tensor de tensoes

1. MECÂNICA DOS
MATERIAIS
Nona Edição
1 Introdução –
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
David F. Mazurek
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
O Conceito de
Tensão
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2. MECÂNICA DOS MATERIAIS
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Edição
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Conteúdo
1- 2
Conceito de Tensão
Revisão de Estática
Diagrama de Corpo Livre da Estrutura
Diagrama de Corpo Livre das
Componentes
Equilíbrio dos Nós
Análise de Tensão
Análise e Projeto
Carga Axial e Tensão Normal
Carga Centrada e Carga Excêntrica
Tensão de Cisalhamento
Exemplo de Tensões de Cisalhamento
Tensão de Esmagamento em Conexões
Análise de Tensão e Exemplos de
Projetos
Determinação da Tensão Normal -
Barras
Tensões de Cisalhamento - Conexões
Tensões de Esmagamento - Conexões
Tensões em Barras com Duas Força
Tensões sobre um Plano Inclinado
Tensão Máxima
Tensão sob Carregamentos Gerais
Estado de Tensão
Fator de Segurança

3. MECÂNICA DOS MATERIAIS
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Edição
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
1- 3
Conceito de Tensão
• O objetivo principal do estudo da mecânica dos
materiais é proporcionar ao futuro engenheiro de
maneira simples e lógica os meios para analisar e
projetar várias máquinas e estruturas que
suportam cargas, aplicando alguns princípios
fundamentais.
• Tanto a análise e desenho de uma determinada
estrutura envolvem a determinação de tensões e
deformações. Este capítulo é dedicado ao conceito
de Tensão.

4. MECÂNICA DOS MATERIAIS
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• A estrutura consiste de uma
barra com seção transversal
retangular e uma barra com
seção transversal circular,
unidas por pinos (momento
igual a zero nas rótulas e
junções).
1- 4
Revisão de Estática
• A estrutura é projetada para
suportar uma carga de 30 kN.
• Realiza-se uma análise
estática para determinar a
força interna de cada elemento
estrutural e as forças de
reação nos apoios.

5. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Condições para o equilíbrio estático:
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1- 5
Diagrama de Corpo Livre da Estrutura
• A estrutura é separada dos apoios e as
forças de reação são indicadas.
( ) ( )( )
M A
= = -
0 0.6m 30kN 0.8m
C x
=
A
F = = A +
C
x
x x x
C A
= - = -
40kN
40kN
0
x x
F A C
= = + - =
0 30kN 0
y y y
30kN
A C
+ =
å
å
å
y y
• Ay e Cy não podem ser determinados a
partir dessas equações.

6. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Considere o diagrama de corpo livre da barra AB:
å = = -
M A
B y
A
Substituindo a equação de equilíbrio na
equação anterior, temos
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1- 6
Diagrama de Corpo Livre das Componentes
• Além da estrutura completa, cada componente
(barra) deve satisfazer as condições de equilíbrio
estático.
( )
0 0.8m
=
0
y
Cy = 30kN
• Resultados:
A = 40kN ® Cx = 40kN ¬ Cy = 30kN ­
As forças de reação são direcionados ao
longo do eixo da barra.

7. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Os nós devem satisfazer as condições
de equilíbrio estático, e as forças podem ser
obtidas através do triângulo de forças
correspondentes:
0

å F
=
B
F F
AB BC
= =
4 5
F F
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1- 7
Equilíbrio dos Nós
• A estrutura é separada em duas barras simples,
ou seja as barras são submetidas a apenas duas
forças que são aplicadas nas extremidades.
• Para o equilíbrio, as forças devem ser
paralela a um eixo entre os pontos de aplicação
de força, igual em magnitude, e em direções
opostas.
30kN
3
= =
40kN 50kN
AB BC

8. MECÂNICA DOS MATERIAIS
A estrutura pode suportar com segurança a
carga de 30 kN?
• A partir de uma análise estática:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
• Em qualquer seção através da barra BC, a
força interna é de 50 kN com uma
intensidade de força ou tensão de
3
d= 20 mm P
BC 159 MPa
= = ´
A
50 10 N
-6 2
´
314 10 m
=
s BC
• A partir das propriedades do material para o
aço, a tensão admissível é
s all = 165 MPa
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1- 8
Análise de Tensão
• Conclusão: a estrutura suporta com segurança a
carga de 30 kN, uma vez que a tensão
solicitante é menor do que a tensão admissível.

9. MECÂNICA DOS MATERIAIS
P
= = = ´
A d
4
=
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1- 9
Análise e Projeto
• O projeto de novas estruturas requer a seleção de
materiais apropriados e dimensões de
componentes que atendam requisitos de
desempenho.
• Por razões baseadas no custo, peso,
disponibilidade, etc; a barra BC será construída
de alumínio (sall = 100 MPa). Qual a escolha
apropriada para o diâmetro desta barra?
= ´
500 10 m
3
50 10 N
´
100 10 Pa
4 4(500 10 6 m 2
) 2.52 10 2
m 25.2mm
2
6 2
6
= = ´ = ´ -
=
-
-
p p
p
s
s
d A
A P
A
all
all
• Uma barra de alumínio de 26 milímetros ou
mais de diâmetro é suficiente.

10. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• A intensidade da força nessa seção é definida
como a tensão normal.
s s
• A tensão normal em um determinado ponto pode
não ser igual à tensão média, mas a
resultante da distribuição de tensões deve
satisfazer:
= = ò = ò
med P s A dF s dA
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1- 10
Carga Axial e Tensão Normal
• A resultante das forças internas para uma
barra axialmente carregada é normal para
uma seção de corte perpendicular ao eixo axial
da barra.
P
A
F
= D
lim
A med
A
=
D
D ®
0
A
• A distribuição real das tensões
é estaticamente indeterminada, ou seja, não pode
ser encontrada a partir das condições de
equilíbrio somente.

11. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• A distribuição uniforme de tensão em uma
seção infere que a linha de ação para a
resultante das forças internas passa
pelo centróide da seção considerada.
• A distribuição uniforme de tensão só é
possível se a linha de ação das
cargas concentradas nas extremidades das
seções passarem através do centróide da seção
considerada. Este tipo de carregamento é
chamado • Se a barr dae e cstairvgear ceexncternatdraic.amente carregada,
então a resultante da distribuição de tensões em
uma seção deve produzir uma força axial aplicada
no centróide e um momento conjugado.
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1- 11
Carga Centrada e Carga Excêntrica
• A distribuição de tensões em
barras excentricamente carregadas, não pode ser
uniforme ou simétrica.

12. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Correspondentes forças internas atuam
no plano de seção transversal C e são chamadas
forças de cisalhamento.
• A resultante da distribuição da força de
cisalhamento interna é definida no corte da seção
e é igual à carga P (força cortante).
• A tensão média de cisalhamento correspondente é,
= P med t
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1- 12
Tensão de Cisalhamento
• Forças P e P’ são aplicadas transversalmente à
barra AB.
A
• A distribuição da tensão de cisalhamento varia de
zero na superfície da barra até um valor
máximo que pode ser muito maior do que o valor
médio.
• A distribuição das tensões de cisalhamento não
pode ser considerada uniforme.

13. MECÂNICA DOS MATERIAIS
F
= P = med t
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1- 13
Exemplo de Tensões de Cisalhamento
Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo
F
A
P
t = =
med A
2 A
A

14. MECÂNICA DOS MATERIAIS
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• A resultante da distribuição de
força na superfície é igual e
oposta à força exercida sobre o
pino.
• A intensidade da força média
correspondente é chamada
de tensão de esmagamento
1- 14
Tensão de Esmagamento em Conexões
• Parafusos, rebites, pinos criam
tensões ao longo da superfície
de esmagamento, ou de
contato, nos elementos que eles
se conectam.
P
t d
= P = e s
A

15. MECÂNICA DOS MATERIAIS
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• Determinar as tensões nas
barras e conexões da estrutura
mostrada.
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
1- 15
Análise de Tensão e Exemplos de Projetos
• A partir de uma análise
estática:
• Deve-se considerar a
máxima tensão
normal em AB e BC, e a
tensão de cisalhamento
e tensão de esmagamento
em cada conexão.

16. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• No centro da barra, a tensão normal média na seção
transversal circular (A =314x10-6 m2) é sBC
= +159 MPa.
• Nas extremidades achatadas da barra, a menor área
transversal ocorre na linha central do furo,
( )( )
-
6 2
= - = ´
20mm 40mm 25mm 300 10 m
s
BC ,
ext P
= = ´
A
A
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1- 16
Determinação da Tensão Normal - Barras
• A barra está com uma tensão normal devido uma
força axial de 50 kN (tração).
167MPa
50 10
3
N
6 2
´
-
300 10 m
=
• A barra AB é comprimida com uma força axial de
40 kN e tensão normal média de 26,7 MPa.
• As seções de área mínima nas extremidades, não
sofrem tensões devido a compressão da barra.

17. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• A força no pino em C é igual à
força exercida pela barra BC, o valor
médio da tensão de cisalhamento no pino
em C é
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1- 17
Tensões de Cisalhamento - Conexões
• A área da seção transversal de pinos em
A, B e C,
6 2
2
25mm = ´ - ÷ø
ö çè
2 491 10 m
2
A =p r =p æ
102MPa
3
= = ´ A -
50 10 N
, =
6 2
´
491 10 m
P
C med t
• O pino em A é em cisalhamento duplo
com uma força total igual à força
exercida pela barra AB dividida por
dois.
40.7MPa
20 kN
, 6 2 =
= = A ´
-
491 10 m
P
A med t

18. MECÂNICA DOS MATERIAIS
Tensões de Cisalhamento - Conexões
• Divida o pino B em 5 partes para determinar
a seção com a maior força cortante,
15kN
=
P
E
P
• Avaliar a tensão de cisalhamento média
correspondente,
, 6 2 =
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1- 18
25kN (Maior)
=
G
50.9MPa
25kN
= = A ´
-
491 10 m
PG
B med t

19. MECÂNICA DOS MATERIAIS
= = 40kN =
td
= = 40kN =
td
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1- 19
Tensões de Esmagamento - Conexões
• Para determinar a tensão de esmagamento nominal em
A na barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,
( )( ) 53.3MPa
30mm 25mm
P
e s
• Para determinar a tensão de esmagamento no apoio
em A, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,
( )( ) 32.0MPa
50mm 25mm
P
e s

20. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Forças axiais aplicadas em um
elemento de barra, provocam apenas
tensões normais em um plano de
corte perpendicular ao eixo barra.
• Forças transversais agindo
em parafusos e pinos provocam
apenas tensões de
cisalhamento no plano perpendicular
ao eixo do parafuso ou pino.
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1- 20
Tensões em Barras com Duas Forças
• Vamos mostrar que as forças axiais ou
transversais podem produzir
tanto tensões normais e de
cisalhamento com relação a um
plano que não seja um corte
perpendicular ao eixo barra .

21. MECÂNICA DOS MATERIAIS
Tensões sobre um Plano Inclinado
• Passe uma seção através da barra formando
um ângulo θ com o plano normal.
• Das condições de equilíbrio, as
forças distribuídas sobre o plano deve ser
equivalente à força P.
• Decompondo P em componentes
normais e tangenciais à seção oblíqua,
F = Pcosq V = Psenq
• As tensões normais e de
cisalhamento média sobre o plano
inclinado são
P
F
s q
= = =
q
cos
Psen
V
t q
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1- 21
q q
q
q
q
q
cos
cos
cos
cos
P
P
0 0
2
0 0
sen
A
A
A
A
A
A
= = =

22. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Tensões normais e cisalhantes em um plano
inclinado
P
= P =
• A tensão máxima normal ocorre quando o plano de
referência é perpendicular ao eixo da barra (θ=0),
P
s m = t ¢ =
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1- 22
0
A
0
• A tensão máxima de cisalhamento ocorre
para uma inclinação de + 45 º com relação ao
eixo da barra,
P
sen P
A
t = = =s ¢
45 cos 45
A
0 0 2
m
Tensão Máxima
s cos q t q cosq
0
2
0
sen
A
A

23. MECÂNICA DOS MATERIAIS
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• A distribuição de componentes da
tensão interna pode ser definida
como,
V
x
z
A
1- 23
Tensão sob Carregamentos Gerais
• Um elemento submetido a uma
combinação de cargas em geral é
cortado em dois segmentos por
um plano que passa por Q
F
x
A
= D
D
lim
D ®
V
x
lim y
lim
s
t t
A
= D
A
xz
A
A
x
xy
D
D
D
=
0
D ® D ®
0 0
• Para o equilíbrio, uma
distribuição igual e oposta de
forças internas e tensões deve ser
exercida sobre o outro
segmento do elemento.

24. MECÂNICA DOS MATERIAIS
• Componentes de tensão são definidas para os
planos cortados paralelamente aos eixos x, y
e z. Para o equilíbrio, tensões iguais e
opostas são exercidas sobre os planos ocultos.
• A combinação de forças geradas pela
tensão devem satisfazer as condições para
o equilíbrio:
å å å
F F F
= = =
x y z
M M M
å å å
• Considere os momentos em torno do eixo z:
å = 0 = D - D
Mz xy A a yx A a
t t
• Segue-se que apenas 6 componentes de
tensão são necessárias para definir o estado
completo de tensão.
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1- 24
0
0
= = =
x y z
( ) ( )
xy yx
t t
=
yz zy zx xz Similar, t =t e t =t
Estado de Tensão

25. MECÂNICA DOS MATERIAIS
Elementos estruturais ou
máquinas devem ser
concebidos de tal forma que as
tensões de trabalho (solicitantes)
sejam menores do que
a resistência final do material
(resistente).
Fator de segurança
Tensão limite
FS s
= u =
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1- 25
Fator de Segurança
Tensão admissível
all
=
s
FS
Considerações para um fator de segurança:
• Incerteza nas propriedades do material
• Incerteza de cargas
• Incerteza das análises
• Número de ciclos de carga
• Tipos de falha
• Requisitos de manutenção e os
efeitos de deterioração
• Importância da barra para a
integridade de toda estrutura
• Risco à vida e à propriedade
• Influência sobre a função da máquina