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Importância do teorema fundamental do cálculo na contabilidade

  1. 1. Importância do Teorema Fundamental do Cálculo na Contabilidade MÁRCIA FERREIRA NEVES DA SILVA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO GEIZIANE BRAGA MONTEIRO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO MARIA LUCIANA DS SILVA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO JULIANA CÂNDIDA RIBEIRO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo: Vive-se na era do conhecimento e em um mundo globalizado, trazendo por conseqüência a exigência de um profissional mundial e não mais restrito ao âmbito nacional e/ou regional. Dentro desse contexto, surge a necessidade de reformulação da formação do profissional, especificamente do profissional contábil, e esse precisa da interdisciplinaridade no âmbito da sua formação para conseguir se manter competitivo no cenário global. Diante disso, esse trabalho tem como ponto norteador demonstrar a importância da junção entre as Ciências Matemáticas (Matemática, Estatística e Informática) e as Ciências Contábeis, ratificando a relevância da Contabilometria. Para tanto, será utilizado o Teorema Fundamental do Cálculo que serve para a Contabilidade, representada aqui pela Auditoria e Fundos de Pensão. O método científico utilizado neste trabalho será o de abordagem dedutiva, conforme Lakatos & Marconi (1991). Este método permite que a conclusão esteja no conteúdo das premissas. A técnica a ser adotada para a realização da pesquisa foi a documentação indireta, pois foram consultados livros, publicações científicas, artigos de internet, papers,revistas, jornais e monografias. Palavras-Chaves: Contabilometria, Ciências Contábeis, Ciências Matemáticas e Interdisciplinaridade. Considerações iniciais: Apresentação, Fundamentação e Referenciais Teóricos. A presente conjuntura nacional e por quê não internacional, requer hoje, mais do que nunca passar por um processo amplo de avaliação com vistas à construção de um Programa de Modernização do Sistema de Ensino da Graduação em Ciências Contábeis, que permita repensar de forma mais nítida a realidade administrativa, social, econômica, financeira e contábil do país, em particular das Regiões Norte e Nordeste, com vistas a orientar mais adequadamente os seus rumos e suas ações face aos atuais desafios da globalização, principalmente, no contexto da empregabilidade e, é aqui que se agrava uma necessidade premente da ênfase nos métodos e técnicas científicas na formação profissional em Ciências Contábeis sem perder de vista a ética e a prática contábil. Nesta ótica, focalizando um programa de iniciação científica direcionada a formação profissional do contador contemporâneo, inserido numa economia mundializada e cada vez mais competitiva, que contemple um perfil profissional relevando a responsabilidade social de seus egressos, sua atuação técnica, instrumental e científica, articulada com outros campos do saber e principalmente evidenciando o domínio de habilidades interdisciplinares. Surge a necessidade de programas estratégico piloto para jovens-contadores, que no seu desenvolvimento torna-se fundamental a vivência da nos currículos de graduação (formação
  2. 2. inicial do contador em Ciências Contábeis) por meio dos Métodos Quantitativos Aplicados de modo interativo no estudo dos fenômenos contábeis, principalmente na dimensão preditiva como suporte à tomada de decisões gerenciais inovadoras. Nesta direção, este trabalho se difere por ser parte da implantação de um projeto piloto no nível de iniciação científica construído efetivamente na interação do ensino/pesquisa e o intercâmbio científico e fundamentado nas disciplinas iniciais das Ciências Matemáticas (Matemática, Estatística e Informática ministradas no contexto interdisciplinar) nos currículos dos cursos de Ciências Contábeis, tendo como ponto basilar à ação interdisciplinar do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado às Ciências Contábeis, construindo modelos contabilométricos para estudar fenômenos econômico-financeiro-contábeis relevantes ao gestor contábil. Contudo, o ponto central deste trabalho não é o seu resultado técnico, mais sim mostrar que na construção de projetos acadêmicos para cursos de Ciências Contábeis no século XXI deve-se ter como objetivos: Identificar alunos da Graduação em Ciências Contábeis com interesse na pesquisa científica e preparar alunos-pesquisadores juniores na área Contabilometria nas Ciências Contábeis. Contabilidade e Métodos Quantitativos Contabilidade A contabilidade tem como objetivo principal fornecer informações econômicas para que cada usuário possa tomar suas decisões e retirar seus julgamentos com segurança. A Contabilidade fornece relatórios sobre a situação patrimonial, financeira e econômica das entidades. Considerando que a Contabilidade ainda só é capaz de captar e registrar eventos mensuráveis em moeda e que os relatórios não expressam a realidade financeira e econômica da entidade, mesmo que estatisticamente, e ao tomarmos decisões muitos outros elementos devem ser considerados, deve-se então buscar um grupo de disciplinas suporte para auxiliar o processo da análise das demonstrações contábeis. Desta maneira, a interdisciplinaridade com os Métodos Quantitativos - Matemática, Estatística e Informática pensados de forma integrada – surge como forma de completar este processo técnico-científico. De fato, a Contabilidade tradicional, com seus relatórios baseados em informações do passado tem sido bastante eficiente no desempenho do seu papel de fornecedora de informações para tomada de decisões no presente. Porém, historicamente, a Ciência Contábil tem se preocupado demasiadamente com o passado e muito pouco com o futuro (Iudícibus,1982). Felizmente, este cenário vem mudando nas últimas décadas e o que se vê é um movimento crescente no sentido de se criar uma Contabilidade Preditiva, ou seja, que aplique os Métodos Quantitativos como auxílio à tomada de decisões, com base em experiências do passado, ou por meio de modelos de simulação. Daí, nasce uma nova área de conhecimento na Ciência Contábil, a Contabilometria, nome este dado por Iudícibus (1982), que utiliza os Métodos Quantitativos como processo de análise e de previsão. Métodos Quantitativos Um dos sinais de uma pessoa instruída é sua capacidade de reconhecer e aceitar mudanças que prometem melhores maneiras de se atingir os objetivos. O contador ainda é o maior especialista em aspectos quantitativos em quase todas as organizações. Para manter e
  3. 3. melhorar sua posição, deve estar ciente de como os modelos matemáticos podem melhorar o planejamento e o controle. Os Administradores atentos esperariam, naturalmente, que seus Contadores se mantivessem atualizados acerca das técnicas quantitativas mais novas (Horngren, 1985). Silva et al (1999) esclarecem que a Teoria das Probabilidades permite construir modelos matemáticos que explicam um grande número de fenômenos coletivos e fornecem estratégia para a tomada de decisões. Figueredo e Moura (2001) afirmam: 1- A ciência contábil, vista como um sistema de informação para apoio a decisão, é, efetivamente, forte base conceitual dessa tendência de utilização de modelos quantitativos para otimização da informação oferecida (...) 2-(..) Assim, o conhecimento e a utilização dos instrumentos estatístico e matemático pelos profissionais de Contabilidade não poderá deixar de ser item importante em seus currículos neste milênio. Métodos Quantitativos Aplicados às Ciências Contábeis Para fixar idéias, considere um mercado M e uma empresa E neste mercado. Tome, agora, como foco a questão da tomada de decisão empresarial ou em outras entidades. Na verdade, as avaliações qualitativas e quantitativas de apoio às condições econômicas e de negócios variam ao longo do tempo e os gestores precisam encontrar maneiras eficazes de se manter a par dos efeitos que essas mudanças terão em suas transações. Um método importante que os gestores podem empregar, como ajudar ao planejamento estratégico da empresa, é o método de previsão. De fato, são muitos os métodos existentes de previsões, porém, todos têm um objetivo comum – fazer previsões sobre eventos futuros de modo que essas projeções possam ser incorporadas aos processos de tomada de decisões. Na verdade, fundamentalmente existem dois métodos de previsão: Qualitativo e Quantitativo. Portanto, o entendimento destes métodos nos leva a uma questão básica: Qual é a característica fundamental da investigação científica no contexto da previsão? É claro, que é o seu caráter cíclico e interativo. Nesta ótica, pode-se explicitar que uma característica básica da investigação científica da previsão é, realmente, o seu caráter cíclico e interativo. Portanto, os Métodos Qualitativos são Métodos de previsão especialmente importantes quando os dados históricos não se encontram disponíveis e exige alto conhecimento qualitativo do problema em questão (Isto é, exige uma grande experiência do preditor). De fato, estes Métodos são vistos como altamente subjetivos e passivos de avaliação. Por outro lado, os Métodos de previsão quantitativos fazem uso de dados históricos. Além disso, no diagrama 2 tem-se: (1) A etapa da indução (neste estágio é exigido a intuição do preditor) enquanto na etapa (3) tem-se o estágio da dedutibilidade da previsão – dedução da previsão, para tanto é necessário que o preditor tenha conhecimento de metodologias científicas associadas ao fenômeno contábil em questão para escolher a teoria na etapa (2) a ser aplicada na resolução do problema ou escolha do modelo matemático adequado. Modelos Matemáticos
  4. 4. Em outras palavras, uma representação matemática de uma situação prática é chamada um modelo matemático. Em outros termos: Assim, as Ciências Matemáticas (Matemática +Estatística+ Informática) formam os pilares básicos fundamentais para a construção da ponte entre o Mundo Real (Mundo das entidades:empresas,mercados) e o Mundo das Ciências Contábeis quantitativas (Contabilometria). Interdisciplinaridade e Contabilometria Interdisciplinaridade: Lenoir (1998,p 48-49) apresenta a dupla visão interdisciplinar. A primeira se refere à perspectiva conceitual (tendência européia): 1. Objetivos - Construir um quadro conceitual global que poderia, em uma ótica de integração, unificar todo o saber científico; 2. Buscar unidade do saber ; 3. Pesquisa de uma experiência; e 4. Preocupação fundamentalmente de ordem filosófica e epistemológica. A segunda se refere à perspectiva instrumental (tendência anglo-saxônica): 1. Objetivos- Resolver problemas de existência cotidiana com base em práticas particulares e; 2. Recursos às questões e aos problemas sociais e contemporâneos aos anseios da sociedade Em resumo, pode-se afirmar que a interdisciplinaridade significa interação com uma ou mais disciplinas e é o resultante de um processo intencional e planejado, que requer participação e trabalho de equipe. As Ciências Matemáticas A Matemática tem acompanhado a evolução da intelectualidade humana por meio do desenvolvimento do conhecimento adquirido quando se procura entender a relação entre o “pensamento puro” e o mundo real. Já, na análise das mutações orgânicas que transforma o mineral em vegetal, o vegetal em animal, o animal em vegetal, o animal em mineral e vice- versa,bem como as próprias transformações processadas em cada reino, vê-se que elas constituem a própria essência do que pode-se denominar de vida. Além disso, pode-se procurar entender qual é o sentido da vida . Isto está imbricado com todo o desenvolvimento da Teologia, Filosofia, e das Ciências de um modo geral. No que se refere às Ciências Matemáticas procura explicar através das transformações geométricas, algébricas, topológicas, etc o mundo real. Na verdade as Matemáticas procuram entender a “engenharia” da construção da ponte entre o pensamento puro e o mundo real. De fato, essa “engenharia” está fundamentada em três pilares: 1.A pragmática. Que ensinou a humanidade a resolver problemas e a dominar as forças da natureza; 2. a estética-guiada pela busca da beleza do pensamento puro;3. a dialética- gerando contínua intenção entre regras da Matemática e as descobertas da Matemática.
  5. 5. O desenvolvimento da Matemática levou as descobertas de leis na Física, na Astronomia, nas Ciências Econômicas, nas Ciências Administrativas, nas Ciências Contábeis e em inúmeras outras Ciências permitindo ao humano a conquista da riqueza e do poder. A Matemática aplicada utiliza e provoca a criação de teorias matemáticas para solucionar problemas científico e tecnológico. Freqüentemente, as aplicações consistem na construção de modelos matemáticos que pode refletir de modo significativo, ainda que simplificado, o comportamento e a estrutura de um sistema concreto(de natureza física, biológica, econômica, contábil,etc.) cujo funcionamento seja necessário para analisar ou prever.É importante observar que a separação entre Matemática Pura e Aplicada não é nítida e nem definitiva; muitos resultados que são hoje utilizados para resolver problemas aplicados eram considerados no passado como parte de teorias abstratas, que muitas vezes se supunha, não teriam nenhuma aplicação prática. Por outro lado, muitas teorias abstratas tiveram sua motivação em problemas concretos(Santos,2001). Contabilometria: uma metodologia cientifica Segundo Santos ( 2004) a contabilometria, na verdade, não seria a simples aplicação de método quantitativo nos problemas contábeis, mas sim as ciências as ciências matemáticas integradas as ciências contábeis na resolução de problemas concretos empresariais ( ou de outras entidades) no contexto interdisciplinar. Embora, sabe-se que as ciências matemáticas na solução de certos problemas práticos das ciências contábeis servem como ferramenta, porem certamente não é essa a maior contribuição que as ciências matemáticas pode oferecer a contabilidade. Segundo Iudícibus de forma pioneira define-se contabilometria como “.... a analise quantitativa de fenômenos contábeis reais baseados no desenvolvimento concomitante da teoria e da observação, relacionados através de métodos apropriados de inferência”. Exemplo 1- Mincer (1974) construiu um modelo matemático, em que considera os efeitos do treinamento profissional sobe os salários. Genericamente tem-se o seguinte modelo funcional: niUZiXiSifLny ii ,...,2,1,),,( =+= Onde é o logaritmo natural do salário do individuo i, é a medida do nível educacional daquele individuo, é um índice do estoque de experiência em capital humano, são outros fatores que afetam a renda com cor /raça, sexo, região geográfica do indivíduo etc, e Vi é o termo de erro radônio que reflete as características de habilidade inerente as estatísticas salariais. É usualmente assumido que Vi é normalmente distribuído com média zero e variância constante. iLny iS iX iZ Exemplo 2 : Zalenka (1958,p 69) obtenha um modelo através de equação diferencial fundamental para calcular a reserva matemática de um Regime próprio de Previdência Social: dttBdttStCdttVtdV )()()()()( −+= δ Onde seja força da taxa de juros, C a função contribuição, a função salário segurado, a função despesas e V a função reserva matemática do fundo de pensão municipal. Este trabalho mostra como obter a reserva matemática explicitamente por mais do teorema fundamental do Calculo juntamente com aplicações das técnicas de integração. δ )(t )(t )(tS B )(t
  6. 6. De fato , a arte da contabilometria consiste em estudar modelos e modelagens das ciências matemáticas associados a fenômenos contábeis reais como uma metodologia cientifica ou mais geralmente ela é uma área de conhecimento das ciências contábeis que procura obter metodologias novas ou inovadoras fundamentadas nas ciências matemáticas para resolver problemas concretos contábeis. Assim a contabilometria se ocupa da determinação empírica dos princípios e procedimentos contábeis, Istoé, o método da pesquisa contabilométrica visa, essencialmente a uma conjunção da teoria contábil com “medidas concretas”, usando como ponto basilar a teoria e técnicas das ciências matemáticas. Note que, a capacidade explicativa de um modelo contabilométrico é tanto melhor quanto maior o espectro de dados que ele pode explicar. O modelo deve abraçar um maior numero de dados contábeis possíveis disponíveis e relevantes. Segundo Marion e Silva (1986), discute-se muito se um certo conjunto de dados é relevante para um certo modelo funcional. Claramente não funciona definir como relevantes para um modelo apenas aquele dado consistente com o mesmo. Em resumo, pode-se construir um diagrama que representa um modelo contabilométrico partindo do exposto acima e do diagrama mostrado por Marion e Silva (1986, p – 39). Diagramas: Modelo Contabilométrico In Put Metodologia Contabilométrica Dados Contábeis disponíveis e relevantes. Explicação sobre os dados contábeis. Out put Portanto, quanto mais geral o modelo contabilométrico, maior o número de dados relevantes poderá abranger. Em síntese, o exposto acima mostra que uma formação mais aprofundada do contador em Métodos Quantitativos poderia ocupar áreas não bem definidas entre finanças, administração da produção e contabilidade, que levam vantagens de conhecer as origens das informações financeiras – contábeis ( o processo ) alem de possuir o retrato financeiro – econômico da empresa. De fato é notório que ainda, pelo menos no Brasil, a contabilidade e o contador se utilizam rudimentarmente do raciocínio puramente aritmético (Iudícibus, 1982) quando poderiam ganhar muito mais operacionalidade se alocassem em modelos em modelos contabilométricos, principalmente quando de desejam antecipar, para prever ou estimular de alguma forma, o que ira ocorre no futuro de uma empresa ou entidade. Porém, não de pode perder de vista que um modelo contabilométrico deve ser suficientemente simples de forma que o fenômeno contábil que ele representa possa ser entendido claramente e alem disso as operações aritméticas, algébricas , analíticas e topológica ou probabilística possam ser realizadas com precisão destro do contexto das ciências matemáticas.
  7. 7. O Teorema Fundamental do Cálculo na Contabilidade Aspectos Matemáticos Focalizando a premissa sobre as habilidades na formação do bacharel em Ciências Contábeis na era do conhecimento que é desenvolver e aplicar raciocínio, concebido por meio dos Métodos Quantitativos de modo interdisciplinar com a contabilidade, para a identificação, mensuração e acumulação de eventos de natureza econômica, com vista a sua comunicação, sob a forma de informações contábeis, em relatórios que contribuam para o desempenho eficiente e eficaz das empresas e de outras entidades. Na formação inicial do contador contemporâneo, principalmente na fase propedêutica uma sólida formação em Métodos Quantitativos aplicados às Ciências Contábeis. Portanto, é aqui que brota a necessidade de um método matemático importante para aplicações na Contabilidade que é o Teorema Fundamental do Calculo. T.F.C- Sejam f: [a,b] ---- R uma função contínua e F:[a,b] – R uma primitiva de f em [a,b], isto é, ( ) ( ) [ ]baxxfxF ,` ∈∀= Então: ( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxf b a b a −==∫ Interpretando 1. Geometricamente Suponha que , assim podemos ter:0≥f a b ( ) ( )∫ = b a RAreadxxf = área da região R Isto é, a integral definida de f sobre o intervalo[a,b] mede a área da região sob o gráfico da curva y= f(x) de a até b. Portanto, esta área medida a variação da primitiva F de f em [a,b]. De fato, o T.F.C garante que , então F(b) – F(a) = Área (R).( ) ( ) ( ) (aFbFdxxfRArea b a −== ∫ ) 2. No contexto prático pode-se, também, usar o T.F.C para calcular o valor total de uma certa grandeza F , que é primitiva de uma função f contínua, em um intervalo . Considerando as seguintes etapas:bxa ≤≤
  8. 8. Etapa 1 : Divida o intervalo em n subintervalos iguais o de largurabxa ≤≤ n ab x − =∆ . Para I=1,2 …n, escolha um número ix que pertença ao intervalo de ordem [ ]ii xxi ,1− . Etapa 2 : Aproxime a contribuição do intervalo I para o valor total da grandeza por ( ) xxf i ∆ . Some as contribuições de todos os intervalos para obter o total estimado ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) xxfxfxf xxfxxfxxfSn n n ∆++= =∆+∆+∆= ... ... 21 21 Etapa 3 : Calcule o limite da soma acima quando n tende a infinito para obter o valor exato da grandeza, segundo a definição da integral definida por Riemann. Etapa 4 : Use a definição da integral definida (Riemann) juntamente com a aplicação do T.F.C, assim ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∆++∆+∆ −== ∞− b a m aFbFdxxf n xxfxxfxxf ...21lim , então tem-se o valor total de uma certa grandeza F num intervalo a .bx ≤≤ Etapa 5 : Seja F: [a,b] –R definida por então para . Se o valor médio de f em [a,b] é dado por ( )∫ b a dttf ( ) ( ) )(´ xfxF = bxa ≤≤ ( )dxx∫ b a f a− = b f 1 Vm . Nota-se que as integrais definidas estão envolvidas em diversas situações concretas: usando a taxa segundo a qual a área de um tanque encontramos a quantidade que vazou durante um certo período; usando a leitura do velocímetro do carro podemos calcular a distância percorrida por ele em um dado intervalo de tempo; usando o conhecimento das potências consumida encontramos a energia usada durante um dado dia em Recife. Lei de Newcomb-Benford Aplicado a Auditoria Contábil e Digital A auditoria é uma especialidade dentro das Ciências Contábeis cujo objetivo é verificar a veracidade das informações contidas nos relatórios contábeis.Não se sabe precisar a data dos inícios das atividades de Auditoria, porém seu desenvolvimento está intimamente relacionado com o desenvolvimento do próprio capitalismo. A Inglaterra no século XVIII foi à pioneira nessa atividade, pois possuía principalmente após a Revolução Industrial, grande e complexas empresas. O auditor externo ou independente é um profissional que emite um parecer, através de uma opinião fundamentada, sobre as demonstrações contábeis.Porém, para emitir essa opinião fundamentada é necessário examinar todos os lançamentos contábeis relativos ao exercício social em questão?Não, pois caso o Auditor optasse em analisar todos os lançamentos os custos de suas atividades aumentaria consideravelmente e a informação dada por esse profissional perderia sensivelmente sua utilidade, pois não seria tempestiva. Sendo assim, a
  9. 9. NBC T 11 possibilita a utilização de “métodos de amostragem estatística” na determinação da extensão dos procedimentos de auditoria e do método de seleção de itens a serem testadas As obtenções de amostras estatísticas se dá através da aplicação de modelos em Ciências Matemáticas. Diante dessa afirmação surge um questionamento: A contribuição das Ciências Matemáticas às Ciências Contábeis, em particular ao ramo denominado de Auditoria, limita- se apenas à extração de amostras? A resposta é não e será demonstrada que as Ciências Matemáticas podem contribuir muito mais para a Auditoria. Dentro das Ciências Matemáticas existe uma lei denominada de Newcomb-Benford. Tal lei foi descoberta empiricamente pelo astrônomo e matemático Newcomb (1881) quando, ao acaso, observou que as primeiras páginas das tábuas de logaritmos, nas bibliotecas, eram as mais manuseadas (mais sujas e estragadas que as outras).Isto é, as pessoas iam muito mais à busca dos valores dos logaritmos que começavam por um do que aqueles que começavam com o dígito nove. Esse fato também foi comprovado por Benford de forma independente cinqüenta e sete anos depois. Essa lei que serve para detectar desvios de padrões contábeis (erros ou fraudes) é pouco utilizada no Brasil, pois a maioria dos Auditores não possui conhecimento sobre ela e também por não existir literatura brasileira que a exponha (os poucos trabalhos que se tem publicado nessa área foi escrito por Santos et al, fazendo um estudo de caso nos estados de Pernambuco, Paraíba e Rio Grande do Norte). Como se percebe essa lei é de grande importância, pois permite que através de métodos quantitativos os auditores possam dar seu parecer com bases mais seguras. Demonstração da lei de Newcomb-Benford Supondo que exista uma distribuição de probabilidade P(x), onde esse seria o espaço amostral, ou seja , o conjunto de dígitos possíveis de acontecer. Define-se que uma função F é invariante escalar se e somente se F(λ(x) = λ(k)p(x) . P (x) = λ(k) p(x) Como se pode supor que ƒp(x)dx=1 (hipótese de normalização). E usando a técnica de integração por substituição para resolver o cálculo diferencial tem-se: ƒ p(kx) = ƒ λ(k)p(x)dx u(x) = kx du(x) = k 1/k ƒ pudu = λ(k)ƒ p(x)dx 1/k.1 = λ(k).1 λ(k) = 1/k Derivando a equação (1) em função de k, ou seja, na variável k, temos: (1) p(kx) = λ(k)p(x) p(kx)’.x + p(kx).x’ = p(x)λ’(k). p’(kx).x = p(x) λ’(k). e para k=1, resulta na equação diferencial: p’(1.x).x = p(x). λ(k)
  10. 10. λ(k)= 1/k p’(x).x = p(x).(1/k)’ p’(x).x = p(x). (-k’/k2 ) p’(x).x = p(x). (-1) (2) p’(x).x = - p(x) Integrando (2), temos: x.p’(x) dx= –p(x) dx p’(x)/p(x) = -1/x x=t 1ƒx p’(t)/p(t) = 1ƒx -1/t Ln p(x) = -Ln x Ln p(x) = Ln x-1 Pela injetividade logarítmica p(x) = 1/x A distribuição p(x) = 1/x não representa uma distribuição de probabilidade própria, mas como os fenômenos reais impõem um ponto de corte na distribuição, podendo-se, assim, ser considerada esta distribuição para efeito dos cálculos das probabilidades a ocorrência do primeiro dígito. Então Utilizando o teorema Fundamental do Cálculo, temos: P (primeiro dígito significativo = d) = dƒ d+1 p(x) dx Ln(d+1) – Ln(d) = 1ƒ10 p(x)dx Ln(10) – Ln(1) = Ln (d+1/d) =log10 (d+1/d) Ln 10 Portanto, fica demonstrado que a probabilidade de um dígito como por exemplo o dígito 1 é de log10 (1+1/d) = log10 2 = 0,30103. Além disso, está deduzida, de forma simplificada, a Lei de Newcomb-Benford, demonstrando a importância do Teorema Fundamental do Cálculo, uma vez que esse é utilizado na demonstração dessa lei.
  11. 11. Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo na Obtenção de um Modelo da Reserva Matemática para Fundo de pensão Municipal. As entidades fechadas de previdência privada, usualmente conhecida como Fundos de Pensão, surgiram como uma resposta às limitações da Previdência Social em garantir maior segurança aos trabalhadores e seus familiares em situações adversas como doença, invalidez e morte, e em assegurar um futuro mais tranqüilo na aposentadoria. Ela se destina a administrar planos específicos de previdência complementar, vinculado ou não ao regime de Previdência Oficial, e são mantidos por empresa ou conjunto de empresas denominadas Patrocinadoras. Seus planos previdenciários são direcionados aos empregados das Patrocinadoras que, uma vez filiados, passam a ser denominados, Participantes. A instituição do sistema previdenciário no Brasil aconteceu em 1977, com a promulgação da Lei 6435, em 15 de julho daquele ano, disciplinando o funcionamento das entidades de previdência privada. A idéia socializante da constituição de um fundo de pensão é essencialmente a reunião da empresa e de seus empregados que, através de contribuições mensais, formam um fundo a ser aplicado no mercado financeiro, para garantir os benefícios aos seus participantes. No entanto, a função social destas entidades ultrapassa as fronteiras deste grupo de empresas e empregados, já que, com a formação dessa grande poupança interna, investe-se em diversos segmentos produtivos da economia do país, gerando milhares de novos empregos e estimulando o desenvolvimento nacional. Os fundos de pensão brasileiros começaram a ser criados na década de 70. Naquela época, as empresas estatais garantiam a aposentadoria integral a seus trabalhadores. Por decisão política, o governo acabou com a aposentadoria integral e obrigou os trabalhadores a contribuir, em conjunto com as empresas, para a criação de fundos de pensão que garantiriam o pagamento de complementação de aposentadoria, além do teto de benefícios garantido pelo INSS. Várias empresas privadas também criaram fundos de pensão para garantir melhor benefício aos seus executivos, após a aposentadoria. Outro objetivo governamental ao criar os fundos de previdência foi incentivar o mercado de capitais, e as reservas acumuladas pelos fundos tiveram importante papel de alavancar as bolsas de valores brasileiras A importância dos Fundos de Pensão está presente, portanto, não apenas no contexto social mas, também, no econômico, um dos segmentos fundamentais para viabilizar o desenvolvimento do país. Com um montante aproximado de R$ 172 bilhões, estes fundos são hoje o maior mecanismo de poupança interna nacional. Se bem aplicados, estes recursos podem atender plenamente ao seu objetivo principal e ainda render dividendos sociais de valor inestimável, como geração de emprego e garantir investimentos que viabilizem o crescimento da economia. No contexto das ciências Contábeis e Atuariais, o estudo de modelos contabilométricos, advindos dos Métodos Quantitativos, são entre outros utilizados para se fazer projeções e previsões comportamentais das variáveis, como por exemplo: Reserva R(t), Contribuição C(t), Benefício B(t), tomando como certo que existirá um fluxo de renda para o infinito, essas variáveis que são responsáveis pelo funcionamento do Sistema Previdenciário, sem as quais esse sistema não se sustentaria. Na visão contábil, esses métodos dão fidedignidade à gestão de ativos e passivos previdenciários , prezando por uma contabilidade preditiva e pró-ativa, quebrando toda e qualquer retrocessão as tradições de uma contabilidade que só se preocupa com o presente e não é capaz de olhar para o futuro. Reservas Matemáticas para Fundos de Pensão
  12. 12. Reservas Matemáticas- É o valor determinado pelo processo matemático,que equilibra as responsabilidades futuras,num contrato,entre a “entidade” e “participante”,ou seja, é a diferença entre os encargos da entidade e do participante,avaliados pela mesma tábua de mortalidade,taxa de juros e á mesma época. Reserva Terminal Pura: Método Prospectivo- É a diferença entre o valor atual das futuras obrigações da entidade e do participante,ambos na época do cálculo. Reserva= (Valor Presente dos Benefícios Futuros)-(Valor Presente dos Prêmios Futuros) Assim, a visão prospectiva olha o futuro e estabelece a equação acima. Método Retrospectivo-É a diferença entre o montante das obrigações passadas da entidade e do participante,avaliados á mesma época e ás mesmas taxas de juros e de mortalidade. Reserva= (Valor Presente dos Prêmios Passados)-(Valor Presente dos Benefícios Passados)(2) Nesta ótica, a visão retrospectiva olha para o passado que no mesmo momento estabelece a equação(2) acima. Modelos Contabilométricos para Financiamento do Regime Próprio de Previdência Social. O processo dinâmico futuro de um SPSS é determinado, em primeiro lugar,pelas características demográficas e econômicas-financeiras da população inicial coberta. Além disso, é influenciado ainda por uma série de fatores demográficos e econômicos-financeiros que ocorrerão ao longo de toda a existência do sistema. Em geral, estes parâmetros variam com o tempo. Para o presente proposto, que é determinar um modelo de reserva Matemática para um R.P.P.S considera-se os seguintes parâmetros e funções-chave que caracterizam o desenvolvimento financeiro de um SPSS: -Parâmetros Demográficos e econômicos; -a força da taxa de juros:δ -a força do crescimento dos novos entrantes ρ -a força do crescimento dos saláriosγ -a força da inflação é denotado por σ Funções-chave: - a função despesas B(t) - a função salário segurado S(t) - a função taxa de contribuição C(t), que caracteriza o método de financiamento - a função reserva matemática RM(t), que representa o excesso de entradas sobre as saídas,acumulada com juros de força δ Modelo Matemático de Zalenka
  13. 13. Para determinar a função reserva matemática RM(t) em relação aos parâmetros demográficos econômicos e financeiros acima mencionados. Zalenka em 1958 criou uma equação da forma: =+ = + A variação mais reservas em qualquer pequeno intervalo de tempo ),( dttt + Rendimento do Investimento das Reservas no mesmo intervalo de tempo ),( dttt + Excesso da receita das contribuições sobre a despesa com benefícios no mesmo intervalo de tempo ( )dttt +, Em termos matemáticos tem-se a seguinte equação diferencial. dttBdttStCdttRMtdRM )()()()()( −+= δ Desde que as despesas sejam iguais aos totais dos benefícios dttBtStCdttRMdttRM )()()()()(' −+= δ [ dttBtStCdttRMtRM )()()(])()(' −=− δ dttBtStCedttRMtRMe tt )]()()([)])(()('[ −=−+ −− δδ δ [ dttBtStCetRMetRMe ttt )]()()([)])(()(' −=−+ −−− δδδ δ [ dttBtStCedtetRM tt )]()()([]')( −= −− δδ Portanto, a equação acima tem a seguinte interpretação: A variação da taxa da Reserva Matemática do sistema do RPPS (Regime Próprio de Previdência Social) em valores presente em um intervalo de tempo (t; t + dt) é igual, ao excesso das taxas dos salários em relação aos benefícios em termos de valores presentes no intervalo de tempo (t ; t + dt) A expressão da reserva matemática é obtida explicitamente a partir do T.F.C. (Teorema Fundamental do Cálculo).no intervalo (m,n) da seguinte maneira: ∫∫ −− −= n m t n m t dtetBtStCdtetRM δδ )]()()([]')([ ∫ −−− −=− n m tmn dtetBtStCemRMenRM δδδ )]()()([)()( ∫ −−− −+= n m tmn dtetBtStCemRMenRM δδδ )]()()([)()( ∫ −− −+= n m tnmn dtetBtStCeemRMnRM δδδ )]()()([)()( )( Para m=0, tem-se: ∫ − −= n o tn dtetBtStCenRM δδ )]()()([)(
  14. 14. Levando em conta o equilíbrio atuarial terminado pela lei vigente, isto é: a equivalência das receitas e dos pagamentos pode ser expressa igualando o valor presente das contribuições futuras ao valor das despesas futuras no início do sistema e levando em conta que o valor do dinheiro no tempo tem-se: ∫∫ −− = n t n t dtetBdtetStC 00 )()]()([ δδ Assumindo que as duas integrais impróprias convergem se > , tem-se:δ γρ + ∫∫ ∞ − −∞ = 00 )()]()([ dtetBdtetStC t t δ δ e além disso, a equação fundamental do equilíbrio para o sistema de Previdência Social implica que: ∫∫ ∞ −− −=− n t n t dtetStCtBdtetBtStC δδ )]()()([)]()()([ 0 Substituindo a equação a seguinte expressão prospectiva da reserva matemática é obtida: ∫ − −= n o tn dtetBtStCenRM δδ )]()()([)( ∫ ∞ − −= n tn dtetStCtBenRM δδ )]()()([)( Conclui-se que se observarmos o sistema em toda a sua existência, do ponto de vista inicial, qualquer função de contribuição C(t) que satisfaz a equação , constitui um método de financiamento teoricamente possível para o novo sistema de previdência social e leva a correspondente função reserva matemática RM(t) dado por . No entanto, questões práticas nos levam à necessidade de impor condições sobre C(t) e RM(t). ∫∫ ∞ − −∞ = 00 )()]()([ dtetBdtetStC t t δ δ RM ∫ ∞ − −= n tn dtetStCtBen δδ )]()()([)( Além disso, os valores negativos de C(t) - implicam que o sistema está reembolsando aos contribuintes - ou valores negativos de RM(t) – implicam que o sistema está tomando emprestado para pagar benefícios correntes. Necessitamos portanto excluir estas possibilidades. Simbolicamente é necessário que e para todos os valores de t. a imposição destas condições sobre C(t) e/ou RM(t) leva-nos a vários métodos de financiamento para sistemas de previdência social. 0)( ≥tC 0)( ≥tRM Considerações Finais É de relevância para o profissional contábil, a utilização dos métodos quantitativos pois esses são capazes de fornecer informações de forma mais precisas, uma vez que a Contabilidade ainda só é capaz de captar e registrar eventos mensuráveis em moeda e que os relatórios não expressam a realidade financeira e econômica da entidade, mesmo que estatisticamente. Na tomada de decisões muitos outros elementos devem ser considerados, deve-se então buscar um grupo de disciplinas suporte para auxiliar o processo da análise das
  15. 15. demonstrações contábeis. Desta maneira, a interdisciplinaridade com os Métodos Quantitativos - Matemática, Estatística e Informática pensados de forma integrada – surge como forma de completar este processo técnico-científico. Dentro desse contexto o Teorema Fundamental do Cálculo assume significância (em termos de aplicabilidade) para a Contabilidade pois o contador através desse, pode verificar a variação de uma grandeza num dado intervalo de tempo.Assim, demonstra-se que o ensino de uma nova metodologia,Contabilometria, faz-se necessário dentro do curso de graduação de Ciências Contábeis. Referências Bibliográficas: GOLDSTEIN,Larry J.LAY, David C.,SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada. Editora Bookman, Porto Alegre, 2000. GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica. Editora Makron Books Ltda, São Paulo, 2000. HOFFMAN, Laurence D.,BRADLEY,Gerald L. Cálculo um curso Moderno e suas Aplicações, 7ª edição.Editora JC ,2002. IUDÌCIBUS, Sérgio de. Existirá a Contabilometria. Revista Brasileira de Contabilidade ,1982. IUDÌCIBUS,Sérgio de. Teoria da Contabilidade. 6ª edição. Editora Atlas,2000. LAKATOS, Eva Maria.; MARCONI, Marina de Andrade, 1923-.. Fundamentos de metodologia cientifica. 3.ed. rev. e ampliada. - São Paulo: Atlas, 1991. MAROIN, J. Carlos, SILVA,L.B. Contabilometria, novo Campo de Estudo para a Contabilidade. Revista Brasileira de Contabilidade, n° 59,1996. Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração: Contabilometria/Luiz J. Corrar, Carlos Renato Théophilo (coordenadores) – São Paulo Atlas, 2004. SILVA, Antonio C. R. da, Metodologia da Pesquisa Aplicada à Contabilidade, São Paulo, Atlas 2003.

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