Ex calc laje

NBR 6118

Módulo 5
Lajes:
Estados Limites Últimos

Estados Limites de Serviço

P

Detalhamento
Exemplo

R O M O Ç Ã O

Conteúdo
ELU e ELS
Força Cortante em Lajes

Módulo 5

Dimensionamento de Lajes à Punção
- Detalhamento
- Exemplo
- Conclusões

NBR 6118 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO : PROCEDIMENTO

DATA 00/00/00

1

Lajes
Estado Limite Último
Na determinação dos esforços resistentes das seções de lajes submetidas a
esforços normais e momentos fletores, devem ser usados os mesmos princípios

Módulo 5

estabelecidos na seção Estado Limite Último do módulo 4

Estados Limites de Serviço
Em relação ao Estado Limite de Deformação e Estado Limite de Fissuração,
Deformaç
Fissuraç ão
devem ser usados os critérios dados no módulo 4


DATA 00/00/00

Lajes
Lajes sem Armadura para Força Cortante
VSd ≤ VRd1

Módulo 5

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd
onde:
ιRd = 0,25 fctd
fctd = fctk,inf / γc
ρ1 =

As1
bw d

, não maior que 0,02

σcp = NSd / Ac
k é um coeficiente que tem os seguintes valores:
elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1
para os demais casos: k = 1,6 - d, não menor que 1, com d em metros

DATA 00/00/00

2

Lajes
Lajes sem Armadura para Força Cortante
Onde:
resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento

As1

Módulo 5

fctd

área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec
além da seção considerada; com lb,nec definido na figura

bw

largura mínima da seção ao longo da altura útil d

NSd

força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento
(compressão positiva)

DATA 00/00/00


Lajes

Superfície de Ruptura

Arm. de flexão

25º a 30º

.

Módulo 5

Punção é o Estado Limite Último determinado por cisalhamento no
entorno de forças concentradas.

Pilar


DATA 00/00/00

3

Lajes
Punção
Ruptura ocorre na ligação da laje com o pilar.

•

Ruína de forma abrupta e frágil.

•

Módulo 5

•

Para aumentar a resistência à punção da laje:
– Aumentar a espessura das lajes na região do pilar;
– Utilizar concreto de alta resistência;
– Usar armadura de cisalhamento.


DATA 00/00/00

Lajes

Módulo 5

•

Modelo de Cálculo
Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas.
Na primeira superfície crítica, dada pelo perímetro C do pilar ou da
carga concentrada
Na segunda superfície crítica, dada pelo perímetro C’, afastado 2d
do pilar ou da carga concentrada
Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por
armadura transversal.
A terceira superfície crítica, perímetro C”, só é utilizada quando é
necessário colocar armadura transversal. O perímetro da
superfície C” é afastado 2d da última camada de armadura
transversal


DATA 00/00/00

4

Lajes
• Superfícies Críticas C, C’ e C’’
C'=2d

Módulo 5

C"

C'=2d
C"

C

Arm. de cisalhamento

Arm. de flexão

Pilar


DATA 00/00/00

Lajes

Módulo 5

Superfícies Críticas C e C’

Superfícies críticas, limitadas pelos perímetros críticos C e C’


DATA 00/00/00

5

Lajes
Verificação da tensão resistente de compressão diagonal
do concreto na superfície crítica C.

τSd ≤ τRd2 = 0,27α ν fcd

Módulo 5

Sendo: αν = (1 - fck/250)
Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’
sem armadura de punção.

(

)

τ Sd ≤ τ Rd 1 = 0,13 1 + 200 d (100ρ f ck )1 3
Sendo: ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão;
d é altura útil da laje ao longo do contorno C’.


DATA 00/00/00

Lajes
Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’
com armadura de punção.

(

)

Módulo 5

τ Sd ≤ τ Rd 3 = 0,10 1 + 200 / d (100 ρf ck )1/ 3 + 1,5

d Asw f ywd senα
(ud )
sr

Sendo:
• sr o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção;
• α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o
plano da laje;
• Asw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a
C’;
• u é o perímetro crítico;
• fywd é a resistêncoa dee cálculo da armadura ded punção, não maior
que 300 MPa para conectores ou 250 MPa para estrtibos.

DATA 00/00/00

6

Lajes
Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’’
com armadura de punção.

(

)

Módulo 5

τ Sd ≤ τ Rd 4 = 0,13 1 + 20 d (100ρ f ck )1 3


DATA 00/00/00

Lajes
Tensão Solicitante
No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico:

Módulo 5

τSd =
Com:

FSd
ud

d = (dx + dy)/2
onde:
d

altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da
área de aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje

dx e dy alturas úteis nas duas direções ortogonais
u

perímetro do contorno crítico C'

ud

área da superfície crítica

FSd

força ou a reação concentrada, de cálculo


DATA 00/00/00

7

Lajes
Pilar Interno com Efeito de Momento
τSd =

FSd

Módulo 5

onde:

ud

+

K M Sd
Wp d

K coeficiente que fornece a parcela de MSd transmitida ao pilar por cisalhamento,
que depende da relação C1/C2
C1/C2

0,5

1,0

2,0

3,0

K

0,45

0,60

0,70

0,80

Onde:
C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força
C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força

Para um pilar retangular:

Wp =

2
C1
+ C1 C2 + 4 C2 d + 16 d 2 + 2π d C1
2


DATA 00/00/00

Lajes

Módulo 5

Pilares de Borda

Perímetro crítico em pilares de borda

DATA 00/00/00

8

Lajes

Módulo 5

Pilares de Borda

Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:

Kx MSd1
F
τSd = Sd +
Wp1 d
u* d

MSd1 =( MSd - MSd*) ≥ 0

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade
do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar

DATA 00/00/00

Lajes

Módulo 5

Pilares de Borda

Quando agir momento no plano paralelo à borda livre:

τ Sd =

FSd
u*d

+

K 1M Sd1
W p1d

+

K 2M Sd 2
Wp 2 d


DATA 00/00/00

9

Lajes

Módulo 5

Pilares de Canto

Perímetro crítico em pilares de canto

DATA 00/00/00

Lajes

Módulo 5

Pilares de Canto
Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve
ser feita a verificação separadamente para cada uma delas,
considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular
à borda livre adotada

K deve ser calculado em função da proporção C1/C2,
sendo C1 e C2, respectivamente, os lados do pilar
perpendicular e paralelo à borda livre adotada


DATA 00/00/00

10

Lajes

Módulo 5

Capitel

DATA 00/00/00


Lajes

Módulo 5

Casos Especiais de Contorno Crítico

(b)

(a)
(a) Perímetro crítico no caso do contorno C apresentar reentrância
(b) Perímetro crítico junto à abertura na laje

DATA 00/00/00

11

Lajes

Módulo 5


Disposição da armadura de punção em corte


DATA 00/00/00

Lajes

Módulo 5

Colapso Progressivo

As fyd ≥ FSd
As é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar

DATA 00/00/00

12

Lajes

Módulo 5

Verificação de Elementos Protendidos

τSd,ef = τSd −τPd
τPd =

ΣPk inf,i sen αi
ud


DATA 00/00/00

Lajes
Verificação de Elementos Protendidos
Onde:

Módulo 5

τPd tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o
contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar

Pkinf,i força de protensão no cabo i
αi

inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado

u

perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τSd,ef e τSd


DATA 00/00/00

13

Lajes
Detalhamento

Módulo 5

Bordas Livres e Aberturas


DATA 00/00/00

Lajes
Detalhamento
Armaduras Passivas

Módulo 5

Lajes sem Vigas -


DATA 00/00/00

14

Lajes
Detalhamento

Módulo 5

Armaduras de Punção


DATA 00/00/00

Lajes
Exemplo
Para as lajes esquematizadas na figura do próximo slide,
pede-se:

Módulo 5

a)
b)

Calcular e detalhar
Verificar a laje L1 quanto à flecha e ao cisalhamento
Dados:
fck = 25 MPa
Aço CA50A
c = 1,5 cm (cobrimento mínimo das armaduras de laje)
q = 2,0 kN/m²(carga acidental)
enchimento = 16 kN/m³
vigas: bw = 12 cm e c = 2,0 cm


DATA 00/00/00

15

Lajes

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

Lajes
Exemplo

Módulo 5

Determinação das Cargas

Cargas(kN/m²)
L1
L2
Peso Próprio 0,08x25=2,00 0,07x25=1,75
1,00
1,00
Revestimento
--0,25x16=4,0
Enchimento
3,00
6,75
Permanente
2,00
2,0
Acidental
5,00
8,75
Total


L3
1,75
1,00
--2,75
2,00
4,75

DATA 00/00/00

16

Lajes
Exemplo
Cálculo dos Momentos Fletores
•

Módulo 5

Laje
L1
L2
L3

•

Nas Lajes Isoladas [kN.m/m]
Tabela
1
1
2

lx
4,0
2,5
2,5

ly
5,0
3,0
3,0

ly/lx
1,3
1,2
1,2

αx
15,9
16,9
22,0

αy
22,4
22,3
23,8

βx

βy

10,1

mx
5,0
3,2
1,4

my
3,6
2,5
1,3

m'x

m'y

-2,9

Nos Apoios Contínuos [kN.m/m]

Apoio
L1 - L3

m'esq
m'y = - 2,9

m'dir
0,0

0,8 m' m'médio
-2,4
-1,5


m´
m´1-3 = -2,4

DATA 00/00/00

Lajes
Exemplo
Armaduras de Flexão
Laje

Módulo 5

L1
L2
L3
L1 - L3

d (cm)
m (kN.cm)
md (kN.cm) x (cm) As (cm2)
6
mx = 500
700
1.03
2.88
5.5
my = 360
500
0.80
2.24
5
mx = 320
450
0.78
2.2
4.5
my = 250
350
0.68
1.9
5
mx = 140
200
0.33
0.92
4.5
my = 130
180
0.34
0.96
mbarra_13 = 240
340
0.58
1.62
5


ρs Asmin (cm2) Asefetivo
0.10%
0.8
2.88
0.10%
0.8
2.24
0.10%
0.7
2.20
0.10%
0.7
1.90
0.10%
0.7
0.92
0.10%
0.7
0.96
0.15%
1.05
1.62

Escolha
φ 6,3 c/10
φ 6,3 c/14
φ 6,3 c/14
φ5,0 c/11
φ5,0 c/20
φ5,0 c/20
φ6,3 c/19

DATA 00/00/00

17

Lajes
Tabela de Armadura Mínima
Armadura

Elementos estruturais
sem armaduras
ativas

Armaduras negativas

Módulo 5

Armaduras positivas
de lajes armadas
nas duas direções

com armadura ativa
aderente

ρs ≥ ρmin

ρs ≥ ρmin– ρp ≥ 0,67 ρmin

ρs ≥ 0,67 ρmin

Armadura positiva
(principal) de lajes
armadas em uma
direção

com armadura ativa
não aderente
ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,67 ρmin
(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)


ρs ≥ 0,67 ρmin– ρp ≥ 0,5
ρmin

ρs ≥ ρmin


ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5 ρmin

As/s ≥ 20 % da armadura principal
As/s ≥ 0,9 cm2/m
ρs ≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva
(secundária) de
lajes armadas em
uma direção

-

Onde: ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw h
NOTA - Os valores de ρmin constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003

Tabela da Taxa de Armadura Mínima
Valores de ρmin1) (A s,min/A c ) %

Forma da seção
20

Retangular

0,035

25

30

35

40

45

50

0,150

0,150

0,173

0,201

0,230

0,259

0,288

1) Os val ores de ρ
min estabelecidos nesta tabela pressupõe m o uso de aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam dife rentes, ρm in
de ve ser recalcul ado com base n o val or d e ω m ín dado.
NO TA - Nas seções tipo T, a áre a da seção a ser considera da deve se r caracterizada pel a alma acrescida da mesa colab orante.


DATA 00/00/00

Lajes
Exemplo
Verificação do cisalhamento na laje 1 para o momento Mx
VSd ≤ VRd1

Módulo 5

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd
onde:
τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa
fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa
fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7.2,565 = 1,795 MPa
fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa
Considerando o cortante na direção X :
ρ1 = As1/bw.d = 3,15/100.6,0 = 0,525% (não maior que 0,02)
k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,06 = 1,54

DATA 00/00/00

18

Lajes
Exemplo
onde:
As1 = 3,15 cm2 (considerando toda a armadura)
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

Módulo 5

σcp = NSd / Ac = 0
NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.
Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 . 1,54(1,2 + 40 . 0,00525)+ 0].100 . 6 =
VRd1 = 41,7 kN/m
VSd = px . γf = 5,0 .1,4 = 7,0 kN/m
VRd1

= 41,7

> 7,0 = VSd

Não há a necessidade de estribos

DATA 00/00/00

Lajes
Exemplo
Considerando o cortante na direção Y :
ρ1 = As1/bw.d = 2,5/100.5,5 = 0,454% (não maior que 0,02)
k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,055 = 1,545

Módulo 5

As1 = 2,5 cm2 (considerando toda a armadura)
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);
Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 . 1,545(1,2 + 40 . 0,00454)+ 0].100.5,5 =
VRd1 = 37,56 kN/m
VSd = py . γf = 6,0 .1,4 = 8,4 kN/m
VRd1 = 37,56 > 8,4 = VSd
Não há a necessidade de estribos

DATA 00/00/00

19

Lajes
Exemplo

Módulo 5

Arranjo das Armaduras


DATA 00/00/00

Lajes – Arranjo das Armaduras

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

20

Lajes - Arranjo das Armaduras

Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00


Módulo 5

Exemplo


DATA 00/00/00

21

Exemplo

Módulo 5

Arranjo das Armaduras

DATA 00/00/00


Lajes
Exemplo

Módulo 5

Tabela de Ferros e Resumo

Posição
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9
N10

φ
5
6,3
6,3
5
6,3
5
5
5
5
6,3

Tabela de Ferros
n
CU
92
102,0
35
520
36
420
60
70
21
258
30
318
46
70
13
268
15
318
13
208

CT
279
205
151
42
54
95
32
35
48
27


φ
5
6,3

Resumo
CT
Peso
531
85,0
437
109,3

M = 194,3 kg
V=
5,12x4,06x0,08=
2,56x3,06x0,07=
2,56x3,06x0,07=

1,66
0,55
0,55
2,76

Taxa de Consumo = 195,6/2,76 = 70,4 kg/m³

DATA 00/00/00

22

Lajes
Exemplo – Verificação da Flecha
Cálculo do Momento de Fissuração

Módulo 5

Mr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5. 2565. 4,27.10-5) / 0,04 = 4,1 kN.m
α = 1,5 para seção retangular;
fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento
Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;
yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada.
Como :
Mr = 4,1 kN.m < 5 kN.m = Mx
Calcula-se pela formula de Branson o EIeq para considerar a perda da rigidez na
seção fissurada.

DATA 00/00/00

Lajes
Cálculo do Momento Equivalente
EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III]

Módulo 5

Ec = 0,85.5600.fck1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2;
III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II;
Calculando o xII para o ESTÁDIO II com αe = Es/Ec

(b⋅x II ) −
2

2

(A s ⋅ α e)⋅ (d⋅ x II)

xII = 0,015 m

0

Temos:
I II

( )3

b ⋅ x II
3

(

)2

+ α e⋅ A s ⋅ d − x II

III = 5,57.10-6 m4


DATA 00/00/00

23

Lajes
Cálculo do Momento Equivalente
Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente

Módulo 5

EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III] =
EIeq = 23,8.106[(4,1/5)3.4,26.10-5 + [1-(4,1/5)3] 6,74.10-6 ] = 631 kN m2
Flecha Imediata
ai = (b.p.lx4) / 12.Eieq . α2 = (1.3,6.44) / 12.631.14,3 = 0,0085 m
Onde:
α2 = 14,3 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,25);
p = g + ψ2 q = 3,6 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente
(ψ2 = 0,3 p/ edifícios residenciais);
DATA 00/00/00


Lajes
Flecha Diferida no Tempo
t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

Módulo 5

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

( )

(

( )

∆ξ := ξ( t) − ξ t 0

)⋅ t 0

t0

ξ t 0 := 0.68⋅ 0.996

0.32

( ) := 0.68⋅ (0.996t)⋅ t0.32

ξ t

para t ≤ 70 meses

ξ(t) = 2

para t > 70 meses

∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227

Como:
ρ = 0 (não existe armadura negativa)
α f :=

∆ξ
1 + 50⋅ ρ

αf = 1,3227


DATA 00/00/00

24

Lajes
Flecha Diferida no Tempo
af = ai.αf = 0,0085.1,3227 = 0,0113 m = 1,13 cm

Módulo 5

Flecha Total
aT = ai.(1+ αf) = 0,0085.(1 + 1,3227) = 0,01978 m = 1,978 cm
Flecha Limite
Da tabela 13.2 (NBR6118/2003)
alim = (l/250) = 400/250 = 1,6 cm
at>alim
1,978 cm > 1,6 cm - não passa!!!
A norma sugere adotar uma contraflecha.
DATA 00/00/00


Lajes
Exemplo – Abertura de Fissuras – Laje 1
wklim ≤

w1 =


1  φi σ si  4

+ 45 


12,5 η b Esi  ρ ri



7,5φ

7,5φ 7,5φ
Acr

Módulo 5

w2 =

1  1 3φi σ 
 ⋅

12,5 ηb f ctm Esi 
2
si

7,5φ
c < 7,5φ
7,5φ

a 7,5φ

(a < 15 φ)

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;
Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φi);
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;
ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;
ηb é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras
dentadas e 2,25 barras nervuradas)

DATA 00/00/00

25

Lajes
Exemplo – Abertura de Fissuras
ρ cri =
σ si =

As 3,15
= 0,053 = 5,53%
Acri 58,82
Md
500
=
= 33,06kN / cm 2
0,8.d . As 0,8.6.3,15

Módulo 5

Esi = 21000kN / cm 2
f ctm = 0,2565kN / cm 2

w1 =

1  6,3 33,06  4

+ 45 


12,5  2,25 21000  0,053


w1 = 0,0425mm

w2 =

2
1  1
3.6,3 33,06 
⋅


12,5  2,25 0,2565 21000 



w2 = 0,14mm

w1< wklim (tab 13.3-NBR6118/2003)
w1< 0,4 mm - ok!!!
DATA 00/00/00


Lajes
Exemplo

Módulo 5

Verificando a flecha e a possibilidade de dispensa de armadura de
força cortante segundo a NBR 6118–1978, torna-se possível montar
o quadro comparativo apresentado abaixo

Comparativo – Laje 1
NBR 6118/2003

NBR 6118-1978

11,3 mm (diferida)
19,78 mm (total)

8,7 mm

Cisalhamento

Verificado

Verificado

E

23,8 GPa

35,24 GPa

Flecha


DATA 00/00/00

26

Lajes
Conclusões

Módulo 5

Praticamente sem alterações no dimensionamento
alteraç
para Solicitações Normais
Solicitaç
Alterações nos procedimentos de verificação dos ELS
Alteraç
verificaç
(Mais rigoroso)

Tratamento aprofundado em relação à punção
relaç
punç


DATA 00/00/00

27

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