Séries fourier cap_5 Desenvolvimento em Meio Período

1. Capítulo 05
25
5.1. Desenvolvimento em Meio Período
No capítulo anterior estudamos as funções periódicas com simetrias par e ímpar. Vimos
também que:
i) se f é par e periódica, então pode ser representada por uma série de Fourier de cossenos;
ii) se f é ímpar e periódica, então pode ser representada por uma série de Fourier de senos.
Observamos nestes casos que as Fórmulas de Euler-Fourier que calculam os Coeficientes de
Fourier empregam a integração em apenas meio período. Isto sugere a seguinte abordagem: se uma
dada função é definida apenas em um certo intervalo L , que consideraremos como sendo meio
período, podemos escolher um prolongamento par para esta função utilizando uma série de
cossenos, ou escolher um prolongamento ímpar utilizando uma série de senos. Tal técnica é
denominada desenvolvimento em meio período e é utilizada na resolução de certas equações
diferenciais parciais.
Exemplo 01: Dada a função 10,)(  tttf , determine a série de cossenos para um
prolongamento par desta função.
Resolução: observemos então que a função está definida somente no intervalo 10  t , que
consideraremos como sendo seu meio período. Como desejamos um prolongamento par, fazendo
1L temos:
2
1
1
1
)(
1
1
00
0   tdtdttf
L
a
L
e
  22
1
0
1
00
1)cos(
2cos2
1
cos
1
2
cos)(
2




n
n
dttntdt
tn
tdt
L
tn
tf
L
a
L
n













  .
Uma vez que





ímparén
parén
n
,1
,1
)cos(  , temos

2. Fabiano J. Santos
26
2
1
0 a ,
21
4


a , 02 a ,
23
9
4


a , 04 a ,
25
25
4


a , 06 a ,
e substituindo os valores encontrados de naa ,0 obtemos a seguinte representação em Série de
Fourier para o prolongamento par de f :
      ...5cos
25
4
3cos
9
4
cos
4
2
1
)(
222
 ttttf 





,
(1a)
ou
       











1
222
)12(cos4
2
1
...5cos
25
1
3cos
9
1
cos
4
2
1
)(
k k
tk
ttttf




.
(1b)
A figura a seguir ilustra o gráfico do prolongamento par de f e de sua respectiva Série de
Fourier de Cossenos utilizando apenas 2 termos (note como a série converge rapidamente)
(Obs.: compare este exemplo com o Exemplo 02 do Capítulo 03).
Exemplo 02: Dada a mesma função 10,)(  tttf , determine a série de senos para um
prolongamento ímpar.

3. Capítulo 05
27
Resolução: observemos então que a função está definida somente no intervalo 10  t , que
consideraremos como sendo seu meio período. Como desejamos um prolongamento ímpar, fazendo
1L temos:
 




n
n
dttntdt
tn
tdt
L
tn
tf
L
b
L
n
)cos(2
sen2
1
sen
1
2
sen)(
2
1
0
1
00













  .
Uma vez que





ímparén
parén
n
,1
,1
)cos(  , temos

2
1 b ,
2
2
2 b ,
3
2
3 b ,
4
2
4 b ,
e substituindo os valores encontrados de nb obtemos a seguinte representação em Série de Fourier
para o prolongamento ímpar de f :
        ...4sen
4
2
3sen
3
2
2sen
1
sen
2
)(  tttttf 







,
(2a)
ou
        











1
1
)sen()1(2
...4sen
4
1
3sen
3
1
2sen
2
1
sen
2
)(
k
k
k
xk
tttttf




.
(2b)
A figura a seguir ilustra o gráfico do prolongamento ímpar de f e de sua respectiva Série
de Fourier de Senos utilizando 5 termos
(Obs.: compare este exemplo com o Exemplo 03 da Aula 03).

4. Fabiano J. Santos
28
Exercícios
1) Dada a função
a) determine sua representação analítica;
b) esboce o gráfico de seu prolongamento par e encontre a Série de Fourier de Cossenos
correspondente;
c) esboce o gráfico de seu prolongamento ímpar e encontre a Série de Fourier de Senos
correspondente;
2) Dada a função
a) determine sua representação analítica;
b) esboce o gráfico de seu prolongamento par e encontre a Série de Fourier de Cossenos
correspondente;
c) esboce o gráfico de seu prolongamento ímpar e encontre a Série de Fourier de Senos
correspondente;
3*. Mostre que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par mais uma função
ímpar.

5. Capítulo 05
29
RESPOSTAS:
1.b).
2
1
0 a  











 

nn
n
an cos1
2
1
cos2
4
22
1.c)
22
2
1
sen8


n
n
bn







2.b)
4
5
0 a   











 

nn
n
an
2
1
coscos
4
22
2.c) 











 )cos(2
2
1
sen2
2
22


nnnn
n
bn