TSin_2010-11 .pdf

Teoria do Sinal 1
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sinais e Sistemas, Contínuos e Discretos
Campos de aplicação:
Comunicações modulação; modems; …
Aeronáutica e Astronáutica sensores / realimentação; …
Controlo de processos química / alimentar; máquinas-ferramenta; …
Economia / Demografia previsões de mercado bolsista; análise de migrações; …
Agricultura maturação de cereais; …
Produção de energia análise de fenómenos transitórios; exploração de petróleos; …
Prospecção mineira localização / quantificação de jazigos
Engenharia biomédica diagnóstico ECG’s; realidade virtual; …
Electrónica projecto de circuitos; …
Construção civil comportamento de estruturas; …
Cartografia recenseamento / planeamento urbano; …
Ecologia variações de populações animais / florestais; …
…
( tem po contínuo ? / tem po d iscreto ? )
Introdução à disciplina
Teoria do Sinal 2
© A. J. Padilha (2010/2011)
Objectivos de estudo
Caracterização de sistemas
– análise: por exemplo, o estudo do sistema auditivo
humano, ou de um ecossistema;
Projecto de sistemas
– síntese: por exemplo, restauração de imagens,
ou filtragem de ruído;
Modificação de sistemas
– controlo: por exemplo, controlo de máquinas-ferramenta,
ou controlo de sistemas financeiros.
Introdução à disciplina
dB
Hz

Teoria do Sinal 3
© A. J. Padilha (2010/2011)
Representação matemática da dependência funcional de determinadas grandezas
(por omissão, vamos admitir que há uma única variável independente designada
tempo);
Exemplos de um sinal contínuo x(t) e de um sinal discreto x[n]:
Introdução aos sinais
n
x[n]
1 2
3 4
-3 -2 -1 7 8 9 10
5 6
t
x(t)
Sinais e sistemas, contínuos e discretos
Teoria do Sinal 4
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplos de transformações do tipo x(-t), x(2t), x(t/2), x(t-t0), x[-n], x[2n], x[n/2],
x[n-n0]:
Transformações da variável independente
x(t)
t t
x(-t)
x[n]
n
x[-n]
n

Teoria do Sinal 5
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplos de transformações do tipo x(-t), x(2t), x(t/2), x(t-t0), x[-n], x[2n], x[n/2],
x[n-n0]:
x(t)
t
x(t-t0
)
t0 t
x[n]
n
x[n-2]
n
n0
n0
= 2
Teoria do Sinal 6
© A. J. Padilha (2010/2011)
( ) ( ) : ,
x t x at b a b
→ + ∈ℜ ∈ℜ
( ) ( )
( )
b
x t x a t
a
→ +
Para a transformação genérica seguinte:
começar por reescrever (p. ex.) na forma:
e efectuar de seguida, por ordem, as operações de (ver a seguir):
1º) alteração de escala (incluindo reflecção, se o factor de escala for negativo)
2º) translação
Verificação: (a realizar para “pontos característicos” do sinal, como os pontos A, B e C dos
dois exemplos a seguir)
ponto A:
ponto B:
ponto C:
N.B.: o processo de verificação constitui, por si mesmo, um método de realização gráfica
da mudança de variável.
OBS.: no caso de sinais discretos pode usar-se um método semelhante, tendo o cuidado de
notar que a variável independente, antes e depois da transformação, só assume
valores inteiros.
( )
1 1
at b t t t b a
+ = → = −
( )
2 2
at b t t t b a
+ = → = −
0
at b t b a
+ = → = −

Teoria do Sinal 7
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo 1 Exemplo 2
0 < a < 1 ; b < 0 a < -1 ; b < 0
t
t1 t2
x(t)
0
t+b/a
t1 /a
x(a(t+b/a))
0 t2 /a
t
t1 /a - b/a
x(a(t+b/a))
-b/a t2 /a - b/a
A
C
B
A
C
B
A
C
B
t
t1 t2
x(t)
0
t+b/a
t1 /a
x(a(t+b/a))
0
t2 /a
A
C
B
A
C
B
t
(t1 -b)/a
x(a(t+b/a))
-b/a
(t2 -b)/a
A
C
B
Teoria do Sinal 8
© A. J. Padilha (2010/2011)
( ) ( ), ,
x t x at b a b
→ + ∈R
A
-1 1 t
x(t)
Por exemplo, para
2; 2
a b
= = − ( ) ( )
2 2
x t x t
→ −
( ) ( )
2
y t x t
=
A
1/2 3/2 t
z(t) = y(t-1) = x(2t-2)
Resolução 1:
1º passo
2º passo
( ) ( ) ( )
1 2 2
z t y t x t
= − = −
A
-1/2 1/2 t
y(t) = x(2t)

Teoria do Sinal 9
© A. J. Padilha (2010/2011)
( ) ( ), ,
x t x at b a b
→ + ∈R
A
-1 1 t
x(t)
Por exemplo, para
2; 2
a b
= = − ( ) ( )
2 2
x t x t
→ −
( ) ( )
2
y t x t
= −
A
1/2 3/2 t
z(t) = y(2t) = x(2t-2)
Resolução 2:
1º passo
2º passo
( ) ( ) ( )
2 2 2
z t y t x t
= = −
A
1 3 t
y(t) = x(t-2)
2
Teoria do Sinal 10
© A. J. Padilha (2010/2011)
Um sinal contínuo é par se
exemplo:
ou, no caso discreto, um sinal é par se
exemplo:
Sinais pares e sinais ímpares
( ) ( )
t
x
t
x =
−
x(t)
t
[ ] [ ]
n
x
n
x =
−
x[n]
n

Teoria do Sinal 11
© A. J. Padilha (2010/2011)
Um sinal contínuo é ímpar se
exemplo:
ou, no caso discreto, um sinal é ímpar se
exemplo:
Sinais pares e sinais ímpares
( ) ( )
t
x
t
x −
=
−
[ ] [ ]
n
x
n
x −
=
−
x(t)
t
x[n]
n
Teoria do Sinal 12
© A. J. Padilha (2010/2011)
Um sinal contínuo pode ser decomposto em parte par e parte ímpar da seguinte
forma:
em que
- parte par de x(t)
- parte ímpar de x(t)
como temos
Decomposição em parte par e parte ímpar
( ) ( ) ( )
t
x
t
x
t
x i
p +
=
( )
t
xp
( )
t
xi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x i
p
i
p −
=
−
+
−
=
−
( ) ( ) ( )
2
t
x
t
x
t
xp
−
+
= ( ) ( ) ( )
2
t
x
t
x
t
xi
−
−
=

Teoria do Sinal 13
© A. J. Padilha (2010/2011)
No caso discreto temos:
em que
- parte par de x[n]
- parte ímpar de x [n]
podem ser obtidas da seguinte forma:
Decomposição em parte par e parte ímpar
[ ] [ ] [ ]
n
x
n
x
n
x i
p +
=
[ ]
n
xp
[ ]
n
xi
[ ] [ ] [ ]
2
n
x
n
x
n
xp
−
+
= [ ] [ ] [ ]
2
n
x
n
x
n
xi
−
−
=
Teoria do Sinal 14
© A. J. Padilha (2010/2011)
O valor médio de x(t) para o intervalo [t1;t2] é definido da seguinte forma:
ou para todo o domínio (em regra, neste caso omite-se o índice ∞)
No caso discreto temos, consoante o caso:
Valor médio
( ) [ ]
( )
2
1 2 1
;
1 2
1 t
t t t
x t x t dt
t t
=
− ∫
( ) ( )
2
2
1
lim
D
D
D
x t x t dt
D −
→∞
= ∫
[ ] [ ]
2
2 1
1 2
1
1
1
[ ; ]
n
n n
n n
k n
x n x k
− +
=
= ∑
[ ] [ ]
1
2 1
lim
M
M
M
k M
x n x k
+
→∞
=−
= ∑

Teoria do Sinal 15
© A. J. Padilha (2010/2011)
O sinal x(t) é periódico se existir um valor positivo T para o qual
– para m inteiro verifica-se que
– o período fundamental é o menor valor de T
exemplo:
No caso discreto um sinal x[n] é periódico se existir um inteiro positivo N tal que
O menor valor possível de N é o período fundamental. Qualquer múltiplo do período
fundamental é também um período de x[n].
Sinais periódicos
( ) ( ) t
T
t
x
t
x ∀
+
=
( ) ( ) t
mT
t
x
t
x ∀
+
=
-2T -T 0
x(t)
T 2T t
… …
[ ] [ ] n
N
n
x
n
x ∀
+
=
Teoria do Sinal 16
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se x(t) é periódico com período T
em que
-valor médio de x(t) {ou parte contínua ou componente contínua}
-parte alternada de x(t)
Exemplo:
Decomposição em componentes contínua e alternada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ac ac
T
x t x t x t x t x t
∞
= + = +
( ) ( )
T
x t x t ∞
=
( )
t
xac
-3 -2 -1 1 2 3 4 t
5
2 …
v(t)
…
( ) ( ) ( )
2 1
1 1 1
2 2
0 0
2 1
T
T
T
v t v t dt v t dt dt
= = = =
∫ ∫ ∫
-1
t
1
…
…
vac(t)
( ) ( ) ( )
ac T
v t v t v t
= −

Teoria do Sinal 17
© A. J. Padilha (2010/2011)
Para a maioria dos sinais que nos interessam, uma vez que representam fenómenos
físicos, faz sentido definir a sua energia e a sua potência;
A energia de um sinal x(t) no intervalo [t1,t2] é dada por:
e a sua potência média, no mesmo intervalo, é dada por:
Energia e Potência
∫
=
2
1
2
)
(
t
t
dt
t
x
E
[ ]
2
1 2
1
2
;
2 1
1
( )
t
t t
t
P x t dt
t t
=
− ∫
Teoria do Sinal 18
© A. J. Padilha (2010/2011)
Para os sinais discretos temos as seguintes definições equivalentes:
A energia de um sinal x[n] no intervalo [n1,n2] é dada por:
e a sua potência média para o mesmo intervalo é dada por:
em que n2-n1+1 é o número de pontos do intervalo.
Energia e Potência
∑
=
=
2
1
2
]
[
n
n
n
n
x
E
[ ]
2
1 2
1
2
;
2 1
1
[ ]
1
n
n n
n n
P x n
n n =
=
− +
∑

Teoria do Sinal 19
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se quisermos definir energia e potência média no intervalo -∞<t<∞ no caso contínuo
e -∞<n<∞ no caso discreto, temos, para o caso contínuo, as seguintes expressões
para a energia e para a potência média:
e
e para o caso discreto:
e
O valor eficaz de um sinal periódico, contínuo ou discreto, é dado por:
OBS: Mostre que, para sinais periódicos, a potência média pode ser obtida com um
domínio de integração de extensão exactamente igual a um período! O que resulta?
Energia e Potência
2 2
1
( ) lim ( )
2
C
C
C
E x t dt P x t dt
C
∞
∞ ∞
→∞
−∞ −
= =
∫ ∫
2 2
1
[ ] lim [ ]
2 1
D
D
n n D
E x n P x n
D
∞
∞ ∞
→∞
=−∞ =−
= =
+
∑ ∑
ef
V P∞
=
Teoria do Sinal 20
© A. J. Padilha (2010/2011)
Podemos classificar os sinais em três categorias de acordo com os valores da sua
energia e da sua potência média.
Os sinais com energia finita, E∞<∞, são denominados “sinais de energia”. Estes sinais
têm P∞=0.
Exemplos:
Os sinais com potência média finita, P∞<∞, são denominados “sinais de potência”.
Estes sinais têm E∞=∞.
Exemplo:
Finalmente, existe uma categoria de sinais em que E∞ e P∞ são infinitos.
Exemplo:
Energia e Potência


 <
<
−
=


 <
<
−
=
n
n
n
x
t
t
t
x
outros
0
0
3
1
]
[
ou
outros
0
1
1
1
)
(
7
]
[
ou
3
)
( =
= n
x
t
x
n
n
x
t
t
x 2
]
[
ou
)
( =
=

Teoria do Sinal 21
© A. J. Padilha (2010/2011)
C
t
x(t)
a>0
C
t
x(t)
a<0
Exponencial complexa contínua
• Caso 1: C e a são reais.
Estamos perante uma exponencial real.
Sinais contínuos e discretos básicos
at
Ce
t
x =
)
(
Teoria do Sinal 22
© A. J. Padilha (2010/2011)
• Caso 2: a é puramente imaginário.
Neste caso temos (considerando C = 1, sem perda de generalidade):
com
Este sinal é periódico, isto é, existe um valor de T para o qual
O menor valor de T é dado por: para
A parte real do sinal é co-sinusoidal e a parte imaginária é sinusoidal:
at
Ce
t
x =
)
(
0
a jω
=
)
(
0
0 T
t
j
t
j
e
e +
= ω
ω
0
0
2
T
π
ω
=
0
( ) j t
x t e ω
=
0 0
ω ≠
( ) ( )
0
0 0
( ) cos sin
j t
x t e t j t
ω
ω ω
= = +

Teoria do Sinal 23
© A. J. Padilha (2010/2011)
C=1+j2
a=0.1+j1.5
xR(t)=Re{Ceat
}
cos(1.5 t + arctg 2)
-|C| e0.1t
|C| e0.1t
• Caso 3: C e a são complexos (caso geral).
at
Ce
t
x =
)
(
0
;
j
C C e a r j
θ
ω
= = +
( ) ( )
( ) ( )
{ } ( )
0 0
0
( ) ; Re cos
r j t j t
j rt rt
R
x t C e e C e e x t x t C e t
ω ω θ
θ
ω θ
+ +
= = = = +
Teoria do Sinal 24
© A. J. Padilha (2010/2011)
Degrau unitário contínuo (degrau de Heaviside)
Impulso unitário contínuo (impulso de Dirac)
O impulso unitário δ(t) relaciona-se com u(t) da seguinte forma:
0, 0
( )
1, 0
t
u t
t
<

= 
>
 t
u(t)
1
( )
( )
t
u t d
δ τ τ
−∞
= ∫
t
δ(t)
1

Teoria do Sinal 25
© A. J. Padilha (2010/2011)
Impulso unitário contínuo (impulso de Dirac)
Se considerarmos o sinal u∆(t)
e calcularmos chegamos a
Para obter δ(t) basta fazer
t
u∆(t)
1
∆
( ) ( )
dt
t
du
t ∆
∆ =
δ
t
δ∆(t)
∆
1/∆
( ) ( )
t
t ∆
→
∆
= δ
δ
0
lim
( )





infinita
amplitude
unitária
área
zero
largura
tem
t
δ
Teoria do Sinal 26
© A. J. Padilha (2010/2011)
Degrau unitário discreto
Impulso unitário discreto
[ ]



≥
<
=
0
,
1
0
,
0
n
n
n
u
[ ]



=
≠
=
0
,
1
0
,
0
n
n
n
δ
[ ] [ ] [ ]
1
−
−
= n
u
n
u
n
δ
n
δ[n]
1
n
u[n]
1
...

Teoria do Sinal 27
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exponencial complexa discreta
• Caso 1: C e α são reais.
Estamos perante uma exponencial real.
Devem ser considerados os seguintes casos: α > 1, 0 < α <1, -1 < α < 0 e α < -1
•Caso 2: C=1 e β puramente imaginário.
Neste caso temos com
Este sinal tem a seguinte relação com o sinal sinusoidal discreto
[ ] [ ] β
β
α
α e
Ce
n
x
C
n
x n
n
=
=
= com
,
ou
[ ] n
j
e
n
x 0
Ω
=
[ ] ( ) n
j
j
n
j
j
e
e
A
e
e
A
n
A
n
y 0
0
2
2
cos 0
Ω
−
−
Ω
+
=
+
Ω
= φ
φ
φ
0
j
β = Ω
Teoria do Sinal 28
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exponencial complexa discreta
• Caso 3: C e β são complexos.
Sendo e temos
Para |α|=1 as partes real e imaginária são sinusoidais.
Para |α|<1 a sequência sinusoidal é multiplicada por uma exponencial decrescente.
Para |α|>1 a sequência sinusoidal é multiplicada por uma exponencial crescente.
[ ] [ ] β
β
α
α e
Ce
n
x
C
n
x n
n
=
=
= com
,
ou
[ ] ( ) ( )
0
0 0
cos sin
n n n
j n
n j
x n C C e e C n j C n
Ω
θ
= α = α = α Ω + θ + α Ω + θ
θ
j
e
C
C = 0
Ω
= j
e
α
α

Teoria do Sinal 29
© A. J. Padilha (2010/2011)
Periodicidade da exponencial complexa discreta
Ao contrário do caso contínuo, no caso discreto, para a exponencial complexa
– A taxa de oscilação não cresce indefinidamente com .
A frequência é a mesma que a frequência .
A taxa de oscilação cresce desde 0 até π, decrescendo depois até 2π.
– Para que x[n] seja periódico é necessário que exista um inteiro N para o qual
ou seja que (m inteiro), isto é
. x[n] só é periódico se for um número racional.
[ ] n
j
e
n
x 0
Ω
=
π
2
0
Ω
π
2
0 +
Ω
0
Ω
0
Ω
0 2
N m
π
Ω =
( )
0 0
j n N j n
e e
Ω + Ω
=
N
m
=
Ω
π
2
0
Teoria do Sinal 30
© A. J. Padilha (2010/2011)
Periodicidade da exponencial complexa discreta
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
COS
SIN
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
COS
SIN
k=0 v k=8 k=4
k=1 k=2 k=3
k=7 k=6 k=5
ΩB=π/4
[ ] ( )
B
j k n
x n e
⋅Ω
=

Teoria do Sinal 31
© A. J. Padilha (2010/2011)
Diferenças entre as exponenciais complexas contínua e discreta
Caso contínuo Caso discreto
Sinais distintos para distintos Sinais idênticos para exponenciais de
valores de frequências separadas por 2π
Periódico para qualquer Periódico apenas se
valor de
para m e N > 0 inteiros
[ ] n
j
e
n
x 0
Ω
=
( ) t
j
e
t
x 0
ω
=
0
ω
0
ω
N
m
π
2
0 =
Ω
Teoria do Sinal 32
© A. J. Padilha (2010/2011)
Diferenças entre as exponenciais complexas contínua e discreta
Caso contínuo Caso discreto
Frequência fundamental Frequência fundamental1
Período fundamental Período fundamental1
indefinido para indefinido para
para para
1 Válido apenas se m e N não tiverem factores comuns
[ ] n
j
e
n
x 0
Ω
=
( ) t
j
e
t
x 0
ω
=
0
ω
0
0 =
ω
m
0
Ω
0
0 =
Ω
0
0 ≠
ω 0
0 ≠
Ω
0
2
ω
π








Ω0
2π
m

Teoria do Sinal 33
© A. J. Padilha (2010/2011)
Definição
Um sistema pode ser entendido como qualquer processo que resulta na transformação
de sinais, podendo ser caracterizado como dispondo de um sinal de entrada e de um
sinal de saída que se relacionam pela transformação do sistema.
As notações usadas para representar as transformações de sistema, sejam eles
contínuos ou discretos, são as que seguem:
Sistemas
( ) ( )
t
y
t
x → [ ] [ ]
n
y
n
x →
x(t) y(t) x[n] y[n]
S. contínuo S. discreto
Teoria do Sinal 34
© A. J. Padilha (2010/2011)
Memória
Um sistema diz-se sem memória se o seu valor de saída, para um dado valor da
variável independente (tempo), só depender do valor da entrada nesse mesmo tempo.
Um sistema contínuo com a seguinte relação entre a entrada e a saída:
não tem memória.
Já os sistemas caracterizados pelas seguintes relações entre a entrada e a saída têm
memória:
Propriedades dos Sistemas
( ) ( ) ( )
3
2
y t x t x t
= +
( ) ( )
1
−
= t
x
t
y [ ] [ ]
1
−
= n
x
n
y
( ) ( )
1
t
y t x d
C
τ τ
−∞
= ∫ [ ] [ ]
∑
−∞
=
=
n
k
k
x
n
y

Teoria do Sinal 35
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sistemas invertíveis
Um sistema é invertível se entradas distintas produzirem saídas distintas, ou seja, se a
observação da saída permitir determinar a entrada. Dito ainda de outra forma, um
sistema é invertível se for possível construir um outro sistema (sistema inverso) que,
ligado em série com o primeiro, produza uma saída idêntica à entrada desse.
Exemplo 1: o sistema
tem um sistema inverso
Exemplo 2: o sistema
tem um sistema inverso
( ) ( )
2
y t x t
=
[ ] [ ] [ ]
1
−
−
= n
y
n
y
n
z
[ ] [ ]
∑
−∞
=
=
n
k
k
x
n
y
( ) ( )
t
y
t
z
2
1
=
Teoria do Sinal 36
© A. J. Padilha (2010/2011)
Causalidade
Um sistema é causal se a sua saída, para qualquer instante de tempo, depender apenas
dos valores presente e passados da entrada, isto é, o sistema não antecipa as entradas.
Se a um sistema causal forem aplicadas entradas idênticas até um certo instante t0 ou
n0, as suas saídas devem ser idênticas até esse instante.
Exemplos: o sistema é causal;
o sistema não é causal;
o sistema não é causal;
o sistema é causal;
( ) ( )
2
−
= t
x
t
y
( ) ( ) ( )
2
+
−
= t
x
t
x
t
y
[ ] [ ]
∑
−
=
−
+
=
M
M
k
k
n
x
M
n
y
1
2
1
[ ] [ ] [ ]
2
1
−
−
=
n
x
n
x
n
y

Teoria do Sinal 37
© A. J. Padilha (2010/2011)
Estabilidade
Diz-se que um sistema é estável se, para entradas limitadas, a saída também for
limitada.
O sistema
é estável, porque como a saída corresponde à média de 2M+1 entradas consecutivas,
se essas entradas forem limitadas, a saída será obrigatoriamente limitada.
O sistema
não é estável, porque entradas limitadas podem originar saídas ilimitadas. Se, por
exemplo, a entrada for um degrau unitário u(t), como a saída corresponde à
acumulação das entradas desde - ∞, a saída é ilimitada.
[ ] [ ]
∑
−
=
−
+
=
M
M
k
k
n
x
M
n
y
1
2
1
[ ] [ ]
∑
−∞
=
=
n
k
n
x
n
y
Teoria do Sinal 38
© A. J. Padilha (2010/2011)
Invariância temporal
Um sistema é invariante no tempo se uma translação temporal do sinal de entrada
originar a mesma translação no sinal de saída.
Se, no caso contínuo, ou, no caso discreto,
a invariância temporal implica que
e
( ) ( ) [ ] [ ]
n
y
n
x
t
y
t
x →
→
( ) ( )
0
0 t
t
y
t
t
x −
→
−
[ ] [ ]
0
0 n
n
y
n
n
x −
→
−

Teoria do Sinal 39
© A. J. Padilha (2010/2011)
Linearidade
Um sistema é linear quando possui a propriedade da sobreposição. Para que um
sistema seja linear é necessário que:
– a resposta à entrada seja , em que e
são as respostas a e respectivamente;
e que
– a resposta a seja .
Combinando a duas propriedades anteriores, aditividade e homogeneidade, temos
ou, no caso discreto
( ) ( )
t
x
t
x 2
1 + ( ) ( )
t
y
t
y 2
1 + ( ) ( )
t
y
t
y 2
1
( ) ( )
t
x
t
x 2
1
( )
1
a x t ( )
1
a y t
( ) ( ) ( ) ( )
t
by
t
ay
t
bx
t
ax 2
1
2
1 +
→
+
[ ] [ ] [ ] [ ]
n
by
n
ay
n
bx
n
ax 2
1
2
1 +
→
+
Teoria do Sinal 40
© A. J. Padilha (2010/2011)
Uma propriedade dos sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), que traduz o
princípio da sobreposição, determina que a resposta desses sistemas a uma entrada que
seja a combinação linear de sinais,
é a mesma combinação linear das respostas do sistema a cada um desses sinais
componentes,
Portanto, se for possível representar qualquer sinal de entrada como a combinação
linear de sinais básicos, basta conhecer a resposta de um sistema LTI a esses sinais
básicos para se poder determinar a sua resposta a qualquer sinal de entrada.
Representação de sinais por meio de impulsos
Sistemas lineares e invariantes
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3 ...
x t a x t a x t a x t
= + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3 ...
y t a y t a y t a y t
= + + +

Teoria do Sinal 41
© A. J. Padilha (2010/2011)
(decomposição em impulsos unitários)
Caso discreto
Como
pode-se escrever
Caso contínuo
Como
substituindo t0 por τ e integrando temos
[ ] [ ] [ ] [ ],
0
0
0 n
n
n
x
n
n
n
x −
=
− δ
δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t d x t t d x t t d x t
τ δ τ τ δ τ τ δ τ τ
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
− = − = − =
∫ ∫ ∫
[ ] [ ] [ ].
∑
∞
−∞
=
−
=
k
k
n
k
x
n
x δ
( ) ( ) ( ) ( ),
0
0
0 t
t
t
x
t
t
t
x −
=
− δ
δ
Teoria do Sinal 42
© A. J. Padilha (2010/2011)
Em alternativa, podemos chegar ao mesmo resultado da seguinte forma:
Se se aproximar um sinal x(t), utilizando impulsos de largura ∆ e amplitude 1/∆,
obtém-se o seguinte sinal:
O sinal tende para se fizermos ∆ tender para zero.
ou seja
( ) ( ) ( )
ˆ .
k
x t x k t k
δ
∞
∆
=−∞
= ∆ − ∆ ∆
∑
( )
t
x̂ ( )
t
x
( ) ( ) ( )
0
lim ,
k
x t x k t k
δ
∞
∆
∆→
=−∞
= ∆ − ∆ ∆
∑
( ) ( ) ( ) .
x t x t d
τ δ τ τ
∞
−∞
= −
∫
∆ t
( )
t
x
( )
t
x̂
… …

Teoria do Sinal 43
© A. J. Padilha (2010/2011)
A saída de um sistema discreto linear quando é sujeito ao seguinte sinal de entrada
é dada pela sobreposição das respostas a cada um dos impulsos. Se a resposta a um
impulso for então a saída do sistema, y[n], será uma combinação linear
dos sinais hk[n]
Sistemas discretos: somatório de convolução
[ ]
k
n −
δ
[ ] [ ] [ ]
k
x n x k n k
δ
∞
=−∞
= −
∑
[ ]
n
hk
[ ] [ ] [ ]
k
k
y n x k h n
∞
=−∞
= ∑
Teoria do Sinal 44
© A. J. Padilha (2010/2011)
Consideremos um sinal x[n] e
um sistema para o qual
conhecemos as respostas a
impulsos unitários situados em
n=0, h0[n], e em n=1, h1[n].
x[n] pode ser decomposto em
dois impulsos unitários, x[0]δ[n]
e x[1]δ[n-1].
A resposta do sistema a x[n],
y[n], será igual à sobreposição
das respostas do sistema aos
impulsos unitários em que foi
decomposto x[n], isto é, será
igual à soma de x[0]h0[n] com
x[1]h1[n].
⇒
⇒
= +
x[n] x[0] δ[n] x[1] δ[n-1]
n n n
2 2
-1 -1
n
h0[n]
1
-1
n
x[0]h0[n]
2
-2
n
h1[n]
1
-1
n
x[1]h1[n]
1
-1
n
y[n]
3
-2
1

Teoria do Sinal 45
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se o sistema, para além de linear, for invariante no tempo, então as respostas são
versões transladadas de k da resposta a . Nesse caso o somatório
transforma-se no somatório de convolução
em que é a resposta impulsional do sistema.
Um sistema discreto linear e invariante no tempo (SLIT ou LTI) é completamente
caracterizado pela sua resposta impulsional, h[n].
[ ] [ ] [ ] .
k
k
y n x k h n
∞
=−∞
= ∑
[ ]
n
hk
[ ]
n
h0 [ ]
n
δ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k
y n x k h n k x n h n
∞
=−∞
= − = ∗
∑
[ ] [ ]
n
h
n
h 0
=
Teoria do Sinal 46
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo 1: Considere os seguintes sinais:
Calcule
Calcule
[ ] [ ] [ ]
n
h
n
x
n
y ∗
=
[ ] [ ] [ ]
n
h
n
x
n
y ∗
=
[ ] [ ] para 0 1
n
x n u n
α α
= < <
[ ] [ ]
h n u n
=
[ ]
1, 0 4
0, outros
n
x n
n
≤ ≤

= 

[ ]
, 0 6
0, outros
n
n
h n
n
α
 ≤ ≤
= 

n
h[n]
1
...
n
x[n]
1
...
x[n]
1
n
n
h[n]
1

Teoria do Sinal 47
© A. J. Padilha (2010/2011)
Como já vimos, um qualquer sinal x(t) pode ser expresso da seguinte forma:
Se aplicarmos o sinal x(t) a um sistema linear, obtemos à saída o seguinte sinal
em que é a resposta do sistema ao impulso Com ∆ a tender para zero o
somatório tende para o integral, ou seja
em que é a resposta a um impulso na posição
Sistemas contínuos: integral de convolução
( ) ( ) ( )
0
ˆ
lim ,
k
k
y t x k h t
∞
∆
∆→
=−∞
= ∆ ∆
∑
( )
t
hk∆
ˆ ( ).
∆
−
∆ k
t
δ
( ) ( ) ( ) ,
y t x h t d
∞
τ
−∞
= τ τ
∫
( )
t
hτ .
τ
( ) ( ) ( )
0
lim
k
x t x k t k
δ
∞
∆
∆→
=−∞
= ∆ − ∆ ∆
∑
Teoria do Sinal 48
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se o sistema, para além de ser linear, for invariante no tempo, é uma versão
transladada da resposta a um impulso na origem, .
Nesse caso a equação
pode ser transformada no integral de convolução
em que h(t) é a resposta impulsional do sistema.
Tal como no caso discreto, também os sistemas contínuos lineares e invariantes no
tempo podem ser completamente caracterizados pela sua resposta impulsional.
( )
t
hτ
( )
t
h
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
y t x h t d x t h t
∞
−∞
= τ − τ τ = ∗
∫
( ) ( ) ( )
y t x h t d
∞
τ
−∞
= τ τ
∫

Teoria do Sinal 49
© A. J. Padilha (2010/2011)
Calcule
Calcule
( ) ( ) ( )
t
h
t
x
t
y ∗
=
( ) ( ) ( )
t
h
t
x
t
y ∗
=
( ) ( ) 0
para >
= −
a
t
u
e
t
x at
( ) ( )
t
u
t
h =
( )



>
∨
<
<
<
=
T
t
t
T
t
t
x
0
,
0
0
,
1
( )



>
∨
<
<
<
=
T
t
t
T
t
t
t
h
2
0
,
0
2
0
,
t
x(t)
1
t
h(t)
1
x(t)
1
t
T
t
h(t)
2T
2T
Teoria do Sinal 50
© A. J. Padilha (2010/2011)
Um sistema discreto ou contínuo linear e invariante no tempo é completamente
caracterizado pela sua resposta impulsional.
A convolução goza das seguintes propriedades:
– propriedade comutativa
– propriedade associativa
– propriedade distributiva
Propriedades da Convolução
( ) ( ) ( ) ( )
x t h t h t x t
∗ = ∗
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
t
h
t
h
t
x
t
h
t
h
t
x 2
1
2
1 ∗
∗
=
∗
∗
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
h
t
x
t
h
t
x
t
h
t
h
t
x 2
1
2
1 ∗
+
∗
=
+
∗
[ ] [ ] [ ] [ ]
n
x
n
h
n
h
n
x ∗
=
∗
[ ] [ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
( ) [ ]
n
h
n
h
n
x
n
h
n
h
n
x 2
1
2
1 ∗
∗
=
∗
∗
[ ] [ ] [ ]
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
n
h
n
x
n
h
n
x
n
h
n
h
n
x 2
1
2
1 ∗
+
∗
=
+
∗

Teoria do Sinal 51
© A. J. Padilha (2010/2011)
Das propriedades associativa e comutativa resulta que a associação em série de dois
sistemas LTI é independente da ordem em que esses sistemas ocorrem. Por outro lado,
considerando a propriedade distributiva, a associação em paralelo de dois sistemas LTI
é equivalente a um único sistema com resposta impulsional igual à soma das respostas
impulsionais.
Propriedades da Convolução
x[n]
x[n]
x[n]
x[n]
y[n]
y[n]
y[n]
y[n]
h1[n]
h1[n]
h1[n]∗h2[n]
h2[n]
h2[n]
h2[n]∗h1[n]
h1[n]
h1[n]+h2[n]
h2[n]
x[n] y[n]
x[n] y[n]
Teoria do Sinal 52
© A. J. Padilha (2010/2011)
As propriedades dos sistemas LTI, já antes analisadas, podem exprimir-se agora em
relação com a resposta impulsional dos sistemas que, como se viu, determina a relação
entrada/saída por meio da convolução:
Propriedades dos Sistemas LTI
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k
y n x k h n k h k x n k x n h n
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= − = − = ∗
∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t x h t d h x t d x t h t
τ τ τ τ τ τ
+∞ +∞
−∞ −∞
= − = − = ∗
∫ ∫

Teoria do Sinal 53
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sistemas com e sem memória
Das equações anteriores decorre imediatamente que a única forma de a saída de um
sistema depender apenas do valor da entrada no mesmo tempo é verificar-se, no caso
discreto, h[k]=0 , , e no caso contínuo, , . Ou seja, a resposta
impulsional de um sistema sem memória terá que ter a forma
ou ,
para um certo valor K constante.
Os sistemas serão especificados pelas seguintes equações:
e
0
≠
k ( ) 0
=
τ
h 0
≠
τ
[ ] [ ]
n
K
n
h δ
= ( ) ( )
t
K
t
h δ
=
[ ] [ ]
y n K x n
= ( ) ( ) .
y t K x t
=
Teoria do Sinal 54
© A. J. Padilha (2010/2011)
Invertibilidade
A condição para um sistema de resposta impulsional h[n] ou h(t) ser invertível é que
seja possível determinar um sistema inverso, de resposta impulsional h1[n] ou h1(t),
que deverá obedecer a
ou
Exemplo:
O sistema “atraso” , com t0 > 0, tem resposta impulsional
e o seu sistema inverso, sistema “avanço”, tem resposta impulsional
[ ] [ ] [ ]
n
n
h
n
h δ
=
∗ 1 ( ) ( ) ( ).
1 t
t
h
t
h δ
=
∗
( ) ( )
0
t
t
x
t
y −
=
( ) ( ),
0
t
t
t
h −
= δ
( ) ( ).
0
1 t
t
t
h +
= δ

Teoria do Sinal 55
© A. J. Padilha (2010/2011)
Causalidade
A saída de um sistema causal não pode depender de valores futuros da entrada. Por
inspecção da soma e do integral de convolução conclui-se que, para um sistema ser
causal, se deve verificar
ou
Estabilidade
A condição de estabilidade obriga a que um sistema sujeito a uma entrada limitada
tenha uma saída também limitada. Em termos da resposta impulsional, a estabilidade
obriga a que
ou
[ ] 0
,
0 <
= n
n
h ( ) .
0
,
0 <
= t
t
h
[ ] ∞
<
∑
+∞
−∞
=
k
k
h ( ) ∞
<
∫
+∞
∞
−
τ
h
Teoria do Sinal 56
© A. J. Padilha (2010/2011)
Em muitos casos caracterizam-se os sistemas pela sua resposta a um degrau unitário,
em vez de pela resposta impulsional. A resposta ao degrau unitário designa-se por
resposta indicial e exprime-se por s(t) ou s[n].
A resposta indicial pode relacionar-se com a resposta impulsional.
Caso discreto
A resposta indicial é igual a
s[n] pode ser vista como a resposta de um sistema LTI de resposta impulsional u[n] a
uma entrada h[n]. Um sistema com resposta impulsional u[n] é um sistema
“acumulador”, logo
O sistema inverso tem resposta impulsional
Resposta de um sistema LTI a um degrau unitário
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
n
u
n
h
n
h
n
u
n
s ∗
=
∗
=
[ ] [ ].
∑
−∞
=
=
n
k
k
h
n
s
[ ] [ ] [ ].
1
−
−
= n
s
n
s
n
h

Teoria do Sinal 57
© A. J. Padilha (2010/2011)
Caso contínuo
A resposta indicial é igual a
De modo semelhante, no caso contínuo, a resposta indicial é a resposta de um
integrador (que tem resposta impulsional u(t)) a uma entrada h(t). A recuperação da
resposta impulsional a partir da resposta indicial faz-se por meio do sistema inverso,
diferenciador:
Em conclusão, pode-se afirmar que um sistema LTI fica completamente caracterizado
pela sua resposta impulsional – h(t) ou h[n] – ou, alternativamente, pela sua resposta
indicial – s(t) ou s[n] – uma vez que, a partir desta última, se pode obter a primeira.
Resposta de um sistema LTI a um degrau unitário
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
u
t
h
t
h
t
u
t
s ∗
=
∗
=
( ) ( )
∫∞
−
=
t
d
h
t
s τ
τ ( ) ( ) ( )
t
s
dt
t
ds
t
h ′
=
=
Teoria do Sinal 58
© A. J. Padilha (2010/2011)
Consideremos um sistema contínuo cujas entrada e saída estão relacionadas pela
seguinte equação diferencial:
A resposta do sistema está expressa de forma implícita na equação. Para exprimir a
resposta explicitamente, é necessário resolver a equação diferencial.
Considere-se, então, que a entrada é o sinal , com k real.
A solução completa da equação consiste na soma de uma solução particular, yp(t), da
equação completa, com uma solução homogénea, yh(t), da equação sem segundo
membro.
Sistemas descritos por equações diferenciais
Análise de Fourier
( ) ( ) ( )
t
x
t
y
dt
t
dy
=
+ 2
( ) ( ) ( )
0
cos
x t k t u t
ω
=

Teoria do Sinal 59
© A. J. Padilha (2010/2011)
Pode-se verificar que a solução particular é igual a
onde . Por outro lado, a solução homogénea tem a forma
Para que a saída fique completamente determinada pela entrada é necessário fixar
condições auxiliares (neste caso, apenas uma). Fixando, por exemplo, y(0)=y0, a
solução geral é
A solução apresentada não é linear (nomeadamente a saída não é nula quando a
entrada o é), mas apenas incrementalmente linear.
Análise de Fourier
( ) ( ) ,
0
,
cos
4
0
2
0
>
−
+
= t
t
k
t
yp θ
ω
ω
( )
2
0
ω
θ arctg
=
( ) .
2t
h Ae
t
y −
=
( ) ( ) ( )
2 2
0 0
2
0
cos cos
4
t t
k
y t y e t e u t
ω θ θ
ω
− −
 
= + − −
 
+
Teoria do Sinal 60
© A. J. Padilha (2010/2011)
Para o sistema ser linear, a condição auxiliar deve ser nula, isto é y0=0.
Para o sistema ser causal deve-se fazer uma escolha particular das condições
auxiliares. Trata-se da condição de repouso inicial, que determina que
Assim, a equação só precisa de ser resolvida para t>t0,
usando-se a condição auxiliar y(t0)=0,
que se designa por condição inicial.
Também se pode provar que a condição inicial nula além de garantir a causalidade do
sistema, também garante a sua invariância temporal.
Análise de Fourier
( ) .
para
0
então
,
para
0
)
(
se 0
0 t
t
t
y
t
t
t
x ≤
=
≤
=

Teoria do Sinal 61
© A. J. Padilha (2010/2011)
No caso geral, uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, de ordem N,
é dada por
A ordem N refere-se à derivada mais elevada da saída com coeficiente não nulo.
Neste caso, para o sistema ser linear, causal e invariante no tempo, devem usar-se as
condições iniciais seguintes:
Análise de Fourier
( ) ( )
k
k
M
k
k
N
k
k
k
k
dt
t
x
d
b
dt
t
y
d
a ∑
∑ =
=
=
0
0
( ) ( ) ( ) .
0
1
0
1
0
0 =
=
=
= −
−
N
N
dt
t
y
d
dt
t
dy
t
y
Teoria do Sinal 62
© A. J. Padilha (2010/2011)
No caso discreto, a equação às diferenças linear de coeficientes constantes, de ordem
N, é dada por
A solução de uma tal equação pode ser efectuada por um método inteiramente análogo
ao usado no caso contínuo.
No entanto, é possível seguir um caminho alternativo, reconhecendo que a anterior
equação pode ser reescrita como
A necessidade de condições auxiliares é evidente nesta formulação, pois para calcular
y[n], é necessário conhecer y[n-1], ... , y[n-N]. Se a entrada for nula até n=n0, então
para o sistema ser linear, causal e invariante, devem-se impor condições iniciais
nulas.
Uma equação como a anterior designa-se por equação recursiva.
Sistemas descritos por equações às diferenças
Análise de Fourier
[ ] [ ]
k
n
x
b
k
n
y
a
M
k
k
N
k
k −
=
− ∑
∑ =
= 0
0
[ ] [ ] [ ] .
1
1
0
0 





−
−
−
= ∑
∑ =
=
N
k
k
M
k
k k
n
y
a
k
n
x
b
a
n
y

Teoria do Sinal 63
© A. J. Padilha (2010/2011)
No caso especial em que N = 0, a equação reduz-se a
que é designada por não-recursiva, e pode ser resolvida sem condições auxiliares. Por
cálculo directo, a resposta impulsional deste sistema é
A equação às diferenças, neste caso, é o somatório de convolução.
A resposta impulsional de um sistema não-recursivo só é não-nula num intervalo de
tempo finito, por essa razão, esses sistemas designam-se por sistemas de resposta
impulsional finita ou FIR (finite impulse response).
Os sistemas recursivos têm resposta impulsional de duração ilimitada e designam-se
por sistemas de resposta impulsional infinita ou IIR (infinite impulse response).
Sistemas descritos por equações às diferenças
Análise de Fourier
[ ] [ ]
0 0
M
k
k
b
y n x n k
a
=
 
= −
 
 
∑
[ ]





>
∨
<
≤
≤
=
M
n
n
M
n
a
b
n
h
n
0
,
0
0
,
0
Teoria do Sinal 64
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sistemas discretos
Os elementos gráficos básicos a usar são o somador, o multiplicador por um
coeficiente, e o atraso unitário, representados como segue:
Como ilustração simples considerem-se os seguintes sistemas (sempre supostos
inicialmente em repouso):
Representações de sistemas por diagramas de blocos
Análise de Fourier
x1[n]
x2[n]
x1[n]+x2[n]
+
x[n] a x[n]
a
D
x[n] x[n-1]
D
+
x[n] y[n]
y[n-1]
- a
b
x[n] y[n]
x[n-1]
b0
b1
D
+
[ ] [ ] [ ]
n
x
b
n
y
a
n
y =
−
+ 1 [ ] [ ] [ ]
1
1
0 −
+
= n
x
b
n
x
b
n
y

Teoria do Sinal 65
© A. J. Padilha (2010/2011)
Considere-se agora o sistema descrito por
A resposta global é a associação em série de dois subsistemas, como se pode mostrar
considerando o sinal intermédio w[n]:
Como a resposta de um sistema série não depende da ordem em que ocorrem os
respectivos componentes é possível redesenhar o diagrama-blocos do sistema
ou
Análise de Fourier
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
1 1
0 −
+
=
−
+ n
x
b
n
x
b
n
y
a
n
y
[ ] [ ] [ ]
1
1
0 −
+
= n
x
b
n
x
b
n
w [ ] [ ] [ ]
n
w
n
y
a
n
y +
−
−
= 1
+ y[n]
- a
x[n]
b0
b1
D
+
w[n]
D
+ y[n]
- a
x[n]
b0
b1
D
+
z[n]
D
+ y[n]
- a
x[n]
b0
b1
D
+
Teoria do Sinal 66
© A. J. Padilha (2010/2011)
Pode-se aplicar a mesma ideia para representar o diagrama-blocos de um sistema
recursivo genérico que, como se viu, é descrito pela equação:
forma directa I forma directa II ou canónica
Análise de Fourier
[ ] [ ] [ ]






−
−
−
= ∑
∑ =
=
N
k
k
N
k
k k
n
y
a
k
n
x
b
a
n
y
1
0
0
1
+ y[n]
x[n]
b0
D
- a1
b1
+
1/a0
+
D
- a2
b2
+
+ +
- aN-1
bN-1
+
D
- aN
bN
+
+ y[n]
- a1
x[n]
b0
b1
D
+
w[n]
D
+ +
bN-1
+
b2
D
+
bN
D
- a2
D
+
- aN-1
+
- aN
D
1/a0

Teoria do Sinal 67
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sistemas contínuos
Os elementos gráficos básicos a usar são o somador, o multiplicador por um
coeficiente, e o diferenciador, representados como segue:
Análise de Fourier
x1(t)
x2(t)
x1(t)+x2 (t)
+
x (t) a x (t)
a
D
x (t) d x (t)/dt
x(t)
Devido à dificuldade de realização física de
elementos diferenciadores, é costume passar-se
a equação diferencial para uma equação
integral, usando-se elementos integradores nos
diagramas-blocos.
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ).
de
ordem
de
integral
o
é
que
em
1 1
0
0
k
k
k
N
N
k
k
N
k
N
k
k
N
k
N
dt
t
x
d
N
t
x
t
y
a
t
x
b
a
t
y
−
−
=
−
=
−






−
= ∑
∑
+ y(t)
bN
- aN-1
bN-1
+
1/aN
+
- aN-2
bN-2
+
+ +
- a1
b1
+
- a0
b0
+
∫
∫
∫
Teoria do Sinal 68
© A. J. Padilha (2010/2011)
Como se viu, a resposta de um sistema linear e invariante no tempo a uma entrada que
consista numa combinação linear de impulsos unitários é a combinação linear das
respostas individuais a cada um desses sinais básicos. Essa resposta pode ser
determinada pelo cálculo da convolução entre o sinal de entrada e a resposta
impulsional do sistema.
A representação de sinais por meio de combinações lineares de sinais básicos deve
respeitar as seguintes propriedades:
– o conjunto de sinais básicos deve permitir construir uma classe vasta e útil de
sinais;
– a resposta de um sistema linear e invariante no tempo a cada sinal básico deve ter
uma estrutura suficientemente simples, de forma a permitir a conveniente
representação da resposta do sistema a sinais expressos como combinações
lineares desses sinais básicos.
Não é só a decomposição em impulsos unitários que tem estas propriedades.
Resposta dos sistemas lineares e invariantes
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 69
© A. J. Padilha (2010/2011)
A resposta de um sistema linear e invariante no tempo a uma exponencial complexa é
também uma exponencial complexa
Um sinal para o qual a saída do sistema é simplemente o produto da entrada por uma
constante designa-se por função própria do sistema. A constante por que vem
multiplicado o sinal de entrada designa-se por valor próprio.
Se aplicarmos o sinal x(t)=est a um sistema com resposta impulsional h(t) teremos à
saída o sinal
( )
st st
e H s e
→
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
s t st s
y t h x t d h e d e h e d
τ τ
τ τ τ τ τ τ τ
∞ ∞ ∞
− −
−∞ −∞ −∞
= − = =
∫ ∫ ∫
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 70
© A. J. Padilha (2010/2011)
O valor próprio é dado por
Se soubermos decompor um sinal x(t) numa combinação linear de exponenciais
complexas, isto é, se
então a resposta de um sistema linear e invariante no tempo a esse sinal pode ser
calculada directamente aplicando a propriedade da sobreposição
Vamos passar a considerar o caso particular em que s = jω.
( ) ( ) s
H s h e d
τ
τ τ
∞
−
−∞
= ∫
( )
k k
s t s t
k k k
k k
a e a H s e
→
∑ ∑
( ) ,
∑
=
k
t
s
k
k
e
a
t
x
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 71
© A. J. Padilha (2010/2011)
Representação de sinais periódicos pela série de Fourier
Se o conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas
tem um período comum T0, uma combinação linear dessas exponenciais
é também um sinal periódico com período
Esta decomposição de um sinal periódico designa-se por série de Fourier.
O termo em k=0 é um termo constante. Os termos em k=-1 e k=1 têm período
fundamental T0 e são designados por componentes fundamentais. Os termos em k=-N e
k=N têm período fundamental T0/N e são designados por harmónicos de ordem N.
Série de Fourier
( ) ,...
2
,
1
,
0
,
0
±
±
=
= k
e
t t
jk
k
ω
φ
( ) ∑
=
k
t
jk
ke
a
t
x 0
ω
.
2
0
0 ω
π
=
T
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 72
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se x(t) for real, então x(t)=x*(t). Nesse caso temos
logo Com base neste resultado pode-se reescrever a expressão da série de
Fourier de seguinte forma:
Exprimindo ak no forma polar, , obtém-se
Série de Fourier
( ) ∑ ∑
∑
∑ −
−
=
=






=
=
k k
t
jk
k
t
jk
k
k
t
jk
k
k
t
jk
k e
a
e
a
e
a
e
a
t
x 0
0
0
0 *
*
*
ω
ω
ω
ω
.
*
k
k a
a −
=
( ) ( ) ( )
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
− +
+
=
+
+
=
1
*
0
1
0
0
0
0
0
k
t
jk
k
t
jk
k
k
t
jk
k
t
jk
k e
a
e
a
a
e
a
e
a
a
t
x ω
ω
ω
ω
k
j
k k
a A e θ
=
( ) { } ( )
0
0 0 0
1 1
2 2 cos
jk t
k k k
k k
x t a a e a A k t
ω
ω θ
∞ ∞
= =
= + ℜ = + +
∑ ∑
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 73
© A. J. Padilha (2010/2011)
Uma das propriedades importantes que já pode ser verificada é a de que se a entrada
de um sistema LTI for periódica com período T, então a saída também é periódica,
com o mesmo período. Isto pode ser verificado, para sinais expressos como série de
Fourier, calculando os coeficientes da série de Fourier da saída a partir dos da entrada.
Sendo a entrada x(t), a resposta impulsional do sistema h(t), e a saída y(t), então
em que os valores próprios são
Isto é, se {ak} for o conjunto de coeficientes da série de Fourier de x(t), então
{akH(kω0)} é o conjunto dos coeficientes da saída y(t).
Série de Fourier
Análise de Fourier
( ) ( ) 0
0 ,
jk t
k
k
y t a H k e ω
ω
+∞
=−∞
= ∑
( ) ( ) 0
0 .
jk
H k h e d
ω τ
ω τ τ
+∞
−
−∞
= ∫
Teoria do Sinal 74
© A. J. Padilha (2010/2011)
Série de Fourier
Exemplo 1: Considere o seguinte sinal periódico x(t) com frequência fundamental 2π:
onde
Represente-o graficamente.
Exemplo 2: Considere que o sinal do exemplo anterior foi aplicado à entrada de um
sistema com a seguinte resposta impulsional:
Calcule o sinal à saída do sistema,
Análise de Fourier
( ) ,
3
3
2
∑
−
=
=
k
t
jk
ke
a
t
x π
.
3
1
,
2
1
,
4
1
,
1
3
3
2
2
1
1
0
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
a
a
a
a
a
a
a
( ) ( ).
t
u
e
t
h t
−
=
( ) ,
3
3
2
∑
−
=
=
k
t
jk
ke
a
t
x π
( ) ( ) 0
3
0
3
jk t
k
k
y t a H k e ω
ω
+
=−
= ∑

Teoria do Sinal 75
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se um sinal periódico x(t) pode ser representado por uma série de Fourier, é necessário
determinar os coeficientes ak.
Esses coeficientes obtêm-se da seguinte forma:
Se se multiplicarem ambos os membros da equação de definição da série de Fourier
por e-jnω0t, obtém-se
e integrando de 0 até T0=2π/ω0, isto é, durante um período fundamental, fica
ou
Série de Fourier
( ) 0 0 0
jn t jk t jn t
k
k
x t e a e e
ω ω ω
∞
− −
=−∞
= ∑
Análise de Fourier
( ) ∫ ∑
∫
∞
−∞
=
−
−
=
0
0
0
0
0
0
0
T
k
t
jn
t
jk
k
T
t
jn
dt
e
e
a
dt
e
t
x ω
ω
ω
( ) ( )
∑ ∫
∫
∞
−∞
=
−
−








=
k
T
t
n
k
j
k
T
t
jn
dt
e
a
dt
e
t
x
0
0
0
0
0
0
ω
ω
Teoria do Sinal 76
© A. J. Padilha (2010/2011)
Pode-se mostrar, usando a relação de Euler, o seguinte:
logo
Esta equação designa-se por equação de análise. A equação de análise e a equação de
síntese
definem completamente a série de Fourier. Os coeficientes ak são designados por
coeficientes da série de Fourier ou por coeficientes espectrais de x(t).
Série de Fourier
( ) 0
0
0
1 jk t
k
T
a x t e dt
T
ω
−
= ∫
( ) ∑
∞
−∞
=
=
k
t
jk
ke
a
t
x 0
ω
Análise de Fourier
( )
0
0 0
0
,
0
T
j k n t T k n
e dt
k n
ω
− =

= 
≠

∫

Teoria do Sinal 77
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo 3: Calcule os coeficientes da série de Fourier do seguinte sinal:
Exemplo 4: Calcule os coeficientes da série de Fourier do seguinte sinal:
Exemplo 5: Calcule os coeficientes da série de Fourier do sinal periódico da figura:
cujo período se define da seguinte forma
Série de Fourier
Análise de Fourier
( ) ( )
0
sin
x t t
ω
=
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
1 sin 2cos cos 2
4
x t t t t π
ω ω ω
= + + + +
( )





<
<
<
=
2
,
0
,
1
0
1
1
T
t
T
T
t
t
x
x(t)
t
...
...
T1 T0/2 T0
0
Teoria do Sinal 78
© A. J. Padilha (2010/2011)
A decomposição de sinais em exponenciais complexas, de que resulta a série de
Fourier, verifica a primeira das propriedades apontadas como desejáveis para essa
representação:
‘o conjunto de sinais básicos deve permitir construir uma classe vasta e útil de sinais’.
De facto, a representação pela série de Fourier é válida para qualquer sinal periódico
que seja contínuo, o que representa já uma vasta classe de sinais.
Por outro lado, o conjunto de sinais representáveis é ainda mais vasto, podendo incluir
descontinuidades, desde que sejam satisfeitas as três condições de Dirichlet:
1. x(t) deve ser absolutamente integrável ao longo de um período, isto é,
Série de Fourier
Análise de Fourier
( )
0
T
x t dt < ∞
∫

Teoria do Sinal 79
© A. J. Padilha (2010/2011)
2. Em qualquer intervalo de tempo finito, x(t) deve ser de variação limitada, isto é,
não deve haver mais do que um número finito de máximos e mínimos durante
um período do sinal.
3. Em qualquer intervalo de tempo finito, x(t) deve ter apenas um número finito de
descontinuidades, as quais devem ser finitas.
Exemplo 6 (Fenómeno de Gibbs):
Verifique o que ocorre com a aproximação à onda quadrada, quando só se tomam em
consideração 2N+1 termos, isto é, fazendo
com N=1, 3, 7, 19, 79.
Série de Fourier
Análise de Fourier
( ) ∑
−
=
=
N
N
k
t
jk
ke
a
t
x 0
ω
Teoria do Sinal 80
© A. J. Padilha (2010/2011)
Série de Fourier
Fenómeno de Gibbs (N = 1, 3, 5, 7)
N=1
N=3 N=5
N=7
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 81
© A. J. Padilha (2010/2011)
Como vimos a série de Fourier só permite a representação de sinais periódicos.
Uma forma de chegar a uma representação baseada na decomposição em exponenciais
complexas que possa ser aplicada a sinais aperiódicos, consiste na extensão da
representação pela série de Fourier, fazendo o sinal periódico tender para um sinal
aperiódico.
No caso da onda quadrada, se fizermos o período T0 tender para infinito, obtemos o
seguinte sinal aperiódico
Transformada de Fourier
x(t)
t
T1
-T1
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 82
© A. J. Padilha (2010/2011)
Partindo da expressão para os coeficientes da série de Fourier da onda quadrada
podemos representar T0ak da seguinte forma:
A função é a envolvente de T0ak, isto é, os coeficientes T0ak são amostras
dessa função espaçadas de ω0.
( )
0 1
0
0 0 0
2sin 2
,
k
k T
a
k T T
ω π
ω
ω
= =
( ) ( )
0
0 1 1
0
0
2sin 2sin
k k
k T T
T a
k
ω ω
ω ω
ω ω =
= =
( ) ω
ω 1
sin
2 T
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 83
© A. J. Padilha (2010/2011)
Análise de Fourier
T0ak
T0ak
Se T0 tender para infinito a onda
rectangular tende para um sinal
aperiódico e de certa forma os
coeficientes da série de Fourier
multiplicados por T0 tendem para a
função envolvente.
As figuras mostram esta evolução
para os valores T0=4T1 e T0=16T1.
Teoria do Sinal 84
© A. J. Padilha (2010/2011)
Se considerarmos um sinal x(t) de duração finita, isto é x(t)=0 para |t|>T1, é possível
formar um sinal periódico , de período T0, coincidente com x(t) num período.
Se T0 tender para infinito, tende para x(t).
( )
t
x
~
( )
t
x
~
Análise de Fourier
x(t)
t
T1
-T1
x(t)
t
T1
-T1
~
... ...
T0

Teoria do Sinal 85
© A. J. Padilha (2010/2011)
Como pode ser representado pela série de Fourier, temos
e
Como para |t|<T0/2 e x(t)=0 fora desse intervalo, a equação de análise pode
ser reescrita da seguinte forma
( )
t
x
~
( )
0
0
0
2
0 2
1
.
T
jk t
k
T
a x t e dt
T
ω
−
−
= ∫
( ) ∑
∞
−∞
=
=
k
t
jk
ke
a
t
x 0
~ ω
( ) ( )
t
x
t
x =
~
( )
∫
∞
∞
−
−
= dt
e
t
x
T
a t
jk
k
0
0
1 ω
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 86
© A. J. Padilha (2010/2011)
Definindo a envolvente X(ω) de T0ak por
os coeficientes da série de Fourier são dados por
e a equação de síntese pode ser reescrita da seguinte forma (2π/T0=ω0)
( )
0
0
1
ω
k
X
T
ak =
( ) ( ) ,
∫
∞
∞
−
−
= dt
e
t
x
X t
jω
ω
( ) ( ) .
2
1
~
0
0
0
∑
∞
−∞
=
=
k
t
jk
e
k
X
t
x ω
ω
π
ω
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 87
© A. J. Padilha (2010/2011)
Fazendo T0 tender para infinito, tende para x(t). Além disso, nesta situação,
e o segundo membro passa a integral.
Isto mesmo se pode confirmar pela representação gráfica seguinte:
( )
t
x
~
Análise de Fourier
0
0 →
ω
X(ω)e jω t
X(kω0)e jkω0 t
área = X(kω0)e jkω0 tω0
kω0 (k+1)ω0 ω
Teoria do Sinal 88
© A. J. Padilha (2010/2011)
Nestas condições pode escrever-se
Esta equação em conjunto com a seguinte
definem a transformada de Fourier. A última designa-se por transformada de Fourier
e a primeira designa-se por transformada inversa de Fourier.
A transformada X(ω) é geralmente referida como espectro de x(t), uma vez que dá
informação sobre a composição de x(t) no domínio das frequências.
( ) ( )
∫
∞
∞
−
−
= dt
e
t
x
X t
jω
ω
( ) ( ) .
2
1
ω
ω
π
ω
d
e
X
t
x t
j
∫
∞
∞
−
=
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 89
© A. J. Padilha (2010/2011)
Embora no desenvolvimento antecedente se tenha admitido que o sinal era de duração
finita, o par transformado resultante é aplicável também a uma vasta gama de sinais
aperiódicos de duração infinita. Como no caso da série de Fourier, as seguintes
condições de Dirichlet são suficientes para assegurar a convergência da transformada
de Fourier, de modo a que a reconstrução de x(t) seja exacta, excepto nas
descontinuidades, em que assume o valor médio dessas descontinuidades:
1. deve ser absolutamente integrável, isto é,
2. deve ter um número finito de máximos e mínimos em qualquer intervalo
finito;
3. deve ter um número finito de descontinuidades em qualquer intervalo finito,
devendo essas descontinuidades ser finitas.
Análise de Fourier
( ) ;
x t dt
+∞
−∞
< ∞
∫
Teoria do Sinal 90
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo1: Determine e represente graficamente a transformada de Fourier dos
seguintes sinais:
a)
b)
c)
d)
Exemplo2: Determine e represente graficamente o sinal x(t) cuja transformada de
Fourier é dada por:
Análise de Fourier
( ) ( ) , 0 ;
at
x t e u t a
−
= >
( )



>
<
=
W
W
X
ω
ω
ω
,
0
,
1
( ) ;
0
, >
=
−
a
e
t
x
t
a
( ) ( );
t
t
x δ
=
( ) .
,
0
,
1
1
1



>
<
=
T
t
T
t
t
x

Teoria do Sinal 91
© A. J. Padilha (2010/2011)
Os resultados dos exemplos 1.d) e 2. ilustram uma propriedade da transformada de
Fourier, designada por dualidade. Em ambos os casos surge uma função particular que
é designada por seno cardinal, e cuja forma genérica é:
O seno cardinal tem a seguinte representação gráfica:
Análise de Fourier
( ) .
sin
sinc
x
x
x
π
π
=
-0,2
0,2
0,6
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Teoria do Sinal 92
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada de Fourier de sinais periódicos
Já se observou que os coeficientes da série de Fourier, ak, de um sinal periódico
podem ser considerados como amostras duma envolvente, que se mostrou ser a
transformada de Fourier, X(ω), dum sinal aperiódico x(t), igual a um período de ;
como se viu, os coeficientes da série de Fourier relacionam-se com a transformada de
Fourier por meio de:
Note-se que a relação anterior é válida desde que x(t) corresponda a um qualquer
período de , o que não significa que a transformada de Fourier seja a mesma para
diferentes selecções do intervalo em que x(t)= , mas apenas que as amostras
são idênticas.
Análise de Fourier
( )
t
x
~
( ).
1
0
0
ω
k
X
T
ak =
( )
t
x
~
( )
0
ω
k
X
( )
t
x
~

Teoria do Sinal 93
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo3: Mostrar que os sinais x1(t) e x2(t), ambos extraídos de , permitem
calcular os coeficientes da série de Fourier de .
Análise de Fourier
( )
t
x
~
( )
t
x
~
x(t)
t
T1
-T1
~
…
…
T0
-2T0 2T0
-T0
x1(t)
t
T1
-T1
x2(t)
t
T0
T1
Teoria do Sinal 94
© A. J. Padilha (2010/2011)
Antes ainda de calcular a transformada de Fourier de um sinal periódico, considere-se
o sinal x(t) cuja transformada de Fourier é um único impulso de área 2π, localizado em
, isto é, .
A aplicação da transformada inversa permite obter .
De uma forma mais geral, se X(ω) for uma combinação linear de impulsos igualmente
espaçados em frequência, isto é
então, por aplicação da transformada inversa obtém-se
que é exactamente a série de Fourier de um sinal periódico.
Análise de Fourier
0
ω
ω = ( ) ( )
0
2 ω
ω
δ
π
ω −
=
X
( ) t
j
e
t
x 0
ω
=
( ) ( )
∑
+∞
−∞
=
−
=
k
k k
a
X 0
2 ω
ω
δ
π
ω
( ) ∑
+∞
−∞
=
=
k
t
jk
ke
a
t
x 0
ω

Teoria do Sinal 95
© A. J. Padilha (2010/2011)
A transformada de Fourier de um sinal periódico, com coeficientes da série de Fourier
{ak}, pode ser interpretada como um trem de impulsos que ocorrem nas frequências
harmonicamente relacionadas, com áreas que são 2π vezes o respectivo coeficiente.
Considerando mais uma vez a onda rectangular simétrica, de período T0 e duty-cycle
2T1/T0, com coeficientes da série de Fourier dados por
pode-se concluir que a sua transformada de Fourier é dada por
Análise de Fourier
k
T
k
ak
π
ω 1
0
sin
=
( ) ( ) ( )
0
1
0
0
sin
2
2 ω
ω
δ
ω
ω
ω
δ
π
ω k
k
T
k
k
a
X
k
k
k −
=
−
= ∑
∑
+∞
−∞
=
+∞
−∞
=
Teoria do Sinal 96
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo4: Determine e represente as transformadas de Fourier dos sinais
seguintes:
a)
b)
Exemplo5: Determine e represente a transformada de Fourier do trem de impulsos
periódico seguinte:
Análise de Fourier
( ) ;
sin 0
1 t
t
x ω
=
( ) .
cos 0
2 t
t
x ω
=
( ) ( )
∑
+∞
−∞
=
−
= k
kT
t
t
x δ

Teoria do Sinal 97
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
Para simplificar a notação usa-se muitas vezes F{x(t)} para indicar a transformada de
Fourier de x(t) e F-1{X(ω)} para indicar a transformada inversa de X(ω).
O par transformado x(t) e X(ω) é frequentemente representado da seguinte forma:
• Linearidade
( ) ( )
ω
X
t
x F
→
←
( ) ( ) ( ) ( )
ω
ω 2
1
2
1 X
b
X
a
t
x
b
t
x
a F
⋅
+
⋅
→
←
⋅
+
⋅
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 98
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
• Simetria
Se x(t) for real,
Desta propriedade decorrem as seguintes, no caso de x(t) ser real:
– a parte real da transformada de Fourier é par,
– a parte imaginária da transformada de Fourier é ímpar,
– o módulo da transformada de Fourier é par,
– a fase da transformada de Fourier é ímpar,
– se x(t) for par, a transformada de Fourier é real e par,
– se x(t) for ímpar, a transformada de Fourier é imaginária e ímpar.
( ) ( )
ω
ω *
X
X =
−
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 99
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
• Translação temporal
A translação temporal apenas se manifesta numa translação da fase da transformada de
Fourier (de valor ωt0); o módulo da transformada de Fourier não é afectado.
• Diferenciação e Integração
( ) ( )
ω
ω
X
e
t
t
x t
j
F 0
0
−
→
←
−
( ) ( )
ω
ωX
j
dt
t
dx F
→
←
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
t
F
x d X X
j
τ τ ω π δ ω
ω
−∞
←
→ +
∫
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 100
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
• Escalonamento no tempo e na frequência
• Dualidade
Partindo do par transformado
a transformada de Fourier do sinal f(t) é dada por
( )
1
F
x at X
a a
ω
 
←
→  
 
( ) ( ),
ω
f
t
g F
→
←
( ) ( )
2
F
f t g
π ω
←
→ −
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 101
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
( ) ( )
0
0
j t F
e x t X
ω
ω ω
←
→ −
( )
( )
F d X
jt x t
d
ω
ω
− ←
→
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
F
x t x t X d
jt
ω
π δ η η
−∞
− + ←
→ ∫
•Translação frequencial, diferenciação frequencial, e integração frequencial
Partindo da dualidade é possível estabelecer as seguintes propriedades, tendo em
conta as suas correspondentes no domínio temporal.
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 102
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
• Relação de Parseval
• Propriedade da convolução
Para sistemas lineares e invariantes no tempo, enquanto que no domínio dos tempos a
saída do sistema é igual à convolução da entrada com a resposta impulsional do
sistema, no domínio das frequências a transformada de Fourier da saída é igual ao
produto da transformada de Fourier da entrada pela transformada de Fourier da
resposta impulsional, isto é, pela resposta em frequência do sistema.
( ) ( )
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
= ω
ω
π
d
X
dt
t
x
2
2
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F
y t h t x t Y H X
ω ω ω
= ∗ ←
→ = ⋅
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 103
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades
•Propriedade da modulação
Esta propriedade designa-se por propriedade da modulação porque a multiplicação de
um sinal por um outro sinal específico, uma sinusóide, corresponde a um tipo de
modulação de amplitude.
As modulações são usadas nos sistemas de comunicações para adaptar o sinal que se
pretende transmitir ao canal de transmissão.
Esta propriedade é a dual da propriedade da convolução.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
ω
ω
π
ω P
S
R
t
p
t
s
t
r F
∗
=
→
←
⋅
=
2
1
Análise de Fourier
Teoria do Sinal 104
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo 6: Determinar a saída de um sistema LTI, com resposta impulsional
, quando a entrada é ,
usando análise de Fourier. (Nota: no caso a=b , pode-se usar a
propriedade dual de diferenciação para inverter Y(ω)).
Exemplo 7: Seja s(t) um sinal com espectro S(ω), tal como se mostra a seguir:
Considere-se também o sinal . Determinar o espectro de
r(t)=s(t) p(t).
( ) ( ), 0
at
h t e u t a
−
= > ( ) ( ), 0
bt
x t e u t b
−
= >
Análise de Fourier
( ) 0
cos
p t t
ω
=
ω1
-ω1 ω
S(ω)
0
A

Teoria do Sinal 105
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo8: Considerando os mesmos sinais r(t) e p(t) do exemplo anterior, determinar o
espectro do sinal g(t)=r(t) p(t).
Supondo que g(t) é aplicado, como entrada, a um sistema LTI cuja resposta em
frequência é constante para , e nula para , como será a saída?
Exemplo9: Considere-se o sinal s(t) seguinte (admitindo )
e o sinal [Nota: , como se
viu no Exemplo5]. O sinal r(t)=s(t) p(t) é constituído por amostras de s(t)
espaçadas a intervalos de duração T. Como é R(ω)? É possível recuperar
s(t) a partir de r(t)?
1
ω ω
< 0
ω ω
>
( ) 1
0,
S ω ω ω
= >
s(t)
t
0
Análise de Fourier
( ) ( )
k
p t t kT
δ
+∞
=−∞
= −
∑ ( )
2 2
k
k
P
T T
π π
ω δ ω
+∞
=−∞
 
= −
 
 
∑
Teoria do Sinal 106
© A. J. Padilha (2010/2011)
Resposta em frequência de sistemas de 1ª e 2ª ordem, caracterizados por
equações diferenciais lineares de coeficientes constantes
Uma classe muito importante de sistemas contínuos LTI é aquela em que a entrada e a
saída satisfazem uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, da forma geral:
A aplicação da transformada de Fourier a ambos os membros da equação, levando em
conta as propriedades de linearidade e de diferenciação, permite obter:
A resposta em frequência de um sistema contínuo LTI descrito por uma equação
diferencial linear de coeficientes constantes é uma função racional (uma razão de
polinómios) em jω. A resposta em frequência destes sistemas pode ser imediatamente
determinada, por simples inspecção.
Análise de Fourier
( ) ( )
0 0
k k
N M
k k
k k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
=
∑ ∑
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
M
k
k
k
N
k
k
k
b j
Y
H
X
a j
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
= =
∑
∑

Teoria do Sinal 107
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo10: Considere-se o sistema LTI, inicialmente em repouso, caracterizado por:
Determine a resposta em frequência e a resposta impulsional do sistema.
Exemplo11a: Considere-se o sistema LTI, inicialmente em repouso, caracterizado por:
Determine a resposta em frequência e a resposta impulsional do sistema.
Exemplo11b: Supondo que, no exemplo anterior, a entrada é , determine
a saída do sistema.
Note-se, a partir do exemplo anterior, que sendo X(ω) também uma razão de polinómios
em jω, a técnica de inversão da transformada de Fourier pode também ser usada para
resolver a equação diferencial, isto é, para determinar a resposta y(t) a uma entrada x(t).
Análise de Fourier
( )
( ) ( ), 0
dy t
ay t x t a
dt
+ = >
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
4 3 2
d y t dy t dx t
y t x t
dt dt dt
+ + = +
( ) ( )
t
x t e u t
−
=
Teoria do Sinal 108
© A. J. Padilha (2010/2011)
Note-se que todos os sistemas descritos por equações diferenciais lineares de coeficientes
constantes podem ser realizados por uma cadeia de subsistemas de 1ª ordem e de 2ª ordem
(factorização de numerador e denominador), ou por uma associação em paralelo de
subsistemas de 1ª e de 2ª ordem (expansão em fracções parciais), pelo que esses subsistemas
merecem um tratamento aprofundado.
Sistemas de 1ª ordem
A constante designa-se por constante de tempo.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
0 1
1 1 1
2
2
0 1
1 1 1
M P M P
M k k k k
M
k k k
N Q N Q
N
N k k k k
k k k
b j j j j
b
H
a
a j j j j
λ ω β β ω ω λ ω
ω
ν ω α α ω ω ν ω
−
= = =
−
= = =
 
+ + + +
 
= =
 
+ + + +
 
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1
t t
dy t
y t x t H h t e u t s t e u t
dt j
τ τ
τ ω
ωτ τ
− −
 
+ = = = = −
 
+
Análise de Fourier

Teoria do Sinal 109
© A. J. Padilha (2010/2011)
Respostas impulsional e indicial de sistemas de 1ª ordem
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
resposta indicial
τ =4
τ =1
τ =0,5
τ =2
Análise de Fourier
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
resposta impulsional
τ =4
τ =1
τ =0,5
τ =2
Teoria do Sinal 110
© A. J. Padilha (2010/2011)
A constante ωn designa-se frequência natural e a constante ξ designa-se factor de
amortecimento.
Respostas impulsionais
1) Se
Análise de Fourier
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2 n n n
d y t dy t
y t x t
dt dt
ξω ω ω
+ + =
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
1 2
2
n n
n n
H
j c j c
j j
ω ω
ω
ω ω
ω ξω ω ω
= =
− −
+ +
2
1
2
2
1
1
n n
n n
c
c
ξω ω ξ
ξω ω ξ
 = − + −


= − − −


1 2
1 c c
ξ ≠ → ≠ ( ) ( )
1 2
2
2 1
c t c t
n
h t e e u t
ω
ξ
 
= −
 
−

Teoria do Sinal 111
© A. J. Padilha (2010/2011)
1.1) Se
2) Se
Respostas indiciais ( )
Análise de Fourier
1 2
1 c c
ξ = → = ( ) ( )
2 nt
n
h t t e u t
ω
ω −
=
( ) ( )
1 2
2
1 2
1 , 1
2 1
c t c t
n e e
s t u t
c c
ω
ξ
ξ
 
 
 
= + − ≠
 
 
−  
 
 
( ) ( )
1 , 1
n n
t t
n
s t e t e u t
ω ω
ω ξ
− −
 
= − − =
 
( ) ( ) ( )
s t h t u t
= ∗
( ) ( ) ( )
2
2
sin 1
1
nt
n
n
e
h t t u t
ξω
ω
ω ξ
ξ
−
 
= −
 
 
−
1 2
0 1 ,
c c complexos conjugados
ξ
< < →
Teoria do Sinal 112
© A. J. Padilha (2010/2011)
Análise de Fourier
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
resposta indicial
ξ =2
ξ =0,707
ξ =4
ξ =1
ξ =0,3
ξ =0,1
Respostas indiciais de sistemas de 2ª ordem

Teoria do Sinal 113
© A. J. Padilha (2010/2011)
Circuitos eléctricos RL, RC e RLC (recordar disciplina de CIRCUITOS)
Análise de Fourier
vR
iR R
vC
iC
C
vL
iL L
R R
v R i
= ⋅
L
L
d i
v L
dt
= ⋅ C
C
d v
i C
dt
= ⋅
( )
( )
( )
d x t d y t
R
y t
dt L dt
= +
R
L
x(t) y(t)
( )
( )
( ) R
L
Y j
H
X j
ω ω
ω
ω ω
= =
+
( ) ( ) ( ) ( )
R R
t t
L L
d
h t e u t s t e u t
dt
− −
 
= =
 
 
( )
( )
( )
d y t
x t RC y t
dt
= +
R
C
x(t) y(t)
( )
( )
( )
1
1
1
1
RC
RC
Y
H
X j RC j
ω
ω
ω ω ω
= = =
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
t t
RC RC
h t e u t s t e u t
RC
− −
 
= = −
 
 
Teoria do Sinal 114
© A. J. Padilha (2010/2011)
Análise de Fourier
( )
( )
( )
1 1
d x t d y t
y t
dt L R dt
= +
R L y(t)
x(t)
( )
( )
( ) R
L
Y j R
H
X j
ω ω
ω
ω ω
= =
+
( ) ( ) ( ) ( )
R R
t t
L L
d
h t R e u t s t Re u t
dt
− −
 
= =
 
 
( ) ( )
( )
1 d y t
x t y t C
R dt
= +
R C
x(t)
y(t)
( )
( )
( )
1
1
C
RC
Y
H
X j
ω
ω
ω ω
= =
+
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
t t
RC RC
h t e u t s t R e u t
C
− −
 
= = −
 
 

Teoria do Sinal 115
© A. J. Padilha (2010/2011)
Análise de Fourier
( ) ( ) ( )
( )
2
2
1
d x t d y t d y t
R L y t
dt dt dt C
= + +
R
C
x(t) yC(t)
yL(t)
L
yR(t)
y(t)
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 1
d y t d y t d x t
R
y t
dt L dt LC L dt
+ + =
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
2 n n n
d y t d y t d x t
y t C
dt dt dt
ξ ω ω ω
+ + =
1
2
n
R C
L
LC
ω ξ
= =
-1
0
1
2
3
4
5
6
R3 = 300 Ω (ξ=1.5)
R2 = 200 Ω (ξ=1)
R1 = 100 Ω (ξ=0.5)
C = 1 µF
L = 10 mH
mA
ξ =1.5
ξ =1
ξ =0.5
Resposta INDICIAL
Teoria do Sinal 116
© A. J. Padilha (2010/2011)
Análise de Fourier
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 1
d x t d y t d y t
y t C
dt R dt L dt
= + +
R C
x(t)
L y(t)
yC(t)
yL(t)
yR(t)
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 1 1
d y t d y t d x t
y t
dt RC dt LC C dt
+ + =
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
2 n n n
d y t d y t d x t
y t L
dt dt dt
ξ ω ω ω
+ + =
1 1
2
n
L
R C
LC
ω ξ
= =
-10
0
10
20
30
40
50
60 V
ξ =1.5
ξ =1
ξ =0.5
R3 = 100 Ω (ξ=0.5)
R2 = 50 Ω (ξ=1)
R1 = 100/3 Ω (ξ=1.5)
C = 1 µF
L = 10 mH
Resposta INDICIAL

Teoria do Sinal 117
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada de Laplace. Definição bilateral.
No estudo da transformada de Fourier contínua, viu-se que a saída de um sistema LTI, com
resposta impulsional h(t), para uma entrada exponencial da forma est, era dada por
y(t)=H(s) est, em que
A transformada de Laplace bilateral de um sinal geral x(t) é definida como
Note-se que, se s=jω, então .
Por outro lado, se s=σ+jω, verifica-se facilmente que
( ) ( ) st
H s h t e dt
+∞
−
−∞
= ∫
( ) ( ) st
X s x t e dt
+∞
−
−∞
= ∫
( ) ( )
{ }
s j
X s x t
ω
= = F
( )
{ } ( ) ( )
{ }
t
x t X j x t e σ
σ ω −
= + =
L F
Transformada de Laplace
Teoria do Sinal 118
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada de Laplace. Região de convergência.
A região de convergência (ROC) da transformada de Laplace (gama de valores de s para a
qual o integral de Laplace converge) é definida pelo conjunto de valores de σ para os
quais x(t)e-σ t tem transformada de Fourier.
A especificação completa de uma transformada de Laplace exige não só a expressão
algébrica de X(s), mas também a definição da ROC.
Exemplo1: Determinar as transformadas de Laplace dos sinais
indicando a respectiva ROC.
Exemplo2: Determinar a transformada de Laplace, incluindo ROC, do sinal
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
at at
x t e u t x t e u t
− −
= = − −
( ) b t
x t e
−
=

Teoria do Sinal 119
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada inversa de Laplace
A transformada inversa de Laplace é dada por
Alternativamente, se a transformada de Laplace for racional e factorizável, pode-se usar a
decomposição em fracções parciais, procurando-se identificar a transformada inversa de
cada fracção por meio dos casos conhecidos, levando em consideração a ROC e as
propriedades da transformada de Laplace bilateral.
Exemplo3: Determinar o sinal x(t) cuja transformada de Laplace é dada por
considerando todas as possíveis ROC’s.
( ) ( )
1
2
j
st
j
x t X s e ds
j
σ
σ
π
+ ∞
− ∞
= ∫
( )
( )( )
1
1 2
X s
s s
=
+ +
Teoria do Sinal 120
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades da ROC da Transformada de Laplace
Propriedade 1. A ROC de X(s) consiste em faixas do plano-s paralelas ao eixo-jω.
Propriedade 2. Para transformadas de Laplace racionais, a ROC não contém pólos.
Propriedade 3. Se x(t) for de duração finita e se a transformada de Laplace convergir
para pelo menos um valor de s, então a ROC é todo o plano-s.
Propriedade 4. Se x(t) for limitada à esquerda e se a linha Re{s}=s0 estiver na ROC,
então todos os valores de s tais que Re{s}>s0 estarão também na ROC.
x(t)
t
x(t)
t

Teoria do Sinal 121
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades da ROC da Transformada de Laplace
Propriedade 5. Se x(t) for limitada à direita e se a linha Re{s}=s0 estiver na ROC,
então todos os valores de s tais que Re{s}<s0 estarão também na ROC.
Propriedade 6. Se x(t) for bilateral e se a linha Re{s}=s0 estiver na ROC, então a ROC
consistirá numa faixa do plano-s que inclui a linha Re{s}=s0.
x(t)
t
x(t)
t
Teoria do Sinal 122
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedades da Transformada de Laplace
Linearidade
Translação temporal
Translação no domínio-s
Escala temporal
Convolução
Diferenciação temporal
Diferenciação no domínio-s
Integração no domínio temporal
( ) ( ) ( ) ( )
ax t bx t aX s bX s ROC ROC ROC
1 2 1 2 1 2
+ ← →
 + → ∩
L
( ) ( )
x t t e X s ROC ROC
st
− ← →
 →
−
0
0
L
( ) ( ) { }
e x t X s s ROC ROCtransladada de e s
s t
0
0 0
L
← →
 − → ℜ
( )
x at
a
X
s
a
ROC ROCescalada de
a
L
← →






 →
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
x t x t X s X s ROC ROC ROC
1 2 1 2 1 2
∗ ← →
 ⋅ → ∩
L
( )
( )
dx t
dt
s X s ROC ROC
L
← →
 →
( )
( )
− ← →
 →
t x t
dX s
ds
ROC ROC
L
( ) ( ) { }
{ }
x d
s
X s ROC ROC e s
t
τ τ
−∞
∫ ← →
 → ∩ ℜ >
L 1
0

Teoria do Sinal 123
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sinais e sistemas discretos. Análise de Fourier.
O desenvolvimento dos métodos de análise de Fourier para sinais e sistemas discretos será
feito de forma abreviada, e seguindo paralelamente ao que se fez para sinais e sistemas
contínuos, embora as raízes históricas de uns e outros métodos sejam distintas.
Resposta de sistemas lineares invariantes a exponenciais complexas
As sequências exponenciais complexas são funções próprias dos sistemas discretos LTI.
Supondo que um sistema tem resposta impulsional h[n], a sua resposta a uma entrada
, em que z é um número complexo, é dada por:
Pode-se, portanto, verificar que é uma função própria do sistema, sendo o
correspondente valor próprio
Análise de Fourier. Sistemas discretos
[ ] n
x n z
=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
n k n k
k k k
y n h n x n h k x n k h k z z h k z
+∞ +∞ +∞
− −
=−∞ =−∞ =−∞
= ∗ = − = =
∑ ∑ ∑
n
z
( ) [ ] k
k
H z h k z
+∞
−
=−∞
= ∑
Teoria do Sinal 124
© A. J. Padilha (2010/2011)
Sinais e sistemas discretos. Análise de Fourier.
Considerando uma entrada composta por uma combinação linear de exponenciais
complexas obtém-se:
Como no caso contínuo, consideram-se apenas exponenciais complexas de expoente
imaginário ( ), expressas na forma .
Representação de sinais periódicos pela série discreta de Fourier
O conjunto de todos os sinais discretos exponenciais complexos que são periódicos com
período N é dado por (sinais harmonicamente relacionados, de frequência fundamental
):
[ ] [ ] ( )
n n
k k k k k
k k
x n a z y n a H z z
= =
∑ ∑
1
z =
j n
e Ω
2 N
π
[ ] ( )
2
, 0, 1, 2,
j k N n
k n e k
π
φ = = ± ± …

Teoria do Sinal 125
© A. J. Padilha (2010/2011)
Série de Fourier discreta
Contrariamente ao caso contínuo, os sinais anteriores apenas incluem N exponenciais
complexas distintas, uma vez que
Uma sequência periódica mais geral, de período N, pode ser representada por combinação
linear de sinais :
Os somatórios em k estendem-se a apenas N sucessivos valores inteiros, o que se denotará,
de modo abreviado, por , resultando:
A anterior representação de x[n] é a série discreta de Fourier.
[ ] [ ], 0, 1, 2,
k k rN
n n r
φ φ +
= = ± ± …
[ ]
k n
φ
[ ] [ ] ( )
2
jk N n
k k k
k k
x n a n a e
π
φ
= =
∑ ∑
k N
= 〈 〉
[ ] ( )
2
jk N n
k
k N
x n a e
π
=
= ∑
Teoria do Sinal 126
© A. J. Padilha (2010/2011)
A determinação dos coeficientes ak, para uma dada sequência x[n], pode ser obtida
multiplicando ambos os membros por e somando N termos:
O segundo somatório assume o valor N se k = r, e é nulo se k ≠ r. Portanto,
O par de relações da série discreta de Fourier (equações de síntese e de análise) pode então
formular-se como:
Os coeficientes ak são definidos para N valores consecutivos de k, embora muitas vezes se
considerem definidos para qualquer valor de k, constituindo uma sequência periódica.
( )
2
jr N n
e
π
−
[ ] ( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
jr N n j k r N n j k r N n
k k
n N n N k N k N n N
x n e a e a e
π π π
− − −
= = = = =
= =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
[ ] ( )
2
jr N n
r
n N
x n e N a
π
−
=
=
∑
[ ] ( )
[ ] ( )
2
2
1
j k N n
k
k N
j k N n
k
n N
x n a e
a x n e
N
π
π
=
−
=
=
=
∑
∑

Teoria do Sinal 127
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo1: Considere-se o sinal . O sinal só é periódico se for
inteiro ou racional. No primeiro caso (supondo ), a expansão pela
relação de Euler determina os coeficientes não-nulos (representá-los, p. ex.
para N = 5). No segundo caso (supondo 2π /Ω0 = N / m, não havendo factores
comuns a m e N) representar os coeficientes para N=5 e m=3.
Exemplo2: Considere-se agora a determinação e representação gráfica dos coeficientes da
série de Fourier do sinal, de período N=10,
Exemplo3: Considerando que x[n] é uma sequência rectangular com valor 1 para
-N1≤n≤N1, e periódica de período N, pode usar-se a equação de análise do par
série de Fourier para determinar os coeficientes da série, de que resulta
[ ] 0
sin
x n n
= Ω 0
2π Ω
0
2 N
π Ω =
[ ] ( ) ( ) ( )
2 2 4
2
1 sin 3cos cos
N N N
x n n n n
π π π π
= + + + +
Teoria do Sinal 128
© A. J. Padilha (2010/2011)
Os coeficientes da série podem ser representados como amostras de uma
função contínua
Como no caso de sinais contínuos, também no caso discreto os coeficientes da série de
Fourier da saída de um sistema LTI se podem calcular a partir dos coeficientes da entrada.
Sendo a entrada, de período N,
( )
( )
1
2
sin 2 1 2
1
sin 2
k
k N
N
a
N
π
Ω=
 
+ Ω
 
=
Ω
[ ] ( )
2
jk N n
k
k N
x n a e
π
=
= ∑
( )
( )
1
1
2
1
2 1
, 0, , 2 ,
sin 2
1
, 0, , 2 ,
sin 2 2
k
N
k N N
N
a
k N N
k N N
N k N
π
π
+

= ± ±


=   
+
 
 ≠ ± ±


…
…

Teoria do Sinal 129
© A. J. Padilha (2010/2011)
então a saída produzida por um sistema de resposta impulsional h[n], é
com
Exemplo4: Determinar a saída produzida pelo sistema de resposta impulsional
, para a entrada , e mostrar que,
para N=4, a saída se pode escrever na forma
[ ] ( )
2
2 jk N n
k
k N
k
y n a H e
N
π
π
=
 
=  
 
∑
[ ] ( )
2
1
cos
2
1
n
y n arctg
π
α
α
 
= −
 
 
+
[ ] [ ], 1
n
h n u n
α α
= < [ ] ( )
cos 2
x n n N
π
=
[ ] ( )
2
2 jk N n
n
k
H h n e
N
π
π +∞
−
=−∞
 
=
 
 
∑
Teoria do Sinal 130
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada de Fourier discreta
Representação de sinais aperiódicos pela transformada de Fourier discreta
Por meio de um desenvolvimento paralelo ao que se fez no caso de sinais contínuos, pode-
se definir o par transformado de Fourier discreto (não confundir com a transformada
discreta de Fourier designada de modo abreviado por DFT) para sinais aperiódicos:
Exemplo1: Determinar e representar a transformada de Fourier discreta do sinal
, para a > 0 e para a < 0.
[ ] ( )
( ) [ ]
2
1
2
j n
j n
n
x n X e d
X x n e
π
π
Ω
+∞
− Ω
=−∞
= Ω Ω
Ω =
∫
∑
[ ] [ ], 1
n
x n a u n a
= <

Teoria do Sinal 131
© A. J. Padilha (2010/2011)
X(Ω)
Ω
-2π -π π 2π
0
a=0.5
a=0.707
máx=(1+a)/(1-a)
Exemplo2: Determinar e representar a transformada de Fourier discreta do sinal
, para 0<a<1.
[ ] , 1
n
x n a a
= <
Teoria do Sinal 132
© A. J. Padilha (2010/2011)
Exemplo3: Considerar o sinal rectangular
Representar X(Ω), para N1=2 e para N1=3.
X(Ω)
Ω
-2π -π π 2π
7
5
0
[ ] 1
1
1,
0,
n N
x n
n N
 ≤
= 
>

N1=2
N1=3
( )
( )
( )
1
2
2
sin 2 1
sin
N
X
Ω
Ω
 
+
 
Ω =

Teoria do Sinal 133
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada de Fourier discreta. Propriedades.
Periodicidade
A transformada de Fourier discreta é sempre periódica em Ω, com período 2π, em
contraste com o transformada contínua.
Linearidade
Simetria conjugada
Translação temporal e frequencial
[ ] [ ] ( ) ( )
1 2 1 2
F
ax n bx n aX bX
+ ←
→ Ω + Ω
( ) ( ) [ ]
X X x n real
∗
Ω = −Ω
[ ] ( )
0
0
j n
F
x n n e X
− Ω
− ←
→ Ω
[ ] ( )
0
0
j n F
e x n X
Ω
←
→ Ω − Ω
Teoria do Sinal 134
© A. J. Padilha (2010/2011)
Primeira diferença e soma
Escalamento temporal e frequencial
Se se definir o sinal
[ ] [ ] ( ) ( )
1 1
F j
x n x n e X
− Ω
− − ←
→ − Ω
[ ] ( ) ( ) ( )
1
0 2
1
n
F
j
m k
x m X X k
e
π δ π
+∞
− Ω
=−∞ =−∞
←
→ Ω + Ω −
−
∑ ∑
[ ] ( )
F
x n X
− ←
→ −Ω
( ) [ ]
[ ],
0,
k
x n k para n múltiplo de k
x n
para n não múltiplo de k

= 

( ) [ ] ( )
F
k
x n X k
←
→ Ω

Teoria do Sinal 135
© A. J. Padilha (2010/2011)
Diferenciação na frequência
Relação de Parseval
Propriedade de convolução
Como no caso contínuo, a propriedade de convolução é útil para determinar a resposta de sistemas
discretos, por inversão do produto das transformadas de Fourier discretas da entrada e da resposta
impulsional. Para esse efeito, usa-se a decomposição em fracções parciais de Y(Ω), considerado como
um cociente de polinómios em e-jΩ, procurando-se reconhecer as transformadas inversas por
inspecção. Pares transformados de maior interesse são:
[ ] ( )
2 2
2
1
2
n
x n X d
π
π
+∞
=−∞
= Ω Ω
∑ ∫
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
F
y n x n h n Y X H
= ∗ ←
→ Ω = Ω Ω
[ ]
( )
F dX
n x n j
d
Ω
←
→
Ω
Teoria do Sinal 136
© A. J. Padilha (2010/2011)
Propriedade de modulação
A expressão de Y(Ω) representa a convolução periódica de X1(Ω) com X2(Ω).
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2
1
2
F
y n x n x n Y X X d
π
θ θ θ
π
= ←
→ Ω = Ω −
∫
[ ]
1
, 1
1
F
n
j
a u n a
ae− Ω
< ←
→
−
( ) [ ]
( )
2
1
1 , 1
1
F
n
j
n a u n a
ae− Ω
+ < ←
→
−
( )
( )
[ ]
( )
1 ! 1
, 1
! 1 ! 1
F
n
r
j
n r
a u n a
n r ae− Ω
+ −
< ←
→
− −

Teoria do Sinal 137
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada de Fourier discreta.
Resposta em frequência de sistemas caracterizados por equações às diferenças
lineares de coeficientes constantes
A equação geral deste tipo de sistemas é:
Admitindo que existem as transformadas de Fourier discretas de x[n], y[n] e h[n] (resposta
impulsional do sistema), obtém-se, usando as propriedades de linearidade, de translação
temporal e de convolução:
Verifica-se, portanto, que, como no caso contínuo, a resposta em frequência de sistemas
descritos por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes pode ser escrita
directamente, por inspecção.
[ ] [ ]
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
= =
− = −
∑ ∑
( )
( )
( )
0
0
M
jk
k
k
N
jk
k
k
b e
Y
H
X
a e
− Ω
=
− Ω
=
Ω
Ω = =
Ω
∑
∑
Teoria do Sinal 138
© A. J. Padilha (2010/2011)
A equação de um sistema LTI causal de 1ª ordem é
Neste caso,
A resposta indicial deste sistema é dada por
Note-se que a constante a desempenha um papel semelhante a τ (constante de tempo) nos
sistemas contínuos, mas neste caso são possíveis efeitos de overshoot e de ringing, se a<0.
[ ] [ ] [ ]
1 , 1
y n ay n x n a
− − = <
( ) [ ] [ ]
1
1
n
j
H h n a u n
ae− Ω
Ω = =
−
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
1
1
n
a
s n h n u n u n
a
+
−
= ∗ =
−

Teoria do Sinal 139
© A. J. Padilha (2010/2011)
A equação de um sistema LTI causal de 2ª ordem genérico pode ser
A resposta em frequência é
Se , as duas raízes são diferentes, obtendo-se
[ ] [ ] [ ] [ ]
2
2 cos 1 2 , 0 1, 0
y n r y n r y n x n r
θ θ π
− − + − = < < ≤ ≤
( )
( ) ( )
2 2
1 1
1 2 cos 1 1
j j j j j j
H
r e r e re e re e
θ θ
θ − Ω − Ω − Ω − − Ω
Ω = =
− +    
− −
   
0 e
θ θ π
≠ ≠
( )
( ) ( )
2 sin 2 sin
1 1
j j
j j j j
e e
j j
H
r e e r e e
θ θ
θ θ
θ θ
−
− Ω − − Ω
Ω = −
− −
[ ]
( )
[ ]
sin 1
sin
n
n
h n r u n
θ
θ
 
+
 
=
Teoria do Sinal 140
© A. J. Padilha (2010/2011)
Para , resulta
Para , resulta
As respostas indiciais são dadas por:
0
θ =
θ π
=
( )
( )
[ ] ( ) [ ]
2
1
1
1
n
j
H h n n r u n
r e− Ω
Ω = = +
−
( )
( )
[ ] ( ) ( ) [ ]
2
1
1
1
n
j
H h n n r u n
r e− Ω
Ω = = + −
+
[ ]
( ) ( )
[ ]
1 1
1 1
, 0 e
2 sin 1 2 sin 1
n n
j j
j j
j j
r e r e
e e
s n u n
j r e j r e
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ π
θ θ
+ +
−
−
−
 
   
− −
 
   
= − ≠ ≠
 
   
− −
 
   
 
[ ]
( ) ( )
( ) [ ]
2 2
1
1 , 0
1
1 1
n n
r r
s n r n r u n
r
r r
θ
 
= − + + =
 
−
− −
 
 
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
2 2
1
1 ,
1
1 1
n n
r r
s n r n r u n
r
r r
θ π
 
= − − + + − =
 
+
+ +
 
 

Teoria do Sinal 141
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada Z. Definição bilateral.
No estudo da transformada de Fourier discreta, viu-se que a saída de um sistema LTI, com
resposta impulsional h[n], para uma entrada exponencial da forma zn, era dada por
y[n]=H(z) zn, em que
A transformada-Z (bilateral) de um sinal discreto geral x[n] é definida como
Note-se que, se z=ejΩ, então
Por outro lado, se z= r e jΩ, verifica-se facilmente que
Transformada Z
( ) [ ] n
n
H z h n z
+∞
−
=−∞
= ∑
( ) [ ] n
n
X z x n z
+∞
−
=−∞
= ∑
( ) [ ]
{ }
j
z e
X z x n
Ω
=
= F
[ ]
{ } ( ) [ ]
{ }
j n
x n X re x n r
Ω −
= =
Z F
Teoria do Sinal 142
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada Z. Região de convergência.
A região de convergência (ROC) da transformada-Z (gama de valores de z para a qual o
integral converge) é definida pelo conjunto de valores de r para os quais x[n]r-n tem
transformada de Fourier discreta.
A especificação completa de uma transformada-Z exige não só a expressão analítica de
X(z), mas também a definição da ROC.
A ROC de uma transformada-Z tem propriedades semelhantes às da transformada de
Laplace, mas tendo em conta a representação polar ( ), enquanto que na
transformada de Laplace se usava a representação cartesiana ( ).
A ROC da transformada-Z é, portanto, limitada por circunferências centradas na origem do
referencial.
j
z re Ω
=
Transformada Z
s j
σ
= + Ω

Teoria do Sinal 143
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada Z. Exemplos e inversão.
Exemplo1: Determinar as transformadas-Z dos sinais
indicando a respectiva ROC.
Exemplo2: Determinar a transformada-Z, incluindo ROC, do sinal
Transformada-Z inversa
Por definição, a transformada-Z inversa é dada por
Todavia, em muitos casos, é possível usar a decomposição em fracções parciais como na
transformada de Laplace.
Transformada Z
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 1
n n
x n a u n x n a u n
= = − − −
[ ] n
x n b
=
[ ] ( ) 1
1
2
n
x n X z z dz
j
π
−
= ∫
Teoria do Sinal 144
© A. J. Padilha (2010/2011)
Transformada Z. Problemas.
Exemplo 3. Considere o sinal seguinte e determine a sua transformada Z, ROC e diagrama
zero-polar.
Exemplo 4. Considere a seguinte transformada Z e determine a respectiva sequência
temporal, para as seguintes ROC’s: a) |z| > 1/3 ; b) 1/4 < |z| < 1/3 .
Exemplo 5. Considerando que a transformada Z do exemplo anterior representa a função
de transferência de um sistema LTI, determine a equação às diferenças que
caracteriza o sistema.
[ ]
, 0 1, 0
0, outros
n
a n N a
x n
n
 ≤ ≤ − >
= 

Transformada Z
( )
( ) ( )
1
5
6
1 1
1 1
4 3
3
1 1
z
H z
z z
−
− −
−
=
− ⋅ −

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