Mulheres da História da Matemática - A questão de gênero em C&T

ALGUMAS MULHERES
DA
´
´
HISTORIA DA MATEMATICA
˜
ˆ
ˆ
E A QUESTAO DE GENERO EM CIENCIA E TECNOLOGIA

˜
JOAO BATISTA DO NASCIMENTO
UFPA/ICEN/Matem´tica, http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
a
E-mail: jbn@ufpa.br, joaobatistanascimento@yahoo.com.br

MATERIAL PARA CAPACITACAO DOCENTE INTEGRANTE DAS PRO¸˜
´
POSTAS METODOLOGICAS DESENVOLVIDAS PELO AUTOR, COMO A
´
DO USO DO TEATRO NA AULA DE MATEMATICA, CUJO INFORME
CONSTA NA REPORTAGEM:
´
NOVO OLHAR SOBRE A MATEMATICA, Paulo Henrique Gadelha, Beira
o
do Rio, Ano XXVI N 93, abril de 2011.
www.ufpa.br/beiradorio/novo/index.php/leia-tambem/124-edicao-93–
abril/1189-novo-olhar-sobre-a-matematica ou
www.jornalbeiradorio.ufpa.br/novo/index.php/2011/124-edicao-93–
abril/1189-novo-olhar-sobre-a-matematica
Versõ Jun/2013 - sem revisõ tćnica - apenas para divulga¸õ, proibida qualquer
a
a e
ca
forma de venda e basta pedir atualiza¸oes, ou informe outro, pelo e-mail do autor.
c˜
ESTE TRABALHO, ASSIM COMO NENHUM OUTRO DO AUTOR, POSSUI QUALQUER
FONTE DE FINANCIAMENTO.

Esta versõ ´ dedicada, 25/04/2013, em mem´ria do Matem´tico Paraense
a e
o
a

CONSTANTINO MENEZES DE BARROS

´
(Obidos-Pa, 19/08/1931, Rio de Janeiro-RJ, 06/03/1983).
Versõ de Constantino I, Nascimento, J. B., 05/05/2013, Blog Chupa Osso
a
www.chupaosso.com.br/index.php/obidos/educacao/2149-vida-e-obra-de-constantino-menezes-de-barros,
acesso jun/13

Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o
a
´
CONTEUDO
INTRODUCAO/APRESENTACAO
¸˜
¸˜
´
´
ENHEDUANA - A MATEMATICA DOS TEMPOS B´
IBLICOS QUE E UMA DAS MAIS

2
P´g.
a
3
4

ATUAIS

ELISA - PERSONAGEM DA LITERATURA UNIVERSAL INSPIRADA EM SABER

7

´
MATEMATICO

´
´
HIPATIA - PROFESSORA DE MATEMATICA FOI BARBARAMENTE ASSASSINADA
´
´
ROSVITA - A PROFESSORA DE MATEMATICA PERFEITAMENTE MUITO ALEM DA

9
11

´
MEDIA

ˆ
´
ˆ
MADAME DU CHATELET - A MATEMATICA QUE CONCILIAVA DOIS GENIOS

14

ˆ
´
APENDICE - UM POUCO NA DIFERENCA DAS FORMULACOES DE CALCULO NEWTONIANO E
¸
¸˜
LEIBNIZIANO

´
MARIA GAETANA AGNESI - A MATEMATICA AUTORA DO PRIMEIRO TEXTO

19

´
´
DIDATICO EM CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E QUE RESOLVIA PROBLEMA
´
ATE DORMINDO
´
MARIE-SOPHIE GERMAIN - A MATEMATICA QUE LANCOU BASE DO QUE
¸

22

´
HOJE HA DE MAIS AVANCADO EM ENGENHARIA
¸
´
MARY FAIRFAX SOMERVILLE - A MATEMATICA QUE CONQUISTOU PARTE

24

´
˜
DO CEU, MAS NAO SE LIVROU DE SOFRER CERTOS PRECONCEITOS TERRENOS
´
ADA LOVELACE - A MATEMATICA QUE FAZ PARTE DA BASE DA COMPUTACAO
¸˜

27

MODERNA ou A POETISA DAS NOVAS TECNOLOGIAS
´
˜
SONJA KOVALEVSKY - A MATEMATICA QUE FAZIA QUESTAO DE ESTUDAR

30

COM GRANDES MESTRES E SUPEROU ALGUNS DESSES
´
´
EMMY NOETHER - A MATEMATICA QUE NOS LEGOU ANEIS BRILHANTES

MILEVA MARIC - NOS CEM ANOS DE EINSTEIN UM MINUTO PARA ESSA

32
38

´
MATEMATICA E SUA EX-ESPOSA

MAR´
ILIA PEIXOTO -

´
`
A MATEMATICA BRASILEIRA DINAMICAMENTE A

40

´
EDUCACAO & DUNA QUENTE - A PROFESSORA QUE RACHAVA OS PES
¸˜

43

FRENTE DO SEU TEMPO
PELO SABER

LEANAM -

ˆ
`
ˆ
DA MITOLOGIA AMAZONIDA A SIMBOLIZACAO DA DOCENCIA EM
¸˜

44

´
MATEMATICA

ˆ
JAPIIM FEMEA (Cacicus cela) -

A ENGENHEIRA DONA DO NINHO QUE

46

´
ANNE FRANK - A ALUNA TAGARELA QUE MOSTRA O QUE E SER DOCENTE DE

48

BALANCA
¸
´
MATEMATICA DE QUALIDADE

ALAN TURING - UM DOS MAIS ESCANDALOSOS CASOS DE DISCRIMINACAO DE
¸˜

50

ˆ
GENERO DOS TEMPOS RECENTES

PROFESSORA SANTANA - CANDIDATA A MELHOR DOCENTE DO ENSINO

60

´
BASICO PARAENSE

˜
DIGRESSOES
ˆ
BURRICE COMO PRODUCAO DE GENERO E FUNDAMENTADORA DE DESGRACAS DO
¸˜
¸
EDUCACIONAL [ CASOS: PARAENSE, BRASILEIRO E IBERO-AMERICANO ]
´
ˆ
ANALISE DE UM ARTIGO - CIENCIA, EDUCACAO E ENSINO QUALIFICADO DA
¸˜
´
MATEMATICA DIZEM SER PRECONCEITO

65
65
68

o
a

3

INTRODUCAO/APRESENTACAO
¸˜
¸˜
´
Ë certo que s´ no caminho do tra¸o ´ que se vai assim de ponto em ponto.¨
o
c e
Cec´ Meireles (1091-1964), Poetisa Brasileira
ılia
Quando m´ educa¸ao se torna o sustentćulo mais promissor das vertentes pol´
a
c˜
a
ıticas, como
no caso do Brasil, a escola vira uma panacía e locus concentradora at´ das piores discrimina¸oes.
e
e
c˜
Por´m, ao mesmo tempo essa recebe os que ainda socialmente pouco se inteiraram disso ou tocaram
e
em tais fatores, portanto, em condi¸oes de promover mudan¸a. Sõ chances de esperan¸a quase v˜s,
c˜
c
a
c
a
diz a realidade brasileira, mas nõ existe outro meio em condi¸oes de mudar tal panorama e tudo que
a
c˜
nasce ou deixa de nascer socialmente em fun¸ao da escola ou ausˆncia desta, retornar-lhe-´ at´ de
c˜
e
a e
forma mais intensa, quando o vazio de escola produz vorazmente sem que, obviamente, receba nada.
Um dado que diria nem haver discrimina¸ao de gˆnero feminino, de fato se fosse seria no
c˜
e
sentido inverso, ´ o predom´
e
ınio hist´rico das mulheres nas s´ries inicias no Brasil. Mas, e a medida
o
e
`
que subimos na escala escolar, avista-se, especialmente nas areas de Exatas e Tecnol´gicas, um
´
o
quadros de espantosa ausˆncia dessas. E o mais grave: alguns quadros que apresentam at´ certas
e
e
revers˜es, como o n´mero global de matr´
o
u
ıcula no ensino superior brasileiro j´ ser maior de mulheres,
a
isso nõ se caracteriza por mudan¸as especificas na qualidade da escola, mas por outras raz˜es cona
c
o
junturais, portanto, sem qualquer garantia de que nõ se retorne ao ponto inicial ou nõ reflita a
a
a
mesma discrimina¸ao apenas deslocada para outra posi¸ao; Os dados Capes/CNPq em Exatas do
c˜
c˜
avan¸o feminino em atingir p´s nõ refletem nem de longe o quantitativo dessas chefiando pesquisa.
c
o a
Na hist´ria da matem´tica a presen¸a feminina, porquanto, em termos de registro, sempre
o
a
c
foi espor´dica. Na mais antiga escola dessa especialidade, pitag´rica, uma lembrada ´ Theano,
a
o
e
´
nascida em 546 a.C., E tamb´m conhecida como fil´sofa e f´
e
o
ısica. Essa foi aluna de Pit´goras e
a
sup˜e-se que tenha sido sua mulher. Acredita-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola
o
pitag´rica ap´s a morte do marido.
o
o
E ´poca alguma ainda deixou de haver discrimina¸ao contra mulher na matem´tica, ree
c˜
a
lato alguns casos e conhecer a hist´ria de algumas nõ ´ suficiente, precisa rebuscar os m´todos e
o
a e
e
parˆmetros que estõ nas formula¸oes do ensino, e nõ apenas da matem´tica, e na estrutura¸ao
a
a
c˜
a
a
c˜
geral das concep¸oes de escola e sociedade que alimenta isso. Portanto, urge ser preocupa¸ao de
c˜
c˜
toda forma¸ao docente e o cerne aqui ´ a em matem´tica.
c˜
e
a
E nõ ´ pretensõ esgotar o tema, mas apenas fazer um pequeno apanhado de algumas dessas
a e
a
mulheres e casos outros de gˆnero para servir de referˆncia inicial para proposta metodol´gica que
e
e
o
desenvolvo - preconizo que s´ ganhar´ profundidade com mais pesquisa e pr´tica escolar- , sem
o
a
a
que com isso se queira depreciar qualquer outra mulher que nõ fiz constar e nem as demais obras
a
existentes no tema. Ou seja, nõ se defende ser melhor do que nenhuma abordagem/proposta,
a
mas se garante muitas abordagens absolutamente diferente. Uma dessa fica bem vis´
ıvel: nõ se
a
pretende apenas falar da vida dessas, ´ criminoso devassar vida privada, como deline
ear um pouco, visando al´m da capacita¸õ docente disseminar socialmente conceitos
e
ca
matem´ticos com os quais essas se envolveram, dado que, o baixo n´
a
ıvel de conhecimento matem´tico ´ tamb´m um caso de discrimina¸õ e, pior ainda, ´ fator que
a
e
e
ca
e
alimenta v´rias outras. Pois, por exemplo, o que mais se concebe atualmente por desenvolvia
mento cient´
ıfico e tecnol´gico, meios produtores de emprego e renda, as profiss˜es com maior base
o
o
matem´tica tendem render mais, com exce¸ao de docˆncia.
a
c˜
e
Entretanto, perceber diferen¸a exige acuidade, muito estudo, paciˆncia e vigilˆncia permac
e
a
nente, especialmente no caso docente. Posto que, isso joga no campo do desconhecido, fora do
´
treinado e faz parte do que propositadamente bloquearam. E preciso lembrar que a grande for¸a
c
de uma ideologia nõ fica com os seus claramente partid´rios, mas quando praticada at´ pelo que
a
a
e
tem toda caracter´
ıstica de ser sua v´
ıtima, inocente util ou o quer se sup˜e neutro.
´
o
Assim, finalizando, em tudo que relato, em forma de artigos, o foco principal sõ os conte´dos
a
u
e o ensino da matem´tica, pois sõ esses conhecimentos que farõ com que o aprendiz compreenda
a
a
a
e valorize cada uma e todas.

o
a

4

E N H E D U A N A (Aprox. 2.300 a.C )
´
´
A MATEMATICA DOS TEMPOS B´
IBLICOS QUE E UMA DAS MAIS
ATUAIS
¨
QUINTA-FEIRA, 5 DE AGOSTO DE 1943
... Apinhados em volta do r´dio, todos ouvem extasiados
a
a BBC. Esta ´ a unica hora em que os membros da
e
´
fam´
ılia do Anexo nõ se interrompem, j´ que nem
a
a
mesmo o Sr. Van Daan consegue discutir com o altofalante.¨
Frank, O.H e Pressle, M., O Di´rio de Anne Frank,
a
Trad. Alves Calado, 25a Edi¸ao, Ed. Record, 2008
c˜

Por Nascimento, J.B
UFPA/ICEN/Matem´tica
a
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
E-mail: jbn@ufpa.br, Maio/2012

De tõ comum, rar´
a
ıssimo de n´s deixa de ter um ao alcance das mõs, sua importˆncia
o
a
a
fica impercept´ e ainda mais o quanto h´ nesse de matem´tica. Entretanto, calend´rio al´m de
ıvel
a
a
a
e
instrumental que nos leva viajar no tempo em qualquer dire¸ao, passado ou futuro, veremos que
c˜
envolve conceitos matem´ticos dos mais avan¸ados. Uma apresenta¸ao da personagem em tela ´ a
a
c
c˜
e
seguinte:
Ä ac´dia Enheduana viveu em aproximadamente 2.300 a.C.
a
(geralmente especificado como o per´
ıodo entre 2.280 e 2.200 a.C.),
sendo a primeira princesa na hist´ria a tomar o posto de Alta Sacerdoo
tisa, na cidade de Ur, que na ´poca fazia parte da Babilˆnia. Ela ajudou
e
o
a decifrar as estrelas e desenvolver os calend´rios, tornando-se um
a
s´
ımbolo e referˆncia importante para os astrˆnomos e matem´ticos.
e
o
a
Ela foi tamb´m a primeira autora da literatura universal, devido ao fato de, apesar
e
de haver outros autores (como, por exemplo, os escribas), ser Enheduana a primeira a
assinar suas obras.¨
Extra´
ıdo do Blog Falta do que Fazer, http://faltadqf.blogspot.com.br/2009/11/asmaiores-cientistas-da-historia.html, acesso ma/12
Mesmo que s´ se tenha por visõ de calend´rio colocar alguns n´meros numa tabela, saber
o
a
a
u
de n´mero nessa ´poca, sendo o processo de numera¸ao extremamente mais complexo do que os
u
e
c˜
atuais, era ter um n´ intelectual espantoso. E a reflexõ inicial que proponho - padrõ quando
ıvel
a
a
nos parece simpl´rio-, ´ considerar nõ haver nenhum processo de calend´rio e pensar como seriam
o
e
a
a
certas atividades do cotidiano. E nõ tendo como recuperar algum dessa ´poca ´ estudando os
a
e
e
atuais que veremos o quanto h´ de engenhosidade matem´tica por tr´s disto.
a
a
a
E tudo come¸a pelo seguinte: quanto ´ uma laranja mais uma ma¸a? Digo que nõ sei (isso
c
e
c˜
a
por ser por ignorˆncia minha, falta de criatividade, ... pesquise!). Mas, uma fruta mais outra fruta
a
convencionamos ser duas frutas. Parece uma diferen¸a tola, mas o pensamento matem´tico as coloc
a
cam numa distˆncia imensa e quando essa transi¸ao ´ feita instintivamente nõ se entende como
a
c˜ e
a
algu´m teria dificuldade de aprendizagem por isso. Para tanto, vamos ampliar para que fique mais
e
evidente.
Na folha de calend´rio indicada ao lado, a coluna de
a
quinta-feira pode ser descrita como (Q, 5), (Q, 12), (Q, 19) e
(Q, 26), portanto essa ´ Subconjunto do Produto Cartee
siano {D, S, T, Q, Q, S, S} × {1, 2, 3, ..., 31} e ¨quinta-feira¨
funciona como uma sacola (um equivalente disto paraense ´
e
paneiro) contendo apenas os n´meros 5, 12, 19 e 26, com a
u
propriedade de que sabendo-se qual ´ um desse os demais
e
poss´
ıveis diferem por m´ltiplo de sete.
u

D
1
8
15
22
29

S
2
9
16
23
30

T
3
10
17
24
31

Q
4
11
18
25

Q
5
12
19
26

S
6
13
20
27

S
7
14
21
28

E essa capacidade de s´
ıntese sempre foi o requerido em calend´rios. Mais ainda nos tempos
a
em que recursos e materiais para impressõ eram escassos. E um conceito matem´tico capaz disto
a
a
ˆ
chama-se: RELACAO DE EQUIVALENCIA.
¸˜

o
a

5

Defini¸ao - Dado um conjunto nõ vazio A, chama-se rela¸ao (∼) em A qualquer lei que assoc~
a
c˜
cia elementos de A, de princ´
ıpio, de qualquer forma. E para dizer que um elemento x se relaciona
segundo essa com y denotamos por x ∼ y. E essa defini¸ao pode ser ampliada para envolver mais
c˜
conjuntos.
Caso particular: Uma Rela¸ao (∼) em A ´ dita de Equival^ncia se satisfaz as seguintes
c˜
e
e
propriedades:
1 - Reflexiva - Para todo elemento x de A (∀ x; x ∈ A), x ∼ x;
2 - Sim´trica - Sempre que x ∼ y, entõ y ∼ x;
e
a

e

3 - Transitiva - Se x ∼ y e y ∼ z , entõ x ∼ z .
a
Definida um Rela¸ao de Equivalˆncia em A e dado x ∈ A, O conjunto de todos os elemenc˜
e
tos de A que estõ relacionados com x, denotado por [x] = {y; x ∼ y}, ´ chamado de Classe de
a
e
Equival^ncia de x, cuja propriedade central ´ a seguinte:
e
e
Teorema: Seja ∼ uma Rela¸ao de Equival^ncia em A e x e y elementos de A. Entõ [x] = [y]
c~
e
a
se, e somente se, x ∼ y. E ainda, [x] ∩ [y] = ∅ sempre que x nõ estiver relacionado com y (x y).
a
Prova. A propriedade 1 diz que todo x ´ elemento de [x], portanto, ocorrendo a igualdade
e
[x] = [y], em particular, y ´ elemento de [x], logo x ∼ y.
e
Reciprocamente, consideremos que x ∼ y e tome z elemento de [x], i.e, z ∼ x. Assim, ficamos
com z ∼ x e x ∼ y, que por 3), y ∼ z, significando que z ´ elemento de [y]. Ou seja, provamos
e
que todo elemento de [x] tamb´m ´ de [y] e, analogamente, todo elemento de [y] tamb´m ´ de [x],
e e
e e
concluindo pela igualdade desses conjuntos. A segunda afirmativa fica para o leitor prov´-la.
a
Exemplo - Considere em Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ..} a rela¸ao dada por: m ∼ n quando m − n ´
c˜
e
m´ltiplo de 7. Isto ´, existe k inteiro tal m − n = 7.k. Nesse caso dizemos m ≡ n(mod.7) (lˆ-se: m
u
e
e
e c^ngruo com n m´dulo 7 ). Temos que:
´ o
o
A - Para todo m inteiro, m−m = 0 = 7.0, portanto, m ≡ m(mod.7), i.e, ´ uma rela¸ao reflexiva.
e
c˜
B - Caso m ∼ n, existe inteiro k tal que m − n = 7.k =⇒ n − m = 7.(−k), portanto, n ∼ m,
i.e., ´ sim´trica.
e
e
C - Caso m ∼ n e n ∼ p, existem k e t tais que m − n = 7.k e n − p = 7.t, cuja soma das duas
´ (m − n) + (n − p) = m − p = 7.k + 7.t = 7(k + t), portanto, m ∼ p, i.e, ´ transitiva.
e
e
Agora note ness caso [5] = {x inteiro tal que x − 5 = 7k} = {5 + 7.k, onde k e inteiro} =
´
{.., −9, −2, 5, 12, 19, 26, ...}
Note que agrupar palavras pelo significado nõ torna Rela¸ao de Equivalˆncia pelo fato de
a
c˜
e
uma mesma palavra ter significados totalmente diferentes. E que aprendizagem tem por essˆncia
e
fazer com que o desconhecido apare¸a como equivalente do j´ aprendido. Assim, sabendo-se que
c
a
2 + 3 = 5, aprende-se quando ´ 5 − 2 por saber que isto ´ equivalente buscar quem somado com 2
e
e
resulta em 5.
E o exposto ´ apenas um pouco que esperamos servir de motiva¸ao no aprofundamento
e
c˜
nesse tema (no informe Emmy Noether, p´g. 32, assim como em outros, h´ mais disto), posto
a
a
que, faz parte dos fundamentos mais elementares da matem´tica e aplicado nas s´ries iniciais em
a
e
conte´dos como Fra¸ao. Logo, finalizando, ENHEDUANA comparece nos prim´rdios da hist´ria
u
c˜
o
o
lidando e desenvolvendo temas dos mais relevantes e atuais que h´ na matem´tica.
a
a

o
a

6

Referˆncias
e
´
[1] ALGEBRA: UM CURSO DE INTRODUCAO, Garcia, A. e Lequain,Y., Proj. Euclides /IMPA/SBM, 1988.
¸˜
´
´
[2] A HISTORIA DE MULHERES NO CAMPO DA MATEMATICA, Maria da Concei¸ao Vieira Fernanc˜
des e Maria Betˆnia Fernandes Vasconcelos, VI EPBEM - Monteiro, PB - 09, 10 e 11 de novembro de 2010
a
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-12058626.pdf, acesso maio/12
´
´
[3] A MATEMATICA DAS ABELHAS ATRAVES DA RESOLUCAO DE PROBLEMAS, Rˆmulo Alexandre
¸˜
o
Silva, Mar´ Lidiane Chaves da Costa e D´bora Jana´ Ribeiro e Silva,
ılia
e
ına
www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-17039362.pdf, acesso mai/12
ˆ
[4] A PARTICIPACAO DAS MULHERES NA CIENCIA: PROBLEMATIZACOES SOBRE AS DIFERENCAS
¸˜
¸˜
¸
ˆ
DE GENERO, Fabiane Ferreira da Silva e Paula Regina Costa Ribeiro
www.tanianavarroswain.com.br/labrys/labrys20/bresil/fabiene.htm, acesso mai/12
[5] MULHERES DA ANTIGUIDADE - ENHEDUANA, Blog de Cl´vis Barbosa,
o
http://clovisbarbosa.blogspot.com.br/2011/05/mulheres-da-antiguidade-enheduana.html, ac. mai/12
[6] MULHERES ULTRAPASSAM HOMENS EM CURSOS DE MESTRADO E DOUTORADO, O Globo,
http://oglobo.globo.com/pais/mulheres-ultrapassam-homens-em-cursos-de-mestrado-doutorado-4883120, acesso mai/12
ˆ
´
´
[7]GENERO E MATEMATICA(S) - JOGOS DE VERDADE NAS PRATICAS DE NUMERAMENTO DE
ALUNAS E ALUNOS DA EDUCACAO DE PESSOAS JOVENS E ADULTAS, Maria Celeste Reis Fernandes de
¸˜
Souza, Programa de P´s- Gradua¸ao em Educa¸ao, UFMG, Orientadora: Profa. Dra. Maria da Concei¸ao Ferreira
o
c˜
c˜
c˜
Reis Fonseca, 2008 http://pct.capes.gov.br/teses/2008/32001010001P7/TES.pdf celeste.br@gmail.com

o
a

7

ELISA
PERSONAGEM DA LITERATURA UNIVERSAL INSPIRADA EM SABER
´
MATEMATICO
¨Naturalmente, as pessoas desejam manter o aspecto agrad´vel da ciˆncia sem o aspecto negativo;
a
e
mas at´ o momento as tentativas de fazer isso fracassaram.¨
e
Bertrand Russel (Inglaterra,1872-1970), matem´tico, fil´sofo e
a
o
ganhador do Nobel de literatura de 1950.
Por Nascimento, J.B
a
E-mail: jbn@ufpa.br, Mar¸/2012
c
Nõ se conhece registro quanto haver algum lugar no qual matem´tica seja algo prazeroso
a
a
para todos os estudantes. E nõ ´ comum caso como o brasileiro em que autor de livro did´tico se
a e
a
disp˜e ilustrar o n´mero sete com um gatinho sendo jogado do s´timo andar e se faz at´ pesquisa
o
u
e
e
que tira sangue de estudante supondo que nota baixa nessa disciplina deriva de doen¸a gen´tica.
c
e
Ante essa trag´dia, a qual ´ extremamente muito maior, ´ irrelevante o interesse dos cene
e
e
tros de forma¸ao docente em matem´tica inserir exemplos que sirvam ao futuro docente levar com
c˜
a
que os estudantes percebam e saboreiem conceitos dessa em campos outros, porquanto, capacit´-lo
a
implementar ensino que inclua algo al´m de apenas manipular defini¸oes dessa, muitas das vezes
e
c˜
nem isso ´, por cima de outras.
e
E a impossibilidade mais forte ´ que isso exige di´logos com as demais forma¸oes e o face
a
c˜
tual ´ que a dissociabilidade entre essas implementada no Brasil, o mais premente na gera¸ao de
e
c˜
preconceitos, faz com que nem se possa dizer haver realmente forma¸ao docente, mas apenas proc˜
cesso de diploma¸ao. Obviamente que h´ exce¸oes, mas fruto da iniciativa pr´pria, at´ enfrentando
c˜
a
c˜
o
e
resistˆncia feroz desses centros e havendo uma verdade eterna: exce¸ao nõ qualifica nada, apenas
e
c˜ a
tende adiar barb´rie por completo.
a
O exemplo que abordarei exige que, pelos menos, se fa¸am antes na escola dois trabalhos:
c
- Docente de Hist´ria ter abordado Grćia Antiga e forma¸ao das suas principais cidades e da
o
e
c˜
importˆncia que cada uma teve na estrutura¸ao dessa civiliza¸ao; e
a
c˜
c˜
- Docente de literatura ter abordado os principais cl´ssicos da Grćia Antiga.
a
e
E nisso precisam atuar profissionalmente, porquanto, longe da combina¸ao em que um faz
c˜
s´ o que interessa aos outros e unicamente por isso. E um trecho de interesse matem´tico ´ esse da
o
a
e
obra Eneida de Virg´ ( 70 a.C.- 19 a.C):
ılio
Üma mulher ´ o chefe da expedi¸ao. Chegados ao local onde ver´s agora enormes
e
c˜
a
muralhas e a imponente cidadela de Cartago, compraram todo o terreno que um couro de
touro podia cercar.¨
O hist´rico de Cartago deixa claro que s´ engenhosidade das mais significativas da mente
o
o
humana poderia fazˆ-la brotar de apenas um couro de touro. E Elisa esbanja criatividade ao
e
transform´-lo no maior fio poss´ e depois atinge um n´ matem´tico dos mais impressionantes
a
ıvel
ıvel
a
quando disp˜e esse, dentro das condi¸oes dadas, de forma que cercasse o m´ximo de area poss´
o
c˜
a
´
ıvel.
Assim, essa resolveu um problema matem´tico classificado como sendo isoperim´trico, a
a
e
qual ´ area da matem´tica de riqueza vasta e oferece algumas vers˜es de problemas para ser trae´
a
o
balhado em todo n´ escolar. E feito isso, agora o conhecimento matem´tico deve fluir ampliando
ıvel
a
a visõ do quanto magistralmente essa personagem foi constru´ e aprendam ser essa uma obra
a
ıda
que se revigora em toda ´poca por haver momentos desse n´ em condi¸oes de eterniz´-la atrav´s
e
ıvel
c˜
a
e
das gera¸oes.
c˜

o
a

8

H´ ainda outro fator no qual Elisa fica submersa, posto que, matem´tica ´ uma das partes
a
a
e
mais substanciais do tipo de desenvolvimento cient´
ıfico e tecnol´gico que permeia os dias atuais e
o
isso nõ pode ser feito com qualidade razo´vel sem que integre a todos. E nada ´ mais desintegrador
a
a
e
do que preconceito e, assim como em toda Ciˆncia, o relacionado ao gˆnero feminino na matem´tica
e
e
a
´ hist´rico.
e
o
E, finalizando, como combater preconceito ´ uma a¸ao que precisa envolver todos da escola,
e
c˜
fica sendo um dado da mais alta relevˆncia todo saber que o poeta Virg´ colocou no nascedouro
a
ılio
de importante cidade da nossa civiliza¸ao uma mulher aplicando conhecimento matem´tico.
c˜
a
Referˆncia
e
´
- AS MULHERES NA MATEMATICA, Daniel C. de Morais Filho, Campina Grande.PB,
www.rpm.org.br/conheca/30/2/mulheres.htm, acesso mar¸/12
c
´
- SEM HABILIDADE COM NUMEROS, Junia Oliveira, O Estado de Minas, 08/06/2010
http://wwo.uai.com.br/EM/html/sessao 18/2010/06/08/interna noticia,id sessao=18&id noticia=141062/interna noticia.shtml, acesso jun/210
- http://www.exkola.com.br/scripts/noticia.php?id=34579041
- http://blog.opovo.com.br/educacao/sem-habilidade-com-numeros/
- http://vghaase.blogspot.com/, acesso ag/10
- http://discalculialnd.blogspot.com/, acesso ag/10
- Decifrando uma inc´gnita, www.ufmg.br/boletim/bol1698/4.shtml, acesso, ag/10
o
- Pesquisa dos Laborat´rios de Neuropsicologia e de Gen´tica da UFMG pode ajudar a desvendar causas e cono
e
sequˆncias da discalculia, 7 de junho de 2010
e
http://www.ufmg.br/online/arquivos/015678.shtml
- Neuropsicologia e gen´tica decifram causas e consequˆncias da discalculia,
e
e
ISa´de.Net, Sa´de P´blica, http://isaude.net/z9h8, acesso ag/10
u
u
u
- Doen¸a que dificulta aprendizado de matem´tica ´ alvo de especialistas
c
a
e
http://saude.ig.com.br/minhasaude/doenca+que+dificulta+aprendizado+de+matematica+e+alvo+de+especialistas/
n1597074737032.html
´
- Discrimina¸ao Tira Mulheres de Areas Exatas e Preocupa Governo
c˜
http://ultimosegundo.ig.com.br/educacao/discriminacao+tira+mulheres+de+areas+exatas+e+preocupa+governo/
n1238144853610.html, acesso maio/2011

o
a

9

´
HIPATIA
´
PROFESSORA DE MATEMATICA FOI BARBARAMENTE ASSASSINADA
¨Sem d´vida alguma uma semente da verdade permaneceu na alma,
u
e ela vem reanimar um ensino esclarecedor.¨
Boćio, 480 - 524 d:C Professor de matem´tica da Idade M´dia)
e
a
e
Por Nascimento, J.B
a
c
ˆ
NO MES INTERNACIONAL DAS MULHERES, UMA JOVEM E TALENTOSA PROFES´
´
SORA DE MATEMATICA TEVE MORTE HORRIVELMENTE TRAGICA NO ANO DE 415
d.C., QUANDO UMA TURBA DE INTOLERANTES A MASSACROU EM PLENA RUA DE
ALEXANDRIA; USANDO CONCHAS DE OSTRAS, RETALHARAM COMPLETAMENTE O
SEU CORPO.

Por volta do ano 380 da era crist˜, na cidade de Alexandria, nascia a filha do matem´tico
a
a
´
˜
´
e professor TEAO, chamada HIPATIA ( o nome HIPACIA tamb´m ´ adotado) e que desde
e e
cedo encantava a todos pela sua inteligˆncia. O pai ensinou-lhe astronomia e matem´tica. Hip´tia
e
a
a
preferiu estudar geometria, embora nõ apenas, da´ ser chamada Ä Geˆmetra¨. Esta passou ala
ı
o
gum tempo em Atenas, onde Plutarco, o jovem, ainda lecionava em p´blico, sobre Arist´teles e
u
o
Platõ.
a
Provavelmente Hip´tia fez parte do seleto grupo de iniciados que estudou com Plutarco.
a
E nõ demorou muito para que esta jovem de extraordin´ria beleza e talentosa professora de
a
a
matem´tica fosse reconhecida e distinguida nas ruas pelo o seu manto de fil´sofa. De inquestion´vel
a
o
a
capacidade cient´
ıfica, assumiu o posto de maior relevˆncia em ciˆncia que j´ existiu em todos os
a
e
a
tempos: a dire¸õ do Museu de Alexandria. Pois, trata-se da mais completa Universidade que
ca
existiu at´ a era moderna.
e
Defensora intransigente da liberdade de pensamento, da liberdade de expressõ, de aprender
a
e ensinar, Hip´tia atrai contra si o poder virulento que sempre teve a parcela mais aldravante (
a
de fato, sempre foram maioria e gra¸as a prestimosa ajuda que recebem dos omissos. Nõ ´ a toa,
c `
a e`
ser este tipo dileto que esta parcela adora diplomar!), corrupta, dogm´tica, incompetente, torpe e
a
zopeira que atuava como se fosse educador e matem´tico.
a
Al´m disso, e tamb´m, pela sua condi¸ao de mulher, cultuava-lhe odio os obscurantistas de
e
e
c˜
´
tudo quando era tipo; a Idade M´dia ´ o maior triunfo dos seus inimigos. S´ nõ contavam que
e
e
o a
esta haveria de referenciar alguns poucos e valiosos, em condi¸oes de sacrificarem suas vidas para
c˜
ensinar seriamente um pouco de matem´tica.
a
Aos que acham dever-se a sua popularidade por compactuar com alunos med´
ıocres, registra
a hist´ria que esta, e como ultimo recurso, contra um tolo que persistia em confundir a sua condi¸ao
o
´
c˜
de professora com a de mulher, perdendo tempo lhe insinuando galanteios ao inv´s de estudar, esta
e
saca o seu pano menstrual em plena sala de aula, dizendo-lhe:
¨- ´ isto que eu sou, ´ a isto que vocˆ ama¨.
e
e
e
Um ato absolutamente not´vel para uma mulher, se considerarmos que s´ ap´s cerca de
a
o o
1.400 anos, alguma teve coragem de sacar o seu suti˜ e queim´-lo em pra¸a p´blica.
a
a
c u
Em mar¸o de 415, ao regressar do Museu de Alexandria, esta jovem e esplendorosa
c
professora de matem´tica foi covardemente atacada por uma turba, excitada que fora
a
pelos seus desafetos, quando dilaceram o seu corpo usando conchas de ostra.
Matou-se nõ apenas uma mulher, mas uma era fundamental da Matem´tica, da Ciˆncia e
a
a
e
da Hist´ria. Sendo este mais um exemplo na hist´ria da humanidade em que apagam um luminoso
o
o
raio de luz para seguir nas trevas.

o
a

10

Algumas indica¸oes Hipatianas
c˜
- Compreender as coisas que nos rodeiam ´ a melhor prepara¸ao para compreender o que h´
e
c˜
a
mais al´m.
e
- Todas as formas religiosas dogm´ticas sõ falaciosas e nõ devem ser aceitas por auto-respeito
a
a
a
pessoal.
- Reserve o seu direito a pensar, mesmo pensar errado ´ melhor do que nõ pensar.
e
a
- Ensinar supersti¸oes como verdades ´ uma das coisas mais terr´
c˜
e
ıveis.

ˆ
REFERENCIA:
- Boyer, C. B. - Hist´ria da Matem´tica - Ed. Bl¨cher, Trad. Elza Gomide (IME. USP);
o
a
u
- www.agnesscott.edu/Iriddle/womem;
- www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/matematicos/hipatia.htm/hypatia.htm
- Sampaio, M., A Guardi˜ da Tecnologia da Informa¸ao - 1, 01.03.2011,
a
c˜
http://ne10.uol.com.br/coluna/difusao/noticia/2011/03/01/a-guardia-da-tecnologia-da-informacao–
1-259408.php, acesso ab/13
Sampaio, M., A Guardi˜ da Tecnologia da Informa¸ao - 2, Marcelo Sampaio, 16/03/2011
a
c˜
http://m.ne10.uol.com.br/noticia/?t=co&n=difusao&a=2011&m=03&d=16&id=261542, acesso ab/13

o
a

11

ROSVITA
´
´
A PROFESSORA DE MATEMATICA PERFEITAMENTE MUITO ALEM
´
DA MEDIA
Ö primeiro a examinar o conceito do infinito em detalhes foi o fil´sofo Zenõ.¨
o
a
Morris, R
Por Nascimento, J.B
a
c
ROSVITA DE GANDERSHEIM viveu por volta do ano 1.000 d.C e s´
o
isso j´ torna inusitado ser professora e ainda mais de matem´tica. Acrescido que
a
a
nos livros de Hist´ria da Matem´tica, especialmente nos mais usuais dos cursos de
o
a
licenciatura em matem´tica, quase nem citam mesmo nada dessa ´poca, quanto
a
e
menos ainda sendo mulher, pois discrimina¸ao de gˆnero, e nõ apenas nessa,
c˜
e
a
permeia toda Ciˆncia. Tamb´m ´ fato que tais centram-se no hist´rico dos conceitos
e
e e
o
e nõ no ensino da matem´tica.
a
a
Porquanto, os fatores que tornam Rosvita da mais alta relevante hist´ria nõ constam nas
o
a
concep¸oes desses, embora fator de relevˆncia essencial, sendo o seguinte: o poder mais fundamental
c˜
a
da educa¸ao de qualidade nõ ´ evitar desgra¸a, embora tamb´m, mas referenciar tudo que se faz
c˜
a e
c
e
necess´rio para se sair disto. Ou seja, os sinais de que estamos numa gera¸ao um pouco melhor do
a
c˜
que ela viveu, deve-se ao fato de ter havido docente como Rosvita. E, falando restritivamente de
quem tem cargo de docente de matem´tica em universidade p´blica, ´ lastim´vel que alguns hoje
a
u
e
a
nõ honrem sua pessoa.
a
Al´m disso, afamada teatr´loga, o papel mais importante dessa, o que at´ hoje ´ assim no
e
o
e
e
Brasil, de professora da escola b´sica, ficou obscurecido ao longo da hist´ria. O que ´ uma profunda
a
o
e
ironia com essa que iluminou esplendorosamente o ensino da matem´tica e penoso porque isso cona
tribui para que atualmente, como ´ o caso do Brasil, o ensino dessa disciplina apresente situa¸oes
e
c˜
catastr´ficas.
o
O seu feito j´ ´ da mais alta intensidade na hist´ria do ensino da matem´tica se apenas
a e
o
a
reproduziu o que tenha lido, por isso provar que lia texto matem´tico de alto n´
a
ıvel, encantou-se e
copiou na sua pe¸a de teatro. Cresce exponencialmente se apenas repassou o texto para que suas
c
alunas, j´ que era professora de mosteiro, repetisse na encena¸ao da pe¸a. E se algum outro tomou
a
c˜
c
conhecimento dessa pe¸a e fez estudantes represent´-la, muit´
c
a
ıssimo prov´vel, justifica fazermos suba
stancial esfor¸o para que a existˆncia dessa professora de matem´tica permane¸a viva.
c
e
a
c
Ou seja, apenas por conhecer a pe¸a de teatro que essa fez abordando conte´dos de matem´tica
c
u
a
j´ faz Rosvita esplendorosa. Por´m, isso ´ ´
a
e
e ınfimo. A sua a¸ao ´ muito mais profunda em temos
c˜ e
de ensino da matem´tica. E isso exige delinear um hist´rico envolvendo conceitos e resultados da
a
o
matem´tica que estõ em pe¸a rosvitiana e que permite a todo, se quiser aprender completando
a
a
c
os detalhes, fazer um curso razo´vel em Teoria dos N´meros.
a
u
No que seque apenas consideramos N´ meros Naturais N = {0, 1, 2, 3, · · · }, porquanto,
u
vers˜es, se poss´
o
ıvel, para Inteiros Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } ´ exerc´
e
ıcio. Os dois conceitos b´sicos sõ:
a
a
´
N´ mero Primo (p) - E todo N´mero Natural diferente de 1 cujos unicos divisores sõ 1 e o
u
u
´
a
pr´prio. Com mais divisores ´ dito N´ meros Composto.
o
e
u
Exerc´ 1 - Os N´meros Primos forma um subconjunto infinito de N [3].
ıcio
u
Exerc´
ıcio 2 - Se n = pr × q k , sendo p e q primos distintos, entõ n possui (r + 1) × (k + 1)
a
divisores. Quais sõ todos? Generalize.
a

o
a

12

Exerc´ 3 - Uma s´rie num´rica a1 , a2 , · · · , an ´ dita uma Progressõ Geom´trica (P.G)
ıcio
e
e
e
a
e
quanto existe r tal que ak = r × ak−1 , para todo k > 1. Prove que, fora o caso de r = 1, Sn =
a1 − r n × a 1
a1 + a 2 + · · · + a n =
. Em particular: 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1
1−r
´
o
N´ mero Perfeito - E todo cuja soma dos seus divisores, naturais, pr´prios resulta nesse. Por
u
exemplo, 6 ´ n´mero perfeito, pois os divisores sõ: 1, 2, 3 e 6 e 1 + 2 + 3 = 6.
e u
a
O professor da USP Luiz Jean Lauand, [2], P´g.42 - acho essa pequena obra conter grandes
a
tesouros e aqui revelo s´ uma gota, portanto, de leitura indispens´vel -, assim registra conte´do da
o
a
u
pe¸a rosvitiana ¨Sabedoria¨:
c

¨Rosvita sabe, o que pode surpreender os que ignoram a hist´ria da matem´tica
o
a
medieval, que 6, 28, 496 e 8128 sõ perfeitos, bem como o velho crit´rio para gera¸ao
a
e
c˜
n
n−1
n
de n´meros perfeitos: p = (2 − 1) × 2
u
ser´ perfeito se 2 − 1 for primo.¨
a
Exerc´ 4 - Verifique que os citados sõ n´meros perfeitos.
ıcio
a u
Cabe esclarecer que nem hoje, e quanto menos nos tempos de Rosvita, nõ carece de tanto
a
se for apenas para surpreender os que ignoram matem´tica. Pelo contr´rio, o n´
a
a
ıvel avan¸ado do
c
exposto indica que ela correu riscos dos mais terr´
ıveis de ser tomada por louca, quando mesmo
assim ainda seria o de menor gravidade. Isso fica refor¸ado pelo seguinte: se hoje no Brasil algum
c
docente de qualquer escola privada entrar na sala e colocar esse resultado no quadro como tema da
aula, correr´ s´rios riscos de nõ ter o emprego no dia seguinte.
a e
a
E o mais prov´vel disto nõ acontecer nõ ´ tal amea¸a, mas desconhecimento ou considerá
a
a e
c
a
lo irrelevante ou por nõ saber demonstr´-lo ou medo das diversas nuances que traz, porquanto,
a
a
passivo de algum estudante perguntar, agora de todo tipo de escola: p´blica e privada; a concep¸ao
u
c˜
de que esse seria, assim como achar qualquer outro resultado da matem´tica irrelevante, caracteriza
a
nõ ser e potencializa que nunca ser´ Matem´tico.
a
a
a
E, portanto, o mais acredit´vel ´ que Rosvita tenha refeito e comprovado que os j´ citados
a
e
a
sõ n´meros perfeito e entendido da validade da f´rmula euclidiana. Pois, nessa ´poca circulavam
a u
o
e
textos que podemos dizer que foram inspiradores dos atuais livros did´ticos - no caso do Brasil s´
a
o
em termos gerais, pois em qualidade matem´tica h´ elementos indicando que eram melhores - como
a
a
os dos matem´ticos Boćio ( Anicius Manlius Torquatus Severinus Boetius, Romano, 480
a
e
a 524 d.C.), Iˆmbico de C´lcis (c. 325) e Nicˆmaco de Gerasa ( c. 100 d.C), que versavam no
a
a
o
tema bem pr´ximo do que diz Boyer, [4], p´g. 80, no seguinte trecho comentando os Elementos
o
a
de Euclides (300 a.C):
Ä proposi¸ao seguinte, a ultima do livro IX, ´ a f´rmula bem conhecida para
c˜
´
e
o
n´meros perfeitos. ’Se tantos n´meros quantos quisermos, come¸ando com a unidade,
u
u
c
forem colocados continuamente em dupla propor¸ao at´ que a soma de todos seja um
c˜
e
primo, e se a soma for multiplicada pelo ultimo, o produto ser´ perfeito.’ Isto ´, em
´
a
e
nota¸ao moderna, se Sn = 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1 ´ um primo, entõ 2n−1 .(2n − 1)
c˜
e
a
´ perfeito. A prova ´ fćil, em termos da defini¸ao de n´mero perfeito dada no Livro V II.
e
e a
c˜
u
Os gregos antigos conheciam os quatros primeiros n´meros perfeitos: 6, 28, 496 e 8.128.
u
Euclides nõ respondeu a pergunta rec´
a
`
ıproca - se essa f´rmula fornece todos ou nõ todos
o
a
os n´meros perfeitos. Sabe-se agora que todos os n´meros perfeitos pares sõ desse tipo,
u
u
a
mas a questõ da existˆncia de n´meros perfeitos ´
a
e
u
ımpares ´ ainda um problema nõ
e
a
resolvido. Das duas d´zias de n´meros perfeitos conhecidos hoje todos sõ pares, mas ´
u
u
a
e
arriscado supor que todos sejam.¨
Alguns, como [7], apenas citam que o quinto n´mero perfeito fora descoberto no sć. V
u
e
d.C, corresponde na f´rmula euclidiana a n = 13 e ´ 33.550.336. Portanto, ´ compreensivo que
o
e
e
Rosvita nõ soubesse desse ou nõ tivesse meios para conferir, pois fazia conta com algarismos
a
a
romanos. E o seu agu¸ado tino matem´tico desponta quando estudos posteriores revelam lances
c
a
fabulosos envolvendo conte´do que divulgou, notando que a f´rmula euclidiana s´ comprova ser
u
o
o
n − 1 primo.
perfeito depois que se sabe ser 2

o
a

13

Um grande estudioso desse fator em particular, foi o frade franciscano Marin de Mersene
(1588-1648). E em sua homenagem todo esse que for primo ´ chamando de n´ mero primo de
e
u
e
a
Mersene, que alguns autores denotam por Mn [7]. E temos que: se n ´ par e nõ primo, i.e,
n − 1 = 22k − 1 = (2k )2 − 1 = (2k − 1)(2k + 1), portanto, composto. Assim
n = 2k, k > 1, entõ 2
a
com, h´ n primo sem que 2n − 1 seja. Por exemplo, n = 13, 213 − 1 (verifique) ´ composto.
a
e
Exerc´
ıcio 5 - Provar que 2n − 1 ´ primo de Mersene apenas se n for primo. Ou seja, se n ´
e
e
composto, entõ 2n − 1 tamb´m ser´.
a
e
a
O matem´tico sućo Leonhard Euler (1707-1783) al´m de provar que M 31 ´ primo de
a
ı¸
e
e
Mersene ainda mostra o que fecha para sempre uma das indaga¸oes que vinha dos tempos de
c˜
Euclides, com o seguinte resultado:
Teorema - Todo n´mero par e perfeito ´ dado pela f´rmula euclidiana. Isto ´, se m ´ par e
u
e
o
e
e
perfeito, entõ existe n tal que m = 2n−1 .(2n − 1).
a
Diversos outros resultados permeiam n´meros perfeitos e com o advento do computador j´
u
a
foi poss´
ıvel determinar alguns com enorme quantidade de d´
ıgitos e dois problemas que parecem
persistirem, porquanto, nõ sei hoje se provado, sõ:
a
a
- Haver ou nõ n´mero perfeito ´
a u
ımpar.
- Se os primos de Mersene sõ infinitos.
a
E o divulgado por Rosvita atinge at´ o glamouroso, que ´ a posi¸ao reservada aos casos
e
e
c˜
em que al´m de transcender no tempo, como j´ vimos, ainda permite generaliza¸oes. Posto que,
e
a
c˜
Mersene definiu n como sendo n´mero multiplamente perfeito de ordem k quando a soma de
u
todos os seus divisores, S, ´ tal que S = k.n. Obviamente inspirado no caso de que todo perfeito ´
e
e
multiplamente perfeito de ordem dois, i.e, n perfeito, entõ S = 2n. O mesmo teria achado os trˆs
a
e
primeiros n´meros multiplamente perfeito de ordem 3, qual sejam: 120, 672 e 523.776 [7]. Sendo
u
que esse comunicou da sua proposta em carta ao matem´tico francˆs Ren´ Descartes (1596 a
e
e
1650), o qual em resposta envia uma lista de nove desses.
Para finalizar, tudo isso mostra da perfei¸ao com que Rosvita cruzou com alguns conceitos
c˜
da matem´tica. Por´m, essa prova o mesmo valor em termo de educa¸ao ao oferecer ao seu Rei um
a
e
c˜
livro, como ilustra gravura que usamos e consta em [3] - A. D¨ner, A monja Rosvita apresenta
u
um livro a Otõ I (kupferstichkabinett, Berlim).
a
ˆ
REFERENCIAS
[1] A Experiˆncia Matem´tica, Davis P. J. e Herst R., Ciˆncia Aberta, Ed. Gradiva, 1 a 1995
e
a
e
[2] Educa¸ao, Teatro e Matem´tica Medievais, Lauand, L., Ed. Perspectiva, 1986
c˜
a
[3] Os Elementos de Euclides, Tradu¸ao e Introdu¸ao de Irineu Bicudo, Ed. Unesp, 2009
c˜
c˜
[4] Hist´ria da Matem´tica, BOYER, C. B., trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2 a Edi¸ao, Ed.
o
a
c˜
Edgard Bl¨cher Ltdda, 1988
u
[5] Introdu¸ao a hist´ria da matem´tica, EVES, HOWARD, tradu¸ao de Domingues, H.H, 3 a
c˜ `
o
a
c˜
edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002.
c˜
[6] Introdu¸ao a Teoria dos N´meros, Santos, J.P. O, Col. Mat. Universit´ria, Impa, 1998
c˜ `
u
a
[7] N´meros e Numerais (T´picos de Hist´ria da Matem´tica para Uso em Sala de Aula), Gundu
o
o
a
lach, B. H, tradu¸ao de Domingues H.H, Ed. Atual, 1998
c˜
[8] N´meros Not´veis, Shokranian, S., Ed. UnB, 2002
u
a
[9] Uma Breve Hist´ria do Infinito - Dos paradoxos de Zenõ ao Universo Quˆntico, Morris, R.,
o
a
a
Ed. Zahar, 1997

o
a

14

ˆ
MADAME DU CHATELET, (Fran¸a, 17/12/1706 -10/09/1749)
c
´
ˆ
A MATEMATICA QUE CONCILIAVA DOIS GENIOS
¨Para Lenard, Einstein era o prot´tipo do ¨pensamento judeu degenerado¨, que tra´ as idías
o
ıa
e
simples e claras da F´
ısica Cl´ssica.¨
a
Heisenberg, E., A Vida Pol´
ıtica de um Apol´
ıtico, Ed..Ars Poetica
Por Nascimento J.B.
www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbn
Email: jbn@ufpa.br, 18/mar¸o/2012
c
Imagine em pleno sć. XVIII uma jovem em trajes masculino batendo
e
na porta de caf´ parisiense onde grandes matem´ticos se encontravam, nõ
e
a
a
que ela quisesse enganar ningu´m, mas como protesto por haver tentado
e
entrar antes para debater com alguns desses e tinha sido impedida.
E nem h´ qualquer ind´ de que ela seria ingˆnua que nõ soubesse que em tais lugares
a
ıcio
e
a
poderia servir algo mais do que caf´. O que essa sempre demonstrou ´ que sabia separar os seus
e
e
´
interesses cient´
ıficos dos demais. Essa recebeu ao nascer o nome de GRABRIELLE EMILIE
´
TONNELIER DE BRETEUIL e conhecida historicamente por Emilie, Madame ou Marquesa Du Chˆtelet.
a
Ficando lament´vel que historiador da matem´tica ante suas obras transpare¸a mais prea
a
c
ocupado com os seus bilhetes amorosos, como os que ela fazia para o seu maior leitor, confidente
cient´
ıfico e amante, Fran¸ois Marie Arouet, fil´sofo francˆs mais conhecido por Voltaire (1694
c
o
e
-1778). Isso faz com que, como no caso de Eves H, [8], p´g. 482, essa seja apresentada nos seguintes
a
termos: Ëmbora mais uma divulgadora do que uma criadora de matem´tica...¨.
a
Eves, em cujo prefćio defende que sua obra se prop˜e ser util para forma¸ao docente, comete
a
o
´
c˜
um disparate ao contrapor divulgador com criador. Posto que, desconhece o obvio: saber sem di´
vulga¸ao ´ quase in´til e docˆncia s´ existe pelo valor que h´ em divulgar saberes. Esse deveria ter
c˜ e
u
e
o
a
se lembrado, pelo menos, que a obra mais lida da matem´tica, Os Elementos de Euclides (sć. III
a
e
a.C), nõ apenas se comp˜e de resultados originais, que os h´, como ´ compila¸ao de resultados
a
o
a
e
c˜
que estavam dispersos e foram reavivados num arranjo genial que tornou poss´ divulg´-los.
ıvel
a
Vamos mostrar que essa fez um trabalho de divulga¸ao exemplar na hist´ria da matem´tica,
c˜
o
a
coisa imposs´
ıvel para quem nõ domina esse saber. Para tanto, ´ preciso conhecer um pouco do
a
e
quanto sua ´poca estava sobrecarregada por uma disputa feroz centrada na base essencial da Ciˆncia
e
e
e Tecnologia moderna, a qual ´ C´lculo Diferencial e Integral. Pois, partid´rios dos dois principais
e a
a
formuladores disso, os matem´ticos Sir Isaac Newton (inglˆs, 1642-1727) e Gottfried Wilhelm
a
e
von Leibniz (alemõ, 1646-1716), enfrentavam-se numa briga feroz. E quem nos mostra um pouco
a
do n´ disto ´ o seguinte trecho de livro de Voltaire publicado em 1739:
ıvel
e
¨Se uma falsa experiˆncia nõ tivesse conduzido Newton a esta conclusõ, podemos
e
a
a
acreditar que ele teria raciocinado de forma absolutamente diferente.¨
Elementos da Filosofia de Newton, Voltaire, trad. Maria das Gra¸as S. do Nascimento,
c
Ed. Unicamp, 1996
Dado que, at´ um pensador como Voltaire se disp˜e fazer um argumento tõ canhestro
e
o
a
deste em defesa de Newton, endeusando-o por retirar-lhes at´ os erros de suas experiˆncias. E o
e
e
seguinte trecho de artigo [11, p´g. 18-19], dimensiona quase tudo (g.n):
a

o
a

15

Ëm Leibniz Newton encontrou um advers´rio mais de seu calibre. Hoje em dia,
a
est´ bem estabelecido que Newton desenvolveu o c´lculo antes de Leibniz
a
a
´
pensar em estudar seriamente matem´tica. E quase universalmente aceito
a
que Leibniz chegou mais tarde ao c´lculo independentemente. Nunca houve
a
d´ vida de que Newton nõ publicou seu m´todo dos fluxos; assim, foi o
u
a
e
artigo de Leibniz, em 1684, que primeiramente tornou o c´lculo p´ blico. Nos
a
u
Principia Newton deu dicas desse m´todo, mas ele nõ o publicou realmente
e
a
´
antes de anexar dois artigos ao seu Otica de 1704. Nessa ´poca, a controv´rsia
e
e
j´ estava perdendo seu calor.
a
´
E imposs´ dizer quem come¸ou. O que eram apenas acidas cr´
ıvel
c
´
ıticas rapidamente se
tornou fortes acusa¸oes de pl´gio de ambos os lados. Levado por seguidores ansiosos
c˜
a
por ganhar reputa¸õ `s suas custas, Newton se deixou levar ao centro da
ca a
disc´rdia; e, uma vez que seu temperamento foi espica¸ado por acusa¸oes de desonestio
c
c˜
dade, sua ira ficou al´m dos limites. A condu¸ao da controv´rsia por Leibniz nõ foi muito
e
c˜
e
a
agrad´vel, mas era p´lida perante a de Newton. Apesar de nunca ter aparecido em
a
a
p´ blico, Newton escreveu a maioria das pe¸as que apareceram em sua defesa,
u
c
publicando-as em nome de seus jovens disc´
ıpulos, que nunca negaram a autoria.
Como presidente da Royal Society, ele apontou um comitˆ ’imparcial’ para invese
tigar a questõ, secretamente escreveu o relat´rio oficialmente publicado e a
a
o
resenhou anonimamente nas Philosophical Transactions. Mesmo a morte de
Leibniz nõ diminuiu a f´ria de Newton, e ele continuou a perseguir o inimigo al´m do
a
u
e
t´mulo. A batalha com Leibniz e a necessidade incontrol´vel de afastar a acusa¸ao de
u
a
c˜
desonestidade dominaram os ultimos 25 anos da vida de Newton. Isso o envolvia quase
´
inconscientemente. Quase todos os artigos em qualquer assunto nesses ultimos anos
´
continham um par´grafo furioso contra o fil´sofo alemõ, e ele afiou os instrumentos
a
o
a
de sua f´ria com ainda mais cuidado. No fim, apenas a morte de Newton aplacou sua
u
vingan¸a.¨
c
Foi nesse ambiente de alta toxidade das mentalidades cient´
ıficas que em 1740 Madame Du
Chˆtelet publica Institutions de Physique, na qual defende ideias de Leibniz, porquanto, um
a
anos ap´s Voltaire publicar em defesa de Newton e quando j´ dividiam len¸ois, o que mostra da
o
a
c´
sua total independˆncia nesse tocante. E anos depois essa pede e consegue autoriza¸ao real para
e
c˜
fazer a primeira e definitiva tradu¸ao francesa da obra mais fundamental de todos os tempos da
c˜
aplica¸ao do C´lculo Diferencial e Integral: Principia de Newton.
c˜
a
Ficando gr´vida, na medida em que a gravidez avan¸ava mais essa ultimava terminar essa
a
c
tradu¸ao e nõ escondia a razõ de ningu´m: temia morrer de parto. Isso era tõ evidente que
c˜
a
a
e
a
nesse advento estavam presentes marido e amantes. E as correspondˆncias que trocaram logo ap´s
e
o
o parto, felizes por tudo ter transcorrido normalmente, porquanto, aliviados, comprova tudo. Entretanto, dias ap´s essa se sente enferma e no leito pede que lhe trouxesse as anota¸oes prontas da
o
c˜
tradu¸ao de Newton, anota nessa 10/09/1749 e logo falece.
c˜
Postumamente, em 1756, o mundo conhece a magistral tradu¸ao e descobre que nõ era
c˜
a
apenas isso, pois estava recheada de coment´rios pr´prios dos mais valiosos. Havendo um detalhe:
a
o
se vivo fosse, Newton teria pelos menos dois aborrecimentos. Posto que, pelo numa p´gina que
a
encontrei na internet, ela usou a nota¸ao leibniziana para derivada e integral e uma proposi¸õ
c˜
ca
que Newton resolve aplicando integra¸õ numa esfera, no seu coment´rio ela faz no
ca
a
geral para esferíde. Lembro que isso ocorre nos prim´rdios do C´lculo, porquanto, integra¸ao
o
o
a
c˜
em uma vari´vel e mesmo com o instrumental que temos hoje as duas integra¸oes nem sempre sõ
a
c˜
a
de dificuldades equivalentes.

o
a

16

´
Emilie Du Chˆtelet referencia profissionalismo mostrando que a Ciˆncia s´ perde com
a
e
o
briga tipo Newton-Leibniz, envolvendo paix˜es pessoais, desprezo pelos preceitos cient´
o
ıfico, fora
do interesse p´blico e servindo para todo tipo de adula¸oes, prescindindo conciliar com base de
u
c˜
validade tćnica o que houver de bom de ambos os lados. E essa premissa ´ porque Ciˆncia e Dee
e
e
senvolvimento Cient´
ıfico e Tecnol´gico precisam at´ mais do que dessa concilia¸ao, exigem avan¸ar
o
e
c˜
c
e inovar as formula¸oes, nõ apenas no sentido tćnico, isso at´ ocorreu razoavelmente no caso do
c˜
a
e
e
C´lculo, mas em divulga¸ao, porquanto, qualificando o ensino/forma¸ao docente disto.
a
c˜
c˜
E um fato que mostra do quanto o feito por Madame Du Chˆtelet precisa continuar sendo
a
perseguido ´ o seguinte trecho de livro escrito em 1977 do ex-professor de filosofia e matem´tica da
e
a
Kingston University Paul Stranthern, p´g. 64-65, [13]:
a
Äinda no sć. XVIII, Pit´goras foi admirado por Leibniz, figura quase f´rtil intelece
a
e
tualmente e quase tõ excˆntrica quanto ele. O grande pol´
a
e
ıgrafo e med´
ıocre matem´tico
a
alemõ (al´m de diplomata nada diplom´tico, inepto plagiador, negocista frustrado etc.)
a
e
a
via-se como parte ’tradi¸ao pitag´rica’ Fez o melhor que pˆde.¨
c˜
o
o
E em pa´ como Inglaterra as desqualifica¸oes que tal mentalidade permeia no ensino da
ıses
c˜
matem´tica em n´ superior sõ amortecidas no desenvolvimento tecnol´gico via outros fatores,
a
ıvel
a
o
como a qualidade do ensino da matem´tica no n´ b´sico. Entretanto, em outros que nõ disp˜em
a
ıvel a
a
o
de nada substancial capaz disto, como ´ o caso do Brasil, isso explode nos cursos de Exatas
e
e Engenharia num quadro dantesco do n´
ıvel de rendimento em C´lculo. Um dado de
a
um determinado ano que obtemos da UFPA aponta que de 140 ingressantes em cursos
de Exatas, apenas 13 foram aprovados na primeira disciplina desse tema.
E nada disto ´ socialmente sens´ no Brasil por fatores da m´ educa¸ao, como nõ haver
e
ıvel
a
c˜
a
nos sites dos cursos os dados estat´
ısticos do n´ de aprova¸ao/reprova¸ao. E o mais verdadeiro
ıvel
c˜
c˜
em tudo ´ que tais dados tr´gicos sõ normalizados em fun¸õ do p´ssimo ensino
e
a
a
ca
e
b´sico em matem´tica, porquanto, esse nõ cumpre ` exigˆncia m´
a
a
a
a
e
ınima de preparar
o educando para tal evento. Muito pelo contr´rio, destrí os fatores predecessores no
a
o
entendimento dos conceitos gerais de C´lculo, como j´ dissemos, pouco dependem da
a
a
versõ, pelo menos, no caso Newton-Leibniz.
a
´
Emilie Du Chˆtelet, finalizando, haver´ de ser lembrada sempre que
a
a
tiver algu´m seriamente empenhado em Ciˆncia, porquanto, pelo menos
e
e
livre dos preconceitos mais banais, os mais terr´
ıveis. E tudo aqui enfoca
apenas sua contribui¸ao em matem´tica, havendo diversos outros pontos
c˜
a
para encontr´-la sem qualquer possibilidade de nõ ter algo para leitura
a
a
ˆ
com alta densidade, dado que, MADAME DU CHATELET escrevia
tendo ao lado uma tina com agua gelada para ir resfriando sua mõ.
´
a
Ilustra¸oes obtidas em
c˜
http://www.flickr.com/photos/fundoro/5415666228/, acesso Marc/12
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Madame du Ch%C3%A2telet.jpg, aceso Marc/12

o
a

17

ˆ
APENDICE
´
UM POUCO NA DIFERENCA DAS FORMULACOES DE CALCULO
¸
¸˜
NEWTONIANO E LEIBNIZIANO
Qual ´ toda essa? Factualmente nõ sei. Mas num aspecto ´ patente: Newton fazia o seu
e
a
e
c´lculo visando o que j´ estava posto nas suas teorias, especialmente em mecˆnica, e
a
a
a
´
Leibniz estava mais centrado nos fundamentos filos´ficos dos resultados. E como hoje
o
acontece em computa¸ao quando quando programa diferentes podem at´ fazer aparecer no monitor
c˜
e
do computador o que possa ser visto como o mesmo por usu´rias comuns, e at´ transparece como
a
e
verdade cient´
ıfica. Entretanto para quem conhece programa¸ao e mais profundamente a diferen¸a
c˜
c
pode ser imensa. Havendo um fator agravante nisso: a Mecˆnica Newtoniana ´ eterna, mas em
a
e
termos de Ciˆncia e Tecnologia ´ um belo passado.
e
e
Vamos ilustrar com o seguinte exemplo bem comum em livro de C´lculo:
a
Considere que uma escada de 5m de comprimento, antes encostada
numa parede perfeitamente vertical, comece a deslizar se afastando da
parede numa dire¸ao perfeitamente horizontal. Se quando essa se encontrar
c˜
numa posi¸ao que dista 4m da parede a velocidade com que se afasta ´ de
c˜
e
3 m/s, determina a velocidade e posi¸ao da parte superior verticalmente
c˜
em descida.
Resolu¸ao
c˜
Adotando a nota¸ao cartesiana e que velocidade se afastando da origem ´ positiva e negativa
c˜
e
no contr´rio, para todo instante de tempo t, o Teorema de Pit´goras diz que
a
a
x2 (t) + y 2 (t) = 25 (1)
Diferenciando (1) em t, Regra da Cadeia, fica: 2x(t)
x(t)

dx
dy
+ 2y(t)
= 0 e, portanto,
dt
dt

dy
dx
+ y(t)
= 0 (2).
dt
dt

Como no instante procurado x(t0 ) = 4 , por (1), obtemos que y(t0 ) = 3 e como ainda nesse
dx
dy
instante
(t0 ) = 3 m/s, substituindo esses valores em (2), conclui-se que
(t0 ) = −4 m/s.
dt
dt
E todas as formula¸oes de C´lculo que conhe¸o chegam nessas condi¸oes nessa mesma conc˜
a
c
c˜
clusõ.
a
Agora considere que x esteja bem pr´ximo de 5m. A equa¸ao (1) no diz que y fica bastante
o
c˜
dy
pr´ximo de zero. Logo, para calcular
o
nesse caso vou precisar dividir por y bastante pr´ximo
o
dt
de zero. Por´m, os fundamentos de C´lculo diz que tal aproxima¸õ faz com que a
e
a
ca
velocidade exploda. Entretanto, mecˆnica nenhuma, quanto menos newtoniana, aceita
a
uma coisa desta. Portanto, surgem perguntas: qual ´ o limite aceit´vel dessa aplica¸õ?
e
a
ca
Quais sõ isso de todos os casos? Qual filosofia do ensino da matem´tica abarca tudo
a
a
isso?

o
a

18

ˆ
REFERENCIAS
´
ˆ
[1] EMILIE DU CHATELET,
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89milie du Ch%C3%A2telet, acesso Marc/12
´
[2] EMILIE DU CHATELET, UN PASSEUR SCIENTIFIQUE AU XVIIIE SIECLE, D’EUCLIDE A LEIBNIZ,
Mireille Touzery
http://histoire-cnrs.revues.org/7752, acesso mar¸/12
c
´
ˆ
[3] EMILIE DE BRETEUIL, MARQUESA DU CHATELET, CIENT´
IFICA DEL SIGLO DE LAS LUCES, SHAHEN HACYAN
http://www.revistas.unam.mx/index.php/cns/article/view/12091, acesso Marc/12
[4] FEMALE PIONEERS IN MATHEMATICS FOUND STRENGTH IN NUMBERS,
http://www.theaustralian.com.au/news/arts/female-pioneers-in-mathematics-found-strength-in-numbers/story-e6frg8nf1226098373410, acesso Marc/12
[5] GREATEST WOMEN MATHEMATICIANS
http://www.successstories.co.in/greatest-women-mathematicians/, acesso Marc/12
´
´
[6] HISTORIA DA MATEMATICA, Boyer, C. B, trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2a Edi¸ao, Ed. Edgard
c˜
Bl¨cher Ltdda, 1988
u
ˆ
´
[7] HISTORIOGRAFIA DA CIENCIA: ELEMENTOS QUANTITATIVOS COMO BASE PARA A AN ALISE
QUALITATIVA, Sergio Nobre, Unesp - Rio Claro,
http://www.sepq.org.br/IIsipeq/anais/pdf/mr1/mr1 7.pdf, acesso Marc/12
´
´
[8] INTRODUCAO A HISTORIA DA MATEMATICA, Eves, H., tradu¸ao: Hygino H. Domingues, 3a edi¸ao,
¸˜ `
c˜
c˜
Ed. Unicamp, SP: 2002
´
´
[9] LA MARQUESA QUE TRADUJO LOS PRINCIPIOS MATEMATICOS DE NEWTON AL FRANCES
http://www.camiri.net/?p=5085, acesso Marc/12
ˆ
[10] MADAME DU CHATELET
http://revistaphilomatica.blogspot.com.br/2010/03/madame-du-chatelet.html, acesso Marc/12
´
[11] MAT5766-EPISTEMOLOGIA DA MATEMATICA, Semin´rio: Newton e o c´lculo, Guilherme de Souza
a
a
Rabello e William Vieira, 5/11/ 2002
http://www.ime.usp.br/ brolezzi/semin.pdf, acesso Marc/12
ˆ
[12] MARQUESA DE CHATELET,
http://matedanse.no.sapo.pt/pagina11.htm, acesso mar/12
´
[13] PITAGORAS E O SEU TEOREMA EM 90 MINUTOS, Stranthern, P., trad. Marcus Penchel, Jorge Zahar
Ed. 1988

o
a

19

M A R I A G A E T A N A A G N E S I (Milõ, 1718 - 1799)
a
´
´
A MATEMATICA AUTORA DO PRIMEIRO TEXTO DIDATICO EM
´
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E QUE RESOLVIA PROBLEMA
´
ATE DORMINDO

¨Nem todo processo nervoso, muito menos todo processo cerebral, ´
e
acompanhado de consciˆncia.¨ Erwin Schr¨dinger
e
o
(f´
ısico austr´
ıaco, 1887-1961, Nobel de 1933)
O que ´ Vida? O Aspecto F´
e
ısico da C´lula Viva, seguido de Mente e
e
Mat´ria e Fragmentos Autobiogr´ficos, Trad. Assis, J. P. e Assis V. Y.
e
a
P., Ed. Unesp, 1997
Por Nascimento, J.B
a
c

Nem Havia florescido a metade do sć.XVII quando uma menina italiana com nove anos
e
de idade publica artigo em latim defendendo o direto das mulheres ingressar em curso superior. E
mesmo que fosse apenas uma peraltice j´ teria valor hist´rico, mas estava longe disto. Trata-se de
a
o
MARIA GAETANA AGNESI, filha de docente de matem´tica da universidade de Bolonha e
a
j´ respeitada nesse c´
a
ırculo acadˆmico como dominadora de v´rios saberes.
e
a
E aos que pensaram tudo permanecer no campo te´rico, GAETANA AGNESI deu-lhes
o
resposta pouco mais da dobra do tempo, a qual foi a seguinte registrada em Eves, [3], p´g 479 (g.n):
a
¨Quando tinha vinte anos, publicou Propositiones Philosophicae, uma coletˆnea
a
de 190 ensaios que, al´m de matem´tica, se ocupam de l´gica, mecˆnica, hidromecˆnica,
e
a
o
a
a
elasticidade, gravita¸ao, mecˆnica celeste, qu´
c˜
a
ımica, botˆnica, zoologia e mineralogia.
a
Esses ensaios resultaram das discuss˜es nas tert´lias em casa de seu pai.¨
o
u
Visando preparar irmõ que demonstrava interesse por Exatas, porquanto, mais ainda util
a
´
para qualquer outro, em 1748, AGNESI publica Instituzioni Analitiche cobrindo em dois
volume o que ainda hoje em pa´
ıses como o Brasil ´ o essencial para se come¸ar uma gradua¸ao
e
c
c˜
promissora em Exatas e Engenharia. Esse assume aspecto did´tico por trazer os fundamentos
a
matem´ticos que dõ suporte para o entendimento de C´lculo, mais conhecido no Brasil por prá
a
a
e
c´lculo/revisõ e serve de referˆncia do que se deve fazer no ensino b´sico.
a
a
e
a
Traduzida para o inglˆs, porquanto essa obra influenciou em diversos pa´
e
ıses, os livros atuais
seguem pr´ximos desse padrõ. E um caso que essa tratou serve para situarmos a importˆncia de
o
a
a
tudo de forma um pouco mais tćnica. Trata-se de uma curva que Pierre de Fermat (1601 e
1665) havia definido, a qual, por erros de diversas tradu¸oes, ficou conhecida por FEITICEIRA
c˜
ou CURVA DE AGNESI.
Lembro que nõ tenho essa obra de AGNESI para colocar exatamente tudo que ela fez em
a
fun¸ao desta curva. De fato, nem ´ essa a inten¸ao, mas mostrar como pode ser feito um pequeno
c˜
e
c˜
exame s´ usando essa para determinar se algu´m domina o essencial de C´lculo e, porquanto, serve
o
e
a
para todo que quiser preencher os detalhes para testar os seus conhecimentos.
Considere um c´
ırculo de raio a e centro (0, a), a reta tangente desse
em (0, 2a) e uma reta secante ao c´
ırculo passando pela origem, cujo
segundo ponto de interse¸ao ´ G e faz interse¸ao com a reta tangente
c˜ e
c˜
em H. As retas, paralelas ao eixo − y passando por H e ao eixo − x
passando por G, tem P por ponto de interse¸ao. A curva ´ a descrita
c˜
e
por todos os lugares geom´tricos de P assim obtidos.
e
Os t´picos principais sõ:
o
a

o
a

20

1 - Saber tirar de informa¸oes descritivas Equa¸oes Alg´bricas, mostrando que a equa¸ao
c˜
c˜
e
c˜
2 + 4a2 ) = 8a3 .
dessa curva ´ y(x
e
2 - Saber o m´
ınimo de deriva¸ao, porquanto, calcular as derivadas primeiras e segundas, y e
c˜
y , usando caso particular da Regra do Quociente e Regra da Cadeia.
3 - Interpretar conceitos via deriva¸ao, como o de Ponto de Inflexõ, mostrando nesse caso
c˜
a
que, por exemplo, a reta secante passando pela origem fazendo um angular de 60 o com o eixo − x
tem Ponto de Inflexõ dessa curva.
a
4 - Que o eixo − x ´ Reta Ass´
e
ıntota dessa curva.
5 - Saber que area limitada pela curva e eixo − x pode ser calculada por
´
Integral de y(x).
6 - Conhece, pelo menos num caso particular, o C´lculo de Primitiva do
a
inverso de polinˆmio do segundo grau com discriminante negativo.
o
7 - Conhece o conceito de Integra¸õ com limite no infinito o suficiente
ca
para calcular a area limitada por essa curva e o eixo − x, obtendo ser o
´
qu´druplo da do c´
a
ırculo de raio a.
8 - Conhece as tćnicas b´sicas do c´lculo por integra¸ao em uma vari´vel
e
a
a
c˜
a
´
da Area e Volume de S´lido Gerado pela Rota¸õ de curva, calo
ca
culando tais elementos do obtido pela rota¸ao dessa curva em torno do eixo−x.
c˜
Em 1749, MARIA GAETANA AGNESI foi designada pelo Papa Benedito XIV como
membro da Universidade de Bolonha, sem que haja qualquer outro fator mais preponderante para
tal atitude papal do que acreditar nos seus dotes cient´
ıficos. Entretanto, tudo indica - come¸ando
c
que nõ acho anais da pr´pria universidade indicando o contr´rio, e deveria fazˆ-lo com orgulho-,
a
o
a
e
que essa nunca exerceu efetivamente o cargo de docente nessa universidade. E este epis´dio, ino
dependentemente de tudo, mostra o n´ a que discrimina¸ao contra mulher pode chegar quando
ıvel
c˜
anula efeito de decreto papal em pleno sć. XVIII.
e
Finalizando, um fato que muitos citam como excentricidade, qui¸a acidental, acho ser mais
c´
obra da engenhosidade humana na busca de aprender. Posto que, sofrendo de sonambulismo essa
antes de deitar-se arruma a sua escrivaninha deixando separados os problemas mais duros ou que
nem sabia resolver. E uma vez atacada por essa disfun¸ao do sono, levanta-se, acende sua lamparc˜
ina, resolve-os, voltar para ao leito para acabar de dormir e ao acordar revisa o feito, sem que haja
qualquer registro de que MARIA GAETANA AGNESI tenha errado na resolu¸ao dos que fez
c˜
acordada ou sonˆmbula.
a
Ilustra¸oes copiadas de:
c˜
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Il frontispizio delle Instituzioni analitiche dell’ Agnesi.png, acesso
Mar¸/12
c
http://it.wikipedia.org/wiki/File:5407 - Palazzo di Brera, Milano - Busto a Gaetana Agnesi - Foto
Giovanni Dall%27Orto, 1-Oct-2011.jpg, acesso Mar¸/12
c

o
a

21

Referˆncias
e
´
[1] AS MULHERES NA MATEMATICA, TCC de K´tia Cristina da Silva Souza, Licencianda
a
em Matem´tica, UCB/DF, Orientador: Sinval Braga de Freitas,
a
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22006/KatiaCristinadaSilvaSouza.pdf, acesso Mar¸/12
c
[2] CURVA DE AGNESI
http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva de Agnesi, acesso Mar¸/12
c

3a

´
´
[3] INTRODUCAO A HISTORIA DA MATEMATICA, Eves, H., tradu¸ao: Hygino H. Domingues,
¸˜ `
c˜
edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002,
c˜

[4] MARIA GAETANA AGNESI
http://instructional1.calstatela.edu/sgray/Agnesi/, acesso Mar¸/12
c
[5] MARIA GAETANA AGNESI
http://www.robertnowlan.com/pdfs/Agnesi,%20Maria%20Gaetana.pdf, acesso Mar¸/12
c
´
´
[6] 7 NOTAVEIS MULHERES MATEMATICAS
http://www.ﬁchariodematematica.com/2011/04/7-notaveis-mulheres-matematicas.html, acesso Mar¸/12
c

o
a

22

M A R I E − S O P H I E G E R M A I N ( Fran¸a,1776 - 1831)
c
´
´
A MATEMATICA QUE LANCOU BASE DO QUE HOJE HA DE MAIS
¸
AVANCADO EM ENGENHARIA
¸
¨Gosto da gota d’´gua que se equilibra na folha rasa, tremendo no vento.¨
a
Cec´ Meireles
ılia
Por Nascimento, J.B
a
E-mail: jbn@ufpa.br, Out/2011
Numa vista r´pida, enxerga-se nas pirˆmides eg´
a
a
ıpcias e em alguns pr´dios atuais como obras
e
esplˆndidas da engenharia de cada ´poca. E o diferencial ´ abismal: enquanto as pirˆmides sõ dene
e
e
a
a
tro de uma concep¸ao de extrema rigidez, entendendo que vibra¸ao ´ perigosa, alguns atuais sõ
c˜
c˜ e
a
feitos exatamente para nõ cair por balan¸ar durante terremotos.
a
c
In´meras pessoas contribu´
u
ıram nisso, muitos anonimamente e de diversas areas. E todo
´
que deu foi por fazer dos estudos algo de seriedade e determina¸ao, portanto, superando diversos
c˜
obstćulos. Nesse caso, o que geralmente ´ raro, h´ uma contribui¸ao in´dita, fundamental e que
a
e
a
c˜
e
surpreende muita gente por ser de uma mulher. Posto que, historicamente essas sofrem discrimina¸oes e mais ainda na area dessa, matem´tica, o que ainda hoje ´ uma tr´gica realidade brasileira.
c˜
´
a
e
a
MARIE-SOPHIE GERMAIN, francesa, nasceu em 1776, ´poca em que escola para
e
meninas era apenas o suficiente para escrever e ler cartas de amor. Na sua adolescˆncia, em fun¸ao
e
c˜
de grandes agita¸oes sociais, especialmente na sua cidade, Paris, os seus pais colocaram-na para
c˜
passar o dia na biblioteca, portanto, proibida de sair na rua, quando teria lido e se encantado com
a vida e obra do matem´tico Arquimedes de Siracusa (287 a.C. - 212 a.C), reconhecidamente
a
um dos maiores matem´tico e engenheiro de todos dos tempos. Arquimedes foi morto por soldado
a
invasor enquanto transcrevia na areia da praia algum resultado, quando havia determina¸ao supec˜
rior de protegˆ-lo. Ou seja, mesmo prisioneiro seria valioso aos inimigos.
e
Germain demonstra interesse significativo por matem´tica ao ponto do tempo na biblioteca
a
ser insuficiente e adentrar na noite estudando no seu quarto. E al´m da preocupa¸ao com a sa´de
e
c˜
u
dessa e da inutilidade que viam na ´poca menina estudar matem´tica, os seus pais passaram em
e
a
racionar as suas velas e tudo mais para que ela fosse dormir mais cedo. Entretanto, a obstina¸ao
c˜
de Germain convenceu-os do quanto nada disso fazia diminuir o seu interesse por matem´tica.
a
Havendo um dado relevante: os seus estudos capacitava, e s´ interessava, para ingressar na
o
´
Ecole Polytechnique, que era o centro em termos de Ciˆncia e Tecnologia, entretanto, proibido as
e
`
mulheres. Pior ainda: mesmo o seu pai sendo da burguesia nada podia fazer contra isso e, pela
agita¸ao social reinante, seria at´ perigoso cogitar ingresso de mulher no equivalente hoje ao n´
c˜
e
ıvel
superior.
Germain coloca em evidˆncia mais uma vez a sua singular obstina¸ao e descobre haver
e
c˜
nessa um que nõ comparecia: Monsieur Antoine-August Le Blanc, E age como se fosse ele e
a
logo numa disciplina avan¸ada ministrada pelo j´ famoso na ´poca e seu compatriota, o matem´tico
c
a
e
a
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Lagrange toma um susto lendo trabalhos dos seus alunos.
Como Le Blanc, at´ entõ matematicamente obscuro, isso pelo fato de nem lembrar quem seria,
e
a
tinha evolu´ tanto. Ante isso, Lagrange solicita presen¸a na sua sala.
ıdo
c
´
Lagrange teria tomado outro susto maior pela figura que adentra sua sala. E o primeiro a
falar observando que Le Branc deveria passar p´ssimos momentos por ter um peitoral tõ avantae
a
jado. Nisso, Germain releva toda verdade e ganha de Lagrange mais do que admira¸ao, incentivo
c˜
para estudar matem´tica.
a
Paralelamente a isso, Germain, como se fosse Le Blanc, j´ vinha atravessando fronteiras
a
trocando correspondˆncia com um dos maiores matem´tico de todos os tempos: Johann Carl
e
a
Friedrich Gauss(Alemanha, 1777-1855) e ganhara profundo respeito deste por conseguir fazer
coment´rios de alguns dos seus livros sem que esse visse nada que pudesse considerar qualquer
a
fraqueza matem´tica.
a

o
a

23

Gauss reconhece da profundidade matem´tica de alguns trabalhos que recebe do que sabia
a
ser monsieur Le Blanc. Esse s´ soube da verdade muito depois, 1806, quando recebeu visita de
o
comandante francˆs que invadiu sua cidade, era a ´poca das invas˜es francesas, e o avisa de que
e
e
o
estivera salvo de qualquer perigo por pedido direto da sua amiga Sophie Germain. Foi o que
ela pode fazer para nõ correr o risco de reviver o que ocorreu com Arquimedes. Isso mostra que
a
mesmo tendo contato social para tanto, nada pode fazer diretamente contra a proibi¸ao de mulher
c˜
´
ingressar na Ecole Polytechnique.
Autora de v´rios resultados originais em matem´tica, uma das teorias que desenvolveu
a
a
tinha na raiz o fato de que certas vibra¸oes, ao contr´rio da cren¸a geral, ao inv´s
c˜
a
c
e
´
de destro¸ar as estruturas, derrubando-as, contribu´
c
ıam para mantˆ-las. E nisso, Sue
perf´
ıcies El´sticas, que versa um dos seus trabalhos e pelo qual ganhou, em 1816, prˆmio da
a
e
Academia Francesa de Ciˆncia, tornando-se a primeira mulher a ser aceita nessa. E a primeira
e
grande obra de engenharia que se sabe aplicar isso ´ a Torre Eiffel, inaugurada em 1889 em Paris.
e
E cometeram uma injusti¸a sem tamanho quando em l´pide desta fizeram constar nomes de cientisc
a
tas e engenheiros que ajudaram na sua concep¸ao, sem que constasse o nome de Sophie Germain.
c˜
´
Germain fez contribui¸ao importante no j´ famoso Ultimo Teorema de Fermat (Pierre
c˜
a
de Fermat, 1601 - 1665), o qual afirma que para todo n inteiro maior do que dois a equa¸ao
c˜
xn + y n = z n nõ possui solu¸ao nos inteiros. O feito dela ´ o maior de todos antes, sem que se
a
c˜
e
tenha not´ de algum que nõ tenha tentado, e perdurou assim por muitas dćadas. Esse s´ foi
ıcia
a
e
o
resolvido pelo matem´tico inglˆs Andrew Wiles em 1994.
a
e
Finalizando, Gauss submete a universidade de G¨ttingen, Alemanha, reconhecer trabalho
`
o
de Germain como tese de doutorado. E quando a documenta¸ao de aceite do t´
c˜
ıtulo chega, a
Matem´tica MARIE-SOPHIE GERMAIN havia falecido de cˆncer na mama.
a
a
Referˆncia
e
- BOYER, C. B - Hist´ria da Matem´tica, trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2 a Edi¸ao, Ed.
o
a
c˜
Edgard Bl¨cher Ltdda, 1988, P´g. 347
u
a
˜ TIRA MULHERES DE AREAS EXATAS E PREOCUPA GOVERNO,
´
- DISCRIMINACAO
¸
http://ultimosegundo.ig.com.br/educacao/discriminacao+tira+mulheres+de+areas+exatas+e+ preocupa+governo/n1238144853610.html, acesso maio/2011
- EVES, HOWARD - Introdu¸ao a Hist´ria da Matem´tica, tradu¸ao: Hygino H. Domingues,
c˜ `
o
a
c˜
3a edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002
c˜
´
- SINGH, S. - O Ultimo Teorema de Fermat, Editora Record, 1998.
- SOPHIE GERMAIN: AN ESSAY IN THE HISTORY OF THE THEORY OF ELASTICITY,
http://books.google.com/books?id=tCTMGbB4wQ4C&printsec=frontcover&hl=pt-BR#v=
onepage&q&f=false, acesso out/2011
´
- TARADA POR NUMEROS, Revista Galileu,
http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT832482-2680,00.html, acesso out/11
- UM TEOREMA DE SOPHIE GERMAIN,
http://serolmar.wordpress.com/2010/12/14/um-teorema-de-sophie-germain/, acesso jan/11
(*) Foto em: http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/UGpages/sophie.html, acesso out/11

o
a

24

M A R Y F A I R F A X S O M E R V I L L E (Escćia, 1780-1872)
o
´
´
˜
A MATEMATICA QUE CONQUISTOU PARTE DO CEU, MAS NAO SE
LIVROU DE SOFRER CERTOS PRECONCEITOS TERRENOS
¨Meu destino ´ mais longe e meu passo mais r´pido: a minha sombra ´ que vai devagar.¨
e
a
e

Cec´ Meireles (1091-1964), Poetisa Brasileira
ılia
Por Nascimento J.B.
Email: jbn@ufpa.br, Mar¸/2012
c
A m´xima tõ antigu´
a
a
ıssima de que dinheiro vence tudo nõ valia na Escćia pela entrada do
a
o
sć. XIX ao ponto de que Os Elementos de Euclides nõ era vendido para quem fosse do gˆnero
e
a
e
feminino. Porquanto, o preconceito de que matem´tica nõ seria algo para mulher aprender vencia
a
a
a for¸a da grana.
c
MARY FAIRFAX SOMERVILLE transp˜e esta barreira pedindo que irmõ seu como
a
prasse o livro. E empreende autodidatamente uma jornada pela matem´tica ficando at´ conhecida
a
e
por ter estudado Trait´ de Mćanique Celeste do matem´tico Francˆs Pierre Simon Laplace
e
e
a
e
(1749 - 1827), a qual era, no geral, e mais ainda em termos de matem´tica, talvez a obra cient´
a
ıfica
mais intricada da ´poca, ante o uso sistem´tico de C´lculo Diferencial e Integral. Por isso, ela foi
e
a
a
convidada, desafiada de fato, por sociedade de divulga¸ao cient´
c˜
ıfica a fazer versõ mais popular
a
disto.
Assim, em 1830 foi publicada a obra The Mechanisms of the Heavens de MARY FAIRFAX SOMERVILLE, na qual incluiu os fundamentos matem´ticos necess´rios e acrescentou
a
a
uma s´rie de diagramas que reconhecidamente tornava a obra de Laplace mais acess´
e
ıvel. E a
parte mais matem´tica foi de qualidade tõ boa que justificou fazer, em 1832, outra publica¸ao
a
a
c˜
de SOMERVILLE s´ disto intitulada de A preliminary dissertation on the mechanisms
o
of the heavens.
Fica admir´vel o n´
a
ıvel que essa chegou sozinha quando mesmo seguindo todo o ritual
acadˆmico isso nõ ´ fćil. O todo serve para que toquemos de maneira bem suscita, e apenas
e
a e a
em poucos aspectos, nas dificuldades que estõ postas no ensino da matem´tica no Brasil que bloa
a
queiam o desenvolvimento do aluno no tema C´lculo. Fora as realidades escatol´gicas que, salvo
a
o
exce¸oes, e exce¸ao em educa¸ao apenas det´m barb´rie afastada por sopro, os centros p´blicos
c˜
c˜
c˜
e
a
u
brasileiros nunca se preocuparam em formar docente e os ditos de matem´tica jamais viram haver
a
seriedade em estudar matem´tica das s´ries iniciais
a
e
A estrutura matem´tica central nas s´ries iniciais ´ N = {0, 1, 2, · · · , ∞(inf inito)}. E os
a
e
e
problemas come¸am quando tomam por simpl´rio o quanto ´ 1 + 1. O p´ssimo ensino praticado
c
o
e
e
leva impor que isso ´ dois porque tem de ser dois e s´ pode ser dois. Obviamente que isso ´ fruto
e
o
e
de um adestramento, jamais de aprendizagem, posto que, o a ser ensino deve se revestir de elementos da filosofia, psicologia, hist´ria, etc, para que fundamente di´logos; de m´todos que permitam
o
a
e
executar os operacionais propostos; e de parˆmetros que nortearam os limites das aplica¸oes na
a
c˜
estrutura a ser aprendida e quais espa¸os h´ para poss´
c
a
ıveis outras abordagens.
Nisso at´ o fil´sofo da Grćia Antiga Sćrates colocou em d´vida como um objeto mais
e
o
e
o
u
outro produz outro novo objeto chamado de dois. E lamento que, tudo indica por medo da comunidade pitag´rica, esse nõ tenha se aprofundado mais na questõ. E se foram ao ponto de
o
a
a
intimid´-lo, nõ h´ como as crian¸as nõ se sentirem amea¸adas quando mesmo experiˆncias sima
a a
c
a
c
e
ples demonstram que nisso h´ muito a ser pensado.
a

o
a

25

Uma experiˆncia das mais simples ´ colocar uma gota perfeitamente sobrepondo outra.
e
e
Para quem viu ocorrer uma gota caindo sobre a outra a contagem ´ que sõ duas gotas. Mas, para
e
a
quem estava fora do espa¸o e tempo dessa aplica¸ao e agora tendo que responder vendo o resulc
c˜
tado, s´ pode falar racionalmente haver uma gota. Entretanto, para uma Ciˆncia, como no caso da
o
e
Matem´tica, que pretende ser mais universal do que local, isso ´ de uma fragilidade terr´
a
e
ıvel. E o
quˆ mais se usa para romper isso? For¸a, imposi¸ao, medo e a tirania did´tica.
e
c
c˜
a
Vamos colocar um exemplo dentro do defendido aqui:
Fato a ser aprendido: oito dividido por dois.
Filosofia subjacente: repartir igualmente.
M´todo: pode ser desenhar oito palitos e duas pessoas e repartir igualmente os palitos ene
tre essas e determinar quanto exatamente ser´ para cada uma. Se j´ sabe multiplica¸ao, pode ser
a
a
c˜
usando a equivalˆncia de que multiplicando por dois o quanto cabe a cada uma o produto ´ oito, etc.
e
e
Parˆmetros: Quem garante, por exemplo, que o educando nõ teve experiˆncia em que repartir
a
a
e
em partes iguais nõ se aplicou e que, como vivˆncia humana, isso tinha at´ legitimidade? Como o
a
e
e
processo did´tico atua na supera¸ao disto? Quais reflex˜es permeiam isso?
a
c˜
o
2 0
A presen¸a do zero imp˜e fatos como: e . Veja que o zero consta, falou-se de divisõ e,
c
o
a
0 0
portanto, achar que todo haver´ de ignorar, i.e., isso nõ existir de fato ´ por ter produzido fator
a
a
e
que oblitera todos esses. E partir-se para o simples inexistir por nõ existir, por ser imposs´
a
ıvel
existir, etc., ´ engatinhar uma grande trag´dia futuramente.
e
e
E isso avan¸a via a questõ do infinito quando aparece questionamentos do tipo ¨Quantos
c
a
naturais existem?¨, ¨Quando acaba?¨, etc., e conjuga com o anterior, fora outros como para do
0 ∞ ∞
,
,
, etc.
todo k natural, k + ∞ = ∞, k × ∞ = ∞, ∞ × ∞ = ∞, etc., nos seguintes casos:
∞ 0 ∞
Note que tudo transpassa para a cadeia num´rica N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R que deve ser constru´
e
ıda
desde do Ensino fundamental e ser´ aprofundada no Ensino M´dio, sem que se detecte nenhum
a
e
ponto na forma¸ao docente no Brasil que nõ seja de ignorar tudo. Entretanto, C´lculo ir´ absorver
c˜
a
a
a
todo o aritm´tico anterior e superar algumas dessas situa¸oes que chamamos de indeterminadas.
e
c˜
Qual ´ a filosofia subjacente? Embora seja contribui¸ao de muitos, quem condensa ´ Zenõ
e
c˜
e
a
de Elía, contemporˆneo de Sćrates e que enfrentou at´ a ira da poderosa comunidade pitag´rica.
e
a
o
e
o
Sendo apenas informativo nisso, considere um segmento unit´rio e suponha que num extremo tenha
a
ponto m´vel que ir´ percorrer o segmento da seguinte forma: anda a metade, depois a metade da
o
a
metade que falta, seguido da metade da que falta e assim sucessivamente. A constru¸ao impede
c˜
obviamente que se mova mais do que uma unidade. E menos? Tamb´m nõ, posto que, sendo o
e
a
processo cont´
ınuo qualquer valor antes da unidade ser´ superado ao mover-se por alguma metade.
a
Ou seja, estamos antes um impasse: seguramente nõ faz sentido dizer que se moveu
a
nem mais e nem menos do que uma unidade. Uma das poss´
ıveis sa´ ´ admitir que moveu
ıda e
uma unidade. Entretanto, :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
esse ädmitir¨ gera uma teoria, nõ uma verdade absoluta e,
a
portanto, por isso nõ se determina ser imposs´
a
ıvel outras possibilidades. E C´lculo
a
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Diferencial e Integral ao qual estamos nos referindo ´ constru´ com base nessa admissõ
e
ıdo
a
que ´ a Teoria de Limite.
e

o
a

26

x2 − 1
22 − 1
. Se for para calcular f (2) =
, todo o alg´brico j´
e
a
x−1
2−1
estudado se aplica normalmente. Por´m, caso se queira fazer algum c´lculo em x = 1 o educando
e
a
0
´ levado ao obliterado pela forma de ensino . E uma vez que sua mentalidade tiver presa nisso
e
0
fundamentos dos estudos da mente sõ quase inv´lidos na supera¸ao, posto que, isso tem a mesma
a
a
c˜
equivalˆncia de outros males dessa area.
e
´
Exemplo: considere a f (x) =

O m´todo que se aplica nisso ´ o seguinte: Considere que x seja um valor pr´ximo de 1,
e
e
o
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
mas nõ esse. Nesse caso fica leg´
a
ıtimo f (x) =
=
= x + 1, pois sendo x = 1
x−1
x−1
o termo x − 1 = 0 e, portanto, pode ser cancelado nas duas express˜es. Ou seja, para x pr´ximo
o
o
de 1 o que devo avaliar dentro dessa teoria ´ x + 1. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
e
Note que esse nem sempre ´ maior do que 2,
e
posto que, posso tomar algum valor pr´ximo do 1 e menor que 1, o que resulta em x+1 menor do
o
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
que 2. Por argumento an´logo, esse tamb´m nem sempre ´ menor do que 2. Nesse caso digo que
a
e
e
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
x2 − 1
o limite da f (x) quando x tende a 1 ´ 2. Cuja nota¸ao ´: lim
e
c˜ e
= 2.
x→1 x − 1
C´lculo entõ ´ um conjunto de formaliza¸oes disto e aplica¸oes decorrentes. E que isso ema
a e
c˜
c˜
base processos que geram Ciˆncia e Tecnologia ´ uma verdade posterior do que se chama, e sempre
e
e
´ uma constru¸ao ideol´gica, o que venha ser isso. E construir um ensino da matem´tica que ajuste
e
c˜
o
a
tudo isso nunca se defendeu ser tarefa fćil e, portanto, menos ainda como fez MARY FAIRFAX
a
SOMERVILLE.
Finalizando, ela ainda iria levar com que a Royal Society of London
protagonizasse em 1842 um ato da mais extrema discrimina¸ao. Pois, inauc˜
guraram um busto seu no saguõ, sem d´vida uma homenagem merecida,
a
u
por´m, pelo menos como devia, sendo essa recebida em festa, MARY
e
FAIRFAX SOMERVILLE nunca o viu por ser proibida entrada de mulher
em tal recinto.
Ilustra¸oes copiadas de:
c˜
A BUST OF MARY SOMERVILLE
http://vcencyclopedia.vassar.edu/collections-curiosities/mary-somerville.html, acesso Mar¸/12
c
http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item2708878/?site locale=en GB, acesso Mar¸/12
c
Referˆncias
e
[1] EARLY WOMEN SCIENTISTS
http://telasiado.suite101.com/early-women-scientists-a68086, acesso Marc/12
´
´
[2] INTRODUCAO A HISTORIA DA MATEMATICA, Eves, H., tradu¸ao: Hygino H. Domingues,
¸˜ `
c˜
a edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002.
3
c˜
[3] MARY SOMERVILLE: SCIENCE, ILLUMINATION, AND THE FEMALE MIND (Cambridge Science Biographies)
www.amazon.com/Mary-Somerville-Illumination-Cambridge-Biographies/dp/0521622999, acesso Marc/12
[4] MARY SOMERVILLE AND THE WORLD OF SCIENCE
www.chronon.org/reviews/Mary Somerville.html, acesso Marc/12
[5] PERSONAL RECOLLECTIONS OF MARY SOMERVILLE
http://books.google.com.br/books/about/Personal Recollections of Mary Somervill.html?id=srF6GTae8EC&redir esc=y, acesso Marc/12

o
a

27

A D A L O V E L A C E (1815 -1852)
´
A MATEMATICA QUE FAZ PARTE DA BASE DA COMPUTACAO
¸˜
MODERNA ou A POETISA DAS NOVAS TECNOLOGIAS
Ä universidade constatou que metade do
gˆnero humano ´ constitu´ de mulheres e
e
e
ıda
que as mulheres sõ tõ inteligentes quanto
a a
os homens.¨
O porquˆ de Cambridge, uma das mais antigas
e
universidades do mundo, Passou a aceitar ingresso
de mulher.
ˆ
´
CHASSOT, A. I., A CIENCIA E MASCULINA?,
Cole¸ao Aldus 16, Ed. Unisinos, 2a edi¸ao, 2006
c˜
c˜

Por Nascimento J.B.
www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbn
Email: jbn@ufpa.br, Ab/2012

Depois de objeto para preparar iguarias e guardar restos mortais, talvez o pr´ximo mais
o
comum entre todas as culturas seja o que envolve processo mecˆnico para registrar e/ou fazer cona
tagem. Uma boa exposi¸ao nisso consta em [12]. Obviamente que uma m´ educa¸ao promove ojeriza
c˜
a
c˜
com o pensamento cient´
ıfico ao ponto de nõ respeitar o n´
a
ıvel de desenvolvimento dos saberes e
levar ao deslumbramento mal´fico.
e
E um dos valores do pensamento matem´tico, uma vez delimitadas as hip´teses, isto ´, o
a
o
e
contextual cient´
ıfico, hist´rico e cultural, ´ buscar, porquanto apreciar, os fatos decorrentes. Por
o
e
isso, do ponto de vista da evolu¸ao do saber o marcar quantidade em osso com riscos pode ser uma
c˜
evolu¸ao cient´
c˜
ıfica tõ espetacular quanto o que representa o atual computador.
a
E quando em pa´ como o Brasil todas as pesquisas do n´ da aprendizagem em matem´tica
ıses
ıvel
a
induzem ser imposs´
ıvel ensinar mesmo fazer contas b´sicas para humanos, nõ deixa de ser ada
a
mir´vel haver como ensinar m´quina fazer isso. Obviamente nisso se envolveram pessoas que fiza
a
eram do estudar e aprender algo expressivo das suas vidas. O objetivo aqui ´ um pouco de apenas
e
uma dessa.
ADA AUGUSTA BYRON KING, britˆnica, reconhecida como
a
CONDESSA DE LOVELACE, filha do famoso poeta Lord Byron
(1788-1824), teve desde da infˆncia, por raz˜es pessoais da sua m˜e, os
a
o
a
seus estudos mais direcionados para exatas, embora estejamos falando de
uma ´poca em que mulher pouco tinha acesso ao ensino formal.
e
E teve, formal ou informalmente, como docentes de matem´tica
a
expoentes hist´ricos, tais como: Augustus De Morgan (1806-1871),
o
Charles Babbage (1791-1871) e Mary Fairfax Somerville (1780-1872).
Quando Ada conheceu Babbage, 1833/4, este estava empenhado em construir a m´quina
a
que ´ considerada a versõ mais pr´xima dos atuais computadores. Esta, em termos apenas de
e
a
o
m´quina, disputa hoje primazia com a recentemente descoberta da Antic´
a
ıtera da Grćia Antiga,
e
[5-8], Por´m, a m´quina de Babbage traz algo espetacular: a possibilidade de program´-la.
e
a
a
Ada encanta-se ante tal possibilidade e aplica os seus conhecimentos matem´ticos na cria¸ao
a
c˜
de programas para m´quina de Babbage e, portanto, tornar-se a primeira programadora da
a
hist´ria. Inventa o conceito de subrotina, que ´ um subprograma que pode ser usando em diversos
o
e
pontos do original, porquanto, funciona como n´ de um la¸o que serve aos fios que passam por esse.
o
c
E vai muito al´m do seu tempo quando teoriza no que viria ser o desvio condicionado: a pr´pria
e
o
leitora que alimenta o programa desviaria para um outro programa quando satisfeita proposi¸ao
c˜
do tipo ¨se¨.
Lembrando que o nosso objetivo ´ matem´tica, porquanto, delinear o que pode servir de base
e
a
para estudo, come¸o fixando a seguintes situa¸ao: estamos ante uma cultura em que todo s´ sabe
c
c˜
o
contar de 1 a 5, acrescido por algo como ¨muito¨ (M) para toda quantidade que ultrapasse a isso
e que ainda esse saiba fazer o que ´ poss´ de conta de somar tal qual fazemos com quantidades
e
ıvel
inteiras. Assim a sua ¨tabuada¨ de soma ´ a seguinte:
e

o
a

28

Nesse caso, a tendˆncia ´ dividir essa
e
e
¨tabuada¨ com duas zonas: a representada
pelo triˆngulo superior, passiva de coma
puta¸õ, no sentido de ficar poss´
ca
ıvel fazer uma
m´quina que reproduza esses resultados e pelo
a
triˆngulo inferior, nõ-comput´vel, no sentido
a
a
a
de nõ parecer ser poss´
a
ıvel fazer uma m´quina
a
controlando resultados disto.
´
E preciso se dizer que nada dito impede que o pensamento matem´tico abstrato esteja
a
atuando nessa zona do triˆngulo inferior, qui¸a, desenvolvendo elementos culturais. Como, por exa
c´
emplo, desenvolvendo no¸ao de ¨muito muito¨ e outros derivados. Bem como, nõ se discute em
c˜
a
matem´tica ser essa cultura inferior ou superior, apenas se estuda todas as possibilidades matema
aticamente poss´
ıveis dentro dessas condicionantes.
Por mais estranho que pare¸a, o computador em geral ´ um ¨ser¨ de uma ¨cultura¨ que s´
c
e
o
conhece 0 e 1; circuito ligado e desligado. Como entõ fica poss´ esse operar tal qual fazemos,
a
ıvel
por exemplo, com os Naturais N = {0, 1, 2, 3, · · · }? Usando o seguinte resultado matem´tico:
a
T eorema - Fixado qualquer Natural k ∈ N − {0, 1}, que ser´ chamado de Base, todo outro
a
n´mero natural n = 0 pode se escrito unicamente da forma n = a0 × k 0 + a1 × k 1 + a2 × k 2 + · · · +
u
am × k m , onde os naturais ai ∈ {0, 1, 2, · · · , m − 1}, am = 0 e ap = 0, ∀ p > m.
Ilustro o caso em que k = 2 e n = 11. Pelo Algoritmo de Euclides, a divisõ de 11 por 2
a
produz por quociente 5 e deixa resto 1. Logo: 11 = 1 + 2 × 5 = 1 × 2 0 + 2 × 5. Por sua vez, 5 divido
por 2 produz quociente 2 e resto 1. Ou seja, 5 = 1 × 20 + 2 × 2 = 1 × 20 + 1 × 22 e substituindo esse
resultado no anterior, fica 11 = 1 + 2 × 5 = 1 × 20 + 2 × (1 × 20 + 12 ) = 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 23 .
Por isso dizemos que 11 = (111)2 [lˆ-se: um, um, um na base 2] e o Algoritmo de Euclides diz
e
que no caso base 2 s´ restar´ 0 ou 1.
o
a
Voltando a personagem central, um trecho que relata da vida cient´
`
ıfica dela ´ o seguinte (g.n):
e
[Nõ sõ todos que acreditam na contribui¸ao de Ada na cria¸ao de Babbage. Dorotothy
a a
c˜
c˜
Stein, autora de um livro biogr´fico da Condessa, declara que a maioria dos programas
a
escritos e estudados foram feitos pelo criador da m´quina. E essa constata¸ao nõ saiu de
a
c˜ a
sua imagina¸ao. Babbage escreveu em Passages from the Life of a Philosopher em 1864:
c˜
”Eu entõ sugeri que ela [Ada Lovelace] acrescentasse algumas notas na tradu¸ao de
a
c˜
Menebrea, idía que foi imediatamente adotada. N´s discutimos juntos v´rias interpreta¸oes
e
o
a
c˜
que poderiam ser introduzidas: Eu sugeri v´rias, mas a sele¸ao foi inteiramente dela. Da
a
c˜
mesma maneira que aconteceu com o trabalho alg´brico em diferentes problemas, exceto, de
e
fato, aquela sequˆncia de n´meros de Bernoulli, na qual eu havia me oferecido a fazer para
e
u
poupar a Lady Lovelace. Nisso ela me devolveu para fazer alguns ajustes, tendo detectado
um erro grave cometido por mim durante o processo.”]
Extra´ de Ada Lovelace: Condessa britˆnica do sćulo 19 e primeira programadora da
ıdo
a
e
hist´ria http://henrique.geek.com.br/posts/19087-ada-lovelace-condessa-britanica-do-seculoo
19-e-primeira-programadora-da-historia, acesso Mar¸/12
c
O quˆ quis dizer Babagge por ¨durante o processo¨? Se for um erro nas contas, ponto
e
para CONDESSA DE LOVELACE, cuja denomina¸ao carinhosa de Babbage era Ä Enc˜
cantadora dos N´ meros¨. E ´ uma pontua¸ao grande pelo seguinte: Babbage era oficialmente
u
e
c˜
matem´tico, professor dessa disciplina e uma das motiva¸oes que o levou produzir tal m´quina era
a
c˜
a
por haver uma quantidade imensa de tabelas com erros, tais como: logar´
ıtmicas, trigonom´tricas,
e
etc.
Por outro lado, ao citar ¨processo¨ e nõ erro de conta, o altamente prov´vel ´ que estivesse
a
a
e
se referindo com isso a programa¸ao em si e novamente isso mostra ADA dominando com mais
c˜
maestria esse tema.E nõ ´ simples separar o feito por duas pessoas geniais, mas cientificamente
a e
reduzi-la a mera espectadora ´ inconceb´
e
ıvel.

o
a

29

Finalizando, atualmente em sua homenagem existe a Linguagem
de Programa¸˜o ADA e sua m˜e, Anne Isabelle Milbanke, se
ca
a
poss´ fosse saber do que se faz hoje por programa¸ao computacional,
ıvel
c˜
entenderia que a sua tentativa de desviar sua ﬁlha da poesia fracassou. Posto que, programa¸ao ´ uma arte do mesmo n´ das obras dos
c˜ e
ıvel
maiores poetas e do mesmo sabor Por isso, considero a CONDESSA
´
DE LOVELACE como A MATEMATICA POETISA DAS NOVAS TECNOLOGIAS.
Ilustra¸oes copiadas de
c˜
http://henrique.geek.com.br/posts/19087-ada-lovelace-condessa-britanica-do-seculo-19-e-primeiraprogramadora-da-historia, /www.well.com/user/adatoole/, acessos Mar¸/12, assim como os demais
c
links.
Referˆncias
e
[1] ADA BYRON KING - A CONDESSA DE LOVELACE
www.miniweb.com.br/atualidade/tecnologia/artigos/ada %20byron.html,
[2] ADA BYRON LOVELACE
http://mikezatir.wordpress.com/2008/12/09/november-25-2008/
[3] ADA LOVELACE, Sharla D. Walker
http://myhero.com/go/hero.asp?hero=a lovelace
[4] ADA LOVELACE.WMV
http://www.youtube.com/watch?v=68vQ7C7gJSI
[5] ”COMPUTADOR”GREGO CALCULAVA ECLIPSES E DATA DAS OLIMP´
IADAS, por JR Minkel, Scientif
American, 11/08/2008
www2.uol.com.br/sciam/noticias/-computador- grego calculava eclipses e data das olimpiadas imprimir.html
´
[6] MAQUINA DE ANTIC´
ITERA, blog Caf´ com Ciˆncia
e
e
http://cafecomciencia.wordpress.com/2009/10/12/maquina-de-anticitera/
´
[7] MAQUINA DE ANTIC´
ITERA
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina de Antic%C3%ADtera
[8] MECANISMO DE ANTIC´
ITERA: COMPUTADOR DE 2 MIL ANOS REPLICADO EM LEGO
www.youtube.com/watch?v=CjyKkTwvpn8
[9] O HOMEM QUE SABIA DEMAIS (Alan Turing e a Inven¸ao do Computador), Leavirr, D., Ed. Novo Conc˜
ceito, 2011
¨
[10] PROVA DE GOEDEL, Nagel, E., e Newman, J.R., 2a edi¸ao, Ed. Perspectiva, 1998
c˜
[11] THE CALCULATING PASSION OF ADA BYRON
www.amazon.com/The-Calculating-Passion-Ada-Byron/dp/0208021191
[12] TURING E O COMPUTADOR, Strathern, P., S´rie 90 minutos, Ed. Jorge Zahar, RJ, 2000
e

o
a

30

S O N J A K O V A L E V S K Y (1850 - 1891)
´
˜
A MATEMATICA QUE FAZIA QUESTAO DE ESTUDAR
COM GRANDES MESTRES E SUPEROU ALGUNS DESSES
Ö fator humano ´ o elemento fundamentalmente incerto e inconstante na vida social e em todas
e
as institui¸oes sociais.¨
c˜
Karl Popper (1902-1994)
Por Nascimento J.B
Email: jbn@ufpa.br, nov/2011
O quˆ teria levado uma jovem russa enfrentar todo tipo de
e
preconceito percorrendo grandes centros da ´poca para estudar
e
com os mestres mais afamados e numa ´rea historicamente in´spita
a
o
ao seu gˆnero? Talvez uma ´poca de frio tenebroso possa explicar. Pois,
e
e
ante uma situa¸ao dessa os seus pais forraram o quarto da entõ adolescente
c˜
a
SOPHIA KORVIN-KRUKOVSKY com anota¸oes em c´lculo que o seu
c˜
a
pai havia cursado.
Ela decide estudar essas e coloc´-las em ordem, portanto, revela um profundo apre¸o por
a
c
matem´tica e disposi¸ao para enfrentar toda aleatoriedade. E superou tudo ao ponto de ir aos 17
a
c˜
anos estudar C´lculo Diferencial e Integral com professor da Escola Naval de S. Petersburgo, algo
a
imposs´ se nõ tivesse demonstrado habilidades muito al´m da m´dia.
ıvel
a
e
e
E uma vez ser proibido ingressar mulher em universidade russa, haver barreiras sociais e familiares impedindo-a estudar em outros pa´
ıses, essa nõ se deu por vencida, faz casamento arranjado
a
com Wladimir Kovalevsky e, porquanto, nascia sua denomina¸ao SONJA KOVALEVSKY,
c˜
como consta nos anais da Hist´ria da Matem´tica.
o
a
Em seguida o casal muda-se para Heidelberg, onde KOVALEVSKY assiste prele¸oes com
c˜
o matem´tico Paul de Bois Reymond (1831-1889), os f´
a
ısico-matem´tico Gustavo Kirchhoff
a
(1824-1887), Hermann Helmholz ( 1821-1894) e Leo k¨rnigsberg (1937-1921). E este ultimo
o
´
chama sua aten¸ao para um mestre: Karl Weierstrass (1815 - 1897), j´ famoso nessa ´poca e tem
c˜
a
e
tudo para continuar eternamente consagrado como um dos maiores analistas.
KOVALEVSKY nõ teve qualquer d´vida. Foi para Berlim objetivando estudar com
a
u
Weierstrass e encontrou o mesmo preconceito vigente no seu pa´ quanto a mulher fazer curso
ıs
`
superior. Weierstrass encanta-se com o n´ matem´tico dessa e aceita-a como aluna particular
ıvel
a
repetindo-lhe o que fazia na universidade, entre 1870-1874. E KOVALEVSKY vai muito al´m
e
de ¨graduar-se¨ com todos os m´ritos. Obteve resultados que melhoravam trabalhos dos mais
e
altos n´
ıveis. Um desses, em Equa¸oes Diferenciais Parciais - EDP, generalizava resultado do
c˜
famoso matem´tico Francˆs Augustin-Louis Cauchy (1789 -1857), sendo hoje conhecido por
a
e
TEOREMA DE CAUCHY-KOVALEVSKY [3], [5], [6] e [7]. Por esse trabalho ela obteve o
t´
ıtulo de Doutora em Filosofia pela Universidade de G¨ttingen, do qual foi dispensada da defesa
o
oral. E o seu trabalho valia tanto que basta apenas recoloc´-lo em linguagem atual que isso ´ capaz
a
e
de compor tese de mestrado na area e defens´vel nos maiores centros do Brasil
´
a
KOVALEVSKY ingressa em 1884 como docente de matem´tica de n´ superior na unia
ıvel
versidade de Estocolmo, na ´poca em que Mittag-Leffler (1846-1927) era docente desta univere
sidade, sendo esse um feito de extrema raridade. Conquista de forma singular´
ıssima, em 1888, o
Prˆmio Bordin da Academia Francesa com o trabalho ¨Sobre o Problema de Rota¸õ
e
ca
de um Corpo S´lido em Torno de um Ponto Fixo¨, quando havia cerca de quinze (15)
o
concorrentes e por ser o seu tõ superior aumentaram o valor do prˆmio de 300 para 500 francos.
a
e

o
a

31

Assim, KOVALEVSKY percorreu um longo circuito de matem´tica brilhante pelos maiores
a
centros da Europa e regressa a sua p´tria, a qual negara-lhe estudo universit´rio, como a primeira
`
a
a
mulher da Academia de Ciˆncias da Russa. E, ﬁnalmente, tudo aqui visa honrar o lema que
e
SONJA KOVALEVSKY tanto prezava: ¨diga o que vocˆ sabe, fa¸a o que vocˆ deve,
e
c
e
conclua o que puder.¨
(*) A Foto ilustradora consta em: http://wikis.educared.org/certameninternacional/index.php/
SONIA KOVALEVSKY?w=115, acesso nov/11
Referˆncias
e
[1] A poetisa das equa¸oes - Como Sonya Kovalevskaya venceu preconceitos e abriu portas para as mulheres,
c˜
Revista Galileu,
http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT596217-2680,00.html, acesso nov/11
[2] BOYER, C. B - Hist´ria da Matem´tica, trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2 a Edi¸ao, Ed. Edgard Bl¨cher
o
a
c˜
u
Ltdda, 1988, P´g. 347
a
´
[3] DISCRIMINACAO TIRA MULHERES DE AREAS EXATAS E PREOCUPA GOVERNO,
¸˜
http://ultimosegundo.ig.com.br/educacao/discriminacao+tira+mulheres+de+areas+exatas+e+
preocupa+governo/n1238144853610.html, acesso nov/2011
[4] Cooke R., The Cauchy-Kovalevskaya Theorem,
http://www.emba.uvm.edu/ cooke/ckthm.pdf, acesso nov/11
[5] EVES, HOWARD - Introdu¸ao a hist´ria da matem´tica, tradu¸ao: Hygino H. Domingues, 3 a edi¸ao, Ed.
c˜ `
o
a
c˜
c˜
Unicamp, SP: 2002, p´g. 618 - 620
a
[6] GANTUMUR T., MATH 580 LECTURE NOTES 2: THE CAUCHY-KOVALEVSKAYA THEOREM,
http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580/downloads/notes2.pdf, acesso nov/11
[7] Ghisi M., The Cauchy-Kovalevsky Theorem and Noncompactness Measures, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 4
(1997), 627-647.
http://journal.ms.u-tokyo.ac.jp/pdf/jms040307.pdf, acesso nov/11
[8] Zuazua E., Equaciones en derivadas parciales,
http://pt.scribd.com/doc/58813604/5/El-Teorema-de-Cauchy-Kovalevskaya, acesso nov/11

o
a

EMMY

32

N OET HER

(Baviera 1882 - Pennsylvania 1935)
´
´
A MATEMATICA QUE NOS LEGOU ANEIS
BRILHANTES
Por Nascimento J.B
Email: jbn@ufpa.br, Dez/2011
¨Nõ vejo em que o sexo de um candidato possa
a
ser um argumento contra sua admissõ como Privata
dozent. Afinal, o Conselho nõ ´ nenhuma casa de
a e
banhos¨
David Hilbert, 1862-1943, insurgindo contra os que
obstavam Emmy ser aceita como docente.
Üm pouco de reflexõ nos diz que as grandes
a
etapas da Hist´ria brotam efetivamente do singular.¨
o
Beppo Levi, 1875-1961, matem´tico ´
a
ıtalo-argentino,
autor da obra Lendo Euclides, Civiliza¸ao Brasileira,
c˜
2008
www.on.br/certificados/ens dist 2008/site/conteudo/
modulo2/8-surge a trg/trg.html

APRESENTACAO
¸˜
´
E ineg´vel ser AMALIE EMMY NOETHER uma das mais fundamentais
a
algebristas e Matem´tica das mais talentosas. Filha do algebrista e professor da
a
Universidade de Erlanger Max Noether (1844-1921), defendeu tese de doutorado
em 1907 intitulada Sobre Sistemas Completos de Invariantes para Formas Biquadradas Tern´rias, cujo orientador foi Paul Gordan (1837-1912). Sendo que
a
os trabalhos de EMMY NOETHER tiveram influˆncia de matem´ticos como
e
a
Ernst Fischer (1875-1959) e David Hilbert (1862-1943).
Al´m de ter sofrido pelos j´ arraigados preconceitos de gˆnero, EMMY
e
a
e
NOETHER foi uma das cientistas perseguida pelo nazismo, for¸ando-a ir para
c
os Estados Unidos, quando foi uma das integrantes do Instituto Avan¸ado de
c
Princeton. E quando se consociam o abstracionismo que caracteriza sua area
´
e o n´
ıvel tr´gico do ensino da matem´tica, como ´ o caso brasileiro, essa fica
a
a
e
praticamente invis´
ıvel. Pois, quase nada do que ela desenvolveu, agora em termos
de gradua¸ao, ´ abordado. O que segue ´ tentativa de despertar interesse num dos
c˜ e
e
temas desenvolvido por EMMY NOETHER.

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