O documento apresenta as relações métricas válidas em triângulos retângulos, como: a medida de cada cateto é a média proporcional entre a hipotenusa e sua projeção; a altura relativa à hipotenusa é a média proporcional entre as projeções dos catetos; e o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura. Também apresenta o Teorema de Pitágoras para calcular o valor da hipotenusa. Exemplos ilustram o uso dessas relações.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA INFORMÁTICA EDUCATIVA II PROF: CARLOS FRANÇA ALUNO: TIBURCINDIO NUNES FERREIRA DUQUE ESTRADA POLO: SAQUAREMA

2. A B C H a b c h n m Teorema A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo determina dois outros triângulos retângulos, ambos semelhantes ao primeiro. Hipótese Tese Considere o triângulo retângulo ABC

3. Demonstração A B C a b c B H A △ ABC ∼ △ HBA ( caso A.A. ), pois B C A b c a H A C h b n h m △ ABC ∼ △ HBA ( caso A.A. ), pois Pela propriedade transitiva da semelhança de triângulos temos: △ HBA ∼ △ HCA

4. Relações Métricas A semelhança entre esses triângulos permite estabelecer importantes relações métricas no triângulo retângulo. 1ª relação Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos: Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos: Podemos então, dizer: Num triângulo retângulo a medida de cada cateto é a média proporcional positiva entre as medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

5. 2ª relação Da semelhança entre os triângulos HBA e HCA, temos: Podemos, então, dizer: Num triângulo retângulo, a medida da altura relativa à hipotenusa é a média proporcional positiva entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 3ª relação Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos: Podemos, então, dizer: Num triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa. 4ª relação: Teorema de Pitágoras Como vimos, para o triângulo retângulo considerado valem as relações c 2 = an e b 2 = am Somando-se essas duas relações, membro a membro, vem:

6. c 2 + b 2 = an + am c 2 + b 2 = a( n + m ) colocamos a em evidência c 2 + b 2 = a . a substituímos m + n por a c 2 + b 2 = a 2 ou a 2 = b 2 + c 2 Podemos, então, enunciar o famoso teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Resumo Se um triângulo ABC é retângulo, então são válidas as seguintes relações métricas: a A B A A A a a B B B C C C C b b b b c c c c n n m m h h b 2 = an c 2 = am h 2 = mn bc= ah a 2 = b 2 + c 2

7. Exemplo 1 Calcular o valor de x , y e z no triângulo retângulo: x y z 5,4 9,6 Solução: Cálculo de z: Cálculo de y: Z = 9,6 + 5,4 = 15 Vamos aplicar a relação: h 2 = mn Cálculo de x: c 2 = an y 2 = 9,6 . 5,4 x 2 = 15 . 5,4 y 2 = 51,84 x 2 = 81 y = x = y = 7,2 x = 9

8. Exemplo 2 C alcular o valor de x , y e z no triângulo retângulo: y x z 6 Solução Cálculo de x: Cálculo de z: Vamos aplicar a 1ª relação: Vamos aplicar a 3ª relação: 6x = 84 x = 14 Cálculo de y: Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras: