Teoria de utilidade e seguro

introdu¸c˜ao
breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
1. teoria da utilidade e seguro
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introdu¸cão
elementos de seguro
1 introdu¸cão
2 breves no¸cões acerca da teoria da utilidade
3 alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
4 elementos de seguro
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introdu¸cão
elementos de seguro
Introdu¸cão
Um sistema de seguran¸ca é, de um modo lato, um mecanismo
criado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adverso
resultante de acontecimentos aleatórios que impedem a
concretiza¸cão de certas perspectivas razoáveis à partida.
Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorrência de
acontecimentos aleatórios é o JOGO.
No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele
(sistema de seguran¸ca) ser criado com vista a proteger contra
oimpacto económico de riscos que existem e estão fora de controle
do segurado, enquanto que no jogo o risco é
”procurado”voluntariamene pelos participantes.
Efectivamente, o único ponto comum entre estes dois sistemas é o
facto de envolverem uma redistribui¸cão da riqueza.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Se cada um de nós pudesse predizer as consequências das nossas decisões
obviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo...
desinteressante!
Tudo se resumiria a tomar decisões com base nas preferências
relativamente às consequências.
No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom profético.
O melhor que podemos fazer é seleccionar uma açcão que nos irá
conduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas.
A teoria da utilidade é uma teoria elaborada no sentido de levar a um
conhecimento aprofundado acerca de como tomar decisões face à
incerteza. Trata-se de uma teoria com importância relevante para os
sistemas de seguran¸ca.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Assim, face ao problema de tomar uma decisão face à
incerteza, uma solu¸cão poss´ıvel poderá ser definir o valor de
um projecto económico com resultado aleatório através do seu
valor esperado. Em economia é designado este valor por Valor
Justo ou Valor Actuarial.
Através deste princ´ıpio, o agente de decisão encara de modo
indiferente entre assumir um preju´ızo aleatório X e efectuar
um pagamento de montante E[X].
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introdu¸cão
elementos de seguro
No entanto, muitos agentes de decisão não adoptam este
princ´ıpio (por vezes, designado como Princ´ıpio do Valor
Justo); para eles, o n´ıvel de riqueza e outros aspectos da
distribui¸cão dos resultados influenciam as suas decisões. No
exemplo seguinte está bem patente a insuficiência do princ´ıpio
referido.
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elementos de seguro
Exemplo 1.1. (seguro de acidentes)
Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada.
Os três casos seguintes estão escalonados de acordo com o
montante de preju´ızo resultante de um acidente, eventualmente.
Preju´ızos Poss´ıveis (u.m.)1 Preju´ızo Esperado (u.m.)
caso 1 0 1 0.1
caso 2 0 1.000 100
caso 3 0 1.000.000 100.000
No caso 1 o montante de perdas não é relevante, pelo que o
agente de decisão não estará disposto a pagar mais do que o valor
esperado dos preju´ızos para efectuar o seguro.
1
u.m. - unidade monetária
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elementos de seguro
Contudo, se fixarmos a nossa aten¸cão no caso 3, um preju´ızo de
1.000.000 u.m. poderá revelar-se catastrófico e exceder as suas
disponibilidades financeiras.
Neste caso, possivelmente o agente de decisão poderá estar
disposto a pagar ”mais do que”o valor esperado do preju´ızo de
forma a efectuar o seguro.
Este facto sugere que o ”princ´ıpio do valor Justo”nem sempre é o
mais adequado como base da decisão.
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introdu¸cão
elementos de seguro
ALTERNATIVAS?
Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto de
um agente de decisão poder estar disposto a pagar mais do que o
valor esperado -
a fun¸cão utilidade.
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elementos de seguro
Os três exemplos seguintes situam-se na área dos JOGOS e servem
para ilustrar alguns dos conceitos fundamentais na Teoria da
Utilidade.
Exemplo 1.2.
Embora dois jogos distintos X e Y possam ter o mesmo ganho
esperado, uma pessoa que seja for¸cada a aceitar um dos dois jogos,
preferirá tipicamente um deles ao outro.
Por exemplo, sejam
X :
500 −400
1/2 1/2
e Y :
60 50 40
1/3 1/3 1/3
com E[X] = E[Y ] = 50.
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elementos de seguro
Contudo, uma pessoa que não queira arriscar perder 400 u.m. para
ter a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferirá, de um modo geral,
o jogo Y , que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de,
pelo menos, 40 u.m. .
A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com o
objectivo de descrever as preferências pessoais em jogos como os
que acabámos de descrever:
Uma pessoa preferirá um jogo X para o qual o valor esperado de
uma certa fun¸cão u(X), E[X], seja um máximo (em vez de E[X]!)
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introdu¸c˜ao
elementos de seguro
u(.) −→ fun¸c˜ao utilidade
x −→ u(x)
u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto de
ganhar o montante x.
because giving a bank note to a poor person makes more sense
than giving it to a millionaire – Rolski et al. (1999)
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E[u(X)] =
1
2
u(500) +
1
2
u(−400)
E[u(Y )] =
1
3
u(60) +
1
3
u(50) +
1
3
u(40)
> prefere X
E[u(X)] = E[u(Y )] indiferente entre X e Y
< prefere Y
u(x) é uma fun¸cão crescente do ganho X
É uma hipótese razoável, se pensarmos que pessoa prefere um
ganho maior a outro mais pequeno!
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elementos de seguro
Contudo, a forma de uma fun¸cão utilidade u(.) varia de pessoa
para pessoa e depende do balan¸co pessoal entre o risco assumido
referente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seus
ganhos.
Exemplo 1.3.
jogo 1. jogo 2.
X :
−3 2.5 6
0.5 0.4 0.1
Y :
−2 1 3
0.3 0.4 0.3
Qual a preferência pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2?
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elementos de seguro
a) Fun¸cão utilidade linear: u(x) = ax + b, a > 0.
E[u(X)] = E[aX + b] = aE[X] + b = aµX
+ b, donde
E[u(X)] > E[u(Y )] sse µX
> µY
portanto,
quando a utilidade é linear o jogo escolhido é sempre aquele para o
qual o ganho esperado é máximo.
E[X] = 0.5 × (−3) + 0.4 × 2.5 + 0.1 × 6 = 0.1
E[Y ] = 0.7
⇒ E[Y ] > E[X]
e portanto a preferência é pelo jogo 2.
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b) Fun¸cão utilidade cúbica: u(x) = x3
E[u(X)] = 0.5 × (−3)3
+ 0.4 × (2.5)3
+ 0.1 × (6)3
= 14.35
E[u(Y )] = 6.1
E[u(X)] > E[u(Y )]
⇒ preferência pelo jogo 1 (X)
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elementos de seguro
Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg)
O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nos
princ´ıpios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto da
fun¸cão utilidade, considerada como fun¸cão dos lucros poss´ıveis,
poderá não ser uma fun¸cão linear.
Suponhamos que é dada a oportunidade a uma pessoa de
participar no seguinte jogo:
Uma moeda é lan¸cada repetidamente até que seja obtida a face
“cara”pela primeira vez.
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elementos de seguro
Se a primeira vez que a face “cara”aparece é no n−ésimo
lan¸camento, então a pessoa obtem um GANHO de 2n u.m. ,
(n = 1, 2, . . .)
Questão:
Qual o montante que uma pessoa está disposta a gastar como
entrada de forma a permitir a sua participa¸cão no jogo?
P[X = 2n
] = P[obter primeira face “cara”no n-ésimo lan¸camento] =
=
1
2
n−1
×
1
2
=
1
2
n
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introdu¸cão
elementos de seguro
O ganho no jogo é descrito por
X :
2n, n = 1, 2, . . .
1
2
n
,
E[X] =
∞
n=1
2n 1
2
n
= ∞
Se a fun¸cão utilidade fosse uma fun¸cão linear, então a pessoa
estaria disposta a pagar como entrada qualquer montante
arbitrário.
No entanto, o que acontece de facto é que cada pessoa está
disposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmente
reduzida), que depende da sua própria fun¸cão utilidade.
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elementos de seguro
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da
utilidade
A fun¸cão utilidade, u(.), associada a um agente de decisão, pode
então ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivas
económicas aleatórias X e Y .
Seja w a riqueza que possui determinado agente de decisão
económica. Será seleccionada a perspectiva económica X se
E[u(w + X)] > E[u(w + Y )]
e será indiferente entre as duas perspectivas X e Y se
E[u(w + X)] = E[u(w + Y )]
quer dizer, a rela¸cão de preferência qualitativa ou de indiferen¸ca
pode ser substitu´ıda por uma compara¸cão numérica consistente.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a um
conhecimento aprofundado no campo dos SEGUROS.
Suponhamos que um agente de decisão possui uma propriedade
que pode ser danificada ou destru´ıda no per´ıodo de tempo
seguinte.
Seja X a variável aleatória que representa o montante de preju´ızos
(que pode ser eventualmente zero).
Consideremos também que a distribui¸cão de X é conhecida.
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elementos de seguro
X −→ montante de preju´ızo
E[X] −→ preju´ızo esperado no próximo per´ıodo.
SEGURADOR −→ organiza¸cão que ajuda a reduzir as
consequências financeiras do dano ou destrui¸cão da
propriedade.
SEGURADO −→ dono da propriedade sujeita a risco
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elementos de seguro
APÓLICES −→ contratos estabelecidos entre o segurador e o
segurado no sentido de ser pago um montante igual ou menor
do que o preju´ızo financeiro sofrido face ao dano que venha a
ocorrer eventualmente, no per´ıodo de vigência da apólice →
pagamento da indemniza¸cão.
PRÉMIO −→ pagamento efectuado pelo segurado ao
segurador como retribui¸cão das ”promessas”contidas na
apólice por parte do segurador.
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elementos de seguro
princ´ıpio do valor justo (ou esperado)
Supondo que o segurador adopta uma fun¸cão de utilidade linear
com o objectivo de estabelecer o prémio a ser pago pelo segurado,
o PRINCÍPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece esse
montante.
µ = E[X] → prémio puro para o per´ıodo da apólice em causa.
Este montante é incrementado de alguma sobrecarga (ou CARGA)
de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma seguran¸ca
contra o risco.
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elementos de seguro
Prémio = prémio puro + carga de seguran¸ca + carga admnistrativa
por exemplo :
P = µ(1 + θ) + c = µ + θ · µ + c
com θ, c > 0 e onde
θ – COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANÇA
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introdu¸cão
elementos de seguro
Princ´ıpios de Cálculo de Prémio
Existem outros princ´ıpios económicos que podem ser adoptados
pelas seguradoras.
Assim, e com µ := E[X], quando:
carga de seguran¸ca=
= θ · µ – Princ´ıpio do Valor Esperado.
= θ · VAR[X] – Princ´ıpio da Variância.
= θ · VAR[X] – Princ´ıpio do Desvio Padrão.
= θ · VAR[X]/µ – Princ´ıpio Modificado da Variância.
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elementos de seguro
Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco
- segurado - em termos da teoria da utilidade - u(x).
perspectiva do segurado
A indiferen¸ca entre pagar um montante G ao segurador e assumir
o risco ele próprio pode ser estabelecido pela igualdade
u(w − G) = E[u(w − X)] (∗)
onde
u(w − G) → valor esperado do pagamento de G para
proteçcão financeira dada pela seguradora
E[u(w − X)] → utilidade esperada de não comprar o seguro,
quando a riqueza é w
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introdu¸cão
elementos de seguro
No entanto...
O contrato da apólice deverá ser vantajoso para ambas as
partes- segurado e segurador.
Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedade não
pode ter uma fun¸cão utilidade linear.
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introdu¸c˜ao
elementos de seguro
Por absurdo, suponhamos que u(w) = aw + b, a > 0. De (∗),
a(w − G) + b = E[a(w − X) + b]
⇔ a(w − G) + b = aE(w − X) + b,
⇔ a(w − G) + b = a(w − µ) + b,
pelo que
G = µ
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introdu¸cão
elementos de seguro
O que quer dizer:
O pagamento (máximo) G que o segurado está disposto a pagar
de modo a ser indiferente fazer o seguro ou não, é igual ao preju´ızo
esperado, µ.
Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, para
que o contrato resulte, a companhia deverá cobrar um prémio
maior do que os preju´ızos esperados. Isto é, G > µ
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introdu¸cão
elementos de seguro
Desigualdade de Jensen:
Seja u(w) uma fun¸cão crescente, côncava. Isto é, suponhamos que
u (w) > 0 e u (w) < 0.
Então, para toda a v.a. X, desde que os valores médios envolvidos
existam, tem-se
E[u(X)] ≤ u(E[X])
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introdu¸c˜ao
elementos de seguro
Dem:
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elementos de seguro
u(w) ≤ u(µ) + u (µ)(w − µ), ∀w
pelo que
E[u(X)] ≤ E[u(µ) + u (µ)(X − µ)]
⇔ E[u(X)] ≤ u(µ) + u (µ)E[(X − µ)]
e, consequentemente,
E[u(X)] ≤ u(µ), c.q.d.
Verifica-se a igualdade apenas se X for constante.
Observa¸cão: Esta desigualdade é de grande aplicabilidade em
Matemáticas Actuariais.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Retomamos agora o problema da fun¸cão utilidade adoptada pelo
dono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas as
partes o contrato constante da apólice.
De (*) vem o seguinte quando u(.) é côncava:
u(w − G) = E[u(w − X)] ≤ u(w − µ)
a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porque u(.) é
crescente, conclui-se que
w − G ≤ w − µ
e consequentemente
G ≥ µ.
Com G > µ a menos que X seja constante.
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elementos de seguro
Então,
o segurado pagará um montante maior do que o preju´ızo esperado
de forma a efectuar o seguro → ADVERSO AO RISCO.
Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma fun¸cão
utilidade côncava u1(.). Consideremos também
H → prémio m´ınimo aceitável para assumir o preju´ızo
aleatório X
w1 → riqueza corrente
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elementos de seguro
perspectiva do segurador
u1(w1) = E[u1(w1 + H − X)]
Corresponde ao
Princ´ıpio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente seja
igual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito o
seguro (recebidos os prémios (H) e pagos os preju´ızos ou
indemniza¸cões (X)).
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elementos de seguro
Então, se u1(.) é côncava (e crescente) vem H ≥ µ
apólice praticável
Se
G ≥ H ≥ µ
então a apólice é praticável!
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Exemplos de fun¸cões utilidade
fun¸cões utilidade exponenciais
u(w) = −e−αw
propriedades da fun¸cões utilidade exponenciais
u(w) é uma f. utilidade associada a uma atitude adversa face
ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0)
Tem-se que E[u(X)] = −MX
(−α), com MX
(r) = E[erX ] a
f.g.m. de X.
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elementos de seguro
propriedades da fun¸cões utilidade exponenciais
O prémio de seguro não depende da riqueza do agente de
decisão (segurado ou seguradora)
u(w − G) = E[u(w − X)] ⇒ −e−α(w−G)
= E[−e−α(w−X)
]
⇒ eαG
= MX
(α) ⇒ G =
log MX
(α)
α
que não depende de w.
Analogamente,
u1(w1) = E[u1(w1 + H − X)] ⇒ H =
log MX
(α1)
α1
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elementos de seguro
Exemplo de aplica¸cão:
Um agente de decisão tem f. utilidade u(w) = −e−5w . Face a
duas perspectivas económicas X e Y , qual delas prefere quando
1 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.5)
2 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.4)
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elementos de seguro
Resolu¸cão:
Recorde-se que X ∼ N(µ, σ2) ⇒ MX
(r) = eµr+σ2r2/2
1
E[u(X)] = −MX
(−5) = −1
e
E[u(Y )] = −MY
(−5) = −e−1.25
tem-se E[u(X)] > E[u(Y )] e portanto prefere X.
Observa¸cão: note-se que µX
< µY
2 Neste caso, E[u(Y )] = −1 e portanto é indiferente entre X e
Y .
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elementos de seguro
fun¸cões utilidade potência fraccionárias
u(w) = wγ
, w > 0, 0 < γ < 1
propriedades da fun¸cões utilidade potência fraccionárias
atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0)
prémios dependem da riqueza do agente de decisão.
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u(w) =
√
w; considere-se w = 10 e X ∼ U(0, 10). Qual o
montante máximo (G) que o agente está disposto a pagar para ter
cobertura face a um preju´ızo aleatório X?
Resolu¸cão:
u(10 − G) = E[u(10 − X)]
⇔
√
10 − G =
10
0
√
10 − x
1
10
dx
⇔ G ==
2
3
√
10 ⇔ G = 10 ×
5
9
= 5.56
Observa¸cão: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atrás,
G > E[X]
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introdu¸cão
elementos de seguro
fun¸cões utilidade quadráticas
u(w) = w − αw2
, w <
1
2α
, α > 0
propriedades das fun¸cões utilidade quadráticas
atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0)
a decisão depende apenas do valor médio e da variância
de X, E[X] e E[X2].
Observa¸cão: este tipo de fun¸cões utilidade pode ter como
consequência certas atitudes “absurdas”face ao risco. Vejamos um
exemplo disso:
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introdu¸cão
elementos de seguro
Consideremos o seguinte cenário:
u(w) = w − 0.01w2
, w < 50; X :
0 c
p 1 − p
Qual o montante máximo (G) que o agente de decisão está
disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleatório
X? Considere c = 10 e p = 1
2 e compare os resultados para dois
valores de w, w1 = 10 e w2 = 20.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Resolu¸cão:
u(w − G) = E[u(w − X)]
pelo que G deverá satisfazer a seguinte equa¸cão de segundo grau:
(w − G) − 0.01(w − G)2
= pu(w) + (1 − p)u(w − c)
= p[w − 0.01w2
] +
(1 − p)[(w − c) − 0.01(w − c)2
]
w1 = 10 −→ G = 5.28
w1 = 20 −→ G = 5.37
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introdu¸cão
elementos de seguro
Observa¸cões:
1 em ambos os casos G > E[X] = 5 (adverso ao risco);
2 a conclusão é algo absurda! O agente de decisão está disposto
a pagar um prémio superior no caso se ser, à partida, mais
rico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)!
As fun¸cões utilidade quadráticas não são convenientes para
agentes de decisão com tendência a sofrer preju´ızos que aumentam
no sentido da riqueza.
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introdu¸cão
elementos de seguro
tipos de cobertura
Temos vindo a falar de seguros de cobertura total face a um
poss´ıvel dano que afecte um agente de decisão.
Vejamos no seguinte exemplo as consequências que advêm do
facto de ser adoptada uma pol´ıtica de cobertura parcial.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Exemplo:
Consideremos
u(w) = −e−0.005w
.
A probabilidade que uma propriedade não seja danificada, no
próximo per´ıodo, é de 0.75; sendo sujeita a um dano
convenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valor
médio 100, caso contrário.
Compare os montantes prémio quando tem à sua escolha cada
uma das seguintes pol´ıticas face ao dano:
1 Cobertura total;
2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguro
PROPORCIONAL).
e calcule o montante de excesso face às indemniza¸cões esperadas,
em cada um dos casos.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Resolu¸cão:
O dano, X, é uma v.a. mista:
X :
0 Z ∼ Exp(100)
0.75 0.25
,
fZ
(z) = 0.01e−0.01z, z > 0; I(X) := cobertura.
1 Cobertura Total, i.e., tem-se I(X) = X.
E[I(X)] = E[X] = 0.75×0+0.25×E[Z] = 0.25×100 = 25u.m.
2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I(X) = X
2 .
E[I(X)] =
25
2
= 12.5u.m.
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introdu¸cão
elementos de seguro
Determinemos para ambos os casos o montante máximo que o
agente está disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G:
caso 1: cobertura total
u(w − G) = E[u(w − X)]
= 0.75u(w) + 0.25E[u(w − Z)]
−e−0.005(w−G)
= 0.75(−e−0.005w
) + 0.25E[−e−0.005(w−Z)
]
(−e−0.005w
)e0.005G
= 0.75(−e−0.005w
)
+0.25(−e−0.005w
)E[e0.005Z
]
e0.005G
= 0.75 + 0.25E[e0.005Z
]
Note-se que E[e0.005Z ] = MZ
(0.005).
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introdu¸cão
elementos de seguro
Sendo MZ
(r) = 1
1−100r , para r < 0.01, obtemos MZ
(0.005) = 2
e portanto
G = 44.63u.m.
donde o excesso face à indemniza¸cão esperada é
G − E[I(X)] = G − E[X] = 44.63 − 25 = 19.63u.m.
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introdu¸c˜ao
elementos de seguro
caso 2: cobertura parcial de metade dos danos.
Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com cobertura
parcial `a utilidade esperada sem cobertura.
E[u(w − G − (X − I(X)))] = E[u(w − X)]
E u w − G −
X
2
= E[u(w − X)]
0.75u(w − G) + 0.25E u w − G −
Z
2
=
= 0.75u(w) + 0.25E[u(w − Z)]
...
G = 28.62u.m.
G−E[I(X)] = 28.62−12.5 = 16.12 > 12.5 (perda parcial esperada)
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introdu¸cão
elementos de seguro
elementos de seguro
Uma vez identificada uma classe de situa¸cões sujeitas a risco (e
como tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informa¸cões
acerca das utilidades esperadas, associadas ao processo de
preju´ızos respectivo.
As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas têm
sido usadas como fundamento para uma teoria elaborada no
sentido de constituir um guia para os agentes de decisão, no
sentido de tomarem açcões consistentes com as suas preferências.
Fa¸camos um ponto da situa¸cão nesse campo:
0 ≤ I(X) ≤ X.(apólices admiss´ıveis)
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introdu¸cão
elementos de seguro
Hipótese simplificadora do problema
Suponhamos que qualquer apólice admiss´ıvel pode ser adquirida
pelo montante respeitante à indemniza¸cão esperada
−→ E[I(X)] ≤ E[X]
Suponhamos que a fun¸cão utilidade é tal que o agente de
decisão é adverso ao risco (u (w) > 0 e u (w) < 0)
P- prémio a ser pago pelo agente de decisão.
0 < P = E[I(X)] ≤ E[X]
E[X] = µ
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introdu¸cão
elementos de seguro
Teorema: Arrow (1963) (seguro de saúde)
De acordo com as condi¸cões anteriores, a utilidade de um agente
de decisão adverso face ao risco é MAXIMIZADA adquirindo uma
apólice de seguro tipo ”STOP-LOSS”ou ”EXCESS-OF-LOSS”
Id∗ (x) =
0 , x < d∗
x − d∗ , x ≥ d∗
em que d∗ é solu¸cão da equa¸cão
P =
∞
d
(x − d)f (x)dx (= E[Id∗ (X)])
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introdu¸cão
elementos de seguro
Observa¸cões:
Uma apólice de seguro não pode ser adquirida simplesmente
pelo valor esperado das indemniza¸cões. (despesas
admnistrativas, lucro, carga de seguran¸ca)
O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre a
seguradora e o segurado, mas não estabelece o prémio P a ser
pago. (P fixado à partida.)
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Teoria de utilidade e seguro

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