Apostila Matemática e Raciocínio Lógico

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Apostila Matemática e Raciocínio Lógico

  1. 1. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Prezado(a) Aluno(a), Lembre-se dos motivos que o levam a estudar para o concurso. Faça um cronograma de estudos e avalie constantemente como está seu desempenho conforme você faz exercícios e questões de provas anteriores. Planeje o tempo de estudo e de descanso. Com organização, disciplina e força de vontade é possível conciliar estudo eficiente com lazer e trabalho. Procure resolver todas as questões da apostila. Em caso de dúvida, use o blog: (www.valclides.blogspot.com) ou e-mail: Conteúdo abordado nesta apostila: (valclidesguerra@gmail.com).1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.); Lembre-se de que é necessário2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números acompanhar todas as aulas, pois Racionais; números Irracionais e números Reais; cada uma pode abordar conteúdos3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau, Problemas do 1º Grau; diferentes.4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e Bem vindo ao Curso e sucesso em Composta;5. Porcentagem. sua caminhada! Valclides Guerra Professor Matemática Prof.: Valclides Guerra 1 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  2. 2. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA MATEM ÁTICA você pode resolvê-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexões entre os dados. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável.1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números  E claro, o conhecimento dos conteúdos Racionais; números Irracionais e números Reais. matemáticos – (execute a estratégia).3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau, Frequentemente esta é a etapa mais fácil do Problemas do 1º Grau; problema. Preste atenção às incógnitas e procure4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e perceber se será necessário fazer uso de alguma inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e Composta; fórmula.5. Porcentagem.  REVISE – examine a solução obtida e verifique o resultado e o argumento. RESUMINDO: Apresentação 1) Ler atentamente o problema;M atemática é uma das ciências mais aplicada em nosso cotidiano. Se prestarmos atenção notaremos que em simples atitudes utilizamosos nossos conhecimentos básicos de matemática, como:olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto, 2) 3) 4) Estabelecer qual a incógnita; Montar uma equação traduzindo os dados do problema; Resolver a equação; 5) Verificar se a raiz da equação é resposta dofazer relação de distâncias entre cidades etc. Por tudo problema;isso, caros estudantes, a Matemática exercita nossa 6) Dar a resposta do problema.mente, nos torna mais racionais. Começamos ter umavisão: do espaço, das pessoas, dos acontecimentos em Logo, percebemos que resolver problemas dependegeral, de forma mais ampliada. Portanto, caros de um grande esforço pessoalconcurseiros, o estudo da Matemática não é umaOBRIGAÇÃO, e sim uma NECESSIDADE. Simbologia Matemática mais usual DICA para resolver problemas Na Matemática, muitas informações são apresentadas em forma simbólica, o que faz necessário Prezados concurseiros, em concurso conhecermos alguma simbologia básica, vamos lá? público, as questões de Matemática são quase sempre constituídas por = (igual à) problemas. O que faz uma boa parte (diferente de) dos candidatos ter dificuldades para ou { } (conjunto vazio) entender o que, de fato, está sendo (pertence à) perguntado e o que temos para (não pertence à)podermos garantir a resposta correta e em um curto (está contido)espaço de tempo. E para resolvermos estes problemas (não está contido)devemos desenvolver: (contém) (não contém) Uma boa interpretação de texto – procure (existe pelo menos um) lembrar se você já resolveu uma questão correlata e (não existe) aplique o mesmo método. Primeiro, você tem de | (existe e é único) entender o problema: Qual é a incógnita? Quais são | (tal que / tais que) os dados? Quais são as condições? É possível (ou) satisfazer as condições? Elas são suficientes para (e) determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou A B (interseção dos conjuntos A e B) redundantes? Ou contraditórias? Faça uma figura. Outra se necessário, introduza notação adequada. A B (união dos conjuntos A e B) (para todo, qualquer que seja) Separe as condições em partes. (implica) (implica e a recíproca é equivalente) A linguagem Matemática – (construa uma (donde se conclui) estratégia para resolução do problema): perceba se 2 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  3. 3. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras Os números foram inventados pelos homens. Mas correspondentes à quantidade de milhares:sua criação não aconteceu de repente surgiu da __necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas lá IV = 4.000do primário?). O homem primitivo, por exemplo,contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda, _fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar V = 5.000quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós _____ XXIII = 23.000ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos commaior rapidez levou o homem a criar símbolos, pararepresentar quantidade. Na antiguidade, nem todos os Observação: Os romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero.povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecercomo alguns povos dessa época contavam. A NUMERAÇÃO DOS HINDUS A numeração dos romanos Foram os hindus que inventaram os símbolos que usamos até hoje: Os romanos representavam quantidades usando aspróprias letras de seu alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. I- valia uma unidade V- valia cinco unidades Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são X- representava dez unidades conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles L- indicava cinqüenta unidades escrevemos todos os números. Mais adiante vamos falar C- valia cem unidades sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe, D- representava quinhentas unidades por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem M- indicava mil unidades diferentes. As quantidades eram representadas colocando se ossímbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinteregra: NÚMEROS NATURAIS Os símbolos iguais juntos, até três, significava soma de valores: Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.) III = 1 + 1 + 1 = 3 empregamos os números: XXX = 10 + 10 + 10 = 30 CCC = 100 + 100 + 100 = 300 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,... Dois símbolos diferentes juntos, com o número Esses números são chamados de números naturais. menor aparecendo antes do maior, significava Existem infinitos números naturais os números que subtração de valores: aparecem juntos, como na seqüência acima são chamados números consecutivos. IV = 5 - 1 = 4 XL = 50 - 10 = 40 Exemplo: 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem XC = 100 - 10 = 90 depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13. Dois símbolos diferentes juntos, com o maior Lembrem-se concurseiros, conjunto dos números aparecendo antes do menor, significa soma de naturais é baseado na existência do ZERO e na valores: propriedade que todo número tem sucessor e antecessor. Apenas o Zero não tem antecessor. LX = 50 + 10 = 60 CCXXX = 200 + 30 = 230 Observações: DC = 500 + 100 = 600 MMMD = 3.000 + 500 = 3.500 1) Todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois). 3 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  4. 4. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA2) Todo número natural tem um antecessor (é o que  De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes vem antes), com exceção do zero. como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1 a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.3) Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.  De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes PAR OU IMPAR como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo aparece 3000 vezes.Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou – 18.  De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10nOs números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16... vezes como unidade, 10n – 1 vezes como dezena eUm número é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9. 10n – 1 vezes como centena.Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15... Conjuntos Numéricos 01) A diferença entre o menor número de três algarismo e o maior número de dois algarismos é: a) 5CONJUNT O DOS NÚMEROS NAT URAIS b) 3 c) 1 Como decorrência da necessidade de contar objetos d) 2surgiram os números naturais que é simbolizado pela e) 4letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:N = {0; 1; 2; 3; …}. Um subconjunto de N muito usado é 02) Quantos números da sucessão de números inteiroso conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, existem de 12 a 98N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que a) 87é representado por N*. b) 86 c) 88Observações: d) 85 e) 1101) Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação, apenas estas são garantidas nas GABARITO: 01) C 02) A operações dentro do conjunto N; CONJUNT O DOS NÚMEROS I NT EIROS2) Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;3) Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Em N a Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros. subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não Chama-se o conjunto dos números inteiros, existe em N. representado pela letra Z, o seguinte conjunto: DICCA para o aluno Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}  Caso você escreva do número a até o número b, No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos você escreverá ao todo (b – a + 1) números. notáveis que possuem notação própria para representá- los: Exemplo: de 23 a 58 = 58 – 23 + 1 = 36. a) Conjunto dos inteiros não negativos:  Caso você escreva os números existentes entre a e b, você escreverá ao todo (b – a – 1) números. Z+ = {0; 1; 2; 3; …} Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 – 23 – 1 = 34. 4 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  5. 5. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAb) Conjunto dos inteiros não positivos: A ordem dos inteiros: Z- = {…; -3; -2; -1; 0} Há uma classe de inteiros, chamada classe dos inteiros positivos (ou classe dos números naturais), quec) Conjunto dos inteiros não nulos: goza das seguintes propriedades: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}  A soma de dois inteiros positivos é um inteiro positivo;d) Conjunto dos inteiros positivos:  O produto de dois inteiros positivos é um inteiro positivo; Z+* = {1; 2; 3; …}  Para cada inteiro A, uma e somente uma dase) Conjunto dos inteiros negativos: seguintes alternativas é verdadeira, ou A = 0, ou A é negativo, ou A é positivo (lei da tricotomia). Z-* = {…; -3; -2; -1} Definimos as relações ≥, ≤, <, > por:Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjuntode Z. A > B (A é maior do que B) se e só se A - B é positivo A < B (A é menor do que B) se e só se B > AObservações: A ≥ B (A é maior ou igual a B) se e só se A > B ou A = B1) No conjunto Z, além das operações e suas A ≤ B (A é menor ou igual a B) se e só se A < B ou A = propriedades mencionadas para N, vale a B propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto É claro que A é positivo se e só se A > 0. é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0; Multiplicação de Números Inteiros2) Devido a este fato podemos definir a operação de O conjunto dos números inteiros subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b surgiu da necessidade de o homem pertencente a Z; manipular valores negativos, relacionados a assuntos comerciais3) Note que a noção de inverso não existe em Z. Em e financeiros. Nesse conjunto, cada outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente número inteiro positivo possui sua representação de 1 e de -1, 1/q não existe em Z; negativa. Na multiplicação de números inteiros, devemos seguir algumas condições de acordo com o sinal dos4) Por esta razão não podemos definir divisão no números. Nessas operações o jogo de sinal é usado de conjunto dos números inteiros; forma sistemática, de acordo com o seguinte quadro de sinais:5) Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é (+).(+)= + divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se (+).(–)= – existe um inteiro c tal que b = ca; (–).(+)= – (–).(–)= +6) Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos Os dois números possuem o mesmo sinal. um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e Número positivo multiplicado por número positivo à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento; (+ 3) . (+ 7) = + 21 (+ 5) . (+ 9) = +457) Cada ponto da reta orientada é denominado de (+ 21) . (+ 10) = + 210 abscissa; (+ 4) . (+ 9) = +368) Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou (+ 8) . (+ 10) = +80 valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0, (+ 22) . (+ 5 ) = +110 para todo x pertencente a Z. Como decorrência da Número negativo multiplicado por número negativo definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número inteiro. (– 9) . (– 5) = + 45 5 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  6. 6. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA(–12) . (– 4) = + 48 DIVISIBILIDADE POR 2:(– 3) . (– 7) = +21(– 8) . (– 9) = +72(– 10) . (– 7) = +70 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja,(–12) . (–5) = +60 termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Os dois números possuem sinais diferentes. DIVISIBILIDADE POR 3:Número positivo multiplicado por negativo e vice-versa: Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.(+ 7) . (– 9) = – 63(– 4) . (+ 7) = – 28 DIVISIBILIDADE POR 4:(– 6) . (+ 7) = – 42(+ 8) . (– 6) = – 48 Um número é divisível por 4 se o número formado(+ 6) . (– 5) = –30 pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4(–120) . (+ 3) = – 360 ou terminar em 00.Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro damultiplicação é o número 1 (um). Veja: DIVISIBILIDADE POR 5: Um número é divisível por 5 se o seu último(+ 1 ) . ( + 96) = + 96 algarismo é 0 (zero) ou 5.(–1) . (–98) = + 98(– 14) . (+ 1) = – 14 DIVISIBILIDADE POR 6:(–1) . (+ 9) = – 9(+ 2) . (+ 1) = +2(–32) . (–1) = +32 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.Podemos verificar que na multiplicação de númerosinteiros ao multiplicamos números com sinais iguais, DIVISIBILIDADE POR 7:temos que o resultado é um número positivo, e quandomultiplicamos números com sinais diferentes, o resultado Um número é divisível por 7 se o dobro do últimoé um número negativo. algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se oMÓDULO: número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro A, A DIVISIBILIDADE POR 8:representado por , pondo: Um número é divisível por 8 se o número formado A, se A 0 pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8 A A, se A 0 ou terminar em 000.DIVISIBILIDADE: DIVISIBILIDADE POR 9: Um inteiro A é divisível por um inteiro B se e só Um número é divisível por 9 se a soma dos seusexiste um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso, algarismos é um número divisível por 9.dizemos que A é múltiplo de B, ou que B divide A, eescrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que DIVISIBILIDADE POR 10:são divisíveis por 2 e de ímpares os que não sãodivisíveis por 2. Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).EX.: 2n , com n inteiro (par) 2n 1 , com n inteiro (ímpar) DIVISIBILIDADE POR 11:CRIT ÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos 6 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  7. 7. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA algarismos de ordem ímpar Si é um número 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é divisível por 11 ou igual a zero. um número primo.DIVISIBILIDADE POR 12: Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas Um número é divisível por 12 quando é divisível um divisor que é ele mesmo. por três e quatro ao mesmo tempo. => 2 é o único número primo que é par.DIVISIBILIDADE POR 13: Reconhecimento de um número primo: Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 Para saber se um número é primo, dividimos esse vezes) do último algarismo, somado ao número sem número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até o último algarismo, resultar um número divisível que tenhamos: por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a => ou uma divisão com resto zero e neste caso o divisão por 13. Este critério é semelhante àquele número não é primo, dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que => ou uma divisão com quociente menor que o divisor no presente caso utilizamos a soma ao invés de e o resto diferente de zero. Neste caso o número é subtração. primo. Exemplos:DIVISIBILIDADE POR 15: 1) O número 161: Um número é divisível por 15 quando é divisível Não é par, portanto não é divisível por 2; por três e cinco ao mesmo tempo. 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; Não termina em ―00‖, nem os dois últimosDIVISIBILIDADE POR 16: algarismos pode ser dividido por 4, logo não é divisível por 4; Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por Não termina em 0 nem em 5, portanto não é 16 ou terminar em 0000. divisível por 5; Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 éNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS: divisível por 7, e portanto não é um número primo.Número Primo: um número inteiro p > 1 é primo se só é 2) O número 113:divisível por 1 e por ele próprio. A divisão por um Não é par, portanto não é divisível por 2;número não resulta em um número natural (ou inteiro). 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;Para saber se um número grande é primo, basta dividi-lo Não termina em ―00‖, nem os dois últimossucessivamente pelos números primos até que oquociente seja menor ou igual ao seu divisor. algarismos pode ser dividido por 4, logo não é divisível por 4;Os primeiros números primos são: Não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.Exemplos: Decomposição em fatores primos1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um Todo número natural, maior que 1, pode ser número primo. decomposto num produto de dois ou mais fatores.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. Decomposição do número 24 num produto: 7 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  8. 8. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA 24 = 4 x 6 Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 24 = 2 x 2 x 6 630 = 2 x 32 x 5 x 7. 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 Vejamos a decomposição dos números 28 e 200:Número Composto: é todo número que possui mais dedois divisores.Todo o número natural (diferente de 1) 28 2 200 2escreve-se de forma única como um produto de números 14 2 100 2primos. Este Teorema é conhecido por Teorema 7 7 50 2Fundamental da Aritmética. 1 28 = 22 x 7 25 5 5 5Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 é um 5 1 200 = 23 x 52número composto. A DIVISÃO DE INT EIRO S: Dois números naturais a e b são primos entre si, se mdc(a, b)=1. O resultado da divisão de dois números inteiros, dividendo e divisor, nem sempre é um número inteiro. Quaisquer dois números primos são primos entre si, Ao maior número inteiro menor do que a divisão chama- mas o recíproco não é verdadeiro. se quociente é a diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for oNÚMEROS PRIMOS ENT RE SI: dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se que: Dizemos que A e B são primos entre si se e só se D = q × d + r, com 0 ≤ r < dMDC[A, B] = 1. Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultadoTEOREM A FUNDAM ENTAL DA ARITM ÉTICA: 4,428... , e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto é igual a 31 − 7 × 4 = 3. fácil obter MDC e MMC de números dados, seÉ conhecermos suas decomposições em fatores primos. É fácil perceber que os fatores do MDC sãoos fatores dos números tomados sempre com o menor Dizemos então que na divisão de D por d o quociente é q e o resto é r, D é chamado de dividendo e d de divisor.dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes. DIVISORES DE UM NÚM ERO NATURALTodo número A maior que um, ou é primo ou podeser representado como um produto de fatores primos.FAT ORAÇÃOÉ a decomposição de um número em um produto defatores primos. Existe um dispositivo prático para fatorar umnúmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)esse dispositivo:1º) dividimos o número pelo seu menor divisor primo; Um inteiro positivo d é o MDC dos inteiros A e B2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor (usaremos a notação d = MDC[A, B]) se e só se possui divisor primo desse quociente e assim as seguintes propriedades: sucessivamente até obter o quociente 1. a) d|a e d|b (d é um divisor comum de A e B)A figura a baixo mostra a fatoração do número 630. b) Se C|A e C|B, então C|d (isto é todo divisor comum de A e B também divide d) Teorema: Se A e B são inteiros não nulos simultaneamente, então MDC[A, B] existe e é único. OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0. Propriedades do MDC: 8 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  9. 9. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA• MDC(a, b) = MDC(b, a). multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores• MDC(a, b) = MDC(−a, b). pares sem acrescentar a unidade.• MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|).• MDC(a, 0) = |a|.  Fatora-se o número• MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.  Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímparO ALGORITMO DE EUCLI DES:  Multiplicamos o resultado obtido, também pelos O processo que usamos para determinar o MDC de expoentes de fator pardois inteiros, não nulos simultaneamente é o algoritmo deEuclides.a) Dados A e B, dividimos A por Bb) Depois dividimos B pelo resto desta divisão R1 01) O número de divisores de 120 é:c) Depois dividimos R1 pelo resto desta última divisão a) 12 R2 e assim sucessivamente. b) 14d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC c) 16 procurado será o último divisor, isto é: d) 20 e) 25 q q2 q3 ... qn qn+1 02) Determinar o número N, sabendo-se que ele admite 8 A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B] divisores e que é da forma: N = 2.3x. a) 10 R1 R2 R3 R4 ... 0 b) 15 c) 32 d) 54 DICA para o aluno e) 24 03) Calcular o valor de m na expressão 2m + 1.3.5, Cálculo do número de divisores: sabendo-se que este produto indicado resulta da decomposição de um número que possui 16É o produto de todos os expoentes acrescido de divisores.uma unidade. a) 2 b) 4 Fatora-se o número c) 6 d) 8 Somamos uma unidade a cada expoente e) 10 Multiplicamos o resultado obtido. 04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, para que o número N tenha 20 divisores. a) 648 Cálculo do número de divisores ímpares: b) 448 c) 243 d) 824É o produto dos expoentes de fatores ímpares e) 100acrescido de uma unidade. Fatora-se o número Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar Multiplicamos o resultado obtido GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A Cálculo do número de divisores pares:É o produto dos expoentes de fatores ímparesacrescidos de uma unidade cada um, 9 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  10. 10. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAMÍNIMO MÚLTIPLO COM UM (MMC) MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais Dividindo-se os números por 3, o MMC ficaránúmeros é o menor de seus múltiplos comuns, diferente dividido por 3.de zero. Importante: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....} MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....} M(3) ∩ M(4) = {0, 12, 24, 36, ... } CONJUNTO DOS NÚM EROS RACIONAIS MMC (3, 4) = 12PROCESSOS PARA O CÁL UCULO DO MMC1º Processo: Decomposição de fatores primos em separadoa) Decompõem-se os números em fatores primos;b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados ao maior de seus expoentes; Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e2º Processo: Decomposição de fatores primos em Racionais. conjunto.a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo os O conjunto dos números racionais, simbolizado números pelos fatores comuns e não comuns. pela letra Q, é o conjunto dos números que podem serb) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros não comuns. quaisquer e q diferente de zero:CONSEQUÊNCIAS DO MMC1ª) O MMC entre dois números primos entre si é igual ao produto entre eles. MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300 MMC (4, 9) = 4 . 9 = 362ª) O MMC entre dois ou mais números, em que o maior é múltiplo dos menores, é o maior número. MMC (40, 120) = 120 MMC (50, 150, 300) = 3003ª) Os múltiplos comuns de dois ou mais números são os múltiplos do MMC entre esses números. Como todo número inteiro pode ser escrito na M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....} forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....} também para os conjuntos dos números racionais as MMC (3, 4) = 12 notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), M(3) ∩ M(4) = M(12) Q + (conjunto dos números racionais não negativos) e Q - (conjunto dos números racionais não positivos).4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um mesmo número, o MMC entre eles Observações: ficará multiplicado ou dividido, respectivamente, por esse mesmo número. a) São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros; MMC (12, 18) = 36 b) Além disso, é válida a propriedade simétrico ou Multiplicando-se os números por 4, o MMC ficará inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b multiplicado por 4. pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em Q tal que (a/b).(b/a) = 1; 10 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  11. 11. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAc) Decorre da propriedade acima que é possível definir Exemplos: a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COMDENOM INADORES IGUAIS Conserva-se o denominador, adicionando ousubtraindo os numeradores. Como vemos nos exemplos acima, para transformar um número misto na fração imprópria correspondente 3 5 7 3 5 7 1 multiplica-se o número da frente pelo denominador e o 20 20 20 20 20 resultado soma-se ao numerador, formando o numerador da fração. Para transformar uma fração imprópria em um número misto, faça a divisão inteira do numerador peloADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM denominador. O quociente será o primeiro número, oDENOM INADORES DIFERENTES resto será o novo numerador e denominador permanece. Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 dá 1 e sobra 2. Assim Substituem-se as frações dadas por outras, temos que 5/3 =1 e 5/3 Os números mistos são práticosequivalentes, cujo denominador será o MMC dos quando se deseja marcar a fração na reta numerada. Paradenominadores dados: fazê-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois acrescenta-se a parte fracionária, assim, para localizar na 1 3 1 2 9 6 5 reta a fração através do seu número misto 1 , vai-se até mmc(6,4,2) 12 6 4 2 12 12 o 1 e acrescenta-se o .M ULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se:1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador.2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.2 3 1 2 3 1 6 simplificando por 6 1 Dízimas periódicas5 4 6 5 4 6 120 20 Todo número racional p/q pode ser escrito como umDIVISÃO ENVOLVENDO F RAÇÕES número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…). Veremos como Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos transformar dízima em fração!!!números envolvidos é uma fração devemos multiplicar oprimeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo Como dito, há frações que não possuem representações(divisor). decimal exata. Por exemplo:2 4 2 7 14 7 simplificando por 23 7 3 4 12 6NÚMEROS MISTOS Número misto é um número racional escrito naforma da soma de sua parte inteira com a sua parte Aos numerais decimais em que há repetição periódica efracionária (esta é sempre uma fração própria). Os infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome denúmeros mistos também se podem escrever como frações numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.impróprias. 11 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  12. 12. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRANuma dízima periódica, o algarismo ou algarismos que Exemplos:se repetem infinitamente, constituem o período dessadízima.As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simplese dízimas periódicas compostas. Exemplos: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , ondeSão dízimas periódicas simples, uma vez que o períodoapresenta-se logo após a vírgula. n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos:São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre operíodo e a vírgula existe uma parte não periódica.Observações:Consideramos parte não periódica de uma dízima otermo situado entre vírgulas e o período. Excluímos DICA para o alunoportanto da parte não periódica o inteiro.  Não faça contas com dízimas periódicas. SubstituaPodemos representar uma dízima periódica das seguintes todas elas por frações geratrizes antes de fazermaneiras: qualquer cálculo. NÚM EROS IRRACIO NAIS Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional)que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos É um numero irracional. π = 3,141592 ...esta fração de geratriz da dízima periódica.Procedimentos para determinação da geratriz de uma O número irracional é aquele que não admite adízima: representação em forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número infinito e não periódico. Dízima simples Exemplo: A geratriz de uma dízima simples é uma fração quetem para numerador o período e para denominador tantos • 0,232355525447... é infinito e não é dízimanoves quantos forem os algarismos do período. periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional. 12 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  13. 13. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA• 2,102030569... não admite representação existem vários números reais tais como: 1,01; 1,001; fracionária, pois não é dízima periódica. 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa• Se calcularmos em uma calculadora veremos que um intervalo de tais números onde, se inclui os extremos, √2, √3, π são valores que representam números considera-se fechado e se não inclui, considera-se aberto. irracionais. Os intervalos podem ser classificados em abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerdaA representação do conjunto dos irracionais é feita pela ou à direita).letra I maiúscula. Notação em símbolos de um intervaloCONJUNTO DOS NÚM EROS REAIS Habitualmente se utilizam os colchetes – ―[" e "]‖ – O conjunto dos números reais, representado por IR, para indicar que um dos extremos do intervalo é parteé a união entre os conjuntos dos números racionais, Q, e deste intervalo e os parênteses – ―(‖ e ―)‖ – ou, também,dos irracionais. Portanto, os números naturais, inteiros, os colchetes invertidos – ―]‖ e ―[" para indicar oracionais e irracionais são todos, números reais. contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa oR* conjunto dos números reais não nulos. conjunto dos x R, tal que a < x ≤ b. Note que a não fazR+ conjunto dos números reais positivos e o zero. parte do intervalo.R*+ conjunto dos números reais positivos.R - conjunto dos números reais negativos e o zero.R*- conjunto dos números reais negativos menos o Representação de um intervalo na reta realzero. Um intervalo é representado na reta real utilizando- se de uma pequena ―bolinha vazia‖ para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma ―bolinha cheia‖ para indicar que o ponto extremo pertence. Tipos de Intervalos Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a: [a,b] = {x R | a ≤ x ≤ b} b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a: [a,b[ = [a,b) = {x R | a ≤ x < b} c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a: (a,b] = ]a,b] = {x R | a < x ≤ b}INTERVALO REAL d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a: Ainda, caros estudantes, para complementar oassunto sobre Conjuntos Numéricos veremos a parte de ]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.Perceba que entre dois números inteiros existem infinitos e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2 13 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  14. 14. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA ]-∞,b[ = (-∞,b) = {x R | x < b} Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A Uf) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito: B e A ∩ B. ]-∞,b] = (-∞,b] = {x R | x ≤ b} Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos emg) Intervalo fechado à esquerda de comprimento uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, infinito: traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de [a,+∞) = [a,+∞[ = {x R | a ≤ x} união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aosh) Intervalo aberto à esquerda de comprimento dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ infinito: B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B: ]a,+∞[ = (a,+∞) = {x R | x > a} A ∩ B = {x R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x R | -1 ≤ x}i) Intervalo aberto de comprimento infinito: ]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = Rj) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado,então a = b e esse intervalo corresponde ao conjuntounitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.Vejamos mais exemplos: EX PR ESS ÕES NUM ÉR IC AS As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração. Como uma expressão numérica é formada por mais de uma operação, devemos saber que resolvemos primeiramente as potências e as raízes (na ordem que aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na ordem) e por último, adição e subtração (na ordem). É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas, eles possuem o objetivo de organizar as expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência para algumas operações. Quando aparecerem em uma expressão numérica devemos eliminá-los, essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves. Exemplo 1: União e Intersecção de Intervalos – 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] Como intervalos são conjuntos é natural que as =operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se elimine parênteses.de um procedimento muito comum na resolução de – 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] =alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de continue eliminando os parênteses.realizar essas operações é através da representação – 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] =gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo resolva as potências dentro do colchetes.prático de como efetuar tais operações. – 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] = 14 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  15. 15. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAresolva as operações de multiplicação e divisão noscolchetes. QUEST ÕES– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] =– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. 01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão. MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A 31 + 6 = 37 efetue a adição. primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,O valor numérico da expressão é 37. em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se as duas torneiras durante 5 horas, enche-se umaLembrem-se, em expressões numéricas com sinais parte do tanque. Podemos afirmar que a segundaassociativos de: torneira encherá o restante do tanque em A) 14 horas.1º) Parênteses ( ) B) 10 horas.2º) Colchetes [ ] C) 7 horas.3º) Chaves { } D) 8,5 horas. E) 8 horas.efetuam-se, primeiro as operações dentro deles, na ordemmostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade 02) (UPENET) O Quíntuplo de um número, divididodas operações. por este número aumentado de duas unidades, dá quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este número?Exemplo 2: A) 4 B) 636 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = C) 8= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = D) 10= 36 + 2.{25 + [18 – 9]} = E) 12= 36 + 2.{25 + 9} == 36 +2.34 = 03) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A= 36 + 68 = 104 caixa d’água de um edifício foi revitalizada, e o engenheiro solicitou ao síndico que trocasse asExemplo 3: bombas, pois as atuais estão obsoletas. As bombas compradas pelo síndico enchem o reservatório[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = muito mais rápido e com baixo consumo de= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = água sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8= [1.3 + 12] : 5 = horas. Um porteiro por displicência liga as duas= [3 + 12 ] : 5 = simultaneamente para encher essa caixa de água.= 15 : 5 = 3 Estando a caixa d’água vazia, assinale o tempo, em minutos, gasto para que as duas encham oExemplo 4: reservatório. A) 167 minutos. B) 163 minutos. C) 150 minutos. D) 156 minutos. E) 160 minutos. 04) (UPENET) Num salão de cabeleireiro, 2/4 das mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes, morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 é igual a A) 60 B) 50 C) 6 15 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  16. 16. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAD) 5 certeza de que o projeto em pauta na reunião seráE) 4 votado, é necessário que a informação do número de pessoas presentes seja, no mínimo, de:06) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A) 15 pessoas. Rebeca faz um desafio a Letícia: “Qual a terça B) 3 pessoas. parte de 312 + 310?”. Assinale a alternativa que C) 20 pessoas. corresponde à resposta CORRETA de Letícia. D) 35 pessoas.A) 11 x 311 E) 36 pessoas.B) 12 x 312C) 10 x 39 12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez comprasD) 6 x 35 em 5 lojas do Shopping Center. Em cada umaE) 8 x 37 gastou a metade do que possuía e pagou, na saída, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Após as despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte07) A expressão é igual a: reais). Quanto Eduarda possuía antes de fazer asA) 0 compras?B) 9 A) R$ 820,00C) –3 B) R$ 1 102,00D) 3 C) R$ 502,00 D) R$ 704,0008) Calculando-se os ¾ dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtém- E) R$ 602,00 se:A) 95 13) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE RECIFE)B) 87 Numa escola, os alunos da 8ª série vão realizar umaC) 84 observação num poço com o caminhar de lesmas.D) 21 Observou-se que, em média, uma lesma sobe doisE) 16,8 metros por dia, pára um pouquinho e cai um metro. Supondo que o poço tenha sete metros de09) Qual o valor de a + b, se a/b é a fração irredutível profundidade e que uma lesma esteja no fundo deste poço, para chegar no topo deste poço, essa lesma levará equivalente a ? A) 4 dias.A) 42/9 B) 5 dias.B) 21/9 C) 6 dias.C) 21 D) 7 dias.D) 42 E) 8 dias.10) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos e Pedro são 14) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE alunos muito aplicados em matemática. Certo dia, SURUBIM) A calculadora de Juliana é bem Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o seguinte questão: Determine o algarismo das número escrito no visor e a tecla T, que apaga o unidades do número (8325474)642. Pedro resolveu o algarismo das unidades do número escrito no visor. problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor resultado a que Pedro chegou? e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,A) 4 teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. SeB) 2 apertamos D, depois T, em seguida D, depois T,C) 5 teremos o númeroD) 6 A) 96E) 1 B) 98 C) 12311) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma D) 79 Universidade é composto por 43 membros com E) 99 direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15 diretores de Centros, 8 representantes dos 15) (UPENET 2009 – PMPE) Uma livraria pretende professores. Para que haja votação de um projeto na fazer seu balanço anual. Pedro e João são os reunião, é necessário que esteja presente, pelo contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem menos, um membro de cada uma das três juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias, representações. Se a única informação que o Reitor porém, se João trabalhar sozinho, realizará o da Universidade tem, durante cada reunião do serviço em 18 dias. Em quantos dias, Pedro, Conselho, é o número de pessoas presentes, para ter trabalhando sozinho, concluirá o balanço? 16 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  17. 17. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAA) 15 E) múltiplo de 3.B) 13C) 9 Texto para as questões 20 e 21D) 8E) 20 O Programa Nacional do Livro Didático e o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino16) (UPENET 2009 – PMPE) Um número é composto Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do Nacional de Desenvolvimento da Educação. algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do A operação consiste na entrega, todos os anos, de número formado, permutando-se o algarismo das 100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de unidades com o das dezenas, o resto dessa ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume subtração é um número terminado em 6. É equivalente à metade de toda a produção gráfica do CORRETO afirmar que o produto dos algarismos Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas das dezenas com o das unidades do número é viagens de carretas das editoras para os centros deA) 40 tratamento da empresa instalados em pontos estratégicosB) 30 do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e,C) 45 depois, entregues nas escolas.D) 21 Internet: <www.correios.com.br> (com adaptações).E) 12 QUESTÃO 22 20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e17) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos disse a Renato 13% dos livros didáticos sejam 7/40 distribuídos, que era capaz de acertar um número que ele respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte, pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato então a quantidade, em milhões, de livros didáticos achou graça e disse: pensei em um número. Então, destinada a essas duas regiões pelos programas Carlos disse: some ao número pensado o número 5, mencionados no texto é multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto. A) superior a 15 e inferior a 25. Informe o resultado das operações, e Renato B) superior a 25 e inferior a 35. afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o C) superior a 35 e inferior a 45. número que Renato havia pensado. O produto dos D) superior a 45. algarismos do número que Renato pensou é igual a E) inferior a 15.A) 12B) 15 21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3C) 10 carretas façam, repetidamente, viagem de ida eD) 48 volta entre determinada editora e um centro deE) 50 tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de18) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Uma ida e volta, elas retomem imediatamente esse Padaria promove as seguintes ofertas relativas a percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem manteigas da mesma marca: simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após A) 45 dias. B) 60 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 30 dias. Assinale a alternativa CORRETA.A) A oferta I é a melhor. 22) (FCC - 2010 - TRT - 12ª Região (SC) - TécnicoB) A oferta II é a melhor. Judiciário - Área Administrativa)C) A oferta III é a melhor. Sistematicamente, dois funcionários de umaD) As ofertas I e III são iguais. empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias,E) As ofertas II e III são iguais. e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 201019) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável soma de três números naturais consecutivos é coincidência de horários das suas horas-extras sempre um número ocorrerá emA) par. a) 9 de dezembro de 2010.B) ímpar. b) 15 de dezembro de 2010.C) primo. c) 14 de janeiro de 2011.D) quadrado perfeito. d) 12 de fevereiro de 2011. 17 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  18. 18. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAe) 12 de março 2011. b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria d) 2 horas do dia 13/10/2000. Pública) Duas polias conectadas por uma correia e) 6 horas do dia 13/10/2000. têm comprimentos de 12 cm e 22 cm. 27) Num reservatório há duas torneiras, a primeira enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porém há um sifão que o esvazia em 12 horas. Funcionando as torneiras e o sifão simultaneamente em quanto tempo o reservatório se encherá? a) 3h b) 2h24min c) 5h d) 1h30min O menor número de voltas completas que a polia e) 2h30min menor deve dar para que a polia maior dê um número inteiro de voltas é 28) (TRT 24ª REGIÃO 2011 - FCC) Todos os 72a) 7 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regionalb) 8 do Trabalho de Mato Grosso do Sul deverão serc) 9 divididos em grupos, a fim de se submeterem ad) 10 exames médicos de rotina. Sabe-se que:e) 11 − o número de funcionários do sexo feminino é igual a 80% do número dos do sexo masculino;24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) − cada grupo deverá ser composto por pessoas de um Um agente administrativo foi incumbido de tirar mesmo sexo; cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só − todos os grupos deverão ter o mesmo número de dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte funcionários; defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24, − o total de grupos deve ser o menor possível; 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha − a equipe médica responsável pelos exames atenderá falha. Considerando que em todas as páginas do a um único grupo por dia. texto aparecem destaques na cor vermelha, então, ao tirar uma única cópia do texto, o número de Nessas condições, é correto afirmar que: páginas que serão impressas sem essa falha éa) 226 A) no total, serão formados 10 grupos.b) 225 B) cada grupo formado será composto de 6c) 224 funcionários.d) 223 C) serão necessários 9 dias para atender a todos ose) 222 grupos. D) para atender aos grupos de funcionários do sexo25) (FCC - 2004 - TRT - 22ª Região (PI) - Técnico feminino serão usados 5 dias. Judiciário) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a E) para atender aos grupos de funcionários do sexo um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e masculino serão usados 6 dias. Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável 29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em e comprimento 200cm, um construtor pretendea) 9 de dezembro de 2004. colocar peças de mármore quadradas do mesmob) 10 de dezembro de 2004. tamanho. A menor quantidade dessas peças que elec) 8 de janeiro de 2005. pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortard) 9 de janeiro de 2005. nenhuma peça é:e) 10 de janeiro de 2005. A) 420 B) 50026) (FCC - 2002 - TRE-PI - Técnico Judiciário - C) 525 Área Administrativa) Um médico receitou dois D) 575 remédios a um paciente: um para ser tomado a cada E) 600 12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas do dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os 30) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente MDC e o MMC entre A e B valem, às respectivamente:a) 17 horas do dia 11/10/2000. A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52 B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5 18 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  19. 19. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAC) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 Adicionando um mesmo número a ambos osD) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5 membros de uma equação, ou subtraindo um mesmoE) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52 número de ambos os membros, a igualdade se mantém.31) Dados n = 22. 3a. 52. 73 e m = 23. 35. 52. 7b. 11, os Dividindo ou multiplicando ambos os membros de valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são: uma equação por um mesmo número não-nulo, aA) a = 2 e b = 3. igualdade se mantém.B) a = 3 e b = 1.C) a = 0 e b = 2. Exemplo:D) a = 3 e b = 2.E) a = 2 e b = 2.32) Se p e q são números naturais distintos e primos, então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a:A) p + qB) pqC) pq + 1D) 2E) nda Vejamos alguns exemplos:33) O máximo divisor comum dos números 36, 48, 72, Seja a equação: é:A) 36B) 48C) 72D) 144E) 12 Seja a equação:34) Considerando os números 68 e 36, responda V para verdadeiro e F para falso:A) que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68.B) que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68.C) que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68.D) que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e E.E) que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. Seja a equação:F) que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68. GABARITO:1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C Membros de uma equação29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro da equação.EQ UAÇ ÕE S DO 1 º G R AU Exemplo: - 3x + 12 = 2x - 9 As equações do primeiro grau são aquelas que 1º membro 2º membropodem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em quea e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a Cada uma das parcelas que compõem um membro devariável. A resolução desse tipo de equação é uma equação é chamada termo da equação.fundamentada nas propriedades da igualdade descritas aseguir. 4x – 9 = 1 – 2x Termos: 19 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  20. 20. M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAVariável (ou incógnita) de uma equação: Os elementos membro está multiplicando o x então ele passarádesconhecidos de uma equação são chamados de dividindo no segundo membro.variáveis ou incógnitas. SIST EMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAUExemplos: COM DUAS VARI ÁVEISA equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x Um sistema de equações com duas variáveis, x e y,A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y é um conjunto de equações do tipoA equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c Cada um dos valores que, colocados no lugar da ax + by = c (a, b, c R)incógnita, transforma a equação em uma sentençaverdadeira é chamado de raiz da equação. Para ou de equações redutíveis a esta forma.verificarmos se um dado número é ou não raiz de umaequação, basta substituirmos a incógnita por esse número Exemplo:e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6 Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y satisfazem a todas as equações do sistema ao mesmo tempo. Exemplo: No sistema indicado no exemplo anterior, o único2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6 par ordenado capaz de satisfazer às duas equações simultaneamente é: (x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1 Resolução algébrica Dentre os vários métodos de resolução algébricaO princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem aplicáveis aos sistemas do 1° grau, destacamos dois:para facilitar o entendimento da solução de uma equação,mas para resolvê-la existe um método simples e prático • método da adiçãoque é o seguinte: • método da substituiçãoResolver a equação 5x – 8 = 12 + x Para exemplificá-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois métodos:Colocamos no primeiro membro os termos queapresentam variável, e no segundo membro os termosque não apresentam variável. Os termos que mudam demembro têm os sinais trocados.5x – 8 = 12 + x A) Método da Adição5x – x = 12 + 8 1° passo: Multiplicamos as equações por númerosCalculamos a somas algébricas de cada termo: 4.x = 20 escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em uma das variáveis. No caso, poderemos multiplicar aQuando se passa de um membro para o outro se usa a equação (I) por -2:operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passadividindo e o que está dividindo passa multiplicando. Oque está adicionando passa subtraindo e o que estásubtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro 20 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM

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