Apostila de Controle Linear I - UNESP

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Apostila de controle linear - sistemas contínuos no tempo.
Um excelente material para pessoas que iniciam os estudos na área de Controle.

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Apostila de Controle Linear I - UNESP

  1. 1. CONTROLE LINEAR I Parte A – Sistemas Contínuos no TempoPROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃOPROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA -2010-
  2. 2. AGRADECIMENTOS Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tardede verão decidiu digitar toda apostila de forma voluntária e com o prazer deproporcionar uma leitura agradável aos demais alunos. Muito obrigado Pierre! 1
  3. 3. Índice1- Introdução 5.2- Classificação e linearização de Sistemas 10. 2.1- Sistemas Lineares 10. 2.2- Linearização 17. 2.3- Linearização Envolvendo Equações Diferenciais 24. 2.4- Linearização Exata por Realimentação 26.3-Transformada de Laplace (revisão) 28. 3.1- Definição 28. Tabela de Transformadas de Laplace 30. 3.2- Propriedades das Transformadas de Laplace 31. 3.3- Transformada Inversa 36. 3.4- Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo 44.4- Função de Transferência 48. 4.1 - Definição 48. 4.2- Função de Transferência de Circuitos com A.O 56. 4.2.1- Função de Transferência do A.O. Integrador 57. 4.3- Simulação com o MATLAB 59. 4.4- Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico 63. 4.5- Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua (CC) 64.5- Diagrama de Blocos 66. 5.1- O Detector de Erros 66. 5.2- Função de Transferência de Malha Fechada 66. 5.3- Manipulação no Diagrama de Blocos 67. 5.4- Algumas Regras Úteis 69. Tabela das Principais Regras para Redução de Diagrama de Blocos 71. 5.5- Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB 77. 2
  4. 4. 6- Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal 79.7- Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 85. 7.1- O Conceito de Estabilidade 85. 7.2- O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 95. 7.3- Estabilidade Relativa 103. 7.4- Exemplos Completos de Projeto 105.8- Resposta Transitória de Sistemas de 1a e 2a ordem 113. 8.1- Introdução 113. 8.2- Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem (devido a entrada degrau) 113. 8.2.1- Exemplo 113. 8.2.2- Caso Genérico 115. 8.3- Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem (devido a uma entrada degrau) . 117. 8.3.1- Exemplo 117. 8.3.2- Caso Genérico 119. Variação de P.O. em função de  124. 8.3.3- Resposta Transitória X Localização dos Pólos no Plano s 126. 8.3.4- Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior 131. 8.4- Resposta Transitório Usando o MATLAB 134. 8.5- Índices de Desempenho ITA, ISE, IAE 136.9- Erros de Regime (regime permanente) 139. 9.1- Introdução 139. 9.2- Exemplos de Erro de Regime 139. 9.3- Erros de Regime 141. Tabela de Erros de Regime 146.10- Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros 150. 10.1- Introdução 150. 10.2- Generalização 152. 3
  5. 5. 11- Sinais de Perturbação (ou ruído) em Sistemas de Controle 155.12-Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) 162.APÊNDICE A – Laboratório 1 – Curso e Lista de Exercícios do MATLAB 206.APÊNDICE B – Laboratório 2 – Introdução à Robótica 222.APÊNDICE C – Laboratório 3 – Controle de Motor CC 226.APÊNDICE D – Laboratório 4 – Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime Permanente 230.APÊNDICE E – Bibliografia Básica e Critério de Avaliação 238.APÊNDICE F – Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C. M. Teixeira e Edvaldo Assunção 239. 4
  6. 6. 1-Introdução A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças danatureza para o benefício da humanidade. Dizem respeito aos engenheiros de sistemas decontrole o conhecimento e controle de segmentos à sua volta, chamados de sistemas, com afinalidade de dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos. Os objetivos duplos deconhecimento e controle são complementares, uma vez que o controle efetivo de sistemasrequer que os sistemas sejam compreendidos e modelados. Além disso, a engenharia decontrole deve considerar muitas vezes o controle de sistemas mal conhecidos, como sistemasde processos químicos. O presente desafio ao engenheiro de controle é a modelagem e ocontrole de sistemas modernos, complexos e interligados, como sistemas de controle detráfego, processos químicos, sistemas robóticos e automação industrial e controla-los embenefício da sociedade. Um sistema de controle é uma interconexão de componentes formando umaconfiguração de sistemas que produzirá uma resposta desejada do sistema. A base paraanálise de um sistema é formada pelos fundamentos fornecidos pela teoria dos sistemaslineares, que supõe uma relação de causa e efeito para os componentes de um sistema. Apresentamos a seguir uma definição de sistema. Sistema: é qualquer coisa que interage com o meio ambiente, recebendo desteinformações ou ações chamadas entradas ou excitações e reagindo sobre ele dando umaresposta ou saída. Isto está sintetizado na figura abaixo: Geralmente, u(t) e y(t) são relacionados matematicamente através de uma equaçãodiferencial. Exemplos de sistemas: i) um avião cuja entrada é o combustível e a saída é seu 5
  7. 7. deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a temperaturada água, iii) um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é a velocidade doautomóvel, iv) o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol e a saída é a posiçãoangular das placas conversoras de energia solar. O modelo matemático de um sistema é muito importante (fundamental) para o projeto decontrole automático. O modelo de um sistema é a relação entre a entrada u(t) e a saída y(t) dosistema. O modelo pode ser obtido usando-se leis físicas, por exemplo, leis de Newton, leis deKirchoff, etc. Ou então usando-se metodologias experimentais, com por exemplo respostastransitórias, respostas em freqüência etc. Controle de um sistema significa como agir sobre um sistema de modo a obter umresultado arbitrariamente especificado. Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da realimentação. Através deexemplos, iremos introduzir o conceito de realimentação.1o Exemplo: Considere o seguinte problema no qual o homem deseja aquecer o interior deum prédio, tendo em vista que a temperatura externa é 0ºC. Para isto ele dispõe de umaquecedor e um termômetro para leitura da temperatura interna da sala. O objetivo decontrole é manter a temperatura da sala em Ts=22ºC, mesmo na ocorrência de algunseventos: abrir a porta, desligar o fogão etc. E que ele possa dormir.1a estratégia: o homem fecha a chave e então vai dormir. O sistema de controle pode seresquematizado no seguinte diagrama: 6
  8. 8. Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outrossistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configuração é chamada de sistema demalha aberta. O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedorestiver super dimensionado e Ts>>22ºC. Essa estratégia falhou. Neste caso:2a estratégia: o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática: Se Ts22ºC ele liga a chave Se Ts>22ºC ele desliga a chave Neste caso teremos: Neste caso o homem não terá altas temperaturas, esta estratégia é melhor que a 1ºporém, o homem não dormirá. O diagrama de blocos deste sistema de controle é: 7
  9. 9. 3a estratégia: controle automático usando um bimetal. O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilatação térmica diferentes. O diagrama de blocos deste sistema de controle é: Note que este é um sistema de malha fechada. Esta é a melhor tática pois o homem poderá dormir e a temperatura da sala serámantida em Ts22ºC. Fator de sucesso: a decisão é tomada após a comparação entre o que queremos e orealmente temos, ou seja, existe realimentação. Neste caso foi usado um sistema de malha 8
  10. 10. fechada. O esquema genérico de um sistema de malha fechada é: 2oExemplo: sistema de controle biológico, consistindo de um ser humano que tenta apanhar um objeto. O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens: i.) Simples construção;ii.) Mais barato que a malha fechada;iii.) Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível. E ter as seguintes desvantagens: i.) Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente da desejada;ii.) Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica;iii.) Inviável para sistemas instáveis 9
  11. 11. 2-Classificação e Linearização de Sistemas As equações diferenciais dos movimentos dos principais processos utilizados emsistemas de controle são não-lineares. Tanto análise quanto projeto de sistemas de controlesão mais simples para sistemas lineares do que para sistemas não-lineares. Linearização é oprocesso de encontrar um modelo linear que seja uma boa aproximação do sistema não-linearem questão. A mais de 100 anos, Lyapunov provou que se o modelo linear, obtido através deprocesso de linearização de um modelo não-linear, é válido em uma região em torno do pontode operação e se é estável, então existe uma região contendo o ponto de operação na qual osistema não-linear é estável. Então, para projetar um sistema de controle para um sistemanão-linear, pode-se seguramente obter uma aproximação linear deste modelo, em torno doponto de operação, e então projetar um controlador usando a teoria de controle linear, e usá-lo para controlar o sistema não-linear que se obterá um sistema estável nas vizinhanças doponto de equilíbrio (ou ponto de operação). Técnicas modernas de projeto de controladoresFuzzy usando LMIs para sistemas não-lineares permitem que o sistema trabalhe em torno devários pontos de operação e ainda garante-se não apenas a estabilidade do sistema não-linear controlado mas também o seu desempenho temporal. Antes de apresentar o processo de linearização, se faz necessário estudar o princípio dasuperposição útil na classificação de um sistema, verifica-se se um sistema é ou não sistemalinear.2.1-Sistemas Lineares Seja o sistema abaixo, com condições iniciais nulas, I.C.=0, em um sistema físico istoequivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t=0 ( o sistema estará emrepouso). Suponha que a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t) e que a entrada u(t)=u2(t) geraa saída y(t)=y2(t), ou seja: 10
  12. 12. Definição: um sistema é dito linear em termos da sua excitação u(t) (entrada) e sua resposta(saída) se o princípio de superposição for “respeitado” pelo sistema.Princípio de Superposição Se a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t), se a entrada u(t)=u2(t) gera a saíday(t)=y2(t) e se aplicarmos no sistema uma combinação linear das entradas u1(t) e u2(t), ouseja, u(t)=u1(t)+u2(t) a saída y(t) será a mesma combinação linear das saídas y1(t) e y2(t),ou seja, y(t)=y1(t)+y2(t),   e . Desta forma, para verificar se um sistema é linear aplica-se o Princípio da Superposição.Exemplo 1: Verifique se o sistema y(t)=au(t) é linear ou não. Uma interpretação gráfica deste sistema é:Sol: Para verificar se o sistema é linear, utilizaremos o princípio da superposição, supondo aexistência de duas entradas distintas, u(t)= u1(t) e u(t)=u2(t), e em seguida aplicando a 11
  13. 13. seguinte combinação linear:u(t)= u1(t)+u2(t), no sistema y(t)=au(t): Para u1(t) tem-se y1(t)=a u1(t) (1) Para u2(t) tem-se y2(t)=a u2(t) (2) Para u(t)= u1(t)+u2(t) tem-se y(t)=a[u1(t)+u2(t)] Ainda, y(t)= au1(t)+au2(t) (3) Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se: y(t)= y1(t)+ y2(t) Portanto o princípio da superposição foi respeitado, logo o sistema em questão é linear.Exemplo 2: verifique se o sistema dado por y(t)= a u(t)+b é linear ou não. , a0 e b0Graficamente:Sol.: 12
  14. 14. y1 t   b u1(t)  y1(t)= a u1(t)+b então u1 t   (1) a y 2 t   b u2(t)  y2(t)= a u2(t)+b então u 2 t   (2) ase u (t)= u1(t)+u2(t)  y(t)=a[u1(t)+u2(t)]+b (3)Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se:   y1 (t )  b    y 2 (t )  b   y (t )  a   b  a a ainda, y(t)= y1(t)+ y2(t)+b(1--) (4) (4) será igual a y(t)= y1(t)+ y2(t) se e somente se b=0 ou (1--)=0  =1- Mas no enunciado foi suposto que b0. A expressão =1- restringe os valores de  e  e para que seja linear é necessário quey(t)= y1(t)+ y2(t),   e   , portanto não é linear.Resumo: dos exemplos 1 e 2 conclui-se que:Exemplo 3: Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear. (a saída é igual à integral da entrada)Obs.: O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza um amplificador operacional(A.O.) é dado abaixo: 13
  15. 15. tf Sol.: u (t)= u1(t)  y1   u1 (t )dt (1) 0 tf u(t)= u2(t)  y 2   u 2 (t )dt (2) 0 u(t)= u1(t)+u2(t)  y (t )   [ u1 (t )   u 2 (t )]dt ou ainda, devido as propriedades lineares da integral: tf tf y (t )    u1 (t )dt    u 2 (t )dt 0 0 Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se y(t)= y1(t)+ y2(t) logo, o sistema é linear. Exercícios:1. O sistema y(t)= u2(t) é linear? d2. O sistema y (t )  u (t ) , que é um derivador, é linear? dt3. O sistema y (t )  cos(u (t )) é linear? 14. O sistema y (t )  , u(t)0 é linear? u (t )5. O sistema y (t )  u (t ) é linear? tf du (t )6. O sistema y (t )  5 u (t )dt  2 é linear? 0 dt7. O sistema y (t )  u (t ) é linear? 18. O sistema y (t )  2 é linear? u (t )9. O sistema que é um controlador industrial conhecido como controlador PID é o seguinte: 14
  16. 16. du (t ) tf y (t )  10u (t )  22  3 u (t )dt dt 0 Ele é linear?Exemplo 4: Os sistemas dinâmicos de interesse neste curso, podem ser expressos porequações diferenciais da forma: n m  a (t ) y (t )   b (t )u i 0 i i j 0 j j (t ) (1) . 1 Demonstrar para integrador: y (t )  u (t ) RCsendo que: yi(t) denota a i-éssima derivada de y(t) uj(t) denota a j-éssima derivada de u(t)Demonstre que este sistema é linear.Sol.: Suponha que para a entrada u(t)= u1(t) a solução de (1) proporciona y(t)=y1(t) e que parau(t)= u2(t)  y(t)= y2(t), assim tem-se: n m u1(t)   ai (t ) y1 (t )   b j (t )u1 (t ) i j i 0 j 0 n m u2(t)   a (t ) y (t )   b (t )u i 0 i i 2 j 0 j 2 j (t ) Para u(t)= u1(t)+u2(t), como  e  são constantes então uj(t)= u1j(t)+u2j(t), então: n m  a (t ) y (t )   b (t )[u i 0 i i j 0 j 1 j (t )  u 2j (t )]ou ainda, n m m  ai (t ) y i (t )    b j (t )u1j (t )    b j (t )u2j (t ) i 0 j 0 j 0 n n  a (t ) y (t ) i 0 i i 1  a (t ) y (t ) i 0 i i 2 15
  17. 17. logo n m m  a (t ) y (t )    a (t ) y i 0 i i j 0 i 1 j (t )    ai (t ) y 2j (t ) j 0 ou n m  ai (t ) y i (t )   ai (t )[ y1j (t )   y2j (t )] i 0 j 0 de onde conclui-se que yi(t)= y1i(t)+ y2i(t) logo o sistema é linear. Obs.: Se ai(t) e bj(t), em (1), são constantes, para i=1, 2, ..., n e j=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear e invariante no tempo (SLIT). Se ai(t) e bj(t), em (1), variam com o tempo, i=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear variante no tempo (SLVT). Exemplos: 1. SLIT: considere a esfera de um levitador magnético, cuja ação da força da gravidade tenhasido quase compensada pela força magnética oriunda de uma bobina principal. Neste caso tem-se: Sendo F a força resultante: força magnética menos força da gravidade.  1 y (t )  u (t ) m Adotando u(t)=F(t), de (1) tem-se n l  a (t ) y (t )   b (t )u i 0 i i j 0 j j (t ) para n=2 e l=0 temos Portanto este é um SLIT. 16
  18. 18. 2. SLVT: considere o exemplo do foguete lançador de nave espacial. O combustível é consumido durante o percurso e, portanto a massa total do sistema varia ao longo do tempo.Seja ur(t) a força resultante, ou seja:u r (t )  f (t )  f g (t )  f a (t ) (3)Substituindo (2) e (3) em (1) temos: d d du r (t )  (m(t ).v(t ))  m(t ).v(t )  m(t ). v(t ) dt dt dtou ainda,Exercício: Descreva 5 sistema que sejam SLIT e 5 que sejam SLVT. Não se esqueça demostrar qual é a entrada do sistema e qual é a saída.Exercício: Suponha que o sistema de deslocamento de um trem de metrô seja linear.Sabendo-se que o trem se move utilizando energia elétrica, entre uma estação e a próximaele é SLIT ou SLVT? E entre as duas estações extremas da linha?2.2-Linearização Na engenharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do 17
  19. 19. ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno doequilíbrio. Entretanto, se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinaisenvolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não-linear por um sistemalinear. Este sistema linear é equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de umconjunto limitado de operações. O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento dafunção não-linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retençãosomente do termo linear. A linearização de um sistema não-linear supõe que o sistema operará próximo de umponto de operação (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.Considere que o sistema:opera próximo ao ponto de operação (P.O.):Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos: f ( x)  2 f ( x) y  f ( x)  f ( x) P.O.  ( x  xo )  ( x  xo ) 2     (1) x P.O. x 2! P.O. 2sendo: P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema. A suposição de que o sistema não-linear irá operar em torno do P.O., implica que xficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3, ... será menor ainda,portanto: ( x  xo ) 2 ( x  xo ) 3 0 ,  0 ,   (2) 2! 3! Substituindo (2) em (1) tem-se: 18
  20. 20. f ( x) y  f ( x) P.O.  ( x  xo ) x P.O.ou que é um sistema linear (vide exemplo 1)Interpretação geométrica Se tivermos uma função de várias variáveis: y (t )  f ( x1 , x2,  , xn ) e P.O. ( x10 , x20 ,   , xno , yo )a expansão em série de Taylor desprezando-se potências maiores que 1 é dada por:ou ainda, que é um  y  m1x1  m2 x2    mn xn sistema linear 19
  21. 21. Obs.: Se o cálculo de yo, m1, m2, ... , mn não for possível de ser realizado devido à ocorrênciade divisão por zero, diz-se que o sistema não é linearizável em torno do P.O. em questão.Exemplo: Linearize a função que corresponde ao momento (torque) que a massa m faz comrelação ao ponto “P” do pêndulo simples abaixo. Linearizar em torno do ponto de operação = 0. O momento é: I=F.r, sendo r=lsen() e F=mg Logo I=mglsen ()então g()=mglsen() Note que g() é não-linear, pois =1  sen(1) =2  sen(2) se =1+2 sen(1+2)  sen1+sen2 é não-linear Neste caso, o ponto de operação é =0. Expandindo na série de Taylor, temos: g ( ) g ( )  g ( )  0  (  0) (1)   0mas, g ( )  0  mglsen (0)  0 ( 2)e 20
  22. 22. g ( ) g ( )  mgl cos( ) e  mgl cos(0)  mgl (3)    0logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se: g()=mglque é um modelo linear.   A figura a seguir mostra que para    o sistema linearizado é uma boa 4 4aproximação do sistema não-linear. Este gráfico for feito com a utilização do MATLAB. PROGRAMA EM MATLAB teta=[-pi:0.03:pi*1.01]; teta2=[-0.96:0.1:0.98]; gteta=sin(teta); linear=teta2; %axes plot(teta,gteta,k,teta2,linear,k,... [-4 4],[0 0],k,[0 0],[-1 1],k,... [-pi/4 -pi/4],[-0.63 -1],-.,[pi/4 pi/4],[0.88 -1],-.) grid 21
  23. 23. Exercício: Repita o exemplo anterior para que g()=0,1cos(), e  o  . Use o MATLAB para 2desenhar os gráficos da função não-linear e a linearizada.Exemplo: Linearize a função P(i)=ri2 em torno do P.O. : io=1A. 22
  24. 24. R=100 Faça o gráfico (interpretação geométrica)Sol.: P P  P i 1  (i  io ) o i io 1mas, P ri 2 P Pi  r .12  r  e  2r.1 o 1 i i i io 1logo P=r+2r(i-1) ou P-r=2r(i-1) iou PP=2ri mas r=100  P=200iInterpretação geométrica:Exercício: Uma área tecnológica de grande importância atualmente são as pesquisas para odesenvolvimento de micro e macro sistemas. A teoria de controle é fundamental para o seuavanço tecnológico. Considere o micro levitador dado na figura abaixo. O atuador é construídode PZT com um imã permanente na ponta. A bola é de material ferromagnético e tem 23
  25. 25. distância de 2mm. Na figura a força de atração é dada por: k f ( x)  x2sendo k=4,98x10-8N/m2. Linearize o sistema no ponto de operação xo=1mm, considere como saída de interessey(x)=f(x). É possível linearizar este sistema em torno do ponto xo=0mm?Exercício: Linearize as funções abaixo em torno P.O :xo=1.a)y(x)=5x+2b) y ( x)  3 x  1c)y(x)=2x32.3-Linearização Envolvendo Equações Diferenciais. No método de linearização mostrado, as funções não envolvem funções diferenciaisneste caso, é necessário calcular o ponto de operação do sistema que é um ponto deequilíbrio (P.E.), que é obtido supondo que o sistema esteja em equilíbrio e, portanto não estávariando ao longo do tempo, ou seja, todas as derivadas são nulas. Depois, expande-se osistema em função das variáveis e suas derivadas:  g   g g ( x, x )  g P . E .   ( x  x PE )  ( x  x PE ) x x P. E . P. E . 24
  26. 26. Exemplo: supondo o seguinte sistema não-linear: sendo y  2 x(t )  x 2 (t ) (que é não-linear).Linearize em torno do ponto de equilíbrio (P.E.).Sol.: É necessário primeiramente determinar o P.E., para isso supõe-se todas derivadas nulas: y (t )  0 tem-se:    X E (t)  2 e Y E (t)  0 0=2xE(t)-xE2(t)  ou   X E (t)  0 e Y E (t)  0 Neste caso,   g ( x, y )   y (t )  2 x(t )  x 2 (t )  0 O modelo linear é:  g   g g ( x, y )  g   ( y  y PE )  ( x  x PE ) P. E . y x P. E . P. E .ou seja, adotando-se P.E.: XE=2 teremos:      g ( x , y )    y  2 x   y   2 x pois g ( x, y )  0 25
  27. 27. OBS. No ponto de equilíbrio, o sistema permanece nele se colocado nele (derivadas nulas) etodas as variáveis são constantes.2.4-Linearização Exata por Realimentação Linearização por realimentação é obtida subtraindo-se os termos não-lineares dasequações do sistema e adicionando-o ao controle.Exemplo: Considere o pêndulo que possui o torque de entrada Tc (controle) agindo no eixo derotação   TC  mgl sen( )  I  sendo I momento de inércia em torno do eixo, neste caso: I=ml2.Suponha que o ângulo  possa ser medido, projete Tc() tal que o sistema tenha linearizaçãoexata.Sol.: A equação diferencial é:  ml2  +mglsen()=Tc() (1)Se escolher o torque Tc() como, Tc()=mglsen()+u (2)e substituindo (2) em (1)tem-se:  ml2  =u (3)que é um sistema linear O esquema é: 26
  28. 28. A equação (3) é linear, não importando quão grande o ângulo o seja. A realimentaçãoproporciona um torque Tc baseado na medida de  tal que o sistema realimentado seja linear.Exercício: Linearize o seguinte sistema na forma exata 27
  29. 29. 3-Transformada de Laplace (revisão) A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao projetistade sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace. O método da transformada deLaplace substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela solução mais fácil deequações algébricas Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente interconectados,o uso da Transformada de Laplace permite a manipulação de equações algébricas ao invézde equações diferenciais. Então os sistemas dinâmicos são modelados por equaçõesdiferenciais, primeiramente aplica-se a Transformada de Laplace, depois projeta-se ocontrolador no domínio ’s’ e finalmente implanta-se o controlador e analisa-se o resultadoobtido no domínio do tempo.OBS.:Nesse curso a maioria das transformadas L{.} e L-1{.} serão utilizadas diretamentedas tabelas.3.1-Definição: a transformada de Laplace da Função f(t) é dada por:  L  f (t )  0 f (t )  e  st dt  F ( s )sendo que o ‘s’ é uma variável complexa que não depende de t, s=+jw.Exemplo: Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau. Iremos calcularsua Transformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechamento da chave “S” nocircuito abaixo: 28
  30. 30. OBS.: É suposto que os capacitores estão descarregados e os indutores tem corrente nula noinstante inicial t=0s. A tensão v(t) é do tipo degrau de amplitude A, pois  0, t0 (1) v(t)=  A, t0sendo que a chave é fechada no instante t=0, graficamente: Aplicando-se a Transformada de Laplace v(t) tem-se  V(s)=L{v(t)}=  0 v(t )  e  st dt ( 2) Substituindo-se (1) em (2) tem-se     e  st A V ( s)    st A  e dt  A   lim e  st  e  s0 0 s 0  s t  A V ( s )  s A tabela a seguir mostra na linha 2 a transformada de Laplace de degrau unitário(A=1):L{1(t)}=1/s 29
  31. 31. Pares de Transformadas de Laplace f (t ) F (s)1 Impulso unitário  (t ) 1 12 Degrau unitário l (t ) s t 13 s2 t n 1 14  n  1, 2,3,...  n  1! sn tn  n  1, 2,3,... n!5 s n 1 e  at 16 sa te at 17 ( s  a)2 1 1 t n 1e  at  n  1, 2,3,...8  n  1! ( s  a)n t n e  at  n  1, 2,3,... n!9 ( s  a) n 1 sen t 10 (s   2 ) 2 cos t s11 (s   2 ) 2 senh t 12 (s   2 ) 2 cosh t s13 (s   2 ) 2 1 114 a 1  e at  s( s  a) 1 115 ba  e at  ebt  ( s  a)  s  b  116 ba  bebt  ae at  s ( s  a)  s  b  1  1  bt  1 1  a  b  be  ae    at17 ab   s(s  a)  s  b  30
  32. 32. 1 1 18 a2 1  eat  ate at  s(s  a)2 1 1 19 a2  at  1  eat  s ( s  a) 2 e  at sent  20 s  a  2 2 e  at cos t ( s  a) 21 s  a  2 2 n n 2 22 e nt senn 1   2 t 1  2 s 2  2n s  n 2 23 1  e nt    cos  n 1   2 t     n n 1   2  sen  n 1   2 t     n2 1 s  2n s  n s 2 2   As regras 22 e 23 são válidas para 0<  <1. Esta tabela reúne as principais transformadas utilizadas neste curso. Note quegenericamente F(s) é a razão entre dois polinômios: n( s) s m  bm s m1  ...  b1 F (s)   d ( s ) s n  an s n1  ...  a13.2. Propriedades das Transformadas de Laplace Suponha que L{f(t)}=F(s)1. L{f1(t)+f2(t)}=F1(s)+F2(s) (Linearidade) Prova:  L{f1(t)+f2(t)}=  [f1 (t )  f 2 (t )]e  st dt  0    f 1 (t ) e  st dt    f 2 (t )  e  st dt    F1 ( s)    F2 ( s ) 0 0 d 2. L  f (t )  sF ( s )  f (0)  dt  Prova: d   d  L  f (t )   f (t )e  st dt   e  st df (t )  dt  0 dt 0 31
  33. 33. b b  vdu  u  v   udv b Lembrete: a a aIntegrando por partes,temos: v  e  st  dv   se  st dt   du  df (t )  u  f (t )logo    0 e  st df (t )  f (t )e  st 0  0 f (t )(  se  st )dt   f (t )  e  st  s   f (t )  e  st dt    f (t )e  st  0 0      f (0)  sF ( s ) d2  d3. L  2 f (t )  s 2 F ( s )  sf (0)  f (t )  dt  dt t 0 Prova: d2  d  d  PROP.2  d  d L  2 f (t )  L   f (t )   s L  f (t )  f (t ) =  dt   dt  dt   dt  dt t 0 PROP. 2  ssF ( s )  f (0)  d d f (t )  s 2 F ( s )  sf (0)  f (t ) dt t 0 dt t 0  dn  n d k 14. L  n f (t )  s n F ( s )   s n k  k 1 f (t )  dt  k 1 dt t 0Obs.: foi visto na tabela das transformadas de Laplace que genericamente F(s) é compostopela divisão de dois polinômios em ‘s’, ou seja: n( s ) F (s)  d (s) s 1 n( s )  s  1Exemplo: F ( s )   s  2 d ( s)  s  2 As raízes do numerador são chamadas de ”zeros” e as raízes do denominador sãochamadas de pólos. 32
  34. 34. z1  1 Neste exemplo temos: P1  25. Teorema do valor final (t+∞) – T.V.F. Se os pólos de sF(s) possuem parte real negativa,ou seja Re{pi}<0,então: lim f (t )  lim s  F ( s ) t   s 0Obs.: mais adiante neste curso,veremos que um sistema que tem todos os pólos com partereal negativa,é dito estável. 1Exemplo: Sabendo que L{f(t)}=F(s)= , determine o valor de f (t ) t  (também chamado s ( s  1)de valor de regime permanente). 1 1Sol.: Neste caso, sF ( s )  s  s ( s  1) s  1que possui apenas um pólo:P1=-1. Como P1<0, pode-se aplicar o T.V.F. : 1 lim f (t )  lim s  F ( s )  lim 1 t   s 0 s 0 s 1  f ()  1 Para simples verificação, segundo a tabela na pg. 30, linha 14, tem-se:  1  t -1    1 e f (t )  L  s ( s  1)  tlogo f (t ) t   (1  e ) t   1 que é o mesmo resultado obtido aplicando-se o T.V.F.Obs.: o T.V.F. permite obter o valor de regime de um sistema tendo-se apenas a suatransformada de Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento da função temporal(f(t)). Ou seja, o T.V.F. é útil para determinar o valor de regime de f(t), conhecendo-se apenasF(s).Exemplo: f(t)=sen(t) 33
  35. 35. 1.5 1 0.5 f() 0 t -0.5 -1 -1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t Note que t+∞ f(t) não tem um único valor. 1 Segundo a tabela: L{f(t)}= , linha 10 s 1 2 1 Para s.F(s)= s  , os pólos são P1,2=±j s 1 2 Logo Re{P1, P2}=0 e não pode-se aplicar o T.V.F. Se erroneamente aplicarmos o T.V.F. teremos: slim f (t )  lim s  F ( s )  lim  0 , porém, a senóide não tende a zero quando t+∞.t  s 0 s 0 s2  1O erro foi aplicar o T.V.F. sendo que os pólos não são negativos (parte real).Exemplo: Determinar a transformada de Laplace da função impulso, (t). Uma idéia deentrada impulsiva é o choque do taco de “baseball” com a bola, o choque tem uma grandeintensidade e curtíssima duração. 0 p/ t  0  A função (t) é dada por:  (t )     p/ t  0 e    (t )dt  1Graficamente 34
  36. 36. A função impulso é o caso limite da função pulso de área unitária: 1Neste caso a área é A=  a  1 e lim (t )   (t ) a a 0Sol.:  0  0L{(t)}=   (t )e  st dt     (t )e  st dt    0dt     (t )e  st dt , para 0- <t<0+ tem-se que 0 0 0 0 -ste neste intervalo é 1.logo 0 L{(t)}=    (t )dt  1 (Vide linha 1 da tabela, p.30) 0Exercício: Calcule a transformada de Laplace de um sinal u(t) de controle típico de umsistema automático digital, ou seja controle por computador. 1Exercício: Seja F ( s )  , qual é o valor de f (t ) t  ? s ( s  1)( s  2) 1Exercício: Seja F ( s )  , é possível aplicar o teorema do valor final? s ( s  4 s  4) 2 2 35
  37. 37. 3.3-Transformada Inversa A idéia é encontrarutilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a tabela para encontrarf(t). P( s) Seja: F ( s )  Q(s)sendo que P(s) e Q(s) são polinômios e grau (Q(s))≥grau(P(s)). Polinômio Q(s) é da forma: Q( s )  s n  a1 s n1  ...  an , sendo ai  , i={1, 2, ..., n} que pode ser expresso na forma: Q( s )  ( s  s1 )( s  s 2 )...( s  s n 1 )( s  s n )sendo: si, i=1, 2, ..., n as raízes de Q(s).1ºCaso: Se o polinômio do denominador: Q( s )  ( s  s1 )( s  s 2 )...( s  s n 1 )( s  s n )possuir somente raízes distintas ou seja, sisj, i,j=1, 2, ...,n , ijentão fazemos a expansão: P( s) k k k F (s)   1  2  ...  n Q( s ) s  s1 s  s 2 s  snsendo:ki=(s+si). F ( s ) s  s , i=1, 2, ..., n i 36
  38. 38. 5s  3Exemplo: F ( s )  , determine f(t). ( s  1)( s  2)( s  3)Sol.: Neste caso, P(s)=5s+3 e Q(s)=(s+1)(s+2)(s+3)temos: P( s ) k k k F (s)   1  2  3 Q(s) s  1 s  2 s  3 e ki=(s+si) F ( s ) s  s ilogo (5s  3) 2 k1  ( s  1)     1 ( s  1)( s  2)( s  3) s 1 2 (5s  3) k 2  ( s  2)   7 ( s  1)( s  2)( s  3) s 2 (5s  3) k 3  ( s  3)   6 ( s  1)( s  2)( s  3) s 3então 1 7 6 F (s)     s 1 s  2 s  3 Finalmente, usando a linha 6 da tabela, tem-se: L-1{F(s)}=-e-t+7e-2t-6e-3t , t≥02ºCaso: Se o polinômio do denominador: Q( s )  ( s  s1 )( s  s 2 )...( s  s n 1 )( s  s n )possuir raízes não distintas, ou seja, se a raiz si tiver multiplicidade ‘r’, teremos: N (s) k k  A1 A2 Ar  k kF (s)   1  ...  i 1     ...  r   i 1  ...  n sendo: Q( s ) s  s1 s  si 1  ( s  si ) ( s  s1 ) 2 ( s  si )  s  si 1 s  sn 37
  39. 39. Ar  ( s  si ) r F ( s ) s  s i Ar 1  d ds  ( s  si ) r F ( s )  s   si    A1  1 d r 1 (r  1)! ds r 1  ( s  si ) r F ( s )  s   si 1Exemplo: Se F ( s )  , determine f(t). s ( s  1) 3 ( s  2)Sol.: a raiz s=-1 tem multiplicidade r=3, logo, k1 k2 A1 A2 A3 F (s)      s ( s  2) ( s  1) ( s  1) 2 ( s  1) 3neste caso: 1 1 k1  s F ( s ) s 0  s   ( s  1) ( s  2) s 3 s 0 2 1 1 k 2  ( s  2) F ( s ) s 0  ( s  2)   ( s  1) ( s  2) s 3 s  2 2 1 1 Façamos: G ( s )  ( s  1) 3  F ( s )  ( s  1) 3   s ( s  1) ( s  2) s ( s  2) 3então, A3  G ( s ) s  1  1 d A2  G (s) ; ds s  1mas d ds G ( s)  d 1 ds  s ( s  2) 1  2   ( s  2)  s s ( s  2) 2 (1) 38
  40. 40. logo  ( s  2)  s A2  0 s 2 ( s  2) 2 s  1 1 d2A3  G(s) que é obtida derivando-se (1) (3  1)! ds 2 s  1então 1 d  2s  2  A3    1 2 ds  s 2 ( s  2) 2  s 1  finalmente: 1 1 1 1 F (s)  2  2   s s  2 s  1 ( s  1) 3 Segundo as linhas 2, 6 e 8 da tabela (P.26) tem-se: 1 1 1 f (t ) 1(t )*  e 2t  e t  t 2 e t , t≥0 2 2 2*função degrau unitário 1Exercício: Dado F ( s )  , calcule f(t). ( s  1)( s  2) 23ºCaso: Se o polinômio do denominador tem raízes complexas distintas. Vamos ilustrar o método através de um exemplo. 1Exemplo: Determine a L-1{.} de F(s)= s ( s  s  1) 2Sol.: Neste caso, as raízes do denominador são: s1  0 1 3 s 2,3    j (raízes complexas conjugadas) 2 2 Neste caso é mais interessante usar a componente relativo ás raízes complexas, naforma polinomial, ou seja: 1 C C s  C3 F (s)   1  22 (1) s ( s  s  1) s s  s  1 2 39
  41. 41. Já sabemos calcular C1: 1 C1  s  1 s ( s  s  1) s0 2 Para que (1) seja satisfeita é necessário que: 1 1 C s  C3   22 s ( s  s  1) s s  s  1 2ou ainda: 1 s 2  s  1  C 2 s 2  C3 s  , logo s ( s 2  s  1) s ( s 2  s  1) 1  (C 2  1) s 2  (C3  1)  1  C 2  1  0 e C3  1  0então C2=-1 e C3=-1 Assim: 1 ( s  1) 1 s 1 F (s)   2   2 s s  s 1 s s  s 1ou 1 1 s  1 2 2 F (s)   2 s  1 3 s     2 4 Que das linhas 20 e 21 da tabela (P. 27) temos:  t  3  1 2  3  t f (t )  1(t )  e 2  t cos e sen t   4   3  4   Importante: P( s) Se em algum dos casos anteriores, com F ( s )  , com grau (Q(s))=grau (P(s)) então Q(s )faça primeiro a divisão: R( s)e depois proceda a expansão em frações parciais de . Q( s) 40
  42. 42. sExemplo: Determine f(t) se F(s)= s 1Sol.: Neste caso, P(s)=s e Q(s)=s+1 e logo grau (P(s)=1 e grau (Q(s))=1, então é necessáriofazer: (1)  F (s)  1   L{F(s)}=(t)-e-t s 1Obs.: se grau (Q(s))=grau(P(s)) então aparecerá (sempre) uma componente impulsiva ((t))em f(t).O gráfico de f(t) do exemplo anterior é: 41
  43. 43. Expansão em Frações parciais usando o MATLAB O exemplo abaixo foi retirado do Ogata (4ºed.):Considere a seguinte função B ( s ) 2 s 3  5 s 2  3s  6  A( s ) s 3  6 s 2  11s  6Para essa função num = [2 5 3 6] den = [1 6 11 6]O comando [r,p,k] = residue(num,den)apresenta o seguinte resultado: [r,p,k]=residue(num,den) r= -6,0000 -4,0000 3,0000 p= -3,0000 -20000 -1,0000 k= 2Essa é a representação em MATLAB da seguinte expansão em parciais de B(s)/A(s): B( s ) 2s 3  5s 2  3s  6  A( s ) s 3  6s 2  11s  6 6 4 3    2 s  3 s  2 s 1 Para encontrar L-1{.} basta usar a tabela. Para sistemas que tenham pólos com multiplicidade, deve-se observar a seqüência de re p no MATLAB. 42
  44. 44. Expanda a seguinte B(s)/A(s) em frações parciais com MATLAB: B( s ) s 2  2 s  3 s 2  2s  3   3 A( s) ( s  1) 3 s  3s 2  3s  1Para essa função, temos: num = [0 1 2 3] den = [1 3 3 1]O comando [r,p,k]=residue(num,den)apresenta o resultado mostrado adiante. É a respresentação em MATLAB da seguinte expressão em fraçõesparciais de B(s)/A(s): B( s ) 1 0 2    A( s) s  1 ( s  1) ( s  1)3 2 num = [0 1 2 3]; den = [1 3 3 1]; [r,p,k] = residue(num,den) r= 1,0000 0,0000 2,0000 p= -1,0000 -1,0000 -1,0000 k= 0Note que o termo direito k é zero.Para obter a função original B(s)/A(s) a partir de r, p e k, insira o seguinteprograma no computador: num,den = residue(r,p,k); printsys(num,den,s) 43
  45. 45. Assim, o computador apresentará o num/den, como se segue: s ^ 2  2s  3 num/den= . s ^3  3s ^ 2  3s  1 Exemplo para sistemas com pólos complexos.Seja: 1F (s)  , pólos complexos s ( s  s  1) 2>>num=[1];>>den=[1 1 1 0];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-0.5000+0.2887i resíduos complexos-0.5000-0.2887ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=>>[num,den]=residue(r,p,k)>>>>pritsys(num,den,’s’)num/den=2.2204e  016 s ^ 2  2.2204e  016 s  1 1  s ^3  s ^ 2  1s s ^3  s ^ 2  1s  0,5  0,288  i  0,5  0,288i 1F (s)    s  0,5  0,8660i s  0,5  0,8660i s  s 1 1F (s)   s  s 1 s 23.4-Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo Considere o circuito abaixo 44
  46. 46. A tensão sobre o capacitor é vc(t). Suponha que o capacitor esteja descarregadoinicialmente, ou seja: vc (t ) t  0  0 ou vc (0)  0 Suponha que a chave seja fechada em t=0, ou seja Aque é a função degrau e L{v(t)}= . s Determine o comportamento da tensão no capacitor, vc(t), ao fechar a chave. dq dv (t ) dv (t )Sol.: para o capacitor tem-se: q=Cvc(t) ou C c  i (t )  C c dt dt dt Segundo as tensões na malha tem-se: v(t)=Ri(t)+vc(t)ouAssim: 45
  47. 47.  dv c (t )  L{v(t)}=RCL   +L{vc(t)}  dt então  RCsVC ( s )  vc (0)  VC ( s) A s  RCs  1 VC ( s )  VC ( s )  A A s s ( RCs  1)ou ainda: A RC k1 k2 VC ( s )     1  s 1 s s   s  RC  RC k1  s  VC ( s ) s 0  A  1  k2   s   VC ( s ) s  1   A  RC  RC A AVC ( s )   , segundo as linhas 1 e 6 da tabela, (pg. 30) s 1 s RC   -1  A    t t A   L     A  Ae RC 1  e RC   A  s s 1     RC Graficamente Exercício: Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito: 46
  48. 48. R1=R2=1Ω C=10-3F A chave é fechada em t=0s e vc(t)=0vExercício: Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito: R=1Ω C=10-3F L=0,2H Suponha que não tenha energia armazenada no circuito antes da chave se fechar, ouseja, vc(t)=0 e i(t)=0. Aplique o T.V.F. para determinar os valores de regime.Exercício: Resolva a seguinte equação diferencial:   x (t )  3 x(t )  2 x(t )  u (t )   0 t0sendo: x (0)  x(0)  x(0)  0 e u(t)=  1 t0 47
  49. 49. 4-Função de Transferência4.1–Definição A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariante notempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta)para a transformada de Laplace da entrada (função excitação) sob a hipótese de que todas ascondições iniciais são nulas.tem-se: Y(s)=G(s).U(s)Exemplo: Considere o controle do satélite da figura a seguir, sendo que a entradacontroladora é o torque T(t) da turbina. A saída que deseja-se controlar é a posição angular(t) do satélite.  Admita que a velocidade de rotação  (t ) e a posição angular (t) são nulas em t=0, ou seja:  (0) =0 rad/s e (0)=0 rad (C.I. nulas). 48
  50. 50. Neste caso, o torque é: T(t)=L.F(t). Aplicando a segunda lei de Newton ao presentesistema e observando que não há nenhum atrito no ambiente dos satélites temos:  Momento     Aceleração   torques   de    Angular     Inércia     ou d 2 (t ) T (t )  J  (1) dt 2sendo que J é o momento de inércia do satélite. Nosso objetivo é encontrar a função detransferência que relaciona a entrada T(t) com a saída (t). Para isso, aplicamos atransformada de Laplace em (1):   (t )  2 L{T(t)}=JL  d 2   dt     T(s)= J  s 2 ( s )  s (t ) t 0   (t )   t 0   (s) 1  (s) T ( s )  Js 2 ( s )   2   G (s) T (s) Js T (s)Esquematicamente tem-se: 1logo, G(s)= que é a função de transferência do satélite. Js 2 Genericamente a função de transferência é definida como a relação entre a saída e aentrada do sistema, ou seja: 49
  51. 51.  (s) 1 G (s)   T (s) Js 2esquematicamente,Obs.: Note que a entrada utilizada foi T(t) e é qualquer (genérico). Desta forma G(s) nãodepende da entrada. O conceito de função de transferência será muito útil neste curso, com ela analisaremose projetaremos sistemas de controle automático.Exercício: Determine a função de transferência do circuito:sendo ve(t) a entrada e vc(t) a saída. Não se esqueça: C.I. nulas.Generalização Mostraremos, a seguir, uma generalização do conceito de função de transferência. Considere um sistema linear invariante no tempo (SLIT):  Y ( s )   y (t )e  st dt 0 Suponha que u(t)=0 para t<0 e que as condições iniciais são nulas:  ( n 1)  (m) y(0)= y (0)  ...  y (0)  0 e u (0  )  u (0  )  ...  u (0  )  0 O sistema é descrito pela equação diferencial:  ( n 1) ( n)  (m) a o y (t )  a1 y (t )  ...  a n 1 y (t )  y  bo u (t )  b1 u (t )  ...  bm u (t ) (1)Obs.: Já provamos no capitulo 2 (exemplo 4) que este sistema dinâmico é linear. Se ai e bisão constantes, então é SLIT. Aplicando a Transformada de Laplace em (1) temos: 50
  52. 52.     aoY ( s )  a1 sY ( s )  y (0  )  ...  s nY ( s )  s n 1 y (0  )  ...  y ( n 1)  boU ( s )  )  ...  b s  (2)  b1 sU ( s )  u (0  m m n 1  U ( s )  s u (0 )  ...  u o ( n 1)  ( n 1) Como: y (0  )  y (0  )  ...  y (0  )  0 e u(t)=0 para t<0 (logo todas as derivadas de u(t)são nulas para t<0), a equação (2) torna-se a o Y ( s)  a1 sY ( s)  ...  s nY ( s)  boU ( s)  b1 sU ( s )  ...  bm s mU ( s)ainda:    Y ( s ) ao  a1 s  ...  s n  U ( s ) bo  b1 s  ...  bm s m  (3) Porém a função de transferência é a relação entre a saída e a entrada do sistema, para Y ( s)determiná-la isolamos em (3): U (s) Y ( s ) bo  b1 s  ...  bm s m   G ( s ) (função de transferência genérica) U (s) ao  a1 s  ...  s nEsquematicamente temos:tem-se: Y(s)=G(s).U(s) Observe que a F.T. genérica é uma razão entre dois polinômios genéricos.Obs.:1. G(s) independe do valor da entrada, é uma característica do sistema.2. Se u(t)=(t) (impulso unitário), temos U(s)=1 logo Y ( s )  G ( s ).U ( s )  G ( s ).1  Y (s)  G (s) Portanto, a resposta Y(s) ao impulso de um sistema é matematicamente igual à funçãode transferência G(s) do sistema.3. A F.T. relaciona a entrada e a saída do sistema de uma forma geral. Como obter a Função de transferência 51

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