1. O documento apresenta soluções para exercícios de geometria descritiva sobre paralelismo. 2. As soluções fornecem explicações passo-a-passo das resoluções gráficas dos problemas com escala reduzida para evitar comparações métricas. 3. Os exercícios envolvem determinar se retas ou planos são paralelos usando propriedades geométricas como retas auxiliares e rebatimento.

1. 1
SOLUÇÕES
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
PARALELISMO
13
NNOOTTAA:: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em cceennttíímmeettrrooss, as soluções apresentadas nnããoo ccoonnssiiddeerraarraamm o centíme-
tro como unidade. De facto, no sentido do estudante, o objectivo da consulta das soluções dos exercícios deve ser a vveerriiffiiccaaççããoo ddaa ccoorrrreecc--
ççããoo dos raciocínios e dos traçados e não a ccoommppaarraaççããoo mmééttrriiccaa dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o
desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. A
escala utilizda foi de 1/2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções.
1.
a) Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta rr, em função dos dados. Em
seguida, assinalaram-se as projecções da recta ss, coincidentes com as projecções de
nome contrário da recta rr, ou seja, ss22 (a projecção frontal da recta ss) está coincidente
com rr11, (a projecção horizontal da recta rr) e ss11 (a projecção horizontal da recta ss)está
coincidente com rr22 (a projecção frontal da recta rr). As duas rectas são ppaarraalleellaass, pois
têm as projecções homónimas paralelas entre si.
b) Em primeiro lugar, determinaram-se os traços da recta rr nos planos de projecção – FF e
HH. Em seguida, determinaram-se os traços da recta ss nos planos de projecção – FF’’ e HH’’.
O traço frontal do plano está definido por FF e FF’’ e o traço horizontal do plano está definido
por HH e HH’’,, o que resulta no facto de os dois traços do plano estarem coincidentes.
2.
3.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas pp e pp’’, de acordo
com os dados (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, uma vez que é ex-
pressamente pedido o recurso ao pprroocceessssoo ddoo rreebbaattiimmeennttoo, conduziu-se, pela
recta pp, um plano de perfil π e rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projec-
ção (a charneira foi ffπ). Rebatendo o plano obtiveram-se AArr e BBrr, bem como a rec-
ta pprr, definida por AArr e BBrr. Em seguida, conduziu-se, pela recta pp’’, um outro plano
de perfil π’, e rebateu-se o plano π’ também para o Plano Frontal de Projecção e
ppaarraa oo mmeessmmoo llaaddoo – note que só é possível averiguar o paralelismo entre as
duas rectas eemm rreebbaattiimmeennttoo se o rebatimento dos dois planos de perfil for eexxaacc--
ttaammeennttee o mesmo (é necessário rebater os dois planos de perfil para o mesmo
plano e no mesmo sentido de rotação). Rebatendo o plano π’ obtiveram-se os
pontos CCrr e DDrr, bem como a recta pp’’rr, definida por CCrr e DDrr. As rectas pprr e pp’’rr nnããoo
ssããoo ppaarraalleellaass, pelo que as rectas pp e pp’’ nnããoo ssããoo ppaarraalleellaass no espaço. Note que
um outro processo de resolver este exercício (mas que não é o pedido no enun-
ciado) seria o de efectuar uma mmuuddaannççaa ddoo ddiieeddrroo ddee pprroojjeeccççããoo – substituindo
o Plano Frontal de Projecção por um outro plano de projecção (ppllaannoo 44), paralelo
às duas rectas, por exemplo (transformando as duas rectas em rectas frontais),
seria possível averiguar o paralelismo entre as duas rectas sem se ter o cuidado
de garantir a semelhança entre os dois rebatimentos dos planos de perfil.
Em primeiro lugar, representaram-se as rectas pp e pp'', pelas respectivas projecções, em função
dos dados. Os pontos AA e BB têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma recta de perfil
têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos CC e DD também têm a mesma abcissa. Sobre
a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes – podem
ser paralelas ou enviesadas. Uma vez que, no enunciado, se refere expressamente a não utiliza-
ção de qualquer processo geométrico auxiliar, foi necessário um raciocínio relativamente linear.
Se as rectas pp e pp’’ forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas
concorrentes com pp e pp’’ serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas rectas auxilia-
res, as rectas rr e ss. A recta rr é concorrente com pp em AA e com pp’’ em DD (está definida por dois
pontos). A recta ss é concorrente com pp em BB e com pp’’ em CC (também está definida por dois
pontos). As rectas rr e ss não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que pp
e pp’’ não são complanares – logo, nnããoo ssããoo ppaarraalleellaass.

2. 2
SOLUÇÕES
4.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta pp e do ponto CC, em função dos dados (ver re-
latório do exercício 22). Em seguida, pelas projecções de CC conduziram-se imediatamente as projecções
da recta pp’’, a recta pedida – note que, embora as projecções da recta pedida se tivessem desenhado
imediatamente, estas não são suficientes para definir a recta em Dupla Projecção Ortogonal (a recta pp’’
está definida por um ponto e uma direcção). É necessário, então, mais um ponto da recta pp’’ (para além
de CC) para a definirmos totalmente em projecções. Como as rectas pp e pp’’ são paralelas, então são com-
planares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com pp e pp’’ serão igualmente complanares. Assim,
recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas pp e pp’’ – a recta aa, que está definida por BB e CC
(que são os pontos de concorrência de rr com pp e pp’’, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma
outra recta, a recta bb, paralela à recta aa e concorrente com a recta pp no ponto AA – a recta bb está definida
por um ponto (ponto AA) e uma direcção (é paralela à recta aa) e é complanar com as rectas aa e pp. A recta bb
terá, também, de ser complanar com a recta pp’’, pelo que, não sendo paralela a esta, será nneecceessssaarriiaa--
mmeennttee concorrente – o ponto GG é o ponto de concorrência das rectas bb e pp’’. A recta pp’’, definida por AA e
GG, é nneecceessssaarriiaammeennttee paralela à recta pp. Sublinha-se que a recta bb poderia ser concorrente com a recta
aa – nesse caso estaria definida por dois pontos (os pontos de concorrência com as recta pp e aa). Note
que o problema poderia ter sido resolvido tanto pelo processo exposto como pelo rebatimento tanto
como, ainda, pela mudança do diedro de projecção, uma vez que o enunciado é omisso em relação ao
processo de resolução.
6.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta pp e o ponto CC, pelas suas projecções, bem como o pla-
no ν, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de CC conduziram-
-se imediatamente as projecções da recta pp’’, a recta paralela a pp (a recta pp’’ não fica totalmente
definida pelas suas projecções). As rectas pp e pp’’ são paralelas, pelo que são complanares – quais-
quer duas rectas concorrentes com pp e pp’’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma
recta do plano definido pelas rectas pp e pp’’ – a recta rr, que está definida por AA e CC (que são os pontos
de concorrência de rr com pp e pp’’, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a
recta ss, paralela à recta rr e concorrente com a recta pp no ponto BB – a recta ss está definida por um
ponto (ponto BB) e uma direcção (é paralela à recta rr). A recta ss terá, também, de ser complanar com
a recta pp’’, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente – o ponto DD é o
ponto de concorrência das rectas ss e pp’’. A recta pp’’, definida por CC e DD, é necessariamente paralela à
recta pp. Para determinar a recta de intersecção dos dois planos, teve-se em conta que o plano ν é
projectante frontal – ii22, a projecção frontal da recta ii (a recta de intersecção dos dois planos), está
necessariamente sobre (ffν). Para definirmos a recta ii são necessários dois pontos ou um ponto e
uma direcção. Os pontos poderiam ser os pontos em que o plano ν corta as rectas pp e pp’’ (as rectas
dadas), mas a determinação desses pontos carece do recurso a processos geométricos auxiliares.
Assim, atendendo a que já temos quatro rectas do plano (as rectas pp, pp’’, rr e ss), foi suficiente recorrer
às rectas rr e ss para determinar a recta ii – o plano ν corta a recta rr no ponto MM (que é, assim, um
ponto comum aos dois planos) e corta a recta ss no ponto NN (que é um outro ponto comum aos dois
planos). A recta ii, definida por MM e NN, é a recta de intersecção entre os dois planos.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta pp e do ponto RR, em função dos
dados (os pontos MM e NN têm a mesma abcissa). Em seguida, pelas projecções de RR condu-
ziram-se imediatamente as projecções da recta pp’’, a recta paralela a pp (note que as projec-
ções da recta pp’’ são insuficientes para a definir – ver relatório do exercício anterior). Como as
rectas pp e pp’’ são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concor-
rentes com pp e pp’’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano
definido pelas rectas pp e pp’’ – a recta ff, que está definida por MM e RR (que são os pontos de
concorrência de ff com pp e pp’’, respectivamente – a recta ff é uma recta frontal). Em seguida,
recorreu-se a uma outra recta, a recta ff’’, paralela à recta ff e concorrente com a recta pp no
ponto NN – a recta ff’’ está definida por um ponto (ponto NN) e uma direcção (é paralela à recta
ff). A recta ff’’ terá, também, de ser complanar com a recta pp’’, pelo que, não sendo paralela a
esta, será necessariamente concorrente – o ponto SS é o ponto de concorrência das rectas ff’’
e pp’’. A recta pp’’, definida por RR e SS, é necessariamente paralela à recta pp. Para determinar os
traços do plano α, poder-se-ia ter determinado os traços das rectas de perfil, o que envolve-
ria o recurso a processos geométricos auxiliares. No entanto, optou-se por um outro raciocí-
nio, mais simples – atendeu-se ao facto que já temos quatro rectas do plano α (as rectas pp,
pp’’, ff e ff’’). Assim, foi suficiente recorrer às rectas ff e ff’’ para determinar os traços do plano α. HH
é o traço horizontal da recta ff e HH’’ é o traço horizontal da recta ff’’. O traço horizontal do plano
α, hhα, está definido por HH e HH’’. O traço frontal do plano α, ffα, é concorrente com hhα no eixo XX
e é paralelo às rectas ff e ff’’ (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao
traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Note que o
problema se poderia ter resolvido sem a determinação do ponto SS – de facto, com o recurso
às duas rectas auxiliares, o problema resolveu-se como se o plano estivesse definido por
três pontos não colineares, pelos quais se conduziram duas rectas do plano.
5.

3. 3
SOLUÇÕES
8.
Uma recta é paralela a um plano se e só se for paralela a uma recta do plano e não estiver contida nesse plano, ou seja, uma recta é para-
lela a um plano se pertencer a uma «família» de rectas que esteja contida no plano. De forma recíproca, um plano é paralelo a uma recta se
e só se não contiver a recta e contiver uma recta paralela à recta dada, ou seja, um plano é paralelo a uma recta se contiver a «família» de
rectas a que a recta dada pertence.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se a projecção frontal da recta rr
– rr22 – passando por PP22 e fazendo, com o eixo XX, o ângulo pedido. Para a recta rr ser paralela
ao plano ρ, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta
auxiliar ss, pertencente ao plano e garantindo que ss seja paralela à recta rr – ss22 é paralela a
rr22. A recta ss está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um
plano). Em seguida, conduziu-se, por PP11, a projecção horizontal da recta rr (rr11), paralela a
ss11. A recta rr é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma recta do plano (a recta ss).
10.
7.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta pp e o ponto BB, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. A recta pp, porque é passante, é concorrente
com o eixo XX no ponto PP. Em seguida, pelas projecções de BB conduziram-se
imediatamente as projecções da recta pp’’, a recta paralela a pp (note que a rec-
ta pp’’ não fica totalmente definida em projecções – ver relatório do exercício
44). Assim, há que obter as projecções de mais um ponto da recta. Optou-se
por recorrer a uma mudança do diedro de projecção – substituiu-se o Plano
Frontal de Projecção (ppllaannoo 22) por um novo plano de projecção (ppllaannoo 44),
paralelo às duas rectas, definindo um novo diedro de projecção (o diedro for-
mado pelo ppllaannoo 11 e pelo ppllaannoo 44) no qual as rectas pp e pp’’ são rectas fron-
tais (de frente) – o novo eixo XX (eixo XX’’) é paralelo a pp11 e a pp’’11 e é a recta de
intersecção do ppllaannoo 11 com o ppllaannoo 44. As projecções de AA, BB e PP no ppllaannoo
44 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A
projecção da recta pp no ppllaannoo 44 (pp44) está definida por AA44 e por PP44. A projec-
ção da recta pp’’ no ppllaannoo 44 (pp’’44) passa por BB44 e é paralela a pp44 (o paralelismo
entre as rectas é directo no novo diedro de projecção). Determinou-se um
ponto qualquer da recta pp’’ – o ponto FF (que é o traço frontal da recta pp’’). FF11
determinou-se directamente e FF22, a projecção frontal de FF no diedro de pro-
jecção inicial, determinou-se em função da sua cota, que se manteve. A recta
pp’’, definida por BB e FF, é paralela à recta pp.
9.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. Em seguida, por PP11, conduziu-se rr11, a projecção horizontal da
recta rr, fazendo o ângulo pretendido (45o a.d.) com o eixo XX. Para a recta rr ser paralela ao pla-
no α, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar ss,
pertencente ao plano e garantindo que ss seja paralela à recta rr – ss11 é paralela a rr11. A recta ss
está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). Em segui-
da, conduziu-se, por PP22, a projecção frontal da recta rr (rr22), paralela a ss22. A recta rr é paralela ao
plano α, pois é paralela a uma recta do plano (a recta ss).

4. 4
SOLUÇÕES
11.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de PP conduziram-se ime-
diatamente as projecções da recta pp – note que não foi necessário nenhum procedimento
particular para desenhar as projecções da recta pp. A recta pp, no entanto, não está completa-
mente definida – falta-nos outro ponto para definir a recta, para além do ponto PP. Por outro
lado, há que garantir que a recta pp seja paralela ao plano α, para o que a recta pp terá de ser
paralela a uma recta do plano α (critério de paralelismo entre rectas e planos). Assim, recor-
reu-se a uma recta pp’’, qualquer, de perfil e pertencente ao plano – a recta pp’’ está definida
por dois pontos, que são os seus traços (condição para que uma recta pertença a um pla-
no). A recta pp tem de ser paralela à recta pp’’. Para garantir o paralelismo entre as rectas pp e
pp’’ recorreu-se ao raciocínio exposto no relatório do exercício 44. As rectas pp e pp’’, sendo pa-
ralelas, são complanares – recorreu-se a duas rectas do plano definido por pp e pp’’. A recta rr
é concorrente com a recta pp no ponto PP e com a recta pp’’ no ponto HH (o seu traço hori-
zontal). A recta ss é concorrente com a recta pp’’ no ponto FF (o seu traço frontal) e com a recta
rr no ponto MM. A recta ss, porque é complanar com a recta pp, é concorrente com esta num
ponto RR. A recta pp, definida por PP e RR, é paralela à recta pp’’, que é uma recta do plano α,
pelo que a recta pp é paralela ao plano α.
13.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, por PP22, conduziu-se rr22, a projecção frontal
da recta rr, fazendo, com o eixo XX, o ângulo pretendido (60° a.d.). Para que a recta rr seja pa-
ralela ao plano γ, terá de ser paralela a uma recta do plano γ. Ora, uma vez que o plano γ é
projectante horizontal, sabe-se que todas as suas rectas têm a sua projecção horizontal so-
bre hhγ, pelo que desenhando rr11 paralela a hhγ (e passando por PP11) se garante que a recta rr é
paralela ao plano α (porque existe, de certeza, uma recta do plano γ que é paralela à recta rr).
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas
suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta
pp, de perfil, paralela ao plano ρ e passando por PP, ver relatório do exercício anterior.
12.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano φ, pelos seus traços, e o ponto RR, pelas
suas projecções, em função dos dados. Para que a recta ff (a recta frontal pretendida)
seja paralela ao plano φ, a recta terá de ser paralela a uma recta de φ (critério de para-
lelismo entre rectas e planos). O traço frontal de φ (ffφ) é uma recta frontal (de frente) do
plano, com afastamento nulo – esta raciocínio permitiu-nos economizar traçado, pois não
houve necessidade de se desenharem as projecções de outra recta do plano. Assim, por
RR conduziu-se a recta ff pedida, paralela a ffφ – ff está definida por um ponto (RR) e por uma
direcção (é paralela a ffφ).
14.

5. 5
SOLUÇÕES
15.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto PP,
pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projec-
ções da recta rr, ver exercício 99 e respectivo relatório. Note que, com vista a uma
maior economia de traçados, se optou por fazer com que o traço frontal da recta
ss (a recta auxiliar do plano δ à qual a recta rr é paralela) tenha abcissa nula.
18.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta rr pelas suas projecções, em função dos dados. Os tra-
ços do plano ρ (o plano passante paralelo à recta rr) determinaram-se imediatamente – estão am-
bos coincidentes com o eixo XX. No entanto, os traços do plano ρ, porque ssããoo uummaa úúnniiccaa rreeccttaa,
são insuficientes para definir o plano (um plano só pode estar definido por uma única recta se essa
recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de maior inclinação).
Assim, há que recorrer a mais um elemento para definir o plano ρ – esse elemento poderá ser um
ponto (caso em que o plano ρ estará definido por uma recta – o eixo XX – e um ponto exterior) ou
uma recta (caso em que o plano ρ estará definido por duas rectas). Assim, recorreu-se a uma recta
qualquer, paralela à recta rr – a recta ss. A recta ss tem nneecceessssaarriiaammeennttee de ser uma rreeccttaa ppaassssaannttee,
pois caso contrário não seria uma recta do plano ρ (o plano ρ apenas contém rectas fronto-horizon-
tais e rectas passantes – estas poderão ser oblíquas ou de perfil). Note que não se poderia recorrer
a uma recta fronto-horizontal, pois uma recta fronto-horizontal não é paralela à recta rr. Note ainda
que também não se poderia ter recorrido a uma recta de perfil passante, pois a recta rr não é de
perfil. A única hipótese é, pois, a situação apresentada – uma recta oblíqua passante, qualquer,
paralela à recta rr. O plano ρ está, assim, definido por duas rectas concorrentes – o eixo XX e a recta ss.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta mm e o ponto AA, pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano pedido contenha o
ponto AA, o ponto AA tem de pertencer a uma recta do plano. Por outro lado, para
que o plano α seja paralelo à recta mm, tem de conter uma recta paralela à recta
mm. Assim, há que conduzir, por AA, uma recta paralela à recta mm, que será uma
recta do plano α – a recta rr. Determinaram-se os traços da recta rr, pois os traços
da recta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que
uma recta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço horizontal de rr conduziu-
-se hhα, com o ângulo pretendido (hhα está definido por um ponto e uma direcção)
– ffα é concorrente com hhα sobre o eixo XX e contém FF, o traço frontal de rr (ffα está
definido por dois pontos). O plano α é paralelo à recta mm, pois contém uma recta
paralela a mm (a recta rr). O plano α contém o ponto AA, pois AA pertence a uma recta
do plano (a recta rr).
17.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta rr e o ponto AA, pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano ρ ver
relatório do exercício anterior. A recta ss, paralela à recta rr e passando por AA, foi a
recta auxiliar a que se recorreu. Os traços do plano ρ são rectas fronto-horizontais
que contêm os traços homónimos da recta ss. O plano ρ é paralelo à recta rr, pois
contém uma recta paralela a rr (a recta ss). O plano ρ contém o ponto AA, pois AA
pertence a uma recta do plano (a recta ss).
16.

6. 6
SOLUÇÕES
19.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta ff e o ponto PP, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver relató-
rio do exercício 1166. A recta ff’’, paralela à recta ff e passando por PP, foi a recta auxiliar
a que se recorreu. HH’’ é o traço horizontal da recta ff’’. Uma vez que os traços do plano
α estão coincidentes, nnoo ppllaannoo ddoo ppaappeell, os dois traços têm a mesma direcção.
Assim, por HH’’11 conduziu-se hhα, o traço horizontal de α, paralelo a ff’’22 (e a ff22). O traço
frontal de α, ffα, é concorrente com hhα no eixo XX e também é paralelo a ff’’22 (e a ff22),
pelo que os traços de α ficam coincidentes (no plano do papel).
20.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta rr e o ponto PP, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. Para que o plano γ seja paralelo à recta rr, o plano γ, terá de conter uma
recta paralela à recta rr. Ora, uma vez que o plano γ é projectante horizontal, sabe-se que
todas as suas rectas têm a sua projecção horizontal sobre hhγ. Além disso, e uma vez que se
trata de um plano projectante horizontal, sabe-se também que todos os seus pontos têm a
sua projecção horizontal sobre hhγ. Assim, desenhando hhγ, passando por PP11 e paralelo a rr11
(a projecção horizontal de rr), está garantido o paralelismo entre o plano γ e a recta rr – note
que qualquer recta do plano (à excepção das rectas verticais) terá a sua projecção horizontal
paralela à projecção horizontal da recta rr. Note ainda que o plano γ contém o ponto PP, pois PP11
situa-se sobre hhγ. Tratando-se de um plano vertical, ffγ é uma recta vertical com afastamento
nulo, que é concorrente com hhγ no eixo XX.
22.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto PP, pelas suas projecções, em função dos dados.
Em seguida, conduziu-se, por PP11, a projecção horizontal da recta rr (rr11), com o ângulo pretendi-
do – rr11 faz, com o eixo XX, um ângulo de 45° (a.d.). A recta rr é uma recta paralela ao β2/4, pelo
que as suas projecções são paralelas entre si – assim, por PP22 conduziu-se rr22, a projecção frontal
da recta rr, paralela a rr11.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta rr e o ponto AA, pelas respectivas
projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do pla-
no α, ver exercício 1166 e respectivo relatório. A recta ss é a recta auxiliar a que
se recorreu – a recta ss contém o ponto AA e é paralela à recta rr. FF’’ é o traço
frontal da recta ss e HH é o seu traço horizontal. Uma vez que os traços do
plano estão coincidentes (na folha de papel), estão coincidentes na recta
que passa por FF’’22 e por HH11.
21.

7. 7
SOLUÇÕES
23.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto PP, pelas suas projecções, em função dos da-
dos. Em seguida, conduziu-se, por PP22, a projecção frontal da recta rr (rr22), com o ângulo
pretendido – rr22 faz, com o eixo XX, um ângulo de 30o (a.d.). A recta rr é uma recta paralela
ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo XX, ângulos iguais e com o mes-
mo sentido de abertura. Assim, por PP11 conduziu-se rr11, a projecção horizontal da recta rr,
fazendo também um ângulo de 30o (a.d.) com o eixo XX.
Em primeiro lugar, representaram-se o ponto KK e a recta ff, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Em seguida, conduziu-se, por PP11, a projecção horizon-
tal da recta, rr11, com o ângulo pretendido – um ângulo de 45o (a.d.) com o eixo XX.
A recta rr é uma recta paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre
si – assim, por PP22 conduziu-se rr22, a projecção frontal da recta rr, paralela a rr11.
Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços
do plano. HH é o traço horizontal da recta rr e HH’’ é o traço horizontal da recta ff. FF é o
traço frontal da recta rr. O traço horizontal do plano α, hhα, passa por HH e HH’’ (está
definido por dois pontos). O traço frontal do plano α, ffα, é concorrente com hhα no
eixo XX e passa por FF (está também definido por dois pontos).
25.
O ponto de concorrência tem 4 cm de afastamento – atendendo a que o ponto de
concorrência (ponto PP) pertence à recta hh, que tem 2 cm de cota, sabe-se imediata-
mente que o ponto PP tem também 2 cm de afastamento. Este raciocínio permitiu-nos
desenhar as projecções da recta hh e do ponto PP. Em seguida conduziu-se, por PP11, a
projecção horizontal da recta, rr11, com o ângulo pretendido – um ângulo de 30o (a.d.)
com o eixo XX. A recta rr é uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções
fazem, com o eixo XX, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Assim, por
PP22 conduziu-se rr22, a projecção frontal da recta rr, fazendo também um ângulo de 30o
(a.d.) com o eixo XX. Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e dese-
nharam-se os traços do plano. HH é o traço horizontal da recta rr e FF é o traço frontal da
recta hh. O traço horizontal do plano α, hhα, passa por HH e é paralelo à recta hh (rectas
horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano,
que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano α, ffα, é
concorrente com hhα no eixo XX e passa por FF (está definido por dois pontos).
Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, bem como o pon-
to MM e a recta aa, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta aa é
uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo XX, ân-
gulos iguais e com o mesmo sentido de abertura – assim, aa11, a projecção horizon-
tal da recta aa, faz também um ângulo de 30o (a.e.) com o eixo XX. Para determinar
o ponto de intersecção da recta aa com o plano α, e uma vez que nem a recta nem
o plano são projectantes, recorreu-se ao mmééttooddoo ggeerraall ddaa iinntteerrsseeccççããoo ddee rreeccttaass
ccoomm ppllaannooss. Assim, tem-se: 11.. por aa conduziu-se um plano auxiliar (o plano γ, que
é um plano vertical – é o plano projectante horizontal da recta aa); 22.. determinou-se
a recta ii, a recta de intersecção dos dois planos (a recta ii está definida pelos seus
traços, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos); 33.. o ponto de
concorrência da recta ii com a recta aa (o ponto II) é o ponto de intersecção da rec-
ta aa com o plano α.
24.
26.

8. 8
SOLUÇÕES
28.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto AA, pelas suas projecções, em função das
suas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta
pp – estas, no entanto, não são suficientes para definir totalmente a recta pp em Dupla Pro-
jecção Ortogonal (a recta, no espaço, está definida por um ponto e uma direcção). Por
outro lado, para que a recta pp seja paralela ao β2/4, a recta tem de ser paralela a uma
recta do β2/4. Recorreu-se a um plano de perfil π, que contém a recta pp, e determinou-se
a recta de intersecção do plano π com o β2/4 – a recta ii. A recta pp terá de ser paralela à
recta ii (critério de paralelismo entre rectas e planos). A recta ii é uma recta de perfil pas-
sante que faz, com os planos de projecção (e com os traços do plano π) ângulos de 45°.
Em seguida, rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ),
obtendo-se AArr. Em seguida, desenhou-se iirr, que é a recta ii em rebatimento. Note que o
ponto AA se situa no 1o Diedro e que a recta ii, sendo uma recta do β2/4, atravessa os 2o e
4o Diedros – assim, iirr não pode, nunca, passar pelo quadrante em que se situa AArr. Por
outro lado, sendo ii uma recta passante, o seu ponto de concorrência com o eixo XX é fixo,
pois situa-se na charneira – iirr passa pelo ponto de concorrência dos traços do plano e
faz, com ffπrr
e hhπrr
, ângulos de 45°. A recta pprr passa por AArr e é paralela a iirr. Em seguida,
determinaram-se os traços da recta pp em rebatimento – FFrr está sobre ffπrr
e HHrr está sobre
hhπrr
(condição para que uma recta pertença a um plano, que se verifica tanto no espaço
como em projecções e em rebatimento). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as
projecções de FF (traço frontal da recta pp) e HH (traço horizontal da recta pp). Note que se
poderia ter determinado a recta ii em rebatimento, recorrendo a um ponto qualquer da
recta – seria um ponto do β2/4, pelo que teria as suas projecções coincidentes. Rebatendo
esse ponto, ter-se-ia a recta iirr definida por dois pontos.
27. a) Em primeiro lugar, representaram-se as rectas rr e ss, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. A recta rr é paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem,
com o eixo XX, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. A recta ss é paralela
ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. Em seguida, determina-
ram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços do plano. FF é o traço
frontal da recta rr e FF’’ é o traço frontal da recta ss. HH é o traço horizontal da recta rr e HH’’
é o traço horizontal da recta ss. ffα passa por FF e FF’’. hhα passa por HH e HH’’ (e é concor-
rente com ffα no eixo XX).
b) A recta ii’’ é uma recta que pertence simultaneamente ao plano α (o plano dado) e ao
β1/3 – todos os seus pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. Para definir
uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O ponto de
concorrência dos dois traços do plano (ffα e hhα) é um ponto que pertence aos dois
planos, pois situa-se no eixo XX (todos os pontos do eixo XX pertencem ao β1/3). Já temos
um ponto – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Determinou-se QQ, o traço da
recta ss no β1/3 – QQ pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano (a recta
ss) e pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo XX.
Já temos dois pontos para definir a recta ii’’. Note que a recta rr, porque é paralela ao
β1/3, não tem traço no β1/3. Por outro lado, e uma vez que as rectas rr e ii’’ são rectas
complanares (pertencem, ambas, ao plano α), e não sendo concorrentes, são parale-
las – a recta ii’’ é paralela à recta rr (a recta ii’’ é uma recta do β1/3 e a recta rr é uma recta
paralela ao β1/3 – são rectas da mesma «família» de rectas). A recta ii’’’’ é uma recta que
pertence simultaneamente ao plano α e ao β2/4 – todos os seus pontos pertencem
simultaneamente aos dois planos. Para definir uma recta são necessários dois pontos
ou um ponto e uma direcção. O ponto de concorrência dos dois traços do plano é
um ponto que pertence aos dois planos, pois situa-se no eixo XX (todos os pontos do
eixo XX pertencem ao β2/4). Já temos um ponto – falta-nos outro ponto ou uma direc-
ção. Determinou-se II, o traço da recta rr no β2/4 – II pertence ao plano α, pois pertence
a uma recta do plano (a recta rr) e pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coin-
cidentes. Já temos dois pontos para definir a recta ii’’’’. Note que a recta ss, porque é
paralela ao β2/4, não tem traço no β2/4. Por outro lado, e uma vez que as rectas ss e ii’’’’
são rectas complanares (pertencem, ambas, ao plano α), e não sendo concorrentes,
são paralelas – a recta ii’’’’ é paralela à recta ss (a recta ii’’’’ é uma recta do β2/4 e a recta ss
é uma recta paralela ao β2/4 – são rectas da mesma «família» de rectas).

9. 9
SOLUÇÕES
29.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto PP, pelas suas projecções, em função das
suas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta
pp – estas, no entanto, não são suficientes para definir totalmente a recta pp em Dupla
Projecção Ortogonal (a recta, no espaço, está definida por um ponto e uma direcção).
Por outro lado, para que a recta pp seja paralela ao β1/3, a recta tem de ser paralela a
uma recta do β1/3. Representou-se uma recta rr, de perfil, contida no β1/3 e situada no
mesmo plano de perfil da recta pp – a recta rr está definida pelo ponto AA (que é o seu
ponto de concorrência com o eixo XX) e por um ponto BB, qualquer, do β1/3 (BB tem as
suas projecções simétricas em relação ao eixo XX). Em seguida, optou-se por recorrer a
uma mudança do diedro de projecção – substituiu-se o Plano Frontal de Projecção
(ppllaannoo 22) por um novo plano de projecção (ppllaannoo 44), paralelo às duas rectas, definindo
um novo diedro de projecção (o diedro formado pelo ppllaannoo 11 e pelo ppllaannoo 44) no
qual as rectas pp e rr são rectas frontais (de frente). O novo eixo XX (eixo XX’’) é paralelo a
pp11 e a rr11 e é a recta de intersecção do ppllaannoo 11 com o ppllaannoo 44. As projecções de AA, BB e
PP no ppllaannoo 44 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A
projecção da recta rr no ppllaannoo 44 (rr44) está definida por AA44 e por BB44. A projecção da recta
pp no ppllaannoo 44 (pp44) passa por PP44 e é paralela a rr44 (o paralelismo entre as rectas é directo
no novo diedro de projecção). Em seguida, determinaram-se os traços da recta pp em
função das coordenadas conhecidas – FF11 já era conhecido no diedro de projecção ini-
cial e HH22 também. HH44 determinou-se em função da sua cota (que é nula) e FF44 determi-
nou-se em função de FF11. Invertendo a mudança do diedro de projecção, determinou-se
FF22 em função da sua cota (que é negativa e que se manteve). Note que o exercício se
poderia ter resolvido com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém as
duas rectas, conforme exposto no relatório do exercício anterior.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas pp e hh, concorrentes no
ponto PP, em função dos dados. Para determinar os traços do plano há que deter-
minar os traços das duas rectas nos planos de projecção – FF’’ é o traço frontal da
recta hh. Note que as projecções da recta pp se desenharam imediatamente, apesar
da recta estar definida apenas por um ponto e uma direcção (é paralela ao β2/4).
Para determinar os traços da recta pp (que são mais dois pontos da recta) é neces-
sário o recurso a um processo geométrico auxiliar – recorreu-se ao rebatimento do
plano de perfil que a contém (o plano π). Rebateu-se o plano π para o Plano Fron-
tal de Projecção (a charneira foi ffπ), obtendo-se PPrr. A recta pprr passa por PPrr e, uma
vez que a recta pp é paralela ao β2/4, sabe-se que a recta faz ângulos de 45° com os
planos de projecção (e com os traços do plano π) – os ângulos de 45° com os tra-
ços do plano estão em V.G., em rebatimento, nos ângulos que a recta pprr faz com
hhπrr
e com ffπrr
. Das duas hipóteses possíveis, apenas a apresentada garante que a
recta pp é paralela ao β2/4 (na outra situação, a recta seria paralela ao β1/3) – note
que o ponto PP se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela ao β2/4, terá de
atravessar os 2o e 4o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se não
atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do próprio β2/4). Em função
das coordenadas do ponto PP, a recta pp atravessa os 2o, 1o e 4o Diedros. Note que
se poderia ter determinado a recta de intersecção do plano π com o β2/4 (recta ii) e
garantir o paralelismo da recta pp em relação à recta ii, conforme exposto no relató-
rio do exercício 2288. Em seguida, determinaram-se os traços da recta pp em rebati-
mento (ver exercício 2288 e respectivo relatório) – FF é o traço frontal da recta pp e HH é
o seu traço horizontal. ffα, o traço frontal do plano α, passa por FF e FF’’. hhα, o traço
horizontal do plano α, passa por HH, é concorrente com ffα no eixo XX e é paralelo à
recta hh (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço
horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula).
30.

10. 10
SOLUÇÕES
32.
Em primeiro lugar, representaram-se as rectas pp e rr, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. Uma vez que a recta rr é paralela ao β1/3, as suas projecções fazem,
com o eixo XX, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, deter-
minaram-se os traços frontal e horizontal da recta rr – FF e HH, respectivamente. A deter-
minação dos traços da recta pp (FF’’ e HH’’) processou-se conforme exposto no relatório do
exercício 3300. ffα, o traço frontal do plano α, está definido por FF e FF’’. hhα, o traço horizon-
tal do plano α, está definido por HH e HH’’ e é concorrente com ffα no eixo XX.
31.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a recta pp, pelas suas
projecções, em função dos dados. Note que as projecções da recta pp se desenharam imedia-
tamente, apesar da recta não se encontrar completamente definida. Para determinar o ponto
de intersecção da recta pp com o plano ρ, e uma vez que nem a recta nem o plano são
projectantes, recorreu-se ao mmééttooddoo ggeerraall ddaa iinntteerrsseeccççããoo ddee rreeccttaass ccoomm ppllaannooss, como
em seguida se expõe: 11.. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar – o plano π (que é um
plano de perfil); 22.. determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (a recta ii,
que é uma recta de perfil) – a recta ii fica definida por dois pontos, que são os seus traços
(trata-se do caso geral da intersecção de planos); 33.. o ponto de concorrência das duas rec-
tas (recta pp e recta ii) é o ponto de intersecção da recta pp com o plano ρ. Uma vez que tanto
a recta pp com a recta ii são rectas de perfil, a determinação do seu ponto de concorrência só
se pode processar com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebati-
mento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi
ffπ). Rebateu-se a recta ii, pelo rebatimento dos seus traços – iirr fica definida por FFrr e HHrr. A rec-
ta pprr passa por SSrr e, uma vez que a recta pp é paralela ao β1/3, sabe-se que a recta faz ângu-
los de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano π) – os ângulos de 45°
com os traços do plano estão em V.G., em rebatimento, nos ângulos que a recta pprr faz com
hhπrr
e com ffπrr
. Das duas hipóteses possíveis, apenas a apresentada garante que a recta pp é
paralela ao β1/3 (na outra situação, a recta seria paralela ao β2/4, tal como se observou no
exercício anterior) – note que o ponto SS se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela
ao β1/3, terá de atravessar os 1o e 3o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se
não atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do próprio β1/3). Em função das
coordenadas do ponto SS, a recta pp atravessa os 1o, 2o e 3o Diedros. Uma outra forma de
resolver a questão do paralelismo da recta pp em relação ao β1/3 seria determinar a recta de
intersecção do plano π com o β1/3 e desenhar a recta em rebatimento (à semelhança do
exposto no relatório do exercício 2288) – a recta pprr passaria por SSrr e seria paralela àquela.
O ponto de intersecção das duas rectas (recta pp e recta ii) – o ponto II – determinou-se em
rebatimento. IIrr é o ponto de concorrência de iirr e pprr. Invertendo o rebatimento, determina-
ram-se as projec-ções do ponto II que é o ponto de intersecção da recta pp com o plano ρ.
33.
Dois planos são paralelos se e só se duas rectas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas rectas concorrentes do outro pla-
no, ou seja, dois planos são paralelos se e só se tiverem, em comum, duas «famílias» de rectas.

11. 11
SOLUÇÕES
34.
Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. Para que dois planos sejam paralelos, duas rectas concorren-
tes de um dos planos têm de ser paralelas a duas rectas concorrentes do outro (os dois planos
têm de conter duas «famílias» de rectas em comum). Atendendo a que os traços de um plano
oblíquo são duas rectas concorrentes desse plano, para que o plano θ seja paralelo ao plano
α, basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para
que o plano θ contenha o ponto PP, é necessário que PP se situe numa recta do plano θ. Assim,
em primeiro lugar há que conduzir, por PP, uma recta do plano θ – essa recta terá de ser uma
recta frontal (de frente) ou uma recta horizontal (de nível), que são as rectas do plano θ que já
conhecemos (ffθ é uma recta frontal e hhθ é uma recta horizontal). Optou-se pela primeira hipótese
– a recta ff, frontal (de frente), que passa por PP, é uma recta do plano θ pois será paralela a ffθ,
uma vez que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si (e ffθ é paralelo a ffα,
pelo que já sabemos a direcção das rectas frontais de θ). Em seguida, determinou-se HH, o
traço horizontal de ff. Por HH conduziu-se hhθ, paralelo a hhα e ffθ é paralelo a ffα (e a ff) e con-
corrente com hhθ no eixo XX. O plano θ contém o ponto PP e é paralelo ao plano α.
36.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP,
pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções do pon-
to PP estão sobre os traços homónimos do plano α, mas PP nnããoo ppeerrtteennccee ao
plano α, pois não verifica a condição para que um ponto pertença a um plano
em relação ao plano α (tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a
determinação dos traços do plano δ, ver exercício 3344 e respectivo relatório. A
recta hh, horizontal (de nível), que passa por PP, é uma recta do plano δ pois
será paralela a hhδ, uma vez que rectas horizontais (de nível) de um plano são
paralelas entre si (e hhδ é paralelo a hhα, pelo que já sabemos a direcção das
rectas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se FF, o traço frontal de hh. Por
FF conduziu-se ffδ, paralelo a ffα e hhδ é paralelo a hhα (e a hh) e concorrente com ffδ
no eixo XX. O plano δ contém o ponto PP e é paralelo ao plano α.
Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto MM, pelas
suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano λ,
ver relatório do exercício anterior.
Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas
suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções do ponto PP estão
sobre os traços homónimos do plano θ, mas PP nnããoo ppeerrtteennccee ao plano θ, pois não
verifica a condição para que um ponto pertença a um plano em relação ao plano θ
(tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a determinação dos traços do plano α,
ver exercício 3344 e respectivo relatório. A recta hh, horizontal (de nível), que passa por PP,
é a recta auxiliar a que se recorreu – será paralela a hhα. FF é o traço frontal de hh – por FF
conduziu-se ffα, paralelo a ffθ e hhα é paralelo a hhθ (e a hh) e concorrente com ffα no eixo XX.
O plano α contém o ponto PP e é paralelo ao plano θ.
35.
37.

12. 12
SOLUÇÕES
39.
A afirmação é vveerrddaaddeeiirraa. No entanto, os traços homónimos de um plano de rampa são sempre paralelos entre si, mesmo que os dois pla-
nos não sejam paralelos entre si, pois são rectas da mesma «família» de rectas. De facto, tanto o traço frontal como o traço horizontal de um
qualquer plano de rampa são, ambos, rectas fronto-horizontais, e rectas fronto-horizontais são sempre paralelas entre si. Assim, quaisquer
dois planos de rampa têm, sseemmpprree, os traços homónimos paralelos entre si, mesmo que não sejam paralelos. De facto, ao contrário das
restantes situações (todos os planos que não sejam paralelos ao eixo XX), o facto de os traços homónimos de dois planos de rampa serem
paralelos entre si (o que se verifica sempre) não nos garante o paralelismo entre os dois planos.
Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos respectivos traços, em função
dos dados. Para que os dois planos sejam paralelos, têm de conter duas «famílias» de
rectas em comum (duas rectas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a
duas rectas concorrentes do outro plano). Os traços (horizontal de frontal) dos dois pla-
nos são rectas de uma mesma «família» de rectas (as rectas fronto-horizontais), pelo que
os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum. É necessário averiguar se
existe outra «família» de rectas em comum. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar qual-
quer, rr do plano ρ – a recta rr está definida por dois pontos, que são os seus traços (con-
dição para que uma recta pertença a um plano). Se os dois planos forem paralelos, a
«família» da recta rr também existe no plano σ. Assim, desenharam-se as projecções de
uma recta ss, do plano σ, tentando que ss seja paralela à recta rr – ss22, a projecção frontal
da recta ss, é paralela a rr22, a projecção frontal da recta rr. Em seguida, determinaram-se
os traços da recta ss e desenhou-se a sua projecção horizontal, ss11 (a recta ss também está
definida por dois pontos, que são igualmente os seus traços). Constata-se que, embora
as projecções frontais das duas rectas sejam paralelas entre si, as suas projecções hori-
zontais não o são, pelo que as duas rectas não são paralelas entre si (não são rectas da
mesma «família» de rectas). Então, os dois planos nnããoo ssããoo ppaarraalleellooss.
41.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas
suas projecções, em função dos dados. De acordo com o exposto na resposta à
questão do exercício 3399, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homóni-
mos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são rectas da mesma «família» de
rectas). Assim, há que recorrer a outra «família» de rectas para garantir o paralelismo
entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto PP, é neces-
sário que PP pertença a uma recta do plano. Assim, desenharam-se as projecções de
uma recta rr, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta rr é uma recta de uma outra «famí-
lia» de rectas qualquer (diferente da «família» de rectas dos traços do plano), que terá
de ser comum aos dois planos. Em seguida, pelas projecções de PP conduziram-se as
projecções de uma recta ss, paralela à recta rr, e determinaram-se os seus traços. Pelos
traços de ss conduziram-se os traços homónimos do plano σ. O plano σ é paralelo ao
plano ρ (pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes
do plano ρ) e contém o ponto PP (pois PP pertence a uma recta do plano – a recta ss).
Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Para que o plano γ seja paralelo ao plano α, o plano γ
tem de ter os seus traços paralelos aos traços homónimos do plano α. Por outro lado, uma
vez que se trata de planos projectantes horizontais, para que o plano γ contenha o ponto PP,
basta que hhγ passe por PP11 – um plano projectante horizontal projecta todas as suas rectas e
pontos no seu traço horizontal, e o plano γ é projectante horizontal. Assim, por PP11 conduziu-
-se hhγ, paralelo a hhα – ffγ é vertical (é paralelo a ffα) e é concorrente com hhγ no eixo XX.
38.
40.

13. 13
SOLUÇÕES
a) Em primeiro lugar representou-se o ponto PP pelas suas
projecções, em função das suas coordenadas. Sendo
dada a amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Pla-
no Horizontal de Projecção, sabe-se que as suas rectas
de perfil fazem, com o Plano Horizontal de Projecção,
ângulos com a mesma amplitude. Assim, em primeiro
lugar conduziu-se, por PP, uma recta pp, de perfil, que
está definida por um ponto (o ponto PP) e uma direcção
(faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Pro-
jecção). Os traços do plano ρ têm de conter os traços
homónimos da recta pp. Optou-se por recorrer ao rebati-
mento do plano de perfil (plano π) que contém a recta pp
– rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção
(a charneira foi ffπ), obtendo PPrr. O ângulo que a recta pp
faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a
mesma amplitude) ao ângulo que a recta pp faz com hhπ,
que está em V.G. no ângulo entre pprr e hhπrr
. Assim, condu-
ziu-se pprr, por PPrr, fazendo um ângulo de 30° com hhπrr
e
garantindo que o traço horizontal da recta se situa no
SSPPHHAA (é dado que o traço horizontal do plano tem afas-
tamento positivo). Determinaram-se os traços da recta pp
em rebatimento, após o que se inverteu o rebatimento e
se determinaram as respectivas projecções. Em seguida,
por FF conduziu-se ffρ (o traço frontal do plano ρ) e por HH
conduziu-se hhρ (o traço horizontal do plano ρ).
b) Em primeiro lugar representou-se o ponto SS, pelas suas projecções. O plano σ é necessariamente um plano de rampa, pelo que já temos a
direcção dos seus traços, que são uma única «família» de rectas. Para que o plano σ seja paralelo ao plano ρ, tem de haver outra «família» de rec-
tas comum aos dois planos – essa «família» de rectas pode ser a das rectas de perfil. Assim, de forma a economizar traçado e a usar o rebati-
mento já efectuado, conduziu-se, por SS, uma recta gg, fronto-horizontal – a recta gg é nneecceessssaarriiaammeennttee uma recta do plano σ. O ponto SS’’ é o
ponto de intersecção da recta gg com o plano π. A recta pp’’, que passa por SS’’ e é paralela à recta pp, é uma recta do plano σ – note que pp’’ é a recta
de intersecção do plano π com o plano σ, tal como a recta pp era a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Determinou-se SS’’rr e por SS’’rr
conduziu-se pp’’rr, paralela a pprr. Determinaram-se os traços da recta pp’’ em rebatimento, após o que se inverteu o rebatimento e se determinaram as
respectivas projecções. Em seguida, por FF’’ conduziu-se ffσ (o traço frontal do plano σ) e por HH’’ conduziu-se hhσ (o traço horizontal do plano σ).
42.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o plano σ, pelo seu
traço frontal, em função dos dados. Os dois planos já têm uma «família» de rectas em
comum – a «família» das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos,
os planos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Recorreu-se a uma
recta rr, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta rr é uma recta de uma outra «família» de rectas
qualquer (diferente da «família» de rectas dos traços do plano), que terá de ser comum
aos dois planos. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta ss, paralela à
recta rr e pertencente ao plano σ (o traço frontal da recta ss, FF’’, tem de se situar sobre ffσ).
Determinou-se o traço horizontal da recta ss, HH’’, e por HH’’ conduziu-se o traço horizontal
do plano σ, hhσ. O plano σ é paralelo ao plano ρ, pois contém duas rectas concorrentes
paralelas a duas rectas concorrentes do plano ρ (o seu traço frontal e a recta ss, por
exemplo, que são paralelos, respectivamente, ao traço frontal do plano ρ e à recta rr).
44.
Em primeiro lugar representaram-se os planos ρ e σ pelos seus traços, em função
dos dados – note que, sendo o plano σ um plano passante, é possível definir ime-
diatamente os seus traços que, no entanto, são insuficientes para definir o plano,
pois são uma única recta (é possível definir um plano por uma única recta se e só
se essa recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de
maior inclinação). Os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum – a
«família» das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos, os pla-
nos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Recorreu-se a uma
recta rr, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta rr é uma recta de uma outra «família»
de rectas qualquer, que terá de ser comum aos dois planos. Em seguida desenha-
ram-se as projecções de uma recta ss, paralela à recta rr e pertencente a σ – a recta
ss é nneecceessssaarriiaammeennttee uma recta passante. O plano σ, definido por duas rectas
concorrentes (o eixo XX e a recta ss) é paralelo ao plano ρ.
43.

14. 14
SOLUÇÕES
45.
Em primeiro lugar representaram-se o plano σ, pelos seus traços (que estão
coincidentes no eixo XX) e pelo ponto PP, e o ponto AA, pelas suas projecções,
em função dos dados. Já se sabe que os traços do plano ρ (o plano pedido)
são rectas fronto-horizontais, pois trata-se de um plano de rampa – os dois
planos já têm uma «família» de rectas em comum (a «família» das rectas
fronto-horizontais). Para que os planos sejam paralelos, os planos têm de
conter uma outra «família» de rectas em comum. Por outro lado, para que o
plano ρ contenha o ponto AA, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano.
Recorreu-se a uma recta rr, oblíqua, qualquer, do plano σ – a recta rr passa
pelo ponto PP (que é um ponto do plano σ) e é uma recta passante. Em
seguida, desenharam-se as projecções de uma recta ss, paralela à recta rr e
passando por AA – determinaram-se os traços da recta ss, pelos quais se con-
duziram os traços homónimos do plano ρ. O plano ρ é paralelo ao plano σ
(os dois planos têm duas «famílias» de rectas em comum) e contém o ponto
AA, pois o ponto AA pertence a uma recta do plano ρ (a recta ss).
46.
Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de PP conduziram-se
imediatamente as projecções da recta pp – note que não foi necessário nenhum procedi-
mento particular para desenhar as projecções da recta pp. A recta pp, no entanto, não está
completamente definida – falta-nos outro ponto para definir a recta, para além do ponto
PP. Por outro lado, há que garantir que a recta pp seja paralela ao plano γ, para o que a rec-
ta pp terá de ser paralela a uma recta do plano γ (critério de paralelismo entre rectas e pla-
nos). Assim, recorreu-se a uma recta pp’’, qualquer, de perfil e pertencente ao plano – por
uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer com que a recta pp’’ tenha
abcissa nula. A recta pp’’ está definida por dois pontos, que são os seus traços (condição
para que uma recta pertença a um plano). A recta pp tem de ser paralela à recta pp’’. Para
garantir o paralelismo entre as rectas pp e pp’’ recorreu-se ao raciocínio exposto no relatório
do exercício 44. As rectas pp e pp’’, sendo paralelas, são complanares – recorreu-se a duas
rectas do plano definido por pp e pp’’. A recta rr é concorrente com a recta pp no ponto PP e
com a recta pp’’ no ponto HH (o seu traço horizontal). A recta ss é concorrente com a recta pp’’
no ponto FF (o seu traço frontal) e é paralela à recta rr. A recta ss, porque é complanar com
a recta pp, é concorrente com esta num ponto MM. A recta pp, definida por PP e MM, é paralela
à recta pp’’, que é uma recta do plano γ, pelo que a recta pp é paralela ao plano γ.
47.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ψ, pelos seus traços, e a recta pp,
pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções da recta pp
se desenharam imediatamente, apesar da recta não se encontrar completa-
mente definida. Para determinar o ponto de intersecção da recta pp com o plano
ψ, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao
mmééttooddoo ggeerraall ddaa iinntteerrsseeccççããoo ddee rreeccttaass ccoomm ppllaannooss, como em seguida se expõe:
11.. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar – o plano π (que é um plano de per-
fil); 22.. determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ψ (a recta ii,
que é uma recta de perfil) – a recta ii fica definida por dois pontos, que são os
seus traços (trata-se do caso geral da intersecção de planos); 33.. o ponto de con-
corrência das duas rectas (recta pp e recta ii) é o ponto de intersecção da recta pp
com o plano ψ. Uma vez que tanto a recta pp com a recta ii são rectas de perfil, a
determinação do seu ponto de concorrência só se pode processar com o recur-
so a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π –
rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ). Reba-
teu-se a recta ii, pelo rebatimento dos seus traços – iirr fica definida por FFrr e HHrr. A
recta pprr passa por PPrr e, uma vez que a recta pp é paralela ao β2/4, sabe-se que a
recta faz ângulos de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano
π) – ver exercício 3300 e respectivo relatório. O ponto de intersecção das duas rec-
tas (recta pp e recta ii) – o ponto II – determinou-se em rebatimento. IIrr é o ponto de
concorrência de iirr e pprr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projec-
ções do ponto II que é o ponto de intersecção da recta pp com o plano ρ.

15. 15
SOLUÇÕES
48.
Em primeiro lugar representaram-se as rectas rr e hh, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Para que o plano α seja paralelo à recta rr, tem de
conter uma recta paralela à recta rr (critério de paralelismo entre planos e rec-
tas). Assim, conduziu-se uma recta ss, paralela à recta rr e concorrente com a
recta hh – por uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer com
que a recta ss seja concorrente com a recta hh no ponto BB. O plano definido pelas
rectas hh e rr está definido por duas rectas concorrentes e é necessariamente
paralelo à recta rr. Em seguida, determinaram-se HH, o traço horizontal da recta ss
(o seu traço frontal está fora dos limites do desenho) e FF, o traço frontal da recta
hh. hhα, o traço horizontal do plano α, passa por HH e é paralelo a à recta hh (rectas
horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal
do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). ffα passa por FF e
é concorrente com hhα no eixo XX.
49.
Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e a recta gg, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que os
dois planos sejam paralelos, têm de conter duas «famílias» de rectas em comum – uma vez que se trata de planos de rampa, os dois planos
já têm, em comum, a «família» das rectas fronto-horizontais. É necessária uma outra «família» de rectas comum aos dois planos. Assim,
desenharam-se as projecções de uma recta rr, oblíqua, qualquer, do plano θ. A recta rr é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer
(não é fronto-horizontal, que é a «família» que os dois planos já têm em comum), que terá de ser comum aos dois planos – a recta rr está
definida por dois pontos, que são os seus traços. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta ss, paralela à recta rr e concorrente
com a recta gg num ponto PP, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de ss conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. O plano ρ
é paralelo ao plano θ, pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano θ.

16. 16
SOLUÇÕES
50.
Duas rectas ppeerrppeennddiiccuullaarreess são duas rectas oorrttooggoonnaaiiss (que formam, entre si, quatro ângulos rectos – de 90°) que são complanares (são
ccoonnccoorrrreenntteess). Rectas oorrttooggoonnaaiiss são rectas nnããoo ccoommppllaannaarreess paralelas a duas rectas ppeerrppeennddiiccuullaarreess.
PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE
14
51.
A afirmação é ffaallssaa. Duas rectas ortogonais podem ou não ser perpendiculares – se forem complanares, então são perpendiculares (são
concorrentes), mas se não forem complanares, as rectas serão apenas ortogonais. Já o contrário é verdade – duas rectas perpendiculares
são necessariamente ortogonais. A ortogonalidade é condição necessária para que se verifique a perpendicularidade, mas não o contrário.
52.
A afirmação é ffaallssaa. As projecções de duas rectas perpendiculares entre si nnããoo ssããoo perpendiculares entre si, a menos que uma das rectas
sseejjaa ppaarraalleellaa aa uumm ddooss ppllaannooss ddee pprroojjeeccççããoo – nesse caso, as projecções das duas rectas nneessssee ppllaannoo ddee pprroojjeeccççããoo serão sempre per-
pendiculares entre si.
53.
A afirmação é vveerrddaaddeeiirraa. De facto, e como se referiu na resposta à questão anterior, se duas rectas são perpendiculares ou ortogonais e
uummaa ddeellaass éé ppaarraalleellaa aa uumm ddooss ppllaannooss ddee pprroojjeeccççããoo, as projecções das duas rectas nneessssee ppllaannoo ddee pprroojjeeccççããoo são necessariamente
perpendiculares entre si. Assim, atendendo a que as rectas horizontais (de nível) são paralelas ao Plano Horizontal de Projecção, qualquer
recta perpendicular ou ortogonal a uma recta horizontal (de nível) terá a sua projecção horizontal (a projecção no Plano Horizontal de Pro-
jecção) perpendicular à projecção horizontal da recta horizontal (de nível).
55.
Em primeiro lugar representaram-se a recta hh e o ponto PP, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, imediatamente, desenhar a pro-
jecção frontal da recta pp – pp22. Em seguida, uma vez que a recta hh é paralela ao Plano
Horizontal de Projecção, a ortogonalidade entre a recta hh e qualquer outra recta é
directa em projecção horizontal. Assim, por PP11 conduziu-se pp11, a projecção horizontal
da recta pp, perpendicular a hh11 – a ortogonalidade entre as duas rectas já está garantida.
As duas rectas não são concorrentes – são apenas ortogonais.
Em primeiro lugar representaram-se a recta hh e o ponto PP, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a recta hh é paralela ao Plano
Horizontal de Projecção, sabe-se que a ortogonalidade entre a recta hh e qualquer outra
recta é directa em projecção horizontal. Assim, por PP11 conduziu-se pp11, a projecção hori-
zontal da recta pp, perpendicular a hh11 – a ortogonalidade entre as duas rectas já está
garantida. Por outro lado, é pedido que as rectas sejam ppeerrppeennddiiccuullaarreess, pelo que as
rectas terão de ser concorrentes. Em projecção horizontal, determinou-se II11, a projecção
horizontal do ponto de concorrência das duas rectas – II22 situa-se sobre hh22. A projecção
frontal da recta pp, pp22, está definida por PP22 e por II22. As rectas pp e hh são ortogonais e, uma
vez que são concorrentes, são ppeerrppeennddiiccuullaarreess.
54.

17. 17
SOLUÇÕES
Em primeiro lugar representaram-se a recta ff e o ponto PP, pelas respectivas projecções, em fun-
ção dos dados. A recta aa é frontal (de frente) e a ortogonalidade entre rectas frontais (de frente) é
directa em projecção frontal, pois ambas as rectas (ff e aa) são paralelas ao Plano Frontal de Projec-
ção. Assim, por PP22 conduziu-se, imediatamente, aa22, a projecção frontal da recta aa, perpendicular a
ff22 – aa11 é paralela ao eixo XX e passa por PP11. Já no que respeita à recta bb, que é horizontal (de nível),
teve-se em conta que não há nenhuma recta horizontal (de nível) cuja projecção frontal seja
perpendicular a ff22. No entanto, tratando-se de uma recta horizontal (de nível), que é paralela ao
Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal.
Assim, por PP11 conduziu-se bb11, perpendicular a ff11 (bb11 fica perpendicular ao eixo XX) – a partir de bb11
constatou-se que a recta bb terá de ser uma recta de topo, pois é a única recta horizontal (de nível)
cuja projecção horizontal é perpendicular ao eixo XX (uma recta de topo é um caso particular das
rectas horizontais). A projecção frontal de bb é um ponto, que está coincidente com PP22. Sublinha-se
que para desenhar as projecções da recta aa se teve em conta que a recta aa é uma rreeccttaa ffrroonnttaall
((ddee ffrreennttee)), paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que aa oorrttooggoonnaalliiddaaddee éé ddiirreeccttaa eemm pprroo--
jjeeccççããoo ffrroonnttaall. Já para desenhar as projecções da recta bb, que é uma rreeccttaa hhoorriizzoonnttaall ((ddee nníívveell)),
paralela ao Plano Horizontal de Projecção, se teve em conta que aa oorrttooggoonnaalliiddaaddee éé ddiirreeccttaa eemm
pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall. Visualize no espaço que qualquer recta de topo é necessariamente ortogo-
nal a qualquer recta frontal (de frente).
56.
Em primeiro lugar representaram-se a recta hh e o ponto PP, pelas respectivas projecções,
em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta rr, ver exercício 5555 e
respectivo relatório.
57.
58.
Em primeiro lugar representaram-se a recta tt e o ponto BB, pelas respectivas projecções,
em função dos dados. Em seguida, por BB22 conduziu-se pp22, com o ângulo pedido – pp22
faz, com o eixo XX, um ângulo de 45° (a.d.). Uma recta de topo é um caso particular das
rectas horizontais (de nível) – é paralela ao Plano Horizontal de Projecção e a ortogonali-
dade entre uma recta de topo e outra recta qualquer é directa em projecção horizontal.
Assim, por BB11 conduziu-se a projecção horizontal da recta pp, pp11, perpendicular a tt11 –
constata-se imediatamente que a recta pp é uma rreeccttaa ffrroonnttaall ((ddee ffrreennttee)). Visualize no
espaço que qualquer recta ortogonal a uma recta de topo é necessariamente uma recta
frontal (de frente), incluindo qualquer dos seus casos particulares.
Em primeiro lugar representaram-se a recta gg e o ponto PP, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. A recta gg, porque se trata de uma recta fronto-horizontal, é simultaneamente
um caso particular das rectas frontais (de frente) e um caso particular das rectas horizontais (de
nível). Assim, para desenhar as projecções de uma recta ortogonal à recta gg, esta pode ser con-
siderada como uma recta frontal (em que a ortogonalidade é directa em projecção frontal) ou
como uma recta horizontal (em que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal).
Optou-se pela segunda hipótese – considerando a recta gg como uma recta horizontal (de nível),
sabe-se que a ortogonalidade entre a recta gg e outra recta qualquer é directa em projecção hori-
zontal. Assim, pp11, a projecção horizontal da recta pp, é perpendicular a gg11 (e ao eixo XX) – qual-
quer que seja a projecção frontal da recta, a recta pp é necessariamente ortogonal à recta gg, pois
a ortogonalidade já está garantida. A projecção horizontal desenhada só pode corresponder a
uma recta de topo ou a uma recta de perfil. Optou-se pela primeira situação – a recta pp dese-
nhada é uma recta de topo. Caso se tivesse considerado a recta gg como um caso particular das
rectas frontais (de frente), pp22, a projecção frontal da recta pp, seria perpendicular a gg22 – nesse
caso, a recta pp poderia ser uma recta vertical ou uma recta de perfil (são as únicas rectas a que
poderia corresponder aquela projecção frontal). Assim, face ao exposto, as hipóteses de resolu-
ção que existem são três – rreeccttaass ddee ttooppoo, rreeccttaass vveerrttiiccaaiiss ou rreeccttaass ddee ppeerrffiill. Tenha em con-
ta que qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal –
assim, quando se refere a recta de perfil estão incluídas as infinitas direcções de rectas de perfil.
59.

18. 18
SOLUÇÕES
60.
Em primeiro lugar representaram-se a recta gg e o ponto PP, pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. De acordo com o exposto no relatório do exercí-
cio anterior, é possível começar por desenhar qualquer das projecções da recta pp
– optou-se igualmente por desenhar pp11. No entanto, ao contrário do exercício an-
terior, agora pretende-se que as duas rectas sejam ppeerrppeennddiiccuullaarreess – para tal, as
duas rectas terão de ser concorrentes. O ponto II, determinado através da sua
projecção horizontal, é o ponto de concorrência das duas rectas. A recta pp passa
por PP e por II, pelo que é nneecceessssaarriiaammeennttee uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill que está definida
por dois pontos. Note que, caso se tivesse começado por desenhar a projecção
frontal da recta pp se chegaria à mesma resolução final, sendo que, nesse caso, o
ponto II seria determinado a partir da sua projecção frontal.
61.
Em primeiro lugar representaram-se a recta rr e o ponto PP, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. As únicas rectas ortogonais à recta rr que se podem definir,
com os conhecimentos adquiridos, são rreeccttaass ffrroonnttaaiiss ((ddee ffrreennttee)) ou rreeccttaass hhoorrii--
zzoonnttaaiiss ((ddee nníívveell)). Optou-se pela segunda hipótese. Fazendo a recta pp uma recta ho-
rizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, a ortogonalidade
é directa em projecção horizontal. Assim, pp11 passa por PP11 e é perpendicular a rr11 – pp22
passa por PP22 e é paralela ao eixo XX. Caso se tivesse optado por fazer a recta pp uma
recta frontal (de frente), que é paralela ao Plano Frontal de Projecção (em que a orto-
gonalidade é directa em projecção frontal), pp22 seria perpendicular a rr22. Conforme se
referiu acima, a outra hipótese seria, então, uma rreeccttaa ffrroonnttaall ((ddee ffrreennttee)).
a) Em primeiro lugar representaram-se a recta gg e o ponto PP, pelas respectivas projecções, em fun-
ção dos dados. A recta rr é uma recta horizontal (de nível), paralela ao Plano Horizontal de Projec-
ção, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – assim, rr11 passa por PP11 e tem
de ser perpendicular a gg11 (e perpendicular ao eixo XX). A única recta horizontal (de nível) que tem a
projecção horizontal desenhada é uma recta de topo – rr é, assim, uma rreeccttaa ddee ttooppoo.
b) A recta ss é uma recta frontal (de frente), paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a ortogo-
nalidade é directa em projecção frontal – assim, ss22 passa por PP22 e tem de ser perpendicular a gg22 (e
perpendicular ao eixo XX). A única recta frontal (de frente) que tem a projecção frontal desenhada é
uma recta vertical – ss é, assim, uma rreeccttaa vveerrttiiccaall.
63.
a) Em primeiro lugar representou-se a recta rr pelas suas projecções, em função dos
dados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta rr que tem 2 cm de cota – o
ponto PP (que é o ponto de concorrência das duas rectas). A projecção frontal da
recta hh, hh22, desenhou-se imediatamente, passando por PP22 e paralela ao eixo XX.
Uma vez que a recta hh é horizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de
Projecção, a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – assim, hh11 passa
por PP11 e é perpendicular a rr11.
b) Para determinar os traços do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se os
traços destas nos planos de projecção – FF e HH são, respectivamente, o traço frontal
e o traço horizontal da recta rr e FF’’ é o traço frontal da recta hh. ffα, o traço frontal do
plano, está definido por FF e FF’’. hhα, o traço horizontal do plano, passa por HH, é con-
corrente com ffα no eixo XX e é paralelo à recta hh. A recta rr é uma rreeccttaa ddee mmaaiioorr
ddeecclliivvee do plano α, pois é perpendicular às rectas horizontais (de nível) do plano
(e ao traço horizontal do plano).
62.

19. 19
SOLUÇÕES
a) Em primeiro lugar, representou-se a recta rr pelas suas projecções, em função dos
dados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta rr que tem 2 cm de afastamento
– o ponto PP (que é o ponto de concorrência das duas rectas). A projecção horizontal
da recta ff, ff11, desenhou-se imediatamente, passando por PP11 e paralela ao eixo XX.
Uma vez que a recta ff é frontal (de frente), que é paralela ao Plano Frontal de Projec-
ção, a ortogonalidade é directa em projecção frontal – assim, ff22 passa por PP22 e é
perpendicular a rr22.
b) Para determinar os traços do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se os
traços destas nos planos de projecção – FF e HH são, respectivamente, o traço frontal
e o traço horizontal da recta rr e HH’’ é o traço horizontal da recta ff. hhδ, o traço hori-
zontal do plano, está definido por HH e HH’’. ffδ, o traço frontal do plano, passa por FF e
é paralelo à recta ff (note que o ponto do eixo XX que é o ponto de concorrência dos
dois traços do plano se situa fora dos limites do desenho). A recta rr é uma rreeccttaa ddee
mmaaiioorr iinncclliinnaaççããoo do plano δ, pois é perpendicular às rectas frontais (de frente) do
plano (e ao traço frontal do plano).
65.
A recta hh tem 4 cm de cota – todos os seus pontos têm 4 cm de cota. A recta ff tem 3 cm de afasta-
mento – todos os seus pontos têm 3 cm de afastamento. O ponto de concorrência das duas rectas
(ponto PP), porque pertence simultaneamente às duas rectas, tem 4 cm de cota e 3 cm de afasta-
mento. A partir do raciocínio exposto, desenharam-se as projecções das rectas ff e hh, em função
dos dados. A recta rr, sendo perpendicular à recta ff (que é paralela ao Plano Frontal de Projecção),
tem de ter a sua projecção frontal perpendicular a ff22, pois a perpendicularidade é directa em pro-
jecção frontal – rr22 passa por PP22 e é perpendicular a ff22. Por outro lado, a recta rr, sendo perpendicu-
lar à recta hh (que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção), tem de ter a sua projecção
horizontal perpendicular a hh11, pois a perpendicularidade é directa em projecção horizontal – rr11 pas-
sa por PP11 e é perpendicular a hh11.
66.
A afirmação é ffaallssaa. Uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas ccoonnccoorrrreenntteess do plano. De facto, atendendo à
situação do exercício 6633, por exemplo, a recta rr é ortogonal (e perpendicular) a duas rectas do plano α (a recta hh e hhα, o traço horizontal do
plano) mas, no entanto, a recta rr nnããoo éé ortogonal ao plano mas, sim, pertence ao plano. Tal justifica-se pelo facto de as rectas hh e hhα serem
duas rectas ppaarraalleellaass do plano α e não duas rectas ccoonnccoorrrreenntteess.
67.
O CCrriittéérriioo ddee oorrttooggoonnaalliiddaaddee eennttrree rreeccttaass ee ppllaannooss afirma que uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas ccoonn--
ccoorrrreenntteess desse plano, pelo que um plano é ortogonal a uma recta se e só se contiver duas rectas ccoonnccoorrrreenntteess ortogonais à recta dada.
68.
A afirmação é vveerrddaaddeeiirraa. Segundo o TTeeoorreemmaa ddaa oorrttooggoonnaalliiddaaddee eennttrree rreeccttaass ee ppllaannooss, uma recta ortogonal a um plano é ortogonal a
ttooddaass as rectas desse plano. Assim, uma vez que os traços de um plano são duas rectas desse plano, qualquer recta ortogonal a esse pla-
no é necessariamente ortogonal aos traços do plano.
69.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto PP, pelas
suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser
ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. O plano ν, porque é horizontal (de
nível), contém todas as direcções das rectas horizontais (de nível). Assim, a recta pp terá
de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas rectas horizontais (de nível) quais-
quer, concorrentes – a recta pp é nneecceessssaarriiaammeennttee uma rreeccttaa vveerrttiiccaall.
70.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e o ponto AA, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas
concorrentes desse plano. O plano ϕ, porque é frontal (de frente), contém todas as direcções das
rectas frontais (de frente). Assim, a recta pp terá de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas
rectas frontais (de frente) quaisquer, concorrentes – a recta pp é nneecceessssaarriiaammeennttee uma rreeccttaa ddee ttooppoo.
64.

20. 20
SOLUÇÕES
Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal
a duas rectas concorrentes desse plano. Os traços do plano γ são dduuaass rreeccttaass ccoonnccoorr--
rreenntteess do plano – assim, basta fazer com que a recta pp seja simultaneamente ortogonal
aos traços do plano, para garantir que a recta pp seja ortogonal ao plano. O traço frontal do
plano, ffγ, é uma recta frontal (de frente) do plano (é uma recta vertical, que é um caso par-
ticular das rectas frontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por
PP22 conduziu-se pp22, perpendicular a ffγ. O traço horizontal do plano, hhγ, é uma recta hori-
zontal (de nível) do plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal –
por PP11 conduziu-se pp11, perpendicular a hhγ. A recta pp é uma rreeccttaa hhoorriizzoonnttaall ((ddee nníívveell)).
71.
72.
Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a
duas rectas concorrentes desse plano. Os traços do plano θ são dduuaass rreeccttaass ccoonnccoorrrreenntteess
do plano – assim, basta fazer com que a recta pp seja simultaneamente ortogonal aos traços
do plano, para garantir que a recta pp seja ortogonal ao plano. O traço horizontal do plano, hhθ,
é uma recta horizontal (de nível) do plano (é uma recta de topo, que é um caso particular das
rectas horizontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – por PP11 con-
duziu-se pp11, perpendicular a hhθ. O traço frontal do plano, ffθ, é uma recta frontal (de frente) do
plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por PP22 conduziu-se pp22, per-
pendicular a ffθ. A recta pp é uma rreeccttaa ffrroonnttaall ((ddee ffrreennttee)).
74.
Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas projecções,
em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes
desse plano. Os traços do plano α são dduuaass rreeccttaass ccoonnccoorrrreenntteess do plano – assim, basta fazer com que
a recta pp seja simultaneamente ortogonal aos traços do plano, para garantir que a recta pp seja ortogonal
ao plano. O traço horizontal do plano, hhα, é uma recta horizontal (de nível) do plano, pelo que a ortogo-
nalidade é directa em projecção horizontal – por PP11 conduziu-se pp11, perpendicular a hhα. O traço frontal do
plano, ffα, é uma recta frontal (de frente) do plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção
frontal – por PP22 conduziu-se pp22, perpendicular a ffα. A recta pp é ortogonal ao plano, pois é ortogonal a
duas rectas concorrentes do plano – os traços do plano. Note que as projecções da recta pp são per-
pendiculares aos traços homónimos do plano, o que se verificou igualmente nas situações anteriores.
Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto AA, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas
concorrentes desse plano. Os traços do plano π são dduuaass rreeccttaass ccoonnccoorrrreenntteess do plano – assim,
basta fazer com que a recta pp seja simultaneamente ortogonal aos traços do plano, para garantir
que a recta pp seja ortogonal ao plano. O traço horizontal do plano, hhπ, é uma recta horizontal (de
nível) do plano (é uma recta de topo, que é um caso particular das rectas horizontais), pelo que a
ortogonalidade é directa em projecção horizontal – por AA11 conduziu-se pp11, perpendicular a hhπ.
O traço frontal do plano, ffπ, é uma recta frontal (de frente) do plano (é uma recta vertical, que é um
caso particular das rectas frontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por
AA22 conduziu-se pp22, perpendicular a ffπ. A recta pp é uma rreeccttaa ffrroonnttoo--hhoorriizzoonnttaall.
73.

21. 21
SOLUÇÕES
75.
a) Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas
suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da
recta pp, ver exercício anterior e respectivo relatório.
b) Para determinar o ponto de intersecção da recta pp com o plano α, e uma vez que
nem a recta nem o plano são projectantes, há que recorrer ao mmééttooddoo ggeerraall ddaa iinn--
tteerrsseeccççããoo ddee rreeccttaass ccoomm ppllaannooss. Assim, tem-se: 11.. por pp conduziu-se um plano au-
xiliar (o plano γ, que é um plano vertical – é o plano projectante horizontal da recta
pp); 22.. determinou-se a recta ii, a recta de intersecção dos dois planos (a recta ii está
definida pelos seus traços, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos);
33.. o ponto de concorrência da recta ii com a recta pp (o ponto II) é o ponto de inter-
secção da recta pp com o plano α.
Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto AA, pelas suas
projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta rr, ver
exercício 7744 e respectivo relatório. Sobre a determinação do ponto II, e tendo em conta que
nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao mmééttooddoo ggeerraall ddaa iinntteerrsseeccççããoo ddee
rreeccttaass ccoomm ppllaannooss (ver a alínea bb)) do relatório do exercício anterior). O plano γ, de topo, é o
plano auxiliar a que se recorreu – é o plano projectante frontal da recta rr.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projec-
ções da recta pp, perpendiculares aos traços homónimos de ρ. A recta pp é uma rreeccttaa ddee
ppeerrffiill, que não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez
que as suas projec-ções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de
mais um ponto da recta pp, para além do ponto PP. A recta pp, para ser ortogonal ao plano ρ,
tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta pp já é ortogonal às rectas
fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta
fronto-horizontal – ver relatório do exercício 5599) – é necessário que a recta pp seja ortogonal
a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por pp con-
duziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta ii, que é a recta de
intersecção de π com ρ – a recta ii é uma recta de perfil de ρ e está definida pelos seus tra-
ços (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). A recta pp terá de ser perpendicular
à recta ii. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebati-
mento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ), obtendo-se iirr (defi-
nida por FFrr e HHrr) e PPrr. Por PPrr conduziu-se pprr, perpendicular a iirr. Sobre pprr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de PP – RRrr.
Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de RR – a recta pp, ortogonal a ρ, está definida por PP e RR. Note que o processo geomé-
trico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudança do diedro de projecção.
77.
Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto PP, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta rr, ver exercício 7744 e
respectivo relatório. Note que a recta rr tem as suas projecções paralelas entre si – trata-se de uma
recta paralela ao β2/4.
76.
78.

22. 22
SOLUÇÕES
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto MM, pelas
suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação da recta pp, ver relatório
do exercício anterior. O outro ponto da recta pp a que se recorreu para a definir em
Dupla Projecção Ortogonal foi o seu traço frontal – o ponto FF’’. A recta pp, definida por MM e
por FF’’, é ortogonal ao plano ρ.
80.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelo seu traço frontal (não é conhecido o seu
traço horizontal, pois é dada a orientação do plano), e o ponto PP, pelas suas projecções, em
função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta pp,
que é necessariamente uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill – a recta pp não se encontra totalmente definida
em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projecções não verificam o Critério de
reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta pp, para além do ponto PP. A
recta pp, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do
plano. A recta pp já é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é
necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) – é necessário que a recta pp seja
ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por
pp conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta ii, que é a rec-
ta de intersecção de π com ρ – a recta ii é uma recta de perfil de ρ e está definida pelo seu
traço frontal, FF, e pela sua direcção (faz um ângulo de 30° com o Plano Horizontal de Projec-
ção, que é um ângulo com a mesma amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Plano Ho-
rizontal de Projecção). O ângulo que a recta ii faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a
mesma amplitude que o ângulo que a recta ii faz com hhπ. A recta pp terá de ser perpendicular
à recta ii. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebati-
mento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ), obtendo-se PPrr e FFrr.
Por FFrr conduziu-se iirr, fazendo um ângulo de 30o com hhπrr
e garantindo que o traço horizontal da recta tem afastamento positivo (é dado que o traço
horizontal do plano ρ se situa no SSPPHHAA). Por PPrr conduziu-se pprr, perpendicular a iirr. Sobre pprr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para
além de PP – AArr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de AA – a recta pp, ortogonal a ρ, está definida por PP e AA. Note que o pon-
to AA é o ponto de concorrência das duas rectas (pp e ii) e é, assim, o ponto de intersecção da recta pp com o plano ρ, mas poderia ser outro ponto
qualquer. Note ainda que não foi necessária a determinação do traço horizontal do plano ρ para a resolução do exercício, nem aquele era pedido
no enunciado. A determinação do traço horizontal da recta ii, HH, processou-se apenas para garantir que o traço horizontal do plano tem afas-
tamento positivo. Sublinha-se que o processo geométrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudança do diedro de projecção.
81.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelo seu traço frontal
(ver exercício anterior), e o ponto PP, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados. Sobre a determinação da recta, ver exercício anterior
e respectivo relatório. Note que, nesta situação, o traço horizontal da
recta ii (a recta de intersecção do plano π com o plano ρ) tem afasta-
mento negativo, pois é pedido expressamente no enunciado que o
traço horizontal do plano se situe no SSPPHHPP. O ponto AA, o outro ponto
a que se recorreu para definir a recta pp, já não foi o ponto de inter-
secção da recta pp com o plano ρ.
79.

23. 23
SOLUÇÕES
82.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão
coincidentes no eixo XX) e pelo ponto PP, bem como o ponto KK, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, passando por KK, desenha-
ram-se imediatamente as projecções da recta pp, que é necessariamente
uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill – a recta pp não se encontra totalmente definida em
Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projecções não verifi-
cam o Critério de reversibilidade. Assim, necessi-tamos de mais um ponto
da recta pp, para além do ponto KK. A recta pp, para ser ortogonal ao plano ρ,
tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta pp já
é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é
necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) – é necessário
que a recta pp seja ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas
de perfil do plano, por exemplo). Por pp conduziu-se um plano auxiliar π, de
perfil. Em seguida, determinou-se a recta ii, que é a recta de intersecção
de π com ρ – a recta ii é uma recta de perfil de ρ (é uma recta de perfil pas-
sante). Para definir a recta ii já temos um ponto – o seu ponto de concor-
rência com o eixo XX. Necessitamos de um outro ponto. Pelo ponto PP (que
é um ponto do plano ρ) conduziu-se uma recta mm, fronto-horizontal (que é
uma recta do plano ρ), e determinou-se o ponto de intersecção da recta mm
com o plano π – o ponto MM. MM é um ponto comum aos dois planos, pelo que é um outro ponto da recta ii. A recta ii já está, assim, definida
por dois pontos. A recta pp terá de ser perpendicular à recta ii. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo
rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ), obtendo-se KKrr e MMrr. A recta iirr fica definida por dois pontos – MMrr
e o seu ponto de concorrência com o eixo XX, que é fixo (é um ponto da charneira). Por PPrr conduziu-se pprr, perpendicular a iirr. Sobre pprr repre-
sentou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de PP – LLrr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de LL – a recta pp,
ortogonal a ρ, está definida por KK e LL. Note que o processo geométrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudança do diedro
de projecção, conforme se expõe no relatório do exercício seguinte.
83.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão
coincidentes no eixo XX) e pelo ponto AA, bem como o ponto PP, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. Em seguida, passando por PP, desenharam-se
imediatamente as projecções da recta pp, que é necessariamente uma rreeccttaa ddee
ppeerrffiill – a recta pp não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Orto-
gonal, uma vez que as suas projecções não verificam o Critério de reversibilidade.
Assim, necessitamos de mais um ponto da recta pp, para além do ponto PP. Para
evitar a complexidade dos raciocínios dos exercícios anteriores, optou-se por
recorrer imediatamente a uma mudança do diedro de projecção, de forma a
transformar o plano ρ num plano de topo, por exemplo – com um plano de topo,
cujos traços são duas rectas concorrentes (ao contrário dos planos de rampa,
cujos traços são duas rectas paralelas – são rectas da mesma «família» de
rectas), a ortogonalidade entre rectas e planos é directa. Assim, substituiu-se o
Plano Frontal de Projecção (ppllaannoo 22) por um outro plano de projecção (ppllaannoo 44),
ortogonal ao plano ρ – o novo eixo XX (eixo XX’’) é perpendicular a hhρ e é a recta de
intersecção do ppllaannoo 11 com o ppllaannoo 44. As projecções de AA e PP no ppllaannoo 44
determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. O traço
do plano ρ no ppllaannoo 44, ff44ρ
, é concorrente com hhρ no eixo XX’’ e passa por AA44 (note
que, no diedro formado pelo ppllaannoo 11 e pelo ppllaannoo 44, o plano ρ é de topo, pro-
jectante frontal, pelo que projecta todos os seus pontos e rectas no seu traço no
ppllaannoo 44). Uma vez que, no novo diedro de projecção, hhρ e ff44ρ
são duas rectas
concorrentes, e tendo já pp11 perpendicular a hhρ, para que a recta pp seja ortogonal
a ρ basta que pp44 (a projecção da recta pp no ppllaannoo 44) seja perpendicular a ff44ρ
(trata-se da situação do exercício 7722). Assim, por PP44 conduziu-se pp44, perpendi-
cular a ff44ρ
. No diedro de projecção formado pelo ppllaannoo 11 e pelo ppllaannoo 44, deter-
minou-se um ponto qualquer da recta pp – o ponto BB (que é o ponto de
intersecção da recta pp com o plano ρ, mas que poderia ser um ponto qualquer). BB11 teve determinação directa, a partir de BB44. Invertendo a
mudança do diedro de projecção efectuada, determinou-se BB22 em função da cota de BB, que se manteve. A recta pp, ortogonal a ρ, está definida
por PP e BB. Note que o exercício se poderia ter resolvido pelo processo de resolução do exercício anterior.

24. 24
SOLUÇÕES
84.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes
no eixo XX) e o ponto PP, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ρ está defi-
nido por uma recta (o eixo XX) e pela sua orientação – é dado o diedro que o plano faz
com o Plano Frontal de Projecção. Em seguida, passando por PP, desenharam-se imedia-
tamente as projecções da recta pp, que é necessariamente uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill – a recta pp
não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas
projecções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um
ponto da recta pp, para além do ponto PP. A recta pp, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de
ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta pp já é ortogonal às rectas fron-
to-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta
fronto-horizontal) – é necessário que a recta pp seja ortogonal a outra «família» de rectas
do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por pp conduziu-se um plano auxiliar
π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta ii, que é a recta de intersecção de π com ρ
– a recta ii é uma recta de perfil de ρ (é uma recta de perfil passante), que está definida
pelo ponto MM (o seu ponto de concorrência com o eixo XX) e pela sua direcção. Note que
a recta ii faz um ângulo de 30° com o Plano Frontal de Projecção, que é um ângulo com a
mesma amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Plano Frontal de Projecção). O ân-
gulo que a recta ii faz com o Plano Frontal de Projecção tem a mesma amplitude que o
ângulo que a recta ii faz com ffπ. A recta pp terá de ser perpendicular à recta ii. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-
-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ), obtendo-se PPrr e MMrr (MM roda sobre si próprio, pois é um
ponto da charneira). A recta iirr passa por MMrr e faz, com ffπrr
, um ângulo de 30°. Note que, sendo PP um ponto do 1o Diedro, a recta iirr tem de pas-
sar pelo quadrante em que se situa PPrr. Por PPrr conduziu-se pprr, perpendicular a iirr. Sobre pprr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para
além de PP – AArr. Note que AA é o ponto de intersecção da recta pp com o plano ρ (é o ponto de concorrência das rectas pp e ii), mas poderia ser
outro ponto qualquer. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de AA – a recta pp, ortogonal a ρ, está definida por PP e AA. Note
que o exercício poderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício anterior.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto PP, pelas suas projecções, em função dos da-
dos. O β2/4 está definido por uma recta (o eixo XX) e pela sua orientação – o β2/4 faz diedros
de 45o com os dois planos de projecção, pelo que esta situação é semelhante à situação
do exercício anterior (ver relatório do exercício anterior). A recta ii é a recta de intersecção
do plano π com o β2/4 – é uma recta de perfil do β2/4 (é uma recta de perfil passante). A
recta ii faz ângulos de 45o com os traços do plano π. Rebateu-se o plano π para o Plano
Frontal de Projecção (a charneira foi ffπ), obtendo-se PPrr. A recta iirr faz, com ffπrr
e hhπrr
, ângu-
los de 45o – note que, sendo PP um ponto do 1o Diedro, a recta iirr não pode passar pelo
quadrante em que se situa PPrr. O ponto a que se recorreu para definir a recta pp foi o seu
traço frontal, FF – a recta pp, ortogonal ao β2/4, está definida por PP e FF. Note que o exercício
poderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à seme-
lhança do exercício 8833.
86.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos da-
dos. Em seguida, determinou-se um ponto AA qualquer, do eixo XX (a recta pp é uma recta
passante), pelo qual se conduziu a recta pp. Note que este exercício é idêntico ao exer-
cício 7788, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. As diferenças resi-
dem, apenas, no facto de o ponto dado ser um ponto do eixo XX e no facto de os
traços do plano serem coincidentes, o que pode resultar nalguma confusão ao nível
da execução, mas tenha em conta que se mantêm todos os raciocínios expostos no
relatório do exercício 7788. O ponto BB é o ponto a que se recorreu para definir a recta pp
em Dupla Projecção Ortogonal.
85.