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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
1. teoria da utilidade e seguro
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
1 introdu¸c˜ao
2 breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
3 alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
4 elementos de seguro
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Introdu¸c˜ao
Um sistema de seguran¸ca ´e, de um modo lato, um mecanismo
criado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adverso
resultante de acontecimentos aleat´orios que impedem a
concretiza¸c˜ao de certas perspectivas razo´aveis `a partida.
Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorrˆencia de
acontecimentos aleat´orios ´e o JOGO.
No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele
(sistema de seguran¸ca) ser criado com vista a proteger contra
oimpacto econ´omico de riscos que existem e est˜ao fora de controle
do segurado, enquanto que no jogo o risco ´e
”procurado”voluntariamene pelos participantes.
Efectivamente, o ´unico ponto comum entre estes dois sistemas ´e o
facto de envolverem uma redistribui¸c˜ao da riqueza.
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
Se cada um de n´os pudesse predizer as consequˆencias das nossas decis˜oes
obviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo...
desinteressante!
Tudo se resumiria a tomar decis˜oes com base nas preferˆencias
relativamente `as consequˆencias.
No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom prof´etico.
O melhor que podemos fazer ´e seleccionar uma ac¸c˜ao que nos ir´a
conduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas.
A teoria da utilidade ´e uma teoria elaborada no sentido de levar a um
conhecimento aprofundado acerca de como tomar decis˜oes face `a
incerteza. Trata-se de uma teoria com importˆancia relevante para os
sistemas de seguran¸ca.
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Assim, face ao problema de tomar uma decis˜ao face `a
incerteza, uma solu¸c˜ao poss´ıvel poder´a ser definir o valor de
um projecto econ´omico com resultado aleat´orio atrav´es do seu
valor esperado. Em economia ´e designado este valor por Valor
Justo ou Valor Actuarial.
Atrav´es deste princ´ıpio, o agente de decis˜ao encara de modo
indiferente entre assumir um preju´ızo aleat´orio X e efectuar
um pagamento de montante E[X].
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
No entanto, muitos agentes de decis˜ao n˜ao adoptam este
princ´ıpio (por vezes, designado como Princ´ıpio do Valor
Justo); para eles, o n´ıvel de riqueza e outros aspectos da
distribui¸c˜ao dos resultados influenciam as suas decis˜oes. No
exemplo seguinte est´a bem patente a insuficiˆencia do princ´ıpio
referido.
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Exemplo 1.1. (seguro de acidentes)
Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada.
Os trˆes casos seguintes est˜ao escalonados de acordo com o
montante de preju´ızo resultante de um acidente, eventualmente.
Preju´ızos Poss´ıveis (u.m.)1 Preju´ızo Esperado (u.m.)
caso 1 0 1 0.1
caso 2 0 1.000 100
caso 3 0 1.000.000 100.000
No caso 1 o montante de perdas n˜ao ´e relevante, pelo que o
agente de decis˜ao n˜ao estar´a disposto a pagar mais do que o valor
esperado dos preju´ızos para efectuar o seguro.
1
u.m. - unidade monet´aria
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Contudo, se fixarmos a nossa aten¸c˜ao no caso 3, um preju´ızo de
1.000.000 u.m. poder´a revelar-se catastr´ofico e exceder as suas
disponibilidades financeiras.
Neste caso, possivelmente o agente de decis˜ao poder´a estar
disposto a pagar ”mais do que”o valor esperado do preju´ızo de
forma a efectuar o seguro.
Este facto sugere que o ”princ´ıpio do valor Justo”nem sempre ´e o
mais adequado como base da decis˜ao.
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ALTERNATIVAS?
Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto de
um agente de decis˜ao poder estar disposto a pagar mais do que o
valor esperado -
a fun¸c˜ao utilidade.
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elementos de seguro
Os trˆes exemplos seguintes situam-se na ´area dos JOGOS e servem
para ilustrar alguns dos conceitos fundamentais na Teoria da
Utilidade.
Exemplo 1.2.
Embora dois jogos distintos X e Y possam ter o mesmo ganho
esperado, uma pessoa que seja for¸cada a aceitar um dos dois jogos,
preferir´a tipicamente um deles ao outro.
Por exemplo, sejam
X :
500 −400
1/2 1/2
e Y :
60 50 40
1/3 1/3 1/3
com E[X] = E[Y ] = 50.
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Contudo, uma pessoa que n˜ao queira arriscar perder 400 u.m. para
ter a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferir´a, de um modo geral,
o jogo Y , que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de,
pelo menos, 40 u.m. .
A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com o
objectivo de descrever as preferˆencias pessoais em jogos como os
que acab´amos de descrever:
Uma pessoa preferir´a um jogo X para o qual o valor esperado de
uma certa fun¸c˜ao u(X), E[X], seja um m´aximo (em vez de E[X]!)
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u(.) −→ fun¸c˜ao utilidade
x −→ u(x)
u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto de
ganhar o montante x.
because giving a bank note to a poor person makes more sense
than giving it to a millionaire – Rolski et al. (1999)
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E[u(X)] =
1
2
u(500) +
1
2
u(−400)
E[u(Y )] =
1
3
u(60) +
1
3
u(50) +
1
3
u(40)
> prefere X
E[u(X)] = E[u(Y )] indiferente entre X e Y
< prefere Y
u(x) ´e uma fun¸c˜ao crescente do ganho X
´E uma hip´otese razo´avel, se pensarmos que pessoa prefere um
ganho maior a outro mais pequeno!
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Contudo, a forma de uma fun¸c˜ao utilidade u(.) varia de pessoa
para pessoa e depende do balan¸co pessoal entre o risco assumido
referente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seus
ganhos.
Exemplo 1.3.
jogo 1. jogo 2.
X :
−3 2.5 6
0.5 0.4 0.1
Y :
−2 1 3
0.3 0.4 0.3
Qual a preferˆencia pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2?
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a) Fun¸c˜ao utilidade linear: u(x) = ax + b, a > 0.
E[u(X)] = E[aX + b] = aE[X] + b = aµX
+ b, donde
E[u(X)] > E[u(Y )] sse µX
> µY
portanto,
quando a utilidade ´e linear o jogo escolhido ´e sempre aquele para o
qual o ganho esperado ´e m´aximo.
E[X] = 0.5 × (−3) + 0.4 × 2.5 + 0.1 × 6 = 0.1
E[Y ] = 0.7
⇒ E[Y ] > E[X]
e portanto a preferˆencia ´e pelo jogo 2.
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b) Fun¸c˜ao utilidade c´ubica: u(x) = x3
E[u(X)] = 0.5 × (−3)3
+ 0.4 × (2.5)3
+ 0.1 × (6)3
= 14.35
E[u(Y )] = 6.1
E[u(X)] > E[u(Y )]
⇒ preferˆencia pelo jogo 1 (X)
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Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg)
O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nos
princ´ıpios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto da
fun¸c˜ao utilidade, considerada como fun¸c˜ao dos lucros poss´ıveis,
poder´a n˜ao ser uma fun¸c˜ao linear.
Suponhamos que ´e dada a oportunidade a uma pessoa de
participar no seguinte jogo:
Uma moeda ´e lan¸cada repetidamente at´e que seja obtida a face
“cara”pela primeira vez.
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Se a primeira vez que a face “cara”aparece ´e no n−´esimo
lan¸camento, ent˜ao a pessoa obtem um GANHO de 2n u.m. ,
(n = 1, 2, . . .)
Quest˜ao:
Qual o montante que uma pessoa est´a disposta a gastar como
entrada de forma a permitir a sua participa¸c˜ao no jogo?
P[X = 2n
] = P[obter primeira face “cara”no n-´esimo lan¸camento] =
=
1
2
n−1
×
1
2
=
1
2
n
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O ganho no jogo ´e descrito por
X :
2n, n = 1, 2, . . .
1
2
n
,
E[X] =
∞
n=1
2n 1
2
n
= ∞
Se a fun¸c˜ao utilidade fosse uma fun¸c˜ao linear, ent˜ao a pessoa
estaria disposta a pagar como entrada qualquer montante
arbitr´ario.
No entanto, o que acontece de facto ´e que cada pessoa est´a
disposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmente
reduzida), que depende da sua pr´opria fun¸c˜ao utilidade.
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utilidade
A fun¸c˜ao utilidade, u(.), associada a um agente de decis˜ao, pode
ent˜ao ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivas
econ´omicas aleat´orias X e Y .
Seja w a riqueza que possui determinado agente de decis˜ao
econ´omica. Ser´a seleccionada a perspectiva econ´omica X se
E[u(w + X)] > E[u(w + Y )]
e ser´a indiferente entre as duas perspectivas X e Y se
E[u(w + X)] = E[u(w + Y )]
quer dizer, a rela¸c˜ao de preferˆencia qualitativa ou de indiferen¸ca
pode ser substitu´ıda por uma compara¸c˜ao num´erica consistente.
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Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a um
conhecimento aprofundado no campo dos SEGUROS.
Suponhamos que um agente de decis˜ao possui uma propriedade
que pode ser danificada ou destru´ıda no per´ıodo de tempo
seguinte.
Seja X a vari´avel aleat´oria que representa o montante de preju´ızos
(que pode ser eventualmente zero).
Consideremos tamb´em que a distribui¸c˜ao de X ´e conhecida.
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X −→ montante de preju´ızo
E[X] −→ preju´ızo esperado no pr´oximo per´ıodo.
SEGURADOR −→ organiza¸c˜ao que ajuda a reduzir as
consequˆencias financeiras do dano ou destrui¸c˜ao da
propriedade.
SEGURADO −→ dono da propriedade sujeita a risco
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AP´OLICES −→ contratos estabelecidos entre o segurador e o
segurado no sentido de ser pago um montante igual ou menor
do que o preju´ızo financeiro sofrido face ao dano que venha a
ocorrer eventualmente, no per´ıodo de vigˆencia da ap´olice →
pagamento da indemniza¸c˜ao.
PR´EMIO −→ pagamento efectuado pelo segurado ao
segurador como retribui¸c˜ao das ”promessas”contidas na
ap´olice por parte do segurador.
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princ´ıpio do valor justo (ou esperado)
Supondo que o segurador adopta uma fun¸c˜ao de utilidade linear
com o objectivo de estabelecer o pr´emio a ser pago pelo segurado,
o PRINC´IPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece esse
montante.
µ = E[X] → pr´emio puro para o per´ıodo da ap´olice em causa.
Este montante ´e incrementado de alguma sobrecarga (ou CARGA)
de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma seguran¸ca
contra o risco.
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Pr´emio = pr´emio puro + carga de seguran¸ca + carga admnistrativa
por exemplo :
P = µ(1 + θ) + c = µ + θ · µ + c
com θ, c > 0 e onde
θ – COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANC¸A
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Princ´ıpios de C´alculo de Pr´emio
Existem outros princ´ıpios econ´omicos que podem ser adoptados
pelas seguradoras.
Assim, e com µ := E[X], quando:
carga de seguran¸ca=
= θ · µ – Princ´ıpio do Valor Esperado.
= θ · VAR[X] – Princ´ıpio da Variˆancia.
= θ · VAR[X] – Princ´ıpio do Desvio Padr˜ao.
= θ · VAR[X]/µ – Princ´ıpio Modificado da Variˆancia.
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Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco
- segurado - em termos da teoria da utilidade - u(x).
perspectiva do segurado
A indiferen¸ca entre pagar um montante G ao segurador e assumir
o risco ele pr´oprio pode ser estabelecido pela igualdade
u(w − G) = E[u(w − X)] (∗)
onde
u(w − G) → valor esperado do pagamento de G para
protec¸c˜ao financeira dada pela seguradora
E[u(w − X)] → utilidade esperada de n˜ao comprar o seguro,
quando a riqueza ´e w
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No entanto...
O contrato da ap´olice dever´a ser vantajoso para ambas as
partes- segurado e segurador.
Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedade n˜ao
pode ter uma fun¸c˜ao utilidade linear.
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Por absurdo, suponhamos que u(w) = aw + b, a > 0. De (∗),
a(w − G) + b = E[a(w − X) + b]
⇔ a(w − G) + b = aE(w − X) + b,
⇔ a(w − G) + b = a(w − µ) + b,
pelo que
G = µ
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O que quer dizer:
O pagamento (m´aximo) G que o segurado est´a disposto a pagar
de modo a ser indiferente fazer o seguro ou n˜ao, ´e igual ao preju´ızo
esperado, µ.
Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, para
que o contrato resulte, a companhia dever´a cobrar um pr´emio
maior do que os preju´ızos esperados. Isto ´e, G > µ
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Desigualdade de Jensen:
Seja u(w) uma fun¸c˜ao crescente, cˆoncava. Isto ´e, suponhamos que
u (w) > 0 e u (w) < 0.
Ent˜ao, para toda a v.a. X, desde que os valores m´edios envolvidos
existam, tem-se
E[u(X)] ≤ u(E[X])
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Dem:
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u(w) ≤ u(µ) + u (µ)(w − µ), ∀w
pelo que
E[u(X)] ≤ E[u(µ) + u (µ)(X − µ)]
⇔ E[u(X)] ≤ u(µ) + u (µ)E[(X − µ)]
e, consequentemente,
E[u(X)] ≤ u(µ), c.q.d.
Verifica-se a igualdade apenas se X for constante.
Observa¸c˜ao: Esta desigualdade ´e de grande aplicabilidade em
Matem´aticas Actuariais.
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Retomamos agora o problema da fun¸c˜ao utilidade adoptada pelo
dono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas as
partes o contrato constante da ap´olice.
De (*) vem o seguinte quando u(.) ´e cˆoncava:
u(w − G) = E[u(w − X)] ≤ u(w − µ)
a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porque u(.) ´e
crescente, conclui-se que
w − G ≤ w − µ
e consequentemente
G ≥ µ.
Com G > µ a menos que X seja constante.
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Ent˜ao,
o segurado pagar´a um montante maior do que o preju´ızo esperado
de forma a efectuar o seguro → ADVERSO AO RISCO.
Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma fun¸c˜ao
utilidade cˆoncava u1(.). Consideremos tamb´em
H → pr´emio m´ınimo aceit´avel para assumir o preju´ızo
aleat´orio X
w1 → riqueza corrente
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perspectiva do segurador
u1(w1) = E[u1(w1 + H − X)]
Corresponde ao
Princ´ıpio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente seja
igual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito o
seguro (recebidos os pr´emios (H) e pagos os preju´ızos ou
indemniza¸c˜oes (X)).
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Ent˜ao, se u1(.) ´e cˆoncava (e crescente) vem H ≥ µ
ap´olice pratic´avel
Se
G ≥ H ≥ µ
ent˜ao a ap´olice ´e pratic´avel!
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Exemplos de fun¸c˜oes utilidade
fun¸c˜oes utilidade exponenciais
u(w) = −e−αw
propriedades da fun¸c˜oes utilidade exponenciais
u(w) ´e uma f. utilidade associada a uma atitude adversa face
ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0)
Tem-se que E[u(X)] = −MX
(−α), com MX
(r) = E[erX ] a
f.g.m. de X.
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propriedades da fun¸c˜oes utilidade exponenciais
O pr´emio de seguro n˜ao depende da riqueza do agente de
decis˜ao (segurado ou seguradora)
u(w − G) = E[u(w − X)] ⇒ −e−α(w−G)
= E[−e−α(w−X)
]
⇒ eαG
= MX
(α) ⇒ G =
log MX
(α)
α
que n˜ao depende de w.
Analogamente,
u1(w1) = E[u1(w1 + H − X)] ⇒ H =
log MX
(α1)
α1
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Exemplo de aplica¸c˜ao:
Um agente de decis˜ao tem f. utilidade u(w) = −e−5w . Face a
duas perspectivas econ´omicas X e Y , qual delas prefere quando
1 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.5)
2 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.4)
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Resolu¸c˜ao:
Recorde-se que X ∼ N(µ, σ2) ⇒ MX
(r) = eµr+σ2r2/2
1
E[u(X)] = −MX
(−5) = −1
e
E[u(Y )] = −MY
(−5) = −e−1.25
tem-se E[u(X)] > E[u(Y )] e portanto prefere X.
Observa¸c˜ao: note-se que µX
< µY
2 Neste caso, E[u(Y )] = −1 e portanto ´e indiferente entre X e
Y .
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fun¸c˜oes utilidade potˆencia fraccion´arias
u(w) = wγ
, w > 0, 0 < γ < 1
propriedades da fun¸c˜oes utilidade potˆencia fraccion´arias
atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0)
pr´emios dependem da riqueza do agente de decis˜ao.
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Exemplo de aplica¸c˜ao:
u(w) =
√
w; considere-se w = 10 e X ∼ U(0, 10). Qual o
montante m´aximo (G) que o agente est´a disposto a pagar para ter
cobertura face a um preju´ızo aleat´orio X?
Resolu¸c˜ao:
u(10 − G) = E[u(10 − X)]
⇔
√
10 − G =
10
0
√
10 − x
1
10
dx
⇔ G ==
2
3
√
10 ⇔ G = 10 ×
5
9
= 5.56
Observa¸c˜ao: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atr´as,
G > E[X]
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fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas
u(w) = w − αw2
, w <
1
2α
, α > 0
propriedades das fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas
atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0)
a decis˜ao depende apenas do valor m´edio e da variˆancia
de X, E[X] e E[X2].
Observa¸c˜ao: este tipo de fun¸c˜oes utilidade pode ter como
consequˆencia certas atitudes “absurdas”face ao risco. Vejamos um
exemplo disso:
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Exemplo de aplica¸c˜ao:
Consideremos o seguinte cen´ario:
u(w) = w − 0.01w2
, w < 50; X :
0 c
p 1 − p
Qual o montante m´aximo (G) que o agente de decis˜ao est´a
disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleat´orio
X? Considere c = 10 e p = 1
2 e compare os resultados para dois
valores de w, w1 = 10 e w2 = 20.
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Resolu¸c˜ao:
u(w − G) = E[u(w − X)]
pelo que G dever´a satisfazer a seguinte equa¸c˜ao de segundo grau:
(w − G) − 0.01(w − G)2
= pu(w) + (1 − p)u(w − c)
= p[w − 0.01w2
] +
(1 − p)[(w − c) − 0.01(w − c)2
]
w1 = 10 −→ G = 5.28
w1 = 20 −→ G = 5.37
46 / 57
introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Observa¸c˜oes:
1 em ambos os casos G > E[X] = 5 (adverso ao risco);
2 a conclus˜ao ´e algo absurda! O agente de decis˜ao est´a disposto
a pagar um pr´emio superior no caso se ser, `a partida, mais
rico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)!
As fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas n˜ao s˜ao convenientes para
agentes de decis˜ao com tendˆencia a sofrer preju´ızos que aumentam
no sentido da riqueza.
47 / 57
introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
tipos de cobertura
Temos vindo a falar de seguros de cobertura total face a um
poss´ıvel dano que afecte um agente de decis˜ao.
Vejamos no seguinte exemplo as consequˆencias que advˆem do
facto de ser adoptada uma pol´ıtica de cobertura parcial.
48 / 57
introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Exemplo:
Consideremos
u(w) = −e−0.005w
.
A probabilidade que uma propriedade n˜ao seja danificada, no
pr´oximo per´ıodo, ´e de 0.75; sendo sujeita a um dano
convenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valor
m´edio 100, caso contr´ario.
Compare os montantes pr´emio quando tem `a sua escolha cada
uma das seguintes pol´ıticas face ao dano:
1 Cobertura total;
2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguro
PROPORCIONAL).
e calcule o montante de excesso face `as indemniza¸c˜oes esperadas,
em cada um dos casos.
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Resolu¸c˜ao:
O dano, X, ´e uma v.a. mista:
X :
0 Z ∼ Exp(100)
0.75 0.25
,
fZ
(z) = 0.01e−0.01z, z > 0; I(X) := cobertura.
1 Cobertura Total, i.e., tem-se I(X) = X.
E[I(X)] = E[X] = 0.75×0+0.25×E[Z] = 0.25×100 = 25u.m.
2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I(X) = X
2 .
E[I(X)] =
25
2
= 12.5u.m.
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Determinemos para ambos os casos o montante m´aximo que o
agente est´a disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G:
caso 1: cobertura total
u(w − G) = E[u(w − X)]
= 0.75u(w) + 0.25E[u(w − Z)]
−e−0.005(w−G)
= 0.75(−e−0.005w
) + 0.25E[−e−0.005(w−Z)
]
(−e−0.005w
)e0.005G
= 0.75(−e−0.005w
)
+0.25(−e−0.005w
)E[e0.005Z
]
e0.005G
= 0.75 + 0.25E[e0.005Z
]
Note-se que E[e0.005Z ] = MZ
(0.005).
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introdu¸c˜ao
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alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Sendo MZ
(r) = 1
1−100r , para r < 0.01, obtemos MZ
(0.005) = 2
e portanto
G = 44.63u.m.
donde o excesso face `a indemniza¸c˜ao esperada ´e
G − E[I(X)] = G − E[X] = 44.63 − 25 = 19.63u.m.
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introdu¸c˜ao
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alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
caso 2: cobertura parcial de metade dos danos.
Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com cobertura
parcial `a utilidade esperada sem cobertura.
E[u(w − G − (X − I(X)))] = E[u(w − X)]
E u w − G −
X
2
= E[u(w − X)]
0.75u(w − G) + 0.25E u w − G −
Z
2
=
= 0.75u(w) + 0.25E[u(w − Z)]
...
G = 28.62u.m.
G−E[I(X)] = 28.62−12.5 = 16.12 > 12.5 (perda parcial esperada)
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
elementos de seguro
Uma vez identificada uma classe de situa¸c˜oes sujeitas a risco (e
como tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informa¸c˜oes
acerca das utilidades esperadas, associadas ao processo de
preju´ızos respectivo.
As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas tˆem
sido usadas como fundamento para uma teoria elaborada no
sentido de constituir um guia para os agentes de decis˜ao, no
sentido de tomarem ac¸c˜oes consistentes com as suas preferˆencias.
Fa¸camos um ponto da situa¸c˜ao nesse campo:
0 ≤ I(X) ≤ X.(ap´olices admiss´ıveis)
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Hip´otese simplificadora do problema
Suponhamos que qualquer ap´olice admiss´ıvel pode ser adquirida
pelo montante respeitante `a indemniza¸c˜ao esperada
−→ E[I(X)] ≤ E[X]
Suponhamos que a fun¸c˜ao utilidade ´e tal que o agente de
decis˜ao ´e adverso ao risco (u (w) > 0 e u (w) < 0)
P- pr´emio a ser pago pelo agente de decis˜ao.
0 < P = E[I(X)] ≤ E[X]
E[X] = µ
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introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Teorema: Arrow (1963) (seguro de sa´ude)
De acordo com as condi¸c˜oes anteriores, a utilidade de um agente
de decis˜ao adverso face ao risco ´e MAXIMIZADA adquirindo uma
ap´olice de seguro tipo ”STOP-LOSS”ou ”EXCESS-OF-LOSS”
Id∗ (x) =
0 , x < d∗
x − d∗ , x ≥ d∗
em que d∗ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
P =
∞
d
(x − d)f (x)dx (= E[Id∗ (X)])
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introdu¸c˜ao
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alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Observa¸c˜oes:
Uma ap´olice de seguro n˜ao pode ser adquirida simplesmente
pelo valor esperado das indemniza¸c˜oes. (despesas
admnistrativas, lucro, carga de seguran¸ca)
O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre a
seguradora e o segurado, mas n˜ao estabelece o pr´emio P a ser
pago. (P fixado `a partida.)
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Teoria de utilidade e seguro

  • 1. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro 1. teoria da utilidade e seguro 1 / 57
  • 2. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro 1 introdu¸c˜ao 2 breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade 3 alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade 4 elementos de seguro 2 / 57
  • 3. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Introdu¸c˜ao Um sistema de seguran¸ca ´e, de um modo lato, um mecanismo criado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adverso resultante de acontecimentos aleat´orios que impedem a concretiza¸c˜ao de certas perspectivas razo´aveis `a partida. Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorrˆencia de acontecimentos aleat´orios ´e o JOGO. No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele (sistema de seguran¸ca) ser criado com vista a proteger contra oimpacto econ´omico de riscos que existem e est˜ao fora de controle do segurado, enquanto que no jogo o risco ´e ”procurado”voluntariamene pelos participantes. Efectivamente, o ´unico ponto comum entre estes dois sistemas ´e o facto de envolverem uma redistribui¸c˜ao da riqueza. 3 / 57
  • 4. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade Se cada um de n´os pudesse predizer as consequˆencias das nossas decis˜oes obviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo... desinteressante! Tudo se resumiria a tomar decis˜oes com base nas preferˆencias relativamente `as consequˆencias. No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom prof´etico. O melhor que podemos fazer ´e seleccionar uma ac¸c˜ao que nos ir´a conduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas. A teoria da utilidade ´e uma teoria elaborada no sentido de levar a um conhecimento aprofundado acerca de como tomar decis˜oes face `a incerteza. Trata-se de uma teoria com importˆancia relevante para os sistemas de seguran¸ca. 4 / 57
  • 5. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Assim, face ao problema de tomar uma decis˜ao face `a incerteza, uma solu¸c˜ao poss´ıvel poder´a ser definir o valor de um projecto econ´omico com resultado aleat´orio atrav´es do seu valor esperado. Em economia ´e designado este valor por Valor Justo ou Valor Actuarial. Atrav´es deste princ´ıpio, o agente de decis˜ao encara de modo indiferente entre assumir um preju´ızo aleat´orio X e efectuar um pagamento de montante E[X]. 5 / 57
  • 6. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro No entanto, muitos agentes de decis˜ao n˜ao adoptam este princ´ıpio (por vezes, designado como Princ´ıpio do Valor Justo); para eles, o n´ıvel de riqueza e outros aspectos da distribui¸c˜ao dos resultados influenciam as suas decis˜oes. No exemplo seguinte est´a bem patente a insuficiˆencia do princ´ıpio referido. 6 / 57
  • 7. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplo 1.1. (seguro de acidentes) Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada. Os trˆes casos seguintes est˜ao escalonados de acordo com o montante de preju´ızo resultante de um acidente, eventualmente. Preju´ızos Poss´ıveis (u.m.)1 Preju´ızo Esperado (u.m.) caso 1 0 1 0.1 caso 2 0 1.000 100 caso 3 0 1.000.000 100.000 No caso 1 o montante de perdas n˜ao ´e relevante, pelo que o agente de decis˜ao n˜ao estar´a disposto a pagar mais do que o valor esperado dos preju´ızos para efectuar o seguro. 1 u.m. - unidade monet´aria 7 / 57
  • 8. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Contudo, se fixarmos a nossa aten¸c˜ao no caso 3, um preju´ızo de 1.000.000 u.m. poder´a revelar-se catastr´ofico e exceder as suas disponibilidades financeiras. Neste caso, possivelmente o agente de decis˜ao poder´a estar disposto a pagar ”mais do que”o valor esperado do preju´ızo de forma a efectuar o seguro. Este facto sugere que o ”princ´ıpio do valor Justo”nem sempre ´e o mais adequado como base da decis˜ao. 8 / 57
  • 9. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro ALTERNATIVAS? Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto de um agente de decis˜ao poder estar disposto a pagar mais do que o valor esperado - a fun¸c˜ao utilidade. 9 / 57
  • 10. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Os trˆes exemplos seguintes situam-se na ´area dos JOGOS e servem para ilustrar alguns dos conceitos fundamentais na Teoria da Utilidade. Exemplo 1.2. Embora dois jogos distintos X e Y possam ter o mesmo ganho esperado, uma pessoa que seja for¸cada a aceitar um dos dois jogos, preferir´a tipicamente um deles ao outro. Por exemplo, sejam X : 500 −400 1/2 1/2 e Y : 60 50 40 1/3 1/3 1/3 com E[X] = E[Y ] = 50. 10 / 57
  • 11. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Contudo, uma pessoa que n˜ao queira arriscar perder 400 u.m. para ter a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferir´a, de um modo geral, o jogo Y , que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de, pelo menos, 40 u.m. . A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com o objectivo de descrever as preferˆencias pessoais em jogos como os que acab´amos de descrever: Uma pessoa preferir´a um jogo X para o qual o valor esperado de uma certa fun¸c˜ao u(X), E[X], seja um m´aximo (em vez de E[X]!) 11 / 57
  • 12. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro u(.) −→ fun¸c˜ao utilidade x −→ u(x) u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto de ganhar o montante x. because giving a bank note to a poor person makes more sense than giving it to a millionaire – Rolski et al. (1999) 12 / 57
  • 13. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro E[u(X)] = 1 2 u(500) + 1 2 u(−400) E[u(Y )] = 1 3 u(60) + 1 3 u(50) + 1 3 u(40) > prefere X E[u(X)] = E[u(Y )] indiferente entre X e Y < prefere Y u(x) ´e uma fun¸c˜ao crescente do ganho X ´E uma hip´otese razo´avel, se pensarmos que pessoa prefere um ganho maior a outro mais pequeno! 13 / 57
  • 14. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Contudo, a forma de uma fun¸c˜ao utilidade u(.) varia de pessoa para pessoa e depende do balan¸co pessoal entre o risco assumido referente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seus ganhos. Exemplo 1.3. jogo 1. jogo 2. X : −3 2.5 6 0.5 0.4 0.1 Y : −2 1 3 0.3 0.4 0.3 Qual a preferˆencia pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2? 14 / 57
  • 15. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro a) Fun¸c˜ao utilidade linear: u(x) = ax + b, a > 0. E[u(X)] = E[aX + b] = aE[X] + b = aµX + b, donde E[u(X)] > E[u(Y )] sse µX > µY portanto, quando a utilidade ´e linear o jogo escolhido ´e sempre aquele para o qual o ganho esperado ´e m´aximo. E[X] = 0.5 × (−3) + 0.4 × 2.5 + 0.1 × 6 = 0.1 E[Y ] = 0.7 ⇒ E[Y ] > E[X] e portanto a preferˆencia ´e pelo jogo 2. 15 / 57
  • 16. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro b) Fun¸c˜ao utilidade c´ubica: u(x) = x3 E[u(X)] = 0.5 × (−3)3 + 0.4 × (2.5)3 + 0.1 × (6)3 = 14.35 E[u(Y )] = 6.1 E[u(X)] > E[u(Y )] ⇒ preferˆencia pelo jogo 1 (X) 16 / 57
  • 17. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg) O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nos princ´ıpios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto da fun¸c˜ao utilidade, considerada como fun¸c˜ao dos lucros poss´ıveis, poder´a n˜ao ser uma fun¸c˜ao linear. Suponhamos que ´e dada a oportunidade a uma pessoa de participar no seguinte jogo: Uma moeda ´e lan¸cada repetidamente at´e que seja obtida a face “cara”pela primeira vez. 17 / 57
  • 18. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Se a primeira vez que a face “cara”aparece ´e no n−´esimo lan¸camento, ent˜ao a pessoa obtem um GANHO de 2n u.m. , (n = 1, 2, . . .) Quest˜ao: Qual o montante que uma pessoa est´a disposta a gastar como entrada de forma a permitir a sua participa¸c˜ao no jogo? P[X = 2n ] = P[obter primeira face “cara”no n-´esimo lan¸camento] = = 1 2 n−1 × 1 2 = 1 2 n 18 / 57
  • 19. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro O ganho no jogo ´e descrito por X : 2n, n = 1, 2, . . . 1 2 n , E[X] = ∞ n=1 2n 1 2 n = ∞ Se a fun¸c˜ao utilidade fosse uma fun¸c˜ao linear, ent˜ao a pessoa estaria disposta a pagar como entrada qualquer montante arbitr´ario. No entanto, o que acontece de facto ´e que cada pessoa est´a disposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmente reduzida), que depende da sua pr´opria fun¸c˜ao utilidade. 19 / 57
  • 20. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade A fun¸c˜ao utilidade, u(.), associada a um agente de decis˜ao, pode ent˜ao ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivas econ´omicas aleat´orias X e Y . Seja w a riqueza que possui determinado agente de decis˜ao econ´omica. Ser´a seleccionada a perspectiva econ´omica X se E[u(w + X)] > E[u(w + Y )] e ser´a indiferente entre as duas perspectivas X e Y se E[u(w + X)] = E[u(w + Y )] quer dizer, a rela¸c˜ao de preferˆencia qualitativa ou de indiferen¸ca pode ser substitu´ıda por uma compara¸c˜ao num´erica consistente. 20 / 57
  • 21. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a um conhecimento aprofundado no campo dos SEGUROS. Suponhamos que um agente de decis˜ao possui uma propriedade que pode ser danificada ou destru´ıda no per´ıodo de tempo seguinte. Seja X a vari´avel aleat´oria que representa o montante de preju´ızos (que pode ser eventualmente zero). Consideremos tamb´em que a distribui¸c˜ao de X ´e conhecida. 21 / 57
  • 22. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro X −→ montante de preju´ızo E[X] −→ preju´ızo esperado no pr´oximo per´ıodo. SEGURADOR −→ organiza¸c˜ao que ajuda a reduzir as consequˆencias financeiras do dano ou destrui¸c˜ao da propriedade. SEGURADO −→ dono da propriedade sujeita a risco 22 / 57
  • 23. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro AP´OLICES −→ contratos estabelecidos entre o segurador e o segurado no sentido de ser pago um montante igual ou menor do que o preju´ızo financeiro sofrido face ao dano que venha a ocorrer eventualmente, no per´ıodo de vigˆencia da ap´olice → pagamento da indemniza¸c˜ao. PR´EMIO −→ pagamento efectuado pelo segurado ao segurador como retribui¸c˜ao das ”promessas”contidas na ap´olice por parte do segurador. 23 / 57
  • 24. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro princ´ıpio do valor justo (ou esperado) Supondo que o segurador adopta uma fun¸c˜ao de utilidade linear com o objectivo de estabelecer o pr´emio a ser pago pelo segurado, o PRINC´IPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece esse montante. µ = E[X] → pr´emio puro para o per´ıodo da ap´olice em causa. Este montante ´e incrementado de alguma sobrecarga (ou CARGA) de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma seguran¸ca contra o risco. 24 / 57
  • 25. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Pr´emio = pr´emio puro + carga de seguran¸ca + carga admnistrativa por exemplo : P = µ(1 + θ) + c = µ + θ · µ + c com θ, c > 0 e onde θ – COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANC¸A 25 / 57
  • 26. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Princ´ıpios de C´alculo de Pr´emio Existem outros princ´ıpios econ´omicos que podem ser adoptados pelas seguradoras. Assim, e com µ := E[X], quando: carga de seguran¸ca= = θ · µ – Princ´ıpio do Valor Esperado. = θ · VAR[X] – Princ´ıpio da Variˆancia. = θ · VAR[X] – Princ´ıpio do Desvio Padr˜ao. = θ · VAR[X]/µ – Princ´ıpio Modificado da Variˆancia. 26 / 57
  • 27. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco - segurado - em termos da teoria da utilidade - u(x). perspectiva do segurado A indiferen¸ca entre pagar um montante G ao segurador e assumir o risco ele pr´oprio pode ser estabelecido pela igualdade u(w − G) = E[u(w − X)] (∗) onde u(w − G) → valor esperado do pagamento de G para protec¸c˜ao financeira dada pela seguradora E[u(w − X)] → utilidade esperada de n˜ao comprar o seguro, quando a riqueza ´e w 27 / 57
  • 28. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro No entanto... O contrato da ap´olice dever´a ser vantajoso para ambas as partes- segurado e segurador. Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedade n˜ao pode ter uma fun¸c˜ao utilidade linear. 28 / 57
  • 29. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Por absurdo, suponhamos que u(w) = aw + b, a > 0. De (∗), a(w − G) + b = E[a(w − X) + b] ⇔ a(w − G) + b = aE(w − X) + b, ⇔ a(w − G) + b = a(w − µ) + b, pelo que G = µ 29 / 57
  • 30. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro O que quer dizer: O pagamento (m´aximo) G que o segurado est´a disposto a pagar de modo a ser indiferente fazer o seguro ou n˜ao, ´e igual ao preju´ızo esperado, µ. Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, para que o contrato resulte, a companhia dever´a cobrar um pr´emio maior do que os preju´ızos esperados. Isto ´e, G > µ 30 / 57
  • 31. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Desigualdade de Jensen: Seja u(w) uma fun¸c˜ao crescente, cˆoncava. Isto ´e, suponhamos que u (w) > 0 e u (w) < 0. Ent˜ao, para toda a v.a. X, desde que os valores m´edios envolvidos existam, tem-se E[u(X)] ≤ u(E[X]) 31 / 57
  • 32. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Dem: 32 / 57
  • 33. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro u(w) ≤ u(µ) + u (µ)(w − µ), ∀w pelo que E[u(X)] ≤ E[u(µ) + u (µ)(X − µ)] ⇔ E[u(X)] ≤ u(µ) + u (µ)E[(X − µ)] e, consequentemente, E[u(X)] ≤ u(µ), c.q.d. Verifica-se a igualdade apenas se X for constante. Observa¸c˜ao: Esta desigualdade ´e de grande aplicabilidade em Matem´aticas Actuariais. 33 / 57
  • 34. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Retomamos agora o problema da fun¸c˜ao utilidade adoptada pelo dono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas as partes o contrato constante da ap´olice. De (*) vem o seguinte quando u(.) ´e cˆoncava: u(w − G) = E[u(w − X)] ≤ u(w − µ) a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porque u(.) ´e crescente, conclui-se que w − G ≤ w − µ e consequentemente G ≥ µ. Com G > µ a menos que X seja constante. 34 / 57
  • 35. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Ent˜ao, o segurado pagar´a um montante maior do que o preju´ızo esperado de forma a efectuar o seguro → ADVERSO AO RISCO. Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma fun¸c˜ao utilidade cˆoncava u1(.). Consideremos tamb´em H → pr´emio m´ınimo aceit´avel para assumir o preju´ızo aleat´orio X w1 → riqueza corrente 35 / 57
  • 36. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro perspectiva do segurador u1(w1) = E[u1(w1 + H − X)] Corresponde ao Princ´ıpio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente seja igual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito o seguro (recebidos os pr´emios (H) e pagos os preju´ızos ou indemniza¸c˜oes (X)). 36 / 57
  • 37. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Ent˜ao, se u1(.) ´e cˆoncava (e crescente) vem H ≥ µ ap´olice pratic´avel Se G ≥ H ≥ µ ent˜ao a ap´olice ´e pratic´avel! 37 / 57
  • 38. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplos de fun¸c˜oes utilidade fun¸c˜oes utilidade exponenciais u(w) = −e−αw propriedades da fun¸c˜oes utilidade exponenciais u(w) ´e uma f. utilidade associada a uma atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0) Tem-se que E[u(X)] = −MX (−α), com MX (r) = E[erX ] a f.g.m. de X. 38 / 57
  • 39. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro propriedades da fun¸c˜oes utilidade exponenciais O pr´emio de seguro n˜ao depende da riqueza do agente de decis˜ao (segurado ou seguradora) u(w − G) = E[u(w − X)] ⇒ −e−α(w−G) = E[−e−α(w−X) ] ⇒ eαG = MX (α) ⇒ G = log MX (α) α que n˜ao depende de w. Analogamente, u1(w1) = E[u1(w1 + H − X)] ⇒ H = log MX (α1) α1 39 / 57
  • 40. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplo de aplica¸c˜ao: Um agente de decis˜ao tem f. utilidade u(w) = −e−5w . Face a duas perspectivas econ´omicas X e Y , qual delas prefere quando 1 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.5) 2 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.4) 40 / 57
  • 41. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Resolu¸c˜ao: Recorde-se que X ∼ N(µ, σ2) ⇒ MX (r) = eµr+σ2r2/2 1 E[u(X)] = −MX (−5) = −1 e E[u(Y )] = −MY (−5) = −e−1.25 tem-se E[u(X)] > E[u(Y )] e portanto prefere X. Observa¸c˜ao: note-se que µX < µY 2 Neste caso, E[u(Y )] = −1 e portanto ´e indiferente entre X e Y . 41 / 57
  • 42. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro fun¸c˜oes utilidade potˆencia fraccion´arias u(w) = wγ , w > 0, 0 < γ < 1 propriedades da fun¸c˜oes utilidade potˆencia fraccion´arias atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0) pr´emios dependem da riqueza do agente de decis˜ao. 42 / 57
  • 43. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplo de aplica¸c˜ao: u(w) = √ w; considere-se w = 10 e X ∼ U(0, 10). Qual o montante m´aximo (G) que o agente est´a disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleat´orio X? Resolu¸c˜ao: u(10 − G) = E[u(10 − X)] ⇔ √ 10 − G = 10 0 √ 10 − x 1 10 dx ⇔ G == 2 3 √ 10 ⇔ G = 10 × 5 9 = 5.56 Observa¸c˜ao: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atr´as, G > E[X] 43 / 57
  • 44. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas u(w) = w − αw2 , w < 1 2α , α > 0 propriedades das fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0) a decis˜ao depende apenas do valor m´edio e da variˆancia de X, E[X] e E[X2]. Observa¸c˜ao: este tipo de fun¸c˜oes utilidade pode ter como consequˆencia certas atitudes “absurdas”face ao risco. Vejamos um exemplo disso: 44 / 57
  • 45. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplo de aplica¸c˜ao: Consideremos o seguinte cen´ario: u(w) = w − 0.01w2 , w < 50; X : 0 c p 1 − p Qual o montante m´aximo (G) que o agente de decis˜ao est´a disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleat´orio X? Considere c = 10 e p = 1 2 e compare os resultados para dois valores de w, w1 = 10 e w2 = 20. 45 / 57
  • 46. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Resolu¸c˜ao: u(w − G) = E[u(w − X)] pelo que G dever´a satisfazer a seguinte equa¸c˜ao de segundo grau: (w − G) − 0.01(w − G)2 = pu(w) + (1 − p)u(w − c) = p[w − 0.01w2 ] + (1 − p)[(w − c) − 0.01(w − c)2 ] w1 = 10 −→ G = 5.28 w1 = 20 −→ G = 5.37 46 / 57
  • 47. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Observa¸c˜oes: 1 em ambos os casos G > E[X] = 5 (adverso ao risco); 2 a conclus˜ao ´e algo absurda! O agente de decis˜ao est´a disposto a pagar um pr´emio superior no caso se ser, `a partida, mais rico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)! As fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas n˜ao s˜ao convenientes para agentes de decis˜ao com tendˆencia a sofrer preju´ızos que aumentam no sentido da riqueza. 47 / 57
  • 48. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro tipos de cobertura Temos vindo a falar de seguros de cobertura total face a um poss´ıvel dano que afecte um agente de decis˜ao. Vejamos no seguinte exemplo as consequˆencias que advˆem do facto de ser adoptada uma pol´ıtica de cobertura parcial. 48 / 57
  • 49. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Exemplo: Consideremos u(w) = −e−0.005w . A probabilidade que uma propriedade n˜ao seja danificada, no pr´oximo per´ıodo, ´e de 0.75; sendo sujeita a um dano convenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valor m´edio 100, caso contr´ario. Compare os montantes pr´emio quando tem `a sua escolha cada uma das seguintes pol´ıticas face ao dano: 1 Cobertura total; 2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguro PROPORCIONAL). e calcule o montante de excesso face `as indemniza¸c˜oes esperadas, em cada um dos casos. 49 / 57
  • 50. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Resolu¸c˜ao: O dano, X, ´e uma v.a. mista: X : 0 Z ∼ Exp(100) 0.75 0.25 , fZ (z) = 0.01e−0.01z, z > 0; I(X) := cobertura. 1 Cobertura Total, i.e., tem-se I(X) = X. E[I(X)] = E[X] = 0.75×0+0.25×E[Z] = 0.25×100 = 25u.m. 2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I(X) = X 2 . E[I(X)] = 25 2 = 12.5u.m. 50 / 57
  • 51. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Determinemos para ambos os casos o montante m´aximo que o agente est´a disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G: caso 1: cobertura total u(w − G) = E[u(w − X)] = 0.75u(w) + 0.25E[u(w − Z)] −e−0.005(w−G) = 0.75(−e−0.005w ) + 0.25E[−e−0.005(w−Z) ] (−e−0.005w )e0.005G = 0.75(−e−0.005w ) +0.25(−e−0.005w )E[e0.005Z ] e0.005G = 0.75 + 0.25E[e0.005Z ] Note-se que E[e0.005Z ] = MZ (0.005). 51 / 57
  • 52. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Sendo MZ (r) = 1 1−100r , para r < 0.01, obtemos MZ (0.005) = 2 e portanto G = 44.63u.m. donde o excesso face `a indemniza¸c˜ao esperada ´e G − E[I(X)] = G − E[X] = 44.63 − 25 = 19.63u.m. 52 / 57
  • 53. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro caso 2: cobertura parcial de metade dos danos. Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com cobertura parcial `a utilidade esperada sem cobertura. E[u(w − G − (X − I(X)))] = E[u(w − X)] E u w − G − X 2 = E[u(w − X)] 0.75u(w − G) + 0.25E u w − G − Z 2 = = 0.75u(w) + 0.25E[u(w − Z)] ... G = 28.62u.m. G−E[I(X)] = 28.62−12.5 = 16.12 > 12.5 (perda parcial esperada) 53 / 57
  • 54. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro elementos de seguro Uma vez identificada uma classe de situa¸c˜oes sujeitas a risco (e como tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informa¸c˜oes acerca das utilidades esperadas, associadas ao processo de preju´ızos respectivo. As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas tˆem sido usadas como fundamento para uma teoria elaborada no sentido de constituir um guia para os agentes de decis˜ao, no sentido de tomarem ac¸c˜oes consistentes com as suas preferˆencias. Fa¸camos um ponto da situa¸c˜ao nesse campo: 0 ≤ I(X) ≤ X.(ap´olices admiss´ıveis) 54 / 57
  • 55. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Hip´otese simplificadora do problema Suponhamos que qualquer ap´olice admiss´ıvel pode ser adquirida pelo montante respeitante `a indemniza¸c˜ao esperada −→ E[I(X)] ≤ E[X] Suponhamos que a fun¸c˜ao utilidade ´e tal que o agente de decis˜ao ´e adverso ao risco (u (w) > 0 e u (w) < 0) P- pr´emio a ser pago pelo agente de decis˜ao. 0 < P = E[I(X)] ≤ E[X] E[X] = µ 55 / 57
  • 56. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Teorema: Arrow (1963) (seguro de sa´ude) De acordo com as condi¸c˜oes anteriores, a utilidade de um agente de decis˜ao adverso face ao risco ´e MAXIMIZADA adquirindo uma ap´olice de seguro tipo ”STOP-LOSS”ou ”EXCESS-OF-LOSS” Id∗ (x) = 0 , x < d∗ x − d∗ , x ≥ d∗ em que d∗ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao P = ∞ d (x − d)f (x)dx (= E[Id∗ (X)]) 56 / 57
  • 57. introdu¸c˜ao breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade elementos de seguro Observa¸c˜oes: Uma ap´olice de seguro n˜ao pode ser adquirida simplesmente pelo valor esperado das indemniza¸c˜oes. (despesas admnistrativas, lucro, carga de seguran¸ca) O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre a seguradora e o segurado, mas n˜ao estabelece o pr´emio P a ser pago. (P fixado `a partida.) 57 / 57