Construção Civil

1. CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA
ARQUITETURA E URBANISMO
TECNOLOGIA DAS CONSTRUÇÕES
NOTAS DE AULA
VIGAS DE CONCRETO ARMADO
FASCÍCULO III
ROBERTO L. A. BARBATO
SÃO CARLOS
2007

2. VIGAS DE CONCRETO ARMADO
1. INTRODUÇÃO.
Nas vigas de concreto armado sob flexão simples empregam-se, como se sabe,
armadura longitudinal e armadura transversal.
A armadura longitudinal é constituída por barras de aço de eixo retilíneo e seção
transversal circular. Estas barras são posicionadas nas regiões tracionadas da viga no
caso da chamada armadura simples e nas regiões tracionadas e comprimidas no caso da
chamada armadura dupla. Quando se emprega armadura simples, as barras devem
absorver todos os esforços (tensões) de tração gerados pelo momento aplicado. No caso
de se empregar armadura dupla, parte das barras absorve os esforços de tração
produzidos pelo momento e parte colabora com o concreto aumentando a resistência da
região comprimida da viga.
A armadura transversal, constituída ou por estribos ou por estribos e barras
dobradas (cavalete) deve absorver as tensões de tração que se manifestam na alma da
viga. Os estribos, com dois ou mais ramos paralelos, são construídos com barras de aço
de seção transversal circular, geralmente de pequeno diâmetro, e dispostos
perpendicularmente à armadura longitudinal.
Quando a armadura longitudinal localiza-se apenas na região tracionada da viga é
necessário dispor duas barras na região comprimida da viga cuja finalidade é manter os
estribos na posição de projeto. Estas barras são chamadas de porta-estribos.
Nas figuras a seguir mostram-se exemplos do detalhamento das armaduras de vigas
de concreto armado de seção retangular.

3. 2. DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO E DA ARMADURA LONGITUDINAL.
O dimensionamento da seção transversal e da armadura longitudinal das vigas de
concreto armado sob flexão simples, é feito, de acordo com as normas brasileiras, com
equações deduzidas a partir de um conjunto de hipóteses formuladas no âmbito do
método que se conhece por Estados Limites Últimos (E.L.U.).
Para esse dimensionamento é necessário que se conheçam as resistências
características do concreto e do aço, respectivamente, fck e fyk, os coeficientes redutores
das resistências fck e fyk, respectivamente, γc e γs, o momento característico Mk e o
coeficiente γf majorador do momento Mk.
Dois tipos de dimensionamento podem ocorrer no caso mais comum de vigas de
seção transversal retangular.
No primeiro tipo, o que ocorre com maior freqüência, procura-se determinar a
armadura da seção ─ a armadura simples As ou a armadura dupla As e As ─ conhecendose as dimensões bw e h da seção, as resistências características dos materiais fck e fyk, o
momento Mk, e os coeficientes γc , γs e γf .
No segundo tipo, conhecendo-se as resistências características dos materiais fck e
fyk, o momento Mk, os coeficientes γc, γs e γf e a largura da seção bw, procura-se
determinar a altura h e a armadura As da seção transversal.
Os dois tipos de dimensionamento podem ser feitos empregando-se tabelas
elaboradas a partir das equações deduzidas no E.L.U.
A tabela mostrada no final deste texto, adaptada de J.S.Giongo,SET/ EESC / USP,
foi elaborada para concretos das classes C20 e C25, aços das categorias CA-50 e CA-60,
e coeficientes redutores das resistências γc e γs
2.1. DIMENSIONAMENTO MEDIANTE TABELA.
O dimensionamento da seção transversal é feito empregando-se as expressões dos
coeficientes kc e ks dadas por
kc =
bw d 2
γ f Mk
ks =
As d
γ f Mk
(cm2/kN)
(cm2/kN)
No primeiro tipo de dimensionamento, calcula-se kc com a primeira equação, obtémse o ks correspondente na tabela e determina-se a armadura As com a segunda equação,
ou seja
kc =
bw d 2
γ f Mk
→ ks
→
As = k s
γ f Mk
d
No segundo tipo de dimensionamento, arbítra-se kc, tira-se o ks correspondente na
tabela e calculam-se a altura da seção h e a armadura As, isto é

4. kc
→ ks
→
d=
kcγ f M k
bw
→
As = k s
γ f Mk
d
Os exemplos mostrados a seguir poderão esclarecer possíveis dúvidas.
2.2. EXIGÊNCIAS NORMATIVAS.
A largura da seção transversal das vigas de concreto armado deve ser maior ou
igual a 12 cm, isto é
bw ≥ 12 cm
que.
A porcentagem mínima da armadura de flexão, dada por ρmin = As / bwh, deve ser tal
ρmin ≥ (0,15/100) para concreto das classes C20 e C25.
ρmin ≥ (0,173/100) para concreto da classe C30
ρmin ≥ (0,201/100) para concreto da classe C35
A máxima porcentagem de armadura de flexão não deve superar (4/100), ou seja
ρmáx ≤ (Ast / bwh) + (Asc / bwh) = (4/100)
2.3. APLICAÇÕES NUMÉRICAS.
EXEMPLO1.
Sendo dados bw = 12 cm, Mk = 24 kNm, concreto C20, aço CA 50 e o coeficiente γf
igual a 1,4, determinar a altura d e a armadura As da seção transversal
SOLUÇÃO.
Escolhendo-se kc = 4,7 tira-se ks = 0,025 e calculam-se
d = (kcγ f M k / bw )1/ 2 = (4,7 x1,4 x 2.400 / 12)1/ 2 = 36,27cm
As = (k sγ f M k / d ) = (0,025 x1,4 x 2.400 / 36,27) = 2,32cm 2
EXEMPLO 2.
Sendo bw=15 cm, h = 45 cm, d = 42 cm, concreto C25, aço CA 60, Mk = 42 kNm,
concreto C25, aço CA 60 e γf =1,4, calcular a armadura As da seção transversal.
SOLUÇÃO.
Calcula-se kc, tira-se ks e, em seguida, determina-se a armadura As, ou seja

5. kc =
bw d 2
= (15 x 42 2 / 1,4 x 4.200) = 4,5 → k s = 0,021
γ f Mk
k s = 0,021 → As = k s
γ f Mk
d
= (0,021x1,4 x 4.200 / 42) = 2,94cm 2
EXEMPLO 3.
Para a viga mostrada abaixo, determinar a armadura para as seções de momento
máximo. Considerar concreto C20, aço CA50 e γf =1,4.
SOLUÇÃO.
As reações de apoio valem VA = 48 kN e VB = 96 kN. O momento fletor positivo
máximo ocorre na seção S1 distante (48/18) m do apoio da esquerda e vale 64 kNm. O
momento negativo máximo ocorre na seção S2 sobre o apoio da direita e vale 36 kNm.
Para o momento Mk= 64 kNm, têm-se
k c = (12 x52 2 / 1,4 x6.400) = 3,62 → k s = 0,026
k s = 0,02 → As = (0,026 x1,4 x6.400 / 52) = 4,48cm 2
Para o momento Mk= 36 kNm, têm-se
k c = (12 x52 2 / 1,4 x3.600) = 6,44 → k s = 0,025
k s = 0,025 → As = (0,025 x1,4 x3.600 / 52) = 2,42cm 2
As armaduras obtidas são mostradas na figura abaixo.

6. 3. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL.
O cálculo da armadura transversal (armadura de cisalhamento) das vigas de
concreto armado é feito assimilando-se a viga de concreto fissurada a uma treliça plana
de banzos paralelos (analogia de treliça). A alma desta treliça é constituída por diagonais
comprimidas de concreto (bielas) e diagonais ou montantes tracionados de aço. As bielas
são inclinadas de θ graus em relação ao eixo da viga e as diagonais tracionadas
inclinadas de α graus em relação ao mesmo eixo. A armadura longitudinal da viga e a sua
região comprimida formam os banzos paralelos da treliça. Figura abaixo.
3.1. ESTUDO DA TRELIÇA.
O estudo da treliça com vistas ao cálculo da armadura transversal das vigas é
dividido em três partes. Na primeira parte verifica-se a biela comprimida com relação à
sua ruptura. Em seguida, na segunda parte, determinam-se a força cortante gerada pela
armadura transversal mínima e pelos mecanismos resistentes que se manifestam no
interior do concreto. Na terceira parte, calcula-se armadura transversal.
3.1.1. VERIFICAÇÃO DA BIELA COMPRIMIDA.
Considere-se o segmento de treliça mostrado na figura abaixo:

7. Sendo
ACW = 0,95bw d (cot θ + cot α ) senθ
a área da seção transversal da biela e σcw a tensão normal de compressão, suposta
uniformemente distribuída na seção, a força normal Ncw, resultante das tensões, é dada
por:
N CW = σ CW ACW = 0,9σ CW bW d (cot θ + cot α ) senθ
Definindo-se a tensão σcw por
σ CW = 0,85 x 0,7(1 −
f ck
1,4 f cd
) f cd
) f cd = 0,595(1 −
250
250
resulta a força normal que leva a biela à ruptura por compressão.
N RWd = 0,5355 (1 −
1,4 f cd
) f cd bW d (cot θ + cot α ) senθ
250
Projetando-se a força NRwd no plano da sessão obtém-se a força cortante
correspondente a força de ruptura da biela
VRWd = N RWd senθ = 0,536 (1 −
1,4 f cd
) f cd bw d (cot θ + cot α ) sen 2θ
250
Nesta equação deve-se expressar a tensão fcd em MPa. Lembrando que 1MPa é
igual a 0,1 kN, para que se tenha a força VRWd em kN, é necessário multiplicar o segundo
membro da equação acima por 0,1.
Assim, tem-se:
V RWd = N RWd senθ = 0,0536 (1 −
1,4 f cd
) f cd bW d (cot θ + cot α ) sen 2θ
250
No caso de se fazer θ = 45º (treliça clássica) e α = 90º (estribos) da última igualdade
resulta
VRWd = N RWd senθ = 0,0268 (1 −
1,4 f cd
) f cd bw d
250
A condição de não ruptura da biela comprimida é dada então por
γ f ( R − ∑ P ) max ≤ 0,0536 (1 −
ou
1,4 f cd
) f cd bw d (cot θ + cot α ) sen 2θ
250

8. γ f ( R − ∑ P ) max ≤ 0,0268 (1 −
1,4 f cd
) f cd bw d
250
3.1.2. FORÇA CORTANTE GERADA PELA ARMADURA TRANSVERSAL.
Considere-se o segmento de treliça mostrado abaixo
Seja s o espaçamento das barras da armadura transversal, medido segundo a
direção do eixo da viga. O numero de barras contidas no trecho de comprimento ℓ é
dado por :
no de barras = ( ∆l / s ) = 0,9d (cot θ + cot α ) / s
Sendo fyd a tensão de escoamento de cálculo do aço das barras e Asw a área da
sessão transversal de cada barra, a força normal correspondente ao escoamento das
barras é dada por
N swd = 0,9( Asw / s)(cot θ + cot α ) f yd d
Nesta expressão, deve-se considerar fyd em MPa. Para que a força obtida seja dada
em kN é preciso, como já mencionado, introduzir o fator 0,1.
Assim tem-se em kN.
N swd = 0,09( Asw / s )(cot θ + cot α ) f yd d
Definindo-se a porcentagem em armadura por
ρ sw = Asw / bw s
a equação anterior se escreve
N swd = 0,09 ρ sw (cot θ + cot α ) f yd bw d
Projetando-se a força Nswd no plano da seção, resulta a força cortante gerada pela
armadura transversal

9. V swd = N swd senα = 0,09 ρ sw (cot θ + cot α ) senα f yd bw d
3.1.3. FORÇA CORTANTE GERADA PELA ARMADURA TRANSVERSAL MÍNIMA.
É interessante obter-se a força cortante gerada pela armadura correspondente à
porcentagem mínima de armadura transversal. De acordo com a norma brasileira, essa
porcentagem mínima é dada por
ρ sw, min = 0,06( f ck 2 / 3 / f yk ) = 0,0653 ( f cd 2 / 3 / f yd )
Introduzindo-se esta igualdade na expressão da força cortante e fazendo-se α = 900
e θ = 450 , resulta a expressão da força cortante correspondente à armadura transversal
mínima.
V swd ,min = 0,0588( f cd
2/3
)bw d
Nesta equação deve-se expressar a tensão fcd em MPa e introduzir o fator 0,1 para
obter-se a força cortante em kN.
Assim tem-se:
V swd ,min = 0,00588( f cd
2/3
)bw d
3.1.4. FORÇA CORTANTE GERADA PELO CONCRETO
Ensaios experimentais em vigas de concreto armado mostram que no interior do
concreto manifestam-se esforços resistentes que geram força cortante. De acordo com a
norma brasileira, a força cortante gerada pelo concreto é dada por
Vcd = 0,6 f ctd bw d = 0,6 x0,15( f ck
2/3
)bw d
ou por
Vcd = 0,113( f cd
2/3
)bw d
Nesta equação deve-se expressar fcd em MPa e introduzir o fator 0,1 para que se
tenha Vcd em kN. Resulta assim:
Vcd = 0,0113 ( f cd
2/3
)bw d
3.2. CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL
Conhecido o diagrama de esforços solicitantes, a classe do concreto, a categoria do
aço da armadura e as dimensões da seção transversal, o cálculo da armadura transversal
se faz, essencialmente, em três etapas:
Na primeira etapa verifica-se a condição de ruptura da biela de concreto por meio da
desigualdade:

10. γ f ( R − ∑ P) max ≤ 0,0268 (1 −
1,4 f cd
) f cd bw d
250
Obedecida a condição acima, passa-se para a segunda etapa determinando-se o
trecho da viga que pode ser armado com armadura transversal mínima. Isto é feito por
meio da equação
2
γ f ( R − ∑ P ) min = Vswd ,min + Vcd = 0,0172( f cd / 3 ) bw d
Na terceira etapa determina-se a armadura transversal para os demais trechos da
viga por meio da equação:
2
γ f ( R − ∑ P ) = Vswd + Vcd = [0,09 ρ sw f yd + 0,0113( f cd / 3 )]bw d
Determinado o valor de ρw, calculam-se área da seção transversal dos estribos Asw e
seu espaçamento s.
As aplicações numéricas feitas a diante esclarecerão possíveis dúvidas.
3.3. EXIGÊNCIAS NORMATIVAS.
No dimensionamento da armadura transversal das vigas de concreto armado
devem-se obedecer, de acordo com as normas brasileiras, as seguintes recomendações:
a)Diâmetro do estribo: 5mm ≤ φest ≤ bw / 10
b)Espaçamento máximo dos estribos: smax = 0,3d ≤ 20cm
c)Distância máxima entre ramos dos estribos: st ,max = 0,6d ≤ 35cm
d)Porcentagem mínima de armadura: ρ sw,min = 0,2(
f ctm 2 / 3
)
f yd
e)Tensão nas barras da armadura: f yd ≤ 435MPa = 43,5kN / cm 2
4. APLICAÇÃO NUMÉRICA.
EXEMPLO 1.
Determinar as armaduras longitudinal e transversal da viga representada abaixo.
Considerar bw =15 cm, h = 60 cm, d = 55 cm, C20, CA 50 e γf = 1,4.

11. Cálculo dos Esforços.
Ra = Rb = ( pl / 2) = ( 25 x6 / 2) = 75kN
M max = ( pl 2 / 8) = (25 x36 / 8) = 112,5kNxm = 11250kNxcm
Cálculo da Armadura Longitudinal.
k c = (15 x55 2 / 1,4 x11.250) = 2,88
→ K s = 0,028
As = (0,028 x1,4 x11.250 / 55) = 8,02cm 2 ( 2φ 20 + 1φ16)
Cálculo da Armadura Transversal.
a) Verificação da Biela Comprimida.
γ f ( R − ∑ P ) max = 1,4 x75 < 0,0268(1 − 20 / 250)(20 / 1,4) x15 x55 = 290,59kN
Este resultado mostra que não haverá ruptura da biela comprimida. Caso contrário
seria necessário, por exemplo, alterar as dimensões da seção transversal.
b) Cálculo da Armadura Transversal Mínima.
γ f ( R − ∑ P ) min = 0,0172(20 / 1,4) 2 / 3 x15 x55 = 83,54kN
ou
( R − ∑ P) min = (83,54 / 1,4) = 59,674kN
O trecho da viga com força cortante com valor menor ou igual a 59,67 kN é o trecho
central de 4,77m (2x2,385)..
Sendo
(20 / 1,4) 2 / 3
ρ sw,min = Asw, min / 15s = 0,0653
= 0,000884
435
tira-se
Asw,min / s = 0,0133
Adotando-se estribo φ 5mm tem-se Asw,min = 0,393cm 2 e portanto
s = (0,393 / 0,0133) = 29,64cm

12. Tendo em vista que o espaçamento encontrado ultrapassa o valor máximo de
0,3 x55 = 16,5cm , deve-se adotar para todo o trecho de 4,77m estribos espaçados de
16,5cm (φ 5mm c / 16,5)
c) Cálculo da Armadura Transversal.
Os trechos de 0,62m medidos a partir dos apoios deverão ter armadura transversal
diferente da mínima.
Esta armadura é dada por
γ f ( R − ∑ P ) max = 1,4 x75 = (0,09 ρ sw x 435 + 0,0113(20 / 1,4) 2 / 3 )15 x 45
donde
ρ sw = Asw / 15s = 0,00155
Adotando-se novamente estribos de φ 5mm com Asw = 0,393cm 2 , da última igualdade
obtém-se:
s = (0,393 / 15 x0,00155) = 16,90cm
Este resultado mostra que os dois trechos de 0,62m terão estribos de
φ 5mm espaçados de 16,5cm.
Pode-se adotar, então, para toda a viga a armadura transversal constituída por
estribos φ 5mm a cada 15 cm.
Detalhamento das Armaduras.
As figuras a seguir mostram o detalhamento das armaduras longitudinal e
transversal da vida simplesmente apoiada.
.

13. 5. TABELA DE Kc e Ks
Na tabela abaixo para os concretos da classe C20 e C25 e aços daS categorias CA50 e CA-60 os valores de Kc e Ks.
kc =
bwd 2
γ f Mk
C20
51,90
26,20
17,60
13,30
10,70
9,00
7,80
6,90
6,20
5,60
5,10
4,70
4,40
4,10
3,90
3,70
3,50
3,30
3,20
3,10
2,90
2,80
2,70
2,70
2,60
C25
41,50
20,90
14,10
10,60
8,60
7,20
6,20
6,50
4,90
4,50
4,10
3,80
3,60
3,30
3,10
3,00
2,80
2,70
2,60
2,50
2,40
2,30
2,20
2,10
2,10
ks =
CA-50
0,023
0,023
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,026
0,026
0,026
0,027
0,027
0,027
0,027
0,028
0,028
0,028
0,028
0,028
0,029
As d
γ f Mk
CA-60
0,019
0,019
0,020
0,020
0,020
0,020
0,020
0,020
0,021
0,021
0,021
0,021
0,021
0,022
0,022
0,022
0,022
0,022
0,023
0,023
0,023
0,023
0,023
0,024
0,024
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
Barbato,R.L.A., Concreto Armado. Notas de Aula. Engenharia Civil, UFSCar 1986.
Debs,A.L.H.C., Concreto Armado. Notas de Aula. SET/EESC/USP, Arquitetura, 2006.
Giongo,J.S., Concreto Armado. Notas de Aula, SET/EESC/USP, Engenharia Civil – 2006.