5 robotica de manipulação

Robotica de Manipulação

Universidade Metodista de Angola
Departamento de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

1

4-Cinetica Direita de Manipuladores
4.1-Cinematica de Manipulador
Definição
Cinemática de um manipulador é o estudo dos conjuntos de relações
entre posição, velocidade e acelerações dos seus elos.
A fig. Abaixo mostra um manipulador em que a relação entre o
referencial de origem e o da extremidade é dada pela seguinte
transformação R TH . Esta transformação, não evidencia a ligação entre
os elos intermédios. Deste modo de maneira a podermos caracteriza-
los, devemos definir sistemas de coordenadas associados a cada elo.

Davyd da Cruz Chivala 2

Pode-se ainda constactar que a relação geometrica entre elos é
traduzivel por uma matriz de transformação: para ir de um extremo de
um elo até outro extremo far-se-ão translações e rotações. Se A1 for
a matriz de transformação do elo 1 e A i do i-ésino elo, então
podemos dizer que R TH = A1A 2 ...A i

Espaço das Juntas e espaço cartesiano
Dois grandes problemas levantam-se no estudo da cinematica:
localização do elemento terminal apartir das posições das
juntas(cinematica direita); e determinação das posições das juntas a
partir da posição da mão(cinematica inversa).
O espaço das junts teù como dimensão o numero de juntas do
manipulador enquanto que o espaço cartesiano te dimensão
operacional de 6(3 transl. E 3 rotac).


As operações do espaço de juntas para o cartesiano não apresentam
qualquer ambiguidade, mais o contrario pode não ser verdade, pois o
espaço de juntas é muitas vezes redundante. Querendo com isto
dizer que varias configurações no espaço das juntas operações


Algoritmo da Cinemática Directa
Consiste na determinação das relações que exprimem um ponto no →
→
espaço cartesiano, r em função de um ponto no espaço das juntas,q
→
⎛→⎞
isto é r = Fdirecta ⎜ q ⎟
⎝ ⎠
1. Colocar o robot na posição zero
2. Atribuir um sistema de coordenada a cada elo
3. Descrever as relações ( Translações e rotações) entre as
variáveis das juntas e os elos
4. Determinar as matrizes de transformação A i dos diversos elos
5. Multiplicar os A i e obter a expressão R TH
6. Obter as coordenadas de posição da mão
7. Obter as coordenadas de orientação da mão


Parâmetro das juntas e elos
A atribuição de coordenadas a um elo é necessário levar em conta a →
sua própria geometria e as consequências que terá no elo seguinte q
da cadeia. E para tal é necessário definir conceitos como eixo de
uma junta ou os parâmetros cinemáticos dos elo e juntas associada.
Eixo da de uma junta
O eixo de uma junta é o eixo relacionado com a simetria do
movimento inerente a própria junta e que pode coincidir com o eixo
de um ou outro elo ou ser-lhe ortogonal. Este eixo fará parte do
sistema de coordenadas associados ao elo, convenciona-se que
seja o eixo das coordenadas zz.


Eixos de junta rotacional
No caso de termos dois elos colineares, então o eixo da junta →
coincide com o eixo longitudinal dos elos. No caso de termos eixos q
rotação perpendicular ao seu eixo longitudinal, e o eixo da junta é
ortogonal.

Eixos de junta de translação
Neste caso a abordagem é a mesma que a anterior


Os quatro parâmetros de elos e juntas
Elo é um elemento rígido que mantêm fixas as relações entre juntas
sucessivas. Os elos intermediários são delimitados por duas juntas.
Excepções devem ser levadas em conta para os elos extremos do
manipulador, onde só há uma junta delimitadora.
Definição conceptual de cada um dos quatro parâmetros
cinemáticos, de acordo ao algoritmo de Denavit-Hartenberg:
oi - Ponto de origem do sistema de coordenadas i
zi ∩ xi - Ponto de intercepção entre o eixo zi e o eixo xi
oi , pi x - Distancia do ponto oi ao ponto Pi medido ao longo do eixo xi
∠( xi , zi ) y- Ângulo medido da direcção de xi para a direcção de zi em
i

i
torno de yi


Comprimento do elo ( li)
Distancia medida ao longo da normal comum entre os eixos das juntas

Distancia entre elos ou deslocamento de juntas (di)
Traduz em geral a distancia entre elos medida ao longo do eixo da junta
anterior
Angulo de junta (θ i )
Angulo definido normalmente entre o eixo de um elo e o eixo do elo
seguinte θ i = ∠(x i−1, x i )
x i −1
Angulo de torção do elo (α i)
Angulo de torção que o elo impõe desde o eixo da junta anterior até ao
eixo da junta seguinte α i = ∠(z i−1,z i )
xi


Exemplos


i −1
4.1.1 Transformação A i associada a um elo
Pelo exposto anteriormente pode-se concluir que o elo , associado a
junta i realiza uma transformação geometrica, dando origem ao
referncial i + 1 , que pode ser decomposto nas quatro operações
elementares
1- Rotação θ i em torno do eixo da junta ( zi −1 )
2- Translação ao longo do eixo do elo ( xi ) do seu proprio comprimento
( li )
3- Translação ao longo do eixo da junta ( zi ) do afastamento entre
Juntas (d i )
4- Rotação do eixo da junta ( zi ) em torno do eixo longitudinal ( xi ) do
elo
As transformações elementares surgem concatenadas em sequencia, o
que significa globalmente obter-se uma transformação final por pos-
multiplicações sucessivas.

i
4.1.1 Transformação A i associada a um elo
i
A i = Rot ( z , θ i )Trans (li ,0,0 )Trans (0,0, d i )Rot ( xi , α i )

⎡Cθ i − Sθ i 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 li ⎤ ⎡ 1 0 0 0⎤
⎢ Sθ Cθ i 0 0 ⎥ ⎢0 1 0 0 ⎥ ⎢0 Cα i − Sα i 0⎥
i
Ai = ⎢ i ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎢0 0 1 d i ⎥ ⎢ 0 Sα i Cα i 0⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣0 0 0 1 ⎦ ⎣0 0 0 1⎦

⎡Cθ i − Sθ i C α i Sθ i S α i li C θ i ⎤
⎢ Sθ Cθ i Cα i − C θ i Sα i li S θ i ⎥
i
Ai = ⎢ i ⎥
⎢ 0 Sα i Cα i di ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦


4.2 Atribuição de sistemas de coordendas
i
Para que tal seja possivel, é necessario garantir que o manipulador
esteja na posição ZERO(home position), aquela em que as variaveis
de junta estão nos seus valores 0.
Consideremos um manipulador planar com 2 graus de liberdade. A
atribuição de sistemas de coordenadas é relactivamente simples,
pois para tal bastara antendermos o eixo das juntas e o resto sai
naturalmente.
Manipulador Planar com 2DOF

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Davyd da Cruz Chivala

As matrizes de transformação tem a seguinte forma:
⎡Cθ1 − Sθ1C (0 ) Sθ1S (0 ) l1Cθ1 ⎤ ⎡Cθ1 − S θ1 0 l1Cθ1 ⎤
⎢ Sθ Cθ1C (0 ) − Cθ1S (0 ) l1Sθ1 ⎥ ⎢ Sθ1 C θ1 0 l1Sθ1 ⎥
A1 = ⎢ 1 ⎥=⎢ ⎥
⎢ 0 S (0 ) C (0 ) d1 ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1 ⎦

⎡C θ 2 − Sθ 2 0 l2Cθ 2 ⎤
⎢ Sθ Cθ 2 0 l 2 Sθ 2 ⎥
A2 = ⎢ 2 ⎥
⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦


Multiplicando as expresso~es obtidas teremos:
⎡Cθ1 − Sθ1 0 l1Cθ1 ⎤ ⎡Cθ 2 − Sθ 2 0 l2Cθ 2 ⎤
⎢ Sθ Cθ1 0 l1Sθ1 ⎥ ⎢ Sθ 2 Cθ 2 0 l2 Sθ 2 ⎥
0
T2 = TH = ⎢
R 1 ⎥⎢ ⎥
⎢ 0 0 1 d1 ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦⎣ 0 0 0 1 ⎦
⎡Cθ1Cθ 2 − Sθ1Sθ 2 − Cθ1Sθ 2 − Sθ1Cθ 2 0 l2Cθ1Cθ 2 − l2 Sθ1Sθ 2 + l1Cθ1 ⎤
⎢ Sθ C θ + C θ Sθ − S θ Sθ + C θ C θ 0 l C θ Sθ + l Sθ C θ + l Sθ ⎥
R
TH = ⎢ 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1⎥

⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦
⎡C (θ1 + θ 2 ) −S (θ1 + θ 2 ) 0 l2C (θ1 + θ 2 ) + l1Cθ1⎤
⎢ ⎥
S (θ1 + θ 2 ) C (θ1 + θ 2 ) 0 l2 S (θ1 + θ 2 ) + l1Sθ1 ⎥
R
TH = ⎢
⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ 17

Davyd da Cruz Chivala


Manipulador não planar com 2DOF

⎡Cθ1 −Sθ1C (90) Sθ1S (90) 0.Cθ1⎤ ⎡Cθ1 0 Sθ1 0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Sθ1 Cθ1C (90) −Cθ1S (90) 0.Sθ1 ⎥ ⎢ Sθ1 0 −Cθ1 0⎥
A1 = ⎢ =
⎢ 0 S (90) C (90) l1 ⎥ ⎢ 0 1 0 l1⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1⎦


Manipulador não planar com 2DOF
⎡Cθ 2 −Sθ 2C (0) Sθ 2 S (0) l2 .Cθ 2 ⎤ ⎡Cθ 2 −Sθ 2 0 l2 .Cθ 2 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Sθ Cθ 2C (0) −Cθ 2 S (0) l2 .Sθ 2 ⎥ ⎢ Sθ 2 Cθ 2 0 l2 .Sθ 2 ⎥
A2 = ⎢ 2 =
⎢ 0 S (0) C (0) 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1 ⎦
⎡Cθ1 0 Sθ1 0⎤⎡Cθ2 −Sθ2 0 l2 .Cθ2⎤ ⎡Cθ1Cθ2 −Cθ1Sθ2 Sθ1 l2Cθ1Cθ2⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Sθ1 0 −Cθ1 0⎥⎢Sθ2 Cθ2 0 l2 .Sθ2 ⎥ ⎢Sθ1Cθ2 Sθ1Sθ2 −Cθ1 l2Sθ1Cθ2 ⎥
0
T2 =R TH = ⎢ =
⎢0 1 0 l1⎥⎢ 0 0 1 0 ⎥ ⎢ Sθ2 Cθ2 0 l2Sθ2 + l1⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 0 0 1⎦⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1 ⎦



4.3 Algoritmo de Denavit-Hartenberg(D-H)
A atribuição de coordenadas até aqui foi feita de forma empírica, tendo o
eixo de junta e procuramos que os diversos x fossem colineares
para facilitar a definição de eixo da junta. Se o manipulador for
complicado é necessário recorrer a um algoritmo sistemático, o
algoritmo de D-H propõe esta metodologia.
Estabelecer o sistema de coordenadas (x 0 , x 0 ,z 0 ) na base do
manipulador
Enumerar as Juntas de forma crescente
de i = 1 até n −1
Definir o eixo da junta i e alinhar z i com eixo da junta i + 1
Situar o eixo de X na lonha normal comun a z i e z i +1
Se estes são paralelos se escolhe a linha que corta ambos os eixos
O eixo Y deve completar a regra da mão direita.



Parametros de D-H:
α i : Ângulo entre o eixo z i−1 e z i , sobre o plano perpendicular a x i
ai : distancia entre o eixos z i−1 e z i , ao longo de x i , o sinal é definido pelo
sentido de xi
θ i : Ângulo que formado pelos eixos x i−1 e x i visto de zi −1

di : distância ao longo do eixo z i−1 desde a origem de coordenadas Si−1
até a intercepção do eixo z i com o eixo x i , no caso de junta prismática
este valor será a variável de deslocamento



Exemplo


Estabelecimento das coordenadas de origem e os eixos Zs


Estabelecimento das coordenadas x



Determinação do angulo α i



Determinação da distancia ai



Determinação do Angulo θ i



Determinação da distancia di



Determinação do Angulo θ i


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