Sinais e sistemas_UPorto

1. 1
Faculdade de Engenharia
Sistemas Lineares e Invariantes
SS – MIEIC 2008/2009
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-34
-32
-30
-28
-26
-24
-22
-20
-18
-16
-14
Frequency (kH
z)
Power/frequency
(dB/Hz)
PowerSpectral Density
H
amm
ing
kaiser
C
hebyshev
Double Pendulum
Twocoupledplanar pendulums with
gravity and sinewaveforcingin the
upper R
evolutejoint.
Sine Wave
B
F
Revolute1
B F
Revolute
Env
Joint Sensor1
Joint Sensor
Joint Actuator
Ground
CS1
Body1
CS1 CS2
Body
Angle
Revolute1
Revolute
SS 0809
SLITs2 2
Faculdade de Engenharia
Sistemas lineares e invariantes no tempo – aula de hoje
Sistemas lineares e invariantes
SLITs discretos – resposta impulsional
Convolução discreta
Convolução discreta e resposta de SLITs
SLITs contínuos – resposta impulsional
Convolução contínua
Convolução contínua e resposta de SLITs

2. 2
SS 0809
SLITs2 3
Faculdade de Engenharia
SLITs contínuos
São sistemas que verificam simultaneamente as propriedades de linearidade e invariância.
Num SLIT contínuo tal que ...
),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
( 3
3
2
2
1
1 t
y
t
x
t
y
t
x
t
y
t
x →
→
→
verifica-se ...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
( 3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1 +
−
+
−
+
−
→
+
−
+
−
+
− t
t
y
a
t
t
y
a
t
t
y
a
t
t
x
a
t
t
x
a
t
t
x
a
SS 0809
SLITs2 4
Faculdade de Engenharia
Decomposição de sinais em impulsos de Dirac
sinal em tempo contínuo
)
(t
x∆
0 t
)
(t
x )
(t
x
sinal constante por intervalos
)
(t
x∆
[ ]
∆
+
∆
∈
∆
=
∆ )
1
(
,
),
(
)
( k
k
t
k
x
t
x
+∞
−∞
=
∆
∆ ∆
∆
−
δ
∆
=
k
k
t
k
x
t
x )
(
)
(
)
(
0
→
∆
)
(t
x
)
(t
x∆
t
∆
+ )
1
(k
)
( ∆
−
δ∆ k
t
∆
/
1
∆
k
0
→
∆
+∞
∞
−
τ
τ
−
δ
τ
= d
t
x
t
x )
(
)
(
)
(
Qualquer sinal em tempo contínuo pode ser escrito como uma combinação
linear “contínua” de impulsos de Dirac deslocados
∆ ∆
2 ∆
3 ∆
4
∆
−
∆
−3 ∆
−2
∆
−4
∆
=
τ k

3. 3
SS 0809
SLITs2 5
Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional de um SLIT contínuo
A resposta impulsional de um SLIT contínuo define-se como sendo a saída
desse sistema quando a entrada é um impulso de Dirac e representa-se por h(t).
SLIT contínuo
)
(t
h
)
(
)
( t
h
t →
δ )
(
)
( τ
−
→
τ
−
δ t
h
t
−∞
∞
−
τ
τ
−
δ
τ
(
= d
t
x
t
x )
(
)
)
(
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
h
x
t
y )
(
)
(
)
( SLIT contínuo
)
(t
x )
(t
y
invariância
linearidade
A resposta de um SLIT contínuo a uma entrada x(t) qualquer
pode ser obtida apenas à custa da sua resposta impulsional.
)
(t
x )
(t
y
)
(t
h
)
(t
δ
SS 0809
SLITs2 6
Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional e propriedades de um SLIT contínuo
SLIT sem memória )
(
)
( t
K
t
h δ
=
SLIT causal 0
,
0
)
( <
= t
t
h
SLIT estável ∞
<
+∞
∞
−
dt
t
h )
(
)
(t
x )
(t
y
)
(t
h
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
h
x
t
y )
(
)
(
)
(
+∞
∞
−
τ
τ
τ
−
= d
h
t
x
t
y )
(
)
(
)
(

4. 4
SS 0809
SLITs2 7
Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional de um SLIT contínuo – exemplo
t
0 1 2 3
-1
-2
-3
)
(t
h
1
t
0 1
-1
)
(t
x
?
)
( =
t
y
)
1
(
)
(
2
)
1
(
)
( −
δ
−
δ
+
+
δ
−
= t
t
t
t
x )
1
(
)
(
2
)
1
(
)
( −
−
+
+
−
= t
h
t
h
t
h
t
y
-2 t
0
)
1
( +
− t
h
t
0 1
-1
)
(
2 t
h
t
2
0
)
1
( −
− t
h
t
0 1 2 3
-1
-2
-3
)
(t
y
SS 0809
SLITs2 8
Faculdade de Engenharia
Convolução contínua
+∞
∞
−
τ
τ
−
(
τ
=
= d
t
h
x
t
h
t
x
t
y )
)
(
)
(
*
)
(
)
(
A operação que define a saída de um SLIT contínuo à custa da resposta impulsional e do sinal de entrada
designa-se convolução contínua e representa-se por
Generalizando, a convolução contínua é uma operação que, a partir de dois sinais em tempo contínuo,
produz um novo sinal em tempo contínuo.
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
=
= d
t
x
x
t
x
t
x
t
y )
(
)
(
)
(
*
)
(
)
( 2
1
2
1
Assim, pode dizer-se que a resposta de um SLIT contínuo a uma dada entrada é a
convolução desta entrada com a resposta impulsional do sistema.

5. 5
SS 0809
SLITs2 9
Faculdade de Engenharia
Cálculo da convolução contínua
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
x
x
t
x
t
x )
(
)
(
)
(
*
)
( 2
1
2
1 Para cada t, y(t) é igual ao integral do produto de x1(τ) por x2(t–τ),
em que a variável independente é agora τ
Passos de aplicação do método
1. Alterar a variável independente de x1 e x2 para τ
2. Rebater o sinal x2(τ) (passa de x2(τ) a x2(– τ) )
3. Deslocar o sinal rebatido de forma a que a amostra em τ=0 passe a estar em τ=t
a. multiplicar ponto a ponto os sinais x1 e x2 rebatido e transladado
b. integrar o sinal produto, obtendo y(t)
4. Para cada t (de –∞ a +∞)
SS 0809
SLITs2 10
Faculdade de Engenharia
Cálculo da convolução contínua – exemplo
Determinar )
(
*
)
(
)
( 2
1 t
x
t
x
t
y =
t
1 2 3
0
-1
)
(
1 t
x
τ
1 2 3
0
-1
)
(
1 τ
x
-2 t
0 1 2
-1
)
(
2 t
x
-2 τ
0 1 2
-1
)
(
2 τ
−
x
-2 τ
0 1 2
-1
)
(
2 τ
x
t-2 τ
t t+1 t+2
t-1
)
(
2 τ
−
t
x

6. 6
SS 0809
SLITs2 11
Faculdade de Engenharia
Cálculo da convolução contínua – exemplo
0
<
t 0
)
( =
t
y
1
0 <
< t τ
τ
=
t
d
t
y
0
2
/
)
(
2
1 <
< t
>
τ
<
τ
≤
τ
≤
τ
=
τ
2
ou
0
se
0
2
0
se
2
/
)
(
1
x
τ
1 2 3
0
-1
)
(
1 τ
x
τ
t
t-1
)
(
2 τ
−
t
x
τ
t
t-1
)
(
2 τ
−
t
x
4
4
2
0
2
t
t
=
τ
=
τ
t
t-1
)
(
2 τ
−
t
x
−
τ
τ
=
t
t
d
t
y
1
2
/
)
(
4
1
2
4 1
2
−
=
τ
=
−
t
t
t
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
x
x
t
y )
(
)
(
)
( 2
1
SS 0809
SLITs2 12
Faculdade de Engenharia
Cálculo da convolução contínua – exemplo
3
2 <
< t
0
)
( =
t
y
3
>
t
>
τ
<
τ
≤
τ
≤
τ
=
τ
2
ou
0
se
0
2
0
se
2
/
)
(
1
x
τ
1 2 3
0
-1
)
(
1 τ
x
τ
t
t-1
)
(
2 τ
−
t
x
τ
t
t-1
)
(
2 τ
−
t
x
−
τ
τ
=
2
1
2
/
)
(
t
d
t
y
4
)
1
(
1
4
2
2
1
2
−
−
=
τ
=
−
t
t
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
x
x
t
y )
(
)
(
)
( 2
1

7. 7
SS 0809
SLITs2 13
Faculdade de Engenharia
Cálculo da convolução contínua – exemplo
t
1 2 3
0
-1
)
(
1 t
x
-2 t
0 1 2
-1
)
(
2 t
x
)
(
*
)
(
)
( 2
1 t
x
t
x
t
y =
t
1 2 3
0
-1 4
≥
≤
≤
−
≤
≤
≤
≤
≤
=
−
−
3
se
0
3
2
se
1
2
1
se
1
0
se
0
se
0
)
(
4
)
1
(
4
1
2
4
2
2
t
t
t
t
t
t
y
t
t
t
SS 0809
SLITs2 14
Faculdade de Engenharia
Convolução de sinais de duração limitada
)
(
1 t
x sinal de duração entre m1 e M1
)
(
2 t
x sinal de duração entre m2 e M2
)
(
*
)
(
)
( 2
1 t
x
t
x
t
y = sinal de duração entre m1+m2 e M1+M2
Limite inferior:
Limite superior:
1
2 m
m
t =
−
1
2 M
M
t =
−
2
1 m
m
t +
=
2
1 M
M
t +
=
t
)
(
1 t
x
1
m
1
M
t
)
(
2 t
x
2
m
2
M τ
)
(
2 τ
−
x
2
m
−
2
M
−
τ
)
(
1 τ
x
1
m
1
M
τ
)
(
2 τ
−
t
x
2
m
t −
2
M
t −

8. 8
SS 0809
SLITs2 15
Faculdade de Engenharia
Propriedades da convolução contínua
1. Comutativa )
(
*
)
(
)
(
*
)
( 1
2
2
1 t
x
t
x
t
x
t
x =
2. Distributiva relativamente à adição ( ) )
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
( 3
2
3
1
3
2
1 t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x +
=
+
3. Associativa ( ) ( )
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
*
)
( 3
2
1
3
2
1 t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x =
4. Elemento neutro )
(
)
(
*
)
(
)
(
*
)
( t
x
t
x
t
t
t
x =
δ
=
δ
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
x
x
t
x
t
x )
(
)
(
)
(
*
)
( 2
1
2
1
+∞
∞
−
−
= dr
r
x
r
t
x )
(
)
( 2
1 )
(
*
)
( 1
2 t
x
t
x
=
τ
−
= t
r
( ) ( )
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
+
τ
=
+ d
t
x
x
x
t
x
t
x
t
x )
(
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
( 3
2
1
3
2
1 τ
τ
−
τ
+
τ
τ
−
τ
=
+∞
∞
−
+∞
∞
−
d
t
x
x
d
t
x
x )
(
)
(
)
(
)
( 3
1
3
1 )
(
*
)
(
)
(
*
)
( 3
2
3
1 t
x
t
x
t
x
t
x +
=
−∞
∞
−
τ
τ
−
τ
δ
=
δ d
t
x
t
x
t )
(
)
(
)
(
*
)
(
0
sse
0
)
( ≠
τ
=
τ
δ
)
(t
x
=
+∞
∞
−
τ
τ
δ
= d
t
x )
(
)
(
SS 0809
SLITs2 16
Faculdade de Engenharia
Interligação de SLITs
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: 1
1 t
h
t
x
t
y
t
x
S =
→
x(t)
S
z(t)
2
S
z(t)
y(t)
1
S
x(t)
SLITs em série
resposta impulsional de S1
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: 2
2 t
h
t
y
t
z
t
y
S =
→ resposta impulsional de S2
( ) )
(
*
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
( 2
1
2 t
h
t
h
t
x
t
h
t
y
t
z =
= ( )
)
(
*
)
(
*
)
( 2
1 t
h
t
h
t
x
=
resposta impulsional
da série de S1 e S2
Resposta impulsional da série é a convolução das respostas impulsionais

9. 9
SS 0809
SLITs2 17
Faculdade de Engenharia
Interligação de SLITs
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: 1
1
1 t
h
t
x
t
y
t
x
S =
→
x(t)
S
z(t)
SLITs em paralelo
resposta impulsional de S1
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: 2
2
2 t
h
t
x
t
y
t
x
S =
→ resposta impulsional de S2
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 t
h
t
x
t
h
t
x
t
y
t
y
t
z +
=
+
= ( )
)
(
)
(
*
)
( 2
1 t
h
t
h
t
x +
=
resposta impulsional do
paralelo de S1 e S2
Resposta impulsional do paralelo é a soma das respostas impulsionais
y1(t)
1
S
z(t)
2
S
y2(t)
x(t)
SS 0809
SLITs2 18
Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional de SLITs sem memória
SLIT sem memória
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: t
h
t
x
t
y
t
x
S =
→
SLIT com resposta impulsional h(t)
+∞
∞
−
τ
τ
τ
−
= d
h
t
x
t
y )
(
)
(
)
(
para cada t y(t) apenas depende de x(t)
0
)
( =
τ
h se 0
≠
τ
)
(
)
( t
K
t
h δ
= para algum K
SLIT sem memória tem
Exemplos: )
2
(
)
( −
= t
u
t
h
)
(
3
)
( t
t
h δ
=
resposta impulsional de sistema com memória
resposta impulsional de sistema sem memória
)
2
(
)
( −
δ
= t
t
h resposta impulsional de sistema com memória

10. 10
SS 0809
SLITs2 19
Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional de SLITs causais
SLIT causal
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: t
h
t
x
t
y
t
x
S =
→
SLIT com resposta impulsional h(t)
+∞
∞
−
τ
τ
τ
−
= d
h
t
x
t
y )
(
)
(
)
(
para cada t y(t) apenas depende de x(s) com s ≤ t
0
)
( =
τ
h se 0
<
τ
0
)
( =
t
h para 0
<
t
SLIT causal tem
Exemplos: )
2
(
)
( −
= t
u
t
h
)
(
3
)
( t
t
h δ
=
resposta impulsional de sistema causal
resposta impulsional de sistema causal
)
2
(
)
( +
δ
= t
t
h resposta impulsional de sistema não causal
SS 0809
SLITs2 20
Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional de SLITs estáveis
SLIT estável
)
(
*
)
(
)
(
)
(
: t
h
t
x
t
y
t
x
S =
→
SLIT com resposta impulsional h(t)
+∞
∞
−
τ
τ
τ
−
= d
h
t
x
t
y )
(
)
(
)
(
x(t) limitado origina y(t) limitado
Exemplos: )
2
(
)
( −
= t
u
t
h
)
3
(
)
2
(
)
( −
−
+
= t
u
t
u
t
h
resposta impulsional de sistema instável
resposta impulsional de sistema estável
)
(
)
( t
u
e
t
h t
−
= resposta impulsional de sistema estável
B
t
x ≤
)
(
+∞
∞
−
+∞
∞
−
τ
τ
≤
τ
τ
τ
−
≤ d
h
B
d
h
t
x
t
y )
(
)
(
)
(
)
(
+∞
<
+∞
∞
−
dt
t
h )
(
SLIT estável
tem h(t) com

11. 11
SS 0809
SLITs2 21
Faculdade de Engenharia
Resposta ao degrau unitário
A resposta de um SLIT contínuo a um degrau unitário é também designada por
resposta indicial e é representada por s(t).
u(t)
S
s(t)
)
(
*
)
(
)
( t
h
t
u
t
s =
+∞
∞
−
τ
τ
τ
−
= d
h
t
u
t
s )
(
)
(
)
(
∞
−
τ
τ
=
t
d
h
t
s )
(
)
(
≤
τ
>
τ
=
τ
−
t
t
t
u
,
1
,
0
)
(
)
(
)
(
t
h
dt
t
ds
=
Relações entre resposta
indicial e resposta
impulsional
SS 0809
SLITs2 22
Faculdade de Engenharia
Propriedades de SLITs e resposta impulsional
SLITs contínuos
)
(
)
( t
K
t
h δ
=
SLITs discretos
sistema sem memória
sistema causal
sistema estável
]
[
]
[ n
K
n
h δ
=
0
,
0
)
( <
∀
= t
t
h 0
,
0
]
[ <
∀
= n
n
h
+∞
<
+∞
∞
−
dt
t
h )
( +∞
<
+∞
−∞
=
n
n
h ]
[

12. 12
SS 0809
SLITs2 23
Faculdade de Engenharia
EDO lineares de coeficientes constantes
Equação de ordem N:
x(t)
S
y(t)
Exemplos: )
(
)
(
)
(
'
' t
x
t
y
t
y =
+
)
(
)
(
2
)
(
' t
x
t
y
t
y =
+
=
=
=
N
k
k
k
k
N
k
k
k
k
dt
t
x
d
b
dt
t
y
d
a
0
0
)
(
)
(
condições auxiliares são
necessárias para definir y(t)
0
)
(
)
(
)
( 1
0
1
0
0 =
=
=
= −
−
N
N
dt
t
y
d
dt
t
dy
t
y
Sistema descrito por EDO linear de coeficientes constantes
é um SLIT causal se as condições iniciais forem nulas
Nota:
SS 0809
SLITs2 24
Faculdade de Engenharia
Equações às diferenças lineares de coeficientes constantes
Equação de ordem N:
x[n]
S
y[n]
Exemplos: ]
[
]
1
[
]
[ n
x
n
y
n
y =
−
+
]
1
[
]
2
[
]
[ −
=
−
+ n
x
n
y
n
y
=
=
−
=
−
N
k
k
N
k
k k
n
x
b
k
n
y
a
0
0
]
[
]
[
condições auxiliares são
necessárias para definir y[n]
0
]
[
]
2
[
]
1
[ 0
0
0 =
−
=
=
−
=
− N
n
y
n
y
n
y
Sistema descrito por equação às diferenças linear de coeficientes
constantes é um SLIT causal se as condições iniciais forem nulas
Nota:

13. 13
SS 0809
SLITs2 25
Faculdade de Engenharia
Exercício 1
Calcule as seguintes convoluções:
( )
( ) ( )
)
(
)
2
(
*
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
1 t
u
t
u
t
u
t
u
t
t
y −
+
−
−
−
=
( ) ( )
)
1
(
)
1
(
2
*
)
3
(
)
(
)
(
2 −
δ
−
+
δ
−
−
= t
t
t
u
t
u
t
y
)
(
*
)
(
)
(
3 t
u
t
u
t
y =
( ) )
(
*
)
(
)
( 2
4 t
u
t
u
e
t
y t
−
=
SS 0809
SLITs2 26
Faculdade de Engenharia
Exercício 2
Um SLIT contínuo tem a resposta indicial indicada na figura
t
1 2 3
0
-1
)
(t
s
1
a) Determine a resposta impulsional do sistema.
b) Determine a saída do sistema quando a entrada é o sinal tu(t).