Sinais e sistemas_UPorto

1. 1
Faculdade de Engenharia
Sinais e Sistemas
SS – MIEIC 2007/2008
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-34
-32
-30
-28
-26
-24
-22
-20
-18
-16
-14
Frequency (kHz)
Power/frequency
(dB/Hz)
Power Spectral Density
Hamming
kaiser
Chebyshev
Double Pendulum
Two coupled planar pendulums with
gravity and sine wave forcing in the
upper Revolute joint.
Sine Wave
B
F
Revolute1
B F
Revolute
Env
Joint Sensor1
Joint Sensor
Joint Actuator
Ground
CS1
Body1
CS1 CS2
Body
Angle
Revolute1
Revolute
SS 0708
SinSist 2
Faculdade de Engenharia
Sinais e Sistemas – aula de hoje
Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto
Operações elementares com sinais
Transformação de variável independente
Decomposição de sinais
Características de sinais
Sinais fundamentais
Sistemas e sua interligação
Propriedades de sistemas

2. 2
SS 0708
SinSist 3
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – memória
Um sistema diz-se sem memória se para cada instante, o valor da saída nesse instante apenas
depender do valor da entrada no mesmo instante.
Exemplos: 1
]
[
3
]
[
]
[
]
[
: 2
1 +
−
=
→ n
x
n
x
n
y
n
x
S
( )
)
(
1
log
3
)
(
)
(
: 2
2 t
x
t
y
t
x
S +
=
→
Se a condição acima não se verificar, o sistema diz-se com memória.
Exemplos: ]
1
[
]
[
]
[
:
3 +
=
→ n
x
n
y
n
x
S
∫∞
−
τ
τ
=
→
t
d
x
t
y
t
x
S )
(
)
(
)
(
:
4
Neste caso haverá, pelo menos, um instante para o qual o valor da saída nesse instante dependerá de
valores da entrada em instantes passados ou futuros.
SS 0708
SinSist 4
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – invertibilidade
Um sistema diz-se invertível se diferentes sinais de entrada conduzem a diferentes sinais de saída.
Exemplos: )
(
2
)
(
)
(
:
1 t
x
t
y
t
x
S =
→
∑
−∞
=
=
→
n
k
k
x
n
y
n
x
S ]
[
]
[
]
[
:
2
Exemplos:
]
1
[
]
[
]
[
]
[
:
4 −
−
=
→ n
x
n
x
n
y
n
x
S
)
1
(
)
(
)
(
: 2
3 −
=
→ t
x
t
y
t
x
S
Nota: dois sinais são diferentes, se existir pelo menos um instante de tempo em que tomam valores diferentes, ou seja,
são iguais se e apenas se tomarem valores iguais em todos os instantes de tempo.
Um sistema diz-se não invertível se existirem pelo menos dois sinais de entrada diferentes que
conduzam ao mesmo sinal de saída.

3. 3
SS 0708
SinSist 5
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – invertibilidade
Se o sistema S for invertível então existe um outro sistema, designado sistema inverso, que ligado à
saída so sistema S produz como sua saída a entrada de S
Exemplos: )
(
2
)
(
)
(
:
1 t
x
t
y
t
x
S =
→
∑
−∞
=
=
→
n
k
k
x
n
y
n
x
S ]
[
]
[
]
[
:
2
x y
S 1
−
S
x
)
(
)
(
)
(
: 2
1
1
1 t
y
t
z
t
y
S =
→
−
]
1
[
]
[
]
[
]
[
:
1
2 −
−
=
→
−
n
y
n
y
n
z
n
y
S
SS 0708
SinSist 6
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – causalidade
Um sistema diz-se causal, ou não antecipativo, se para cada instante, o valor da saída nesse instante
apenas depender do valor da entrada no mesmo instante ou em instantes passados.
Exemplos: ∑
−∞
=
=
→
n
k
k
x
n
y
n
x
S ]
[
]
[
]
[
:
1
)
3
(
)
(
)
(
:
2 −
=
→ t
x
t
y
t
x
S
Neste caso haverá, pelo menos, um instante para o qual o valor da saída nesse instante dependerá de
valores da entrada em instantes futuros.
Exemplos: ]
[
]
[
]
[
:
3 n
x
n
y
n
x
S −
=
→
0
,
]
[
1
2
1
]
[
]
[
:
4 >
−
+
=
→ ∑
−
=
M
k
n
x
M
n
y
n
x
S
M
M
k
Se a condição acima não se verificar, o sistema diz-se não causal, ou antecipativo.

4. 4
SS 0708
SinSist 7
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – estabilidade
Um sistema diz-se estável se entradas limitadas derem origem a saídas limitadas.
Notas:
Verificar que um sistema é estável exige mostrar que todas as entradas
limitadas produzem saídas limitadas.
Verificar que um sistema é instável exige encontrar uma entrada limitada que
produza uma saída ilimitada.
O sinal x(t) diz-se limitado se L
t
x
t
L <
∀
>
∃ )
(
0
O sinal x[n] diz-se limitado se L
n
x
n
L <
∀
>
∃ ]
[
0
Quando esta condição não se verifica o sistema diz-se instável.
SS 0708
SinSist 8
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – estabilidade
Exemplos:
L
n
x <
]
[
]
1
[
]
[
2
]
[
]
[
:
1 −
−
=
→ n
x
n
x
n
y
n
x
S Estável
]
1
[
]
[
2
]
[ −
−
= n
x
n
x
n
y
]
1
[
]
[
2 −
+
≤ n
x
n
x
L
L +
≤ 2 L
3
=
limitado
)
(
)
(
)
(
:
2 t
x
t
t
y
t
x
S =
→ Instável
1
)
( =
t
x é um sinal limitado
t
t
y =
)
( é um sinal ilimitado

5. 5
SS 0708
SinSist 9
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – invariância
Um sistema diz-se invariante (no tempo) se uma translação no sinal de entrada produz a mesma
translação no sinal de saída.
Notas: Verificar que um sistema é invariante exige mostrar que para todo o sinal de
entrada x(t) (x[n]) com saída y(t) (y[n]) e todo o deslocamento t0 (n0), o sinal de
entrada x(t-t0) (x[n-n0]) produz a saída y(t-t0) (y[n-n0]).
Quando esta condição não se verifica o sistema diz-se variante (no tempo).
sistemas em tempo contínuo )
(
)
( t
y
t
x → )
(
)
( 0
0 t
t
y
t
t
x −
→
−
sistemas em tempo discreto ]
[
]
[ n
y
n
x → ]
[
]
[ 0
0 n
n
y
n
n
x −
→
−
Verificar que um sistema é variante exige encontrar um sinal de entrada x1(t)
(x1[n]) com saída y1(t) (y1[n]) e um deslocamento t0 (n0) tal que o sinal de entrada
x1(t-t0) (x1[n-n0]) não produza a saída y1(t-t0) (y1[n-n0]).
SS 0708
SinSist 10
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – invariância
Exemplos:
)
(
sin
)
(
)
(
:
1 t
x
t
y
t
x
S =
→ Invariante
]
[
]
[
]
[
:
2 n
x
n
n
y
n
x
S =
→ Variante
]
[
]
[
1 n
n
x δ
=
sinal de entrada qualquer, com saída )
(
sin
)
( 1
1 t
x
t
y =
0
t deslocamento qualquer
)
(
)
( 0
1
2 t
t
x
t
x −
= nova entrada, com saída )
(
sin
)
( 2
2 t
x
t
y = )
(
sin 0
1 t
t
x −
=
)
( 0
1 t
t
y −
=
]
[
]
[
1 n
n
n
y δ
=
)
(
1 t
x
]
1
[
]
1
[
]
[ 1
2 −
δ
=
−
= n
n
x
n
x ]
1
[
]
[
2 −
δ
= n
n
n
y
0
=
]
1
[ −
δ
= n ]
1
[
1 −
≠ n
y

6. 6
SS 0708
SinSist 11
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – linearidade
Um sistema diz-se linear se a saída correspondente a uma qualquer combinação linear de entradas é a
mesma combinação linear das saídas correspondentes a cada uma das entradas.
(para o caso discreto as definições são análogas)
Esta condição é equivalente às propriedades:
Aditividade: )
(
)
( 1
1 t
y
t
x → e )
(
)
( 2
2 t
y
t
x → )
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 t
y
t
y
t
x
t
x +
→
+ 2
1, x
x quaisquer
Homogeneidade: )
(
)
( 1
1 t
y
a
t
x
a →
)
(
)
( 1
1 t
y
t
x → 1
, x
a quaisquer
SS 0708
SinSist 12
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – linearidade
A linearidade é também conhecida por sobreposição.
Num sistema linear, a uma entrada nula corresponde sempre um saída nula!
Notas: Basta que uma das propriedades de aditividade ou homogeneidade não se
verifique para algum caso, para o sistema ser não linear.
Verificar a linearidade de um sistema é ainda equivalente a verificar que
)
(
)
( 1
1 t
y
t
x → e )
(
)
( 2
2 t
y
t
x → )
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 t
y
b
t
y
a
t
x
b
t
x
a +
→
+ 2
1,
,
, x
x
b
a quaisquer

7. 7
SS 0708
SinSist 13
Faculdade de Engenharia
Propriedades de sistemas – linearidade
Exemplos:
)
(
)
(
)
(
:
1 t
x
t
t
y
t
x
S =
→ Linear
]
[
]
[
]
[
: 2
2 n
x
n
y
n
x
S =
→ Não linear
5
]
[
]
[ 2
1 =
+
≠ n
y
n
y
)
(
)
( 2
1 t
x
t
b
t
x
t
a +
=
)
(
)
(
)
( 1
1
1 t
x
t
t
y
t
x =
→
)
(
)
(
)
( 2
2
2 t
x
t
t
y
t
x =
→
( )
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 t
bx
t
ax
t
t
bx
t
ax +
⋅
→
+
)
(
)
( 2
1 t
y
b
t
y
a +
=
1
]
[
1
]
[ 1
1 =
→
= n
y
n
x
4
]
[
2
]
[ 2
2 =
→
= n
y
n
x
9
3
]
[
3
]
[
]
[ 2
3
2
1 =
=
→
=
+ n
y
n
x
n
x
{ }
)
(
Re
)
(
)
(
:
3 t
x
t
y
t
x
S =
→ Não linear
{} 1
1
Re
)
(
1
)
( 1
1 =
=
→
= t
y
t
x
mas
{ } 0
Re
)
(
)
( 2
1 =
=
→
= j
t
y
j
t
x
j
mas
j
t
y
j =
≠ )
(
1
SS 0708
SinSist 14
Faculdade de Engenharia
Exercícios
1. Considere o sistema em tempo contínuo caracterizado por )
(
)
(
)
( t
x
t
y
t
x p
=
→
Verifique quais as propriedades que este sistema possui.
2. Identifique um sistema em tempo discreto linear, estável, com memória e causal.
3. Identifique um sistema não causal e sem memória. Caso não seja possível, indique a razão.