Sinais e sistemas_UPorto

1. 1
Faculdade de Engenharia
Ánálise de Fourier – tempo discreto
SS – MIEIC 2008/2009
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
SS 0809
AFD3 2
Faculdade de Engenharia
Análise de Fourier em tempo discreto – aula de hoje
Resposta de SLITs discretos a exponenciais
Série de Fourier de sinais periódicos
Propriedades da série de Fourier
Transformada de Fourier e transformada inversa
Propriedades da transformada de Fourier
Resposta de SLITs discretos a sinais periódicos
Análise de SLITs no domínio da frequência

2. 2
SS 0809
AFD3 3
Faculdade de Engenharia
Resposta de SLITs discretos a exponenciais harmónicas
x[n]
]
[n
h
y[n]
SLIT discreto com resposta impulsional h[n]
]
[
*
]
[
]
[
]
[ n
x
n
h
n
y
n
x =
→
+∞
−∞
=
−
=
k
k
n
x
k
h ]
[
]
[
n
j
n
j
e
n
h
e Ω
Ω
→ *
]
[
+∞
−∞
=
−
Ω
=
k
k
n
j
e
k
h )
(
]
[
+∞
−∞
=
Ω
−
Ω
=
k
k
j
n
j
e
k
h
e ]
[ n
j
e
H Ω
Ω
= )
(
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω
k
k
j
e
k
h
H ]
[
)
(
A resposta de um SLIT a uma exponencial harmónica é uma exponencial harmónica da mesma
frequência, obtida multiplicando a entrada pela resposta em frequência
Resposta em
frequência
H(Ω) pode ser complexo, significando que a exponencial harmónica de entrada é alterada em
amplitude e em fase
Notas
A resposta em frequência é muitas vezes representada por H(ejΩ)
H(Ω) é uma função periódica de Ω, de período 2π )
(
]
[
]
[
)
2
( 2
)
2
(
Ω
=
=
=
π
+
Ω
+∞
−∞
=
π
−
Ω
−
+∞
−∞
=
π
+
Ω
−
H
e
e
k
h
e
k
h
H
k
k
j
k
j
k
k
j
Transf. Fourier
da resposta
impulsional
SS 0809
AFD3 4
Faculdade de Engenharia
Transformada de Fourier e resposta de SLITs
SLIT contínuo com resposta impulsional h[n]
)
(
)
( 0
*
0 Ω
=
Ω
− H
H
Casos particulares
n
j
e
n
x 0
]
[ Ω
=
+∞
−∞
=
π
−
Ω
−
Ω
δ
π
=
Ω
l
l
X )
2
(
2
)
( 0
+∞
−∞
=
−
Ω
−
Ω
+
Ω
=
Ω
l
l
l
H
Y )
2
(
)
2
(
2
)
( 0
0 π
δ
π
π
n
j
e
H
n
y 0
)
(
]
[ 0
Ω
Ω
= )
(
0
0
0
)
( Ω
∠
+
Ω
Ω
= H
n
j
e
H
)
cos(
]
[ 0n
n
x Ω
=
n
j
n
j
e
e 0
0
2
1
2
1 Ω
−
Ω
+
=
( )
)
(
cos
)
( 0
0
0 Ω
∠
+
Ω
Ω
= H
t
H
)
(
0
2
1
)
(
0
2
1 0
0
0
0
)
(
)
(
]
[ Ω
−
∠
+
Ω
−
Ω
∠
+
Ω
Ω
−
+
Ω
= H
n
j
H
n
j
e
H
e
H
n
y
]
[n
h real
)
(
0
2
1
)
(
0
2
1 0
0
0
0
)
(
)
( Ω
∠
−
Ω
−
Ω
∠
+
Ω
Ω
+
Ω
= H
n
j
H
n
j
e
H
e
H
x[n]
]
[n
h
y[n]
)
(
)
2
( 0
0 Ω
=
π
+
Ω H
l
H

3. 3
SS 0809
AFD3 5
Faculdade de Engenharia
Resposta de SLITs discretos a sinais periódicos
x[n]
]
[n
h
y[n]
SLIT contínuo com resposta impulsional h[n]
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω
k
k
j
e
k
h
H ]
[
)
(
A resposta de um SLIT a um sinal periódico é outro sinal periódico da mesma frequência
Cada componente da saída obtém-se mutiplicando a respectiva componente de entrada pela
resposta em frequência calculada à frequência do harmónico respectivo
resposta em
frequência
x[n] periódico, de frequência fundamental
Notas
>
=<
Ω
=
N
k
n
jk
k e
a
n
x 0
]
[ combinação linear de
exponenciais harmónicas
>
=<
Ω
Ω
=
N
k
n
jk
ke
a
k
H
n
y 0
)
(
]
[ 0
k
SF
a
n
x 
→
←
]
[
k
SF
a
k
H
n
y )
(
]
[ 0
Ω

→
← y[n] periódico, de
frequência fundamental Ω0
N
π
=
Ω
2
0
SS 0809
AFD3 6
Faculdade de Engenharia
Transformada de Fourier e resposta em frequência de SLITs
x[n]
]
[n
h
y[n]
SLIT contínuo com resposta impulsional h[n]
]
[
*
]
[
]
[
]
[ n
x
n
h
n
y
n
x =
→
+∞
−∞
=
−
=
k
k
n
x
k
h ]
[
]
[
transformada de Fourier de h[n]
Resposta em
frequência
SLITs como filtros selectivos nas frequências
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω

→
←
n
n
j
TF
e
n
x
X
n
x ]
[
)
(
]
[
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω

→
←
n
n
j
TF
e
n
y
Y
n
y ]
[
)
(
]
[
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω

→
←
n
n
j
TF
e
n
h
H
n
h ]
[
)
(
]
[
)
(
)
(
)
(
)
( Ω
Ω
=
Ω
→
Ω X
H
Y
X
X(Ω)
)
(Ω
H
Y(Ω)
o espectro do sinal de saída é igual ao espectro do sinal
de entrada multiplicado pela resposta em frequência

4. 4
SS 0809
AFD3 7
Faculdade de Engenharia
Transformada de Fourier e resposta de SLITs
x[n]
]
[n
h
y[n]
SLIT contínuo com resposta impulsional h[n]
]
[n
x { }
]
[
)
( n
x
X =
Ω
{ }
)
(
]
[ 1
Ω
= Y
n
y -
]
[n
h { }
]
[
)
( n
h
H =
Ω
)
(
)
(
)
( Ω
Ω
=
Ω X
H
Y
Determinação de y[n]
Nota: A transformada de Fourier permite determinar a resposta de um SLIT a um
sinal sem recorrer ao cálculo da convolução do sinal de entrada com a
resposta impulsional.
x[n]
]
[n
h
y[n]
resposta em
frequência
)
(
)
(
)
( Ω
Ω
=
Ω X
H
Y
X(Ω)
)
(Ω
H
Y(Ω)
]
[
*
]
[
]
[ n
x
n
h
n
y =
resposta
impulsional
SS 0809
AFD3 8
Faculdade de Engenharia
Resposta em frequência – exemplo
SLIT de entrada x[n] e saída y[n], descrito pela equação às diferenças:
n
j
e
n
x Ω
=
]
[ n
j
e
H
n
y Ω
Ω
= )
(
]
[ n
j
j
e
e
H
n
y Ω
Ω
−
Ω
=
− )
(
]
1
[
n
j
n
j
j
n
j
e
e
H
e
e
H Ω
Ω
Ω
−
Ω
=
Ω
+
Ω )
(
)
(
( ) 1
)
(
1 =
Ω
+ Ω
−
H
e j
Ω
−
+
=
Ω j
e
H
1
1
)
(
]
[
]
1
[
]
[ n
x
n
y
n
y =
−
+

5. 5
SS 0809
AFD3 9
Faculdade de Engenharia
SLITs como filtros selectivos nas frequências
x[n]
]
[n
h
y[n]
o conteúdo espectral do sinal de entrada é alterado pelos SLITs
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω
k
k
j
e
k
h
H ]
[
)
(
π
Ω
Ω
Ω
π
=
2
)
(
2
1
]
[ d
e
X
n
x n
j
π
Ω
Ω
Ω
Ω
(
π
=
2
)
(
)
2
1
]
[ d
e
X
H
n
y n
j
SLITs podem ser usados para alterar o “peso relativo” dos
diferentes harmónicos do sinal de entrada
H(Ω) complexo
módulo
fase
)
(Ω
H
Ω
0 π
π
−
)
(Ω
∠H
Ω
0 π
π
−
SS 0809
AFD3 10
Faculdade de Engenharia
SLITs como filtros selectivos nas frequências
)
(Ω
H
Ω
0 c
Ω
c
Ω
−
Filtro passa alto ideal
Ω
≥
Ω
Ω
<
Ω
=
Ω
c
c
H
,
1
,
0
)
(
Ωc frequência (inferior) de corte
banda de rejeição
π
π
−
)
(Ω
H
Ω
0 c
Ω
c
Ω
−
Filtro passa baixo ideal
Ω
>
Ω
Ω
≤
Ω
=
Ω
c
c
H
,
0
,
1
)
(
Ωc frequência (superior) de corte
banda passante
π
π
−

6. 6
SS 0809
AFD3 11
Faculdade de Engenharia
SLITs como filtros selectivos nas frequências
Filtro rejeita banda ideal
banda de rejeição
)
(Ω
H
Ω
0 1
c
Ω
1
c
Ω
− 2
c
Ω
2
c
Ω
−
Ω
>
Ω
Ω
<
Ω
Ω
≤
Ω
≤
Ω
=
Ω
2
1
2
1
,
1
,
1
,
0
)
(
c
c
c
c
H
π
π
−
Filtro passa banda ideal
Ω
>
Ω
Ω
<
Ω
Ω
≤
Ω
≤
Ω
=
Ω
2
1
2
1
,
0
,
0
,
1
)
(
c
c
c
c
H
Ωc1 frequência inferior de corte
Ωc2 frequência superior de corte
)
(Ω
H
Ω
0 1
c
Ω
1
c
Ω
−
banda passante
2
c
Ω
2
c
Ω
−
Ωc2 – Ωc1 largura de banda
π
π
−
SS 0809
AFD3 12
Faculdade de Engenharia
Equações às diferenças lineares de coeficientes constantes
Eq. às diferenças linear de ordem N )
0
( ≠
N
a
=
=
−
=
−
M
k
k
N
k
k k
n
x
b
k
n
y
a
0
0
]
[
]
[
)
(
]
[ Ω

→
← X
n
x TF
)
(
]
[ Ω

→
← Y
n
y
TF
)
(
]
1
[ Ω

→
←
− Ω
−
X
e
n
x j
TF
)
(
]
[ Ω

→
←
− Ω
−
X
e
k
n
x k
j
TF
)
(
]
1
[ Ω

→
←
− Ω
−
Y
e
n
y j
TF )
(
]
[ Ω

→
←
− Ω
−
Y
e
k
n
y k
j
TF
=
Ω
−
=
Ω
−
Ω
=
Ω
M
k
k
j
k
N
k
k
j
k X
e
b
Y
e
a
0
0
)
(
)
(
=
Ω
−
=
Ω
−
=
Ω
Ω
N
k
k
j
k
M
k
k
j
k
e
a
e
b
X
Y
0
0
)
(
)
(
S
]
[n
x ]
[n
y
)
(Ω
= H
resposta em frequência do SLIT
A resposta em frequência de um SLIT descrito por uma eq. às diferenças
linear de coeficientes constantes é um quociente de polinómios em

7. 7
SS 0809
AFD3 13
Faculdade de Engenharia
Transformadas de Fourier – casos particulares
1
],
[ <
a
n
u
an
Ω
−
−
→
 j
TF
ae
1
1
1
],
[
)
1
( <
+ a
n
u
a
n n
( )2
1
1
Ω
−
−
→

j
TF
ae
a
j
a
e 1
1
−
−
= Ω
−
( )2
1
1
2
a
j
a
e −
=
Ω
−
quocientes de polinómios em Ω
− j
e
análise de SLITs descritos por eq. às
diferenças de coef. constantes com
entradas exponenciais torna-se simples
SS 0809
AFD3 14
Faculdade de Engenharia
Eq. às diferenças lineares de coeficientes constantes – exemplo
]
[
]
1
[
5
.
0
]
[ n
x
n
y
n
y =
−
− )
(
)
(
5
.
0
)
( Ω
=
Ω
−
Ω Ω
−
X
Y
e
Y j
( ) )
(
)
(
5
.
0
1 Ω
=
Ω
− Ω
−
X
Y
e j
)
(
)
(
)
(
Ω
Ω
=
Ω
X
Y
H Ω
−
−
= j
e
5
.
0
1
1
]
[n
h [ ]
)
(
1
Ω
= H
-
−
= Ω
− j
-
e
5
.
0
1
1
1
]
[
5
.
0 n
u
n
= resposta
impulsional
resposta em
frequência
]
[
2
.
0
6
]
[ n
u
n
x n
×
=
Ω
−
−
=
Ω j
e
X
2
.
0
1
6
)
( )
(
)
(
)
( Ω
Ω
=
Ω X
H
Y
( )( )
Ω
−
Ω
−
−
−
= j
j
e
e 2
.
0
1
5
.
0
1
6
Ω
−
Ω
−
−
−
−
= j
j
e
e 2
.
0
1
4
5
.
0
1
10
]
[n
y [ ]
)
(
1
Ω
= Y
-
−
−
−
= Ω
−
Ω
− j
j
-
e
e 2
.
0
1
4
5
.
0
1
10
1
( ) ]
[
2
.
0
4
5
.
0
10 n
u
n
n
×
−
×
=
S
]
[n
x ]
[n
y

8. 8
SS 0809
AFD3 15
Faculdade de Engenharia
Interligação de SLITs – análise nas frequências
Ligação em série
]
[
*
]
[
]
[ 2 n
y
n
h
n
z =
)
(
)
( 2
1 Ω
Ω H
H
]
[
2 n
h
z[n]
y[n]
]
[
1 n
h
x[n]
)
(
)
(
)
( 2 Ω
Ω
=
Ω Y
H
Z
)
(
2 Ω
H
)
(
)
(
)
( 1 Ω
Ω
=
Ω X
H
Y
)
(Ω
Z
)
(
1 Ω
H
)
(Ω
Y
)
(Ω
X
]
[
*
]
[
]
[ 1 n
x
n
h
n
y =
)
(Ω
X )
(Ω
Z
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1 Ω
Ω
Ω
=
Ω X
H
H
Z
SS 0809
AFD3 16
Faculdade de Engenharia
Interligação de SLITs – análise nas frequências
Ligação em paralelo
]
[
*
]
[
]
[ 2
2 n
y
n
h
n
y =
)
(
)
( 2
1 Ω
+
Ω H
H
)
(
)
(
)
( 2
1 Ω
+
Ω
=
Ω Y
Y
Z
)
(
2 Ω
H
)
(
)
(
)
( 1
1 Ω
Ω
=
Ω X
H
Y
)
(Ω
Z
]
[
*
]
[
]
[ 1
1 n
x
n
h
n
y =
)
(Ω
X )
(Ω
Z
( ) )
(
)
(
)
(
)
( 2
1 Ω
Ω
+
Ω
=
Ω X
H
H
Z
]
[
1 n
h
]
[
2 n
h
]
[n
x
]
[
1 n
y
]
[
2 n
y
]
[n
z )
(Ω
X
)
(
1 Ω
H
]
[
]
[
]
[ 2
1 n
y
n
y
n
z +
=
)
(
1 Ω
Y
)
(
2 Ω
Y
)
(
)
(
)
( 2
2 Ω
Ω
=
Ω X
H
Y

9. 9
SS 0809
AFD3 17
Faculdade de Engenharia
Sinais em tempo contínuo
Série de Fourier
+∞
−∞
=
ω
=
k
t
jk
k e
a
t
x 0
)
(
)
2
( 0
0 π
=
ω
T
ω
−
=
0
0
)
(
1
0 T
t
jk
k dt
e
t
x
T
a
Transformada de Fourier
+∞
∞
−
ω
ω
ω
π
= d
e
X
t
x t
j
)
(
2
1
)
(
+∞
∞
−
ω
−
=
ω dt
e
t
x
X t
j
)
(
)
(
periódico no tempo
frequências discretas 0
ω
k
aperiódico nas frequências
aperiódico no tempo
aperiódico nas frequências
dualidade
frequências contínuas
SS 0809
AFD3 18
Faculdade de Engenharia
Sinais em tempo discreto
Série de Fourier
>
=<
π
=
N
k
N
n
k
j
ke
a
n
x
2
]
[
Transformada de Fourier
π
Ω
Ω
Ω
π
=
2
)
(
2
1
]
[ d
e
X
n
x n
j
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω
n
n
j
e
n
x
X ]
[
)
(
periódico no tempo
frequências discretas
N
k π
2
periódico nas frequências
aperiódico no tempo
periódico nas frequências
dualidade
>
=<
π
−
=
N
n
N
n
k
j
k e
n
x
N
a
2
]
[
1
frequências contínuas

10. 10
SS 0809
AFD3 19
Faculdade de Engenharia
Tabela resumo
+∞
−∞
=
ω
=
k
t
jk
k e
a
t
x 0
)
(
ω
−
=
0
0
)
(
1
0 T
t
jk
k dt
e
t
x
T
a
+∞
∞
−
ω
ω
ω
π
= d
e
X
t
x t
j
)
(
2
1
)
(
+∞
∞
−
ω
−
=
ω dt
e
t
x
X t
j
)
(
)
(
>
=<
π
=
N
k
N
n
k
j
ke
a
n
x
2
]
[
π
Ω
Ω
Ω
π
=
2
)
(
2
1
]
[ d
e
X
n
x n
j
+∞
−∞
=
Ω
−
=
Ω
n
n
j
e
n
x
X ]
[
)
(
>
=<
π
−
=
N
n
N
n
k
j
k e
n
x
N
a
2
]
[
1
transformada
série
tempo contínuo tempo discreto
d
u
a
l
i
d
a
d
e
SS 0809
AFD3 20
Faculdade de Engenharia
Exercícios
1. Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequência. Determine em cada caso
a saída do sistema quando a entrada é o sinal
π
+
π
=
5
2
cos
5
cos
]
[
n
n
n
x
a. sistema passa baixo ideal com frequência de corte
b. sistema passa alto ideal com frequência de corte
2. Repita a alínea a. do exercício anterior, considerando agora o sinal de entrada da figura.
Esboce o sinal de saída.
3
/
π
2
/
π
n
]
[n
x
1
0 1 2 3 4
1
− 5 6 7
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
7
−

11. 11
SS 0809
AFD3 21
Faculdade de Engenharia
Exercícios
4. Um SLIT discreto de entrada x[n] e saída y[n] é descrito pela equação às diferenças
Determine a saída quando a entrada é
]
[
]
1
[
25
.
0
]
[ n
x
n
y
n
y =
−
−
a.
π
=
4
3
sin
]
[
n
n
x
b.
π
+
π
=
2
cos
2
4
cos
]
[
n
n
n
x
3. Considere o SLIT em tempo discreto de resposta impulsional
a. a partir da convolução da resposta impulsional com o sinal de entrada
( ) ]
[
]
[ 2
1
n
u
n
h
n
= e o sinal de entrada .
]
[ 0n
j
e
n
x Ω
=
Determine a saída do sistema:
b. utilizando a transformada de Fourier
SS 0809
AFD3 22
Faculdade de Engenharia
Exercícios
5. Um sistema SLIT de entrada x[n] e saída y[n] é caracterizado pela seguinte equação às diferenças:
a. determine a resposta impulsional do sistema.
]
[
2
]
2
[
8
1
]
1
[
4
3
]
[ n
x
n
y
n
y
n
y =
−
+
−
−
]
[
4
1
]
[ n
u
n
x
n
=
b. determine a saída do sistema quando a entrada é o sinal
6. Considere a associação em série de dois SLITs, caracterizados pelas equações às diferenças indicadas.
2
S
z[n]
y[n]
1
S
x[n]
a. determine a resposta impulsional de cada um dos sistemas
]
[
]
1
[
3
1
]
[ n
x
n
y
n
y =
−
−
b. obtenha uma equação às diferenças que relacione a saída com a entrada da série
]
[
9
]
1
[
6
1
]
[ n
y
n
z
n
z =
−
+

12. 12
SS 0809
AFD3 23
Faculdade de Engenharia
Exercícios
7. Considere a seguinte associação em série de dois SLITs
2
S
z[n]
y[n]
1
S
x[n]
a. determine a resposta impulsional de cada um dos sistemas
]
[
]
1
[
4
1
]
[
:
1 n
x
n
y
n
y
S =
−
−
b. obtenha uma equação às diferenças que relacione a saída com a entrada da série
Ω
−
Ω
−
+
−
=
Ω j
j
e
e
H
S
25
.
0
1
25
.
0
1
)
(
: 2
2
c. determine y[n] e z[n] quando ]
[
2
1
3
]
[ n
u
n
x
n
=