Este documento apresenta os fundamentos de sinais e sistemas de telecomunicações. Aborda conceitos como sinais periódicos, espectro de linha, potência média, série e transformada de Fourier. A série e transformada de Fourier são ferramentas úteis para decompor sinais periódicos e não periódicos em componentes sinusoidais e analisar suas propriedades no domínio da frequência.

1. Fundamentos de
Telecomunicações
2022/2023
EE – TELE/EIC 3º Ano
Mateus Andrade

2. Sumário
• Sistemas e sinais
• Sinais periódicos
• Espectro de linha
• Potência média
• Série de Fourier
• Transformada de Fourier
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3. Sistemas
• Sistemas e sinais estão sempre corelacionados.
Normalmente, um sistema tem:
• Um sinal a entrada
• Um sinal a saída
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4. Sinais periódicos
• 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 ω0𝑡 + ∅
• 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2π𝑓0𝑡 + ∅
Usar cosseno por convenção
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5. Representação fasorial
𝑣 𝑡 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + ∅ = 𝐴. ℜ 𝑒(𝑗𝜔𝑡+∅) = 𝐴. ℜ 𝑒𝑗𝜔𝑡. 𝑒∅
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6. Espectro de linha
Espectro de linha unilateral
6
Espectro de amplitude
Espectro de fase

7. Espectro de linha
Espectro de linha bilateral
7

8. Espectro de linha
Espectro de linha bilateral
8
Espectro de amplitude tem simetria par
e espectro de fase tem simetria impar

9. Espectro de linha
Sinais periódicos descritos como soma de sinusoides
simples
𝑣 𝑡 = 7 − 10𝑐𝑜𝑠 40𝜋𝑡 − 60° + 4𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡
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10. Espectro de linha
𝑣 𝑡 = 7 − 10𝑐𝑜𝑠 40𝜋𝑡 − 60° + 4𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡
Espectro de linha unilateral
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11. Espectro de linha
𝑣 𝑡 = 7 − 10𝑐𝑜𝑠 40𝜋𝑡 − 60° + 4𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡
Espectro de linha bilateral
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12. Potência média
• O valor médio de um sinal qualquer:
Sinal periódico: valor médio = valor médio num período
Define-se a potência média:
Se S for finita, o sinal é classificado como sinal de potência
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13. Série de Fourier
• Aplicado aos sinais periódicos
• Determina os coeficientes (com informação da
amplitude e fase das riscas) para qualquer sinal
periódico
• Pode ser usada para decompor um sinal periódico
como somatório de sinais sinusoidais simples (um
sinal sinusoidal por cada risca)
•
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14. Série de Fourier
• Os coeficientes são dados:
• Cn é um complexo
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Forma Polar
Onde arg Cn é o angulo do complexo Cn

15. Série de Fourier
• Espectro de linha bilateral
• O coeficiente de ordem n ocorre em:
• Só existem valores diferentes de zero em múltiplos
de f0
• n=0 corresponde ao valor médio do sinal
• Se v(t) for real:
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16. Série de Fourier
• Versão trigonométrica da série de Fourier
• Espectro de linha unilateral
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17. Função SINC
• Cálculo de Cn envolve cálculo recorrente do seguinte
integral:
• 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝛼
𝜋𝛼
Anula para valores de α inteiro excepto α=0 (onde tem
o máximo)
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18. Função SINC
• 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝛼
𝜋𝛼
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19. Pulsos rectangulares
• Calcular Cn para sequência de pulsos rectangulares
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20. Pulsos rectangulares
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21. Pulsos rectangulares
• É possível obter v(t) a partir de Cn. Usar versão
trigonométrica da série de Fourier
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22. Pulsos rectangulares
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23. Transformada de Fourier
• Sinais genéricos (periódicos e não periódicos)
• Sinais de energia
Usar a fórmula do coeficiente da série
fazendo:
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24. Transformada de Fourier
• Espectro deixa de ser em riscas e passa a ser uma
função contínua em f
• Recuperar v(t) deixa de ser somatório:
• v(t) é transformada inversa
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25. Transformada de Fourier
• Propriedades de TF
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26. Pulso retangular
• Definição adoptada
• Transformada de Fourier
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27. Pulso retangular
• Espectro
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28. Pulso retangular
• Parte significativa do espectro
Será utilizada como largura espectral de um pulso
de duração τ
• Redução da duração do pulso => aumento da
largura espectral. Pulsos curtos tem espectros
largos e pulos longos tem espectros estreitos:
Fenómeno conhecido como “espalhamento
recíproco”
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29. Energia
• Pode-se calcular energia a partir do espectro
• Função densidade espectral de energia
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30. Largura de banda
• Densidade espectral do pulso retangular
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31. Largura de banda
• Definição
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32. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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33. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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34. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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35. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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36. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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37. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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38. Aplicaçãos Transformadas Fourier
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39. Considerações Finais
• Fenômenos periódicos ocorrem recorrentemente em várias
aplicações: representação de funções periódicas em termos de
funções simples, como o senx ou cosx - Séries de Fourier.
• Conceitos e técnicas desenvolvidos para as séries de Fourier
podem ser estendidos para o caso de funções que não são
periódicas: Transformadas de Fourier.
• A utilização de séries e transformadas de Fourier revela-se,
portanto, eficiente na resolução de problemas nas mais diversas
áreas.
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