Matemática

1. Produtos Notáveis,
Fatoração e Frações
Algébricas

2. Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.
O quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o
primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
Exemplo:
( 3x + 2y)² = 9x² + 12 xy + 4y²

3. Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro
termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2
Exemplo:
(3 a – 4 b) ² = 9a² - 24 ab + 16 b²

4. Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença
de dois termos.
O produto da soma pela diferença de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo termo.
(a + b) . (a – b) = a2 - b2
Exemplo:
(x + 9y) (x – 9y) = x ² - 81y²

5. Quarto caso: Produto da forma (x + p) (x + q)
O produto da forma (x + p) (x + q) é igual ao
quadrado do primeiro termo , soma de p com q,
acrescentando de x , multiplicação de p por q.
(x +p) (x + q) = x² + (p+q)x + (p . q)
Exemplo:
(x + 5) ( x – 9) = x² -4 x – 45

6. Quinto caso: Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo
do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao
quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o
primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o
cubo do segundo termo.
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
Exemplo:
(3c + 2a)3 =
= (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 =
= 27c3 + 54ac2 + 36 a2c + 8a3

7. Sexto caso: Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo
do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao
quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o
primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o
cubo do segundo termo.
(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3
Exemplo:
(x - 2y)3 =
= x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 =
=x3 - 6 x2y + 12 x y2 – 8y3

8. 1º caso: Fator Comum em evidência:
Quando os termos apresentam fatores comuns.
Observe o polinômio:
ax + ay »
Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Exemplo:
3x + 9 y = 3( x + 3y)

9. 2º caso: Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em
alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a ,
os dois últimos termos possuem em comum o fator b.
Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum.
Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

10. 3º caso: Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da
soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz
quadrada de cada quadrado.
Assim: x² - y² = (x +y) (x – y)
Exemplo:
81x² - 64y² = (9x + 8y) (9x – 8y)

11. 4 º caso: Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
Determinaremos o produto notável responsável pela
formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y².
Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12

12. 5º caso: Fatoração do trinômio do 2º grau:
São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P,
que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma
(x + a) .(x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e
Produto = a . b.
Observe:
x² + 10x + 16 → (x + 8) .(x + 2)
Soma: 8 + 2 = 10
Produto : 8 . 2 = 16

13. 6 º caso: Soma e diferença de cubos
A soma de dois cubos é igual ao produto do fator
(a + b) pelo fator (a2 – ab + b2 ).
A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator
(a – b) pelo fator (a2 + ab + b2 ) .
Vejamos alguns exemplos:
a3 + 27 = a3 + 33 = (a + 3) . (a – a . 3 + 32) = (a + 3) . (a2 – 3a + 9)
125 – x3 = 53 – x3 = (5 – x) . (52 + 5 . x + x2) = (5 – x) . (25 + 5x + x2)

14. Fração algébrica é o quociente polinomial apresentado
sob a forma de fração, no qual o denominador apresenta
uma ou mais variáveis.

15. Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração
mais simples equivalente.
Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o
denominador.
Exs:

16. Da mesma forma que ocorre com as frações numéricas,as
frações algébricas são somadas ou subtraídas obedecendo
dois casos diferentes.
Caso 1: Denominadores iguais.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com
denominadores iguais, as mesmas regras aplicadas às
frações numéricas aqui são aplicadas também.

18. Caso 2: Denominadores diferentes.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com
denominadores diferentes, siga as mesmas orientações
dadas na resolução de frações numéricas de
denominadores diferentes.