas lajes armadas nas duas direções (visto anteriormente). Porém, como estes casos são muito pouco comuns por questões econômicas, convenciona-se adotar um ou outro caso; ou seja, considera-se o dimensionamento exatamente igual às escadas armadas longitudinalmente ou às escadas armadas transversalmente, fazendo com que pelo menos duas vigas paralelas entre si, não recebam a solicitação a título de cálculo. Estas duas, das quatro vigas existentes, atuem apenas como vigas de composição. Como espessura de cálculo convenciona-se, independente do processo assumido, espessura h situada por baixo dos degraus. Figura 50 – Escadas armadas em cruz
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    73 Exercício A escada residencialdescarrega nas vigas V1 e V2, conforme esquema abaixo, dimensione a armação principal da escada considerando-se fck igual a 30 MPa, revestimento de 50 kgf/m², cobrimento de 2 cm e CA-50. Dados complementares: altura do espelho = 18,5 cm; comprimento do piso = 25 cm; altura da laje = 12 cm. Verificando a fórmula de Blondel (apenas como curiosidade, pois isso é responsabilidade arquitetônica ou de projeto básico). 2x19 + 25 = 63 cm → aproximadamente 64 cm → ok! Altura média tgф = 19/25 = 0,76  ф = 37,23º 12/cos37,23º = 15,07 cm cm57,24 2 07,15)07,1519( hmédio    Peso próprio: 0,2457 x 2500 = 614,25 kgf/m² Carga total: 614,25 + 250 + 50 = 914,25 kgf/m²  915 kgf/m² Momento máximo de cálculo: 1,4 x 915 x 3,9²/8 = 2435,5 kgf x m/m Dimensionamento da armadura principal 295,0165,0 ²910014,182 243550 k    11.c10m/²cm84,6165,0211( 4348 910014,182 As    Asmín = 0,15%bwh = 0,0015 x 100 x 24,57 = 3,68 cm²/m < 6,84 cm²/m → ok
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    74 Cálculo de caixasd’água Classificação Nos edifícios, as caixas d’água se apresentam, em geral, constituídas de várias placas planas, podendo ser adotada uma classificação simples abrangendo os principais tipos encontrados na prática. As caixas d’água serão divididas em duas classes quanto à situação em relação à estrutura de base: elevadas e enterradas. Ambos estes tipos são subdivididos em: a) Caixas d’água armadas segundo um plano horizontal; b) Caixas d’água armadas segundo um plano vertical; c) Caixas d’água armadas em vários planos; d) Caixas d’água contendo vigas ou paredes intermediárias. Cargas As cargas que atuam nas caixas d’água, além das sobrecargas e do peso próprio, temos: - Nas caixas elevadas: empuxo d’água; - Nas caixas enterradas: empuxo d’água, empuxo de terra e subpressão d’água. O empuxo d’água será representado por uma carga triangular atuando normalmente às paredes, e o valor em qualquer ponto será: qágua = 1000xh, onde h é a altura da coluna d’água em metros e qa o empuxo em kgf/m². Na figura 51 apresentamos a configuração dos diagramas dos esforços solicitantes oriundos do peso d’água. Figura 51 – Carregamento em kgf/m² Assim, temos nas paredes cargas triangulares e no fundo carga uniforme. Quanto ao empuxo de terra que atua nas caixas enterradas, seu valor depende da natureza e das propriedades do solo (ângulo de “repouso” e peso específico, por exemplo), e de uma maneira simplificada adotaremos o diagrama triangular, e o valor em qualquer ponto será: qsolo = 600xh, onde h é a altura do solo em metros e qsolo o empuxo em kgf/m². A título de orientação, esse valor foi tomado a partir de um peso específico médio, γsolo, igual a 1800 kgf/m³ e ângulo de “repouso” médio, , igual a 30º.
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    75 Nos reservatórios enterrados,quando o nível do lençol freático (nível d’água) é mais elevado que o fundo da caixa, temos que considerar uma pressão exercida pela água no sentido ascendente (baixo para cima), denominada subpressão (ver figura 52). Chamando de h’ a diferença entre o nível d’água (NA) e o fundo da caixa, podemos considerar a subpressão com o valor igual a 1000xh’, expresso em kgf/m². Figura 52 – Carregamento, em kgf/m², para caixas enterradas – empuxo de terra e nível d’água elevado, respectivamente Generalidades sobre o funcionamento das caixas d’água De um modo geral, fazendo um corte vertical ou horizontal em um reservatório, obteremos um quadro fechado de forma retangular representando as solicitações, como mostram as figuras 53, 54 e 55. Reservatório elevado Figura 53 – Corte vertical e horizontal de reservatório elevado, respectivamente Reservatório enterrado vazio Figura 54 – Corte vertical e horizontal de reservatório enterrado vazio, respectivamente Reservatório enterrado cheio
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    76 Figura 55 –Corte vertical e horizontal de reservatório enterrado cheio, respectivamente Nas caixas d’água enterradas, teremos que acrescentar as cargas devidas à subpressão, quando houver. Nas figuras 54 e 55 essa situação foi negligenciada. Ainda nas caixas enterradas, desde que o terreno permita, podemos aproveitar o fundo da caixa como fundação da mesma, de modo que teremos uma carga de baixo para a cima constituída pela reação do terreno que é igual ao peso total da caixa acrescido das sobrecargas e dividido pela área do fundo. Nota-se, também, que para a caixa cheia há concomitância da carga devida ao empuxo d’água com a devida ao empuxo de terra, podendo ser calculada desde o início pela resultante das duas. Porém, devido a vários fatores que podem ocorrer na situação de caixa enterrada cheia, tais como: o solo adjacente não ter sido bem compactado, ou mesmo a retirada deste material por alguma necessidade futura (por exemplo manutenção), o autor aconselha não subtrair o empuxo de solo do empuxo da água, ou seja, o carregamento ficará conforme a figura 56. Figura 56 – Corte vertical e horizontal de reservatório enterrado cheio, respectivamente Cálculo aproximado Nas caixas d’água armadas em mais de uma direção, o cálculo exato se torna muito complexo, pois teríamos que considerar a situação da caixa com seu funcionamento em conjunto no espaço, estudando o problema à luz da teoria da elasticidade.
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    77 Para estudar ocalculo das lajes armadas em mais de uma direção por métodos aproximados, podemos inicialmente observar que, na união das lajes entre si, isto é, nas 8 arestas da caixa d’água existem dois tipos de situação distintas: a) Arestas que possuem grandes momentos devido à continuidade, os quais se aproximam dos valores que se obtêm imaginando engastamento perfeito; b) Arestas que possuem momentos pequenos, podendo ser assimiladas a apoio simples, para efeito de cálculo aproximado. As arestas verticais, que unem as paredes entre si, são sempre do tipo “a”, isto é, tem grandes momentos e podem ser consideradas como engaste perfeito, para efeito de cálculo aproximado. Quanto às arestas horizontais que ligam as paredes com a tampa e as paredes com o fundo, devemos considerar a direção das cargas de acordo com as figuras 57, 58 e 59. Figura 57 – Esquema de cálculo para reservatório elevado Figura 58 – Esquema de cálculo para reservatório enterrado vazio Figura 59 – Esquema de cálculo para reservatório enterrado cheio Tabelas para cálculo de lajes com carga triangular
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    78 Tabela 4 –Laje retangular simplesmente apoiada em dois lados opostos e engastada nos outros, sujeita a carga triangular – Tipo 1 Tabela 5 – Laje retangular simplesmente apoiada em dois lados opostos e engastada nos outros, sujeita a carga triangular – Tipo 2 A q B A/B f Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00422 -0,0596 0,0399 0,0117 0,00422 -0,0601 0,0425 0,0117 0,55 0,00370 -0,0577 0,0349 0,0133 0,00370 -0,0582 0,0375 0,0133 0,60 0,00322 -0,0556 0,0302 0,0146 0,00322 -0,0562 0,0330 0,0146 0,65 0,00279 -0,0532 0,0260 0,0155 0,00279 -0,0543 0,0290 0,0155 0,70 0,00240 -0,0506 0,0221 0,0159 0,00240 -0,0522 0,0254 0,0159 0,75 0,00207 -0,0479 0,0187 0,0160 0,00207 -0,0499 0,0225 0,0160 0,80 0,00177 -0,0451 0,0158 0,0159 0,00177 -0,0475 0,0202 0,0159 0,85 0,00152 -0,0425 0,0133 0,0157 0,00152 -0,0450 0,0191 0,0157 0,90 0,00131 -0,0398 0,0112 0,0153 0,00131 -0,0424 0,0163 0,0153 0,95 0,00112 -0,0373 0,0095 0,0149 0,00113 -0,0399 0,0146 0,0149 1,00 0,00096 -0,0349 0,0079 0,0142 0,00098 -0,0375 0,0130 0,0142 A q B A/B f Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00131 -0,0423 0,0009 0,0207 0,00161 -0,0572 0,0076 0,0247 0,55 0,00129 -0,0421 0,0015 0,0204 0,00156 -0,0546 0,0089 0,0239 0,60 0,00126 -0,0419 0,0021 0,0200 0,00150 -0,0521 0,0099 0,0231 0,65 0,00123 -0,0414 0,0029 0,0195 0,00144 -0,0496 0,0108 0,0220 0,70 0,00120 -0,0408 0,0036 0,0190 0,00138 -0,0473 0,0115 0,0210 0,75 0,00117 -0,0401 0,0044 0,0183 0,00132 -0,0451 0,0121 0,0198 0,80 0,00114 -0,0392 0,0052 0,0175 0,00126 -0,0433 0,0125 0,0185 0,85 0,00110 -0,0382 0,0059 0,0167 0,00119 -0,0417 0,0129 0,0174 0,90 0,00106 -0,0372 0,0067 0,0159 0,00112 -0,0403 0,0131 0,0163 0,95 0,00101 -0,0361 0,0073 0,0151 0,00105 -0,0389 0,0131 0,0152 1,00 0,00096 -0,0349 0,0079 0,0142 0,00098 -0,0375 0,0130 0,0142 2 A q 1 B
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    79 Tabela 6 –Laje retangular engastada em seu contorno, sujeita a carga triangular – Tipo 1 Tabela 6 – Laje retangular engastada em seu contorno, sujeita a carga triangular – Tipo 2 Tabela 7 – Laje retangular simplesmente apoiada em um dos lados e engastada nos restantes, sujeita a carga triangular com valor mínimo no lado apoiado – Tipo 1 A/B f Xa¹ Xa² Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00125 -0,0469 -0,0327 -0,0280 0,0200 0,0019 0,00125 -0,0294 0,0200 0,0050 0,55 0,00122 -0,0487 -0,0319 -0,0280 0,0192 0,0028 0,00122 -0,0296 0,0192 0,0051 0,60 0,00117 -0,0475 -0,0309 -0,0281 0,0183 0,0038 0,00117 -0,0297 0,0183 0,0052 0,65 0,00111 -0,0463 -0,0297 -0,0283 0,0173 0,0048 0,00111 -0,0298 0,0173 0,0055 0,70 0,00104 -0,0449 -0,0282 -0,0284 0,0161 0,0058 0,00104 -0,0298 0,0161 0,0058 0,75 0,00098 -0,0431 -0,0266 -0,0282 0,0149 0,0066 0,00098 -0,0296 0,0152 0,0066 0,80 0,00092 -0,0412 -0,0249 -0,0279 0,0136 0,0072 0,00092 -0,0293 0,0142 0,0072 0,85 0,00085 -0,0391 -0,0230 -0,0275 0,0123 0,0078 0,00085 -0,0290 0,0132 0,0078 0,90 0,00078 -0,0370 -0,0211 -0,0270 0,0111 0,0083 0,00078 -0,0285 0,0122 0,0083 0,95 0,00071 -0,0351 -0,0194 -0,0263 0,0099 0,0086 0,00071 -0,0279 0,0112 0,0086 1,00 0,00064 -0,0333 -0,0178 -0,0255 0,0088 0,0088 0,00064 -0,0270 0,0101 0,0088 A q 1 B A/B f Xa¹ Xa² Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00125 -0,0449 -0,0111 -0,0413 0,0019 0,0200 0,00139 -0,0500 0,0092 0,0223 0,55 0,00122 -0,0434 -0,0123 -0,0403 0,0028 0,0192 0,00128 -0,0482 0,0092 0,0210 0,60 0,00117 -0,0427 -0,0135 -0,0392 0,0038 0,0183 0,00119 -0,0461 0,0092 0,0196 0,65 0,00111 -0,0419 -0,0147 -0,0380 0,0048 0,0173 0,00112 -0,0438 0,0092 0,0180 0,70 0,00104 -0,0410 -0,0158 -0,0366 0,0058 0,0161 0,00104 -0,0414 0,0093 0,0164 0,75 0,00098 -0,0399 -0,0166 -0,0349 0,0066 0,0149 0,00098 -0,0387 0,0097 0,0150 0,80 0,00092 -0,0387 -0,0171 -0,0330 0,0072 0,0136 0,00092 -0,0360 0,0101 0,0136 0,85 0,00085 -0,0375 -0,0175 -0,0310 0,0078 0,0123 0,00085 -0,0336 0,0103 0,0123 0,90 0,00078 -0,0362 -0,0177 -0,0290 0,0083 0,0111 0,00078 -0,0313 0,0104 0,0111 0,95 0,00071 -0,0348 -0,0178 -0,0271 0,0086 0,0099 0,00071 -0,0291 0,0103 0,0099 1,00 0,00064 -0,0333 -0,0178 -0,0255 0,0088 0,0088 0,00064 -0,0270 0,0101 0,0088 A q B
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    80 Tabela 8 –Laje retangular simplesmente apoiada em um dos lados e engastada nos restantes, sujeita a carga triangular com valor mínimo no lado apoiado – Tipo 2 Para A/B < 1: para flechas qa4 /D; para os momentos qa² Para B/A < 1: para flechas qb4 /D; para os momentos qb² Observação: as tampas dos reservatórios e as lajes de fundo, que apresentam cargas uniformes (retangulares), são dimensionadas como as lajes convencionais das edificações e estudadas anteriormente; inclusive com as mesmas orientações adotadas. Exercício Dimensionar as paredes de um reservatório elevado, cúbico (todos os lados iguais), com espessura igual a 20 cm e vão efetivo igual a 3 metros. Adotar fck igual a 25 MPa, aço CA-50 e cobrimento igual a 3 cm. A/B f Xa Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00203 -0,0621 -0,0362 0,0251 0,0044 0,00203 -0,0362 0,0251 0,0058 0,55 0,00188 -0,0603 -0,0360 0,0235 0,0056 0,00188 -0,0360 0,0235 0,0062 0,60 0,00173 -0,0578 -0,0356 0,0217 0,0068 0,00173 -0,0356 0,0217 0,0068 0,65 0,00159 -0,0548 -0,0352 0,0198 0,0079 0,00159 -0,0352 0,0198 0,0079 0,70 0,00145 -0,0516 -0,0346 0,0179 0,0089 0,00145 -0,0346 0,0179 0,0089 0,75 0,00132 -0,0482 -0,0338 0,0161 0,0096 0,00132 -0,0338 0,0161 0,0096 0,80 0,00119 -0,0450 -0,0329 0,0143 0,0101 0,00119 -0,0329 0,0143 0,0101 0,85 0,00107 -0,0422 -0,0319 0,0127 0,0105 0,00107 -0,0319 0,0128 0,0105 0,90 0,00095 -0,0395 -0,0307 0,0112 0,0107 0,00095 -0,0307 0,0117 0,0107 0,95 0,00084 -0,0370 -0,0295 0,0098 0,0106 0,00084 -0,0296 0,0104 0,0106 1,00 0,00074 -0,0345 -0,0283 0,0085 0,0105 0,00074 -0,0285 0,0095 0,0105 A q B A/B f Xa Xb Ma Mb fmax Xb max Ma max Mb max 0,50 0,00124 -0,0451 -0,0413 0,0017 0,0203 0,00141 -0,0499 0,0092 0,0230 0,55 0,00120 -0,0441 -0,0406 0,0025 0,0196 0,00131 -0,0480 0,0092 0,0211 0,60 0,00116 -0,0431 -0,0398 0,0034 0,0188 0,00123 -0,0460 0,0092 0,0196 0,65 0,00112 -0,0421 -0,0389 0,0044 0,0179 0,00116 -0,0439 0,0093 0,0182 0,70 0,00108 -0,0410 -0,0378 0,0053 0,0169 0,00110 -0,0416 0,0093 0,0170 0,75 0,00104 -0,0399 -0,0366 0,0063 0,0159 0,00105 -0,0395 0,0094 0,0159 0,80 0,00099 -0,0387 -0,0352 0,0071 0,0148 0,00099 -0,0373 0,0094 0,0148 0,85 0,00094 -0,0376 -0,0336 0,0076 0,0138 0,00094 -0,0352 0,0095 0,0138 0,90 0,00088 -0,0365 -0,0319 0,0080 0,0127 0,00088 -0,0330 0,0096 0,0127 0,95 0,00081 -0,0355 -0,0301 0,0083 0,0116 0,00081 -0,0307 0,0096 0,0116 1,00 0,00074 -0,0345 -0,0283 0,0085 0,0105 0,00074 -0,0285 0,0095 0,0105
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    81 Carga triangular comvalor máximo na base q = 1000 x 3 = 3000 kgf/m² Momento de engastamento entre as paredes (Xb) -0,0285 x 3000 x 3² = -769,15 kgfxm/m Momento de engastamento entre a laje de fundo e a parede (Xa) -0,0345 x 3000 x 3² = -931,5 kgfxm/m Momento positivo horizontal (Mb) 0,0105 x 3000 x 3² = 283,5 kgfxm/m Momento positivo vertical (Ma) 0,0095 x 3000 x 3² = 256,5 kgfxm/m Devido à magnitude dos esforços encontrados, não será feita a compensação de momentos. Dimensionamento do maior momento fletor encontrado 295,0038,0 ²1510079,151 931504,1 k     m/²cm03,2038,0211( 4348 1510079,151 As    Asmín = 0,15%bwh = 0,0015 x 100 x 20 = 3,00 cm²/m > 2,03cm²/m (não será considerada a utilização do fator de correção para armaduras positivas em cruz). Como o maior momento fletor encontrado apresentou armadura mínima, adotaremos de maneira geral ф6,3mm a cada 10 cm, ou seja, nas faces internas e externas das paredes teremos 3,12 cm²/m (armadura mínima). 7. INTRODUÇÃO A FUNDAÇÕES – ELEMENTOS MAIS COMUNS Como o estudo de fundações requer uma análise mais específica em termos de mecânica dos solos e geotecnia, o presente material tem por objetivo simplificar a vida do profissional de engenharia estrutural e apresentar “links” entre a descida das cargas A q B
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    82 estruturais, sejam elasnormais, tangenciais ou de flexão, e sua distribuição no solo com uma característica qualquer. Nosso estudo limita-se apenas aos dimensionamentos básicos e correlações entre as dimensões e o cálculo das armaduras. Lembrando que um estudo mais aprofundado dos parâmetros do solo e das interações entre o concreto armado e o material elástico de apoio deve ser mais bem avaliado. Sendo assim, temos: Tubulões 1) Diâmetro do fuste onde Nd é a carga vertical majorada e fc = 0,85fck/1,4 2) Diâmetro da base onde N é a carga vertical característica e σadm é a tensão admissível do solo de base 3) Altura da base Hbase = 0,866 x (ΦBase – Φfuste) – Para  = 60º 4) Altura do rodapé: 20 cm Cintas de fundação Geralmente as cintas de fundação são adotadas em uma das situações abaixo: 1 – Para suportar as alvenarias do nível inferior, evitando fissuras nas ligações das paredes com os pilares (ver figura 60) cm70 f875,0 N4 c d Fuste       adm Base N4      (NR18 – Ministério do Trabalho e Emprego)
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    83 Figura 60 –Alvenaria em nível inferior Neste caso o cálculo é feito normalmente considerando a cinta apoiada (ou engastada) nas fundações, suportando o peso da alvenaria e o seu peso próprio. 2 – Para “travarmos” as fundações, principalmente nas soluções em tubulões e estacas isoladas (ver figura 61). Figura 61 – Cintas de travamento Considera-se, em boa parte dos casos, como critério de dimensionamento das cintas de travamento, a absorção de um momento equivalente referente a uma excentricidade do elemento de fundação profunda. Esta excentricidade e estimada da ordem de 10% do seu diâmetro útil e sua direção indeterminada; devendo-se colocar a armação na parte inferior e superior da cinta. Exemplo: Seja uma estaca com diâmetro de 320 mm e carga de 35 tf, adota-se como momento equivalente, Meq = N x e = 35 tf x 0,032 m = 1,12 tf x m. Este momento leva a uma determinada área de aço, que deve ser posicionada na parte de cima e repetida na parte de baixo da cinta. Blocos de coroamento 1 Elemento Figura 62 – Bloco de uma estaca (tubulão)
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    84 Dimensões L = ø+ (2 x 15) cm H = h + 5 cm Estribos Horizontais (fretagem) h )aL( P25,0Z   com P igual a carga na estaca ou tubulão. yd s yd s f2 Z4,1 A f Z4,1 A2  2 Elementos Figura 63 – Bloco de duas estacas (tubulões) Pela teoria das bielas )ae2( h8 P 'P ) 4 a 2 e ( h2 P 'Ph'P) 4 a 2 e ( 2 P   com P igual a carga na estaca ou tubulão.     bL6,0 2/e h Tensão de corte cdf25,0 Bh2 P4,1 hB 4,12 P     Armação Principal yd s f 'P4,1 A          bL )L(75,0 )aL(75,0 h 
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    85 Os blocos de3, 4, 5 ou mais estacas obedecem ao mesmo método utilizado acima – teoria das bielas – e podem ser adotados, utilizando-se geometria própria. Sapatas Figura 64 – Sapata isolada 'd 3 aA 3 bB e           (para trabalharmos como sapata rígida) Combate ao deslizamento 5,1 F F h v      onde  é o coeficiente de atrito entre o solo e o concreto armado, que pode ser tomado simplificadamente por tg2/3 = tg2/3 x 30º = 0,364; Fv é o somatório de cargas verticais (Peso próprio + peso do solo + P + etc...); Fh é o somatório de cargas horizontais. Porcentagem de área comprimida Como temos associado momentos fletores a esforços axiais e tangentes temos que deixar a sapata em contato com o solo, transmitindo compressão ao mesmo, em pelo menos 67% da área da base (linha neutra dividindo 1/3 de 2/3 de A ou B). Análise de tensões adm v ²AB M6 BA F        onde M = Fh x H Armações principais das sapatas
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    86 q= Tensão máxima Figura65 – Esquema de cálculo de sapata isolada Considera-se a base das sapatas como se ela estivesse engastada próxima ao centro (seção dos pilares), mais precisamente a uma distância L de acordo com a figura 65; e a tensão máxima transformada em seção média. Após estas simplificações dimensiona-se uma laje em balanço com as fórmulas específicas. LqVe 2 ²Lq M    Figura 66 – Esquema de detalhamento das armações da sapata isolada O fuste é calculado como um pilar engastado na base e livre no topo (vide cálculo de pilares). Se as sapatas forem consideradas flexíveis ou apoiadas diretamente sobre rochas, deve- se verificar as tensões cisalhantes devido ao puncionamento. Nesta última situação, a tensão máxima deve ser considerada igual a duas vezes a tensão média (ver figura 67). Em caso contrário, no caso das sapatas rígidas, pelo menos a compressão diagonal, no perímetro c, deve ser avaliada (ver estudo da punção).
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    87 Figura 67 –Distribuição de tensões de contato para fundações apoiadas em rocha 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT); Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento (NBR 6118/2014). Rio de Janeiro, 2003, 170p. σ = 2 σmédio
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    88 2. Teixeira, PedroWellington G. N; Pilares: dimensionamento e determinação de cargas nas fundações. Notas de aula, 2011, 38p. 3. Rabelo, Antônio Carlos Nogueira; Curso de Projeto Estrutural de Edifícios em Concreto Armado conforme a nova NB-1. Apostila, 89p. 4. Schäffer, Almir; Concreto Armado II – Flexão Composta. Apostila - PUC-RS, 2006, 24p. 5. Notas de Aula da disciplina de estrutura de concreto II - Material de Apoio – PUC – GO, 20p. 6. PFEIL, Walter. Concreto Armado. Volume II. LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 7. Scadelai, Murilo Alessandro. Dimensionamento de pilares de acordo com a NBR 6118:2003. Dissertação de mestrado – Escola de Engenharia de São Carlos, SP, 2004, 124p. 8. Tepedino, José de Miranda; Calixto, José Márcio; Silva, Márcio Dario da; Chaves, Ronaldo Azevedo. Apostila de Concreto Armado II – Notas de aula – UFMG, BH, 2001, 106p. 9. Bittencourt, Túlio N. – Análise de vigas submetidas a momento de torção – LMC, Escola Politécnica da USP. 10. Carvalho, Clauderson Basileu – Análise Crítica dos Critérios Normativos de Dimensionamento à Punção em Lajes Lisas – Dissertação de Mestrado – UFMG, BH, 2008, 215p. 11. Souza, Ronilson Flávio de; Notas de aula – Estruturas de Concreto Armado. Apostila – Pitágoras, 2014, 182p. 12. Site ATEX Brasil - http://www.atex.com.br/Content/dadosTecnicos.pdf 13. Filho, Américo Campos – Projeto de Pilares de Concreto Armado. Apostila – UFRGS, 2011, 32p. 14. Piancastelli, Élvio Mosci – Fundações Superficiais. Apostila – UFMG, 78p.
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    89 9. ANEXOS 9.1 Ábacospara cálculo de pilares
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    93 9.2 Tabelas dedeslocamentos e momentos de engastamento perfeito
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    100 9.3 Dados Técnicos– ATEX Brasil
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    106 9.4 Expressões Práticaspara Perímetros e Módulos de Resistência Plástica das Superfícies Críticas para Pilares de Borda e Canto. Pilares de borda Perímetros reduzidos onde da 5,10  e     15,0 5,1 C d a – Contorno C 2120 * 22 CCCau  2 CC 2 C w 21 2 1 1p  21 2 2 2 4 CC C wp  20 212 001 * Ca2 2 CC aaC e    – Contorno C’ dCau 22 2 *  1 2 2 21 2 1 1p dCd8dC2 2 CC 2 C w  2 2 121 2 2 2 84 4 dCddCCC C wp  d2Ca2 dCd8dC2 2 CC aaC e 2 1 2 2 212 1 *   
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    107 – Contorno C” pdCau  22 2 * 21 21 2 2 21 2 1 1p p2 2 pC dp8pCdCd8dC2 2 CC 2 C w    22 12 2 121 2 2 2 2 2 8284 4 p pC dppCdCddCCC C wp    pd2Ca2 p2 2 pC dp8pCdCd8dC2 2 CC aaC e 2 21 21 2 2 212 1 *      Pilares de canto – Contornos críticos     1 01 5,1 C d a     2 02 5,1 C d a     1 1 5,0 5,1 C d a     2 2 5,0 5,1 C d a
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    108 – Análise deMsd1 – Análise de Msd2 – Parâmetros para verificação – Contorno C 210201 * CCaau  – Análise de Msd1 24 21 2 1 1 CCC wp   0201 102 2 01011* 1 2 aa CaaaC e    – Análise de Msd2 24 12 2 2 2 CCC wp 
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    109  0102 201 2 02022* 2 2 aa CaaaC e    –Contorno C’ daau  21 * – Análise de Msd1 2 42 24 12 2 21 2 1 1 dC ddC CCC wp    daa dCddaCaaaC e      21 1 2 212 2 111* 1 2 84 – Análise de Msd2 2 42 24 22 1 12 2 2 2 dC ddC CCC wp    daa dCddaCaaaC e      12 2 2 121 2 222* 2 2 84 – Contorno C” 2 21 * p daau    – Análise de Msd1 21 2 12 2 21 2 1 1 4 4 2 42 24 p pC dppC dC ddC CCC wp            2 2 2 2 8284 21 21 21 2 212 2 111 * 1 p daa p pC dppadCddaCaaaC e     – Análise de Msd2 22 1 22 1 12 2 1 2 4 4 2 42 24 p pC dppC dC ddC CCC wp            2 2 2 2 8284 12 22 12 2 121 2 222 * 2 p daa p pC dppadCddaCaaaC e    