Matemática 2008

1. 2
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA- UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII- SENHOR DO BONFIM
CURSO: LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática
Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do
Bonfim, Bahia
GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS
Orientador: Geraldo Caetano de Souza Filho
SENHOR DO BONFIM,
2008

2. 3
GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS
Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática
Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do
Bonfim, Bahia
Monografia apresentada ao departamento de
Educação- Campus VII da universidade do Estado
da Bahia – UNEB, como requisito parcial para
obtenção do título de graduada em Licenciatura em
Matemática.
Orientador: Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho
SENHOR DO BONFIM,
2008

3. 4
GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS
Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática
Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do
Bonfim, Bahia
Monografia apresentada ao departamento de
Educação- Campus VII da universidade do Estado
da Bahia – UNEB, como requisito parcial para
obtenção do título de graduada em Licenciatura em
Matemática.
CONCEITO:_____________________________________
BANCA AVALIADORA
ORIENTADOR____________________________________
Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho
Prof. (a):_________________________________________
Mirian brito de Santana
Prof. (a):_________________________________________
Alayde Ferreira da Silva
Senhor do Bonfim,
2008

4. 5
DEDICATÓRIA
A minha mãe, Valtina Bispo de Souza, a quem destino imenso amor.
Ao professor Geraldo, pela confiança, paciência e orientação.
A minha irmã, Graciele, pelo apoio incondicional.
A meu namorado Leandro pelo apoio compreensão e dedicação a mim no decorrer
da elaboração deste trabalho.
A meus amigos, Alzenir, Rafael, Rita e Iris, pelo companheirismo durante todo curso
de minha vida e pelo incentivo durante este trabalho.

5. 6
AGRADECIMENTOS
A Deus, por iluminar minha vida e me conceder inspiração e força para o alcance de
meus objetivos.
Ao professor Geraldo, a quem dedico profunda admiração e quem muito me ajudou
no desenvolvimento deste trabalho.
A meus familiares, obrigada pela compreensão nos momentos agitados, pelo
carinho e incentivo.
A todos que direta ou indiretamente contribuíram para realização desta pesquisa.

6. 7
RESUMO
O presente trabalho aborda a importância de se utilizar metodologias de ensino que
mostrem aos alunos a aplicação dos conteúdos estudados nos cursos de
graduação, em particular com a Seqüência de Fibonacci. O objetivo é verificar se os
alunos da UNEB - Campus VII ( Senhor do Bonfim), que cursam Licenciatura em
Matemática, sabem aplicar o conteúdo seqüência, incluído nas ementas dos
componentes curriculares Matemática III e Cálculo III, na Seqüência de Fibonacci,
constatar a opinião destes alunos sobre a utilização da Modelagem Matemática no
ensino, sobretudo no nível superior e ao mesmo tempo conferir se estes alunos
perceberam alguma aplicação do conteúdo supracitado no desenvolvimento do seu
curso. O método utilizado para obtenção de resultados aborda principalmente a
pesquisa qualitativa e quantitativa, baseada na análise dos questionários
respondidos pelos alunos. Vale a pena ressaltar a grande importância da
fundamentação teórica como embasadora deste trabalho, onde encontrar-se-ão
aspectos referentes a Seqüência de Fibonacci e à Modelagem Matemática,
principalmente. As considerações finais trazem a reflexão dessa análise e
sugestões de inclusão de atividades de Modelagem Matemática no ensino superior
para que os graduando consigam aplicar seus conhecimentos na resolução de
problemas com alusões à realidade. A partir deste trabalho foi possível fazer a
sugestão de se utilizar atividades de modelagem matemática no ensino de
Matemática, sobretudo no ensino superior, afim de que os alunos consigam aplicar
os conceitos estudados em problemas com alusões na realidade.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Seqüência de Fibonacci, Seqüência.

7. 8
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 09
CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA 11
CAPÍTULO II: QUADRO TEÓRICO 14
2.1 Breve relato sobre Fibonacci 14
2.2 A Sequência (ou sucessão) de Fibonacci 15
2.3 Os números de Fibonacci 16
2.4 Modelagem Matemática 17
2.1.1 Modelagem matemática e Sequência de Fibonacci 20
CAPÍTULO III 25
3. Procedimentos metodológicos 25
CAPÌTULO IV 28
4. Análise e interpretação dos dados 28
CONSIDERAÇÕES FINAIS 50
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 52
APÊNDICES 55
APÊNDICE I 55
APÊNDICE II 58

8. 9
INTRODUÇÃO
O tema deste trabalho consiste na aplicabilidade da Seqüência de Fibonacci:
um caso particular de uma sucessão recorrente que pode ser trabalhada na sala de
aula por professores os quais desejem exemplificar o conteúdo de seqüência com
situações cujo foco é a realidade, uma vez que a Sucessão de Fibonacci estabelece
conexões com certos fenômenos naturais. Alguns métodos de ensino fazem com
que a experiência dos alunos seja mecânica, tentando transformá-los em meras
máquinas. É necessário que sejam utilizados métodos os quais tornem o ensino de
matemática mais prazeroso, para fazê-los sentir-se motivados a aprender.
Resolver um problema é buscar instrumentos conhecidos ou não, e por meio
destes, encontrar caminhos e refletir sobre como alcançar o fim desejado. Existem
várias formas de se chegar ao resultado de questões matemáticas, entre eles o uso
da calculadora, o cálculo mental, a estruturação de operações ou mesmo uma
dedução mais simples. Sabemos que é necessário garantir a todos, em igualdade de
condições, um conhecimento matemático essencial à vida em sociedade. Por isso,
hoje, na educação matemática procura-se inclui estratégias buscando maneiras para
organização e interpretação de dados, sobretudo sua utilidade na comunidade, para
que o aluno perceba a conexão dos conteúdos matemáticos com fenômenos
naturais e consiga aplicar esses conceitos a tais fenômenos. Partindo disso procura-
se saber se os alunos da Universidade do Estado da Bahia, Campus VII de Senhor
do Bonfim, que já cursaram a disciplina matemática III e cálculo III sabem aplicar os
conceitos vistos em Seqüência com a Sucessão de Fibonacci.
Utilizando as pesquisas qualitativa e quantitativa, a metodologia foi
desenvolvida a partir de atividades de Modelagem Matemática empregando a
Seqüência de Fibonacci. A presente pesquisa está distribuída da seguinte maneira:
No primeiro capítulo encontra-se a problemática que gerou a pesquisa, bem
como os objetivos e contribuição dela para a aquisição de novas práticas de ensino.
No segundo capítulo está a fundamentação teórica, com a visão de alguns
autores a cerca da Modelagem Matemática, do Ensino de Matemática e abordagens
sobre a Seqüência de Fibonacci e sua contribuição para o ensino.

9. 10
O terceiro capítulo aborda os procedimentos e técnicas metodológicas
utilizadas para a elaboração deste trabalho, enfocando as pesquisas qualitativa,
descritiva e quantitativa que nortearam o labor.
No quarto capítulo consta a análise e interpretação dos dados coletados cujos
resultados foram apresentados e fundamentados pelas respostas dos alunos.
Por fim, nas considerações finais é ressaltada a importância de ensinar
matemática de forma contextualizada facilitando, assim, o ensino-aprendizagem da
matemática e possibilitando a aprendizagem significativa. Os resultados indicam a
necessidade da utilização na universidade desse tipo de procedimento a fim de
tornar o curso de licenciatura em matemática mais interessante e proveitoso uma
vez que os alunos podem aprender a aplicar seus conhecimentos.

10. 11
CAPITULO I: PROBLEMÁTICA
A matemática é uma ciência que vem contribuindo para o progresso da
humanidade. Desde a antiguidade sua existência se fazia necessária, não com a
representação que ela tem hoje, se fazendo presente na vida prática das pessoas.
A matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas
educacionais, e tem sido a forma mais estável da tradição mediterrânea que
perdura até nossos dias como manifestação cultural que se impôs,
incontestada, às demais formas. Enquanto nenhuma religião se
universalizou, nenhuma língua se universalizou, nenhuma culinária nem
medicina se universalizaram, a matemática se universalizou, deslocando
todos os demais modos de quantificar, de medir, de ordenar, de inferir e
servindo de base, se impondo, como modo de pensamento lógico e racional
que passou a identificar a própria espécie (D’AMBRÓSIO,1998, p. 10).
Mesmo com todo esse histórico, enquanto disciplina carrega os maiores
índices de rejeição por parte dos alunos, pois eles não conseguem perceber
utilidade dos conteúdos matemáticos. As dificuldades encontradas pelos alunos no
aprendizado da Matemática ultrapassam os limites do Ensino Fundamental e Médio,
chegando ao curso superior, fazendo com que exista um alto grau de desistência
e/ou reprovação nas disciplinas estudadas com base em conteúdos matemáticos, ou
seja, nas disciplinas de ciências exatas. Baraldi (1999, p.91) afirma que: “para a
maioria dos jovens, além de números e cálculos a Matemática é uma ciência fria,
sem utilidade para a vida cotidiana ou não perceptível, mesmo que presente.”. Num
momento onde o processo de ensino-aprendizagem de matemática tornou-se
bastante complicado é necessário a busca de estratégias as quais facilitem tal
processo motivando os alunos. Dessa forma, torna-se urgente o desenvolvimento de
estratégias que despertem o interesse e o prazer do aluno pela aprendizagem de
matemática. O professor precisa ter uma boa relação com a disciplina e com os
alunos, tornando o aprendizado mais prazeroso. É o encanto pelo conhecimento o
responsável pela superação das dificuldades de aprendizagem. Segundo
D’Ambrósio (2002), o ciclo de aquisição do conhecimento é deflagrado a partir de
fatos da realidade. Deste modo, a construção do conhecimento matemático pode ser
mais eficiente se emergir de fenômenos que têm origem na realidade. Assim, a
exploração, no ensino, de situações da vida real em que a Matemática se aplica,
pode torná-la mais dinâmica e interessante e proporcionar maior eficiência no

11. 12
processo de ensino e aprendizagem. O educador deve trazer formas diligentes e
contextualizadas ao aplicar um conteúdo matemático para que ele seja realmente
compreendido. Muitas vezes os cursos de licenciatura não trazem formas dinâmicas
de ensino e o licenciando estuda os assuntos sem sua aplicabilidade. Daí surge à
pergunta: “Onde, quando e como vou utilizar isso em minha vida prática ou
profissional?” Não são percebidos vínculos de tais conteúdos com a vida real. Lins
(apud Bicudo 2005, p. 93) afirma que “uma solução que parece indicada nessa
situação, é buscar fazer os alunos verem a Matemática na vida real, trazer a vida
real para as aulas de Matemática.” É o que propõe a Modelagem Matemática:
trabalhar os conteúdos com exemplos autênticos, instigando assim a curiosidade e
prazer de especular os conteúdos e cálculos matemáticos.
Estimular o pensamento independente e não apenas a capacidade
mnemônica; desenvolver a criatividade e não apenas transmitir
conhecimentos prontos e acabados; desenvolver a capacidade de manejar
situações reais e resolver diferentes tipos de problemas. Somente dessa
maneira, será possível pensar em uma matemática prazerosa, interessante,
que motive nossos alunos, dando-lhes recursos e instrumentos que sejam
úteis para o seu dia-a-dia buscando mostrar-lhes a importância dos
conhecimentos matemáticos para a sua vida social, cultural e política (Lara,
2003, p.19).
Essas aptidões devem ser desenvolvidas também no nível superior,
sobretudo nos cursos de licenciatura (nesse caso em matemática), almejando que o
graduando consiga aplicar seus conhecimentos em situações reais.
Partindo da aplicabilidade dos conteúdos vistos nos cursos de Licenciatura
em Matemática e da curiosidade e estudo sobre a Seqüência de Fibonacci originou-
se esta pesquisa. Uma vez que esta disciplina é de fundamental importância para o
desenvolvimento do raciocínio lógico das pessoas.
A disciplina Matemática vem sendo utilizada, há muito tempo, como
instrumento de seleção. E isto tem haver, certamente, com o fato de seu
ensino ter sido pensado, historicamente pelos professores, como sendo a
maneira por excelência de desenvolver o raciocínio, tornando-se assim, um
conhecimento eficaz para destacar os alunos mais inteligentes (Lara, 2003,
p. 19).
Do interesse em aprofundar os estudos sobre como a aplicabilidade de alguns
conceitos matemáticos, no caso da Seqüência de Fibonacci, e poder facilitar a
aprendizagem e desmistificar o estudo dos conteúdos referentes a este conteúdo,

12. 13
surge o seguinte questionamento: Os alunos da Universidade do Estado da Bahia –
UNEB, Campus VII - Senhor do Bonfim, que já cursaram as disciplinas Matemática
III e Cálculo III sabem aplicar os conceitos vistos no conteúdo Seqüência na
Seqüência de Fibonacci?
Para responder tal problema foram traçados os seguintes objetivos: Verificar
se os alunos da UNEB de Senhor do Bonfim, que cursam Licenciatura em
Matemática, sabem aplicar o conteúdo seqüência, visto em Matemática III e Cálculo
III, na Seqüência de Fibonacci; verificar a opinião destes alunos sobre a utilização da
Modelagem Matemática no ensino, sobretudo no nível superior; verificar se estes
alunos perceberam alguma aplicação do conteúdo supracitado no desenvolvimento
do seu curso; e apresentar os resultados obtidos no desenvolvimento de atividades
sobre a Seqüência de Fibonacci com alunos da UNEB de Senhor do Bonfim que
cursaram as disciplinas Matemática III e Cálculo III;
O interesse nesta pesquisa se justifica pelo pouco uso de estratégias
metodológicas, sobretudo na Licenciatura em Matemática, que desenvolvam a
capacidade dos alunos em utilizá-la na interpretação e intervenção do mundo real, e
visa contribuir para o aprofundamento das pesquisas sobre maneiras de ensinar os
conteúdos matemáticos de modo que o aluno analise situações da vida real,
construa um modelo matemático para interpretá-lo e resolvê-lo, bem como
desenvolva a capacidade de formular hipóteses e prever os resultados.

13. 14
CAPÍTULO II: QUADRO TEÓRICO
2 Breve relato sobre Fibonacci (1175-1250)
Leonardo de Pisa, mais conhecido historicamente como Fibonacci (lê-se
fibonati) foi um matemático, nascido em 1170, século XIII, na Itália, provavelmente
em Pisa, e falecido em 1250. Era filho de Bonaccio, um mercador de Pisa.
Ballassare Boncampani, editor de seus trabalhos no século XIV, por causa do nome
de seu pai deu a Leonardo esse nome, Fibonacci, pois, fibonacci = filius de Bonacci
(filho de Bonaccio). Foi um matemático muito importante da Idade e contribuiu
abundantemente com a aritmética, álgebra e geometria.
Segundo Tavares (2007), depois de voltar da viagem que fez pelo
Mediterrâneo, Leonardo começou a escrever trabalhos. Um deles, que tem sido
preservado, contém três de suas principais obras: o Líber Abbaci – Livro do cálculo
(1202,1228), o Practica Geometrae (1220) e o Liber Quadratorum– Livro dos
quadrados (1225). O Líber Abbaci contem uma grande quantidade de assuntos
relacionados à Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no
desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes ao século XIII, pois
através desta obra os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também
denominados arábicos.
O livro contém não só as regras para o cálculo segundo os numerais indo-
arábicos, mas também numerosos problemas de vários gêneros, mas de
uma natureza prática, como é o caso do cálculo dos lucros, conversões de
moedas, e mensuração, suplementado por textos de atuais temas de
álgebra corrente (O maravilhoso mundo de Fibonacci).
Ao estudarmos matemática, muitas vezes não temos noção da sua ligação a
determinados fenômenos que nos envolvem, tais como natureza, população, pintura,
arte, anatomia, arquitetura, indústria, comércio, entre outros. Fibonacci fez ligação
de muitos fatos com a matemática. Em 1202, ele questionou-se acerca da rapidez
com que se reproduziam os coelhos, tendo formulado um problema que
posteriormente originou a tão conhecida sucessão de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, ...)

14. 15
Esse problema da reprodução dos coelhos tinha
um cenário imaginário com as condições ideais, sob as
quais os coelhos poderiam então procriar. Suponhamos
que inicialmente temos um casal de coelhos e que
estes só atingem a maturidade sexual ao fim de um
mês. No final do primeiro mês o par inicial já atingiu a
maturidade sexual. Assim no segundo mês já haverá
dois pares de coelhos, o par original e o primeiro par de
filhos. No terceiro mês o casal original tem outro casal
Figura 1: Reprodução dos
coelhos. de filhos e o primeiro casal de filhos já atingiu a
Fonte: O maravilhoso mundo
de Fibonacci maturidade sexual e assim sucessivamente. O objetivo
dele era responder à seguinte questão: “Quantos pares de coelhos existirão daqui
ano?”
Leonardo foi responsável por um grande avanço no campo matemático em
sua época. A importância de seu trabalho foi reconhecida em Pisa, onde recebia um
salário anual em agradecimento por sua contribuição no ensino e nos demais
servicos prestados a comunidade, e na corte do rei Frederico II.
2.2 A sequência (ou sucessão) de Fibonacci
No livro o qual nos referimos anteriormente, Líber Abbaci, Fibonacci introduziu
um problema por ele formulado que foi o originador da Seqüência de Fibonacci. Isso
ocorreu em 1202, quando ele se interessou pela reprodução dos coelhos. O objetivo
era responder a seguinte questão: Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui
a um ano?. Para resolução deste questionamento ele deu as condições para chegar
a conclusão final que foi a criação da fórmula de sua seqüência que é: Fn= Fn-1 + Fn-2
, F a função e n natural.
Uma seqüência:
É uma função cujo domínio é o conjunto {1,2,3,...,n,...} de todos os números
inteiros positivos,onde os números da imagrm serao seus elementos. Se o
n-ésimo elemento for dado por f(n), então a sequência será o conjunto de
pares ordenados da forma (n, F(n)); onde n é um inteiro positivo
(LEITHOLD,1994, p.688).

15. 16
Ou seja, uma seqüência ou sucessão é uma aplicação do conjunto |N,
conjunto dos números naturais, num conjunto qualquer A. Quando esse conjunto A
qualquer é |N tem-se uma aplicação de |N em |N. A sucessão de Fibonacci possui a
aplicação citada. “Representa-se uma determinada sucessão por f(n), fn ou ainda
por (fn)" (Fibonacci e as sucessões recorrentes)
A Seqüência de Fibonacci é uma função f: N→N, onde seu conjunto imagem
é: F(N)= {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}. “Na essência cada numero
gerado pela Seqüência de Fibonacci é a soma dos dois números que o precedem,
(ou seja, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... onde 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 3+5=8, e assim por
diante)” (Fibonacci e as secessões recorrentes).
Sendo assim a seqüência de Fibonacci é monótona estritamente crescente.
“Dizemos que uma seqüência {an} é: (i) crescente, se an ≤ an+1 para todo n; (ii)
decrescente, se an ≥ an + 1 para todo n. Chamamos de monótona uma seqüência que
seja crescente ou decrescente.” (LEITHOLD, 1994, p.694)
A Seqüência de Fibonacci possibilita serem explorados alguns conceitos de
cálculo como limite, monotonia entre outros que podem ser utilizados nas aulas de
matemática.
2.3 Os números de Fibonacci
Há relativamente pouco tempo começou-se a dar importância aos números
de Fibonacci e descobriu-se que são muito freqüentes na natureza, sendo o
seu aparecimento não um acaso, mas o resultado de um processo físico de
crescimento de flores e frutos (O maravilhoso mundo de Fibonacci).
Essa descoberta contribuiu para o estudo de tais números e a verificação de sua
ocorrência em fenômenos naturais, potencializando suas aplicações em fatos do
cotidiano das pessoas.
Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas
propriedades na natureza. O modo como as sementes estão dispostas no
centro de diversas flores é um desses exemplos. (file://A:Decifrando o
código da natureza.htm)

16. 17
Os números de Fibonacci aparecem em vários fenômenos da natureza.
Outros números, como os irracionais, também surgem em fenômenos naturais
aguçando a curiosidade de explicar todo o Universo com base na matemática, como
é o caso do numero de ouro phi. O número de ouro tem uma conexão com a
seqüência de Fibonacci:
O número de ouro tem o valor j = ( 1 + √5 )/2 (= 1,618 033 989...)
Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte
seqüência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233....
Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos
que essa razão vai tender para um certo valor.
Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se
continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte seqüência de
números:
1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615
385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026;
1,618 037; 1,618 033; ... Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de j(Phi)
(Fibonacci e as sucessões recorrentes)
As razões quando Fn+1/Fn tendem a um valor particular, o phi. Então quando n
tender ao infinito, o limite é exatamente phi, o número de ouro.
phi= lim Fn +1 / Fn
n →∞
2.4 Modelagem Matemática
Segundo o Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa1 da Universidade Estadual de
feira de Santana - UEFS, a matemática pode servir como “poder para alguém”
agindo como um instrumento de controle social, pois afinal, os números governam o
mundo, decisões são tomadas a partir de fórmulas, de cálculos, de estatísticas,
planejamentos de governo são decididos através da matemática. Decisões estas
que afetam as vidas de todos aqueles a elas submetidos.
1
Em palestra assistida durante o XIIEBEM realizado em Senhor do Bonfim durante o período de 01 a 04 de
julho de 2007.

17. 18
No entanto, um dos grandes problemas do ensino de matemática é o fato de
os alunos não conseguirem perceber a relação desta ciência com a realidade, pois
passam a maior parte do tempo fazendo cálculos os quais nem sabem onde serão
utilizados cotidianamente, e por isso perdem o interesse em aprender. Há algum
tempo nota-se a preocupação, pelo movimento da Educação Matemática2, em
encontrar maneiras de trabalhar a matemática com foco na realidade. Esse
movimento traz tendências educacionais que ressaltam a criatividade, e o
surgimento de idéias capazes de motivar os alunos a refletir sobre o processo social,
político e econômico ao seu redor. Nesse contexto compete aos educadores
desenvolver um trabalho produtivo a fim de melhorar seu labor pedagógico.
A verdadeira educação é uma ação enriquecedora para todos os que com
ela se envolvem, e sugere que em vez de despejarmos conteúdos
desvinculados da realidade nas cabeças dos alunos, devemos aprender
com eles, reconhecer seus saberes, e juntos buscarmos novos
conhecimentos (D’AMBROSIO apud ALVES, 2001, p.23).
A educação enfrenta grandes problemas no que diz respeito à aprendizagem
dos alunos. Segundo Baraldi (1999,p.36) a matemática é a responsável pela maioria
desses problemas, por ser a disciplina mais temida e odiada pela maior parte dos
discentes. “A matemática vem se desqualificando cada vez mais como disciplina
escolar e seu ensino continua resultando em altos índices de reprovação.”
Daí percebe-se ser necessário incorporar à educação estratégias as quais
aproximem o ensino à realidade das pessoas para que haja um maior envolvimento
entre aluno e conteúdo, visando despertar o prazer em entender e aprender os
conceitos necessários para que aconteça uma aprendizagem significativa.
O acesso a um maior número de instrumentos e técnicas intelectuais dá,
quando devidamente contextualizado, maior capacidade de enfrentar
situações e de resolver problemas novos, de modelar adequadamente uma
situação real, para com esses instrumentos chegar a uma possível solução
ou curso de ação. Isto é aprendizagem, por excelência, isto é, a capacidade
de explicar de aprender e compreender, de enfrentar criticamente situações
novas. (D’AMBROSIO, 2005, p.81)
2
Movimento que se intensificou na década de 1950 e discute sobre o ensino de matemática, tentando buscar
maneiras de desmistificá-lo.

18. 19
O professor precisa criar maneiras de aproximar os conteúdos da realidade
dos alunos, fazendo os mesmos se envolverem com o ensino, facilitando a aquisição
de conhecimentos, visto que estes últimos pouco se interessam pelos conteúdos
matemáticos por não encontrarem aplicabilidade em nenhum outro momento de
suas vidas, a não ser na escola. É como afirma Bicudo(1999, p. 165):
Cabe ao professor planejar situações problemáticas (com sentido, isto é,
que tenham significado para os estudantes) e escolher materiais que sirvam
de apoio para o trabalho que eles realizarão nas aulas. Atividades que
propiciem a sua manifestação sobre os dados disponíveis e possíveis
soluções para os problemas que desencadeiem suas atividades intelectuais.
Nas situações voltadas para a construção do saber matemático, o aluno é
solicitado a pensar – fazer inferências sobre o que observa, a formular
hipóteses -, não, necessariamente, a encontrar uma resposta correta. A
efetiva participação dos alunos neste processo depende dos significados
das situações propostas, dos vínculos entre elas e os conceitos que já
dominam.
Objetivando aproximar os conteúdos matemáticos da realidade do estudante
e procurando metodologias que facilitem esse processo, a Modelagem Matemática
vem, trazida pelo Movimento de Educação Matemática, com a sugestão de vincular
os conceitos (conteúdos e procedimentos) a serem vistos na escola a problemas
com foco na realidade. Barbosa (2004, p.75) diz que: “Modelagem é um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por
meio da matemática, situações com referencia na realidade”. Skovsmose(2000, p.
69) chama modelagem de:
Cenário para investigação um ambiente que pode dar sustentação a um
trabalho investigativo e apresenta diferentes ambientes de aprendizagem,
em que há referências à Matemática pura, à semi-realidade (entendida
como uma realidade construída para efeitos didáticos) e à realidade
propriamente dita.
Os dois acolhem o fato de que, através da Modelagem, pode-se motivar os
alunos, desenvolver atitude crítica perante a realidade, despertar a criatividade e
impulsionar os estudantes para empregarem estratégias informais. Ora, se o
estudante se envolve com o problema, investiga e sugere possíveis soluções para
sua resolução, ele está atuando no processo de ensino-aprendizagem, saindo da
posição de receptor de informações e passando a ser construtor de seu
conhecimento.

19. 20
Barbosa (2004, p.73) apresenta alguns argumentos para a inclusão da
Modelagem ao ensino: “motivação, facilitação de aprendizagem, preparação para
utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de
exploração e compreensão do papel sócio-cultural da matemática.”
Essa habilidade em problematizar e analisar situações reais utilizando
conhecimentos matemáticos deve ser desenvolvida não só no ensino básico mas
também no nível superior, especialmente nos cursos de Licenciatura em
Matemática, pois o aluno concluinte precisa saber aplicar os conceitos aprendidos
na Licenciatura e ensinar seus alunos (ou futuros alunos) os conteúdos matemáticos
relacionando-os com a realidade.
Para os cursos de Licenciatura, as aulas de conteúdos seriam muito mais
interessante se em vez de dar uma lista de pontos tradicional, que
geralmente é fria e desconectada, fossem estudados, em muitos aspectos-
teóricos, históricos, experimentais, aplicações -, fórmulas e resultados
importantes e gerais (D’AMBROSIO,1998,p.101).
2.4.1Modelagem Matemática e a Seqüência de Fibonacci
Partindo do princípio de tornar a matemática mais atraente, procurar a
aplicabilidade mais próxima da realidade dos conteúdos é, talvez, uma boa
estratégia para o ensino, pois estimula e desafia o aluno, facilitando assim o
processo de ensino-aprendizagem. Em relação à seqüência, conteúdo trabalhado
(na grade curricular da Licenciatura em matemática) nas disciplinas de cálculo e
matemática elementar, trazer atividades com alguma aplicação no cotidiano pode
facilitar a compreensão e a assimilação dos conceitos e propriedades que
desvinculadas de exemplos reais tornam-se de difícil percepção. É a modelagem
“uma alternativa de ensino-aprendizagem na qual a matemática trabalhada com os
alunos parte de seus próprios interesses, e o cotidiano desenvolvido tem origem no
tema a ser problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia, nas situações de vida”.
(Sheffer e Campagnollo, 1998, P.36) É simplesmente ensinar matemática
relacionando-a a problemas com alusão na realidade. Tavares (1997, p.25), em seu
trabalho referente a sucessões recorrentes afirma:
A Sucessão de Fibonacci, para além de ter por base uma situação que
permite, segundo determinados condicionalismos, mostrar a potencial

20. 21
conexão que a Matemática estabelece com o mundo real, possibilita
igualmente explorar a noção de uma sucessão de recorrência sem grande
complexidade, envolvendo os alunos em momentos significativos e
potenciais sob o ponto de vista do processo de ensino-aprendizagem em
Matemática.
Especificamente ao se tratar de seqüência, a Seqüência de Fibonacci é um
caso de sucessão a qual tem referência em situações reais e facilita a compreensão
do conceito de seqüências recorrentes bem como de suas propriedades, pois o foco
na realidade motiva a busca de soluções pela própria curiosidade em saber a
resposta de questões referentes a situações reais. Além de facilitar a aprendizagem
por torná-la mais prazerosa, métodos que envolvem modelagem aproximam o
estudante do conteúdo e fazem com que ele construa suas próprias estratégias para
alcançar as respostas. Pois, segundo Bassanezi (2002, p. 61):
O processo dinâmico utilizado para a obtenção e tese de Modelos
Matemáticos é denominado Modelagem Matemática. Desta forma, a
Modelagem Matemática consiste essencialmente na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los,
interpretando suas soluções na linguagem do real.
Trabalhar os conteúdos com embasamento em situações reais pode facilitar a
aprendizagem e torná-la mais interessante. Nos cursos de Licenciatura essa prática
ajuda na formação do educador, o fazendo adquirir argumentos e metodologias que
favoreçam o ensino de matemática. Silveira e Ribas(2004, p.3) em seu artigo sobre
modelagem afirmam:
A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino de
Matemática que pode ser utilizada tanto no ensino fundamental como no
ensino médio e no superior. A partir de conceitos gerais, procura –se
mostrar a importância da Matemática para o conhecimento e compreensão
da realidade onde se vive. Uma forma de avaliar se a Modelagem
Matemática é eficiente no processo de ensino-aprendizagem é estabelecer
um paralelo entre o ensino tradicional e o ensino através da Modelagem
Matemática, abordando aspectos como a pedagogia adotada, a criatividade,
o interesse pelo estudo de Matemática, a motivação e entusiasmo por parte
dos alunos,e a avaliação do que eles realmente aprenderam com a
Modelagem Matemática, levando o professor a refletir sobre a sua
metodologia de ensino da matemática.

21. 22
Existem muitas curiosidades na natureza que podem ser estudadas
embasadas pela Sequência de Fibonacci, além do problema dos coelhos, citada
anteriormente (tópico 2.1).
A Sequência de Fibonacci não é só uma coisa divertida ou uma série
simpatica de números inteiros. Foi usada para otimizar empacotamentos
(idéia inicial dos matemático indianos que criaram a sequencia) e continua
sendo utilizada na análise do algoritmo de Euclides para determinar o
máximo divisor comum de dois números inteiros. Matiyasevich conseguiu
mostrar que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma
equação diofantina, o que fez com que ele resolvesse o décimo problema
de Hilbert. Esta série também ocorre numa fórmula para oa diagonais
dotriângulo de Pascal e, por incrível que pareça, pode ser observada com
grande frequencia na natureza e na música.(http://www.numaboa. Com)
Apesar do exemplo dos coelhos ser o exemplo mais clássico da sucessão de
Fibonacci, atualmente considera-se que não é um exemplo muito credível devido ás
condições inicialmente impostas . Observe a definição da sucessão de Fibonaccci:
Definição recursiva da Sucessão de Fibonacci
Fn = Fn-1 + Fn-2 , com n natural e n>2
F1 = F2 = 1
.
Um exemplo melhor, para a aplicação da definição
recursiva anterior, é a deslocamento de uma abelha
na sua colmeia. Pressupondo que os favos se
estendem tão longe quanto se queira sempre para o
lado direito e que uma abelha se desloca para um
favo adjacente, tomando o sentido da esquerda para a
direita. Quantos caminhos poderá então tomar a
abelha para se deslocar para o favo 0?
Figura 2: (Favo
de mel)
Figura 3: Deslocamento de uma
abelha na colméia
Como podemos verificar, para o favo 0 a abelha poderá apenas tomar um
caminho.
E para o favo 1?
Já para o favo 1 temos 2 caminhos, um dos caminhos passa pelo favo 0 e o
outro vai directamente para o 1.
E para o favo 2?

22. 23
Para o favo 2 a abelha poderá tomar 1 dos 3 caminhos assinalados a rosa.
Seguindo este raciocínio, surge agora a seguinte questão, quantos
caminhos poderá tomar a abelha para o n-ésimo favo?
Seria Fn = Fn-1 + Fn-2, mas supondo n = 100 temos que o número de
caminhos é igual ao número de caminhos para a célula 99 mais o número
de caminhos para a célula 98. (O maravilhoso mundo de Fibonacci)
A questão do deslocamento de uma abelha na colméia forma uma sequência
numérica conhecida como Sequência de Fibonacci, com a qual podem ser
abordados todos os conceitos vistos no conteúdo sequência, como fórmula para a n-
ésima célula, limite , convergência e divergência, monotonia de sequência, entre
outros. Questões onde a curiosidade da natureza pode ser consrtuida partindo de
um modelo matemático.
Existem outros exemplos com a presenca dos números de Fibonacci
modelado por questões reais, como é o caso do número de espirais de uma pinha,
veja:
O número de espirais de Fibonacci pode ser encontrado freqüentemente em muitas
formas vegetais, por exemplo, as folhas das cabeças das alfaces, a couve-flor, as
camadas das cebolas ou os padrões de saliências dos ananases e das pinhas,
como se pode ver nesta figura. As pinhas mostram claramente as espirais de
Fibonacci. Consegue contar as espirais verdes e as espirais vermelhas?
Figura 4: os espirais de uma pinha
São oito espirais verdes e treze vermelhos.

23. 24
Como foi visto têm enumeros exemplos onde podem ser encontrados os números ou
a seqüência de Fibonacci. Existem muitas aplicações da Seqüência de Fibonacci na
arte, na música nos girassóis e em outras plantas, nos insetos, em peçãs de dominó
e outros que não fom citados neste trabalho. É uma serie bastante rica e que
posssibilita sua exploração, sobretudo na area educaciional .

24. 25
CAPÍTULO III: PROCEDIMENTOS METDOLÓGICOS
Para desenvolvimento e alcance dos objetivos de uma pesquisa, a
metodologia utilizada é de fundamental importância. Conciliar mais de uma
metodologia, se feito com coerência, pode ser de imprescindível ajuda no alcance
dos objetivos traçados. Sendo assim, almejando encontrar maneiras de alcançar-los,
a metodologia utilizada consiste na pesquisa qualitativa e quantitativa, auxiliada
pelas pesquisas bibliográfica e descritiva.
O primeiro passo para qualquer trabalho acadêmico é a pesquisa
bibliográfica: o momento de serem levantados todas as fontes bibliográficas
disponíveis e acessíveis a cerca do tema escolhido. Essa pesquisa auxilia na
escolha de um método mais apropriado e na autenticidade da pesquisa. “A
identificação das fontes bibliográficas pode ser iniciada pela consulta de obras que
propiciam informações gerais sobre o assunto” (ANDRADE, 2007, p. 27).
Neste trabalho, além das fontes pesquisadas na biblioteca da Universidade do
estado da Bahia (UNEB) Campus VII foram levantadas fontes encontradas na
internet. “Recentemente, com o aperfeiçoamento das facilidades dos recursos
eletrônicos da rede mundial de computadores – internet -, essa outra forma de
pesquisa tornou o acesso muito mais amplo e praticamente sem fronteiras físicas”
(ANDRADE, 2007, p. 30).
A pesquisa descritiva vem auxiliar na observação, registro e analise dos
dados. “A pesquisa descritiva observa, registra, analisa e correlaciona fatos ou
fenômenos (variáveis) sem manipulá-los” (CERVO, 2007, p.61). Para o êxito desta
pesquisa se faz necessário a coleta de dados, anotações, observações que
possibilitem a análise e descrição dos fenômenos estudados - técnicas
características da pesquisa descritiva.
A coleta de dados aparece como uma tarefa característica da pesquisa
descritiva. Para viabilizar essa importante operação da coleta de dados, são
utilizados, como principais instrumentos, a observação, a entrevista, o
questionário e o formulário (Cervo, 2007, p. 63).

25. 26
Estes instrumentos citados contribuem para o êxito da pesquisa qualitativa.
Ludke e André (1986, p. 16), diz que: “A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural
como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento.”
A pesquisa se faz necessária em qualquer área de trabalho, pois, além de
adquirir novos conhecimentos e aumentar os já existentes, torna mais rico o que
está sendo produzido. A pesquisa qualitativa exige o contato direto do pesquisador
com a situação a qual está sendo investigada, no ambiente onde os fenômenos
ocorrem. Alem disso, não busca enumerar ou medir eventos. Então, segundo Baraldi
(1999), a preocupação com o processo é muito maior do que com o “produto”, pois,
o processo, em sua riqueza, gera o “produto” mais esclarecedor do fenômeno que
se quer conhecer.
A pesquisa qualitativa ou naturalista envolve a obtenção de dados
descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação
estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em
relatar a perspectiva dos participantes (LUDKE; ANDRE, 1986, p. 13).
Segundo o Instituto Brasileiro de Pesquisas (2007) as pesquisas qualitativas
são exploratórias, ou seja, estimulam os entrevistados a pensarem livremente sobre
algum tema, objeto ou conceito. Elas fazem emergir aspectos subjetivos e atingem
motivações não explícitas, ou mesmo conscientes, de maneira espontânea. São
usadas quando se busca percepções e entendimento sobre a natureza geral de uma
questão, abrindo espaço para a interpretação. Para melhor análise e interpretação
dos dados, a pesquisa quantitativa vem complementar e auxiliar a pesquisa
qualitativa. Portela (2007, p.3), em seu artigo, diz o seguinte sobre a pesquisa
quantitativa:
Nesse tipo de abordagem, os pesquisadores buscam exprimir as relações
de dependência funcional entre variáveis para tratarem do como dos
fenômenos. Eles procuram identificar os elementos constituintes do objeto
estudado, estabelecendo a estrutura e a evolução das relações entre os
elementos.
Em seguida pontua o seguinte sobre a junção das duas metodologias para o
êxito da pesquisa:
Acreditamos que a melhor forma de se pesquisar é através da integração
entre os métodos quantitativo e qualitativo, pois para analisar-se com
fidedignidade uma situação dada é necessário o uso de dados estatísticos e

26. 27
outros dados quantitativos, e também da análise qualitativa dos dados
obtidos por meio de instrumentos quantitativos.(Portela, 2007, p.4)
Esta pesquisa foi realizada com alunos, do curso de Licenciatura em
Matemática, da Universidade do Estado da Bahia - UNEB, campus VII de Senhor do
Bonfim, que já haviam cursado as componentes curriculares Matemática III e Cálculo
III. Estas componentes trazem em seus ementários os conteúdos alvo da pesquisa.
Ela compõe-se de dois momentos. No primeiro foi entregue o questionário I
(Apêndice I) a vinte alunos que poderiam levá-lo para casa e trazer-lo após uma
semana. Nele haviam questões sobre a Seqüência de Fibonacci as quais deviam ser
respondidas utilizando-se os conhecimentos adquiridos nas disciplinas matemática
III e cálculo III havendo a possibilidade de consultas a livros e a outros materiais.
Este questionário foi elaborado embasado na Modelagem Matemática e sua
utilização como instrumento facilitador de aprendizagem no ensino de matemática.
No segundo momento, depois da devolução do questionário I, foi entregue o
questionário II (Apêndice II) com questões referentes ao comportamento dos alunos
frente a resolução do primeiro questionário e a utilização da Modelagem Matemática
no ensino de matemática, sobretudo no ensino superior, com o conteúdo Seqüência.
Este último questionário, continha somente questões subjetivas. A aplicação,
desenvolvimento e devolução foram consecutivos, sem delonga, ou seja, o
questionário foi entregue aos alunos, eles resolveram e devolveram em uma
semana, apos a devolução do questionário I pelos alunos lhes foi entregue o
questionário II o qual eles responderam e entregaram logo em seguida.
Em seguida, a análise dos dados coletados nos dois questionários foi feita
observando os acertos e erros do primeiro e as respostas do segundo. Não
obstante, a separação das perguntas, foi proposital e buscava comparação entre os
questionários, pois se fez necessário relacioná-los para melhor compreensão dos
dados obtidos e posterior conclusão.

27. 28
CAPÍTULO IV: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
A análise de dados fora feita partindo do questionamento sobre o processo
ensino-aprendizagem de matemática, em particular do conteúdo seqüência, através
da utilização da Modelagem Matemática e da Seqüência de Fibonacci,
fundamentando assim a pesquisa.
Para realizar um trabalho, o planejamento é de fundamental importância,
tornando necessária a verificação da viabilidade de sua realização, as possibilidades
e limitações dentro da problemática apresentada.
Entende-se por planejamento da pesquisa a previsão racional de um
evento, atividade, comportamento ou objeto que se pretende realizar a partir
da perspectiva científica do pesquisador. Como previsão, deve ser
entendida a explicitação do caráter antecipatório de ações e, como tal,
atender a uma racionalidade informada pela perspectiva teórico-
metodológica da relação entre o sujeito e o objeto da pesquisa. A
racionalidade deve-se manifestar através da vinculação estrutural entre o
campo teórico e a realidade a ser pesquisada, além de atender ao critério
da coerência interna. Mais ainda, deve prever rotinas de pesquisa que
tornem possível atingir-se os objetivos definidos, de tal forma que se
consigam os melhores resultados. (BARRETO; HONORATO, 1998, p. 59)
As pesquisas utilizadas foram a qualitativa, quantitativa e descritiva. A
pesquisa qualitativa perdura em avaliar com rigor, considerando importante toda
informação e/ou conhecimento fornecido pelo sujeito: todos os dados da realidade
são considerados importantes. Já a descritiva obriga a anotação e descrição dos
dados coletados, para tal é necessário muito rigor no registro destes dados. A
quantitativa tem as vantagens da automaticidade e da precisão.
Não faz parte das pretensões desta pesquisa medir os conhecimentos
referentes aos sujeitos participantes, e sim coletar dados os quais nos possibilitem
uma análise mais próxima do real no que se refere à aplicabilidade dos conceitos do
conteúdo seqüência na Seqüência de Fibonacci, com posterior reflexão acerca dos
resultados. Diante disso, as questões que fazem parte do questionário I e II visam
obter dados os quais permitam ao pesquisador concluir sobre as habilidades dos
alunos da UNEB - Campus VII na aplicação dos conceitos sobre Seqüência na
Seqüência de Fibonacci e verificar a opinião destes alunos a cerca da utilização da
Modelagem Matemática no ensino superior.

28. 29
Os sujeitos da pesquisa são constituídos por 20 (vinte) alunos da referida
instituição de ensino superior, concluintes das componentes curriculares Matemática
III e Cálculo III. Estes alunos resolveram os questionários e os devolveram porem na
análise foram consideradas as respostas mais relevantes. Eles serão identificados
no decorrer do relato da pesquisa por A1, A2, A3 e assim sucessivamente.
O período de execução da pesquisa aconteceu entre 25 de agosto de 2008 e
25 de setembro de 2008. No primeiro momento foi exposto aos alunos o tema e
objetivos dessa pesquisa e entregue o Questionário I, o qual deveria ser devolvido
uma semana depois. Houve permissividade para consulta a materiais que
contivessem o assunto seqüência. Após a devolução do Questionário I deu-se início
o desenvolvimento do Questionário II compreendendo o segundo momento. Vale
ressaltar que a análise de dados se constituirá por duas etapas para caracterizar
melhor o material obtido e cada questionário.
Para melhor compreensão, a análise da primeira questão deste questionário
será da seguinte maneira: primeiro será colocados a questão e a resposta dela
segundo o autor, em seguida o gráfico com as respostas dos alunos e suas
respectivas discussões.
As perguntas do Questionário I foram tiradas de Tavares (1997). A primeira
questão é a seguinte:
Questão 1 :O problema dos coelhos
No ano de 1202, um matemático italiano de nome Leonardo de Pisa (ou
Fibonacci), formulou e resolveu o seguinte problema que ficou conhecido
pelo problema dos coelhos:
É sabido que os coelhos reproduzem-se rapidamente. Assumimos que um
par de coelhos adultos produz um casal de coelhos recém-nascidos todos
os meses e que os coelhos nascidos tornar-se-ão adultos em dois meses e
a partir daí começam a reprodução normal e produzem, ao final de cada
mês, um novo casal. Quantos coelhos obtemos ao fim de 1 ano,
considerando que não ocorrem mortes?
Proposta de trabalho:
a) Começando com um casal de coelhos jovens, quantos casais
obtemos quando esse casal atingir os 10 meses de vida?
Resposta do autor:

29. 30
a)tendo em consideração o problema formulado, Fibonacci observou que
partindo de um casal de coelhos jovens, no final do primeiro mês se tem um
só casal, uma vez que se trata de um casal de coelhos que ainda não está
apto a procriar. No final do segundo mês ainda só teremos o mesmo casal
inicial, pois só a partir desse mês é que eles iniciam seu ciclo mensal de
reprodução. Passando agora para a quantificação dos casais de coelhos no
final do terceiro mês, verifica-se que passamos a ter o dobro do número de
casais de coelhos, ou seja, dois casais(2=1+1). No mês seguinte, o primeiro
casal dá origem a outro casal de crias, assim no final deste mês obtêm-se
três casais(3=2+1). Daqui, dois casais nascem no quinto mês, deste modo,
no final deste mês temos 5 casais de coelhos(5=2+3). Depois, 3 destes 5
casais reproduzem-se no sexto mês elevando assim para 8 o número de
casais de coelhos obtidos(8=5+3). Cinco destes casais reproduzem 5 outros
casais, os quais, juntamente com os oito casais já existentes, perfazem 13
casais no sétimo mês(13=8+5). Daqui, 5 destes 13 casais não se
reproduzem, enquanto que os 8 restantes dão a luz a outras crias,
contabilizando-se no final do oitavo mês, vinte e um casais (21=13+8).
Adicionando a estes os treze casais nascidos no nono mês, obtivemos um
total de 34 (34=21+13). Seguidamente, adicionando a estes os 21 casais
nascidos no décimo mês, obtivemos no fim deste mês um total de 55 casais
de coelhos (55=34+21).
Concluindo que no final de 10 meses obtemos 55 casais de coelhos.
(Tavares, 1997, p.11)
Observe a representação gráfica do desempenho dos alunos na
alternativa acima referida:
Gráfico 1: desempenho dos alunos na 1ª questão a)
Na análise do gráfico 1, observa-se que a maior parte dos sujeitos da
pesquisa atingiram o resultado esperado, porém a porcentagem de alunos com erros
e/ou sem resposta também foi grande, considerando que na primeira questão havia
uma tabela sugerindo o modo de raciocinar para o desenvolvimento do assunto.
Vejamos a resposta de alguns alunos:
“Depois de fazer a tabela conclui que em dez meses obteve-se 89 casais de
coelhos” (A1)
“a1= 1; a2= 2; a3=3; a4=3+2=5; a5=5+3=8; a6=5+8=13; a7=8+13=21;
a8=13+21=34; a9=34+21=55; a10=34+55=89. Resposta: 89 casais.” (A4)

30. 31
Os dois alunos erraram no mesmo ponto: consideraram que o casal de
coelhos inicial era adulto, quando a questão afirmava ser um casal jovem , cuja
procriação ocorreria a partir do segundo mês. Todos os demais erros partiram dessa
interpretação equivocada da questão.
Os estudantes que trouxeram respostas corretas iniciaram a questão
completando a tabela sugerida na alternativa e conseguiram formar a seqüência
numérica que soluciona o problema dos coelhos. Vejamos algumas respostas:
“construí a tabela. R = 55 casais” (A2)
“55” (A3), (A5), (A12)
“os 10 primeiros são:(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55)” (A9)
A6, A7, A11, completaram toda tabela (tabela que havia como sugestão de
resolução no final da primeira pergunta) e no final circularam a resposta.
Vamos para questão seguinte com pergunta e resposta do autor:
P: b)E ao fim de 1 ano?
R: b) continuando o raciocínio anterior, observa-se que no final de um ano
de vida o casal original, reproduzirá 144 casais de coelhos. Veja a tabela:
Fim do mês nº Casais adultos Casais jovens Total de
Casais
1 1 0 1
2 1 0 1
3 1 1 2
4 1 2 3
5 2 3 5
6 3 5 8
7 5 8 13
8 8 13 21
9 13 21 34
10 21 34 55
11 34 55 89
12 55 89 144
(
13 89 144 233
(TAVARES, 1997, 11-12)

31. 32
O gráfico com o desempenho dos alunos fora:
Gráfico 2: desempenho dos alunos na 1ª questão – b)
A resposta desta alternativa poderia ser obtida partindo do raciocínio
elaborado na questão anterior. A porcentagem de acertos foi maior. Alguns alunos
continuaram suas resoluções e outros somente escreveram a resposta. A1 que
havia errado a alternativa a), na b) escreveu “144”, respondendo corretamente; mas
se tal aluno tinha iniciado a questão de forma equivocada, como citado na alternativa
anterior, é curioso que ele tenha acertado esta, sendo ela subseqüente a primeira.
Talvez os meios de consulta, os quais foram permitidos nesta pesquisa, utilizados na
resolução deste questionário tenham colaborado para o melhor êxito dos alunos
nesta alternativa. Muitos alunos foram direto a resposta: “= 144” (A1), (A3), (A7),
(A8), (A14).
Somente dois alunos não conseguiram acertar tal opção, A2 e A4,
respondendo “233”,sendo este o número de casais que teríamos no final do décimo
terceiro mês.
Continuando, observemos o desenvolvimento da alternativa c:
P:c) Procura determinar a expressão matemática que possibilite calcular o
número de casais de coelhos obtidos no final do n-ésimo mês. (Sugestão:
Considera o número de casais de coelhos que se obtém no final de cada
mês, e verifica como eles são calculados).
R:c) A sucessão 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,..., foi dada o nome de
Sucessão de Fibonacci, pois trata-se da sucessão de números associada a
resposta do problema formulado por Fibonacci. Trata-se pois de uma
sucessão de recorrência de ordem dois(porque parte de dois termos
iniciais:u1 e u2), se adicionarmos o primeiro valor ao segundo obtivemos o
terceiro termo(u1+u2=1+1=2=u3), então a equação de recorrência é dada
por Un=Un-2+Un-1 . (Tavares, 1997, p.12)

32. 33
O gráfico 3 demonstra o percentual de erros e acertos dos alunos nesta
questão:
Gráfico 3:desempenho dos alunos na 1ª questão – c)
Todos os alunos responderam esta alternativa, somente dois erraram.
Observe:
(1 + 5 / 2) n + (1 − 5 / 2) n
A3: “= ”
2
A16 respondeu o seguinte: “quando n>2, an = (an-1)n +(n+2)n, esta é a
fórmula para chegar ao n-ésimo termo”.
Os demais alunos tiveram bom êxito na questão.
A13 respondeu da seguinte forma:
“Observa-se que a partir do 3 mês, encontra-se o nº de casais de coelhos
somando os dois números anteriores. Então: G(n+2) = Gn + G(n+1), já que é a partir do
3 mês.”
Percebe-se que o referido aluno não arrumou a fórmula da mesma maneira
que o autor mais acertou e fez as observações de maneira correta.
No estudo de seqüência, conteúdo do ementário da componente curricular
Cálculo III, na UNEB Campus VIII, são exploradas as maneiras de se chegar ao
algoritmo de cada série. Os alunos, pelo número de acertos evidenciados no gráfico
3, demonstraram ter noção da maneira de encontrar o termo geral (algoritmo,
fórmula) da seqüência, mostrando ter conhecimento do assunto.
Prosseguindo com a análise temos:
P: d)A sugestão que traduz o fenômeno da reprodução dos coelhos
segundo os condicionalismos impostos por Fibonacci que no enunciado do
problema contatamos, tem o nome de sucessão de Fibonacci, em honra do

33. 34
Matemático que descobriu. Procura então calcular os primeiros quinze
termos da sucessão de Fibonacci.
R:“d)u1=1,u2=1,u3=2,u4=3,u5=5,u6=8,u7=13,u8=21,u9=34,u10=55,u11=89,
u12=144, u13=233,u14=377,u15=610.(TAVARES, 1997, p.12)
Segue o gráfico com o desempenho dos alunos:
Gráfico 4:desempenho dos alunos na 1ª questão – d)
O gráfico 4 demonstra a grande porcentagem de acertos dos alunos, eles
calcularam os termos pedidos e chegaram a resposta. É curioso a ocorrência de
tantos acertos nesta alternativa sendo ela uma continuidade das primeiras (a e b),
nas quais houveram erros. Tal contradição pode ter ocorrido por erro na transcrição
das resoluções ou aquisição das respostas tão somente pelos meios de consulta.
Observemos uma resposta correta :
“os quinze primeiros termos são: 1,1,2,3,5,8,13,21,35,55,89,144,233,377,610.” (A6)
Em seguida temos a alternativa e), vejamos:
“P: e)De acordo com os valores obtidos em d), o que pode se dito quanto à
monotonia da sucessão?
R: e)A sucessão é monótona crescente.” (Tavares,1997, p.13)
Observemos os gráficos 5 com as respostas dos alunos:

34. 35
Gráfico 5: desempenho dos alunos na 1º questão - e)
O gráfico 5 mostra o número de alunos, metade deles, que errou e/ou não
respondeu a questão, comprovando a falta de atenção por parte dos sujeitos que
apesar de encontrar os termos da sucessão ou não constatou ser uma sucessão
crescente e monótona ou não teve interesse em responder sobre isso.
Segundo Leithold (1994, p.695 ): “Uma seqüência é crescente se an ≤ an +1 e
decrescente se an ≥ an +1. Se uma seqüência é crescente ou decrescente ela é dita
monótona.”
Vejamos a resposta de alguns alunos, serão citadas somente a respostas
mais relevantes:
(A7) “Percebemos que a partir do segundo termo, os demais são adquiridos
somando-se dois termos consecutivos”
(A3), (A15) “É uma seqüência crescente.”
(A16) “O último termo é sempre a soma do penúltimo com o antepenúltimo.”
(A18) “É uma seqüência estritamente crescente.”
A1) “É monótona estritamente crescente.”
As respostas levam a supor que, exceto A1, os alunos não têm conhecimento
da definição de monotonia de seqüência. A determinação do crescimento é mais
fácil pela própria construção da Seqüência de Fibonacci, porem defini-la como
monótona requer o significado deste termo
Vamos para a alternativa seguinte:
“P: f)Determine o limite desta sucessão.
R: f)o limite é dado por lim Un = ∞ ” (TAVARES, 1997 p. 13)
n →∞
O gráfico demonstra as respostas dos alunos:

35. 36
Gráfico 6:desempenho dos alunos na 1ª questão - f)
Segundo Leithold (1994,p.68):
“Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto
contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x)
quando x tende a a será L, escrito como lim( x ) = L
x →∞
Se a seguinte afirmativa for verdadeira:
Dado ε>0 qualquer, existe um δ>0, tal que se 0<|x - a|<δ então |f(x) - L|<ε.
(p.68)
O limite de uma seqüência tem a seguinte definição: “uma seqüência {an} tem
o limite L, se para todo ε>0 existir um número N>0, tal que |an - L|<ε, sempre que
n>N e escrevemos: lim an = L . (LEITHOLD, 1994, p. 690)
n →∞
Observando os gráficos percebemos que metade dos alunos errou ou deixou
esta alternativa em branco, mesmo conseguindo construir a tabela (tabela que havia
no final da questão como modelo de resolução) e chegando a seqüência numérica.
Seria necessário somente observar até onde a seqüência poderia atingir. Vejamos a
resposta de alguns alunos:
(A1, A13, A19) “R = 1,618”
Tais alunos, pela resposta dada, não demonstram conhecimento sobre o
limite de uma seqüência, pois numa seqüência infinita crescente onde o número
seguinte, a partir do terceiro termo, é o somatório dos dois anteriores, o limite jamais
poderia ser 1,618. Por ser permitido consulta para resolução deste questionário o
êxito deveria ser bem maior.
Vejamos a análise da alternativa seguinte:
“P: g)Tendo em atenção o que conheces sobre os infinitamente grandes, que
classificação podes atribuir à Sucessão de Fibonacci?

36. 37
R: g)Tendo em consideração o limite obtido na questão anterior, un é
infinitamente grande positivo, pois un tende ao infinito quando n tende para o
infinito.”(TAVARES, 1997,p. 13)
Gráfico 7: desempenho dos alunos na 1ª questão - g
Analisando o gráfico 7 percebemos que assim como na alternativa anterior,
metade dos alunos errou ou a deixou em branco. Um dado inquietante, pois depois
de encontrar a seqüência precisaria, simplesmente, perceber que é uma seqüencia
infinitamente grande. Muitos deles não interpretaram o enunciado da questão, pois
na alternativa e já haviam respondido ser uma série estritamente crescente.
A4 respondeu o seguinte: “é uma seqüência monótona estritamente
crescente.”
Só faltou dizer que é infinitamente grande, respondendo ao que foi
perguntado na alternativa. A má interpretação da pergunta pode ter sido a
causadora desta resposta, parcialmente correta.
A7 respondeu: “é uma seqüência divergente.”
Em nenhum momento, no questionário, foi tratado sobre convergência ou
divergência de seqüência.
Continuando a análise observemos a segunda questão, sua resolução
segundo o autor e a resposta dos alunos:
Questão 2: o deslocamento de uma abelha na colméia:
Similarmente ao “problema dos coelhos”, problema que deu origem ao
aparecimento da sucessão de Fibonacci, temos um outro que procura
determinar o número de caminhos que uma abelha pode percorrer quando
se desloca lentamente sobre as células hexagonais de um favo de mel (ver
figura abaixo)

37. 38
As células estendem-se tão longe quanto se queira e sempre para o lado
direito. Assumindo que a abelha só se move para uma célula adjacente e se
desloca sempre no sentido da esquerda para a direita, quantos caminhos
poderá ela tomar para se deslocar para a célula 0? E para a célula
1?...Seguindo este raciocínio, quanto seria o número de caminhos possíveis
que a abelha poderia percorrer para atingir a n-ésimo célula?(Tavares,
1997, p.02)
Tavares (1997, p.13) responde a questão da seguinte forma:
Podemos constatar que o número de caminhos possíveis que a abelha
pode tomar para se deslocar da célula 0 é apenas 1(→0). Em relação a
célula 1 são 2 caminhos possíveis, os seguintes: (→0→1) e (→1). Para a
célula 2 seriam (→0→2), (→0→1→2) e (→1→2), os três caminhos
possíveis. Se pensarmos no deslocamento para a célula 3 teríamos 5
caminhos possíveis: (→0→1→2→3), (→0→1→3), (→0→2→3), (→1→2→3)
e (→1→3). E assim sucessivamente...Se denominarmos por Cn o número
de caminhos possíveis para a n-ésima célula, observemos que C0=1, C1=2,
C2=3=1+2, C3=5=2+3, C4=8=3+5, C5=13=5+8, C6=21=8+13, ... Deste
modo podemos dizer que Cn = Cn-2+Cn-1, para n≥3, com C0=1 e C1=1, é
a expressão matemática que nos possibilita obter o número de caminhos
possíveis que a abelha pode tomar para uma dada célula do favo de mel.
Vejamos o gráfico demonstrando o desempenho dos alunos na questão:
Gráfico 8: desempenho dos alunos na 2ª questão
O gráfico anterior demonstra que quase metade dos alunos deixou essa questão em
branco (nove alunos), dois disseram que não sabiam, dois começaram a responder
e não terminaram e sete acertaram. A maior dificuldade parece ter sido em encontrar
a fórmula para chegar a n-ésima célula, muitos nem conseguiram encontrar a

38. 39
seqüência numérica. Vejamos uma resposta inadequada, uma incorreta e uma
correta:
“A única certeza que eu tenho nessa questão é a que a abelha morre mais
não chega ao último hexágono. Rs, rs (não sei!)” (A2)
A4 respondeu: “para célula 0 um caminho, para célula 1 um caminho, para n-
ésima célula assim: an = (n – 1) + 1. A fórmula para se chegar a n-ésima célula é a
mesma para se chegar ao n-ésimo casal de coelhos do problema anterior.
A8 escreveu: “para célula 0 é apenas 1 caminho; para 1 são dois caminhos
possíveis; para 2 são três caminhos; para três são 5 caminhos; deste modo pode-se
dizer que Cn = Cn-2 + Cn-1 p/ n≥3.” Resposta correta seguindo o mesmo raciocínio
do autor.
Alguns alunos sentem dificuldade em transformar a seqüência em algoritmo.
Na primeira questão eles demonstraram ter conhecimento de como fazer essa
transformação. Agora uma porcentagem grande de alunos deixou de responder.
Uma contradição que pode se dever a interpretação equivocada da questão, pois o
procedimento de resolução de ambas é similar
A terceira (3ª) questão é a seguinte:
Questão 3: A sucessão dos quocientes entre números consecutivos de
Fibonacci
Investiguemos um fato curioso relacionado com esses números e que
desempenha um papel muito importante não só na matemática como em
muitas outras áreas do saber. Tal fato provém do estudo da razão entre os
termos consecutivos da sucessão de Fibonacci.
Utilizando a calculadora, procure resolver a seguinte proposta de trabalho:
a) Calcular o quociente entre alguns números consecutivos de
Fibonacci.
b) De acordo com os valores obtidos em a), o que pode ser dito quanto
a monotonia da sucessão dos quocientes entre os números consecutivos de
Fibonacci?
c) Será que esta sucessão tem limite? Será limitada?
d) O que significa dizer em termos do “problema dos coelhos”, afirmar
que o quociente entre dois termos consecutivos de Fibonacci é
aproximadamente 1,62? (Tavares, 1997, p.05)
Tavares (1997) a responde da seguinte forma:
a) 1/1 = 1; 2/1 =2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,66; 8/5 = 1,60; 13/8 = 1,625; 21/13 =
1,615; 34/21 = 1,619; ...
b) Não monótona;
c) Sim, o limite está entre 1,60 e 1,62.

39. 40
d) Como o quociente entre dois números consecutivos de Fibonacci
tende para 1,62, a taxa de crescimento dos coelhos tende para um valor
próximo a 62%, trata-se -, pois, de um crescimento tipo exponencial.
(p.17)
Os seguintes gráficos demonstram o desempenho dos alunos:
Gráfico 9:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa a
Gráfico 10:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa b
Gráfico 11: desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa c

40. 41
Gráfico 12:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa d
Como a Seqüência numérica de Fibonacci já havia sido encontrada e estudada nas
questões anteriores, os alunos não apresentaram dificuldade em encontrar o
quociente entre os números consecutivos dela. É preocupante o fato dos alunos
graduando em matemática terem dificuldade em falar de monotonia de seqüência,
na primeira e nesta questão uma porcentagem grande de alunos errou e/ou deixou
em branco. Também é inquietante verificar que muitos destes alunos não
responderam sobre o limite do quociente dos números de Fibonacci quando a
alternativa anterior (a) demonstrava a possível resposta e a posterior (d) a deixava
explícita. Vale ressaltar que alguns alunos, como citado na análise da alternativa f da
primeira questão, responderam que o limite da Seqüência de Fibonacci era 1,618
quando essa resposta deveria ser agora para o limite do quociente entre os números
consecutivos de Fibonacci.
Essa questão retrata a relação da Seqüência de Fibonacci com a razão
áurea, com o número de ouro, 1, 618. A alternativa chave é a primeira (a), onde se
descobriria o quociente entre alguns números consecutivos de Fibonacci, verificaria
a que outro número essas divisões se aproximava e resolveria as demais.
Observemos a resposta de alguns alunos:
“a) calculei
b) não sei
c) tem limite e será limitada
d)que o quociente estabelece um padrão conhecido como número de ouro.”
(A2)
Tal aluno, pelo que respondeu, tem conhecimento a respeito do número de
ouro e sobre a idéia de limite, mas não aclara as respostas, nem as acerta
completamente.

41. 42
“a)(1,1,2,3,5,8,13,21,34)
1/1 =1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 =
1,615; 34/21 = 1,618.
b)que existe uma relação entre eles, que se aproxima da razão áurea.
Exceto nos quatro primeiros elementos.
c)pelos cálculos realizados em a o quociente desses números converge
para ≡1,6
d)que existe uma proporcionalidade em relação ao número de coelhos
recém nascidos e o número total de coelhos, pois a média de coelhos
nascidos a cada mês é de aproximadamente 1,6.” (A4)
Este aluno obteve um aproveitamento muito bom nesta questão, exceto
quanto a respeito de monotonia. Mostrou ter conhecimento do conteúdo e provou
ter compreendido a questão.
ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO II
A segunda fase da análise de dados compreende o diagnóstico do segundo
Questionário, o qual tem o objetivo de verificar o comportamento dos sujeitos ao
responder Q1. Tal questionário foi de fundamental importância para conclusão dessa
pesquisa, pois nele aparecem as reais dificuldades dos participantes frente ao
conteúdo (Seqüência, mais especificamente a Seqüência de Fibonacci) e a
resolução do primeiro Questionário.
Serão citadas somente as respostas dos alunos mais satisfatórias para cada
pergunta, ou seja , as respostas mais fundamentadas.
1ª questão: Qual a principal dificuldade encontrada ao realizar a atividade
proposta no QUESTIONÁRIO I?
O objetivo é descobrir as dificuldades encontradas, em relação aos conceitos
matemáticos, ao responder Q1.
A1: “tive muita dificuldade em interpretar as questões.”
(A3) “Encontrar a expressão matemática que exprime o nº de casais de
coelhos para o n-ésimo mês, pois foi preciso recorrer ao Teorema de Binet.”
(A6) “É um assunto novo que exige um pouco de tempo para estudá-lo,
tempo este que não disponho no momento.”
(A7) “Determinar o termo geral.”
(A8) “Minha maior dificuldade foi não conhecer o assunto.”

42. 43
Pelos relatos acima percebe-se que os alunos tiveram dificuldade em resolver
o primeiro questionário. Para resolvê-lo foi dada uma semana e permitido a consulta,
como já fora dito. Os participantes haviam cursado as componentes curriculares
Matemática III e Cálculo III, cuja ementa traz o estudo de seqüência ou utiliza
conceito relacionados a seqüência, é provável que eles tenham conhecimento do
assunto. Por tanto está evidenciada a ausência de habilidades para resolução de
problemas propostos relacionados a situações diversas e/ou cotidianas.
Questão 2: Foi necessário fazer algum tipo de consulta para realizá-la? Cite-
as:
O objetivo desta vez é verificar que materiais foram utilizados pelos alunos
para responder Q1. Vejamos as respostas de alguns alunos:
(A1),(A7), (A8), (A9), (A17) “Internet”
(A3) “Sim, Teorema de Binet (cálculo III)”
(A4) “Sim, consultei uma apostila de estrutura algébrica que tinha a questão
dos coelhos.”
(A5) “Sim, a meus escritos sobre seqüência (cálculo III)”
Todos os alunos admitiram ter feito consulta a algum material para responder
Q1. Alguns afirmaram ter recorrido ao apontamento sobre seqüência adquirido em
cálculo III. Muitos deles afirmaram ter feito pesquisa na internet. Este meio pode
trazer respostas prontas para algumas questões, o que talvez explicaria a falta de
êxito de alguns alunos em algumas questões e o posterior acerto em questões
subseqüentes e dependentes da anterior. Vale a pena ressaltar que mesmo com a
possibilidade de consulta a porcentagem de acertos não foi grande, daí pode-se
supor que se não houvesse a possibilidade de consulta o número de acertos seria
reduzido.
Questão 3: Ao realizar esse estudo de seqüência foi necessário recorrer a
algum outro conteúdo matemático? Justifique? O objetivo aqui é saber quais os
conteúdos matemáticos vistos durante a licenciatura em matemática foram
consultados para resolver Q1.

43. 44
(A1) “Sim, progressão aritmética e limite.”
(A2) “Sim, soma, subtração, divisão, (...), limite, entre outros.”
(A3) “Sim, funções e teorema de Binet.”
(A5) “Sim, PA e PG para me situar e lembrar o conceito de
seqüência”
(A7) “Sim, número de ouro”
(A15) “Fiz uma leitura dos conteúdos estudados nas disciplinas de cálculo.”
Todos os conteúdos citados pelos alunos têm alguma relação com a
Seqüência de Fibonacci. PA (progressão aritmética) e PG (progressão geométrica)
são os conteúdos de primeiro contato com as seqüências, fazendo parte da ementa
do ensino médio e das primeiras disciplinas do curso da licenciatura plena em
matemática da UNEB o Campus VII. Por tanto muitos alunos conhecem a relação
entre as seqüências e os conteúdos citados.
Questão 4: Durante o curso de Cálculo você viu alguma aplicação do
conteúdo abordado? Fica clara a relação da Seqüência de Fibonacci com as
seqüências estudadas no Cálculo III?
Como a Seqüência de Fibonacci é uma aplicação do conteúdo de seqüência
visto em Matemática III e em Cálculo III, precisava-se saber se os alunos já tinham
visto alguma outra aplicação de tal conteúdo e como foi relacioná-lo à Seqüência de
Fibonacci.
Vejamos a resposta de alguns alunos:
(A1) “Não. Foram abordados os conteúdos: seqüência e limite, mas não
relacionado a Seqüência de Fibonacci. Sim.”
(A3) “Sim, em seqüência.”
(A4) “Depois que respondi o questionário 1 percebi essa relação. No
entanto no estudo de cálculo não foi feita nenhuma relação.”
(A5) “Não foi visto nenhuma aplicação de seqüência. Relacionar a
Seqüência de Fibonacci ao que vimos de seqüência ficou a nosso critério e
raciocínio, precisamos recorrer ao conteúdo.”

44. 45
(A6) “Durante o curso de calculo não foi trabalhado nenhuma aplicação
desta natureza no estudo de seqüência, portanto é perceptível porem não
fica clara a relação da Seqüência de Fibonacci com as seqüências
estudadas.”
(A8) “Durante o curso de cálculo não vi aplicação do conteúdo e nenhuma
relação com as seqüencias de cálculo III.”
Exceto A3, todos os demais alunos afirmaram não terem visto nenhuma
aplicação sobre Seqüência na disciplina de cálculo. Garantem que perceberam a
relação do que já haviam estudado com a Seqüência de Fibonacci mas que para
isso precisaram recorrer ao conteúdo, fazer alguma consulta, como já haviam
respondido na questão 2. Podemos notar que há necessidade de aplicação dos
conteúdos estudados para que os alunos saibam relacioná-los com situações de seu
cotidiano e para facilitar a aprendizagem.
Há evidências de que a interação de atividades matemáticas escolares com
situações da realidade, pode contribuir para a aprendizagem da
matemática, tendo a satisfazer, de forma mais eficiente, as necessidades do
individuo para vida social. (BARBOSA, 1999, p.32)
Questão 5: É fácil relacionar os conceitos matemáticos com situações “reais”
a fim de resolvê-las? Justifique?
O objetivo de tal questão é verificar a opinião dos alunos sobre como seria
criar um modelo matemático a fim de solucionar situações reais. Vejamos as
respostas dos alunos:
(A1) “Não. Porque nem sempre os conteúdos abordados em alguma relação
com situações reais. Alguns conceitos são mais difíceis de trabalhar com
situações reais.”
(A5) “Não. Os conceitos são estudados de forma fechada o que
impossibilita ou torna difícil resolver situações reais que envolvam tais
conceitos.”
(A8) “Deveria ser fácil mas atualmente essa relação é difícil.”
(A9) “Poderia ser mais fácil se nós como alunos do curso de licenciatura,
tivéssemos esse tipo de realidade com nossos professores.”
Estes alunos consideram difícil relacionar os conceitos matemáticos com
situações reais, pois segundo as afirmações deles citadas não é uma prática
comum, e sim algo tão novo que intimida. A9 diz que esse método não faz parte de

45. 46
seu curso de licenciatura. Para Ludke (1986, p. 162): “Apesar de a matemática ser
utilizada e estar presente na vida diária, exceto para quem já compartilha desse
saber, as idéias e os procedimentos matemáticos parecem muito diferentes dos
utilizados na experiência prática ou na vida diária.”
Outros alunos acreditam ser mais fácil trabalhar matemática partindo de
situações reais. Observemos a resposta de alguns deles:
(A2) “Fica mais fácil e mais interessante.”
(A3) “Sim. Quando relacionamos com situações reais fica mais fácil
entender a abstração que há por trás de tudo.”
(A15) “Seria muito mais fácil se já tivéssemos clara essa relação, mas
depois do estudo feito com o primeiro questionário assimilei e memorizei
mais coisas que sabia depois de concluída a disciplina cálculo III.”
Um dos grandes problemas da educação matemática consiste nos estudantes
não verem sua relação com a realidade. Bicudo (2005, p.93) diz que: “uma solução
que parece indicada nesta situação, é buscar fazer os alunos verem a matemática
na vida real, trazer a vida real para as aulas de matemática.”
Questão 6: A Seqüência de Fibonacci é um caso particular de uma sucessão
recorrente, mas podemos utilizá - la no estudo de seqüência (de Cálculo III). Torná-
se mais interessante o estudo de seqüência embasado pela de Fibonacci?
Segue a resposta de alguns alunos:
(A5) “Sem dúvida é mais interessante e ajuda a fixar melhor os conceitos.
Na verdade eu nem sabia onde usar os conteúdos do cálculo muito menos
tinha ouvido falar sobre a Seqüência de Fibonacci.”
(A6) “Qualquer estudo é mais interessante quando se relaciona com alguma
situação real.”
(A8) “Sim, pois sempre perguntamos em cálculo III se existia algo prático
para seqüências.”
(A12) “Creio que sim, pois estabelece situações do cotidiano.”
Pelas respostas citadas acima, os alunos consideraram interessante trabalhar
seqüências embasadas pela Seqüência de Fibonacci, mesmo não tendo
conhecimento de tal série. É sempre atraente conhecer alguma aplicação do
conteúdo que se está estudando.

46. 47
Um aspecto fundamental da atividade de modelagem consiste em construir
um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal
modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder as
questões inicialmente apresentadas. Skovsmose (2000) tem argumentado que os
modelos encontrados nas atividades de modelagem não servem apenas ao papel de
descrever e predizer a realidade, servindo de argumento para a tomada de decisões
e contribuindo para desenvolver no aluno um conhecimento mais reflexivo acerca da
matemática e suas finalidades.
Questão 7: Hoje fala-se muito em utilizar a Modelagem Matemática (ensinar
matemática relacionando-a com problemas com referência na realidade) no ensino,
com objetivo de facilitar a aprendizagem. Você concorda que a modelagem facilita o
ensino de matemática? Justifique?
Como o Q1 foi uma atividade de modelagem matemática, pois colocamos
questões da realidade para serem resolvidas embasadas em conteúdos já vistos
nesse curso de Licenciatura em Matemática, por ser uma situação nova, almeja-se
saber qual a opinião dos alunos sobre essa metodologia no ensino.
Observemos a resposta dos alunos:
(A2) “Sim, pois como foi abordado nas questões anteriores, a utilização da
modelagem facilita a aprendizagem devido ao nexo com o dia-a-dia.”
(A4) “Com certeza. Pois ela faz com que o aluno desenvolva as atividades
criticamente.”
(A6) “Sim. Modelar conteúdos matemáticos significa dotar de significado tais
conteúdos e, por tanto, dotar de significado a aprendizagem.”
(A8) “Sim. Pois você irá interagir com o conteúdo podendo trazê-lo para o
seu dia-a-dia.”
(A9) “Sim, porque o aluno tem visão que a matemática é abstrata, concordo,
mas se tentarmos associá-la ao cotidiano seria mais fácil o aprendizado.”
(A11) “Sim. Porque com a modelagem as aulas tornam-se mais atrativas,
pois abordam situações cotidianas e dessa forma envolve mais os alunos
nas atividades.”
(A15) “Facilita sim. Com essas questões eu aprendi mais coisas,
compreendi a seqüência e seu limite.”
(A17) “Sim, pois essa metodologia torna a matemática mais atraente.”
Todos os alunos, aqui representados pelos escritos mais expressivos,
concordam que a modelagem matemática auxilia no ensino de matemática, tornando

47. 48
tal disciplina mais “atraente”, como afirmou A17. Por trabalhar com questões que
são, ou se aproximam da realidade das pessoas, a Modelagem teve grande
aceitação por parte dos alunos que responderam Q2, mesmo aqueles que não
justificaram sua opinião responderam sim.
Se quisermos pertencer a uma sociedade onde o conhecimento matemático
seja mais acessível é essencial a adoção de novas práticas educacionais que
propiciem essa acessibilidade. É como afirma (Freire ; Shor, 2000, p. 29): “sabemos
que não é a educação que modela a sociedade, mas, ao contrário, a sociedade que
modela a educação segundo os interesses de quem detém o poder.” D’Ambrosio
(2005, p.82) ainda diz que:
A adoção de uma postura educacional, na verdade a busca de um novo
paradigma de educação que substitua o já desgastado ensino-
aprendizagem, baseada numa relação obsoleta de causa-efeito, é essencial
para o desenvolvimento de criatividade desinibida e conducente a novas
formas de relação interculturais, proporcionando o espaço adequado para
preservar a diversidade e eliminar a desigualdade numa nova organização
da sociedade.
A Modelagem Matemática é uma alternativa de ensino que por fazer parte ou
se aproximar da realidade das pessoas pode facilitar a aprendizagem dos
estudantes. A Seqüência de Fibonacci por ser um caso onde os educandos podem
construir um modelo matemático partindo da proposta das questões, facilita a
aprendizagem dos conteúdos que tal série compreende, isso segundo os
pesquisados. Mas por ser um método pouco utilizado com os alunos de licenciatura
houve uma dificuldade de interpretação das questões e alguns erros, confirmado e
fundamentado pelos gráficos com as respostas dos alunos.
Questão 8: Com relação ao grau de complexidade como você classifica a
atividade proposta no QUESTIONÁRIO I? Marque uma única alternativa.
( )extremamente fácil ( )fácil ( )difícil ( )extremamente difícil
Todos os sujeitos da pesquisa classificaram o Questionário como difícil.
Através dos gráficos e respostas referentes às questões anteriores os alunos
parecem ter dificuldades na interpretação das questões, possivelmente falta de
atenção na resolução do Questionário e ainda apresentam problemas em relacionar

48. 49
os conteúdos com situações reais, impossibilitando a aplicação de seus
conhecimentos em situações adversas.
O que se pode supor quanto aos dados analisados é a pouca, ou nenhuma,
utilização de aplicações dos conteúdos estudados no curso de Licenciatura em
Matemática da UNEB, Campus VII nas disciplinas Matemática III e Cálculo III, o que
pode indicar uma insegurança por parte dos alunos ao resolver atividades desta
ordem.
Portanto, é eminente a necessidade da utilização de metodologias que
propiciem ao estudante universitário aproveitar seus conhecimentos em situações do
cotidiano, visto que a referida instituição de ensino superior oferece o curso de
Licenciatura em Matemática e que seus alunos, futuros professores de Matemática,
precisam saber onde e como aplicar o que foi aprendido em seu curso