Sinais e sistemas_UPorto

1. 1
Faculdade de Engenharia
Série de Fourier – tempo contínuo
SS – MIEIC 2007/2008
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
SS 0708
SFC 2
Faculdade de Engenharia
Série de Fourier em tempo contínuo – aula de hoje
Resposta de SLITs contínuo a exponenciais
Série de Fourier de sinais periódicos
Existência e convergência da série de Fourier
Propriedades da série de Fourier
Filtragem selectiva nas frequências

2. 2
SS 0708
SFC 3
Faculdade de Engenharia
Propriedades da série de Fourier
x(t) e y(t) sinais periódicos, de frequência fundamental ω0 k
SF
a
t
x 
→
←
)
( k
SF
b
t
y 
→
←
)
(
linearidade
translação
rebatimento
mudança de escala
derivação
integração
k
k
SF
b
a
t
y
t
x β
+
α

→
←
β
+
α )
(
)
(
k
t
jk
SF
a
e
t
t
x 0
0
)
( 0
ω
−

→
←
−
k
SF
a
t
x −

→
←
− )
(
k
SF
a
t
x 
→
←
α )
( 0
l
fundamenta
frequência
)
(
,
0 αω
α
>
α t
x
conjugação *
*
)
( k
SF
a
t
x −

→
←
k
SF
a
jk
dt
t
dx
0
)
(
ω

→
←
0
)
(
ω

→
←
τ
τ
∫∞
−
jk
a
d
x k
SF
t
0
0 =
a
*
real
)
( k
k a
a
t
x =
⇒ −
real
,
par
e
real
)
( k
k
k a
a
a
t
x =
⇒ −
imaginário
,
ímpar
e
real
)
( k
k
k a
a
a
t
x −
=
⇒ −
∑
∫
+∞
−∞
=
=
k
k
T
a
dt
t
x
T
2
2
0
0
)
(
1
relação de Parseval
SS 0708
SFC 4
Faculdade de Engenharia
Exercícios
1. Partindo da série de Fourier do sinal da figura e utilizando propriedades da série de Fourier
a.
b.
determine a série de Fourier dos sinais:
( )







=
π
ω
≠
π
ω
=
0
0
,
sin
1
0
1
0
k
T
k
k
T
k
ak
t
)
(t
g
2
1
2 4
2
−
4
−
2
1
−
t
)
(t
x
1
0
T 0
2T
1
T
1
T
−
0
T
−
0
2T
−
t
)
(t
f
1
2 4
2
−
4
−

3. 3
SS 0708
SFC 5
Faculdade de Engenharia
Exercícios
2. Partindo da definição, determine a série de Fourier do sinal
t
)
(t
x
1
0
T 0
2T
1
T
1
T
−
0
T
−
0
2T
−
∑
+∞
−∞
=
−
δ
=
δ
m
T mT
t
t )
(
)
( 0
0
t
)
(
0
t
T
δ
1
0
T 0
2T
0
T
−
0
2T
−
3. Partindo do exercício anterior e utilizando propriedades, determine a série de Fourier do sinal
SS 0708
SFC 6
Faculdade de Engenharia
Exercícios
4. Determine os sinais x(t) que satisfazem simultaneamente as seguintes condições
a. x(t) é um sinal real
b. x(t) tem período 4, e coeficientes da série de Fourier ak
c.
d. o sinal y(t) com coeficientes de Fourier é real e ímpar
e.
1
,
0 >
= k
ak
k
jk
k a
e
b −
π
−
= 2
/
∫ =
4
0
2
2
1
)
(
4
1
dt
t
x

4. 4
SS 0708
SFC 7
Faculdade de Engenharia
Resposta de SLITs a exponenciais harmónicas
x(t)
)
(t
h
y(t)
SLIT contínuo com resposta impulsional h(t)
)
(
*
)
(
)
(
)
( t
x
t
h
t
y
t
x =
→ ∫
+∞
∞
−
τ
τ
−
τ
= d
t
x
h )
(
)
(
t
j
t
j
e
t
h
e ω
ω
→ *
)
( ∫
+∞
∞
−
τ
−
ω
τ
τ
= d
e
h t
j )
(
)
( ∫
+∞
∞
−
ωτ
−
ω
τ
τ
= d
e
h
e j
t
j
)
( t
j
e
H ω
ω
= )
(
∫
+∞
∞
−
ωτ
−
τ
τ
=
ω d
e
h
H j
)
(
)
(
A resposta de um SLIT a uma exponencial harmónica é uma exponencial harmónica da mesma
frequência, obtida multiplicando a entrada pela resposta em frequência
Resposta em
frequência
H(ω) pode ser complexo, significando que a exponencial harmónica de entrada é alterada em
amplitude e em fase
Notas
A resposta em frequência é muitas vezes representada por H(jω)
SS 0708
SFC 8
Faculdade de Engenharia
Resposta em frequência – exemplo
SLIT de entrada x(t) e saída y(t), descrito pela equação diferencial com condições iniciais nulas:
t
j
e
t
x ω
=
)
( t
j
e
H
t
y ω
ω
= )
(
)
( t
j
e
H
j
dt
t
dy ω
ω
ω
= )
(
)
(
t
j
t
j
t
j
e
e
H
e
H
j ω
ω
ω
=
ω
+
ω
ω )
(
)
(
1
)
(
)
1
( =
ω
+
ω H
j
1
1
)
(
+
ω
=
ω
j
H
)
(
)
(
)
(
t
x
t
y
dt
t
dy
=
+

5. 5
SS 0708
SFC 9
Faculdade de Engenharia
Resposta de SLITs a sinais periódicos
x(t)
)
(t
h
y(t)
SLIT contínuo com resposta impulsional h(t) ∫
+∞
∞
−
ωτ
−
τ
τ
=
ω d
e
h
H j
)
(
)
(
A resposta de um SLIT a um sinal periódico é outro sinal periódico da mesma frequência
Cada componente da saída obtém-se mutiplicando a respectiva componente de entrada pela
resposta em frequência calculada à frequência do harmónico respectivo
resposta em
frequência
x(t) periódico, de frequência fundamental ω0
Notas
∑
+∞
−∞
=
ω
=
k
t
jk
ke
a
t
x 0
)
( combinação linear de
exponenciais harmónicas
∑
+∞
−∞
=
ω
ω
=
k
t
jk
ke
a
k
H
t
y 0
)
(
)
( 0
k
SF
a
t
x 
→
←
)
(
k
SF
a
k
H
t
y )
(
)
( 0
ω

→
← y(t) periódico, de
frequência fundamental ω0
SS 0708
SFC 10
Faculdade de Engenharia
SLITs como filtros selectivos nas frequências
x(t)
)
(t
h
y(t)
o conteúdo espectral do sinal de entrada é alterado pelos SLITs
∫
+∞
∞
−
ωτ
−
τ
τ
=
ω d
e
h
H j
)
(
)
(
∑
+∞
−∞
=
ω
=
k
t
jk
ke
a
t
x 0
)
( ∑
+∞
−∞
=
ω
ω
=
k
t
jk
ke
a
k
H
t
y 0
)
(
)
( 0
SLITs podem ser usados para alterar o “peso relativo” dos
diferentes harmónicos do sinal de entrada
filtragem selectiva nas frequências
)
(ω
H
ω
0
)
(ω
∠H
ω
0
H(ω) complexo
módulo
fase

6. 6
SS 0708
SFC 11
Faculdade de Engenharia
SLITs como filtros selectivos nas frequências
)
(ω
H
ω
0 c
ω
c
ω
−
Filtro passa baixo ideal





ω
>
ω
ω
≤
ω
=
ω
c
c
H
,
0
,
1
)
(
ωc à frequência (superior) de corte
)
(ω
H
ω
0 c
ω
c
ω
−
Filtro passa alto ideal





ω
≥
ω
ω
<
ω
=
ω
c
c
H
,
1
,
0
)
(
ωc à frequência (inferior) de corte
banda passante
banda de rejeição
SS 0708
SFC 12
Faculdade de Engenharia
SLITs como filtros selectivos nas frequências
Filtro passa banda ideal







ω
>
ω
ω
<
ω
ω
≤
ω
≤
ω
=
ω
2
1
2
1
,
0
,
0
,
1
)
(
c
c
c
c
H
ωc1 à frequência inferior de corte
Filtro rejeita banda ideal
banda de rejeição
ωc2 à frequência superior de corte
)
(ω
H
ω
0 1
c
ω
1
c
ω
−
banda passante
2
c
ω
2
c
ω
−
ωc2 – ωc1 à largura de banda
)
(ω
H
ω
0 1
c
ω
1
c
ω
− 2
c
ω
2
c
ω
−







ω
>
ω
ω
<
ω
ω
≤
ω
≤
ω
=
ω
2
1
2
1
,
1
,
1
,
0
)
(
c
c
c
c
H

7. 7
SS 0708
SFC 13
Faculdade de Engenharia
Exercícios
1. Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequência. Determine em cada caso
a saída do sistema quando a entrada é o sinal
a.
b.
c.
1
1
)
(
+
ω
=
ω
j
H
)
3
cos(
)
cos(
)
( t
t
t
x +
=
ω
=
ω
j
H
1
)
(
ω
=
ω j
H )
(
d. sistema passa baixo ideal com frequência de corte 1.5.
e. sistema passa alto ideal com frequência de corte 2.
2. Repita a alínea d. do exercício anterior, considerando agora o sinal de entrada da figura.
Esboce o sinal de saída.
t
)
(t
x
1
π π
2
4
π
π
−
π
−2
4
π
−