O documento descreve os objetivos e conceitos da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT). Ele apresenta como determinar a resposta ao impulso a partir da resposta em frequência, define a DTFT e suas propriedades de convergência e simetria. As propriedades mostram que a transformada é conjugada simétrica, sua parte real é par e parte imaginária é ímpar, e sua magnitude é par.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Aula 05
Transformada de Fourier de Tempo Discreto
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

2. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Objetivos
• Determinar como, a partir da resposta em frequência, determinar a resposta ao impulso;
• Apresentar a definição da Transformada de Fourier de Tempo Discreto;
• Verificar a condição de convergência da Transformada de Fourier de Tempo Discreto;
• Estudar as propriedades de simetria da Transformada de Fourier;
• Apresentar as propriedades da Transformada de Fourier.
2

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Resposta ao Impulso
• Objetivo: Determinar h(n) a partir do conhecimento de H(ejω);
• H(ejω) é periódico em ω, e portanto pode ser obtido em termos de uma série de Fourier;
3
  ( )
j j n
n
H e h n e
 



 
Coeficientes da expansão em série.
 
1
( )
2
j j n
h n H e e d

 


 
  (Cálculo dos coeficientes da expansão em Fourier).
Demonstração:
1
( ) ( )
2
j r j n
r
h n h r e e d

 







 
  
 


1
( )
2
j r j n
r
h r e e d

 





 
 
  
 
 
( )
1
( ) ( )
2
j n r
r
h n h r e d







 
 
  
 
 

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Resposta ao Impulso
Demonstração:
4
( ) 0
2
j n r n r
e d
n r









 



( )
1
( ) ( )
2
j n r
r
h n h r e d







 
 
  
 
  Notar que:
 
1
( ) 2 ( )
2
h n h n


 ( )
h n

O valor do somatório sempre será nulo, menos para a amostra n = r, no qual valor 2π, logo:
Em resumo:
  ( )
j j n
n
H e h n e
 



 
 
1
( )
2
j j n
h n H e e d

 


 
 

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Transformada de Fourier de Tempo Discreto
• Generalização para qualquer sequência (desde que não seja periódica):
5
  ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
 
1
( )
2
j j n
x n X e e d

 


 
 
(Análise ou Transformada Direta)
(Síntese ou Transformada Inversa)
 
( )
DTFT j
x n X e 



    
( ) j
x n X e 

F
 
 
1
( )
j
X e x n



F
ou, de forma equivalente

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• Critério de convergência: para todo ω.
• Condição suficiente:
Convergência da DTFT
• Para que , então basta que:
6
 
j
X e 
 
  ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
  ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
  ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
  ( )
j
n
X e x n



 
  para todo
j
X e 

 
( )
n
x n


 
 (x(n) é absolutamente somável).

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Convergência da DTFT
• A condição x(n) ser absolutamente somável garante uma convergência uniforme;
• Algumas sequências não são absolutamente somáveis, mas são quadraticamente somáveis:
7
2
( )
n
x n


 

• Neste caso, a DTFT irá convergir na média:
  ( )
M
j j n
M
n M
X e x n e
 


 
   
2
lim 0
j j
M
M
X e X e d

 




 


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Convergência da DTFT
Exemplo: Resposta ao impulso de um filtro passa-baixas.
8
 
j
lp
H e 

c

c

 


 
1
0
c
j
lp
c
H e   
  
 
 
 

 
1
( )
2
j j n
lp lp
h n H e e d

 


 
 
1
2
c
c
j n
e d




 
 
 
1
2
c c
j n j n
e e
jn
 


 
1
2
c
c
j n
e
jn



 

 
sin
( ) c
lp
n
h n
n



Desta forma:
Características: • Não-casual;
• Não é absolutamente somável;
• É quadraticamente somável.

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Convergência da DTFT
Exemplo: Resposta ao impulso de um filtro passa-baixas.
9
  ( )
M
j j n
M
n M
H e h n e
 


 
Efeito Gibbs.
Observação: Vão existir sequências que
não são absolutamente somáveis nem
quadraticamente somáveis, mas que é
útil definir a DTFT.
( ) 1
x n 
   
2 2
j
r
X e r

   


 


10. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Simetria da DTFT
• Verificar as propriedades de simetria da transformada de Fourier supondo que x(n) é real.
10
     
j j j
e o
X e X e X e
  
 
     
 
1
2
j j j
e
X e X e X e
  
 
 
     
 
1
2
j j j
o
X e X e X e
  
 
 
• Admitindo que x(n) é
real:   ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
  ( )
j j n
n
X e x n e
 

   

  ( ) j n
n
x n e 



   
j
X e 

ou
seja:
   
j j
X e X e
 
 
 (Propriedade 1 – A transformada é conjugada simétrica)

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Simetria da DTFT
• Analisando a parte real e imaginária da transformada:
11
     
j j j
R I
X e X e jX e
  
 
     
j j j
R I
X e X e jX e
  
   
 
   
j j
X e X e
 
 

   
j j
R R
X e X e
 


   
j j
I I
X e X e
 

 
(Propriedade 2 – A parte real é par)
(Propriedade 3 – A parte imaginária é
impar)
• Analisando a magnitude da transformada:
     
2
2 2
j j j
R I
X e X e X e
  
 
     
2
2 2
j j j
R I
X e X e X e
  
  
     
2
2 j j
R I
X e X e
 
 
  
     
2 2
j j
R I
X e X e
 
   
2
j
X e 

ou
seja:
   
j j
X e X e
 

 (Propriedade 4 – A magnitude é par)

12. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Simetria da DTFT
• Analisando a fase da transformada:
12
 
 
 
arctan
j
I
j
j
R
X e
X e
X e



 
 

 
 
 
 
 
arctan
j
I
j
j
R
X e
X e
X e






 
 

 
 
 
 
arctan
j
I
j
R
X e
X e


 

 

 
 
 
 
arctan
j
I
j
R
X e
X e


 
 
 
 
 
 
j
X e 
 
ou
seja:
   
j j
X e X e
 

 
, fazendo a substituição de variável:
• Analisando o efeito da reflexão no tempo (x(-n)):
 
( ) ( ) j n
n
x n x n e 



  

F r n
 
(Propriedade 5 – A fase é ímpar)
 
( ) ( ) j r
r
x n x r e 


  
F  
j
X e 


   
( ) j
x n X e 

 
F (Propriedade 6)
ou
seja:

13. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Simetria da DTFT
13
• Analisando a parte par de
x(n):  
1
( ) ( ) ( )
2
e
x n x n x n
  
     
1
( ) ( ) ( )
2
e
x n x n x n
 
  
 
F F F    
1
2
j j
X e X e
 

 
 
 
       
1
2
j j j j
R I R I
X e jX e X e jX e
   
 
   
 
 
j
R
X e 

ou
seja:
   
( ) j
e R
x n X e 

F (Propriedade 7 – A transformada da parte par é a parte real da
transformada)

14. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Simetria da DTFT
• Analisando a parte ímpar de x(n):
14
 
1
( ) ( ) ( )
2
o
x n x n x n
  
     
1
( ) ( ) ( )
2
o
x n x n x n
 
  
 
F F F    
1
2
j j
X e X e
 

 
 
 
       
1
2
j j j j
R I R I
X e jX e X e jX e
   
 
   
   
j
I
jX e 

ou
seja:
   
( ) j
o I
x n jX e 

F (Propriedade 8– A transformada da parte ímpar é a parte
imaginária da transformada)

15. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Simetria da DTFT
• Caso x(n) seja complexo, segue as propriedades:
15
   
( ) j
x n X e 

 

F
 
   
Re ( ) j
e
x n X e 

F
 
   
Im ( ) j
o
j x n X e 

F
   
( ) j
e R
x n X e 

F
   
( ) j
o I
x n jX e 

F
(Propriedade 9)
(Propriedade 10)
(Propriedade 11)
(Propriedade 12)
(Propriedade 13)

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Propriedades da Transformada de Fourier
• Linearidade:
16
   
1 1
( ) j
x n X e 

F
   
2 2
( ) j
x n X e 

F
     
1 2 1 2
( ) ( ) ,
j j
ax n bx n aX e bX e a b
 
   
F
• Deslocamento no tempo:
   
( ) j
x n X e 

F    
( ) j j
x n e X e
 

 
F
• Multiplicação por exponencial:
   
( ) j
x n X e 

F    
0 0
( )
( )
j n j
e x n X e
  


F
• Reflexão no tempo:
   
( ) j
x n X e 

F    
( ) j
x n X e 

 
F (caso x(n) seja
complexo)
   
( ) j
x n X e 

 
F (caso x(n) seja real)

17. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada de Fourier
• Diferenciação na frequência:
17
   
( ) j
x n X e 

F  
 
( )
j
dX e
nx n j
d



F
• Teorema de Parseval:
   
( ) j
x n X e 

F  
2
2 1
( )
2
j
x
n
E x n X e d






 
 
 
• Teorema da Convolução:
   
( ) j
x n X e 

F
   
( ) j
h n H e 

F
     
( ) ( ) j j
x n h n X e H e
 
 
F

18. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada de Fourier
• Teorema da Convolução:
18
 
1
( )
2
j j n
x n X e e d

 


 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
y n x n h n T x n
    
1
2
j j n
T X e e d

 


 
 
  
 
  
 
1
2
j j n
T X e e d

 


 
 
Demonstração:
   
1
2
j j n
X e T e d

 


 
     
1
2
j j j n
X e H e e d

  


 
 
 
1
( )
2
j j n
y n Y e e d

 


 
  , desta forma:      
j j j
Y e X e H e
  
 , ou melhor:
     
( ) j j
X e
n e
y H
 

F
     
( ) ( ) j j
X e H
n e
x n h  


F

19. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada de Fourier
• Teorema do janelamento:
19
   
( ) j
x n X e 

F
   
( ) j
w n W e 

F
     
( )
( ) ( ) j j
x n w n X e W e d

  




 
F
Convolução periódica = convolução
linear calculada em apenas um
período.
Exemplo: Calcular a DTFT da sequência:
( ) ( 5)
n
x n a u n
 
1( ) ( )
n
x n a u n
  
1
1
1
j
j
X e
ae





2 1
( ) ( 5)
x n x n
  5
( 5)
n
a u n

     
5
2 1
j j j
X e e X e
  

 5 1
1
j
j
e
ae






5
2
( ) ( )
x n a x n
 ( 5)
n
a u n
     
5
2
j j
X e a X e
 

5
5
1
j
j
e
a
ae






5 5
( 5)
n
a a u n

 
 
 

20. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada de Fourier
Exemplo: Considere um sistema LTI com a seguinte equação de diferenças:
20
1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 4
y n y n x n x n
    
Determine:
a) A resposta em frequência.
( ) ( )
x n n


( ) ( )
y n h n

   
( )
j
H n
e h

 F
1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 4
h n h n n n
 
    
1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 4
h n h n n n
 
   
    
   
   
F F
   
1 1
1
2 4
j j j j
H e e H e e
   
 
  
   
 
1 1 4
1 1 2
j
j
j
e
H e
e









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Propriedades da Transformada de Fourier
Exemplo: Considere um sistema LTI com a seguinte equação de diferenças:
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1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 4
y n y n x n x n
    
Determine:
b) A resposta ao impulso.
 
 
1
( ) j
h n H e 

 F
   
 
1 1 4
1 1 2
j
j
j
e
H e
e







  
 
 
1 4
1
1 1 2 1 1 2
j
j j
e
e e

 

 
 
 
 
1 1 1
( )
1 1 2 2
n
j
u n
e 


 
 

  
 

 

 
 
F
 
 
1
1
(
1
4
1 4 1
1)
1 1 2 2
n
j
j
e
u n
e






 
   

   
 
 
 

 
  
 
F
1
1 1
( ) ( ) ( 1)
2 2
1
4
n n
h n u n u n

 
 
 

   
  
   
  

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Na próxima aula...
• Amostragem de Sinais de Tempo Contínuo;
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Referências
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3º
Edição, Pearson, 2013 (pg. 30 - 40);
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Exercícios
• Capítulo 2 (Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de
Sinais. 3º Edição, Pearson, 2013):
• Problemas Obrigatórios: 2.6, 2.8, 2.14, 2.34 e 2.44;
• Problemas Opcionais: 2.9, 2.33 e 2.37.
Prazo de entrega: 1 semana.
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